Sáng kiến kinh nghiệm GIÚP HỌC SINH THIẾT LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH TỪ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ THÔNG QUA BẢNG TÓM TẮT LỜI GIẢI Khối, lớp 8, 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
***********

GIÚP HỌC SINH THIẾT LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH
TỪ CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ
THƠNG QUA BẢNG TĨM TẮT LỜI GIẢI
Mơn: TỐN
Khối, lớp: 8, 9

PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN TỨ KỲ
TRƯỜNG THCS NGỌC KỲ
1


Số phách

GIÚP HỌC SINH THIẾT LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH
TỪ CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ
THƠNG QUA BẢNG TĨM TẮT LỜI GIẢI
Mơn: TỐN
Tên tác giả: VŨ THÀNH KHỞI

Đánh giá của nhà trường
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................

Số phách

2


GIÚP HỌC SINH THIẾT LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH
TỪ CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ
THƠNG QUA BẢNG TĨM TẮT LỜI GIẢI
Mơn: TỐN
Khối lớp: 8,9
Đánh giá của Phịng giáo dục
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Tên tác giả: ..........................................................
Trường: ................................................................

A. Đặt vấn đề
I- cơ sở lý luận
3


Một trong những mục tiêu cơ bản của trường THCS là đào tạo và xây dựng
một thế hệ học sinh phát triển toàn diện về tri thức, đạo đức, thẩm mỹ nhằm đáp
ứng nhu cầu phát triển của thời đại.
Muốn giải quyết bài tốn khó khăn đó, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề
vững chắc lâu bền từ ngay trong phương pháp dạy học, đặc biệt là phương pháp

dạy học phát huy tính tích cực của học sinh.
Tốn học là một môn khoa học thể hiện rõ nhất và là mơn khoa học thể hiện
rõ nét tính sáng tạo, tích cực của học sinh. Để giúp học sinh học tập mơn Tốn có
hiệu quả, người giáo viên khơng chỉ nắm chắc kiến thức Toán đề cập mà điều cần
thiết nhất là phải có phương pháp truyền đạt thích hợp, giúp học sinh một mặt tự
tìm ra hướng giải cho bài toán, một mặt vận dụng tốt kiến thức để giải quyết các
vấn đề được đặt ra.
Tuy nhiên, trên thực tế rất nhiều giáo viên chúng ta chỉ chú trọng việc truyền
thụ đầy đủ kiến thức, đưa ra bài giải chi tiết, có đáp số đúng mà chưa chú ý nhiều
đến tính chủ động, sáng tạo của học sinh, giúp học sinh tự thiết lập hướng giải riêng
cho mình. Đối với dạng tốn “Lập hệ phương trình và phương trình” có sự liên hệ
thực tế rõ nhất, tính tích cực, chủ động của học sinh cần được khơi dậy và phát huy.
Hiểu được điều này bản thân tôi mạnh dạn khai thác “Bảng tóm tắt lời giải” giúp
học sinh tự thiết lập hệ phương trình và phương trình trong “Giải bài tốn bằng
cách lập hệ phương trình và phương trình” được đề cập ở toán 8, toán 9
II- cơ sở thực tế
Trong q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 8, lớp 9 phần đại số, đồng thời qua
quá trình kiểm tra, đánh giá sự tiếp thu của học sinh về sự vận dụng kiến thức vào
“Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình”. Tơi nhận thấy, mặc
dù học sinh nắm lý thuyết, các bước giải bài tốn rất chính xác nhưng việc thiết lập
hệ phương trình và phương trình của bài tốn gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí
khơng thiết lập được.
Mặc dù biết đây là một phần kiến thức khó đối với học sinh, bởi lẽ từ trước
đến nay các em chỉ quen giải những dạng tốn về tính giá trị của biểu thức hoặc
4


giải hệ phương trình, phương trình có sẵn, mặt khác do tư duy cịn hạn chế nên các
em rất khó khăn trong việc phân tích đề bài, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các đại
lượng, các yếu tố trong bài tốn nên khơng thiết lập được hệ phương trình hoặc

phương trình.
Do vậy việc hướng dẫn và giúp các em lập hệ phương trình- phương trình để
giải tốn, ngồi việc nắm vững lý thuyết thì các em phải biết vận dụng lý thuyết
vào thực hành. Phải phát huy tính tích cực, khả năng sáng tạo ở mỗi người, mỗi đối
tượng học sinh.
Cũng từ thực tế giảng dạy, tôi luôn suy nghĩ từng bước hồn thiện phương
pháp giảng dạy của mình, bản thân tôi phải thực hiện từ những mảng kiến thức nhỏ
nhất. Từ suy nghĩa đó tơi mạnh dạn đưa ra đề tài “Giúp học sinh thiết lập hệ
phương trình – phương trình từ các bài tốn thực tế thơng qua bảng tóm tắt lời
giải”.

B- giải quyết vấn đề
5


Xuất phát từ thực tế các em học sinh ngại khó khi hiết lập hệ phương trình –
phương trình trong “Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình và phương trình”.
Tơi thấy cần phải tạo cho các em niềm say mê, khai thác hết tính tích cực, tư duy
sáng tạo của các em. Cần giúp học sinh tự khai thác kiến thức thơng qua việc tóm
tắt bài giải qua một bảng tóm tắt mang tính sáng tạo, dễ hiểu nhất.
I - cơ sở lý thuyết
Khi “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay phương trình”trước hết phải
cho học sinh nắm được lược đồ “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và
phương trình”
Bước 1: Lập hệ phương trình (phương trình)
- Chọn ẩn, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có)
- Thiết lập các mối tương quan qua ẩn
- Lập hệ phương trình (phương trình)
Bước 2: Giải hệ phương trình (phương trình)
Bước 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời

Chú ý: Bước 1 có tính chất quyết định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta
chọn cái đó là ẩn số. Xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý
nghĩa thực tế.
II - Hệ thống bài tập minh hoạ
Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phải
phân ra từng bài toán, dạng toán, giới thiệu dạng chung, từng loại, các cơng thức,
kiến thức có liên quan. Dần định dạng “Bảng tóm tắt hướng giải” để thiết lập hệ
phương trình, phương trình.
1- Dạng tốn cấu tạo số:
a) Ví dụ 1:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn
chữ số hàng chục một đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại
thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.
6


*)Tóm tắt: Một số tự nhiên có hai chữ số biết
<1> Hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị
<2> Nếu viết ngược lại, số mới bé hơn số cũ 27 đơn vị
Tìm số tự nhiên đó ?
*) HD thiết lập bảng: Học sinh cần trả lời câu hỏi
? Cần xác định rõ bài tốn thuộc dạng tốn thiết lập phương trình hay hệ
phương trình (dạng lập phương trình )
? Bài tốn có những đại lượng nào tham gia, thơng thường thì đại lượng đó
chọn làm ẩn
? Trong bài tốn có sự biến đổi nào
? Quan hệ giữa các đại lượng được thể hiện như thế nào(theo <1>và <2>)
Bảng tóm tắt:
Số hàng chục

Số hàng đơn Số cần tìm

Số ban đầu

0 < a ≤ 9 ,a∈ N

vị
0
ab = 10a + b

Số sau khi đổi

b

a

ba = 10b + a

Quan hệ

2b – a =1

ab − ba = 27

Chú ý: Quan hệ <1> đưa ta đến phương trình : 2b – a =1
Quan hệ <2> đưa ta đến phương trình : ab − ba = 27
 2b − a = 1
 2b − a = 1


⇔
Ta có hệ phương trình : 
 ab − ba = 27  a − b = 3


b)Ví dụ 2:
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị bé hơn chữ số hàng
chục là 2. Tổng các bình phương của hai số bé hơn số đã cho 19 .
*) Tóm tắt: Số tự nhiên có hai chữ số biết:
(1) Số hàng đơ vị bé hơn số hàng chục là 2
(2) Tổng các bình phương của hai chữ số bé hơn số đã cho 19.
? Tìm số đó.
7


*) HD thiết lập bảng: Cần xác định rõ bài tốn thuộc dạng bài lập phương trình .
? Bài tốn có những đại lượng nào tham gia (hình thành số cột cho bảng)
? Có những biến đổi nào (hình thành số hàng cho bảng
? Quan hệ nào tạo nên mối liên hệ giữa các đại lượng (theo (1) và (2))
Bảng tóm tắt:
Số ban đầu

Số sau khi bình phương

Số hàng đơn vị

0 ≤ x ≤ 7, x ∈ N

x2

Số hàng chục

x+2

(x+2)2

Quan hệ

( x + 2) x =10(x+2)+x

x2+(x+2)2=10(x+2)+x-19

Chú ý: phương trình thiết lập: x2+(x+2)2=10(x+2)+x-19
2x2-7x+3 = 0
2. Toán chuyển động.
Với dạng toán chuyển động đều, học sinh cần nắm rõ quan hệ quãng đường
(S),thời gian(t), vận tốc(v) :

S= v.t

a)Ví dụ 1:
Hai người cùng đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km cùng xuất
phát một lúc .Vận tốc của người thứ nhất lớn hơn vận tốc của người thứ hai
3km/h nên người thứ nhất đến trước người thứ hai nửa giờ .Tính vận tốc của
mỗi người ?
*)Tóm tắt: Hai người cùng đi từ A đến B cách nhau 30km
(1) Vận tốc của người thứ nhất hơn vận tốc của người thứ hai 3km/h
(2) Người thứ nhất đến B trước người thứ hai 1/2giờ
? Tính vận tốc của mỗi người
*) HD thiết lập bảng:

? Dạng bài thuộc thể loại nào (toán chuyển động đều)
? Có mấy đối tượng tham gia vào bài toán (cơ sở thiết lập số cột)
? Trong bài tốn có những đại lượng nào (cơ sở thiết lập số hàng)
8


Quan hệ giữa các đối tượng phụ thuộc vào đại lượng nào (thời gian)
HS cần định dạng cho bảng cần thiết lập gồm 4 hàng, 4 cột
Bảng tóm tắt: (Gọi vận tốc của người thứ nhất là x)
Vận tốc (km/h)

Quãng

Người thứ I

x>3

(km)
30

Người thứ II

x-3

30

Quan hệ

30
30 1

=
x −3
x
2

Chú ý: Phương trình cần lập :

đường Thời gian (h)
30
x
30
x −3

30
30
1
=  x2- 3x - 180 = 0
x −3 x
2

b) Ví dụ 2:
Một xuồng máy xi dịng sơng 30km và ngược dịng 28km hết một thời
gian bằng thời gian mà xuồng đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc
của xuồng biết rằng vận tốc của dịng chảy 3km/h ?
*) Tóm tắt: Một xuồng máy
Xuôi 30km
Ngược 28km

=> hết thời gian bằng thời gian của xuồng đi 59,5km

Vận tốc của dịng nước 3km/h
? Tính vận tốc của xuồng khi nước yên lặng
*) HD thiết lập bảng : Học sinh cần xác định rõ đay là dạng tốn chuyển động
xi, ngược có sức cản , nên có :
Vxi = Vthực + Vcản
Vngược = Vthực - Vcản
? Dạng bài lập hệ phương trình hay lập phương trình (lập phương trình)
? Dựa vào đâu để thiết lập phương trình (mối quan hệ về thời gian)
? Hs cần định dạng cho bảng gồm 1 đối tượng (cano)
3 đại lượng (S, v, t)
9


3 trường hợp (xi, ngược, thực)
Bảng tóm tắt: (Gọi vận tốc của xuồng là x)
Vận tốc(km/h)

Quãng đường (km)

Thời gian (h)

Khi nước yên

x>3

59,5

Khi đi xuôi

x+3

30

Khi đi ngược

x-3

28

59,5
x
30
x+3
28
x −3

Quan hệ

59,5
30
28
=
+
x
x +3 x −3

Chú ý: Phương trình cần lập

59,5
30

28
=
+
x
x +3 x −3

4. Dạng tốn liên quan đến hình học.
Đối với dạng tốn hình học, học sinh cần nắm được các cơng thức tính chu
vi, diện tích các hình chữ nhật, hình vng, hình thang, hình tam giác…..
+ Hình chữ nhật cạnh a, b có: P = (a+b)2 và S = a.b
+ Hình vng có cạnh a thì :

P= 4a

và S= a2

+ Hình thang có cạnh đáy a, b và đường cao h thì : S =

( a + b) h
2

+Tam giác vuông cạng góc vng a, b cạnh huyền c thì : P= a+ b+ c và S =

ab
2

+ Tam giác cạnh a,b,c các đường cao tương ứng ha, hb, hc thì P= a+ b+ c
S=

aha bhb chc

=
=
2
2
2

a)Ví dụ 1:
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m . Người ta làm một lối đi xung
quanh vườn (thuộc đất của khu vườn) rộng 2m, diện tích cịn lại để trồng là
4256m2. Tính kích thước khu vườn?
*) Tóm tắt:

Khu vườn hình chữ nhật có P=280 m (1)
Đào lối đi quanh vườn rộng 2m
10


Diện tích cịn lại 4256 m2

(2)

? Tính kích thước của khu vườn
*)HD thiết lập bảng.
Hs cần xác định đây là dạng tốn thiết lập hệ phương trình (hay phương
trình)
? Bài tốn có những đối tượng nào tham gia (hình thành số hàng của bảng)
? Bài tốn có bao nhiêu đại lượng biết và chưa biết (hình thành số cột bảng)
? Quan hệ giữa các đại lượng, đối tượng phụ thuộc vào đâu (theo (1) và (2))
Bảng tóm tắt:
Chiều

Lúc đầu

dài Chiều rộng (m) Chu vi (m)

(m)
4
Sau khi có x - 4

Diện tích (m2)

4
280=2(x+y)

x.y =S

y-4

………….

(x-4)(y-4) =4256

lối đi
 2( x + y ) = 280
( x − 4)( y − 4) = 4256

Chú ý : Hệ phương trình thiết lập 
b)Ví dụ 2:

Cạnh huyền của một tam giác vng bằng 10 m. Hai cạnh góc vng hơn kém
nhau 2m .Tính các cạnh góc vng của tam giác đó ?
*) Tóm tắt: Tam giác vng có
+ Cạnh huyền là 10m
+Cạnh góc vng lớn hơn cạnh nhỏ 2m
? Tính hai cạnh góc vng
*) HD lập bảng: Ta xẽ thiết lập phương trình từ bài tốn
? Bài tốn u cầu ta tìm đại lượng nào (2 đại lượng=> số cột của bảng)
? Quan hệ giữa các đại lượng (Thiết lập phương trình )
Bảng tóm tắt. ( Gọi cạnh góc vng lớn là x)
Cạnh lớn
Cạnh bé

Lúc đầu (m)
2 < x < 10
x–2
11

Khi bình phương (m2)
x2
(x-2)2


Cạnh huyền
10
102 = x2 + (x-2)2
Chú ý : Phương trình lập được có dạng : 102 = x2 + (x-2)2
5. Dạng tốn cơng việc (làm chung, làm riêng)
Trong dạng tốn này học sinh cần nắm được mối quan hệ giữa số sản phẩm,
thời gian, năng suất của một quá trình lao động.

Số sản phẩm = Năng suất

x

Thời gian

Ví dụ:
Hai vịi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1giờ 20’ thì bể đầy. Nếu mở
vịi thứ nhất trong 10’, vịi thứ hai trong 12’ thì được 2/15 bể . Hỏi nếu mỗi vịi
chảy

riêng sau bao lâu thì đầy?

*) Tóm tắt:
+Hai vịi cùng chảy mất 1h20’=80’ thì đầy
+Vịi I chảy trong 10’, vòi II chảy trong 12’ được

2
bể
15

? Nếu chảy riêng mỗi vịi sau bao lâu thì đầy bể
*) HD thiết lập bảng :
Học sinh cần định hình số cột số dòng của bảng theo các đối tượng, đại
lượng tham gia trong bài tốn.
? Có mấy đối tượng cần tìm
? Năng suất chẩy của mỗi vòi trong 1’
? năng suất thực tế của mỗi vịi
Bảng tóm tắt: (Gọi x, y là thời gian vòi I, vòi II chẩy riêng để đầy bể)

Vòi I

Thời gian
chảy đầy bể
(phút)
80 < x

Năng suất
chảy trong
1’(phần bể)
1
x

Năng suất thực tế
(phần bể)
10
x

12


Vòi II
Cả
Vòi

80 < y
hai 80

1
y

1 1 1
= +
80 x y

12
y
2 10 12
= +
15 x
y

1
1 1
+ =
 x y 80

Chú ý: Hệ phương trình cần lập 
10 + 12 = 2
x
y
15


6. Bài toán Lý – Hoá.
Học sinh cần chú ý : M =

m
(M khối lượng riêng, m khối lượng, v thể tích)
V

*)Ví dụ:
Người ta trộn 8g chất A với 6g chất B có khối lượng riêng nhỏ hơn 0,2g/cm 3
để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 0,7g/cm 3. Tìm khối lượng riêng
của mỗi chất ?
*) Tóm tắt:
Trộn 8g chất lỏng A với 6g chất lỏng B có khối lượng riêng nhỏ hơn
0,2g/cm3 .
=> được một hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3.
? Tính khối lượng riêng của từng chất
*) HD thiết lập bảng :
? Có những đối tượng nào tham gia bài tốn (hình thành số cột)
Mối quan hệ giữa các đại lượng được thể hiện như thế nào? (Hình thành
phương trình)
? Thể tích của chất A được tính như thế nào
? Thể tích của chất B được tính như thế nào
? Thể tích của chất lỏng
Bảng tóm tắt :

Chất A

Khối lượng riêng
(g/cm3)
0,2 < x
13

Khối lượng (g)

Thể tích chất lỏng
(cm3)

8

8
x


Chất B

x – 0,2

6

Cả hai chất

0,7

14

Chú ý: Phương trình được thiết lập là :

6
x − 0, 2
6
14
8
+ x − 0, 2 = 0, 7
x

6
14

8
+ x − 0, 2 = 0, 7
x

III. Một số bài tập tham khảo.
Bài 1: Cho một số có hai chữ số, hiệu hai chữ số của nó là 6. Lấy số đã cho chia
cho số viết theo thứ tự ngược lại ta được thương là 2 và số dư là 26. Tìm số đó?
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của các chữ số là 9. Nếu viết các
chữ số theo thứ tự ngược lại ta được một số bằng 2/9 số ban đầu.
Bài 3: Hai người khách du lịch xuất phát từ hai thành phố khác nhau cách nhau
38km. Họ đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 4 giờ. Hỏi vận tốc cuả mỗi người,
biết rằng đến khi gặp nhau người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai 2km.
Bài 4: Một chiếc ca nơ xi dịng theo một khúc sơng trong 3 giờ và đi ngược dịng
trong 4 giờ được 380 km. Lần khác, ca nô nay đi xi dịng trong 1 giờ và ngược
dịng trong 30 phút được 85 km. Hãy tính vận tốc thật của ca nơ và vận tốc dịng
nước (hai lần ca nơ đi cùng một vận tốc).
Bài 5: Một ca nô xuôi dịng sơng 39km, rồi ngược dịng 28 km hết một thời gian
bằng thời gian nó đi 70 km trong hồ nước n lặng. Tính vận tốc của ca nơ trong
nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 3km/h.
Bài 6: Một ô tô đi từ A đến B theo dự tính mất 5 giờ. Nhưng khi đi được 56 km nó
dừng lại 10 phút. Để đến B đúng thời gian dự tính ơ tơ phải tăng vận tốc thêm
2km/h. Tính khoảng cách AB.
Bài 7: Một hình thang có diện tích 140 cm 2, chiều cao bằng 8 cm. Tính độ dài các
đáy cuả hình thang, biết rằng chúng hơn kém nhau 15cm.
Bài 8: Hai cạnh của một hình chữ nhật hơn kém nhau 6 cm. Diện tích của nó bằng
40 cm2. Tính các cạnh của hình chữ nhất đó.

14

Bài 9: Một vườn hoa hình tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy tương ứng. Nếu
tăng chiều cao 3 cm và thu hẹp đáy tương ứng 2 m thì diện tích vườn tăng thêm
24m2. Tính chiều cao và đáy tương ứng của vườn hoa sau khi tu sửa.
Bài 10: Hai máy cày cùng cày một thửa ruộng thì 2 giờ xong. Nếu làm riêng thì
máy thứ nhất hồn thành công việc sớm hơn máy thứ hai 3 giờ. Hỏi mỗi máy cày
nếu làm riêng thì sau bao lâu cơng việc hồn thành?
Bài 11: Hai người cùng làm chung một cơng việc trong 2 ngày thì hồn thành 1/3
cơng việc. Người thứ nhất làm trong 2 ngày bằng người thứ hai là trong 3 ngày.
Hỏi nếu làm riêng sau bao lâu mỗi người hồn thành cơng việc của mình ?
Bài 12: Khối lượng của 600cm2 nhôm và 1,5dm2 sắt là 13,32 kg. Tìm khối lượng
riêng của nhơm, biết rằng nó nhỏ hơn khối lượng riêng của sắt 5,1 kg/dm3.
IV- kết quả
* Trước khi áp dụng đề tài tôi thấy:
- Hứng thú học phần: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – phương
trình” cịn thấp, nhiều học sinh rất ngại khi gặp dạng toán này.
- Chất lượng bài kiểm tra có bài tốn lập hệ phương trình – phương trình ở
khối 8, khối 9 trường tơi rất thấp, nhiều học sinh không thể định hướng được
phương pháp giải, dạng tốn để hình thành phương trình, hệ phương trình.
- Khả năng tư duy của học sinh còn hạn chế, học sinh thường thụ động trong
việc tiếp thu kiến thức khi giải các bài toán liên hệ thực tế.
Sau khi hồn thiện đề tài, thơng qua nhóm chun mơn của trường và qua
việc thực hiện giảng dạy trong hai năm học 2006-2007 và 2007-2008, trong q
trình ơn thi cho học sinh Khối 9 vào THPT. Kết quả cho thấy:
- Từ một dạng tốn khó, học sinh đã tự tin và hứng thú học tập hơn, nhiều
em có lời giải hay, gọn, trình bày khoa học.
- Kỹ năng thiết lập hệ phương trình – phương trình của học sinh tốt hơn khi
gặp các bài toán liên hệ thực tế.

15

- Với học sinh trung bình, nhiều em đã bước đầu định hình lời giải, có khả
năng tự thiết lập phương trình và hệ phương trình cho bài tốn dưới sự giúp đỡ nhỏ
của giáo viên.
- Đối với học sinh Khá, Giỏi 100 % các em đã giải thành thạo dạng tốn
“Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình, phương trình”.
- Qua nghiên cứu và dạy thực nghiệm trong 4 năm học tơi có thống kế kết
quả cụ thể (tỷ lệ % học sinh đạt yêu cầu khi giải các bài tốn bằng cách lập hệ
phương trình – phương trình).
Học sinh trung bình
Học sinh khá - giỏi

2005-2006
0%
57%

2006-2007
1,2%
65,7%

2007-2008 2008-2009
3,75%
10,3%
75,2%
89,3%

V- điều kiện áp dụng và bài học kinh nghiệm:
1- Điều kiện áp dụng:
Cách làm như trên của tơi có thể áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh,
cho hai khối lớp 8 và khối 9. Đặc biết rất phù hợp cho việc phát triển tư duy, sáng

tạo của học sinh, rèn khả năng liên hệ thực tế tốt đối với học sinh. Góp phần tích
cực vào việc hồn thiện kỹ năng giải bài toán cho học sinh.
2- Bài học kinh nghiệm:
Việc áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy có hiệu quả thì người giáo viên
càn lưu ý:
- Dành nhiều thời gian để tìm hiểu kiến thức về “Giải bài tốn bằng cách lập
hệ phương trình – phương trình”, phân loại các bài toán theo dạng đã học.
- Chọn các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh, bài dễ với học sinh Trung
bình, khó dần với học sinh Khá - Giỏi.
- Phải thường xuyên cộng tác cùng đồng nghiệp trong nhóm, các đồng
nghiệp ở trường khác dạy thực nhiệm cho các đối tượng học sinh.
- Trong quá trình dạy cần rèn kỹ năng hình thành bảng tóm tắt lời giải cho
học sinh, số hàng, số cột, tên gọi các đại lượng. Sự liên hệ giữa bài toán với bảng
để thiết lập các mối quan hệ.
16


- Trước khi giải một dạng toán nào, giáo viên phải thiết lập mẫu nội dung
bảng, hướng dẫn, đôn đốc, chỉnh sửa cho học sinh trong quá trình làm bài.

VI- Điểm còn hạn chế và hướng đề xuất:
1- Điểm còn hạn chế:
Tuy vậy, bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn cịn một số ít học sinh
yếu, lười học chưa có khả năng tự mình thiết lập được dạng bảng. Chưa hình dung
được số hàng, số cột trong quá trình thiết lập.
Một yếu tố khác cũng ảnh hưởng đến chất lượng học của các em có lẽ là
phương pháp dạy và khả năng truyền đạt, khơi dậy tính sáng tạo của học sinh, của
bản thân tơi cịn hạn chế.
- Trong sáng kiến này số lượng ví dụ mẫu đưa ra cịn hạn chế và nội dung
bảng khơng phải là lời giải chi tiết, cụ thể cho bài tốn, nó chỉ giúp học sinh hình

thành hệ phương trình, phương trình để chuẩn bị cho các bước kế tiếp. Vì vậy, học
sinh nên thiết lập ngoài vở nháp.
2- Hướng đề xuất:
Trong quá trình giảng dạy, chắc ai cũng mong muốn cho học sinh hiểu bài,
chất lượng đại trà được nâng cao,. Vì vậy nó địi hỏi mỗi giáo viên chúng ta cần
phải:
- Có một kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với từng
đối tượng học sinh.
- Giáo viên cần sưu tầm nhiều dạng bài, nhiều phương pháp để thiết lập
bảng.
- Cần áp dụng tối đa phương pháp đổi mới dạy học toán theo hướng phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Nhà trường cũng như các cấp, ngành có chức năng cần tạo điều kiện giúp
đỡ về thời gian cũng như tài liệu, tạo điều kiện về phương pháp dạy học hiện đại
để giáo viên khai thác được nhiều phương pháp dạy học.
17


C- kết luận
Những biện pháp và việc làm của tôi như đã trình bày ở trên bước đầu chưa
đạt được kết quả chưa thật mỹ mãn đối với tâm ý của bản thân. Tuy nhiên, nếu thực
hiện tốt, thường xuyên tơi nghĩ nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạy học mà
ngành đang quan tâm và chỉ đạo. Mặt khác, với cách trình bày như trên tơi thiết
nghĩ chúng ta có thể áp dụng cho một số phần khác như: Giải phương trình quy về
phương trình bậc hai, các phương pháp chứng minh hình học.
Tơi tin rằng những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện
pháp nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết qua sách vở cũng như của thầy
cô đi trước và các bạn đồng nghiệp. Vì vậy tơi rất mong được sự góp ý, xây dựng
quả q thầy cơ giáo, tiếp tục giúp đỡ tơi hồn thiện sáng kiến, từng bước hồn
thiện phương pháp dạy học của mình. Từ đó, bản thân tơi có điều kiện cống hiến

nhiều hơn nữa trí lực cho sự nghiệp giáo dục mà Bác Hồ kính yêu của chúng ta
hằng mong ước.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
***********

GIÚP HỌC SINH THIẾT LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH
18


TỪ CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ
THƠNG QUA BẢNG TĨM TẮT LỜI GIẢI
Mơn: TỐN
Khối, lớp: 8, 9

PHỊNG GIÁO DỤC HUYỆN TỨ KỲ
TRƯỜNG THCS NGỌC KỲ
Số phách

GIÚP HỌC SINH THIẾT LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH
TỪ CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ
19


THƠNG QUA BẢNG TĨM TẮT LỜI GIẢI
Mơn: TỐN
Tên tác giả: VŨ THÀNH KHỞI

Đánh giá của nhà trường
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................

Số phách

GIÚP HỌC SINH THIẾT LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH
TỪ CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ
THƠNG QUA BẢNG TĨM TẮT LỜI GIẢI

20


Mơn: TỐN
Khối lớp: 8,9
Đánh giá của Phịng giáo dục
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Tên tác giả: ..........................................................
Trường: ................................................................
A. Đặt vấn đề
I- cơ sở lý luận

Một trong những mục tiêu cơ bản của trường THCS là đào tạo và xây dựng
một thế hệ học sinh phát triển toàn diện về tri thức, đạo đức, thẩm mỹ nhằm đáp
ứng nhu cầu phát triển của thời đại.
Muốn giải quyết bài tốn khó khăn đó, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề
vững chắc lâu bền từ ngay trong phương pháp dạy học, đặc biệt là phương pháp
dạy học phát huy tính tích cực của học sinh.
Tốn học là một môn khoa học thể hiện rõ nhất và là mơn khoa học thể hiện
rõ nét tính sáng tạo, tích cực của học sinh. Để giúp học sinh học tập mơn Tốn có
hiệu quả, người giáo viên khơng chỉ nắm chắc kiến thức Toán đề cập mà điều cần
thiết nhất là phải có phương pháp truyền đạt thích hợp, giúp học sinh một mặt tự
tìm ra hướng giải cho bài toán, một mặt vận dụng tốt kiến thức để giải quyết các
vấn đề được đặt ra.

21


Tuy nhiên, trên thực tế rất nhiều giáo viên chúng ta chỉ chú trọng việc truyền
thụ đầy đủ kiến thức, đưa ra bài giải chi tiết, có đáp số đúng mà chưa chú ý nhiều
đến tính chủ động, sáng tạo của học sinh, giúp học sinh tự thiết lập hướng giải riêng
cho mình. Đối với dạng tốn “Lập hệ phương trình và phương trình” có sự liên hệ
thực tế rõ nhất, tính tích cực, chủ động của học sinh cần được khơi dậy và phát huy.
Hiểu được điều này bản thân tơi mạnh dạn khai thác “Bảng tóm tắt lời giải” giúp
học sinh tự thiết lập hệ phương trình và phương trình trong “Giải bài tốn bằng
cách lập hệ phương trình và phương trình” được đề cập ở tốn 8, tốn 9
II- cơ sở thực tế
Trong q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 8, lớp 9 phần đại số, đồng thời qua
quá trình kiểm tra, đánh giá sự tiếp thu của học sinh về sự vận dụng kiến thức vào
“Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình và phương trình”. Tơi nhận thấy, mặc
dù học sinh nắm lý thuyết, các bước giải bài tốn rất chính xác nhưng việc thiết lập
hệ phương trình và phương trình của bài tốn gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí

khơng thiết lập được.
Mặc dù biết đây là một phần kiến thức khó đối với học sinh, bởi lẽ từ trước
đến nay các em chỉ quen giải những dạng tốn về tính giá trị của biểu thức hoặc
giải hệ phương trình, phương trình có sẵn, mặt khác do tư duy còn hạn chế nên các
em rất khó khăn trong việc phân tích đề bài, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các đại
lượng, các yếu tố trong bài tốn nên khơng thiết lập được hệ phương trình hoặc
phương trình.
Do vậy việc hướng dẫn và giúp các em lập hệ phương trình- phương trình để
giải tốn, ngồi việc nắm vững lý thuyết thì các em phải biết vận dụng lý thuyết
vào thực hành. Phải phát huy tính tích cực, khả năng sáng tạo ở mỗi người, mỗi đối
tượng học sinh.
Cũng từ thực tế giảng dạy, tơi ln suy nghĩ từng bước hồn thiện phương
pháp giảng dạy của mình, bản thân tơi phải thực hiện từ những mảng kiến thức nhỏ
nhất. Từ suy nghĩa đó tơi mạnh dạn đưa ra đề tài “Giúp học sinh thiết lập hệ
22


phương trình – phương trình từ các bài tốn thực tế thơng qua bảng tóm tắt lời
giải”.

B- giải quyết vấn đề
Xuất phát từ thực tế các em học sinh ngại khó khi hiết lập hệ phương trình –
phương trình trong “Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình và phương trình”.
Tơi thấy cần phải tạo cho các em niềm say mê, khai thác hết tính tích cực, tư duy
sáng tạo của các em. Cần giúp học sinh tự khai thác kiến thức thơng qua việc tóm
tắt bài giải qua một bảng tóm tắt mang tính sáng tạo, dễ hiểu nhất.
I - cơ sở lý thuyết
Khi “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay phương trình”trước hết phải
cho học sinh nắm được lược đồ “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và
phương trình”

Bước 1: Lập hệ phương trình (phương trình)
- Chọn ẩn, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có)
- Thiết lập các mối tương quan qua ẩn
23


- Lập hệ phương trình (phương trình)
Bước 2: Giải hệ phương trình (phương trình)
Bước 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời
Chú ý: Bước 1 có tính chất quyết định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta
chọn cái đó là ẩn số. Xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý
nghĩa thực tế.
II - Hệ thống bài tập minh hoạ
Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phải
phân ra từng bài toán, dạng tốn, giới thiệu dạng chung, từng loại, các cơng thức,
kiến thức có liên quan. Dần định dạng “Bảng tóm tắt hướng giải” để thiết lập hệ
phương trình, phương trình.
1- Dạng tốn cấu tạo số:
a) Ví dụ 1:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn
chữ số hàng chục một đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại
thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.
*)Tóm tắt: Một số tự nhiên có hai chữ số biết
<1> Hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị
<2> Nếu viết ngược lại, số mới bé hơn số cũ 27 đơn vị
Tìm số tự nhiên đó ?
*) HD thiết lập bảng: Học sinh cần trả lời câu hỏi
? Cần xác định rõ bài toán thuộc dạng tốn thiết lập phương trình hay hệ
phương trình (dạng lập phương trình )
? Bài tốn có những đại lượng nào tham gia, thơng thường thì đại lượng đó

chọn làm ẩn
? Trong bài tốn có sự biến đổi nào
? Quan hệ giữa các đại lượng được thể hiện như thế nào(theo <1>và <2>)
Bảng tóm tắt:
24


Số hàng chục

Số hàng đơn Số cần tìm

Số ban đầu

0 < a ≤ 9 ,a∈ N

vị
0
ab = 10a + b

Số sau khi đổi

b

a

ba = 10b + a

Quan hệ

2b – a =1

ab − ba = 27

Chú ý: Quan hệ <1> đưa ta đến phương trình : 2b – a =1
Quan hệ <2> đưa ta đến phương trình : ab − ba = 27
 2b − a = 1
 2b − a = 1

⇔
 ab − ba = 27  a − b = 3


Ta có hệ phương trình : 
b)Ví dụ 2:

Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị bé hơn chữ số hàng
chục là 2. Tổng các bình phương của hai số bé hơn số đã cho 19 .
*) Tóm tắt: Số tự nhiên có hai chữ số biết:
(1) Số hàng đơ vị bé hơn số hàng chục là 2
(2) Tổng các bình phương của hai chữ số bé hơn số đã cho 19.
? Tìm số đó.
*) HD thiết lập bảng: Cần xác định rõ bài toán thuộc dạng bài lập phương trình .
? Bài tốn có những đại lượng nào tham gia (hình thành số cột cho bảng)
? Có những biến đổi nào (hình thành số hàng cho bảng
? Quan hệ nào tạo nên mối liên hệ giữa các đại lượng (theo (1) và (2))
Bảng tóm tắt:
Số ban đầu

Số sau khi bình phương

Số hàng đơn vị

0 ≤ x ≤ 7, x ∈ N

x2

Số hàng chục

x+2

(x+2)2

Quan hệ

( x + 2) x =10(x+2)+x

x2+(x+2)2=10(x+2)+x-19

Chú ý: phương trình thiết lập: x2+(x+2)2=10(x+2)+x-19
2x2-7x+3 = 0
25