Đồng cấu chuyển singer qua ngôn ngữ đại số lambda và dẫy phổ may

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHAN HOÀNG CHƠN
ĐỒNG CẤU CHUYỂN SINGER
QUA NGÔN NGỮ ĐẠI SỐ LAMBDA
VÀ DÃY PHỔ MAY
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2011
Mục lục
Mục lục v
Mở đầu 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 12
1.1. Đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Giải thức bar và cobar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Dãy phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4. Đồng cấu chuyển đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 2. Đại số lambda và đồng cấu chuyển đại số 30
2.1. Giới thiệu về đại số lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Đại số lambda dưới lăng kính của lý thuyết bất biến modular . . . . 33
2.3. Cấu trúc A -môđun của đại số lambda . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4. Biểu diễn của đồng cấu chuyển đại số trên đại số lambda . . . . . . 44
2.5. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6. Đồng cấu chuyển đại số hạng 6 và 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chương 3. Dãy phổ May và đồng cấu chuyển đại số 63
3.1. Dãy phổ May . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. Đồng cấu chuyển đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3. Hai bài toán “hit” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4. Ảnh của đồng cấu chuyển hạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
v
3.5. Ảnh của đồng cấu chuyển hạng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.6. Chứng minh Bổ đề 3.4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Kết luận 92
Dự kiến về những nghiên cứu tiếp theo 93
Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án 95
Tài liệu tham khảo 96
Phụ lục A. Cơ sở đơn thức của đại số Araki-Kudo- Dyer-Lashof 104
A.1. Giới thiệu về đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof . . . . . . . . . . . . 104
A.2. Cơ sở của đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof . . . . . . . . . . . . . . 106
A.3. Kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
vi
Mở đầu
Bài toán phân loại kiểu đồng luân của các không gian tôpô là một vấn đề trọng
tâm trong Tôpô đại số. Các hàm tử đồng điều, đối đồng điều kỳ dị là các bất biến
đồng luân thường được sử dụng, tuy nhiên chúng chưa đủ mạnh để giải quyết bài
toán này. Năm 1947, Steenrod [67] xây dựng, với mỗi k ≥ 0, một toán tử đối đồng
điều (được gọi là toán tử Steenrod)
Sq
k
: H
∗
(X) → H
∗+k
(X),
tác động tự nhiên lên đối đồng điều kỳ dị (modulo 2) của không gian tôpô X. Đại số
sinh bởi các Sq
i
(i ≥ 0) gọi là đại số Steenrod. Đại số này thường được ký hiệu là
A . Đối đồng điều kỳ dị (mod 2) của không gian tôpô X có cấu trúc của một A -đại
số không ổn định. Trong nhiều trường hợp, cấu trúc bổ sung này cho phép nhận biết

sự khác biệt kiểu đồng luân của các không gian tôpô mà đồng điều và đối đồng điều
không nhận biết được.
Cấu trúc của đại số Steenrod đã được Cartan [88], Adem [3], Serre [92], Milnor
[50] nghiên cứu một cách sâu sắc. Bên cạnh các cơ sở cộng tính cổ điển đã biết (xem
Steenrod [68], Serre [92], Milnor [50]), những năm gần đây, nhiều cơ sở cộng tính
khác của đại số Steenrod đã được các tác giả Arnon [6], Wall [79], Wood [85, 86],
Palmieri-Wang [57] xây dựng và nghiên cứu.
Một bài toán quan trọng trong chương trình phân loại kiểu đồng luân của các
không gian tôpô là xác định nhóm đồng luân, đặc biệt là nhóm đồng luân ổn định,
của mặt cầu. Năm 1958, Adams [1] xây dựng một dãy phổ hội tụ về thành phần
2-xoắn của nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu. Trang E
2
của dãy phổ này (được
gọi là dãy phổ Adams) chính là đối đồng điều của đại số Steenrod, Ext
∗,∗
A
(F
2
, F
2
).
Kể từ đó, việc xác định đối đồng điều của đại số Steenrod trở thành một bài toán
quan trọng. Vấn đề này được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ những
năm 60 của thế kỷ trước, đáng chú ý nhất là các công trình của Adams [2], Wang
1
[80], May [46, 47], Tangora [74], Lin [37, 38], Lin-Mahowald [39], Bruner [11].
Tuy nhiên, đây là một bài toán rất khó. Cho đến nay Ext
s,∗
A
(F

2
, F
2
) chỉ mới được xác
định hoàn toàn với s ≤ 5 (xem [80], [37, 38], [15]). Từ các nghiên cứu của Adams
[2], Mahowald-Tangora [44], đã có một vài đại số con vô hạn của Ext
∗,∗
A
(F
2
, F
2
)
được xây dựng như đại số Adams, được sinh bởi các h
i
∈ Ext
1,2
i
A
(F
2
, F
2
) (xem [2]),
đại số wedge (xem [44],[45]); tuy nhiên, các quan hệ trên đại số Adams vẫn chưa
được xác định hết. Khi s > 5, người ta chỉ mới biết được một số thông tin rời rạc về
Ext
s,∗
A
(F

2
, F
2
) (xem [11]).
Các công cụ chủ yếu để xác định đối đồng điều của đại số Steenrod là đại số
vi phân phân bậc lambda (xem [8], [60], [62], [80], [38], [15]), dãy phổ May (xem
[46, 47], [74], [37]) và giải thức cực tiểu của A (xem [11]).
Với ý tưởng nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod bằng công cụ lý thuyết
bất biến modular, năm 1989, Singer [63] xây dựng một đồng cấu thuần túy đại số,
gọi là đồng cấu chuyển đại số (hay còn gọi là đồng cấu chuyển Singer):
T r
s
: F
2
⊗
GL
s
P
A
H
∗
(BV
s
)
//
Ext
s,s+∗
A
(F
2

, F
2
).
Ở đây, BV
s
là không gian phân loại của nhóm cộng của không gian véctơ s chiều
V
s
trên trường F
2
; ký hiệu P
A
H
∗
(BV
s
) dùng để chỉ không gian con của H
∗
(BV
s
)
gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương. Nhóm tuyến
tính tổng quát GL
s
tác động trên V
s
, do đó nó tác động trên đồng điều và đối đồng
điều của BV
s
. Vì các tác động của GL

s
và của đại số Steenrod giao hoán với nhau
nên có một tác động cảm sinh của GL
s
trên P
A
H
∗
(BV
s
).
Đồng cấu Tr
s
có thể được xem như một phiên bản đại số của đồng cấu chuyển
hình học π
S
∗
((BV
s
)
+
) → π
S
∗
(S
0
) trên trang E
2
của dãy phổ Adams (xem [52]).
Singer cũng đã chứng minh rằng Tr

s
là đẳng cấu với s ≤ 2; và ông đưa ra giả
thuyết rằng T r
s
là đơn cấu với mọi s ≥ 1 [63]. Sau đó, đồng cấu chuyển đại số đã
được nhiều tác giả nghiên cứu. Năm 1993, sử dụng một số tính toán của Kameko
[34], Boardman [7] chứng minh rằng T r
3
cũng là một đẳng cấu. Ảnh của Tr
4
được
xác định hoàn toàn bởi các tác giả: Bruner-Hà-Hưng [13], N. H. V. Hưng [28],
L. M. Hà [25], T. N. Nam [91], N. H. V. Hưng-V. T. N. Quỳnh [33].
Vì T r = ⊕
s
T r
s
là một đồng cấu đại số và Tr
1
là một đẳng cấu (xem [63]), nên
ảnh của đồng cấu chuyển đại số chứa đại số Adams sinh bởi các h
i
. Sự kiện này
cùng với các tính toán nói trên cho đồng cấu chuyển đại số ở hạng thấp chứng tỏ
2
rằng đồng cấu chuyển đại số có khả năng phát hiện được nhiều phần tử không tầm
thường của Ext
∗,∗
A
(F

2
, F
2
).
Đồng cấu T r
s
, với s ≥ 5, đã bước đầu được nghiên cứu bởi Singer [63] và V. T.
N. Quỳnh [61]. Bên cạnh đó, dùng tính giao hoán của toán tử Kameko (xem [34])
và toán tử Sq
0
cổ điển (xem [40], [48]) thông qua đồng cấu chuyển đại số [51], N.
H. V. Hưng [28] chứng minh rằng, khi s ≥ 5, T r
s
không là đẳng cấu tại vô hạn bậc.
Tuy nhiên, tại những bậc đang xét, việc T r
s
không là đơn cấu hay không là toàn cấu
vẫn chưa được biết đến nên giả thuyết của Singer vẫn còn mở.
Dựa vào các tính toán trên F
2
⊗
A
H
∗
(BV
s
), N. H. V. Hưng và Kuhn đã đưa ra
một số giả thuyết thú vị về cấu trúc của đối đồng điều của đại số Steenrod (xem [28],
[9]). Cụ thể, trong [58], Peterson đưa ra giả thuyết rằng F
2

⊗
A
H
d
(BV
s
) = 0 nếu
α(d + s) > s, trong đó α(n) là số các chữ số 1 trong khai tr iển nhị phân của n. Giả
thuyết này, sau đó, đã được Wood [84] chứng minh năm 1989. Từ quan sát này, Kuhn
[9] đã đưa ra giả thuyết rằng Ext
s,t
A
(F
2
, F
2
) = 0 nếu α(t) > s. Giả thuyết của Kuhn
đã được Bruner kiểm chứng và xác nhận tại các bậc mà ở đó nhóm Ext
s,t
A
(F
2
, F
2
)
đã được xác định. Mặt khác, khi nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số, N. H. V. Hưng
[28] chứng minh rằng khi tác động toán tử Kameko lên F
2
⊗
GL

s
P
A
H
∗
(BV
s
) lặp lại
nhiều nhất s − 2 lần thì ta nhận được một đẳng cấu lên ảnh của nó. Một giả thuyết
tương tự được N. H. V. Hưng [28], [9] đưa ra là tồn tại một số r, phụ thuộc vào s, sao
cho (Sq
0
)
i−r
: Im(Sq
0
)
r
→ Im(Sq
0
)
i
là một đẳng cấu, trong đó ký hiệu Im(Sq
0
)
i
là ảnh của (Sq
0
)
i

trên Ext
s
A
(F
2
, F
2
). Những giả thuyết này, nếu đúng, cho thấy mối
liên hệ mật thiết giữa cấu trúc của F
2
⊗
GL
s
P
A
H
∗
(BV
s
) và Ext
s,∗
A
(F
2
, F
2
) thông qua
đồng cấu chuyển của Singer.
Vì vậy, đồng cấu chuyển đại số được kỳ vọng là một công cụ quan trọng để nghiên
cứu đối đồng điều của đại số Steenrod.

Các tính toán của Singer [63] được thực hiện chủ yếu trên đối ngẫu của đồng cấu
chuyển đại số sau
T r
∗
s
: Tor
A
s,s+t
(F
2
, F
2
)
//
(F
2
⊗
A
H
t
(BV
s
))
GL
s
.
Do đó, việc nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod thông qua đồng cấu
chuyển đại số có liên quan mật thiết đến bài toán xác định tập sinh cực tiểu của
H
∗

(BV
s
), xem như môđun trên đại số Steenrod. Bài toán này được gọi là bài toán
“hit”, được khởi xướng gần như đồng thời bởi Peterson [58, 59] và Singer [63] từ
3
những khía cạnh khác nhau. Sau đó, các khía cạnh khác nhau của bài toán và các
ứng dụng của nó đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như: Wood [84, 86], Kameko
[34], Singer [64], Crabb-Hubbuck [22], N. H. V. Hưng-T. N. Nam [31, 32], T. N.
Nam [90], N. Sum [69, 70, 71], v.v. Tuy nhiên cho đến nay, người ta chỉ mới hoàn
thành việc giải bài toán này cho đến trường hợp s = 4 (xem [69]). Khi s ≥ 5, việc
giải bài toán “hit” là một vấn đề khó, ngay cả với sự hỗ trợ của máy tính (xem [12]).
Đây là trở ngại chính khi dùng đồng cấu chuyển đại số để nghiên cứu Ext
∗,∗
A
(F
2
, F
2
).
Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số dưới
lăng kính của đại số lambda và dãy phổ May.
Đại số lambda, Λ, được xây dựng năm 1966 bởi sáu tác giả Bousfield, Curtis,
Kan, Quillen, Rector và Schlesinger [8], là đại số vi phân kết hợp trên trường F
2
, có
đồng điều H
s,t
(Λ)
∼
=

Ext
s,t
A
(F
2
, F
2
). Do đó, Λ có thể được xem như trang E
1
của
dãy phổ Adams. Ngày nay, Λ là một trong những công cụ hữu hiệu nhất để tính đối
đồng điều của đại số Steenrod, và được sử dụng rộng rãi (xem [80], [39], [38]). Năm
1970, Priddy [60], dùng đối phức Koszul, chứng minh rằng đại số lambda đẳng cấu
với thương của đối phức cobar của đại số Steenrod.
Một cách thuần túy đại số, Λ là đại số vi phân kết hợp trên trường F
2
sinh bởi các
phần tử λ
i
, i ≥ 0, có song bậc (1, i), và thỏa mãn các quan hệ Adem:
λ
s
λ
t
=

j

j − t − 1
2j − s


λ
s+t−j
λ
j
, s > 2t.
Hơn nữa, vi phân của Λ được cho bởi công thức:
δ(λ
s
) =

j

s − j − 1
j + 1

λ
j
λ
s−j−1
.
Năm 1982, Wellington [81, Định nghĩa 7.9], dùng quan hệ Nishida trên đại số
Araki-Kudo-Dyer-Lashof, xây dựng một tác động hình thức của đại số Steenrod lên
đại số lambda. Tác động này không giao hoán với vi phân, nhưng giữa chúng có mối
liên hệ thú vị (xem [81, Định lý 7.11]).
Năm 1983, Singer [62] xây dựng lại đối ngẫu của đại số lambda theo lý thuyết
bất biến. Gọi Γ
s
là địa phương hóa của đại số Dickson bằng cách làm nghịch đảo
Q

s,0
(xem [23]). Singer [62] chứng minh rằng đối ngẫu của đại số lambda đẳng cấu
với một phức dây chuyền, tại mỗi bậc đồng điều s, là không gian con của Γ
s
sinh
bởi các phần tử thỏa mãn điều kiện chiều. Với cách xây dựng này, đối ngẫu của đại
4
số lambda có cấu trúc tự nhiên của một A -môđun vi phân; tuy nhiên, mối liên hệ
giữa cấu trúc A -môđun của Λ và quan hệ Nishida vẫn chưa được hiểu rõ (xem bình
luận của Wilkerson trong [83, trang 10]). Sau đó, N. H. V. Hưng [27] dùng phức dây
chuyền của Singer để xây dựng biểu diễn của đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số.
Dựa trên ý tưởng của Singer [62], chúng tôi xây dựng lại đại số lambda (chứ
không phải đối ngẫu của lambda như trong [62]) theo lý thuyết bất biến. Từ đó, cấu
trúc A -môđun của đại số lambda được xác định một cách tường minh (xem Mệnh
đề 1, so sánh với công thức (5.1) trong [62]). Với kết quả này, chúng tôi có thể chỉ
rõ mối liên hệ giữa quan hệ Nishida và cấu trúc A -môđun của đại số Λ. Gọi Λ
s
là
không gian con của Λ sinh bởi các đơn thức có độ dài s. Với mỗi s ≥ 1, chúng tôi
xây dựng một đồng cấu
ψ
s
: H
∗
(BV
s
)
//
Λ
s

,
ánh xạ các phần tử trong P
A
H
∗
(BV
s
) thành các chu trình trong Λ
s
, và chứng minh
rằng ψ
s
cảm sinh đồng cấu chuyển đại số. Dùng ψ
s
, chúng tôi kiểm tra lại các kết
quả của L. M. Hà [25] rằng d
0
∈ Ext
4,18
A
(F
2
, F
2
) và e
0
∈ Ext
4,21
A
(F

2
, F
2
) nằm
trong ảnh của T r
4
. Ngoài ra, chúng tôi còn đưa ra một chứng minh khác cho việc
f
0
∈ Ext
4,22
A
(F
2
, F
2
) nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số, kết quả này đã được
chứng minh bởi T. N. Nam [91].
Một công cụ quan trọng khác để tính đối đồng điều của đại số Steenrod là dãy
phổ được xây dựng bởi May [46] năm 1964. Để mô tả dãy phổ này, ta cần giới thiệu
một vài thuật ngữ và ký hiệu. Gọi A là iđêan của A sinh bởi tất cả các phần tử bậc
dương, được gọi là iđêan bổ sung của A . Lọc bổ sung của A được định nghĩa bằng
cách đặt F
p
A = A nếu p ≥ 0 và F
p
= (A )
−p
nếu p < 0.
Lọc bổ sung của A cảm sinh một lọc trên giải thức bar, và do đó ta thu được một

dãy phổ (gọi là dãy phổ May) hội tụ về đồng điều của đại số Steenrod và có trang
E
2
đẳng cấu với đồng điều của đại số phân bậc liên kết E
0
A . Vì E
0
A là đại số
Hopf sinh nguyên thủy, nên từ công trình của Priddy [60], phức để tính đồng điều
H
∗
(E
0
A ) được xác định một cách tường minh. Do đó, dãy phổ này hoàn toàn có
thể tiếp cận được. Các tính toán của May [46, 47], và sau đó là Tangora [74], Lin
[37], Bruner [11], sử dụng dãy phổ May, đã xác định được cấu trúc cộng tính cho
Ext
s,t
A
(F
2
, F
2
) với s ≤ 4, t bất kỳ và với 5 ≤ s < 40, t − s < 141.
Chúng tôi nhận thấy rằng biểu diễn của đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số trên
giải thức bar có thể nâng lên thành đồng cấu dây chuyền và đồng cấu này tương thích
5
với lọc của May. Nên nó cảm sinh một đồng cấu dãy phổ mà ở trang E
2
là một phiên

bản tương tự như đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số:
E
2
ψ
s
: Tor
E
0
A
s,s+t
(F
2
, F
2
)
//
F
2
⊗
E
0
A
E
0
H
t
(BV
s
) = Tor
E

0
A
0,t
(F
2
, E
0
P
s
).
Chúng tôi mô tả một cách tường minh đồng cấu E
2
ψ
s
và sử dụng nó để tính
ảnh của đồng cấu chuyển đại số tại một số bậc. Ngoài việc tìm lại được hầu hết
các kết quả đã biết về ảnh của Tr
4
(xem Mệnh đề 3 và Mệnh đề 4), phương pháp
của chúng tôi còn cho phép nhận được một số kết quả mới về ảnh của đồng cấu
chuyển đại số ở hạng cao hơn. Cụ thể, chúng tôi chứng minh rằng các phần tử h
n
0
i ∈
Ext
7+n,30+n
A
(F
2
, F

2
) (0 ≤ n ≤ 5) và h
n
0
j ∈ Ext
7+n,33+n
A
(F
2
, F
2
) (0 ≤ n ≤ 2)
không nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số (xem Định lý 5). Lưu ý rằng vì
h
6
0
i = h
3
0
j = 0 (xem [11]) nên kết quả trên cho chúng ta đầy đủ thông tin về các
h
0
-tháp của i và j.
Trong phần phụ lục của luận án, chúng tôi nghiên cứu một đại số thương quan
trọng của đại số lambda là đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof. Đại số này đầu tiên
được xây dựng bởi Araki và Kudo [5] trên trường F
2
, sau đó được Dyer và Lashof
[24] mở rộng lên trường F
p

, với p lẻ. Cho một đơn thức λ
I
= λ
i
1
. . . λ
i
s
∈ Λ, số
e(λ
I
) = i
1
− · · · − i
s
được gọi là trội (excess) của λ
I
. Theo Curtis [21], đại số
Araki-Kudo-Dyer-Lashof R, trên trường F
2
, là thương của đại số lambda trên iđêan
hai phía sinh bởi các đơn thức có trội âm. Gọi Q
i
∈ R là ảnh của λ
i
∈ Λ qua ánh xạ
thương.
Các quan hệ Adem trên đại số lambda cảm sinh các quan hệ Adem trên R. Cụ
thể, các toán tử Q
i

thỏa mãn các quan hệ Adem sau:
Q
s
Q
t
=

j

j − t − 1
2j − s

Q
s+t−j
Q
j
, s > 2t.
Đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof được dùng để mô tả đồng điều (modulo 2) của
không gian các vòng lặp, đặc biệt là không gian các vòng lặp vô hạn (xem [5], [49],
[43]).
Mặt khác, các công trình của Madsen [42], H. Mùi [54], cho thấy không gian
con của R sinh bởi các đơn thức có độ dài k đẳng cấu với đối ngẫu của đại số
Dickson. Kết quả này mở ra một con đường nghiên cứu đại số Araki-Kudo-Dyer-
Lashof bằng công cụ của lý thuyết bất biến modular (xem Madsen-Milgram [43],
6
H. Mùi [54], Campbell [14], N. H. V. Hưng [26], N. H. V. Hưng-P. A. Minh [30],
N. H. V. Hưng [29]).
Kết của chính của phần phụ lục là xây dựng một cơ sở mới cho đại số Araki-
Kudo-Dyer-Lashof (xem Định lý 6) cũng như chỉ ra liên hệ giữa cơ sở mới với cơ sở
chấp nhận được và cơ sở Turner (xem Mệnh đề 7 và Mệnh đề 8). Ngoài ra, dựa vào

phương pháp của Arnon [6], chúng tôi tìm được các kết quả liên quan đến tính cực
tiểu và cực đại của cơ sở mới (xem Mệnh đề 9).
Luận án được chia thành ba chương và một phụ lục.
Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại các kiến thức cơ bản được dùng trong hai
chương chính của luận án, bao gồm đại số Steenrod, các giải thức bar và cobar, dãy
phổ và một cách tổng quan về đồng cấu chuyển đại số.
Các kết quả chính của luận án được trình bày trong Chương 2, Chương 3.
Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả cho hướng nghiên cứu thứ nhất.
Cụ thể, chúng tôi trình bày cách xây dựng đại số lambda theo lý thuyết bất biến. Tác
động của A lên đại số lambda được mô tả một cách tường minh bởi mệnh đề sau
đây (mệnh đề này còn được đánh số là Mệnh đề 2.3.3).
Mệnh đề 1. Với mọi a, s ≥ 0 và λ
I
bất kỳ trong Λ, tác động phải của đại số Steenrod
lên đại số lambda được xác định bởi công thức
(λ
s
λ
I
)Sq
a
=

t

s − a
a − 2t

λ
s−a+t

(λ
I
Sq
t
).
Với tác động này, đại số lambda trở thành một môđun trên đại số Steenrod, nó đối
ngẫu với cấu trúc A -môđun của phức dây chuyền được định nghĩa bởi Singer trong
[62] (xem Mệnh đề 2.3.8). Lưu ý rằng hệ số nhị thức

n
k

trong Mệnh đề 1 xác định
với mọi số nguyên n và với mọi số nguyên k ≥ 0, trong khi quan hệ Nishida cũng có
công thức tương tự nhưng hệ số nhị thức chỉ được định nghĩa cho trường hợp n và k
đều không âm. Do đó, tác động được mô tả trong mệnh đề trên làm sáng tỏ hơn một
số kết quả trong Wellington [81] về mối liên hệ giữa vi phân và cấu trúc A -môđun
của đại số Λ.
Tiếp theo, chúng tôi xây dựng biểu diễn của đồng cấu chuyển đại số, ψ
s
(xem
Định lý 2.4.2), và ứng dụng vào việc khảo sát ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Trong [25], L. M. Hà xây dựng các phần tử

d
0
∈ P
A
H
14

(BV
4
), e
0
∈ P
A
H
17
(BV
4
)
và chứng minh một cách gián tiếp rằng các phần tử này tương ứng là nghịch ảnh của
7
d
0
∈ Ext
4,18
A
(F
2
, F
2
) và e
0
∈ Ext
4,21
A
(F
2
, F

2
). Dùng đồng cấu ψ
s
, chúng tôi có thể
tính toán trực tiếp ảnh của

d
0
, e
0
qua ψ
4
và chỉ ra rằng chúng tương ứng là các đại
diện của d
0
và e
0
trong đại số lambda (xem Mệnh đề 2.5.2). Ngoài ra, chúng tôi cũng
xây dựng một cách tường minh phần tử

f
0
∈ P
A
H
18
(BV
4
) và chứng tỏ rằng ψ
4

(

f
0
)
là một đại diện của f
0
∈ Ext
4,22
A
(F
2
, F
2
) trong Λ. Cách chứng minh này hoàn toàn
khác với chứng minh của T. N. Nam [91] cho trường hợp f
0
.
Trong chương này, chúng tôi cũng đã bước đầu khảo sát ảnh của đồng cấu chuyển
đại số hạng 6 và 7 tại một số bậc. Kết quả chính nhận được là định lý sau đây (định
lý này cũng được đánh số là Định lý 2.6.1).
Định lý 2. Các phần tử sau đây của đối đồng điều của đại số Steenrod
(i) h
0
P h
2
∈ Ext
6,17
A
(F

2
, F
2
),
(ii) h
2
0
P h
2
∈ Ext
7,18
A
(F
2
, F
2
), và
(iii) h
n
1
P h
1
∈ Ext
5+n,14+2n
A
(F
2
, F
2
), 0 ≤ n ≤ 2,

không nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Vì h
3
0
P h
2
= h
3
1
P h
1
= 0 (xem [11]) nên các kết quả trên cùng với kết quả của
V. T. N. Quỳnh [61] cho ta đầy đủ thông tin về các h
0
-tháp của P h
2
và h
1
-tháp
của P h
1
. Lưu ý rằng việc P h
1
, phần tử đầu tiên của h
1
-tháp của nó, không nằm
trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số đã được chứng minh bởi Singer [63]. (Xem
[46, 74, 11, 37, 38] về ký hiệu của các phần tử trong Ext
∗,∗
A

(F
2
, F
2
).)
Ý tưởng chính trong chứng minh của Định lý 2 là các khẳng định (F
2
⊗
A
P
6
)
GL
6
11
=
0 (xem Bổ đề 2.6.9) và (F
2
⊗
A
P
7
)
GL
7
11
= 0 (xem Chứng minh phần (ii) của Định
lý 2.6.1), trong đó ký hiệu P
s
= H

∗
(BV
s
). Tuy nhiên, chúng tôi cũng có thể dùng
ψ
s
để khảo sát phần tử h
0
P h
2
và nhận được kết quả tương tự với ít tính toán hơn
(xem Chứng minh phần (i) của Định lý 2.6.1).
Trong Chương 3, chúng tôi trình bày các kết quả nhận được từ việc xây dựng
phiên bản của đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số trên trang E
2
của dãy phổ May
và các ứng dụng của nó trong việc khảo sát ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Với phương pháp của chúng tôi, để xác định phần tử x ∈ Ext
∗,∗
A
(F
2
, F
2
) nằm
trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số hay không ta cần biết một đại diện của x
trên dãy phổ May. Một thuận lợi của phương pháp này là đại diện trên dãy phổ May
của hầu hết các phần tử đã biết trong Ext
∗,∗
A

(F
2
, F
2
) đều đã được xác định (xem
[46, 74, 11]).
8
Mệnh đề sau đây (còn được đánh số là Mệnh đề 3.4.2) là kết quả đầu tiên của
chương này.
Mệnh đề 3. Các phần tử sau đây của đối đồng điều của đại số Steenrod
(i) d
0
∈ Ext
4,18
A
(F
2
, F
2
),
(ii) e
0
∈ Ext
4,21
A
(F
2
, F
2
),

(iii) f
0
∈ Ext
4,22
A
(F
2
, F
2
), và
(iv) p
0
∈ Ext
4,37
A
(F
2
, F
2
)
nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Các kết quả về d
0
, e
0
được chứng minh bởi L. M. Hà [25]; kết quả về f
0
được
chứng minh bởi T. N. Nam [91]; kết quả về p
0

được chứng minh bởi N. H. V. Hưng-
V. T. N. Quỳnh [33]. Việc nghiên cứu ảnh của đồng cấu chuyển đại số, dùng E
2
ψ
s
,
liên quan đến bài toán xác định tập sinh cực tiểu của E
0
H
∗
(BV
s
) (môđun phân bậc
liên kết của H
∗
(BV
s
)) xem như môđun trên đại số phân bậc liên kết của A (được
gọi là bài toán “hit” thứ hai), và sau đó là bài toán xác định các chu trình vĩnh cửu
không tầm thường trên dãy phổ May cho H
∗
(BV
s
) tại bậc đồng điều không.
Dùng phương pháp này, chúng tôi chứng minh được các phần tử sau đây không
nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển đại số.
Mệnh đề 4 ([13]). Phần tử g
1
∈ Ext
4,24

A
(F
2
, F
2
) không nằm trong ảnh của đồng cấu
chuyển đại số.
Định lý 5. Các phần tử sau đây của đối đồng điều của đại số Steenrod
(i) h
1
P h
1
∈ Ext
6,16
A
(F
2
, F
2
),
(ii) h
2
0
P h
2
∈ Ext
7,18
A
(F
2

, F
2
),
(iii) h
n
0
i ∈ Ext
7+n,30+n
A
(F
2
, F
2
), 0 ≤ n ≤ 5, và
(iv) h
n
0
j ∈ Ext
7+n,33+n
A
(F
2
, F
2
), 0 ≤ n ≤ 2,
không được phát hiện bởi đồng cấu chuyển đại số.
Lưu ý rằng phương pháp của chúng tôi chưa chứng tỏ được các phần tử khác
trong họ g
i
, i ≥ 1, không nằm trong ảnh của T r

4
. So với g
1
, các phần tử khác trong
họ g
i
được đại diện, trên dãy phổ May, bởi các chu trình có bậc lọc không đổi, nhưng
bậc trong tăng lên. Điều này đã làm tăng độ phức tạp cho những tính toán khi dùng
9
E
2
ψ
s
để khảo sát các phần tử khác trong họ g
i
(kết quả chính trong [13]). Cũng chính
vì hạn chế này mà phương pháp của chúng tôi chưa chỉ ra được các họ p

i
và D
i
(3)
không nằm trong ảnh của Tr
4
(xem [28]).
Trong phần phụ lục của luận án, chúng tôi trình bày các kết quả mới về đại số
Araki-Kudo-Dyer-Lashof. Cụ thể, gọi R[k] là không gian con của R sinh bởi các
đơn thức có độ dài k. Ta biết rằng R[k] có một cơ sở cộng tính được gọi là cơ sở chấp
nhận được. Chúng tôi xây dựng một cơ sở cộng tính mới cho đại số Araki-Kudo-
Dyer-Lashof, được cho trong định lý sau đây (định lý này còn được đánh số là Định

lý A.2.1).
Định lý 6. Tập hợp tất cả các đơn thức Q
j
k−1
· · · Q
j
0
, trong đó j
n
≥ 2j
n−1
, với
1 ≤ n ≤ k − 1, và j
n
chia hết cho 2
n
, là một cơ sở cộng tính của R[k].
Turner [75] đã giới thiệu một cơ sở cộng tính cho đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof
thông qua lý thuyết bất biến, và dùng nó trong nghiên cứu cấu trúc vành Hopf của
đồng điều (modulo 2) của không gian các vòng lặp vô hạn của mặt cầu S
0
. Các cơ sở
cộng tính khác nhau của đại số Steenrod đã được Walker và Wood [77, 78] sử dụng
trong nghiên cứu bậc lũy linh của các toán tử Sq
i
, do đó, chúng tôi hy vọng rằng
việc xây dựng các cơ sở cộng tính khác nhau cho đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof có
thể sẽ mang lại các kết quả tương tự.
Gọi A
C

là cơ sở trong Định lý 6. Khi đó, mối liện hệ giữa cơ sở mới và các cơ sở
đã biết được trình bày trong các mệnh đề sau đây (các mệnh đề này còn được đánh
số là Mệnh đề A.2.2 và Mệnh đề A.2.7).
Mệnh đề 7. Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chấp nhận được sang cơ sở A
C
là ma
trận tam giác trên tương ứng với thứ tự đã chọn trên từng cơ sở.
Mệnh đề 8. Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chấp nhận được sang cơ sở Turner là ma
trận tam giác trên tương ứng với thứ tự đã chọn cho từng cơ sở.
Từ đó, ta nhận được hệ quả là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở mới sang cơ sở
Turner là ma trận tam giác trên.
Cho một thứ tự bất kỳ trên tập các đơn thức của R, một đơn thức được gọi là cực
tiểu (tương ứng, cực đại) nếu nó không thể biểu diễn được thành một tổ hợp của các
đơn thức nhỏ hơn (tương ứng, lớn hơn). Mệnh đề sau đây (còn được đánh số là Mệnh
đề A.3.1) là kết quả về tính cực đại của cơ sở cho trong Định lý 6.
10
Mệnh đề 9. A
C
là cơ sở gồm tất cả các đơn thức cực đại của R[k] tương ứng với
thứ tự từ điển trái.
Bằng phương pháp tương tự, chúng tôi có thể chứng minh được rằng A
C
là cơ sở
gồm tất cả các đơn thức cực tiểu của R[k] tương ứng với thứ tự từ điển phải.
Các tính toán của chúng tôi đều được kiểm chứng một cách độc lập bởi chương
tr ình máy tính của Bruner [12] và gói lệnh trên phần mềm Sage [56].
11
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong toàn bộ luận án, chúng tôi làm việc trên trường F

2
có 2 phần tử.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức liên quan cần cho các
chương tiếp theo của luận án. Các nội dung được trình bày theo thứ tự là: sơ lược về
đại số Steenrod (mod 2); giải thức bar và cobar; dãy phổ; đồng cấu chuyển đại số.
1.1. Đại số Steenrod
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về đại số Steenrod và một số tính chất
cơ bản sẽ được sử dụng trong các chương sau.
Đại số Steenrod là đại số sinh bởi các toán tử đối đồng điều, được định nghĩa bởi
Steenrod [67],
Sq
k
: H
∗
(X) → H
∗+k
(X),
tác động tự nhiên trên đối đồng điều của không gian tôpô X, xác định với mọi k ≥ 0.
Các toán tử này giao hoán với phép treo và do đó chúng được gọi là các toán tử đối
đồng điều ổn định.
Những kết quả đầu tiên liên quan đến cấu trúc của đại số Steenrod được xây dựng
bởi Cartan [88], Adem [3], Serre [92], Milnor [50].
Năm 1950, Cartan [88] chứng minh rằng
Sq
k
(xy) =
k

i=0
Sq

i
(x)Sq
k−i
(y), (1.1)
với x, y ∈ H
∗
(X) và xy là tích cup trong vành H
∗
(X). Công thức này được gọi là
công thức Cartan.
12
Năm 1952, Adem [3] chứng minh rằng tất cả các quan hệ trong đại số Steenrod
đều được sinh ra từ tập các quan hệ, gọi là các quan hệ Adem (xem (1.2)).
Năm 1953, Serre [92] chứng minh các toán tử Steenrod sinh ra tất cả các toán tử
đối đồng điều ổn định. Và đại số Steenrod có một cơ sở cộng tính được gọi là cơ sở
chấp nhận được (xem Mệnh đề 1.1.1).
Sau đó, cấu trúc của đại số Steenrod được nghiên cứu một cách sâu sắc bởi Milnor
[50]. Ông đã chứng minh rằng đại số Steenrod là đại số Hopf phân bậc, có bổ sung,
đối giao hoán, liên thông, và đối ngẫu của nó là một đại số đa thức.
Theo May [48] và Smith [65], ta có thể định nghĩa đại số Steenrod một cách
thuần túy đại số.
Cấu trúc của đại số Steenrod
Đại số Steenrod, A , là đại số phân bậc, kết hợp, có đơn vị trên trường F
2
sinh bởi
các toán tử Sq
i
, i ≥ 0, bậc i, Sq
0
= 1 và thỏa mãn các quan hệ sau, được gọi là các

quan hệ Adem,
Sq
a
Sq
b
=
[a/2]

i=0

b − i − 1
a − 2i

Sq
a+b−i
Sq
i
, a < 2b, (1.2)
trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo modulo 2, ký hiệu [x] là phần nguyên của x,
là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
Cho I = (i
1
, . . . , i
k
) là một bộ k số nguyên dương. Một tích các toán tử Sq
I
=
Sq
i
1

. . . Sq
i
k
được gọi là một đơn thức có độ dài k và có bậc là i
1
+ · · · + i
k
. Đơn
thức Sq
I
được gọi là đơn thức chấp nhận được nếu i
j
≥ 2i
j+1
với 1 ≤ j ≤ k − 1.
Mệnh đề 1.1.1 ([92]). Tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhận được là một cơ sở
cộng tính của đại số Steenrod A , xem như không gian véctơ phân bậc trên F
2
.
Cơ sở được nói đến trong Mệnh đề 1.1.1 được gọi là cơ sở chấp nhận được.
Mệnh đề 1.1.2 ([68]). Với mỗi k ≥ 0, các toán tử Sq
2
k
không phân tích được, và đại
số A được sinh bởi Sq
0
và các toán tử Sq
2
k
.

Theo Milnor [50], đại số Steenrod, A , là đại số Hopf, phân bậc, liên thông, đối
giao hoán, có kiểu hữu hạn và có bổ sung, trong đó, đối tích được cho trên các phần
tử sinh bởi
∆(Sq
k
) =
k

i=0
Sq
i
⊗ Sq
k−i
.
13
Đồng cấu bổ sung  : A → F
2
xác định bởi (θ) = 1 nếu |θ| = 0 và (θ) = 0
nếu |θ| > 0, trong đó ký hiệu |θ| là bậc của phần tử θ trong A . Nhân của  được gọi
là iđêan bổ sung của A và được ký hiệu là A .
Tồn tại một tự đẳng cấu χ trên A , được gọi là đẳng cấu phản đối xứng (phản
đồng cấu), thỏa mãn
χ(Sq
k
) =
k

i=1
Sq
i

χ(Sq
k−i
), χ(θ
1
θ
2
) = χ(θ
2
)χ(θ
1
).
Theo Milnor [50], A
*
, đối ngẫu của đại số Steenrod A , là đại số đa thức trên
trường F
2
sinh bởi các phần tử ξ
i
với i ≥ 0, bậc 2
i
− 1, trong đó ξ
0
= 1 và ξ
n
là đối
ngẫu của đơn thức Sq
2
n−1
Sq
2

n−2
. . . Sq
1
theo cơ sở chấp nhận được.
Đại số A
*
là một đại số Hopf với đối tích và phản đồng cấu được cho bởi
µ
∗
(ξ
k
) =
k

i=0
ξ
2
i
k−i
⊗ ξ
i
, χ(ξ
k
) =
k−1

i=0
ξ
2
i

k−i
χ(ξ
i
).
Xem như F
2
-không gian véctơ, A
*
có một cơ sở cộng tính gồm các đơn thức
ξ
r
1
1
. . . ξ
r
k
k
= ξ
R
, ở đó R = (r
1
, . . . , r
k
) là một bộ k số nguyên không âm. Ta ký hiệu
Sq(R) = Sq(r
1
, . . . , r
k
) là đối ngẫu của đơn thức ξ
r

1
1
. . . ξ
r
k
k
theo cơ sở đơn thức của
A
*
. Khi đó, bậc của Sq(r
1
, . . . , r
k
) là r
1
+ 3r
2
+ · · · + (2
k
− 1)r
k
, và ta có kết quả
sau đây.
Mệnh đề 1.1.3 ([50]). Tập tất cả các phần tử Sq(R) là một cơ sở cộng tính của đại
số Steenrod A , xem như F
2
-không gian véctơ phân bậc.
Cơ sở của A nói trong Mệnh đề 1.1.3 được gọi là cơ sở Milnor.
Trong [50], Milnor xây dựng cấu trúc tích của các phần tử trong cơ sở Milnor, là
đối ngẫu của đối tích trong A

*
, được gọi là tích Milnor, được xác định như sau:
Với R = (r
1
, . . . , r
k
), S = (s
1
, . . . , s

) là các bộ số nguyên không âm. Khi đó,
tích Milnor được cho bởi
Sq(R)Sq(S) =

X
b(X)Sq(T (X)), (1.3)
tổng được lấy trên tất cả các ma trận
X =





∗ x
01
x
02
· · ·
x
10

x
11
x
12
· · ·
x
20
x
21
x
22
· · ·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.





,

14
trong đó x
ij
là các số nguyên không âm thỏa mãn
r
i
=

v
2
v
x
iv
, 1 ≤ i ≤ k;
s
j
=

u
x
uj
, 1 ≤ j ≤ .
b(X) và T (X) = (t
1
, . . . , t
m
) được xác định như sau:
t
n
=

n

w=0
x
w,n−w
, 1 ≤ n ≤ m,
b(X) =

m
n=1
(t
n
!)

i,j
(x
ij
!)
,
trong đó b(X) được lấy theo modulo 2.
Đặt P
s
t
= Sq(0, . . . , 2
s
) là phần tử trong cơ sở Milnor có 2
s
ở vị trí thứ t, các
vị trí còn lại đều bằng không. Nói cách khác, P
s

t
là đối ngẫu của ξ
2
s
t
theo cơ sở đơn
thức của A
*
. Với tích Milnor thì tập hợp tất cả các phần tử P
s
t
là một cơ sở nhân tính
của A .
Với R = (r
1
. . . , r
k
), S = (s
1
, . . . , s
k
), ta ký hiệu R +S = (r
1
+s
1
, . . . , r
k
+s
k
).

Khi đó, đối tích được cho bởi
∆(Sq(T )) =

R+S=T
Sq(R) ⊗ Sq(S).
Cấu trúc A -môđun của H
∗
(BV
s
)
Gọi V
s
là không gian véctơ s chiều trên F
2
. Đối đồng điều của không gian phân
loại BV
s
là đại số đa thức P
s
= F
2
[x
1
, . . . , x
s
] trên F
2
sinh bởi các x
i
, mỗi x

i
đều
có bậc 1. Đại số Steenrod A tác động lên P
s
được cho bởi công thức Cartan (1.1) và
công thức sau
Sq
k
(x
i
) =





x
i
nếu k = 0,
x
2
i
nếu k = 1,
0 nếu k > 1.
(1.4)
Do đó, ta nhận được Sq
k
(x
n
i

) =

n
k

x
n+k
i
.
Với tác động này, P
s
trở thành một A -môđun trái. Từ các công trình của Serre [92],
Milnor [50], Peterson [58, 59] cho thấy cấu trúc A -môđun của P
s
đặc biệt quan
trọng.
15
Bài toán xác định tập sinh cực tiểu của P
s
xem như một A -môđun được gọi là bài
toán “hit”
1
. Một đa thức f ∈ P
s
được gọi là bị “hit” nếu f ∈ A P
s
. Việc giải bài toán
“hit” tương đương với việc tìm một cơ sở cho không gian véctơ F
2
⊗

A
P
s
= P
s
/A P
s
.
Một đơn thức m = x
t
1
1
. . . x
t
s
s
∈ P
s
được gọi là nhọn (spike) nếu mọi lũy thừa t
i
đều có dạng 2
k
i
− 1 với k
i
≥ 0 nào đó. Từ (1.4) ta thấy các đơn thức nhọn không bị
“hit” và không xuất hiện trong khai triển của Sq
a
(Y ) với mọi a > 0, Y ∈ P
s

.
Ký hiệu α(n) là số chữ số 1 trong khai triển nhị phân của số tự nhiên n. Kết quả
sau đây được sử dụng nhiều trong các chương tiếp theo.
Định lý 1.1.4 ([84]). Cho m ∈ P
s
là một đơn thức bậc d. Nếu α(d + r) > r thì m bị
“hit” trong P
s
, trong đó r là số lũy thừa lẻ của m.
Hệ quả 1.1.5 (Giả thuyết của Peterson [58]). Nếu α(d+s) > s thì mọi đa thức thuần
nhất bậc d của P
s
đều bị “hit”.
Đối ngẫu lại, đồng điều của BV
s
là đại số lũy thừa bị chia Γ(a
1
, . . . , a
s
) trên F
2
sinh bởi các a
i
, trong đó a
i
là đối ngẫu của x
i
∈ H
1
(BV

s
). Cấu trúc A -môđun phải
của H
∗
(BV
s
) được cho bởi (a
(n)
j
)Sq
k
=

n−k
k

a
(n−k)
j
và công thức Cartan, trong đó
ký hiệu a
(t
1
)
1
. . . a
(t
s
)
s

là đối ngẫu của x
t
1
1
. . . x
t
s
s
theo cơ sở đơn thức của P
s
.
Gọi P
A
H
∗
(BV
s
) là đối ngẫu của F
2
⊗
A
P
s
. Khi đó, với mọi y ∈ P
A
H
∗
(BV
s
), ta

đều có (y)Sq
k
= 0 với mọi k > 0. Như vậy, đối ngẫu của bài toán “hit” là bài toán
tìm tất cả các phần tử của H
∗
(BV
s
) bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương.
1.2. Giải thức bar và cobar
Cho A là một đại số phân bậc có kiểu hữu hạn trên trường F
2
. Trong mục này,
chúng tôi trình bày sơ lược về giải thức bar và cobar của một A-môđun phân bậc có
kiểu hữu hạn. Nội dung phần này chủ yếu dựa vào các tài liệu [47], [60], [2], [87].
Giải thức bar và cobar
Cho A là một đại số phân bậc có bổ sung trên trường F
2
,  : A → F
2
là đồng cấu
bổ sung của A, và
¯
A = Ker() là iđêan bổ sung của A.
Đặt B
n
(A; A) = A ⊗ T
n
(
¯
A) ⊗ A, trong đó T

n
(
¯
A) là tích tenxơ n phiên bản của
¯
A. Các phần tử sinh trong B
n
(A; A) được ký hiệu đơn giản là a{a
1
| . . . |a
n
}b, trong
1
Thuật ngữ “Hit problem” do Peterson [58] đưa ra và được sử dụng rộng rãi.
16
đó a, b ∈ A và a
i
∈
¯
A; các phần tử sinh của B
0
(A; A) được ký hiệu là a{}b. Khi đó,
B(A; A) = ⊕
n≥0
B
n
(A; A) là một A-môđun song bậc, trong đó a{a
1
| . . . |a
n

}b có
bậc đồng điều là n, bậc tổng là
n + deg(a) +
n

i=1
deg(a
i
) + deg(b).
Ta định nghĩa các đồng cấu sau:
 : B(A; A) → A, (a{}b) = ab, (a{a
1
| . . . |a
n
}b) = 0;
s
n
: B
n
(A; A) → B
n+1
(A; A), s
n
(a{a
1
| . . . |a
n
}b) = 1{a|a
1
| . . . |a

n
}b;
s
−1
: A → B
0
(A; A), s
−1
(a) = 1{}a;
t
n
: B
n
(A; A) → B
n+1
(A; A), t
n
(a{a
1
| . . . |a
n
}b) = a{a
1
| . . . |a
n
|b}1;
t
−1
: A → B
0

(A; A), t
−1
(a) = a{}1.
Vi phân ∂
n
: B
n
(A; A) → B
n−1
(A; A) được định nghĩa bởi một trong hai công
thức tương đương
s
n−1
∂
n
+ ∂
n+1
s
n
= 1 + s
−1
,
hay
t
n−1
∂
n
+ ∂
n+1
t

n
= 1 + t
−1
,
và ∂ thỏa mãn ∂(axb) = a∂(x)b, trong đó x ∈ T (
¯
A).
Tính toán trực tiếp, ta nhận được công thức của ∂ như sau:
∂(a{a
1
| . . . |a
n
}b) = aa
1
{a
2
| . . . |a
n
}b +
n−1

i=1
a{a
1
| . . . |a
i
a
i+1
| . . . |a
n

}b
+ a{a
1
| . . . |a
n−1
}a
n
b.
(1.5)
Cho M là một A-môđun trái, N là một A-môđun phải. Vì s
∗
là đồng cấu A-
môđun phải nên B(A; M) = B(A; A) ⊗
A
M là một giải thức gồm các A-môđun tự
do của M. Tương tự, vì t
∗
là đồng cấu A-môđun trái nên B(N; A) = N ⊗
A
B(A; A)
là một giải thức gồm các A-môđun tự do của N. Các giải thức này được gọi là giải
thức bar tương ứng của M và N trên A.
Đặt B(N; M) = N ⊗
A
B(A; A) ⊗
A
M; B(A) = B(F
2
, F
2

); B(A; M) =
B(F
2
; M).
17
Ta định nghĩa
H
∗
(A; M) = H(B(F
2
; M)) = Tor
A
(F
2
, M);
H
∗
(A; N) = H(B(N; F
2
)) = Tor
A
(N, F
2
);
H
∗
(N; M) = H(B(N; M)) = Tor
A
(N, M).
(1.6)

H
∗
(A; M) = H(Hom
A
(B(A; F
2
), M)) = Ext
A
(F
2
, M);
H
∗
(A; N) = H(Hom
A
(B(F
2
; A), N)) = Ext
A
(F
2
, N);
H
∗
(N; M) = H(Hom
A
(B(N; F
2
), M)) = Ext
A

(N, M).
(1.7)
Một cách ngắn gọn, ta viết
H
∗
(A) = H
∗
(A; F
2
) = Tor
A
(F
2
, F
2
);
H
∗
(A) = H
∗
(A; F
2
) = Ext
A
(F
2
, F
2
).
Vì ta có

H
∗
(A; M
∗
)
∼
=
H(B(F
2
; M)
∗
)
∼
=
Ext
A
(M, F
2
),
nên giải thức cobar C(F
2
; M) = B(F
2
; M)
∗
là một phức có thể dùng để tính
Ext
A
(M, F
2

).
Gọi
¯
A
∗
; M
∗
là đối ngẫu của
¯
A và M, khi đó C(F
2
; M) = T(
¯
A
∗
) ⊗ M
∗
. Một
phần tử của C(F
2
; M) được viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các phần tử
dạng {α
1
| . . . |α
n
}λ, trong đó α
i
∈
¯
A

∗
và λ ∈ M
∗
. Vi phân δ = ∂
∗
được cho bởi
δ({α
1
| . . . |α
n
}λ) =

i,ν
i
{α
1
| . . . |α

i,ν
i
|α

i,ν
i
| . . . |α
n
}λ
+

ν

{α
1
| . . . |α
n
|α

ν
}λ

ν
,
(1.8)
trong đó đối tích của
¯
A
∗
và cấu trúc đối môđun của M
∗
có dạng
µ
∗
(α
i
) =

ν
i
α

i,ν

i
⊗ α

i,ν
i
; α
∗
(λ) =

ν
α

ν
⊗ λ
ν
.
Đặt C(A) = B(A)
∗
và C(A; M) = B(A; M)
∗
. Khi đó C(A) là một đại số với
tích cup
{α
1
| . . . |α
r
} ∪ {β
1
| . . . |β
s

} = {α
1
| . . . |α
r
|β
1
| . . . |β
s
}. (1.9)
18
Với x, y ∈ C(A) thì δ(x ∪ y) = δ(x) ∪ y + x ∪ δ(y). Do đó, (1.9) cảm sinh trên
Ext
A
(F
2
, F
2
) một tích, tích này trùng với tích Yoneda.
C(A; M) là một C(A)-môđun với ánh xạ cấu trúc
{α
1
| . . . |α
r
} ∪ {β
1
| . . . |β
s
}λ = {α
1
| . . . |α

r
|β
1
| . . . |β
s
}λ. (1.10)
Tích ken
Cho x = {a
1
| . . . |a
r
}, y = {a
r+1
| . . . |a
r+s
} ∈ B(A). Ta gọi tích ken (shuffle)
của x và y là một phần tử trong B(A), ký hiệu là x ∗ y, xác định bởi
x ∗ y =

σ
{a
σ
−1
(1)
| . . . |a
σ
−1
(r+s)
}, (1.11)
tổng được lấy trên tất cả các σ ∈ S

r+s
sao cho
σ(1) < · · · < σ(r),
σ(r + 1) < · · · < σ(r + s).
Với tích ken, B(A) là một đại số giao hoán.
Nếu x, y là các chu trình trong B(A) và a
i
a
j
= a
j
a
i
, với 1 ≤ i ≤ r và r + 1 ≤
j ≤ r + s thì x ∗ y cũng là một chu trình trong B(A).
1.3. Dãy phổ
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về dãy phổ và đồng cấu dãy phổ.
Trình bày của mục này dựa theo [41], [66].
Dãy phổ và đồng cấu dãy phổ
Một môđun Z-song bậc là một họ các môđun E = {E
p,q
} với mỗi cặp p, q ∈ Z.
Một vi phân d : E → E có song bậc (−r, r − 1) là một họ các đồng cấu {d
p,q
:
E
p,q
→ E
p−r,q+r−1
} với mỗi cặp p, q và d

2
= 0. Đồng điều H(E) = H(E, d) dưới
vi phân d cũng là một môđun song bậc {H
p,q
(E)} được xác định theo cách thông
thường như sau:
H
p,q
(E) = Ker[d : E
p,q
→ E
p−r,q+r−1
]/d(E
p+r,q−r+1
). (1.12)
19
Nếu ta đặt E
n
=

p+q=n
E
p,q
, thì {E
n
} là một môđun phân bậc. Vi phân d
cảm sinh một vi phân d : E
n
→ E
n−1

bậc −1 thông thường, và H({E
n
}, d) là một
môđun phân bậc nhận được từ H
p,q
(E) bằng cách đặt H
n
(E) =

p+q=n
H
p,q
(E).
Định nghĩa 1.3.1. Một dãy phổ E là một họ {E
r
, d
r
}, với r ≥ 0, sao cho:
(i) E
r
là một môđun song bậc và d
r
là vi phân song bậc (−r, r − 1) trên E
r
;
(ii) Với mỗi r ≥ 0, tồn tại đẳng cấu H(E
r
)
∼
=

E
r+1
.
Như vậy, với mỗi r, E
r
và d
r
xác định E
r+1
nhưng không nhất thiết xác định
được d
r+1
. Với mỗi r ≥ 0, E
r
được gọi là trang thứ r của dãy phổ. Trang E
0
được
gọi là trang đầu của dãy phổ.
Định nghĩa 1.3.2. Cho E và E

là hai dãy phổ. Một đồng cấu dãy phổ f : E → E

là một họ các đồng cấu
f
r
: E
r
→ E
r
sao cho f

r
là đồng cấu song bậc (0, 0) và giao hoán với vi phân d
r
.
Như vậy f
r+1
được cảm sinh từ f
r
qua đồng điều.
Để định nghĩa trang giới hạn của dãy phổ, ta đồng nhất E
r+1
với H(E
r
), r ≥ 0
bởi đẳng cấu trong định nghĩa. Gọi Z
0
là môđun song bậc với Z
0
p,q
= Ker[d
0
:
E
0
p,q
→ E
0
p,q−1
], và B
0

là môđun song bậc với B
0
p,q
= d
0
(E
0
p,q+1
). Khi đó, B
0
⊂ Z
0
và E
1
= Z
0
/B
0
. Gọi Z(E
1
) là môđun song bậc với Z(E
1
)
p,q
= Ker[d
1
: E
1
p,q
→

E
1
p−1,q
], và B(E
1
) là môđun song bậc với B(E
1
)
p,q
= d
1
(E
1
p+1,q
). Theo định lý
đẳng cấu Noether, tồn tại môđun con song bậc Z
1
và B
1
của Z
0
chứa B
0
sao cho
Z
1
p,q
= Z(E
1
)

p,q
/B
0
p,q
và B
1
p,q
= B(E
1
)
p,q
/B
0
p,q
với mỗi p, q. Rõ ràng B
1
⊂ Z
1
. Khi
đó ta nhận được
B
0
⊂ B
1
⊂ Z
1
⊂ Z
0
.
Bằng quy nạp, ta nhận được dãy các môđun song bậc:

B
0
⊂ B
1
⊂ · · · ⊂ B
r
⊂ · · · ⊂ Z
r
⊂ · · · ⊂ Z
1
⊂ Z
0
,
trong đó E
r+1
= Z
r
/B
r
.
Ta định nghĩa các môđun song bậc Z
∞
= ∩
r
Z
r
, B
∞
= ∪
r

B
r
, và E
∞
=
Z
∞
/B
∞
. Môđun song bậc E
∞
được gọi là trang giới hạn của dãy phổ E, và trang
E
r
được gọi là các xấp xỉ đến E
∞
.
20
Một phần tử được gọi là sống đến trang r nếu nó không tầm thường trong E
r
;
một phần tử được gọi là chu trình vĩnh cửu nếu nó nằm trong Z
∞
; một phần tử được
gọi là sống mãi nếu nó sống đến trang vô cùng.
Một dãy phổ được gọi là hội tụ (converge) nếu với mỗi p, q tồn tại một số nguyên
r(p, q) ≥ 0 sao cho, với r ≥ r(p, q), d
r
: E
r

p,q
→ E
r
p−r,q+r−1
là tầm thường. Khi đó
E
r+1
p,q
đẳng cấu với một thương của E
r
p,q
và E
∞
p,q
đẳng cấu với giới hạn trực tiếp của
dãy
E
r(p,q)
p,q
→ E
r(p,q)+1
p,q
→ · · ·
Một dãy phổ được gọi là hội tụ mạnh nếu với mỗi p, q tồn tại một số nguyên
r(p, q) ≥ 0 sao cho, với r ≥ r(p, q), E
r
p,q
∼
=
E

∞
p,q
.
Định lý 1.3.3 ([66]). Cho f : E → E

là đồng cấu giữa hai dãy phổ. Nếu tồn tại
r ≥ 0 sao cho f
r
: E
r
→ E
r
là đẳng cấu thì f
r

: E
r

→ E
r

là đẳng cấu với mọi
r

≥ r. Hơn nữa, nếu E và E

hội tụ thì f
∞
là một đẳng cấu trên các trang giới hạn
của chúng.

Dãy phổ sinh bởi phức có lọc
Một lọc (tăng) F trên môđun A là một họ các môđun con của F
p
A của A sao
cho F
p
A ⊂ F
p+1
A, với mọi số nguyên p. Nếu A = {A
q
} là một môđun phân
bậc thì F phải tương thích với phân bậc. Cho một lọc F trên A, môđun phân bậc
liên kết G(A) được định nghĩa bởi G
p
(A) = F
p
A/F
p−1
A. Nếu A là một môđun
phân bậc thì môđun phân bậc liên kết G(A) là một môđun song bậc xác định bởi
G
p,q
(A) = F
p
A
p+q
/F
p−1
A
p+q

. Trong trường hợp này, p được gọi là bậc lọc, q được
gọi là bậc bổ sung, và p + q được gọi là bậc tổng của một phần tử trong G
p,q
(A).
Dãy
· · · ⊂ F
p−1
A ⊂ F
p
A ⊂ F
p+1
A ⊂ · · ·
là dãy hợp thành vô hạn của A, và môđun phân bậc liên kết gồm các thương của dãy
hợp thành này.
Lọc F được gọi là hội tụ nếu ∩
p
F
p
A = 0 và ∪
p
F
p
A = A.
Lọc F trên phức dây chuyền C là lọc tương thích với phân bậc và vi phân của C
(nghĩa là F
p
C là một phức con của C gồm {F
p
C
n

}). Lọc trên C cảm sinh lọc trên
H
∗
(C) định nghĩa bởi
F
p
H
∗
(C) = Im[H
∗
(F
p
C) → H
∗
(C)].
21
Vì hàm tử đồng điều giao hoán với giới hạn trực tiếp nên nếu F là lọc hội tụ trên
C thì ∪
p
F
p
H
∗
(C) = H
∗
(C), tuy nhiên ∩
p
F
p
H

∗
(C) không nhất thiết bằng không.
Lọc F trên môđun phân bậc A được gọi là bị chặn dưới nếu với mỗi q tồn tại p
(phụ thuộc vào q) sao cho F
p
A
q
= 0. Nếu F là lọc bị chặn dưới trên C thì lọc cảm
sinh trên H
∗
(C) cũng vậy.
Định lý 1.3.4 ([66]). Cho F là lọc hội tụ và bị chặn dưới trên phức dây chuyền C.
Khi đó, tồn tại một dãy phổ với
E
1
p,q
∼
=
H
p+q
(F
p
C/F
p−1
C),
vi phân d
1
tương ứng với đồng cấu nối của bộ ba (F
p
C, F

p−1
C, F
p−2
C) và E
∞
đẳng cấu với môđun song bậc GH
∗
(C) liên kết với lọc cảm sinh F
p
H
∗
(C) =
Im[H
∗
(F
p
C) → H
∗
(C)].
Dãy phổ thỏa mãn định lý này được gọi là dãy phổ sinh bởi phức có lọc hội tụ về
H
∗
(C).
Chứng minh. Với r bất kỳ, ta định nghĩa
Z
r
p
= {c ∈ F
p
C|∂(c) ∈ F

p−r
C};
Z
∞
p
= {c ∈ F
p
C|∂(c) = 0}.
Đây là các môđun song bậc với Z
r
p,q
= {c ∈ F
p
C
p+q
|∂(c) ∈ F
p−r
C
p+q−1
} và Z
∞
p,q
=
{c ∈ F
p
C
p+q
|∂(c) = 0}. Khi đó, ta có một dãy các môđun phân bậc
· · · ⊂ ∂Z
−1

p−1
⊂ ∂Z
0
p
⊂ ∂Z
1
p+1
⊂ · · · ⊂ ∂C ∩ F
p
C ⊂ Z
∞
p
⊂ · · · ⊂ Z
1
p
⊂ Z
0
p
= F
p
C.
Ta định nghĩa
E
r
p
=Z
r
p
/(Z
r−1

p−1
+ ∂Z
r−1
p+r−1
);
E
∞
p
=Z
∞
p
/(Z
∞
p−1
+ ∂C ∩ F
p
C).
Vi phân ∂ ánh xạ Z
r
p
vào Z
r
p−r
và ánh xạ Z
r−1
p−1
+ ∂Z
r−1
p+r−1
vào ∂Z

r−1
p−1
. Do đó, nó
cảm sinh một đồng cấu
d
r
: E
r
p
→ E
r
p−r
.
Khi đó, E
r
là môđun song bậc và d
r
là một vi phân với song bậc (−r, r − 1) trên
E
r
. Với r < 0, d
r
= 0 và E
r
p
= F
p
C/F
p−1
C. Do đó,

E
0
p,q
= F
p
C
p+q
/F
p−1
C
p+q
= G
p,q
C
22