Số học, hình học của nhóm địa số và các không gian thuần nhất liên quan trên trường số học

Mục lục
Mục lục

1

Bảng một số ký hiệu

4

Bảng một số thuật ngữ

5

Mở đầu

7

1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Nhóm đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Lược đồ nhóm affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Đối đồng điều Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Đối đồng điều phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Tôpô trên tập, nhóm đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng
1.5.1 Trường hợp giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Trường hợp khơng giao hốn. Tôpô đặc biệt . . . . . . . .
1.5.3 Trường hợp khơng giao hốn. Tơpơ chính tắc . . . . . . .

14
14

20
23
26
29
29
30
30

2

Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được và nhóm con
Grosshans
2.1 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con quan sát được . . . . . . . . .
2.2 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con tồn cấu . . . . . . . . . . . .
2.3 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con Grosshans . . . . . . . . . . .
2.4 Kết luận của Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
33
41
43
46

3

Về một dạng tương đối cho Định lý của Bogomolov trên trường hồn
thiện và ứng dụng của nó
47
3.1 Một số khái niệm và kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

3.2 Một số kết quả trong lý thuyết biểu diễn . . . . . . . . . . . . . .
52

1


3.2.1

3.3

3.4
3.5
4

Định lý cơ bản của biểu diễn nhóm reductive trên trường
đóng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Một số ký hiệu và ∆-tác động . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Lý thuyết của Tits về biểu diễn của nhóm reductive trên một
trường bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Trạng thái của một biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Các nhóm con parabolic P(λ) và P(χ) . . . . . . . . . . .
3.2.6 Đặc trưng của các nhóm con tựa parabolic . . . . . . . . .
3.2.7 Định lý của Kempf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.8 Định lý của Ramanan và Ramanathan . . . . . . . . . . .
3.2.9 Liên hệ giữa biểu diễn của nhóm reductive và biểu diễn của
nhóm nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng tương đối cho một định lý của Bogomolov . . . . . . . . . .
3.3.1 Chứng minh thứ nhất của Định lý 3.1.5 . . . . . . . . . .
3.3.2 Chứng minh thứ hai của Định lý 3.1.5 . . . . . . . . . . .
Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con tựa parabolic và các

nhóm con dưới parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận của Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53
53
54
56
57
58
59
60
61
62
63
65
68
77

Quỹ đạo tương đối ứng với tác động của nhóm đại số trên trường địa
phương
79
4.1 Một số kết quả sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.2 Quỹ đạo tương đối của nhóm đại số trên trường đầy đủ hồn thiện
86
4.3 Quỹ đạo tương đối của nhóm đại số trên trường đầy đủ bất kỳ . . .
97
4.3.1 Tác động tách mạnh, tác động khá tách . . . . . . . . . .
97
4.3.2 Chứng minh Định lý 4.3.1.3, Phần 1 . . . . . . . . . . . .

98
4.3.3 Sơ đồ chứng minh Định lý 4.3.1.3, Phần 2 . . . . . . . . .
99
4.3.4 Trường hợp các nhóm dừng là lũy đơn . . . . . . . . . . . 100
4.3.5 Trường hợp các nhóm giao hoán và xuyến . . . . . . . . . 102
4.3.6 Trường hợp nhóm dừng là một k-nhóm giải được, liên thông 111
4.3.7 Trường hợp G là một k-nhóm tuyến tính lũy linh . . . . . 114
4.3.8 Trường hợp nhóm dừng là reductive . . . . . . . . . . . . 116
4.3.9 Trường hợp tác động là khá tách . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4 Một số tính tốn trong trường hợp trường có đặc số p . . . . . . . 118
4.5 Kết luận của Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Kết luận

128
2


Danh mục cơng trình của tác giả liên quan đến luận án

130

Tài liệu tham khảo

132

3


Bảng một số ký hiệu

N
Z
Q
R
C
Fq
Qp
Zp
Fq ((T ))
¯
k
ks
kv
Gal(K/k)
H1 (k, G)
H1 l (k, G)
f
Ga
Gm
GLn
PGLn
SLn
SOn
k[X]
X G
X/G
G/H
char. k
G0

tập số tự nhiên
vành số nguyên
trường số hữu tỷ
trường số thực
trường số phức
trường hữu hạn gồm q phần tử
trường các số p-adic
vành các số nguyên p-adic
trường các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số trong Fq
bao đóng đại số của trường k
bao tách được của trường k
đầy đủ hóa của trường k tại định giá v
nhóm Galois của mở rộng Galois K/k
đối đồng điều Galois bậc 1 của G trên k
đối đồng điều phẳng bậc 1 của G trên k
nhóm cộng tính
nhóm nhân tính
nhóm tuyến tính tổng qt
nhóm tuyến tính xạ ảnh
nhóm tuyến tính đặc biệt
nhóm trực giao đặc biệt
đại số các hàm chính quy của đa tạp X với hệ số trong k
thương phạm trù của đa tạp X theo tác động của nhóm G
thương hình học của đa tạp X theo tác động của nhóm G
khơng gian thuần nhất của G thương cho nhóm con đóng H
đặc số của trường k
thành phần liên thơng chứa đơn vị trong nhóm G

4

Bảng một số thuật ngữ
ánh xạ đối biên
đối compắc
siêu cứng
đa thức cộng tính
đối đồng điều phẳng
hàm tử (hạn chế) của Weil
k-đẳng hướng
k-xoắn
k-phân rã
k-khơng đẳng hướng
thuần túy khơng tách
lược đồ nhóm
lược đồ nhóm vơ cùng bé
nhóm reductive
nhóm lũy đơn
nhóm con parabolic chuẩn
nhóm con parabolic
nhóm con tựa parabolic
nhóm con dưới parabolic
ổn định
nửa ổn định
không nửa ổn định
thiếu ổn định
thực sự ổn định
phần tử đơn trị hóa
phép ngập
tập với một phần tử được đánh dấu
thương hình học

thương phạm trù
trọng cơ bản
trọng trội

coboundary map
cocompact
super-rigidity
additive polynomial
flat cohomology
Weil restriction
k-isotropic
k-wound
k-split
k-anisotropic
purely inseparable
group scheme
infinitesimal group scheme
reductive group
unipotent group
standard parabolic subgroup
parabolic subgroup
quasi-parabolic subgroup
sub-parabolic subgroup
stable
semi-stable
unstable
instable
properly stable
uniformizing element
submersion

set with a distinguished element
geometric quotient
categorical quotient
fundamental weight
dominant weight

5


trường hàm toàn cục
tách mạnh
khá tách
xoắn

global function field
strongly separable
fairly separable
twisting

6


Mở đầu
Giả sử G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên một trường k. Ta có thể
hiểu đơn giản G là một nhóm các ma trận vng cấp n với hệ số nằm trong bao
đóng đại số của trường k và G đồng thời là tập không điểm của một họ các đa thức
n2 biến với hệ số trong k. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng nằm giữa
Lý thuyết nhóm đại số tuyến tính và Hình học Đại số là Lý thuyết bất biến hình học.
Một phần chủ yếu của lý thuyết này nghiên cứu các tác động (cấu xạ) của một nhóm
đại số tuyến tính lên một đa tạp đại số cho trước, đặc biệt là nghiên cứu tính chất

của các quỹ đạo. Lý thuyết bất biến hình học xuất hiện từ lâu với việc nghiên cứu
Bài tốn số 14 của Hilbert về tính chất hữu hạn sinh của đại số các hàm bất biến.
Với những đóng góp của D. Mumford, W. Haboush, M. Nagata, ..., lý thuyết này
khá phong phú trong trường hợp trường k là đóng đại số. Tuy nhiên, ngay từ thời
điểm ban đầu của Lý thuyết bất biến hình học hiện đại, mà D. Mumford là người
đặt nền móng, ơng đã đặt vấn đề nghiên cứu nó cả trong những tình huống tương
đối, tức là khi k là một trường bất kỳ nói chung khơng đóng đại số. Chẳng hạn,
với động cơ nghiên cứu các bài toán số học (cụ thể là xây dựng không gian moduli
của các đa tạp abel, như đã đề cập trong Chương 3 của [30], [31]), D. Mumford đã
xét nhiều vấn đề của lý thuyết này trên những lược đồ đủ tổng quát. Ngoài ra, A.
Borel [58], và J. Tits [30], ... đã đặt ra một số câu hỏi (hay giả thuyết) khi mở rộng
các kết quả đã biết của lý thuyết bất biến hình học trên trường đóng đại số cho cả
trường khơng đóng đại số (chẳng hạn mở rộng một định lý nổi tiếng của D. Hilbert
và D. Mumford). Những kết quả điển hình theo hướng này thuộc về D. Birkes [6],
G. Kempf [25], M. S. Raghunathan [35], ... đã cho câu trả lời (hoặc lời giải) của
một số câu hỏi (hoặc giả thuyết) được đề cập ở trên. Những nghiên cứu theo cách
như vậy nói chung được gọi là nghiên cứu về các tính chất hữu tỷ (của nhóm đại số,
của đa tạp đại số, v.v...). Khó khăn gặp phải trong các bài tốn nói trên tương tự như
đối với một bài tốn số học, ví dụ việc tìm nghiệm của đa thức trong trường đóng
đại số (“bài tốn hình học”) và trong trường khơng đóng đại số (“bài tốn số học”).
Để hiểu rõ các tính chất của quỹ đạo, việc nghiên cứu các nhóm con dừng là rất
quan trọng. Có một số lớp nhóm con quan trọng trong việc nghiên cứu Lý thuyết
7


bất biến hình học, đó là lớp các nhóm con quan sát được, lớp các nhóm con tồn
cấu, và lớp các nhóm con Grosshans. Từ một số nghiên cứu về Lý thuyết biểu diễn
nhóm đại số, A. Bialynicki-Birula, G. Hochschild, G. Mostow [3, p. 134] đã đưa ra
khái niệm các nhóm con quan sát được. Ta có thể hiểu một nhóm con đóng H của
G là quan sát được nếu H là nhóm con dừng của một vectơ v trong một G-mơđun

hữu tỷ hữu hạn chiều V nào đó. Trong [3], các tác giả đã đưa ra một số điều kiện
cần và đủ để một nhóm là quan sát được. Sau đó, F. Grosshans đã tìm thêm được
một số điều kiện tương đương khác (xem [20], [21] và những tài liệu dẫn ở đó). Tuy
nhiên, hầu hết các kết quả ở đây đều mới chỉ được chứng minh cho trường hợp k là
một trường đóng đại số.
Một lớp các nhóm con khác cũng khá quan trọng là lớp các nhóm con toàn cấu
do A. Borel và F. Bien đưa ra (trước đó S. Bergman đã làm một cơng việc tương
tự đối với các Đại số Lie). Ta định nghĩa một nhóm con đóng H của G là tồn cấu
nếu đại số các hàm chính quy k[G/H] của khơng gian thuần nhất G/H chính bằng
k. Những điều kiện cần và đủ để một nhóm con đóng là tồn cấu ban đầu được đưa
ra bởi F. Bien và A. Borel (xem [56], [57], và [21] về các kết quả gần đây). Bên
cạnh đó, F. Bien, A. Borel, J. Kollar [5] cũng nghiên cứu mối liên hệ của tính chất
H là nhóm con tồn cấu với tính chất liên thơng hữu tỷ của không gian thuần nhất
G/H. Một số điều kiện tương đương để một nhóm con là tồn cấu được cho trong
Định lý 2.2.1. Nhờ vào những nghiên cứu liên quan đến Bài toán số 14 của Hilbert,
F. Grosshans đã đưa ra một lớp các nhóm con quan sát được mang tên ông. Đó là
những nhóm con quan sát được H của G có tính chất đại số các hàm bất biến k[G]H
là hữu hạn sinh, trong đó H tác động tịnh tiến phải lên đại số các hàm chính quy
k[G]. Chính F. Grosshans cũng tìm ra một số điều kiện cần và đủ khá thú vị cho
khái niệm nói trên. Tuy nhiên, các kết quả nói trên mới chỉ được chứng minh trong
trường hợp k là trường đóng đại số.
Gần đây, vì sự cần thiết phải có những ứng dụng trong Số học và Lý thuyết
ergodic (xem chẳng hạn [53]), B. Weiss cũng có một số kết quả về tính chất hữu tỷ
của các nhóm con quan sát được và những nhóm con tồn cấu. Như ta đã biết, một
nhóm con đóng H của G là quan sát được nếu H = Gv , với v ∈ V, V là một G-mơđun
hữu hạn chiều. Tuy nhiên, H chỉ là nhóm con dừng của một vectơ (đối với biểu diễn
đã cho), và ta khó có thể nói gì thêm về cấu trúc của H. Ở đây, A. Sukhanov đã có
kết quả đi sâu hơn khẳng định nói trên. Ơng đã chứng minh ở [45] một định lý nói
rằng, một nhóm con là quan sát được nếu và chỉ nếu nó là dưới parabolic. Để làm
được điều này, A. Sukhanov phải dùng một kết quả quan trọng của F. Bogomolov

về cấu trúc của nhóm con dừng của một vectơ thiếu ổn định (instable) v (nghĩa là

8


0 ∈ G · v). Tuy nhiên, các kết quả trên của F. Bogomolov và A. Sukhanov cũng mới
chỉ được chứng minh trong trường hợp k là trường đóng đại số. Nội dung của hai
chương đầu tiên nói về kết quả của luận án (Chương 2, và Chương 3) là trình bày
việc mở rộng những khẳng định này cho trường khơng đóng đại số. Vì một số lý do
kỹ thuật, các kết quả của F. Bogomolov và A. Sukhanov trong Chương 3 chỉ được
mở rộng lên cho truờng hợp k là trường hồn thiện.
Như đã nói ở trên, có rất nhiều kết quả của Lý thuyết bất biến (hình học) đề cập
đến việc nghiên cứu tính chất đóng của quỹ đạo dưới tác động của nhóm G thu được
trong trường hợp hình học, tức là, trong trường hợp trường k là đóng đại số. Bên
cạnh đó, vì một số địi hỏi nội tại của Lý thuyết số mà các trường địa phương, toàn
cục được quan tâm đặc biệt. Chẳng hạn ta cho G là một nhóm đại số tuyến tính tác
động lên k-đa tạp V và x ∈ V(k). Khi đó, một bước chính trong việc chứng minh
một kết quả tương tự của Định lý siêu cứng (super-rigidity) Margulis trong trường
hợp trường hàm toàn cục, xem [51], là chứng minh tính chất đóng (địa phương) của
một số quỹ đạo tương đối G(k) · x. Vì thế, chúng tơi quan tâm đến mối liên hệ giữa
các tính chất đóng Zariski của các quỹ đạo dưới tác động bởi một nhóm đại số và
tính chất đóng Hausdorff của các quỹ đạo tương đối. Cụ thể hơn, giả sử k là một
trường đầy đủ đối với một định giá không tầm thường v có hạng thực bằng 1, ví dụ
là các trường địa phương như trường p-adic hoặc trường số thực R. Ta trang bị cho
X(k) tôpô v-adic Hausdorff, cảm sinh từ tôpô v-adic trên k. Cho x ∈ X(k), chúng
tôi muốn nghiên cứu mối liên hệ giữa tính chất đóng Zariski của quỹ đạo hình học
G · x trong X và tính chất đóng Hausdorff của quỹ đạo (tương đối) G(k) · x trong
X(k). Kết quả đầu tiên theo hướng này thuộc về A. Borel và Harish-Chandra [10],
tiếp đến là D. Birkes [6] (xem thêm [55]) trong trường hợp trường số thực, và sau
đó là R. Bremigan [11]. Thực tế, ở các bài báo đó đã chỉ ra nếu G là một R-nhóm

reductive, thì G · x là đóng Zariski nếu và chỉ nếu G(R) · x là đóng theo tơpơ thực
([6], [55]). Điều này cũng được mở rộng cho trường p-adic bởi R. Bremigan [11].
Mục đích của chúng tơi trong chương kết quả thứ ba (Chương 4) là mở rộng và
nghiên cứu sâu hơn bài toán được đề cập ở trên.
Bản luận án gồm 4 chương.
Trong Chương 1, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản, cần thiết cho luận
án. Cụ thể là, trong Mục 1.1, 1.2, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về nhóm đại
số tuyến tính, Lý thuyết bất biến hình học (nói rõ hơn, tác động của nhóm đại số lên
đa tạp) và lược đồ nhóm affine. Trong Mục 1.3, 1.4, chúng tơi trình bày một số kiến
thức cần thiết về đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng, và trong Mục 1.5,
chúng tơi trình bày một số định nghĩa, kết quả đã biết về tôpô trên tập đối đồng
9


điều.
Các kết quả mới được chúng tơi trình bày trong các Chương 2, 3, và 4. Trong
Chương 2, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan
sát được, nhóm con tồn cấu, và nhóm con Grosshans. Chương này được chúng tôi
viết dựa trên bài báo [47]. Kết quả chính đầu tiên đề cập đến các nhóm con quan
sát được, cho trong định lý sau đây.
Định lý (xem Định lý 2.1.11). Cho G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên
một trường k tùy ý và H là một k-nhóm con đóng của G. Khi đó các khẳng định sau
là tương đương:
(a) H là quan sát được, tức là, H = H .
(a’) H là k-quan sát được, tức là, H = (k[G]H ) .
(b’) Tồn tại một biểu diễn k-hữu tỷ ρ : G → GL(V) và một véctơ v ∈ V(k) sao cho
H = Gv = {g ∈ G | g · v = v}.
(c’) Tồn tại một số hữu hạn các hàm f ∈ k[G/H] tách các điểm của G/H.
(d’) Không gian thuần nhất G/H là một đa tạp tựa affine xác định trên k.
(e’) Mọi biểu diễn k-hữu tỷ ρ : H → GL(V) đều mở rộng được thành một biểu diễn

k-hữu tỷ ρ : G → GL(V ).
(f’) Tồn tại một biểu diễn k-hữu tỷ ρ : G → GL(V) và một véctơ v ∈ V(k) sao cho
H = Gv và
G/H

k

G · v = {ρ(g)(v) | g ∈ G}.

(g’) Trường các thương của vành các G0 ∩ H-bất biến trong k[G0 ] bằng trường
các phân thức G0 ∩ H-bất biến của k(G0 ).
Hơn nữa, nếu H(k) trù mật Zariski trong H thì các khẳng định trên tương đương
với tính chất quan sát được tương đối (xem Định nghĩa 2.1.6) của H trên k.
Kết quả chính thứ hai thu được cho các nhóm con tồn cấu, và được phát biểu là
như sau.
Định lý (xem Định lý 2.2.4). Cho k là một trường bất kỳ và H là một k-nhóm con
đóng của một k-nhóm G. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(a’) H là k-toàn cấu, tức là (k[G]H ) = G.
10


(b’) k[G/H] = k.
(c’) k[G/H] là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên k.
(d’) Với bất kỳ G-môđun hữu tỷ V xác định trên k, không gian con của V bao gồm
các điểm bất động của G và H là trùng nhau.
(e’) Giả sử V là một G-môđun hữu tỷ xác định trên k, và V = X ⊕ Y, trong đó X, Y
là H-bất biến. Khi đó X, Y cũng là G-bất biến.
(f’) Mọi k-cấu xạ từ k-nhóm đại số G đến một k-nhóm đại số L đều được xác định
bởi hạn chế của nó trên H.
Dựa vào các kết quả trên, ta thu được kết quả về tính chất hữu tỷ cho các nhóm

con Grosshans.
Định lý (xem Định lý 2.3.5). Cho k là một trường hoàn thiện với vơ hạn phần tử và
G là một k-nhóm. Giả sử rằng H là một k-nhóm con quan sát được của G. Ta xét
các điều kiện sau:
(a’) H thỏa mãn điều kiện đối chiều 2 trên k. (Xem định nghĩa trang 44.)
0

0

0

(b’) Một trong các k-đại số k[G]H , k[G]H , k[G0 ]H∩G , k[G0 ]H là k-đại số hữu hạn
sinh.
(c’) H là một nhóm con Grosshans tương đối trên k (tức là, k[G]H(k) là một k-đại
số hữu hạn sinh).
Khi đó cùng với các điều kiện của Định lý 2.3.2 ta có
(a) ⇔ (a ) ⇔ (b) ⇔ (b ) ⇒ (c ).
Nếu hơn nữa, H(k) là trù mật Zariski trong H thì tất cả các khẳng định trên là
tương đương.
Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu việc mở rộng các Định lý Bogomolov và
Định lý Sukhanov cho trường không đóng đại số. Kết quả chính của chương này là
hai định lý sau.
Định lý (xem Định lý 3.1.5). Cho k là một trường hồn thiện, G là một nhóm
reductive liên thông và V là một k − G-môđun hữu hạn chiều. Giả sử v ∈ V(k) \ {0}.
Khi đó, nếu v là một vectơ thiếu ổn định đối với tác động của G lên V (tức là
0 ∈ G · v) thì Gv chứa trong một nhóm con k-tựa parabolic thực sự Q của G.
11


Định lý (xem Định lý 3.1.7). Cho k là một trường hồn thiện, G là một nhóm đại

số tuyến tính xác định trên k và H là một k-nhóm con đóng của G. Ta xét những
khẳng định sau.
1) H là k-tựa parabolic.
2) H là tựa parabolic trên k.
3) H là quan sát được trên k.
4) H là k-dưới parabolic.
5) H là dưới parabolic mạnh trên k.
6) H là dưới parabolic trên k.
Thế thì 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇔ 4) ⇔ 5) ⇔ 6). Nếu G là một nhóm nửa đơn thì 1) ⇔ 2).
Nói chung, 2) khơng suy ra 1).
Nội dung của Chương 3 được chúng tôi viết dựa trên các bài báo ([12], [13]).
Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu câu hỏi về liên hệ giữa tôpô Zariski của
quỹ đạo hình học và tơpơ Hausdorff của quỹ đạo tương đối. Ở đây, chúng tôi sử
dụng tài liệu tham khảo chính là các bài báo ([14], [16]). Các kết quả chính được
phát biểu như sau.
Định lý (xem Định lý 4.2.6). Cho k là một trường hoàn thiện, đầy đủ đối với một
định giá khơng tầm thường có hạng thực 1. Cho G là một k-nhóm đại số tuyến tính
tác động k-chính quy lên một k-đa tạp affine X, và x ∈ X(k) là một k-điểm của X.
Khi đó ta có các khẳng định sau:
1) (Mở rộng một số kết quả của [6], [10], [59], [11]) Nếu quỹ đạo G · x là đóng
và nhóm dừng G x là một k-nhóm trơn, thì quỹ đạo tương đối G(k) · x là đóng
theo tơpơ Hausdorff trong X(k).
2) Đảo lại, giả sử G = L × U, trong đó L là reductive và U là lũy đơn, tất cả đều
xác định trên k. Nếu G(k) · x là đóng trong X(k) theo tơpơ Hausdorff thì G · x
là đóng theo tơpơ Zariski trong X.
3) Với những giả thiết như ở 1), G(k) · x đóng trong X(k) nếu và chỉ nếu G0 (k) · x
là đóng trong X(k).
Trong trường hợp k là trường đầy đủ bất kỳ, ta có.

12

Định lý (xem Định lý 4.3.1.3). Cho k là một trường đầy đủ đối với một định giá
không tầm thường có hạng thực bằng 1, và G là một k-nhóm đại số tuyến tính tác
động k-cấu xạ lên một k-đa tạp affine V. Giả sử v thuộc V(k). Ta có các khẳng định
sau:
1) Nếu quỹ đạo tương đối G(k) · v là đóng trong tơpơ Hausdorff của V(k) và
hoặc G là lũy linh, hoặc G là reductive với tác động của G là tách mạnh tại
v (theo nghĩa của Ramanan và Ramanathan), thì quỹ đạo G · v là đóng theo
tôpô Zariski trong V.
2) Đảo lại, với những quy ước trên, G(k) · v là đóng Hausdorff trong V(k) nếu
G · v đóng và một trong các điều kiện sau là đúng:
a) Gv là giao hoán và trơn hoặc G là giao hốn.
b) Gv là một k-nhóm trơn và là mở rộng của một k-nhóm lũy đơn trơn bởi
một k-nhóm chéo hóa được.
c) Trường k là compắc địa phương, và Gv là một k-nhóm con reductive liên
thơng và trơn trong G.
d) Tác động của G tại v là khá tách.
Ngoài ra, chúng tơi cũng có các ví dụ, phản ví dụ bổ sung cho những định lý nói
trên. (Xem các Mệnh đề 4.2.8, 4.4.1, và 4.4.2.)

13


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho
tồn bộ luận án. Chúng tơi chỉ xét những nhóm đại số affine (tuyến tính) và lược đồ
nhóm đại số affine.

1.1

Nhóm đại số tuyến tính

Trong mục này chúng tơi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về nhóm đại số tuyến
tính trên một trường. Trình bày của chúng tôi chủ yếu theo [9].
¯
Cho k là một trường, k là một bao đóng đại số của nó, k s là bao tách được của k
¯
trong k.
Định nghĩa 1.1.1 ([9, Chap. AG, Sec. 12.1, pp. 23-24]). (a) Cho V là một đa tạp
¯
¯
đại số affine trong An (k) = kn . Ta nói V là xác định trên k, hay k-đa tạp, nếu iđêan
¯
xác định của nó I(V) = { f ∈ k[T 1 , . . . , T n ] | f (a) = 0, ∀a ∈ V}, có một cơ sở gồm
¯
tồn các phần tử của k[T 1 , . . . , T n ], nghĩa là I(V) = k · (I(V) ∩ k[T 1 , . . . , T n ]). Ta đặt
k[V] = k[T 1 , . . . , T n ]/(I(V) ∩ k[T 1 , . . . , T n ]) và gọi là vành các hàm chính quy xác
định trên k của V.
(b) Một cấu xạ giữa hai k-đa tạp affine ϕ : X → Y được gọi là xác định trên k,
¯
¯
hay k-cấu xạ, nếu đồng cấu đối cấu xạ ϕ∗ : k[Y] → k[X] gửi k[Y] vào k[X].
Định nghĩa 1.1.2 ([9, Chap. I, Sec. 1.1, p. 46]). (a) Cho G là một nhóm, ta nói G
là một k-nhóm đại số tuyến tính (hay G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên
k) nếu G đồng thời là một đa tạp affine xác định trên k và các phép tốn:
◦ : G × G → G,
(a, b) → a ◦ b,
i : G → G,

a → a−1 ,
14


đều là các k-cấu xạ giữa các k-đa tạp đại số.
(b) Nếu H là một nhóm con, đồng thời là một k-đa tạp con đóng của G thì ta nói
H là một k-nhóm con đóng của G.
(c) Cho G và H là hai nhóm đại số tuyến tính xác định trên k. Ta nói ánh xạ
f : G → H là một k-đồng cấu nếu f là một đồng cấu (giữa các nhóm trừu tượng)
và đồng thời f là một k-cấu xạ.
¯
Ví dụ 1.1.3 ([9, Chap. I, Sec. 1.6, pp. 49-51]). 1) Đường thẳng affine A1 = k cùng
với phép cộng của trường lập thành một k-nhóm đại số tuyến tính. Nhóm này được
gọi là nhóm cộng tính, và ký hiệu là Ga .
2) Tập mở affine A1 \{0} cùng với phép nhân của trường lập thành một k-nhóm
đại số tuyến tính. Ta gọi nhóm này là nhóm nhân tính, ký hiệu là Gm .
¯
3) Tập các ma trận khả nghịch cấp n × n, GLn (k), cùng với phép nhân ma trận là
một k-nhóm đại số tuyến tính. Ta gọi nhóm này là nhóm tuyến tính tổng qt, và ký
hiệu là GLn .
¯
4) Tập các ma trận tam giác trên trong GLn (k) cùng với phép nhân ma trận cũng
lập thành một k-nhóm đại số tuyến tính.
¯
5) Tập các ma trận tam giác trên trong GLn (k) với các phần tử trên đường chéo
chính bằng 1 cùng với phép nhân ma trận là một k-nhóm đại số tuyến tính và được
ký hiệu là Un .
Định lý sau đây nói rằng mọi k-nhóm đại số tuyến tính đều nhúng đóng được
vào một nhóm tuyến tính tổng qt nào đó.
Định lý 1.1.4 ([9, Chap. I, Sec. 1.7, Prop 1.10, p. 54]). Cho G là một k-nhóm đại số

tuyến tính. Khi đó, G là k-đẳng cấu với một k-nhóm con đóng của một nhóm tuyến
tính tổng qt GLn nào đó.
¯
Định nghĩa 1.1.5 ([9, Chap. I, Sec. 4.1, p. 79]). Cho V là một k-không gian véctơ
hữu hạn chiều. Phần tử x ∈ End(V) được gọi là nửa đơn (tương ứng, lũy đơn) nếu
¯
nó chéo hóa được trên k (tương ứng, nếu x − idV lũy linh, tức là, (x − idV )n = 0, với
n > 0 nào đó).
Ta biết rằng, theo [9, Chap. I, Prop. 4.2, p. 80], mọi x ∈ GL(V) đều có phân tích
Jordan nhân tính, x = su, với s là nửa đơn, u là lũy đơn, và su = us.
Định lý 1.1.6 ([9, Chap. I, Theorem 4.4, p. 83]). Cho G là một k-nhóm đại số tuyến
tính, và g ∈ G. Khi đó, tồn tại phân tích duy nhất g = g s gu trong G sao cho với mọi
k-đồng cấu nhóm ρ : G → GLn thì ρ(g) = ρ(g s )ρ(gu ) là phân tích Jordan nhân tính
của ρ(g) trong GLn .
15


Định nghĩa 1.1.7 ([9, Chap. I, Sec. 4.8, p. 87]). Ta gọi một k-nhóm đại số tuyến
tính G là lũy đơn nếu G = Gu , với Gu = {g ∈ G | g = gu }.
Định nghĩa 1.1.8 ([9, Chap. IV, Sec. 11.21, pp. 157-158]). Cho G là một k-nhóm
đại số tuyến tính. Khi đó:
(a) Ta định nghĩa căn giải được của G, ký hiệu là R(G), là nhóm con chuẩn tắc,
giải được, liên thông cực đại của G.
(b) Ta định nghĩa căn lũy đơn của G, ký hiệu là Ru (G), là nhóm con chuẩn tắc,
lũy đơn, liên thông, cực đại trong G.
Định nghĩa 1.1.9 ([9, Chap. IV, Sec. 11.21, pp. 157-158]). Cho G là một k-nhóm
đại số tuyến tính.
(a) Ta định nghĩa G là một nhóm nửa đơn nếu R(G) = {e}.
(b) Ta định nghĩa G là một nhóm reductive nếu Ru (G) = {e}.
Từ nhận xét Ru (G) = R(G)u , ta rút ra mọi nhóm nửa đơn đều là nhóm reductive.

Định nghĩa 1.1.10 ([9, Chap. III, Sec. 8.5, Chap. IV, Sec. 11.2], [24, Chap. II, Sec.
14.2]). Giả sử G là một nhóm đại số tuyến tính liên thơng, xác định trên k.
(a) Ta gọi G là nhóm hầu đơn nếu G khơng giao hốn và chỉ có hai nhóm con
chuẩn tắc, liên thơng là G và {e}.
(b) Ta nói nhóm con đóng B của G là nhóm con Borel nếu B là nhóm con giải
được, liên thơng cực đại của G.
¯
k

(c) Ta nói G là một xuyến đại số nếu G Gm × . . . × Gm .
(d) Giả sử P là một nhóm con đóng của G chứa một nhóm con Borel B. Khi đó,
ta nói P là một nhóm con parabolic của G.
¯
¯
Ví dụ 1.1.11. (a) Nhóm S Ln (k) = {A ∈ Mn (k) | det(A) = 1} là một k-nhóm hầu đơn
([9]) .
(b) Nhóm GLn là một k-nhóm reductive nhưng khơng là một nhóm nửa đơn
([9]).
¯
(c) Nhóm con các ma trận tam giác trên của GLn (k) là một nhóm con Borel ([9]).
(d) Nhóm G = S O3 (C) = {A ∈ GL3 (C) | At A = E3 , det(A) = 1} là một nhóm hầu
đơn xác định trên R. Khi đó,


1 0 0










0 x y x2 + y2 = 1

T= 







0 −y x

16


là một xuyến cực đại xác định trên R của G. Hơn nữa, G khơng chứa bất kỳ một
nhóm con Borel nào xác định trên R. Một trong những nhóm con Borel của G là


d
id
√
√

1





2
2


b

√
i(−a+c+e) 
a+c+e
 ae = 1, d + be = 0, d2 + 2ce = 0 .


B=  2

2
2



 ib i(a+c−e) a+c−e 



√
2

2

2

(Nhóm này rõ ràng khơng xác định trên R vì phương trình định nghĩa của nó có đơn
vị ảo i.)
Ta chuyển sang một khái niệm quan trọng đối với luận văn, đó là tác động của
nhóm đại số lên một đa tạp.
Định nghĩa 1.1.12 ([9, Chap. I, Sec. 1.7, pp. 51-53]). (a) Cho G là một nhóm đại số
tuyến tính, V là một đa tạp đại số (không nhất thiết affine). Giả sử tồn tại một cấu
xạ α : G × V → V, (g, x) → g · x = α(g, x), thỏa mãn e · x = x và g · (h · x) = (gh) · x,
với mọi g, h ∈ G, và x ∈ V. Khi đó ta nói nhóm đại số G tác động cấu xạ lên đa tạp
V thông qua cấu xạ α (hoặc nói gọn lại, V là một G-đa tạp). Nếu G và V đều xác
định trên k và α là một k-cấu xạ thì ta nói G tác động k-cấu xạ lên đa tạp V.
(b) Giả sử x ∈ V là một điểm tùy ý, nhóm con đóng H của G cho bởi H = {g ∈
G | g · x = x} được gọi là nhóm con dừng của x và được ký hiệu là G x .
(c) Tập hợp G · x := {g · x | g ∈ G} được gọi là quỹ đạo của x dưới tác động của
nhóm G.
Tác động của nhóm đại số tuyến tính lên đa tạp đại số có những tính chất quan
trọng sau:
Định lý 1.1.13 ([9, Chap. I, Sec. 1.8, p. 53]). Giả sử G là một nhóm đại số tuyến
tính tác động cấu xạ lên một đa tạp V khác rỗng. Khi đó mỗi quỹ đạo đều là một
đa tạp trơn và mở trong bao đóng của nó. Biên của quỹ đạo này là hợp của những
quỹ đạo có chiều nhỏ hơn. Nói riêng ra, những quỹ đạo có chiều nhỏ nhất ln là
đóng. Do đó, quỹ đạo đóng là ln tồn tại.
Định nghĩa 1.1.14 ([24, Chap. II, Sec. 8.2, pp. 59-60]). Cho X, Y là hai G-đa tạp.
Khi đó ta nói một cấu xạ f : X → Y là G-đẳng biến nếu f (g · x) = g · f (x), với mọi
g ∈ G và x ∈ X.
Một trường hợp quan trọng của tác động nhóm lên đa tạp được diễn đạt dưới
dạng biểu diễn hữu tỷ của nhóm trong một khơng gian véctơ.

17


Định nghĩa 1.1.15 ([9, Chap. I, Sec. 1.6, p. 51]). Cho G là một k-nhóm đại số tuyến
¯
tính và V là một k-khơng gian vectơ. Ta nói đồng cấu nhóm ρ : G → GL(V) là một
biểu diễn hữu tỷ của nhóm G (hay V là một G-mơđun hữu tỷ) nếu ρ đồng thời là
một cấu xạ giữa hai đa tạp G và GL(V). Hơn nữa, nếu cấu xạ ρ là xác định trên k
thì ta nói ρ là một biểu diễn k-hữu tỷ.
Mệnh đề sau đây khẳng định rằng mọi G-đa tạp X đều có thể nhúng đóng G-đẳng
biến được vào một G-môđun hữu tỷ V.
Mệnh đề 1.1.16 ([9, Chap. I, Prop. 1.12, p. 56]). Cho G là một k-nhóm đại số tuyến
¯
tính tác động k-cấu xạ lên một k-đa tạp X. Khi đó tồn tại V là một k-không gian
vectơ hữu hạn chiều, ρ : G → GL(V) là một biểu diễn k-hữu tỷ, ϕ : X → V là một
phép nhúng đóng, đồng thời là một k-cấu xạ sao cho ϕ(g · x) = ρ(g) · ϕ(x), với mọi
g ∈ G và x ∈ X.
Ta chuyển sang những vấn đề về không gian thuần nhất và đa tạp thương.
Định nghĩa 1.1.17 ([9, Chap. 2, Sec. 6.1, p. 94]). Giả sử π : V → W là một k-cấu
xạ của các k-đa tạp. Khi đó ta nói π là một cấu xạ thương (trên k) nếu thỏa mãn
đồng thời các điều kiện sau:
(1) π là toàn ánh và mở.
(2) Nếu U ⊆ V là đa tạp con mở thì đối cấu xạ π0 cảm sinh một đẳng cấu từ
¯
¯
¯
k[π(U)] lên đại số con của k[U] bao gồm những hàm f ∈ k[U] là hằng trên các thớ
của π .
U

Định nghĩa 1.1.18 ([9, Chap. 6, Sec. 6.3, p. 95]). Giả sử G là một k-nhóm tác động
k-cấu xạ lên k-đa tạp V. Ta định nghĩa một thương hình học tốt của V bởi G trên
k là một cặp (W, π), trong đó W là một k-đa tạp, π : V → W là một k-cấu xạ thỏa
mãn:
(1) Mỗi thớ của π là một quỹ đạo,
(2) π là một cấu xạ thương trên k.
Khi đó cấu xạ thương π thỏa mãn tính chất phổ dụng sau.
Định lý 1.1.19 ([9, Chap. 6, Sec. 6.3, p. 95]). Giả sử α : V → Z là một cấu xạ tùy
ý hằng trên các quỹ đạo của G. Khi đó tồn tại duy nhất một cấu xạ β : W → Z sao
cho α = β ◦ π. Hơn nữa, nếu α là một k-cấu xạ giữa các k-đa tạp thì β cũng là một
k-cấu xạ.
Nhận xét. 1) Tính chất phổ dụng nói trên cũng được dùng để định nghĩa thương
phạm trù. Cụ thể, ta nói cặp (π, W) là một thương phạm trù (trên k) của V bởi tác
18


động của nhóm G nếu W là một k-đa tạp, π : V → W là một cấu xạ hằng trên các
quỹ đạo của G và thỏa mãn tính chất phổ dụng:
Nếu σ : V → Z là một k-cấu xạ hằng trên các quỹ đạo của G thì tồn tại duy nhất
một k-cấu xạ τ : W → Z sao cho σ = τ ◦ π.
2) Thương phạm trù nếu tồn tại thì duy nhất sai khác một đẳng cấu.
Ta ký hiệu thương phạm trù là V

G và thương hình học tốt là V/G.

Ví dụ 1.1.20. 1) ([9, Chap. II, Prop. 6.15, p. 102])
Cho G là một k-nhóm hữu hạn tác động k-cấu xạ lên một k-đa tạp affine V. Khi
đó thương hình học tốt V/G là tồn tại.
2) ([18, Chap. II, Example 6.4, p. 97])
¯

Cho G = GLn tác động lên X = Mn (k) là không gian các ma trận vuông cấp n
¯
bằng phép liên hợp g · X = gXg−1 . Với mỗi X ∈ Mn (k), ta xét đa thức đặc trưng
det(X − tEn ) = (−t)n + c1 (X)(−t)n−1 + · · · + cn (X).
Khi đó, cấu xạ
¯
π : Mn (k) → An : X → (c1 (X), . . . , cn (X))
¯
là một thương phạm trù của đa tạp Mn (k) bởi tác động liên hợp của GLn . Hơn nữa,
thương này khơng là thương hình học vì mỗi thớ nói chung không chỉ gồm đúng
một quỹ đạo. (Hai ma trận có cùng đa thức đặc trưng thì nhìn chung khơng đồng
dạng với nhau.)
3) ([39, Example 4.10, pp. 231-233], [34, Example 3, p. 149, Sec. 4.3, p. 187])
Cho k là một trường đóng đại số, đặc số 0, ta xét tác động của Ga lên A4 = M2 (k)
như sau:

 

 

a b 1 λ a b a + λc b + λd

 

 

=

=
.


 

 

λ·

 

 

c d
0 1 c d
c
d
Khi đó khơng tồn tại thương phạm trù của A4 cho Ga .
Một điều kiện đủ quan trọng về thương hình học tốt sẽ được dùng trong chứng
minh Mệnh đề 2.1.7 là khẳng định sau.
Định lý 1.1.21 ([9, Theorem 6.8, p. 98]). Cho G là một k-nhóm đại số tuyến tính
và H là một k-nhóm con đóng của G. Khi đó thương hình học tốt π : G → G/H là
tồn tại trên k, và hơn nữa G/H là một đa tạp trơn tựa xạ ảnh. Nếu H là một nhóm
con chuẩn tắc của G thì G/H là một k-nhóm đại số tuyến tính và π là một k-cấu xạ
giữa các k-nhóm.
Với định nghĩa nhóm lũy đơn như ở trên, ta có kết quả sau.
19


Mệnh đề 1.1.22 ([9, Chap. I, Sec. 4.8 , Corollary, p. 87; Chap. V, Corol. 15.5, p.
205]). Cho G là một k-nhóm đại số tuyến tính, liên thơng. Khi đó, các khẳng định
sau là tương đương:

1) Nhóm G là lũy đơn.
2) G là k-đẳng cấu với một nhóm con đóng của Un , với một số n nguyên dương
nào đó.
3) Tồn tại một dãy hợp thành các k-nhóm con đóng, chuẩn tắc, G = G0 > G1 >
¯
· · · > Gm = {1}, sao cho mỗi nhóm thương Gi /Gi+1 là k-đẳng cấu với Ga .
Định nghĩa 1.1.23 ([9, Chap. V, Sec. 15.1, p. 203]). Ta nói một k-nhóm lũy đơn G
là phân rã trên k, hay k-phân rã, nếu G có một dãy hợp thành các k-nhóm con đóng,
chuẩn tắc G = G0 > G1 > · · · > Gm = {1}, sao cho mỗi nhóm thương Gi /Gi+1 là
k-đẳng cấu với Ga .
¯
Vậy từ Mệnh đề 1.1.22, ta suy ra mọi nhóm lũy đơn đều phân rã trên k. Tiếp đến,
chúng tôi nhắc lại một số điểm đáng chú ý trong lý thuyết của J. Tits về nhóm lũy
đơn trên trường có đặc số khác 0.
Định nghĩa 1.1.24 ([68, Sec. 3.1]). Cho G là một nhóm lũy đơn xác định trên một
trường k có đặc số p > 0. Ta nói G là k-xoắn (k-wound) nếu không tồn tại một k-cấu
xạ khác hằng số từ Ga vào G.
Định lý sau đây khẳng định rằng mọi k-nhóm lũy đơn, liên thơng đều là mở rộng
của một k-nhóm lũy đơn k-xoắn bởi một k-nhóm lũy đơn k-phân rã.
Định lý 1.1.25 ([50, Theorem 4.2]). Cho G là một k-nhóm lũy đơn, liên thơng. Khi
đó, tồn tại duy nhất một k-nhóm con Gd liên thơng, chuẩn tắc, k-phân rã, cực đại
của G. Nhóm này chứa tất cả của các k-đồng cấu từ Ga vào G, và không thay đổi
qua các mở rộng trường tách được. Ngồi ra, k-nhóm thương G/Gd là k-xoắn và
hạt nhân của một k-đồng cấu bất kỳ từ G vào một k-nhóm k-xoắn đều chứa Gd .
Sau đây, chúng tôi điểm qua một số kiến thức cơ bản về lược đồ nhóm, đối đồng
điều Galois và đối đồng điều phẳng. Chúng tơi chủ yếu dựa theo trình bày của [27],
[41], [43], [52], [63], [76].

1.2

Lược đồ nhóm affine

Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược về lược đồ nhóm affine trên trường.
20


Định nghĩa 1.2.1 ([52, Chap. I, Sec. 1.2, pp. 4-5]). Cho k là một trường tùy ý, ta
định nghĩa một lược đồ nhóm affine trên k là một hàm tử biểu diễn được từ phạm
trù các k-đại số vào phạm trù các nhóm, tức là, tồn tại một k-đại số hữu hạn sinh A,
sao cho G(R) = Hom(A, R), một cách hàm tử theo k-đại số R.
Theo Bổ đề Yoneda, nếu G được biểu diễn bởi A thì A xác định duy nhất sai
khác một đẳng cấu k-đại số.
Định nghĩa 1.2.2 ([52, Chap. I, Sec. 1.2, pp. 4-5]). Ta ký hiệu k-đại số A ứng với
G là k[G], và gọi k[G] là vành tọa độ của G.
Nếu G là một lược đồ nhóm affine thì tương ứng với nó, A có cấu trúc của
một đại số Hopf, tức là, một k-đại số giao hoán A cùng với các đồng cấu k-đại số
∆ : A → A ⊗ A, : A → k, S : A → A, sao cho các biểu đồ sau là giao hoán:
id⊗∆

A ⊗ A ⊗ A ←−− A ⊗ A
−−

 ,
∆⊗id
∆







A⊗A

∆

←−−
−−

A

⊗id

k ⊗ A ←−− A ⊗ A
−−

 ,

∆






A

=

←−−
−−

A

(S ,id)

A ←−− A ⊗ A
−−

 .
=
∆






k ←−−
−−

A

Định nghĩa 1.2.3 ([52, Chap. II, Sec. 2.1, p. 13]). Một đồng cấu giữa các k-lược đồ
nhóm affine là một phép biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử G → H sao cho với mọi
k-đại số R, ánh xạ G(R) → H(R) là một đồng cấu nhóm.
Ta nhận thấy tương ứng G với k[G] cho một tương đương phạm trù giữa phạm
trù các k-lược đồ nhóm affine và phạm trù các k-đại số Hopf giao hốn.
Ví dụ 1.2.4 ([52, Chap. I, Sec. 1.1, pp. 3-4]). 1) Hàm tử biến mỗi k-đại số R thành
nhóm R với phép cộng của đại số là một lược đồ k-nhóm affine. Ta gọi lược đồ này
là lược đồ nhóm cộng tính, và ký hiệu là Ga .

2) Hàm tử biến các k-đại số R thành nhóm các ma trận vng cấp n với các định
thức khả nghịch là một lược đồ k-nhóm affine. Ta gọi lược đồ này là lược đồ nhóm
tuyến tính tổng qt, ký hiệu lại là GLn . Khi n = 1 thì ta nói GL1 là lược đồ nhóm
nhân tính, và được ký hiệu là Gm .
3) Cho k là trường với đặc số p > 0. Hàm tử biến mỗi k-đại số R thành nhóm
{x ∈ R | x p = 0} với phép cộng là một lược đồ k-nhóm đại số affine, ký hiệu là α p .
4) Hàm tử biến mỗi k-đại số R thành nhóm {x ∈ R∗ | xn = 1} (cùng với phép
nhân) là một lược đồ k-nhóm affine, ký hiệu là µn .
Định nghĩa 1.2.5 ([52, Chap. II, Sec. 2.1, pp. 13-14]). Cho ψ : H → G là một
đồng cấu giữa các lược đồ nhóm. Nếu đồng cấu đại số tương ứng A → B là tồn
ánh thì ψ được gọi là một phép nhúng đóng. Khi đó, ψ là một đẳng cấu từ H đến
21


một nhóm con đóng H của G. Ta nói đồng cấu F → G là ánh xạ thương nếu đồng
cấu đại số k[G] → k[F] là đơn ánh.
Định lý 1.2.6 ([52, Chap. 3, Theorem 3.4, p. 25]). Mọi lược đồ k-nhóm đại số affine
trên một trường đều đẳng cấu với một lược đồ nhóm con đóng của GLn .
Chúng ta tiếp tục nêu ra một số định nghĩa quan trọng khác.
Định nghĩa 1.2.7 ([52, Sec. 2.1, Sec. 6.4, Sec. 6.5]). a) Cho φ : G → H là một
đồng cấu bất kỳ. Khi đó, hàm tử N(R) = Ker(G(R) → H(R)), với mọi k-đại số R, là
một lược đồ k-nhóm affine. Ta gọi đó là hạt nhân của φ.
b) Ta gọi lược đồ k-nhóm affine G là hữu hạn nếu k-đại số tọa độ k[G] là một
k-không gian vectơ hữu hạn chiều. Ta nói G là một lược đồ nhóm étale nếu G là hữu
hạn và k[G] là một k-đại số tách được, tức là, k[G] là tích các mở rộng trường tách
được của k. Ta gọi G là một lược đồ nhóm vơ cùng bé nếu G là hữu hạn và vành tọa
độ của nó là một vành địa phương.
c) Cho A là một k-đại số. Khi đó, tồn tại một đại số con tách được cực đại của A,
ký hiệu là π0 (A). Nếu A là một đại số Hopf tương ứng với một lược đồ nhóm G thì
π0 (A) cũng là một k-đại số Hopf và ký hiệu π0 (G) là lược đồ nhóm được biểu diễn

bởi π0 (A).
Định nghĩa 1.2.8 ([52, Chap. 6, Sec. 6.6, pp. 50-51]). Ta nói lược đồ nhóm G là
liên thơng nếu một trong những điều kiện tương đương sau được thỏa mãn:
1) π0 (G) là tầm thường;
2) Spec k[G] là liên thông;
3) Spec k[G] là bất khả quy;
4) k[G]/Nilrad(k[G]) là một miền ngun, trong đó, Nilrad(k[G]) là căn lũy
linh của k[G].
Ví dụ 1.2.9 ([52, Chap. 6, Sec. 6.4, p. 49]). Cho k là trường đặc số p > 0. Khi đó,
µn với (n, p) = 1 là một lược đồ k-nhóm étale. Nhóm α p là một lược đồ nhóm vơ
cùng bé và liên thông.
Định lý 1.2.10 ([52, Chap. 6, Theorem 6.7, p. 51]). Cho G là một lược đồ k-nhóm
affine. Khi đó π0 (G) là một lược đồ nhóm étale. Hơn nữa, hạt nhân G0 của đồng
cấu chính tắc G → π0 (G) là một lược đồ nhóm con đóng chuẩn tắc liên thông của
G.
Ta gọi G0 là thành phần liên thông của G.

22


Định nghĩa 1.2.11 ([52, Chap. 11, Sec. 11.6, p. 88]). Lược đồ k-nhóm affine G
¯
được gọi là trơn nếu vành k[G] ⊗k k là thu gọn, tức là, vành này khơng có phần tử
lũy linh.
Khi đó mọi nhóm đại số tuyến tính thơng thường xác định trên k là một k-lược
đồ nhóm affine trơn và ngược lại.
Ta chuyển sang trình bày về lược đồ nhóm lũy đơn.
Định nghĩa 1.2.12 ([52, Chap. 8, Sec. 8.3, pp. 63-65]). Ta nói lược đồ nhóm G là
lũy đơn nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau.
1) Với mọi phép nhúng G vào GLn , tồn tại phần tử g ∈ GLn (k) sao cho liên hợp

gGg−1 của G bởi phần tử này là một nhóm con đóng của Un .
2) G đẳng cấu với một lược đồ nhóm con đóng của Un .
3) G có một dãy hợp thành G = G0 > G1 > · · · > Gm−1 > Gm = {1}, sao cho mỗi
¯
nhóm thương Gi /Gi+1 là đẳng cấu (trên k) với một nhóm con đóng của Ga .
Kết quả sau đây của M. Raynaud [63, SGA 3, Expose XVII] nói về cấu trúc của
nhóm lũy đơn trên trường k đặc số p > 0.
Định lý 1.2.13 ([64, Exp. XVII]). Cho k là một trường đặc số p > 0, G là một lược
đồ k-nhóm affine. Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương.
1) G là lược đồ nhóm lũy đơn.
2) G có một dãy hợp thành các lược đồ k-nhóm con G = G0 > G1 > · · · >
¯
Gm−1 > Gm = {1}, với các nhóm thương đẳng cấu (trên k) với α p , Ga , hoặc
k-dạng của (F p )r (theo đúng thứ tự này).
3) G có một dãy hợp thành các lược đồ k-nhóm đặc trưng G = G0 > G1 > · · · >
s
Gm−1 > Gm = {1}, với nhóm thương đẳng cấu với (α p )r , Ga hoặc là k-dạng
của (F p )t (theo đúng thứ tự này).

1.3

Đối đồng điều Galois

Trong phần này, chúng tơi trình bày một số kiến thức về đối đồng điều Galois
(khơng giao hốn), theo [40].
Cho G là một nhóm hầu hữu hạn, tức là, G là giới hạn xạ ảnh của các nhóm hữu
hạn với tơpơ rời rạc. Chẳng hạn, nhóm Galois Gal(K/k) là một nhóm hầu hữu hạn,
nếu mở rộng K/k là Galois.
23

Định nghĩa 1.3.1 ([40, Chap. I, Sec. 5.1, pp. 45-46]). Ta nói tập E là một G-tập
nếu E là một không gian tôpô rời rạc cùng với một tác động liên tục của nhóm hầu
hữu hạn G.
Điều này tương đương với E = ∪E U , trong đó U chạy trên các tập mở của G, E U
là tập tất cả các phần tử của E bất biến dưới tác động của U. Ta ký hiệu tác động
s ∈ G lên x ∈ E bởi s x.
Định nghĩa 1.3.2 ([40, Chap. I, Sec. 5.1, pp. 45-46]). Cho E, E là các G-tập.
(a) Ta nói ánh xạ f : E → E là một G-cấu xạ nếu nó tương thích với tác động
của G lên E và E , tức là, f ( s x) = s f (x), với mọi x ∈ E, và s ∈ G.
(b) Ta nói A là một G-nhóm nếu A là một nhóm, đồng thời tác động từ G lên A
được cho bởi đồng cấu f : G → Aut(A), và hơn nữa, với tác động này thì A là một
G-tập.
Với mỗi G-tập E, ta đặt H0 (G, E) = E G = {x ∈ E | s x = x, ∀s ∈ G}. Khi đó,
nếu E là một G-nhóm thì H0 (G, E) cũng là một nhóm con của E. Với mỗi A là
một G-nhóm, ta định nghĩa một 1-đối xích với giá trị trong A là một ánh xạ liên
tục a : G → A, s → a s , sao cho a st = a s s at . Ký hiệu Z 1 (G, A) là tập các 1-đối
xích. Ta nói hai đối xích a, a là đối đồng điều với nhau nếu tồn tại b ∈ A sao cho
a s = b−1 a s s b, với mọi s ∈ G. Đây là một quan hệ tương đương trên Z 1 (G, A).
Định nghĩa 1.3.3 ([40, Chap. I, Sec. 5.1, pp. 45-46]). Tập thương của Z 1 (G, A) theo
quan hệ này được ký hiệu là H1 (G, A), và được gọi là tập đối đồng điều Galois bậc
1 của G với hệ số trong A.
Tập này có một phần tử được đánh dấu (gọi là phần tử tầm thường và ký hiệu là
(1)): là lớp tương đương của 1-đối xích đơn vị s → 1. Ta kiểm tra được H1 (G, A) =
lim H1 (G/U, AU ), với U chạy trên các nhóm con mở của G. Các hàm tử H1 (G, ∗) :
−
−
→
A → H1 (G, A) là hiệp biến theo A. Với A là một G-nhóm giao hốn, ta có thể định
nghĩa nhóm đối đồng điều Hi (G, A), với mọi i ≥ 0, nhờ vào dãy phức dây chuyền

liên tục, tương tự như đối đồng điều của nhóm.
Nhờ những phân tích trên chúng ta có thể định nghĩa đối đồng điều Galois của
nhóm đại số tuyến tính.
Định nghĩa 1.3.4 ([40, Chap. II, Sec. 1.1, pp. 71-72]). Cho G là một nhóm đại số
tuyến tính xác định trên một trường k. Giả sử L/k là một mở rộng Galois, khơng
nhất thiết hữu hạn. Khi đó, ta có một tác động tự nhiên, liên tục của nhóm Galois
Gal(L/k) lên nhóm các điểm L-hữu tỷ G(L). Ta định nghĩa đối đồng điều Galois
bậc q ứng với mở rộng L/k là Hq (Gal(L/k), G(L)).
24


Nhận xét. Trong trường hợp, G(L) khơng giao hốn, ta chỉ xét q = 0, 1. Ta ký kiệu
Hq (k, G) := Hq (Gal(k s /k), G(k s )). Khi đó, ta có
Hq (k, G) = lim Hq (K/k, G(K)),
−
−
→
trong đó, giới hạn được lấy trên tất cả các mở rộng Galois hữu hạn K/k, K ⊆ k s .
Định nghĩa 1.3.5 ([40, Chap. I, Sec. 5.3, p. 47]). Cho A là một G-nhóm, a ∈
Z 1 (G, A). Khi đó, ta nói một G-tập, ký hiệu là a A, là xoắn của A bởi 1-đối xích
a nếu và chỉ nếu a A = A (về mặt tập hợp) và G tác động lên a A như sau:
s ∗ x = a s s xa−1 .
s
Khi đó, ta có một song ánh chính tắc τa : H1 (G, a A) → H1 (G, A), chuyển phần
tử 0 của H1 (G, a A) vào lớp tương đương α = [a] của 1-đối xích a.
Giả sử B là một G-nhóm con chuẩn tắc của A. Khi đó, ta cũng định nghĩa phép
xoắn bởi 1-đối xích theo cơng thức trên. Ký hiệu b là ảnh của a trong Z 1 (G, A/B).
Khi đó, ta có dãy khớp các G-nhóm
1 → B → A → A/B → 1,
1 → a B → a A → b (A/B) → 1.

Cho u : A → B là một G-đồng cấu (tức là, một G-cấu xạ đồng thời là đồng cấu
nhóm) giữa các G-nhóm. Khi đó, u cảm sinh ánh xạ
v : H1 (G, A) → H1 (G, B).
Cho α = [a] ∈ H1 (G, A), và a ∈ Z 1 (G, A). Ký hiệu A = a A, B = b B. Khi đó, u cảm
sinh một G-đồng cấu u : A → B . Do đó, u cũng xác định một ánh xạ
v : H1 (G, A ) → H1 (G, B ).
Mệnh đề 1.3.6 ([40, Chap. I, Sec. 5.4, p. 50]). Với những khái niệm như trên, ta có
biểu đồ giao hốn sau
v
H1 (G, A) −−→ H1 (G, B)
−−
τ
τ
a
b






v

H1 (G, A ) −−→ H1 (G, B ).
−−
Cho A là một G-nhóm con của G-nhóm B, đặt C = B/A. Khi đó, C là một G-tập
và nếu A chuẩn tắc trong B thì C là một G-nhóm. Giả sử γ là một phần tử của
H0 (G, C) = (B/A)G , và b là một đại diện của nó trong B. Đặt a s = b−1 s b. Khi đó,
25