SKKN Giúp học sinh lớp 12 trường THPT Nguyễn Du học tốt hơn chương III Giải tích 12 thông qua các sai lầm thường gặp khi tính tích phân

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“GIÚP HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU HỌC
TỐT HƠN CHƯƠNG III GIẢI TÍCH 12 THÔNG QUA CÁC SAI
LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN”
A- Phần Mở Đầu
I. Lý Do Chọn Đề Tài.
 Bài toán tính tích phân là bài toán quan trọng trong các kỳ thi. Tuy nhiên,
qua nhiều năm dạy lớp 12, tôi nhận thấy phần lớn học sinh thường mắc phải
một số sai lầm “ấu trĩ” khi tính toán. Để giúp học sinh lớp 12 học tốt hơn và
không mắc phải những sai lầm kiểu như vậy, tôi tổng hợp và viết đề tài :
“Giúp Học Sinh Lớp 12 Trường THPT Nguyễn Du Học Tốt Hơn Chương III
Giải Tích 12 Thông Qua Các Sai Lầm Thường Gặp Khi Tính Tích Phân”.
II. Mục Đích và Phương Pháp Nghiên Cứu
1.Mục đích
• Đối với học sinh (Hs).
 Giúp Hs hiểu sâu lý thuyết tích phân, nắm bắt được các sai lầm thường
gặp. Qua đó nâng cao khả năng tính toán các bài toán tính tích phân.
 Đặc biệt, đối với Hs khối 12 sẽ có thêm một tài liệu tham khảo tốt để
luyện thi đại học.
• Đối với giáo viên
 Có thêm một tài liệu tham khảo hay và bổ ích. Qua đó nâng cao chất
lượng dạy và học.
 Thông qua đề tài, trao đổi nâng cao chuyên môn giữa các Thầy cô.
2. Phương pháp
 Phương pháp phân tích: nghiên cứu thực trạng sử dụng phương pháp tính
tích phân. Đặc biệt là các sai lầm mà học sinh thường gặp.
 Phương pháp tổng hợp: sử dụng tài liệu tham khảo cùng với thực tế diễn
ra trên lớp, cùng với đóng góp của quý thầy cô.
 Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu và cung cấp những
kết quả thảo luận với các thầy cô giáo trong tổ , với học sinh.

 Phương pháp phân tích, thống kê số liệu: điều tra, khảo sát và phỏng vấn
học sinh lớp thực nghiệm.
III. Giới Hạn Của Đề Tài
 Đề tài được áp dụng cho học sinh khối 12 trong việc tránh các sai lầm trong
quá trình tính tích phân.
IV. Các Giả Thiết Nghiên Cứu
 Nếu không áp dụng được sáng kiến thì nhiều học sinh sẽ mắc nhiều sai lầm
trong tính tích phân, mất nhiều thời gian hơn trong quá trình phát hiện các sai
lầm.
 Nếu được áp dụng, phần lớn học sinh sẽ nhận ra những sai lầm đó, giảm đi
thời gian học và đạt được kết quả tốt trong các kỳ thi.
V. Cơ Sở Lý Luận và Cơ SỞ Thực Tiễn
1. Cơ sở lý luận khoa học
 Cơ sở tâm lý học: con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu
cần tư duy.
 Trong khoa học nói chung, toán học nói riêng, Dựa trên nguyên tắc quá trình
nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái
niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học
sinh
2. Cơ sở thực tiễn
 Bài toán tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần là một dạng
toán quan trọng, luôn xuất hiện trong các kỳ thi. Tuy nhiên, trong quá trình
làm toán tích phân, học sinh thường mắc phải rất nhiều sai lầm. Sai lầm
trong quá trình tính toán, công thức và cả trong tư duy.
VI. Kế Hoạch Thực Hiện
 Mỗi năm học đều được áp dụng cho các lớp 12 và hoàn thiện dần. Từ đó tìm
kiếm thêm các sai lầm mà học sinh thường hay gặp.Trao đổi chuyên môn
cùng quý Thầy cô trong tổ, trong và ngoài trường.
 Đề tài được thực hiện trong năm học 2013-2014 với kế hoạch cụ thể như sau:
Stt Thời gian Kế hoạch thực hiện

1 Từ 01/8/2013
đến
01/11/2013
Xác định đề tài nghiên cứu.
Xây dựng đề cương chi tiết.
2
Từ 02/11/2013
đến
31/01/2014
Thu thập tư liệu lý luận dạy học và nghiên cứu đề
tài.
Hoàn thiện đề tài.
5 Từ 01/02/2014
đến
01/04/2014

Tiến hành điều tra khảo sát và đánh giá kết
quả.
B- Phần Nội Dung.
I. Thực Trạng Và Những Mâu Thuẫn
 Trước đây, khi dạy học sinh lớp 12, tôi thường nhận ra các em mắc phải những
sai lầm rất ngớ ngẩn: áp dụng sai công thức, hiểu sai bản chất,… Và phần lớn
để nhận ra những sai lầm đó, học sinh phải trả giá cho kết quả trong các kỳ thi
và không còn cơ hội để khắc phục.
 Do vậy, nhằm giúp học sinh đạt kết quả tốt hơn trong các kỳ thi, đề tài này
được triển khai cho các lớp 12. Khi đó, học sinh cảm thấy tự tin hơn trong tính
tích phân và thường không phải mắc các sai lầm kiểu ngớ ngẫn như vậy nữa.
 Thuận lợi: Phần lớn học sinh trường THPT Nguyễn Du đều có học lực khá và
chịu khó học tập nên chỉ cần thực hiện là học sinh đã nhận ra và tránh được các
sai lầm đó.

 Khó khăn: Do thời lượng chương trình nặng nên không có những buổi ngoại
khóa để áp dụng với học sinh toàn khối 12 mà chỉ áp dụng được với một số lớp
12 mà tôi trực tiếp giảng dạy.
II. Các Biện Pháp Giải Quyết Vấn Đề
Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân:
 Sai lầm 1: Vận dụng nhầm bảng nguyên hàm cơ bản
VD 1: Tính tích phân:
( )
1
4
0
2 1I x dx= +
∫
* Sai lầm thường gặp:
( )
( )
1
5
1
4
0
0
2 1
242
2 1
5 5
x
I x dx
+
= + = =

∫
* Nguyên nhân sai lầm : Học sinh vận dụng công thức
1
1
n
n
x
x dx C
n
+
= +
+
∫
* Lời giải đúng:
( ) ( ) ( )
( )
1
5
1 1
4 4
0 0
0
2 1
1 121
2 1 2 1 2 1
2 10 5
x
I x dx x d x
+
= + = + + = = =

∫ ∫
(Có thể dùng phương pháp đổi biến)
* Cách khắc phục:
Học sinh phải vận dụng công thức
( )
( )
1
1
1
n
n
ax b
ax b dx C
a n
+
+
+ = +
+
∫
VD 2: Tính tích phân:
4
0
2cosI xdx
π
=
∫
* Sai lầm thường gặp:
4
4
0

0
2 2 1cos sinI xdx x
π
π
= = =
∫
* Nguyên nhân sai lầm : Học sinh vận dụng công thức
cos sinxdx x C= +
∫
* Lời giải đúng:
4
4
0
0
2 1
2
2 2
sin
cos
x
I xdx
π
π
= = =
∫
(Có thể dùng phương pháp đổi biến)
* Cách khắc phục: Học sinh phải vận dụng công thức
sin
cos
nx

nxdx C
n
= +
∫
 Sai lầm 2: Nhớ nhầm tính chất tích phân
VD 3: Tính tích phân:
1
0
.
x
I x e dx=
∫
* Sai lầm thường gặp:
1
1 1 1
2
1
0
0 0 0
0
1
2 2
. .
x x x
x e
I x e dx xdx e dx e
−
= = = =
∫ ∫ ∫
* Nguyên nhân sai lầm:Học sinh vận dụng công thức

( ). ( ) ( ) . ( )f x g x dx f x dx g x dx
=
∫ ∫ ∫
* Lời giải đúng: Đặt
,
x x
u x du dx
ta ñöôïc
dv e dx v e
 
= =
 
 
= =
 
 
\
Vậy
1 1
1 1
0 0
0 0
1. .
x x x x
I x e dx x e e dx e e= = − = − =
∫ ∫
* Cách khắc phục: Học sinh phải vận dụng công thức tích phân từng phần
udv uv vdu
= −
∫ ∫

 Sai lầm 3: Sai lầm khi đổi biến số
VD 4: Tính tích phân:
2
0
sin
cos .
x
I x e dx
π
=
∫
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = sinx => dt = cosx.dx
Vậy
2
2
2
0
0
1
t t
I e dt e e
π
π
π
= = = −
∫
* Nguyên nhân sai lầm : Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận.
* Lời giải đúng: Đặt t = sinx => dt = cosx.dx
Đổi cận :
Vậy

1
1
0
0
1
t t
I e dt e e= = = −
∫
x 0
2
π
t 0 1
* Cách khắc phục: Học sinh thực hiện đầy đủ các bước phương pháp tích phân đổi biến.
VD 5: Tính tích phân:
( )
1
3
0
2 1I x dx= +
∫
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = 2x+1
Đổi cận :
Vậy
3
3
4
3
1
1
20

4
t
I t dt= = =
∫
* Nguyên nhân sai lầm:Học sinh đổi biến, đổi cận nhưng không tính vi phân dt.
* Lời giải đúng: Đặt t = 2x+1 => dt =2dx
Đổi cận :
x 0 1
t 1 3
x 0 1
t 1 3
Vậy
3
3
4
3
1
1
1
10
2 8
t
I t dt= = =
∫
* Cách khắc phục: Học sinh thực hiện đầy đủ các bước phương pháp tích phân đổi biến.
Giúp học sinh tạo thói quen kiểm tra lại kết quả nhờ máy tính bỏ túi.
 Sai lầm 4: Vận dụng không đúng định nghĩa tích phân
VD 6: Tính tích phân: I =
2
2

dx
x
−
∫
* Sai lầm thường gặp: I =
2
2
2
2
2 2 0ln ln ln
dx
x
x
−
−
= = − =
∫

* Nguyên nhân sai lầm :Hàm số y =
1
x
không xác định tại x= 0
[ ]
2;2−∈
suy ra hàm số
không liên tục trên
[ ]
2;2−
nên không sử dụng được công thức Newtơn – leibnitz như cách
giải trên.

* Lời giải đúng: Hàm số y =
1
x
không xác định tại x=0
[ ]
2;2−∈
suy ra hàm số không liên
tục trên
[ ]
2;2−
do đó tích phân trên không tồn tại.
* Cách khắc phục: Khi tính
dxxf
b
a
)(
∫
cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên
[ ]
ba;

không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính
VD 7: Tính tích phân: I =
∫
−
+
2
2
2
)1(x

dx
* Sai lầm thường gặp: I =
∫
−
+
2
2
2
)1(x
dx
=
∫
−
+
+
2
2
2
)1(
)1(
x
xd
=
2
2
1 4
1 3x
−
−
− =

+
* Nguyên nhân sai lầm :Hàm số y =
2
)1(
1
+x
không xác định tại x= -1
[ ]
2;2−∈
suy ra hàm
số không liên tục trên
[ ]
2;2−
nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như
cách giải trên.
* Lời giải đúng: Hàm số y =
2
)1(
1
+x
không xác định tại x= -1
[ ]
2;2−∈
suy ra hàm số
không liên tục trên
[ ]
2;2−
do đó tích phân trên không tồn tại.
* Cách khắc phục: Khi tính
dxxf

b
a
)(
∫
cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên
[ ]
ba;

không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không
thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1/
∫
−
5
0
4
)4(x
dx
. 2/
dxxx
2
1
3
2
2
)1( −
∫
−

. 3/
dx
x
∫
2
0
4
cos
1
π
4/
dx
x
xex
x
∫
−
+−
1
1
3
23
.
 Sai lầm 5: Hàm số trong đổi biến không tồn tại
VD8 :Tính tích phân: I =
∫
+
π
0
sin1 x

dx
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tg
2
x
thì dx =
2
1
2
t
dt
+
;
xsin1
1
+
=
2
2
)1(
1
t
t
+
+
⇒
∫
+ x
dx
sin1
=

∫
+
2
)1(
2
t
dt
=
∫
−
+
2
)1(2 t
d(t+1) =
1
2
+t
+ c
⇒
I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
=
1
2
2

+
−
x
tg
π
0
=
1
2
2
+
−
π
tg
-
10
2
+tg
do tg
2
π
không xác định nên tích phân trên không tồn tại
*Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tg
2
x
x
[ ]
π
;0∈

tại x =
π
thì tg
2
x
không có nghĩa.
* Lời giải đúng:
I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
=
∫∫






−=






−







−
=






−+
π
π
π
π
π
π
π
0
0
2
0
42
42
cos
42

2
cos1
x
tg
x
x
d
x
dx
= tg
2
44
=






−
−
ππ
tg
.
* Cách khắc phục: Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một
hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên
[ ]
ba;
.
*Một số bài tập tương tự:

Tính các tích phân sau: 1/
∫
π
0
sin x
dx
2/
∫
+
π
0
cos1 x
dx
 Sai lầm 6: Sai lầm trong việc bỏ dấu trị tuyệt đối
VD9: Tính I =
∫
+−
4
0
2
96xx
dx
* Sai lầm thường gặp:
I =
∫
+−
4
0
2
96xx

dx =
( ) ( ) ( )
( )
4
2
9
2
1
2
3
333
4
0
4
0
2
4
0
2
−=−=
−
=−−=−
∫∫
x
xdxdxx
* Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi
( )
33
2

−=− xx
với x
[ ]
4;0∈
là không tương đương.
* Lời giải đúng:
I =
∫
+−
4
0
2
96xx
dx =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫∫∫
−−+−−−=−−=−
3
0
4
3
4
0
4
0
2
3333333 xdxxdxxdxdxx
= -
( ) ( )
5

2
1
2
9
2
3
2
3
4
3
2
3
0
2
=+=
−
+
− xx
* Cách khắc phục: Ta có :
( )( ) ( )
xfxf
n
n
=
2
2

( )
Nnn ∈≥ ,1
I =

( )( )
=
∫
b
a
n
n
xf
2
2
( )
dxxf
b
a
∫
ta phải xét dấu hàm số f(x) trên
[ ]
ba;
rồi dùng tính chất tích phân
tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau :
1/ I =
∫
−
π
0
2sin1 x
dx 2/ I =
∫

+−
3
0
23
2 xxx
dx 3/ I =
∫






−+
2
2
1
2
2
2
1
x
x
dx
 Sai lầm 7: Sử dụng công thức trong sách tham khảo cũ
VD9: Tính I =
∫
−
++
0

1
2
22xx
dx
* Sai lầm thường gặp:I =
( )
( )
( )
4
011
11
1
0
1
0
1
2
π
=−=+=
++
+
−
−
∫
arctgarctgxarctg
x
xd
* Nguyên nhân sai lầm :Học sinh không học khái niệm arctgx trong sách giáo khoa hiện
thời
* Lời giải đúng: Đặt x+1 = tgt

( )
dtttgdx
2
1 +=⇒
Đổi cận :
x -1 0
t 0
4
π
Khi đó I =
( )
∫∫
===
+
+
4
0
4
0
4
0
2
4
1
1
π
π
π
π
tdt

ttg
dtttg
* Cách khắc phục: Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày trong sách giáo khoa
hiện thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách
tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000
đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp
dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng
∫
+
b
a
dx
x
2
1
1
ta dùng phương
pháp đổi biến số đặt t = tgx hoặc t = cotgx ;
∫
−
b
a
dx
x
2
1
1
thì đặt x = sint hoặc x = cost
*Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau :

1/ I =
∫
−
8
4
2
16
dx
x
x
2/ I =
dx
x
xx
∫
+
++
1
0
2
3
1
322
3/ I =
∫
−
3
1
0
8

3
1 x
dxx
 Sai lầm 8: Đổi biến nhưng không đổi cận được
VD10:Tính :I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint => dx = costdt
Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
với x=
4
1
thì t = ?
* Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2
1 x−
thì thường đặt x =
sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =
4
1
không tìm

được chính xác t = ?
* Lời giải đúng: Đặt t =
2
1 x−
⇒
dt =
xdxtdtdx
x
x
=⇒
−
2
1
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
4
1
thì t =
4
15

1
3
4
2
0
1
x
I dx
x
=

−
∫
=
( )
( )
∫ ∫
−=−








−=








−=−=
−
4
15
1
4

15
1
4
15
1
3
2
2
3
2
192
1533
3
2
192
1515
4
15
3
1
1 t
tdtt
t
tdtt
* Cách khắc phục: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2
1 x−
thì thường đặt x = sint
hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x
2

thì đặt x = tgt nhưng cần chú ý đến cận của
tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương
pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác.
*Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau :1/ I =
dx
x
x
∫
+
7
0
2
3
1
2/I =
∫
+
2
1
2
1xx
dx
 Sai lầm 9: Biến đổi biểu thức có nghĩa về biểu thức vô nghĩa trong đoạn
;a b
 
 
VD11: tính I =
∫
−

+
−
1
1
4
2
1
1
dx
x
x
* Sai lầm thường gặp: I =
∫ ∫
− −
−






+






−
=

+
−
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
dx
x
x
x
x
x
x
Đặt t = x+
dx
x
dt
x







−=⇒
2
1
1
1
Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;
I =
∫
−
−
2
2
2
2t
dt
=
dt
tt
)
2
1
2
1
(

2
2
−
−
+
∫
−
=(ln
2+t
-ln
2−t
)
2
2
2
2
2
2
ln
−−
−
+
=
t
t
= ln
22
22
ln2
22

22
ln
22
22
−
+
=
−−
+−
−
−
+
* Nguyên nhân sai lầm:
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
+
−

=
+
−
là sai vì trong
[ ]
1;1−
chứa x = 0 nên không thể
chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được
* Lời giải đúng:
Ta có:
( )
1 1 1 1
2 2
4 2
2 2
2
1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 2
1
2 2 2 1 2 1
1 2
x x x x
dx dx dx dx
x
x x x x
x x
− − − −
 
− − − +
= = −

 ÷
 ÷
+
− + + +
+ −
 
∫ ∫ ∫ ∫
Do đó
1
1
2 2
4
2
1
1
1 1 2 1 1 2 2
1
2 2 2 1 2 2 2
ln ln
x x x
I dx
x
x x
−
−
− − + −
= = =
+
+ + +
∫

* Cách khắc phục: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý
rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 .
III/ HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành đối với đối tượng học sinh khối 12 trường
THPT Nguyễn Du. Mẫu nghiên cứu được chọn là 73 học sinh ở hai lớp 12A9(lớp
TN) và 12A8(lớp ĐC) năm học 2013-2014.
 Đề tài đã được áp dụng trong các giờ luyện tập và tự chọn theo đúng phân phối
chương trình.
 Qua thực tế khi áp dụng đề tài cho lớp 12A9 tôi thấy kết quả học tập của các em
tốt hơn. Và các em tự tin hơn khi gặp các bài tập tích phân.
 Trước tác động, tiến hành kiểm tra 15 phút phần tính nguyên hàm cho cả hai lớp
trên, nội dung đề kiểm tra hai lớp giống nhau và phù hợp với chuẩn kiến thức kĩ
năng môn Toán, sau đó tính điểm trung bình và đánh giá sự chênh lệch giữa điểm
số trung bình của lớp TN và lớp ĐC.
Lớp 12A9 (TN) 12A8 (ĐC) Kết quả
Điểm trung
bình
trước tác động
M
1
= 6.94118 M
2
= 7.17949 M
1
< M
2
Bảng 1: Xác định chênh lệch điểm trung bình của lớp TN và lớp ĐC
 Từ kết quả trên chúng tôi nhận xét: Qua kiểm tra 15 phút (trước tác động), điểm
trung bình lớp thực nghiệm (6.94118) nhỏ hơn một ít so với điểm trung bình lớp đối
chứng (7.17949). Vậy lực học của lớp thực nghiệm yếu hơn một ít.

 Kiểm tra đánh giá kết quả học tập sau khi đã áp dụng sáng kiến với lớp 12A9. Giáo
viên tiến hành đánh giá kết quả học tập của hai lớp được chọn nghiên cứu bằng cách
cho làm bài kiểm tra 15 phút. Kết quả như sau:
Lớp 12A9 12A8 Kết quả
Điểm trung
bình
sau tác động
M
1
’ = 7.32353 M
2
’ = 7.20513 M
1
’ > M
2
’
Bảng 2: Kiểm chứng xác định chênh lệch điểm trung bình của lớp TN và lớp ĐC
 Cụ thể hơn ta có thể đánh giá sự tiến bộ của học sinh lớp thực nghiệm 12A9 bằng
cách so sánh sự chênh lệch điểm trung bình trước tác động và sau tác động.
Bảng điểm trung bình của lớp TN & ĐC trước tác động và sau tác động
Lớp Điểm trung
bình
trước tác động
Điểm trung bình
sau tác động
Chênh lệch điểm trung
bình trước tác động và
sau tác động
Lớp TN 12A9 6.94118 7.32353 7.32353– 6.94118=
0.38235

Lớp ĐC 12A8 7.17949 7.20513 7.20513- 7.17949=
0.02564
 Ta nhận thấy sau tác động Mean
TN
(7.32353) > Mean
ĐC
(7.20513), kết quả học tập của
học sinh nghiêng về lớp TN. Hơn nữa chênh lệch của điểm trung bình kiểm tra trước
và sau của lớp TN (0.38235) cũng lớn hơn rất nhiều so với lớp ĐC(0.02564).
 Từ các kết quả thực nghiệm này, chúng tôi khẳng định rằng: Giải pháp : “Giúp Học
Sinh Lớp 12 Trường THPT Nguyễn Du Học Tốt Hơn Chương III Giải Tích 12 Thông
Qua Các Sai Lầm Thường Gặp Khi Tính Tích Phân“ áp dụng cho học sinh lớp 12
mang lại hiện quả tích cực và có ý nghĩa.
Phụ lục : Bảng điểm kiểm tra của hai lớp TN và ĐC
Bảng điểm kiểm tra 15 phút và 15 phút (lần 2) của lớp Thực Nghiệm 12A9
STT HỌ VÀ TÊN Lớp
Điểm KT
15 phút
trước tác
động
Điểm KT 15
phút sau tác
động
1 Đỗ Quốc Ngọc Bích 12A9 5 8
2
Trương Ngọc Minh
Châu 12A9 8 7
3 Trần Trọng Chí 12A9 6 6
4
Nguyễn Đắc Chí

Cường 12A9 7 7
5 Bạch Ngọc Danh 12A9 9 9
6 Lê Đình Hiếu Đông 12A9 9 10
7 Phạm Quỳnh Giao 12A9 7 8
8
Trương Thị Ngọc
Hà 12A9 5 6
9 Trần Sĩ Hoài 12A9 7 4
10 Huỳnh Lê Hoàn 12A9 8 7
11 Nguyễn Huy Hoàng 12A9 5 5
12 Trần Hùng Mạnh 12A9 5 5
13 Nguyễn Thị Minh 12A9 4 7
Nguyệt
14
Trương Vũ Tuyết
Nhi 12A9 7 10
15 Võ Hoàng Oanh 12A9 6 8
16 Hồ Triều Phú 12A9 7 8
17 Lê Thị Loan Phụng 12A9 8 7
18 Nguyễn Anh Phụng 12A9 6 6
19 Trần Minh Quang 12A9 8 7
20 Nguyễn Ngọc Sáng 12A9 7 8
21 Lê Đình Tâm 12A9 5 6
22 Trần Văn Tâm 12A9 8 9
23
Nguyễn Minh
Thắng 12A9 10 10
24 Cao Văn Thiên 12A9 6 7
25 Nguyễn Đoan Thuỳ 12A9 7 7
26 Bùi Thị Thủy Tiên 12A9 9 8

27 Nguyễn Minh Tiến 12A9 8 8
28
Hoàng Thị Hương
Trâm 12A9 6 5
29 Lê Thanh Tuấn 12A9 8 9
30
Nguyễn ánh Minh
Tuyền 12A9 9 9
31 Nguyễn Anh Tú 12A9 5 6
32 Lê Điệp Linh Vân 12A9 8 7
33
Nguyễn Thị Kiều
Vân 12A9 7 7
34
Nguyễn Quang
Tường Vi 12A9 6 8
Điểm Trung Bình 6.94118 7.32353
Bảng điểm kiểm tra 15 phút và 15 phút (lần 2) lớp Đối Chứng 12A8
STT HỌ VÀ TÊN Lớp
Điểm KT
15 phút
trước tác
động
Điểm KT
15 phút
lần 2
1
Trịnh Mai Phương
Anh 12A8 9 8
2

Đỗ Quốc Minh
Châu 12A8 4 5
3 Lê Cẩm Chi 12A8 5 7
4
Nguyễn Thành
Chương 12A8 8 7
5
Nguyễn Thanh
Danh 12A8 6 7
6 Phan Thị Kim Diệp 12A8 9 8
7 Nguyễn Thành Đạt 12A8 7 9
8
Hoàng Xuân
Huyền 12A8 8 8
9 Văn Vĩnh Khang 12A8 5 6
10
Nguyễn Thị Thiên
Kim 12A8 7 6
11 Hồng Vĩnh Lân 12A8 3 5
12 Trần Khánh Loan 12A8 10 9
13 Trương Thị Ly Ly 12A8 9 9
14
Nguyễn Trương
ánh Minh 12A8 8 9
15
Nguyễn Hữu
Nghĩa 12A8 7 7
16
Nguyễn Thị Hồng
Ngọc 12A8 8 7

17
Hồ Thị Thảo
Nguyên 12A8 8 8
18
Lương Nguyễn
Phú Nguyên 12A8 4 5
19 Lê Thị Yến Nhi 12A8 7 8
20 Phạm Thị Cẩm 12A8 5 4