CAC DẠNG BÀI TẬP -PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VECTO

CAC DNG BÀI TP -GII TOÁN VECTO

 : VECTO

A. Vecto 

: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O .  m A, B, C , D , O
a) B
AB
;
OB

b)  dài bng 
OB




MN BP
;
MA PN
.
t giác ABCD, gi M, N, P, Q lt là trm AB, BC, CD, DA. Chng minh:
MQNPQPMN  ;
.
i 4: Cho tam giác ABC có trng tròn ngoi tip . Gi
xng B qua O . Chng minh :
CBAH '
.
i 5: Cho hình bình hành ABCD . Dng

BCPQDCNPDAMNBAAM  ,,,
.
Chng minh
OAQ 


B. CH


a)
PQ NP MN MQ  
; b)
NP MN QP MQ  
;
c)
MN PQ MQ PN  
;

a)
0AD BA BC ED EC    
;
b)
AD BC EC BD AE   

m M, N, P, Q, R, S. Chng minh:
a)
PNMQPQMN 
. b)
RQNPMSRSNQMP 
.

m A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chng minh rng :
a)
AB
+
CD
+
EA
=
CB
+
ED

b)
AD
+
BE
+
CF
=
AE
+
BF
+
CD

c)
AB
+
CD
+

EF
+
GA
=
CB
+
ED
+
GF

d)
AB
-
AF
+
CD
-
CB
+
EF
-
ED
=
0


0OA OB OC OD   
.
u ABCDE tâm O Chng minh :
OOEODOCOBOA 

: Cho lu ABCDEF có tâm là O . CMR :
a)
OA
+
OB
+
OC
+
OD
+
OE
+
OF
=
0

b)
OA
+
OC
+
OE
=
0

c)
AB
+
AO

+
AF
=
AD

d)
MA
+
MC
+
ME
=
MB
+
MD
+
MF
( M tùy ý ).

i 8: Cho tam giác ABC ; v bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS
Chng minh rng :
RF
+
IQ
+
PS
=
0

i 
0EA EB EC ED   
.

a)
0AN BP CM  
; b)
AN AM AP
;
c)
0AM BN CP  
.


EA EB EC ED DA BC    
.

a) 
2IA IB IM

b) 
2NA NB

23IA IB IN

c) 
3PA PB

32IA IB IP  


a) CMR:
0GA GB GC  

3IA IB IC IG  
.
b) 
1
4
GA . CMR
20MA MB MC  

c) 
+
0AD BE CF  
.
+ 

a)
0OA OB OC OD   
;

4IA IB IC ID IO   
.


C. 

u c 
., CBCABCBA 


0
60BAD 

|
AB AD
| ;
BA BC
;
OB DC
.


AC BD
;
AB BC CD DA  
.


IB ID JA JC  
.

D. 

. Cho tam giác ABC và M, N lm AB, AC.
a) Gm MN và BC. CMR : A, P , Q thng hàng.
b) Gi E, F tho mãn :
1
3

ME MN

,
1
3
BF BC

. CMR : A, E, F thng hàng.
. m AB và F thuc tho mãn AF = 2FC.
a) Gm tho mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thng hàng.
b) Ly N thuc BC sao cho BN = 2 NC và J thuc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thng hàng.
c) Lm EF. Tìm P thuc BC sao cho A, K, P thng hàng.
. m tho mãn :
3
MB MC O

,
3
AN NC

,
PB PA O

.
CMR : M, N, P thng hàng. (
1 1 1
,
2 2 4
MP CB CA MN CB CA
   

).
 mãn
2,
LB LC

1
2
MC MA


,
NB NA O

. CM : L, M, N
thng hàng.
. Cho tam giác ABC vi G là trng tâm. I, J tho mãn :
23
IA IC O

,
2 5 3
JA JB JC O
  
.
a) CMR : M, N, J thng hàng vm AB và BC.
b) m BI.
c) Gm thuc AB và tho mãn
AE kAB

 C, E, J thng hàng.

 mãn :
2 , 3 2 =
IA IB JA JC O

ng th

trên cạnh AC sao cho AK =
3
1
AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
i 8: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác đònh bởi các hệ thức
OACNAABOMABC  3;
. Chứng minh MN // AC.
E. nh v trí mm tho mãn mt
ng th
 m A, B, C. Tìm v m M sao cho :
a)
MB MC AB

b)
2
MA MB MC O
  

c)
2
MA MB MC O
  
d)
2

MA MB MC O
  

e)
MA MB MC O
  
f)
2
MA MB MC O
  

i 2: Cho tam giacù ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB . G là trọng tâm tam
giác ABC . D, E xác đònh bởi :
AD
= 2
AB
và
AE
=
5
2
AC
.
Tớnh
DE
vaứ
DG
theo
AB
vaứ

AC
. Suy ra 3 ủieồm D,G,E thaỳng haứng

888=============================8888888888888===============================888
F.


I.Lí THUYT:
1.TRC T:
Trc t (Trc , hay trc s ) l mng thnh mm O v m



1ii


c gi l gc t
i
c g ca trc t
2.T cm trờn trc:

u
nn trờn trc (O ;
i
) .Do
i
v
u

iau

vi a R. S c g
i s ca
u
hay t ca
u
i vi trc (O ;
i
)
m M nm trờn (O ;
i
) =>
imOMRm :

S c gi l t cm M
i s cc :
Trờn trc ( O ;
i
m A , B cú t i s c
AB hieọukyựAB

Ta cú :
abAB
.
Tớnh cht :
ACBCABiOCBACDABCDAB ::);(;;
;
3.BI TP
Bi 1:
i s c
AB

trờn trc (O ;
i
):
p dng cụng thc :
AB b a
vi a; b l t ca A; B
Thớ d : Trờn trc t (O ;
i
m A ; B ; C cú t lt l 2 ; 1 v 4.
1.Tớnh t
CABCAB ;;
2.Chm ca AC.
GII:
1. 1 2 3 3 6
2. 3
AB BC CA
BA BC BA BC



m ca AC
Tng quỏt :
Cho A ; B trờn trc ( O ;
i
) cú t m ca ABa+b = 2m (m l t ca M)
Bi 2:
Chng minh mt h thc liờn quan n cỏc di i s ca cỏc vec t trờn trc (O ;
i
)
O

I


Tính độ dài đại số của các vec tơ , chứng minh hệ thức đại số .
Chú ý.Chọn một trong các điểm là điểm gốc tọa độ để độ dài đại số của các vec tơ đơn giản hơn.
Thí d :
u hòa : Trên trc t (O ;
i
m A ; B ; C ; D có t lt là a ; b ;c ; d
(ABCD) là mu hòa 
CB
CA
DB
DA


.( )( ) ( ) . .
2
3.
AB
a b c d ab cd I A IB IC ID
AC AD
     

22
1 2 2
11
m AB
GII:
1. ( )( ) ( )( )

2( ) 2( ) ( ) ( ) 2( ) ( )( )(1)
DA CA a d a c
a d b c b d c a ab ac bd cd bc ab cd ad
b d b c
DB CB
ab cd ac bc ad bd ab cd c a b d a b ab cd a b c d

                  

                 

2. Chm I ca AB là gc t ta có:

2
22
2
a -b
-a
(1)2(ab cd) 0 ab -cd .
cd
IA IB IC ID
b cd
 


       

  


3. Chn A là gc t ta có:

2 1 1 2 1 1
(1) 2cd bc bd
b
hay
cd
AB AC AD
       

BÀI TP:
1.Trên trc t (O;
i
m A và B có t lt a và b .
a)Tìm t m M sao cho
)( 1 kMBkMA
 x
M
=
1

k
akb

b)Tìm t m I c
2
ba
x
I




c)Tìm t m N sao cho
NBNA 52 

7
25 ab
x
N



2.Trên trc (O ;
i
m A ; B ; C có t lm I sao cho :
0 ICIBIA

3
cba
x
I



3.Trên trc t m A ; B ;C ;D bt k .
a.Chng minh
0 BCADDBACCDAB

b.Gi I,J ,K ,L lm ca AC ; BD;AB và CD . Chm.
B.H TRC T

I.Lý thuyt :
1.T m  T 
 
);(:;
;:;
yxMjyixOMRyxmpOxyM
aaajaiaaRaampOxya


212121



);(;);(
2121
bbbaaa 

11
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
22
( ; ) ( ; ) ( ; )
ab
a b a b a b a b a b a b a b pa pa pa
ab


          




a

b a pb 

3.T mt s t bit :
Trong mpOxy cho 2 m A(x
1
;y
1
) B(x
2
;y
2
) và C(x
3
;y
3
)
T vecto
 
1212
yyxxAB  ;
T m ca AB








22
2121
yyxx
M ;

T trng tâm G ca tam giác ABC







33
321321
yyyxxx
G ;

II.BÀI TP:
Bài 1. Chứng minh 2 vecto
);(;);(
2121
bbvaau 
cùng phương .
PPháp:
Gi s 







pba
pba
vpu
22
11

Nu h trên có nghiu h trên vô nghi

Chú ý :Nu b
1
; b
2
0 thì
;uv

12
12
a
b
a
b
 


Thí d :
Cho 2 vecto
);(;);( 6231  vu

a 2 vecto trên.
Gii :
Gi s
;uv


1
12
1
2
3 6 1
2
2
p
p
u pv p
p
p






      









H có nghim ; vy
vu ;

Thí d 2:
m A(1; 2) B(3 ; 2) và C(4 ; 1) , Chng minh ABC là mt tam giác.
GII
ACABACAB ;);();( 
1
4
5
4
1544
ng hàng .
Vm A ; B ; C to thành tam giác.
Thí d 3:
Cho
 
2
2 ;4u m m  

( ;2)vm

 
GII :
Xét m = 0 =>
vuvu ;);(;);( 



4
2
2
0
2042

Xét
0; ;m u v

2
22
m 2 4
2 2 2 0
2
1
2
m
m m m m m
m
m
m

         







BÀI TP:
m A (1 ;2) B(0 ; 3) C(3; 4) D(1 ; 8) . B m trên b nào thng

2.m A(1 ;2) B(3 ; 1) C(3 ; 5)
a.Chng minh ABC là mt tam giác .
b.Tìm t trng tâm ca tam gia1cABC .
c)Gi I(0 ; 2) .Chng minh A ; G; M thng hàng.
d) Gi D(-5;4) .Chng minh ABCD là hình bình hành.
Bài 2:Tìm t ca vecto:
PP.Áp dng các phép toán ca vecto:
Thí d :
Cho 3 vecto:
     
525123  ;;; cba

Tìm t ca vecto
2 4 2 5u a b c va v a b c      

GII
);();();();(
);();();();(
171525105102223
2913208451462


vcba
ucba

Bài tp

1.Cho các vecto
   
64
2
1
102 ;;; 






 cba
. Tìm t vecto
);(: 3228542  uDScbau

2.Cho tam giác ABC , G là trng tâm ca tam giác . Tính t vecto
GBGCGAu 423 
-14)
Bài 3: 
1 2 1 2 1 2
c ( ; ) theo 2 vecto a (a ;a ) va b (b ;b ) cc  


Gi s :
1 1 1
2 2 2
c
xa yb c
xa yb

xa yb c


  




Gii h trên tìm x ; y.

Thí d :
Cho
     
525123  ;;; cba
.
1.Chng minh
;ab


c

a
và
b

Gii:
1.
32
;
-1 5

ab 

2. Gi s
15
32
15 11
17
c
2 5 5 11
17 17
17
x
xy
xa yb c a b
xy
y



  


       

  






BI TP
1.Cho
     
1; 2 3;1 4; 2 .a b c     


a
theo 2 vecto
b
;
c
:
37
5 10
a b c

2.Cho
     
5; 2 4;1 2; 7a b c     

a.Chng minh
b;a
 B.Phân tích vecto
theo 2 vecto ; : 2 3c a b DS c a b

Bài 4:
Tìm t nh th a hình bình hành ABCD khi bit A (x
1
;y

1
); B (x
2
y
2
) ;C(x
3
;y
3
)

Cách 1
Gi D (x;y). Tính
;DA BC
.
ABCD là hình bình hành
1 3 2
1 3 2
AD
x x x x
BC
y y y y
  

  

  


-Gii h trên tìm D(x ; y)

Cách 2:
-Tìm m I ca AC
-Tìm D bim ca BD

Thí d :
Cho tam giác ABC vi A(1; 2) B(3 ;1) C(3 ; 5) .Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành .
GII :
G m ca AC =>I(1 ;
2
3
)
m ca BD =>
);(D
y
x
45
31
23







Bài tp:
m A(2;1) B(2;1) C(2 ;3) .
a.Chng minh A,B,C không thng hàng . Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành . 
2;1)
2.Cho tam giác ABC vi A(1;2) B(3;2) C(4 ; -1) .

m I ca AC .b.Tìm D sao cho AB
);(D; 50
2
3
2
3









m M(-4 ; 1) N(2;4) P(2 ; 2) lm ca 3 cnh BC ; CA
và AB ca tam giác ABC.
-4;-5) C(-4;7)
b.Chng minh 2 tam giác ABC và MNP có cùng trng tâm.
4.Cho tam giác ABC vi A(3;6) B(9;10) C(-5;4) .
a.Tìm t trng tâm G c
b.Tìm D sao cho BGCD là hình bình hành.
m A(-2 ; -3) B(3;7) C(0;3) và D(-4 ; -5) .
a.Chng minh AB //CD m I c-12;-13)


m cn thng AB và CD vi A(x
1
;y
1

) ; B(x
1
;y
2
) ; C(x
3
;y
3
) ;
D(x
4
;y
4
)
Cách gii:
Gm cng thng AB và CD
; cung phuong
; cung phuong
AI AB
CI CD





Gii tìm I(x;y)
m cn AB và CD 
;
;
IA IB nguoc huong

IC IDnguoc huong






Thí d 1:
m A(0 ; 1) B(1; 3) C(2 ;7 ) và D(0;3).
m cn thng AC và BD
GII:
Gi
; (1)
; cung phuong (2)
AI ACcung phuong
I AC BD
BI BD


  




1
( ; 1) ; (2;6) (1) 6 2 2
26
( 1; 3) ( 1;0) (2) 3
xy
AI x y AC x y

BI x y BD y

        
      

2 2 2 4
;3 ; 2) ;4 2
3 3 3 3
x I IA IC IA
     
         
     
     
I thun AC
1 2 1
;0 ;0) 2 ;0 2
3 3 3
IB ID IB
     
       
     
     
I thun BD
Vy
2
I ;3
3




là giao cn AC và BD


Bài tp :
1. m cn thng
n AD không ct BC)
2. Trong mpOm A(0 ; 1) B(-1; -2) C(1 ;5 ) và D(-1;-1).
m cn thm ca BD và AC
Bài 6: Tìm tọa độ điểm trong mặt phẳng tọa độ:
 tìm t m M(x ; y) trong mp Oxy , ta dng vuông góc MA
1
và MA
2
vi Oy
Ta có x =
21
OAy;OA 

Thí d : Cho hình bình hành ABCD có AD = 4 và chiu cao ng vi cnh AD = 3, BAD=60
0
.
Chn h trc t  . Tìm t các vecto
ACvaø;CD;BC;AB


Bài tp:
u ABC có cnh là a . Chn h trc t m BC , trc
ng vi tia OC , trng vi tia OA.
a.Tìm t nh ca tam giác ABC.
b.Tìm t m I ca AC.

c.Tìm t ng tròn ni tip tam giác ABC
m M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) lm các cnh BC,
CA, AB. Tìm t nh ca tam giác

 m A, B, C thng hàng
H
A
x
y
D
B
C
K BH  AD =>BH=3 ;AB=2 ; AH =


u ABC cnh a . Chn h trc t (O;
i
;
j

m BC,
i
ng vi
OC
,
j
ng
OA
.
a) Tính t cnh ca tam giác ABC

b) Tìm t m E ca AC
c) Tìm t ng tròn ngoi tip tam giác ABC

Bài 4 : Cho lu ABCDEF. Chn h trc t (O;
i
;
j
lu ,

i
ng vi
OD
,
j
ng
EC
.
Tính t nh lu , bit cnh ca lc giác là 6 .

Bài 5:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm t m D nu bit:
a)
AD
 2
BD
+ 3
CD
=
0

b)

AD
 2
AB
= 2
BD
+
BC

c) ABCD hình bình hành
d) i BC = 2AD

Bài 6 m I(1; -3), J(-an bng nhau AI = IJ = JB
a) Tìm t ca A, B
b) Tìm t ci xng vi I qua B
c) Tìm t ca C, D bit ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
Bài 7: Cho
a
=(2; 1) ;
b
=( 3 ; 4) và
c
=(7; 2)
a) Tìm t c
u
= 2
a
- 3
b
+
c

b) Tìm t c
x
tha
x
+
a
=
b
-
c

Tìm các s m ; n tha
c
= m
a
+ n
b

i 8 : Trong mt phng t Oxy cho A(4 ; 0), B(8 ; 0), C(0 ; 4), D(0 ; 6), M(2 ; 3).
a/ Chng minh rng: B, C, M thng hàng và A, D, M thng hàng.
b/ Gi P, Q, R ln thng OM, AC và BD. Chng minh rm P, Q, R
thng hàng.
i 9. Trong mt phng t m A(1 ; 3), B(-ng tht Ox ti M
và ct Oy ti N. Tính din tích tam giác OMN.
i 10. Trong mt phng t Oxy cho G(1 ; 2). Tìm t m A thuc Ox và B thuc Oy sao cho G là
trng tâm tam giác OAB.
i 11. Trong mt phng t Oxy cho A(-4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2).
a/ Chnh ca mt tam giác.
b/ Tính chu vi ca tam giác ABC.

nh t trng tâm G và trc tâm H.
i 12. Cho tam giác ABC vi A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3).
nh t m D sao cho ABCD là hình bình hành.
nh t i xng vi A qua B.
c/ Tìm t trng tâm G ca tam giác ABC.
i 13. Cho A(1 ; 3), B(5 ; 1).
a/ Tìm t m I tha
.0 IBIAIO

b/ Tìm trên trm D sao cho góc ADB vuông.
*************************************************************************************

.