đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Ngày 10 tháng 5 năm 2014
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng (α) trong
không gian có dạng tổng quát
Ax + By + Cz + D = 0
véc–tơ
−→
n = (A, B, C) là véc–tơ pháp
tuyến của mặt phẳng (α).
Nếu mặt phẳng (α) cắt ba trục
Ox , Oy, Oz lần lượt tại A(a, 0, 0),
B(0, b, 0), C(0, 0, c), abc = 0 thì mặt
phẳng (α) có dạng đoạn chắn
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1
2. Phương trình đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm
M(x
0
, y
0

, z
0
) và có véc–tơ chỉ phương
−→
u = ( a, b, c) có dạng tham số





x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
z = z
0
+ ct
(t ∈ R)
Nếu abc = 0 thì ∆ còn được viết dưới
dạng chính tắc
x −x
0
a
=
y − y
0
b
=

z − z
0
c
II. BÀI TẬP MINH HỌA
1. Bài toán 1: Trong không gian Oxyz
cho điểm M(1, 2, 3). Lập phương
trình mặt phẳng (α) đi qua M và cắt
Ox
+
, Oy
+
, Oz
+
lần lượt tại A, B, C sao
cho thể tích tứ diện OABC có t hể tích
bằng 27.
Hướng dẫn
Giả sử mặt phẳng ( α) cắt chiều
dương trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại
A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) với
a, b, c > 0 . Khi đó mặt phẳng (α)
có dạng
x
a
+
y
b
+
z
c

= 1. Vì M ∈ (α )
nên
1
a
+
2
b
+
3
c
= 1. Áp dụng bất
đẳng thức AM − GM cho ba số
dương
1
a
,
2
b
,
3
c
. Ta có, 1 =
1
a
+
2
b
+
3
c

≥
3
3

6
abc
(∗) ⇒ V
OABC
=
abc
6
≥ 27.
Dấu “=” xảy ra ở (∗) khi và chỉ
khi
1
a
=
2
b
=
3
c
. Từ đó tìm được
a = 3, b = 6, c = 9. Vậy, mặt phẳng
(α) có dạng 6x + 3y + 2z −18 = 0.
2. Bài toán 2: Trong không gian Oxyz cho
điểm A(1, 2, 3) và hai đường thẳng d
1
có phương trình
x−2

2
=
y+2
−1
=
z−3
1
, d
2
có phương trình
x−1
−1
=
y−1
2
=
z+1
1
.
Lập phương trình đường thẳng d đi
qua A vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
Hướng dẫn
Giả sử d ∩ d
2
= {B} khi đó vì B ∈
d

2
nên B(1 − t, 1 + 2t, −1 + t). Từ đó
−→
AB = (−t, −1 + 2t, −4 + t). Ta có thể
coi
−→
AB là véc–tơ chỉ phương của d,
đường thẳng d
1
có véc–tơ chỉ phương
−→
u
1
= (2, −1, 1). Vì d ⊥ d
1
nên
−→
AB.
−→
u
1
= 0 ⇔ −2t + 1 − 2t − 4 +
t = 0 ⇔ t = −1. Đường thẳng d
đi qua điểm A(1, 2, 3) và có véc–tơ chỉ
phương
−→
AB = (1, −3, −5) nên d có
phương trình
x−1
1

=
y−2
−3
=
z−3
−5
.
3. Bài toán 3: Viết phương trình đường
thẳng d đi qua điểm M(1, −1, 1) và
cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt
có phương trình
x−1
2
=
y
1
=
z−3
−1
và
x+2
1
=
y−3
−2
=

z
1
.
Hướng dẫn
Đường thẳng d
1
đi qua điểm A(1, 0, 3)
và có véc–tơ chỉ phương
−→
u
1
=
(2, 1, −1), đường thẳng d
2
đi qua điểm
1
B(−2, 3, 0) và có véc–tơ chỉ phương
−→
u
2
= (1, −2, 1).
Ta có,
−−→
MA = (0, 1, 2), mặt phẳng (α)
đi qua M và chứa đường thẳng d
1
có
véc–tơ pháp tuyến là
−→
n

α
= [
−→
u
1
,
−−→
MA] =
(3, −4, 2) nên nó có phương trình 3x −
4y + 2z − 9 = 0. Tương tự,
−→
MB =
(−3; 4; −1) và mặt phẳng (β) đi qua
M và chứa d
2
có phương trình x + y +
z −1 = 0. Đường thẳng d đi qua M và
cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
chính là
giao tuyến của hai mặt phẳng (α), (β).
Dễ dàng tìm được d có phương trình
x−1
6
=
y+1
1
=

z−1
−7
.
4. Bài toán 4: Trong không gian tọa độ
Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương
trình 4x − 2y + z − 1 = 0 và đường
thẳng ∆ có phương trình





x = 1
y = −2 −t
z = −1 + t
Lập phương trình đường thẳng d là
hình chiếu vuông góc của ∆ lên mặt
phẳng (α).
Hướng dẫn
Đường thẳng ∆ đi qua điểm
M(1, −2, 1) và có véc–tơ chỉ phương
−→
u
∆
= (0, −1, 1). Gọi (β) là mặt phẳng
chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với
mặt phẳng (α). Từ đó, mặt phẳng (β)
nhận véc–tơ
−→
n

β
= [
−→
u
∆
,
−→
n
α
] = (1, 4, 4)
là véc–tơ pháp tuyến nên (β) có
dạng x + 4y + 4z + 11 = 0. Đường
thẳng cần tìm chính là giao tuyến
của (α ) và (β). Dễ dàng tìm được
phương trình chính tắc của d có dạng
x−1
4
=
y+2
5
=
z+1
6
.
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG
B-1. (KB–2004)Trong không gian Oxyz cho
điểm A(−4, −2, 4) và đường thẳng d có
phương trình






x = −3 + 2t
y = 1 −t
z = −1 + 4t
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A
cắt và vuông góc với d.
B-2. (KA–2005)Trong không gian Oxyz cho
đường thẳng d có phương trình
x−1
−1
=
y+3
2
=
z−3
1
và mặt phẳng (P) có phương
trình 2x + y −2z + 9 = 0.
(a) Tìm tọa độ điểm I ∈ d sao cho khoảng
cách từ I đến (P) bằng 2.
(b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường
thẳng d và mặt phẳng (P). Viết
phương trình đường thẳng ∆ nằm
trong (P) biết ∆ đi qua A và vuông góc
với d.
B-3. (KB–2006) Trong không gian Oxy z cho
điểm A(0, 1, 2) và hai đường thẳng d
1

có
phương trình
x
2
=
y−1
1
=
z+1
−1
, d
2
có phương
trình





x = 1 + t
y = −1 −2t
z = 2 + t
(a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
A đồng thời song song với d
1
, d
2
.
(b) Tìm tọa độ các điểm M ∈ d
1

, N ∈ d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
B-4. (KD–2006) Trong không gian Oxyz cho
điểm A(1, 2, 3) và đường thẳng d
1
:
x−2
2
=
y+2
−1
=
z−3
1
, d
2
:
x−1
−1
=
y−1
2
=
z+1
1
.
(a) Tìm tọa độ điểm A

đối xứng với điểm

A qua đường thẳng d
1
.
(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi
qua A vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
B-5. (KA–2007)Trong không gian Oxyz cho hai
đường thẳng d
1
:
x
2
=
y−1
−1
=
z+2
1
và đường
thẳng
d
2






x = −1 + 2t
y = 1 + t
z = 3
(a) Chứng minh d
1
, d
2
chéo nhau.
(b) Viết phương trình đường thẳng d
vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x +
y −4z = 0 và cắt cả hai đường thẳng
d
1
, d
2
.
B-6. (KA–2008) Trong không gian Oxyz cho
điểm A(2, 5, 3) và đường thẳng d có
phương trình
x−1
2
=
y
1
=
z−2
2
.
2
(a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của

điểm A trên đường thẳng d.
(b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa
d sao cho khoảng cách từ A đến (α) là
lớn nhất.
B-7. (KD–2009) Trong không gian Oxyz cho
đường thẳng ∆ :
x+2
1
=
y−2
1
=
z
−1
và
mặt phẳng (P) : x + 2y −3z + 4 = 0. Viết
phương trình đường thẳng d ∈ (P) sao cho
d cắt và vuông góc với ∆.
B-8. (KA–2010) Trong không gian Oxyz cho
đường thẳng ∆ :
x−1
2
=
y
1
=
z+2
−1
và mặt
phẳng (P) : x − 2y + z = 0. Gọi C là giao

điểm của ∆ và (P), điểm M ∈ ∆. Tính
khoảng cách từ M đến (P) biết MC =
√
6.
B-9. (KA–2011) Trong không gian Oxyz cho hai
điểm A(2, 0, 1) , B(0, −2, 3) và mặt phẳng
(P) : 2x − y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm
M ∈ (P) sao cho MA = MB = 3.
B-10. (KD–2011) Trong không gian Oxyz cho
điểm A(1, 2, 3) và đường thẳng d :
x+1
2
=
y
1
=
z−3
−2
. Viết phương trình đường thẳng ∆
đi qua A vuông góc với d và cắt truc Ox .
B-11. (KA–2012) Trong không gian Oxyz cho
đường thẳng d :
x+1
1
=
y
2
=
z−2
1

và điểm
I(0, 0, 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I
và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác
IAB vuông tại I.
B-12. (KA–2013) Trong không gian Oxyz cho
đường thẳng ∆ :
x−6
−3
=
y+1
−2
=
z+2
1
và điểm
A(1, 7, 3). Viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua A và vuông góc với ∆, tìm tọa độ
điểm M ∈ ∆ sao cho AM = 2
√
30.
3