HƯỚNG DẪN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN 12

UBND TNH BC NINH
 GIÁO DC VÀ ÀO TO
 CNG
ÔN THI THPT QUC GIA MÔN TOÁN
m hc 2014 - 2015
c Ninh, tháng 11 nm 2014
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015

CHUYÊN  1. KHO SÁT HÀM S VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Biên son và su tm: Ngô Vn Khánh – GV trng THPT Nguyn Vn C
1. Ch 1: Bài toán v tip tuyn
1.1. Dng 1: Tip tuyn ca  th hàm s ti mt m
00
M( , ) ( ): ()
x y C y fx
Î=
* Tính
''
()
y fx
=
; tính
'
0
()
k fx
=
(h s góc ca tip tuyn)
* Tip tuyn ca  th hàm s
()
y fx

=
ti m
(
)
00
;
Mxy
có phng trình
(
)
'
000
()
yy fxxx
-=-
vi
00
()
y fx
=
Ví d 1: Cho hàm s
3
35
yxx
=-+
(C). Vit phng trình tip tuyn ca  th (C):
a) i m A (-1; 7).
b) i m có hoành  x = 2.
c) i m có tung  y =5.
Gii:

a) Phng trình tip tuyn ca (C) ti m
000
(;)
Mxy
có dng:
0 00
'()()
yy fxxx
-=-
Ta có
2
'33
yx
=-
'(1)0
y
Þ -=
.
Do ó phng trình tip tuyn ca (C) ti m A(-1; 7) là:
70
y
-=
hay y = 7.
b) T
27
xy
=Þ=
.
y’(2) = 9. Do ó phng trình tip tuyn ca (C) ti m có hoành  x = 2 là:
7 9( 2) 7 9 18 9 11

y x y x yx
-= -Û-=-Û=-
c) Ta có:
33
0
535530 3
3
x
y xx xx x
x
é
=
ê
ê
=Û-+=Û-=Û=-
ê
ê
ê
=
ê
ë
+) Phng trình tip tuyn ti ca (C) ti m (0; 5).
Ta có y’(0) = -3.
Do ó phng trình tip tuyn là:
5 3( 0)
yx
-=
hay y = -3x +5.
+) Phng trình tip tuyn ti ca (C) ti m
( 3; 5)

-
.
2
'( 3) 3( 3) 3 6
y
- =- -=
Do ó phng trình tip tuyn là:
5 6( 3)
yx
-=+
hay
6 635
yx
=++
.
+) Tng t phng trình tip tuyn ca (C) ti
( 3; 5)
-
là:
6 635
yx
=-+
.
Ví d 2: Cho  th (C) ca hàm s
32
2 24
yxxx
=- +-
.
a) Vit phng trình tip tuyn vi (C) ti giao m ca (C) vi trc hoành.

GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015

b) Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti giao m ca (C) vi trc tung.
c) Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti m x
0
tha món y(x
0
) = 0.
Gii:
Ta cú
2
'3 42
yxx
= -+
. Gi
(
)
00
;
Mxy
l tip m thỡ tip tuyn cú phng trỡnh:
0 0 0 0 00
'()() '()() (1)
yy yxxx y yxxx y
-=-=-+
a) Khi

()
M C Ox
=

thỡ y
0
= 0 v x
0
l nghim phng trỡnh:
32
22402
xxxx
- + -==
; y(2) = 6, thay cỏc giỏ tró bit vo (1) ta c phng
trỡnh tip tuyn:
6( 2)
yx
=-
b) Khi

()
M C Oy
=
thỡ x
0
= 0
0
(0)4
yy
ị = =-
v
0
'( ) '(0) 2
yxy

==
, thay cỏc
giỏ tró
bit vo (1) ta c phng trỡnh tip tuyn:
24
yx
=-
.
c) Khi x
0
l nghim phng trỡnh y= 0. Ta cú: y = 6x 4.
y = 0
00
2 2 88
6 40
3 3 27
x x x yy
ổử
ữ
ỗ
ữ
- = = = ị = =-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
;
0

22
'()'
33
yxy
ổử
ữ
ỗ
ữ
==
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
Thay cỏc giỏ tró bit vo (1) ta c phng trỡnh tip tuyn:
2 100
3 27
yx=-
Vớ d 3: Cho hm s
3
31
yxx
=-+
(C)
a) Vit phng trỡnh tip tuyn d vi (C) tai m cú honh x=2.
b)Tip tuyn d ct li th (C) ti m N, tỡm ta ca m N.
Gii
a) Tip tuyn d ti m M ca th (C) cú honh
00

23
xy
=ị=
Ta cú
2
0
'( ) 3 3 '( ) '(2) 9
yx x yxy
=-ị ==
Phng trỡnh tip tuyn d ti m M ca th (C) l
0 00
'( )( ) 9( 2) 3 9 15
yyxxxyy x yx
= - + ị= -+ị= -
y phng trỡnh tip tuyn d ti m M ca th (C) l
9 15
yx
=-
b) Gi s tip tuyn d ct (C) ti N
Xột phng trỡnh
()
( )
332
2
3 1 9 15 12 16 0 2 2 8 0
4
x
xx x x x x xx
x
ộ

=
ờ
-+=-- +=- +-=
ờ
=-
ờ
ở
y
(
)
4; 51
N

l m cn tỡm
Vớ d 4: Cho hm s
3
3 1 ()
yxxC
=-+
v m
00
(,)
Axy
ẻ
(C), tip tuyn ca th
(C) ti m A ct (C) ti m B khỏc m A. tỡm honh m B theo
0
x
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015

i gii:
Vỡ m
00
(,)
Axy
ẻ
(C)
3
000
31
yxx
ị=-+
,
'2'2
00
33 ()33
yx yxx
=-ị =-
Tip tuyn ca th hm cú dng:
' 23
0 00 0 000
23
0 00
( )( ) (3 3)( ) 3 1
(3 3)( ) 2 1 ( )
yyxxxyyx xxxx
yxxxxd
= -+= - -+-+
= - +
Phng trỡnh honh giao m ca (d) v (C):

32 33232
0 00 00 00
2
0
0
0
0
0
31(33)()21 320()(2)0
( )0
( 0)
2
20
x x x xx x x xxx xxxx
xx
xx
x
xx
xx
-+= +- +=- +=
ộ
ộ
=
-=
ờ
ờ
ạ
ờ
ờ
=-

+=
ờ
ờ
ở
ở
y m B cú honh
0
2
B
xx
=-
Vớ d 5: Cho hm s
32
1
23
3
yxxx
= -+ (C). Vit phng trỡnh tip tuyn d ca th
(C) ti iờm cú honh
0
x
tha món
''
0
()0
yx
=
v chng minh d l tip tuyn ca (C) cú
s gúc nh nht.
Gii

Ta cú
' 2 ''
43 24
yxx yx
=-+ị=-
000
2
''( ) 0 2 4 0 2 (2; )
3
yx x xM= -= =ị
Khi ú tip tuyn ti M cú h s gúc
0
k
=
''
0
()(2)1
yxy
= =-
y tip tuyn d ca th (C) ti m
2
2;
3
M
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ốứ
cú phng trỡnh
(
)
'
000
()
yy fxxx
-=-
suy ra
()
2
12
3
yx
-=
hay
8
3
yx
=-+
Tip tuyn d cú h s gúc
0
k
=
-1
t khỏc tip tuyn ca thi (C) ti m by k trờn (C) cú h s gúc

(
)
2
'2
0
() 43 211
kyxxxxk
= = - + = - --=
Dõu = xy ra
1
x
=
nờn ta tip iờm trựng vi
2
2;
3
M
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
y tip tuyn d ca (C) ti m
2
2;

3
M
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
cú h s gúc nh nht.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015

Ví d 6: Vit phng trình tip tuyn vi  th (C):
2
1
x
y
x
+
=
-
ti các giao m ca (C)
i ng thng (d):
32
yx
=-
.

+ Phng trình hoành  giao m ca (d) và (C):
2
3 2 2 (3 2)( 1)
1
x
x x xx
x
+
= -Û+= - -
-
(x = 1 không phi là nghim phng trình)
2
3 6 0 0 ( 2) 2 ( 4)
xx xy xy
Û-=Û==-Ú==
y có hai giao m là: M
1
(0; -2) và M
2
(2; 4)
+ Ta có:
2
3
'
( 1)
y
x
-
=
-

.
+ Ti tip m M
1
(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tip tuyn có phng trình:
32
yx
=
+ Ti tip m M
2
(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tip tuyn có phng trình:
3 10
yx
=-+
Tóm li có hai tip tuyn tha mãn yêu cu bài toán là:
32
yx
=
và
3 10
yx
=-+
.
Ví d 7: Cho hàm s
32
11
323
m
yxx
=-+
(C

m
).i M là m thuc  th (C
m
) có hoành
 bng -1. Tìm m  tip tuyn vi (C
m
) ti M song song vi ng thng d: 5x-y=0
Gii
Ta có
'2
y x mx
=-
ng thng d: 5x-y=0 có h s góc bng 5, nên  tip tuyn ti M song song vi ng
thng d trc ht ta cn có
'
(1)5154
y mm
-=Û +=Û =
Khi
4
m
=
ta có hàm s
32
11
2
33
yxx
= -+
ta có

0
1
x
=-
thì
0
2
y
=-
Phng trình tip tuyn có dng
'
0 00
()( ) 5(1)2 53
y yxxx y y x y x
= -+Þ= +-Û=+
Rõ ràng tip tuyn song song vi ng thng d
y
4
m
=
là giá tr cn tìm.
Ví d 8: Cho hàm s
32
3
yx xm
=-+
(1).
Tìm m  tip tuyn ca  th (1) ti m có hoành  bng 1 ct các trc Ox, Oy ln
t ti các m A và B sao cho din tích tam giác OAB bng
3

2
.
Gii
i
00
12
x ym
=Þ = -Þ
M(1 ; m – 2)
- Tip tuyn ti M là d:
2
000
(36)()2
y x xxx m
= - - +-
Þ
d: y = -3x + m + 2.
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015

- d ct trc Ox ti A:
22
0 3 2 ;0
33
AA
mm
xmxA
ổử
++
ữ
ỗ

ữ
=-++=ị
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
- d ct trc Oy ti B:
2 (0 ; 2)
B
y m Bm
=+ị+
-
2
3132
|||| ||||3 23(2)9
2223
OAB
m
S OA OB OA OB m m
+
= = = += + =
231
235
mm
mm
ộộ
+==
ờờ

ờờ
+ =- =-
ờờ
ởở
y m = 1 v m = - 5
1.2. Dng 2: Vit tip tuyn ca thi hm s
()
y fx
=
(C) khi bit trc h s gúc ca nú
+ Gi
00
(,)
Mxy
l tip m, gii phng trỡnh
'
00
()
fx k xx
=ị=
,
00
()
y fx
=
+ n õy tr v ng 1,ta dờ dng lp c tip tuyn ca th:
00
()
ykxxy

= -+
Cỏc dng biu din h s gúc k:
*) Cho trc tip:
3
5; 1; 3;
7
kkkk= = = =
*) Tip tuyn to vi chiu dng ca trc Ox mt gúc
a
, vi
000
2
15 ;30 ;45 ; ; .
33
pp
a
ỡỹ
ùù
ùù
ẻ
ớý
ùù
ùù
ợỵ
Khi ú h s gúc k =
tan
a
.
*) Tip tuyn song song vi ng thng (d): y = ax + b. Khi ú h s gúc k = a.
*) Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng (d): y = ax + b

1
1kak
a
-
ị =-= .
*) Tip tuyn to vi ng thng (d): y = ax + b mt gúc
a
. Khi ú:
tan
1
ka
ka
a
-
=
+
.
Vớ d 9: Cho hm s
32
3
yxx
=-
(C). Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) bit h
gúc ca tip tuyn k = -3.
Gii:
Ta cú:
2
'36
y xx
=-

i
00
(;)
Mxy
l tip iờm
ị
Tip tuyn ti M cú h s gúc
'2
0 00
()36
kfx xx
= =-
Theo gi thit, h s gúc ca tip tuyn k = - 3 nờn:
22
00000
3632101
xx xx x
- =-- +==
Vỡ
00
1 2 (1; 2)
xyM
=ị=-ị-
.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015

Phng trinh tip tuyn cn tìm là
3(1)2 31
y x yx
=- - - Û =- +

Ví d 10: Vit phng trình tip tuyn ca  th hàm s
32
31
yxx
=-+
(C). Bit tip
tuyn ó song song vi ng thng y = 9x + 6.
Gii:
Ta có:
2
'36
y xx
=-
i
00
(;)
Mxy
là tip m
Þ
Tip tuyn ti M có h s góc
'2
0 00
()36
kfx xx
= =-
Theo gi thit, tip tuyn ó song song vi ng thng y = 9x + +6
Þ
tip tuyn có h
 góc k = 9
Þ

022
00 00
0
1 ( 1; 3)
3 6 9 2 30
3 (3; 1)
xM
xx xx
xM
é
=-Þ
ê
- =Û - -=Û
ê
=Þ
ê
ë
Phng trinh tip tuyn ca (C) ti M(-1;-3) là:
9( 1) 3 9 6
y x yx
= +-Û=+
(loi)
Phng trinh tip tuyn ca (C) ti M(3;1) là:
9( 3) 1 9 26
y x yx
= -+Û=-
Ví d 11: Cho hàm s
3
32
yxx

=-+
(C). Vit phng trình tip tuyn ca (C) bit tip
tuyn ó vuông góc vi ng thng
1
9
yx
-
= .
Gii:
Ta có
2
'33
yx
=-
. Do tip tuyn ca (C) bit tip tuyn ó vuông góc vi ng
thng
1
9
yx
-
= nên h s góc ca tip tuyn k = 9.
Do ó
22
' 3 3 9 4 2.
ykx xx
= Û - = Û = Û =±
+) Vi x = 2
4
y
Þ=

. Pttt ti m có hoành  x = 2 là:
9( 2) 4 9 14.
y x yx
= -+Û=-
+) Vi
20
xy
=-Þ=
. Pttt ti m có hoành  x = - 2 là:
9( 2) 0 9 18
y x yx
= ++Û=+
.
Vy có hai tip tuyn c (C) vuông góc vi ng thng
1
9
yx
-
= là:
y =9x - 14 và y = 9x + 18.
Ví d 12: Lp phng trình tip tuyn vi  th (C) ca hàm s:
42
1
2
4
yxx
=+,
bit tip tuyn vuông góc vi ng thng (d):
5 2010 0
xy

+-=
.
Gii:
(d) có phng trình:
1
402
5
yx=-+ nên (d) có h s góc là -
1
5
.
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015

i
D
l tip tuyn cn tỡm cú h s gúc k thỡ
1
. 1 5 ( ( ))
5
k kdod
- =- = D^ .
Ta cú:
3
'4
yxx
=+
nờn honh tip m l nghim phng trỡnh:
3
45
xx

+=
32
9
4 50 ( 1)( 5)0 10 1
4
xx xxx x xy
+ -= - ++ =-= =ị=
y tip m M cú ta l
9
1;
4
M
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
Tip tuyn cú phng trỡnh:
9 11
5(1)5
44
y x yx-= -=-
y tip tuyn cn tỡm cú phng trỡnh:
11
5

4
yx=
Vớ d 13: Cho hm s
2
23
x
y
x
+
=
+
(C). Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit rng tip
tuyn ct trc honh ti A, trc tung ti B sao cho tam giỏc OAB vuụng cõn ti O, õy O
l gúc ta .
Gii
Ta cú:
'
2
1
(2 3)
y
x
-
=
+
Vỡ tip tuyn to vi hai trc ta mt tam giỏc vuụng cõn nờn h s gúc ca tip tuyn
l:
1
k
=

Khi ú gi
(
)
00
;
Mxy
l tip m ca tip tuyn vi th (C) ta cú
'
0
()1
yx
=
0
2
0
0
2
1
1
1
(2 3)
x
x
x
ộ
=-
-
ờ
=
ờ

=-
+
ờ
ở
i
0
1
x
=-
thỡ
0
1
y
=
lỳc ú tip tuyn cú dng
yx
=-
(trng hp ny loi vỡ tip
tuyn i qua gúc ta , nờn khụng to thnh tam giỏc OAB)
i
0
2
x
=-
thỡ
0
4
y
=-
lỳc ú tip tuyn cú dng

2
yx
=
y tip tuyn cn tỡm l
2
yx
=
Vớ d 14: Cho hm s y =
21
1
x
x
-
-
cú th (C).
Lp phng trỡnh tip tuyn ca th (C) sao cho tip tuyn ny ct cỏc trc Ox, Oy ln
t ti cỏc m A v B tha món OA = 4OB.
Gii
Gi s tip tuyn d ca (C) ti
00
(; ) ()
MxyC
ẻ
ct Ox ti A, Oy ti B sao cho
4O
OAB
=
.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015


Do OAB vuông ti O nên
1
tan
4
OB
A
OA
==
 H s góc ca d bng
1
4
hoc
1
4
-
.
 s góc ca d là
0
22
00
1 11
()0
4
( 1) ( 1)
yx
xx
¢
=- < Þ- =-



00
00
3
1()
2
5
3()
2
xy
xy
é
ê
=-=
ê
ê
ê
==
ê
ë
Khi ó có 2 tip tuyn tha mãn là:
1 3 15
( 1)
4 2 44
1 5 1 13
( 3)
4 2 44
y x yx
y x yx
éé
êê

=- + + =- +
êê
Û
êê
êê
=- - + =- +
êê
ëë
.
1.3. Dng 3: Tip tuyn i qua iêm
Cho  th (C): y = f(x). Vit phng trình tip tuyn vi (C) bit tip tuyn i qua
m
(;)
A
ab
.
Cách gii
+ Tip tuyn có phng trình dng:
0 00
() '()( )
yfx fxxx
-=-
, (vi x
0
là hoành 
tip m).
+ Tip tuyn qua
(;)
A
ab

nên
0 00
( ) '( )( ) (*)
fxfxx
ba
-=-
+ Gii phng trình (*)  tìm x
0
ri suy ra phng trình tip tuyn.
Ví d 15: Cho  th (C):
3
31
yxx
=-+
, vit phng trình tip tuyn vi (C) bit
tip tuyn i qua m A(-2; -1).
Gii:
Ta có:
2
'33
yx
=-
i M
(
)
3
000
; 31
xxx
-+

là tip m. H s góc ca tip tuyn là
2
00
'()33
yxx
=-
.
Phng trình tip tuyn vi (C) ti M là
D
:
(
)
32
0000
3 1 (3 3)( )
y x x x xx
+=
D
qua A(-2;-1) nên ta có:
(
)
32
0000
1 31(33)(2)
xxxx
- + = -
32
00
3 40
xx

Û + -=
002
0 00
00
11
(1)(44)0
21
xy
x xx
xy
é
= Þ =-
ê
Û - + + =Û
ê
=- Þ =-
ê
ë
y có hai tip tuyn cn tìm có phng trình là:
: 1 ; : 9 17
y yx
D=-D=+
1.4. Dng 4. Mt s bài toán tip tuyn nâng cao.
Ví d 16: Tìm hai m A, B thuc  th (C) ca hàm s:
3
32
yxx
=-+
sao cho
tip tuyn ca (C) ti A và B song song vi nhau và  dài n AB =

42
.
Gii:
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015

i
33
( ; 3 2), ( ; 3 2),
Aaa a Bbb b ab
-+ -+ạ
l hai m phõn bit trờn (C).
Ta cú:
2
'33
yx
=-
nờn cỏc tip tuyn vi (C) ti A v B cú h s gúc ln lt l:
22
'()3 3'()3 3
ya a vyb b
=- =-
.
Tip tuyn ti A v B song song vi nhau khi:
22
'( ) '( ) 3 3 3 3 ( )( ) 0 ( ỡ 0)
ya yb a b abab a bva b ab
= -= - - + = =- ạ-ạ
2
2 233
4 2 32 ( ) ( 3 2) ( 3 2) 32

AB AB ab aa bb
ộự
= =-+ -+ + =
ờỳ
ởỷ
22
233 2 22
()( )3()32()()( )3()32
ab a b ab ab aba abb ab
ộựộự
-+ - =-+- ++- - =
ờỳờỳ
ởỷởỷ
2
2 222
()()( )332
ab ab a abb
ộự
-+- ++-=
ờỳ
ởỷ
, thay a = -b ta c:
(
)
(
)
22
222 222 642
4 4 3 32 3 80 6 10 80
b bb b bb b b b

+ - = + - -= - + -=
2422
22
( 4)( 2 2)0 40
22
ba
bbbb
ba
ộ
= ị =-
ờ
- - + = -=
ờ
=-ị=
ờ
ở
-i
22
a vb
=- =ị
( 2;0) , (2;4)
AB
-
- i
22
a vb
= =-ị
(2;4) , ( 2; 0)
AB
-

Túm li cp m A, B cn tỡm cú ta l:
( 2; 0) (2; 4)
v
-
Vớ d 17: Tỡm hai m A, B thuc th (C) ca hm s:
21
1
x
y
x
-
=
+
sao cho tip
tuyn ca (C) ti A v B song song vi nhau v di n AB =
2 10
.
Gii:
Hm sc vit li:
3
2
1
y
x
=-
+
i
33
;2 , ;2
11

Aa Bb
ab
ổ ửổử
ữữ
ỗỗ
ữữ

ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
++
ố ứốứ
l cp m trờn th (C) tha món yờu cu bi toỏn.
i u kin:
,1,1
abab
ạ ạ- ạ-
.
Ta cú:
2
3
'
( 1)
y
x
=
+
nờn h s gúc ca cỏc tip tuyn vi (C) ti A v B l:

22
33
'( ) '( )
( 1) ( 1)
ya vyb
ab
==
++
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015
10
Tip tuyn ti A v B song song khi:
22
33
'( ) '( )
( 1) ( 1)
ya yb
ab
==
++
11
2
112
a b ab
ab
a b ab
ộộ
+=+=
ờờ
=
ờờ

+ =- - =- -
ờờ
ởở
(1) (do
ab
ạ
)
2
22
33
2 10 40 ( ) 40
11
AB AB a b
ba
ổử
ữ
ỗ
ữ
==-+-=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
++
ốứ
22
22
336
( 2 2) 40 4( 1) 40

111
bb
bbb
ổ ử ổử
ữữ
ỗỗ
ữữ
+- =++=
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
+ +
ố ứ ốứ
( do thay a (1) )
2
42
2
(1)1 11 11
(1)10(1)90
13 13
(1)9
b bb
bb
bb
b
ộ
ộ
+ = +=+=-

ờ
ờ
+- ++=
ờ
ờ
+=+=-
+=
ờ
ờ
ở
ở
02
20
24
42
ba
ba
ba
ba
ộ
= ị =-
ờ
ờ
=-ị=
ờ

ờ
= ị =-
ờ
ờ

=-ị=
ờ
ở
p m A v B cn tỡm cú ta l:
( 2; 5) (0; 1) ; (2;1) ( 4; 3)
vv

Vớ d 18: Cho hm s: y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 cú (C
m
); (m l tham s). Xỏc nh m
(C
m
) ct ng thng y = 1 ti 3 m phõn bit C(0, 1), D, E sao cho cỏc tip tuyn ca
(C
m
) ti D v E vuụng gúc vi nhau.
Gii
Phng trỡnh honh giao m ca (C
m
) v ng thng y = 1 l:
x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 = 1 x(x
2

+ 3x + m) = 0
2
0
3 0 (2)
x
x xm
ộ
=
ờ
ờ
++=
ờ
ở
* (C
m
) ct ng thng y = 1 ti C(0, 1), D, E phõn bit:
Phng trỡnh (2) cú 2 nghim x
D
, x
E
0.

2
0
940
4
0300
9
m
m

m
m
ỡ
ù
ạ
ỡ
ù
ù
D=->
ù
ù
ù

ớớ
ùù
++ạ
<
ùù
ù
ợ
ù
ợ
Lỳc ú tip tuyn ti D, E cú h s gúc ln lt l:
k
D
= y(x
D
) =
2
3 6 ( 2 );

DDD
xxm xm
+ +=-+
k
E
= y(x
E
) =
2
3 6 ( 2 ).
EEE
xxm xm
+ +=-+
Cỏc tip tuyn ti D, E vuụng gúc khi v ch khi: k
D
k
E
= 1.
(3x
D
+ 2m)(3x
E
+ 2m) = 9x
D
x
E
+6m(x
D
+ x
E

) + 4m
2
= 1
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015
11
9m + 6m

(3) + 4m
2
= 1; (vỡ x
D
+ x
E
= 3; x
D
x
E
= m theo nh lý Vi-t).
4m
2
9m + 1 = 0 m =
(
)

1
9 65
8
S: m =
(
)

(
)

11
9 65 9 65
88
haym-=
Vớ d 19: p phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ca hm s:
22
1
x
y
x
-
=
+
, bit
ng khong cỏch tm I(-1; 2) n tip tuyn l ln nht.
Gii:
i
D
l tip tuyn ca th (C) ti tip m M
()
22
; , ()
1
a
a MC
a
ổử

-
ữ
ỗ
ữ
ẻ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+
ốứ
.
Ta cú:
()
22
44
' '() ,1
( 1) ( 1)
y yaa
xa
= ị = ạ-
++
y
22
2
224
: ( ) 4 ( 1) 2 4 2 0 (*)
1
( 1)

a
y xa xa yaa
a
a
-
D - = - - + + - -=
+
+
()
22
44
4( 1) ( 1) .2 2 4 2
81
;
4 ( 1) 4 ( 1)
a aa
a
dI
aa
+ +
+
D==
++ ++
.
Ta cú:
2
4222 42
4 ( 1) 2 ( 1) 2.2( 1) 4 ( 1) 2.2( 1) 2 1
a a a a aa
ộự

++=++ +ị++ +=+
ờỳ
ởỷ
()
81
;4
21
a
dI
a
+
ịDÊ=
+
. Vy
(
)
;
dI
D
ln nht khi
(
)
;
dI
D
= 4
22
121
2 ( 1)
123

aa
a
aa
ộộ
+==
ờờ
=+
ờờ
+ =- =-
ờờ
ởở
. C hai giỏ tru tha món
1
a
ạ
+ Vi a = 1 thay vo (*) ta c phng trỡnh tip tuyn l:
4 4 40 10
x y xy
- -= =
+ Vi a = -3 thay vo (*) ta c phng trỡnh tip tuyn l:
4 4 280 70
x y xy
- + =-+=
Túm li: Cú hai tip tuyn cn tỡm cú phng trỡnh l:
10; 70
xy xy
= =
Vớ d 20: Cho (C) l th hm s
1
21

x
y
x
+
=
+
. Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C),
bit tip tuyn ú ct trc honh, trc tung tng ng ti cỏc m A, B tha món
D
OAB vuụng cõn ti gc ta O.
Gii:
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
12
i
(
)
00
;
Mxy
là tip m. Tip tuyn vi (C) ti M phi tha mãn song song vi các
ng thng y = x hoc y = -x.
Ta có:
2
1
'
(2 1)
y
x
=-
+

nên tip tuyn vi (C) ti M có h s góc là:
0
2
0
1
'()0
(2 1)
yx
x
=-<
+
y tip tuyn vi (C) ti M song song vi ng thng d: y = -x
Do ó,
2
0
2
0
1
1(2 1)1
(2 1)
x
x
- =-Û +=
+
; (
0
1
2
x
=-

không là nghim phng trình)
0 00
0 00
211 01
211 1 0
x xy
x xy
éé
+= =Þ=
êê
ÛÛ
êê
+ =- =- Þ =
êê
ëë
. Vy có hai tip m là:
12
(0;1) , ( 1; 0)
MM
-
.
+ Ti m M
1
(0; 1) ta có phng trình tip tuyn là: y = - x + 1: tha mãn song song vi d
+ Ti m M
2
(-1; ) ta có phng trình tip tuyn là: y = - x - 1: tha mãn song song vi d
y có hai tip tuyn cn tìm có phng trình là:
1;1
yx yx

=- + =- -
Ví d 21: Cho hàm s
3
1
x
y
x
+
=
-
.
a) Kho sát s bin thiên và v th (C) ca hàm s.
b) Cho m
(;)
ooo
Mxy
thuc  th (C). Tip tuyn ca (C) ti M
0
ct các tim cn ca
(C) ti các m A và B. Chng minh M
o
là trung m ca n thng AB.
Gii
a)  làm
b)
(;)
ooo
Mxy

(C)


0
0
4
1
1
y
x
=+
-
.
Phng trình tip tuyn (d) ti M
0
:
00
2
0
4
()
( 1)
yy xx
x
-=
-
Giao m ca (d) vi các tim cn là:
00
(2 1;1), (1; 2 1)
Ax By

.


00
;
22
AB AB
xx yy
xy
++
== M
0
là trung m AB.
Ví d 22: Cho hàm s:
2
1
x
y
x
+
=
-
(C)
a) Kho sát s bin thiên và v th (C) ca hàm s.
b) Chng minh rng mi tip tuyn ca  th (C) u lp vi hai ng tim cn
t tam giác có din tích không i.
Gii
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015
13
a) lm
b) Gi s M
2

;
1
a
a
a
ổử
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
-
ốứ
(C).
PTTT (d) ca (C) ti M:
2
().()
1
a
y yaxa
a
+
Â
= -+
-

2
22
3 42
( 1) ( 1)
aa
yx
aa
- +-
=+

Cỏc giao m ca (d) vi cỏc tim cn l:
5
1;
1
a
A
a
ổử
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
-
,
(2 1;1)
Ba

-
.
6
0;
1
IA
a
đ
ổử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
-
ốứ
ị
6
1
IA
a
=
-
;
(2 2; 0)
IBa

đ
=-
ị
21
IBa
=-
Din tớch
IAB
D
: S
IAB
D
=
1
.
2
IAIB
= 6 (vdt)
ị
PCM.
Vớ d 23: Cho hm s
23
2
x
y
x
-
=
-
.

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Cho M l m bt kỡ trờn (C). Tip tuyn ca (C) ti M t cỏc ng tim cn ca
(C) ti A v B. Gi I l giao m ca cỏc ng tim cn. Tỡm ta m M sao cho
ng trũn ngoi tip tam giỏc IAB cú din tớch nh nht.
Gii
Gi s
0
00
0
23
; ,2
2
x
Mxx
x
ổử
-
ữ
ỗ
ữ
ạ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
-
ốứ
,

(
)
0
2
0
1
'()
2
yx
x
-
=
-
Phng trỡnh tip tuyn () vi (C) ti M:
(
)
0
0
2
0
0
23
1
()
2
2
x
y xx
x
x

-
-
= -+
-
-
a giao m A, B ca () vi hai tim cn l:
( )
0
0
0
22
2; ; 2 2;2
2
x
A Bx
x
ổử
-
ữ
ỗ
ữ
-ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
-
ốứ
Ta thy

0
0
222
22
AB
M
xxx
xx
+ +-
= ==,
0
0
23
22
AB
M
yyx
y
x
+-
==
-
suy ra M l trung
m ca AB.
t khỏc I(2; 2) v IAB vuụng ti I nờn ng trũn ngoi tip tam giỏc IAB cú din tớch
S =
2
222
0
00

2
0
0
23
1
(2) 2 (2) 2
2
( 2)
x
IMxx
x
x
pp pp
ộự
ộự
ổử
-
ờỳ
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
=-+ -=-+ ỗ
ờỳ
ữ
ờỳ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

-
ờỳ
-
ốứ
ờỳ
ởỷ
ờỳ
ởỷ
u = xy ra khi
02
0
2
0
0
1
1
( 2)
3
( 2)
x
x
x
x
ộ
=
ờ
-=
ờ
=
-

ờ
ở
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
14
Do ó m M cn tìm là M(1; 1) hoc M(3; 3)
Ví d 24: Cho hàm s
21
1
x
y
x
-
=
+
. Tìm ta m M sao cho khong cách tm
( 1;2)
I
-
i tip tuyn ca (C) ti M là ln nht.
Gii.
u
0
0
3
;2 ()
1
MxC
x
æö
÷

ç
÷
-Îç
÷
ç
÷
÷
ç
+
èø
thì tip tuyn ti M có phng trình
0
2
0
0
33
2 ()
1
( 1)
y xx
x
x
-+=-
+
+
hay
2
000
3( ) ( 1) ( 2) 3( 1) 0
xxxyx

- - + +=
Khong cách t
( 1;2)
I
-
ti tip tuyn là
()
000
44
2
0
0
0
2
0
3( 1 ) 3( 1) 6 1
6
9
9 ( 1)
91
( 1)
( 1)
xxx
d
x
x
x
x
++
= ==

++
++
++
+
.
Theo bt ng thc Côsi
2
0
2
0
9
( 1) 296
( 1)
x
x
++³=
+
, vây
6
d
£
.
Khong cách d ln nht bng
6
khi
()
2
2
000
2

0
9
( 1) 1 3 13
( 1)
xxx
x
=+Û +=Û=-±
+
.
y có hai m M:
(
)
13;23
M -+- hoc
(
)
13;23
M +
Ví d 25: Cho hàm s
21
1
x
y
x
+
=
+
. Vit phng trình tip tuyn ca  th (C), bit rng
tip tuyn cách u hai m A(2; 4), B(4; 2).
Gii

Gi x
0
là hoành  tip m (
0
1
x
¹-
).
PTTT (d) là
0
0
2
0
0
21
1
()
1
( 1)
x
y xx
x
x
+
= -+
+
+

22
0 00

( 1) 2 2 10
xx yxx
- + + + +=
Ta có:
(,) (,)
dAd dBd
=

22 22
0 00 0 00
24(1)221 42(1)221
x xx x xx
- ++++=-+ ++++

000
102
xxx
=Ú=Ú=-
y có ba phng trình tip tuyn:
15
; 1; 5
44
y x yx yx
= + =+ =+
Chú ý: Bài toán này có thê gii bng cách sau: Tip tuyn cách u A, B nên có 2 kh nng:
GD&NinhngụnthiTHPTqugia2014-2015
15
Tip tuyn song song (trựng )AB hoc tip tuyn i qua trung iờm ca AB
Vớ d 26: Cho hm s
2

()
1
x
yC
x
=
+
tỡm m M
()
C
ẻ
sao cho tip tuyn ca th hm
ti M ct hai trc ta ti A, B sao cho tam giỏc OAB cú din tớch bng
1
4
Gii:
i
0
000
0
2
(, ) ()
1
x
MxyCy
x
ẻ đ=
+
,
2

2
'
( 1)
y
x
=
+
Tip tuyn ti M cú dng:
2
00
0000
2 22
0
0 00
22
22
'()() () ()
1
( 1) ( 1) ( 1)
xx
y yxxx y y xx y x d
x
x xx
= - + = - + = +
+
+ ++
i
( ) ox
Ad
=ầ

ị
ta m A l nghim ca h:
2
2
0
2
0
22
0
00
2
2
( , 0)
( 1) ( 1)
0
0
x
xx
yx
Ax
xx
y
y
ỡ
ù
ù
ỡ
ù
=-
=+

ù
ù
ùù
ị-
++
ớớ
ùù
=
ùù
ù
ợ
=
ù
ù
ợ
i
( ) oy
Bd
=ầ
ị
ta m B l nghim ca h:
2
22
0
0022
22
00
00
2
2

0
22
(0,)
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
0
x
x
yx
xx
B
xx
y
xx
x
ỡ
ù
ù
ỡ
ù
=
=+
ù
ù
ù
ị
++
ớớ
ùù
=

++
ùù
ợ
=
ù
ù
ợ
Tam giỏc OAB vuụng ti O ; OA =
22
00
xx
-=
; OB =
22
00
22
00
22
( 1) ( 1)
xx
xx
=
++
Din tớch tam giỏc OAB:
S =
1
2
OA.OB =
4
0

2
0
2
11
.
24
( 1)
x
x
=
+
22
0 0 0042
00
22
00
0 0 00
00
1
2 1 2 10
2
4 ( 1)
2
2 1 2 1 1()
11
x x xx
xy
xx
x x x x vn
xy

ộ
ộộ
= + - -=
ờ
=- ị =-
ờờ
ờ
=+
ờờ
ờ
= ++
ờờ
=ị=
ờởở
ở
y tỡm c hai m M tha món yờu cu bi toỏn:
12
1
( ; 2) ; (1, 1)
2
MM
Bi tp t luyn
Bi 1. Cho hm s
32
3 2 5()
yxxx C
=- +-
. Vit phng trỡnh tip tuyn ti m cú
honh x = 1
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015

16
Bài 2. Cho hàm s
3
12
33
y xx
= -+
, vit phng trình tip tuyn bit tip tuyn vuông
góc vi ng thng
12
()
33
y xd
=-+
Bài 3. Cho hàm s
32
3 9 5 ()
yxxxC
=+ -+
. trong tt c các tip tuyn ca (C ) tìm
tip tuyn có h s góc nh nht
Bài 4. Cho hàm s:
42
1
x
y
x
-
=
+

(C). Tính din tích hình phng gii hn bi (C), trc Oy
và tip tuyn ca (C) ti m có hoành  x = 3.
Bài 5. Cho hàm s
42
6
y xx
= +
. Vit phng trình tip tuyn ca  th (C) bit tip
tuyn ó vuông góc vi ng thng d:
1
1
6
yx
=-
Bài 6. p phng trình tip tuyn vi  th (C) ca hàm s
21
1
x
y
x
+
=
+
. Bit tip tuyn
i qua m A(-1; 3).
Bài 7. Cho hàm s: y =
2
2
x
x

+
-
có  th (C). Vit phng trình tip tuyn ca (C) i qua
A(-6,5)
Bài 8. p phng trình tip tuyn ca  th (C) ca hàm s y = 2x
3
+ 3x
2
- 12x - 1 k t
m
23
;2
9
A
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài 9. Cho hàm s
23
2
x
y

x
-
=
-
có  th (C).
a) Kho sát s bin thiên và v th ca hàm s (C)
b) Tìm trên (C) nhng m M sao cho tip tuyn ti M ca (C) ct hai tim cn ca
(C) ti A, B sao cho AB ngn nht
Bài 10.
Cho hàm s:
1
1
x
y
x
+
=
-
. CMR:
a) Nu tip tuyn ca ths ct hai ng tim cn ti A và B thì tip m là trung
m ca AB.
b) Mi tip tuyn ca  thu to vi hai ng tim cn mt tam giác có din
tích không i.
c) Tìm tt c các m thuc  th hàm s sao cho tip tuyn ti ó to vi hai
ng tim cn mt tam giác có chu vi nh nht.
Bài 11.
Cho hàm s
3
1 ( 1)
y x mx

=+-+
()
m
C
.Tìm m  tip tuyn ca
()
m
C
ti giao m
a nó vi trc tung to vi hai trc ta  mt tam giác có din tích bng 8.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
17
Bài 12. Cho hàm s:
1
2( 1)
x
y
x
-
=
+
a) Kho sát s bin thiên và v th (C) ca hàm s.
b) Tìm nhng m M trên (C) sao cho tip tuyn vi (C) ti M to vi hai trc ta
 mt tam giác có trng tâm nm trên ng thng 4x + y = 0.
2. Ch 2: Cc tr ca hàm s.
2.1. Kin thc c bn
2.1.1. Các quy tc tìm các m cc tr ca hàm s:
QUY TC I QUY TC II
c 1: Tìm TX
c 2: Tính

(
)
/
fx
. Xác nh các m ti
n.
c 3: Lp bng bin thiên. Kt lun.
c 1: Tìm TX
c 2: Tính
(
)
/
fx
. Gii phng trình
(
)
/
0
fx
=
và kí hiu
i
x
(
1, 2,
i
=
) là các
nghim ca nó.
c 3: Tính

(
)
//
fx
và
(
)
//
i
fx
. Kt lun
2.1.2. S tn ti cc tr
a/ u kin  hàm s có cc tr ti x = x
0:
0
0
'()0
' dôi dau qua x
yx
y
ì
ï
=
ï
í
ï
ï
î
hoc






0)(''
0)('
0
0
xy
xy
b/ u kin  hàm s có cc i ti x
0
:
0
0
'()0
' doi dau tu .
yx
y sang quax
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
+-
ï
ï
î

hoc





0)(''
0)('
0
0
xy
xy
c/ u kin  hàm s có cc tu ti x
0
:
0
0
'()0
' doi dau tu .
yx
y sang quax
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
-+
ï

ï
î
hoc





0
0
y'(x)0
y''(x)0
d/ u kin  hàm bc 3 có cc tr (có cc i, cc tiu):
y’= 0 có hai nghim phân bit

a0
0





e/ u kin  hàm bc 4 có 3 cc tr: y
/
= 0 có 3 nghim phân bit.
2.1.3. Tìm u kin  các m cc tr ca hàm s tha mãn u kin cho trc.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
18
Phng pháp:
 Tìm u kin  hàm s có cc tr

 Biu din u kin ca bài toán qua ta  các m cc tr ca  th hàm s,
ó a ra u kin ca tham s.
2.2. Ví d và bài tp
Vi d 1: Tìm cc tr ca ca hàm s
32
11
22
32
yx xx  .
Gii
 Cách 1.
* Tp xác nh:R.
Ta có: .
* Bng bin thiên:
x – 1 2
y’ + 0 – 0 +
y
y hàm st cc i ti x = -1 và giá tr cc i y

()
19
1
6
y= -=
Hàm st cc tiu ti x = 2 và giá tr cc tiu y
CT
()
4
2
3

y
-
==
.
Cách 2. (S dng quy tc 2)
* Tp xác nh:
D = 
.
Ta có: .
*
()
'' 2 1, '' 1 3 0y xy= - - =-<
nên hàm st cc i ti m x = -1 và giá tr cc i
y

()
19
1
6
y= -=
*
()
''2 30y =>
nên hàm st cc tiu ti x = 2 và giá tr cc tiu y
CT
()
4
2
3
y

-
==
.
Vi d 2: Tìm cc tr ca các hàm s sau:
a)
1
cos os2 1
2
y x cx=+- b)
21
3 sinx cos
2
x
yx
+
= ++
(?) Ta thy hàm s này rt khó xét du ca y’, do ó hãy s dng quy tc 2  tìm cc tr?
2
1
' 2;'0
2
x
yxxy
x


  






2
1
' 2;'0
2
x
yxxy
x


  



GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
19
Gii
a) TX: D=R
*
' sinx sin2
yx
=
sinx0
'0 sinx(12cos)0
12
cos2
23
xk
yx

xxn
p
p
p
éé
êê
êê
êê
êê
ëë
==
=Û + =Û Û
=- =±+
*
" cos 2 os2
y x cx
=
Ta có
"( ) os( ) 2 os( 2 ) 1 2 0
yk ck ck
ppp
=- - =±-<
Þ
Hàm st cc tiu ti:
()
xkk
p
= ÎZ
13
10

22
2 24
" 2 os - 2cos
3 33
y nc
p pp
p
æ ö æö æö
÷ ÷÷
ç çç
÷ ÷÷
=+=>
ç çç
÷ ÷÷
ç çç
÷ ÷÷
÷ ÷÷
ç çç
è ø èø èø
±+=-±±
Þ
Hàm st cc tiu ti:
2
2 ()
3
x n nZ
p
p=±+Î
b) TX: D=R.
*

' 3cos sinx1
yx
= -+
'03cossinx1
yx
= Û - =-
311
cos sinx
222
xÛ
- =-
1
sin x sin
326
pp
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Û - ==
2
2
7

2
6
xk
xk
p
p
p
p
é
ê
ê
Û
ê
ê
ê
ê
ë
=+
=+
*
" 3 sinx cos
yx
=
Ta có:
+
" 2 3sin cos 30
2 22
yk
p pp
p

æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
=+ =- - =-<
+
7
" 2 30
6
yk
p
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø

+ =>
y hàm st cc i ti
2
2
xk
p
p
=+
Hàm st cc tiu ti
7
2
6
xk
p
p
=+
* Giáo viên cn làm cho hc sinh hiu rõ th mnh ca vic s dng quy tc 1 và quy tc 2.
Chú ý: Quy tc 1 có u m là ch cn tính o hàm cp mt ri xét du y’ và lp
ng xét du y’, tó suy ra các m cc tr. Nhng quy tc 1 có nhc m là nó òi hi
phi xét du y’, u này không phi bao gi cng n gin.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
20
u bài toán không yêu cu tìm m cc tr thì quy tc 1 là hi tha, khi ó ta s dng
quy tc 2. Song quy tc 2 cng có nhc m là nhiu khi vic tính y” là rt phc tp, c
bit khi không s dng c trong trng hp
,
0
()
fx
=

,,
0
()
fx
=0.
Quy tc 1 thng c dùng cho các hàm a thc, hàm phân thc và tích các ly
tha. Quy tc 2 thng c s dng cho các hàm lng giác.
Vi d 3: Tìm m hàm s:
(
)
(
)
32 22
1
2315
3
y x m m x m xm
= + -+ + + +-
t cc tiu
i x  2.
Gii:
(
)
(
)
222
2 231
yxx mm xm
¢
=+ -+++


(
)
(
)
2
222
yx x mm
¢¢
= + -+
 hàm st cc tiu ti x  2 thì
(
)
()
(
)
(
)
()
2
2
20 4 30 1 30
3
0
20 10
y mm mm
m
mm
y mm
ìì

ì
ïï
ï
¢
-= -+ -= - -=
ïï
ï
ïïï
Û Û Û=
ííí
ïïï
¢¢
->
-> ->
ïïï
ï
ïï
î
îî
Vi d 4: Cho hàm s:
32
3(1)9
y x m x xm
=- + +-
, vi m là tham s thc.Xác nh
m

hàm sã cho t cc tr ti
12
,

xx
sao cho
12
2
xx
-£
.
Gii
 Ta có
2
' 3 6( 1) 9.
y x mx
= - ++

Hàm s có cc i, cc tiu x
1
, x
2
.
Û
PT y’ = 0 có hai nghim phân bit là x
1
, x
2
.
Û
2
2( 1) 30
x mx
- + +=

có hai nghim phân bit là
12
,
xx
.
2
'( 1)30 13 13
m mm
ÛD= + - > Û >-+ Ú <
(1)
Theo  ta có:
(
)
2
1 2 1 2 12
2 4 4 (*)
x x x x xx-£Û+-£
Theo nh lý Viet ta có:
1 2 12
2( 1); 3.
x x m xx
+=+=
(
)
2
(*) 4 1 124
m
Û +-£
2
( 1) 4 3 1 (2)

mm
Û + £Û-££
 (1) và (2) suy ra giá tr m cn tìm là:
3 13
m
-£ <
hoc
1 3 1.
m
-+ <£
Vi d 5: Cho hàm s
(
)
32
() 3 11
y f x mx mx m x
= = +
, m là tham s. Xác nh các giá
tr ca m  hàm s
()
y fx
=
không có cc tr.
Gii
+ Khi m = 0
1
yx
Þ=-
, nên hàm s không có cc tr.
+ Khi

0
m
¹
(
)
2
'361
y mx mx m
Þ= +
Hàm s không có cc tr khi và ch khi
'0
y
=
không có nghim hoc có nghim kép
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
21
(
)
22
'9 3 112 30
mmm mm
ÛD= + -= -£
1
0
4
m
Û££
y
04
m

££
là gtct
Vi d 6: Cho hàm s
3 22
(21)( 32)4
yx mxmmx
=-++ +-
(m là tham s) có  th là
(C
m
). Xác nh m (C
m
) có các m cc i và cc tiu nm v hai phía ca trc tung.
Gii
22
3 2(2 1) ( 3 2)
y x mxmm
¢
=-+ +- -+
.
(C
m
) có các m C và CT nm v hai phía ca trc tung

PT
0
y
¢
=
có 2 nghim trái

u

2
3( 3 2)0
mm
- +<

12
m
<<
.
Vi d 7: Tìm m hàm s
(
)
(
)
(
)
32
11
132
33
fx mxmx mx
= +-+
t cc tr ti x
1
, x
2
tha mãn
12

21
xx
+=
.
Gii:
Hàm s có C, CT 
(
)
(
)
(
)
2
2 1 3 20
fxmx mxm
¢
= - - + -=
có 2 nghim phân
bit 
() ()
2
0
1 3 20
m
m mm
ì
ï
¹
ï
í

¢
D= - - ->
ï
ï
î

66
1 01
22
m- < ¹ <+ (*)
i u kin (*) thì
(
)
0
fx
¢
=
có 2 nghim phân bit x
1
, x
2
và hàm s f (x) t cc tr ti x
1
,
x
2
. Theo nh lý Viet ta có:
(
)
(

)
1 2 12
21 32
;
mm
x x xx
mm

+==
Ta có:
(
)
(
)
1221
21 21
2 2 34
211;
mm
m mm
xxxx
m m mmm

-
+=Û=- = = -=
(
)
()( ) ()
32
2 34

23432
m
mm
m m mm
mmm
-

Þ× = Û- -=-
2
2
3
m
m
é
=
ê
Û
ê
=
ê
ë
 2 giá tr này u tha mãn u kin (*). Vy
12
21
xx
+=
2
2
3
mm

Û=Ú=
Ví d 8. Cho hàm s
3 23
34
yxmxm
=-+
(m là tham s) có  th là (C
m
). Xác nh m
(C
m
) có các m cc i và cc tiu i xng nhau qua ng thng y = x.
Gii
Ta có: y’ = 3x
2
 6mx = 0 
0
2
x
xm
é
=
ê
ê
=
ê
ë
 hàm s có cc i và cc tiu thì m  0.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
22

Gi s hàm s có hai m cc tr là: A(0; 4m
3
), B(2m; 0) 
  
3
(2;4)
AB mm
=-
Trung m ca n AB là I(m; 2m
3
)
u kin  ABi xng nhau qua ng thng y = x là AB vuông góc vi ng thng y
= x và I thuc ng thng y = x
3
3
240
2
mm
mm
ì
ï
-=
ï
ï
Û
í
ï
=
ï
ï

î
Gii h phng trình ta c
2
2
m =± ;m = 0
t hp vi u kin ta có:
2
2
m =±
Ví d 9. Cho hàm s
3223
3 3( 1)
yx mx m xmm
=- + +
(1). Tìm m hàm s (1) có
c trng thi khong cách tm cc i ca  th hàm sn gc ta  O bng
2
n khong cách tm cc tiu ca  th hàm sn gc ta  O.
Gii
Ta có
22
3 6 3( 1)
yxmxm
¢
=-+-
Hàm s (1) có cc tr thì PT
0
y
¢
=

có 2 nghim phân bit
22
2 10
x mxm
Û - + -=
có 2 nhim phân bit
1 0,
m
ÛD=>"
Khi ó, m cc i
( 1;2 2)
Amm

và m cc tiu
( 1;2 2)
Bmm
+
Ta có
2
3 22
2 6 10
3 22
m
OA OB m m
m
é
=-+
ê
= Û + +=Û
ê

ê
=
ë
.
Ví d 10. Cho hàm s
(
)
4 22
21
m
yxmxC
=-+
(1). Tìm m d hàm s (1) có ba m cc
tr là ba nh ca mt tam giác vuông cân.
Gii
Ta có:
()
3 2 22
22
0
' 4 4 4 0 0 (*)
x
yxmxxxmm
xm
é
=
ê
= - = - =Û Þ¹
ê
=

ê
ë
i u kin (*) thì hàm s (1) có ba m cc tr. Gi ba m cc tr là:
(
)
(
)
(
)
44
0;1 ; ;1 ; ;1
A BmmCmm

. Do ó nu ba m cc tr to thành mt tam giác
vuông cân, thì nh s là A.
Do tính cht ca hàm s trùng phng, tam giác ABC ã là tam giác cân ri, cho nên 
tha mãn u kin tam giác là vuông, thì AB vuông góc vi AC.
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
23
(
)
(
)
(
)
  
44
;; ;; 2;0
AB mmAC mmBC mÛ= =-=
Tam giác ABC vuông khi:

(
)
2 2 2 2 28 28
4
BC ABAC m mm mm
= + Û =+++
(
)
244
210;11
mm mm
Û - = Þ = Û =±
y vi m = -1 và m = 1 thì tha mãn yêu cu bài toán.
Ví d 11. Cho hàm s
4 22
21
y x mx
=-+
(1).Tìm tt c các giá tr m  th hàm s (1)
có ba m cc tr A, B, C và din tích tam giác ABC bng 32 (n v din tích).
Gii
+) Ta có y’ = 4x
3
– 4m
2
x ; y’ = 0
Û
22
0
x

xm
é
=
ê
ê
=
ê
ë
; K có 3 m cc tr: m
¹
0
+) Ta  ba m cc tr: A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m
4
), C(m ; 1 – m
4
) ;
+) CM tam giác ABC cân nh A. Ta  trung m I ca BC là I(0 ; 1 – m
4
).
+)

5
4
1
. 322
2
ABC
SAIBCmmmm
= = = = Û =±
(tm)

Ví d 12. Cho hàm s
42
21
y x mx
=-+
(1). Tìm các giá tr ca tham s m  thi hàm
 (1) có ba m cc tr và ng tròn i qua ba m này có bán kính bng 1.
Gii
Ta có
3
'44
y x mx
=-
2
0
'0
x
y
xm
é
=
ê
=Û
ê
=
ê
ë
Hàm s có 3 cc tr
Û
y’ i du 3 ln

Û
phng trình y’ = 0 có 3 nghim phân bit
Û
m > 0
Khi m > 0,  th hàm s (1) có 3 m cc tr là
22
( ;1 ) , ( ;1 ) , (0;1)
AmmBmmC-
i I là tâm và R là bán kính ca ng tròn i qua 3 m A, B, C.
Vì 2 m A, B i xng qua trc tung nên I nm trên trc tung.
t I(0 ; y
0
). Ta có: IC = R
02
0
0
0
(1 )1
2
y
y
y
é
=
ê
Û - =Û
ê
=
ê
ë

(0 ; 0)
IO
Þº
hoc
(0 ; 2)
I
* Vi
(0 ; 0)
IO
º
GD&NinhngônthiTHPTqugia2014-2015
24
IA = R
22 42
0
1
15
(1)120
2
15
2
m
m
m m m mm
m
m
é
=
ê
ê

=
ê
ê

ê
Û +- =Û - + =Û
=
ê
ê
ê
-+
ê
=
ê
ë
So sánh u kin m > 0, ta c m = 1 và m =
15
2
-+
* Vi I(0 ; 2)
IA = R
22 42
(1)120
m m m mm
Û + =Û + +=
(*)
Phng trình (*) vô nghim khi m > 0
y bài toán tha mãn khi m = 1 và m =
15
2

-+
Ví d 13. Cho hàm s
42
21
yx mxm
= - +-
(1), vi
m
là tham s thc. Xác nh
m

hàm s (1) có ba m cc tr, ng thi các m cc tr ca  th to thành mt tam giác
có bán kính ng tròn ngoi tip bng
1
.
Gii
()
'32
2
0
4440
x
y x mx xxm
xm
é
=
ê
= - = - =Û
ê
=

ê
ë
Hàm sã cho có ba m cc tr
Û
pt
'
0
y
=
có ba nghim phân bit và
'
y
i du khi
x
i qua các nghim ó
0
m
Û>
 Khi ó ba m cc tr ca  th hàm s là:
(
)
(
)
(
)
22
0;1,;1,;1
Am B mm m Cmm m
- - - +- - +-



2
1
.
2
ABC BACB
S y y x x mm
= - -= ;
4
,2
AB AC m m BC m
==+=
(
)

4
3
2
1
2

1 1 2 10
51
4
4
2
ABC
m
mmm
AB AC BC

R mm
S
m
mm
é
=
+
ê
ê
= =Û =Û - +=Û
-
ê
=
ê
ë
Bài tp t luyn
Bài 1. Cho hàm s
(
)
32
2316
y x m x mx
=-++
.
a) Tìm
m
 hàm s có cc tr.