Đề thi cao học trường đại học kinh tế quốc dân môn toán kinh tế (có đáp án)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
:

ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
THÁNG 5/2012
MÔN THI: TOÁN KINH TẾ
(Thời gian làm bài: 180 phút)

BYDecision’s Blog:
Câu 1 (1 điểm): Một hãng sản xuất có đường cầu là Q = 1200 – 2P , với P là giá bán.
a) Xác định giá bán P để doanh thu của hãng đạt cực đại.
b) Nếu hãng đặt giá P
1
= 280 thì doanh thu thay đổi bao nhiêu so với doanh thu cực đại.
Câu 2 (1 điểm): Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp Q = 30K
0,2
L
0,9
;
Trong đó Q là sản lượng (số sản phẩm), K là vốn (triệu đồng), L là lao động (người).
a) Doanh nghiệp có hàm sản xuất có hiệu quả thay đổi như thế nào theo quy mô?
b) Năng suất lao động đo bằng số sản phẩm/1 lao động. Tính tốc độ tăng của năng suất lao động
theo vốn tại mức K
0
= 100, L
0
= 40.
Câu 3 (3 điểm): Cho hàm lợi ích hộ gia đình có dạng U(x
1

,x
2
) = x
1
x
2
, trong đó x
1
, x
2
lần lượt là số
lượng sản phẩm thứ nhất và thứ hai được tiêu dùng. Cho giá một đơn vị sản phẩm tương ứng
với hai sản phẩm là p
1
, p
2
, lợi ích hộ gia đình là u
0
; p
1
, p
2
, u
0
> 0.
a) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm lượng sản phẩm tiêu dùng mỗi loại sao cho lợi ích
bằng u
0
với ngân sách chi tiêu là cực tiểu.
b) Với p

1
= 8, p
2
= 4, u
0
= 8, hãy tìm lời giải cụ thể cho câu hỏi a).
c) Với dữ kiện câu b) để lợi ích u
0
tăng 1 đơn vị thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng bao nhiêu?
d) Để lợi ích u
0
tăng 1% thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng bao nhiêu %?
Câu 4 (2 điểm): Thu hoạch 41 điểm trồng loại đậu A và 30 điểm trồng loại đậu B, quan sát năng
suất hai loại đậu người ta thu được các phương sai mẫu tương ứng là 9,53 (tạ/ha)
2
và 8,41
(tạ/ha)
2
. Giả thiết rằng năng suất cả hai loại đậu là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
a) Với độ tin cậy 95% độ phân tán của năng suất loại đậu A tối thiểu là bao nhiêu?
b) Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng độ phân tán về năng suất của hai loại đậu là như nhau
không?
c) Nếu biết độ phân tán về năng suất của loại đậu A đo bằng độ lệch chuẩn là 3 (tạ/ha) thì khả năng
để trong mẫu gồm 41 điểm trồng loại đậu A có phương sai mẫu lớn hơn 5,9645 là bao nhiêu?
Câu 5 (2 điểm): Kiểm tra ngẫu nhiên 16 bóng đèn loại A tính được tổng tuổi thọ của chúng là
19200 (giờ) và độ lệch chuẩn mẫu là 26,094 (giờ). Giả thiết tuổi thọ của bóng đèn loại A và loại
B là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
a) Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn loại A với độ tin cậy 95% bằng khoảng tin cậy
đối xứng.
b) Phải chọn kích thước mẫu tối thiểu bằng bao nhiêu để với độ tin cậy 95% thì sai số của ước

lượng tuổi thọ trung bình bóng đèn loại A không vượt quá 5 (giờ).
c) Độ phân tán của tuổi thọ bóng đèn loại B đo bằng độ lệch chuẩn là 20 (giờ). Với mức ý nghĩa
5% có thể cho rằng tuổi thọ bóng đèn loại B ổn định hơn bóng đèn loại A hay không?
Câu 6 (1 điểm): Cho biến ngẫu nhiên gốc X phân phối chuẩn và một mẫu ngẫu nhiên kích thước n
lập từ X. Chứng minh rằng trung bình mẫu là ước lượng hợp lý tối đa của E(X).
Cho: P(χ
2
(40) > 26,509) = 0,95 ; P(χ
2
(40) > 55,7584) = 0,05 ; P(χ
2
(15) > 24,99) = 0,05
P(T(15) < 2,13) = 0,975 ; f
0,025
(40,29) = 2,028 ; f
0,975
(40,29) = 0,512.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
1
Đáp án môn toán Kinh tế (cao học 2012)
(Câu 6 xem sách XSTK của tr-ờng nhé)
Câu 1:
Ph-ơng trình đ-ờng cầu:

1200 2 600 0,5Q P P Q

Hàm tổng doanh thu:

2
(600 0,5 ) 600 0,5TR PQ Q Q Q Q

a) Doanh thu cực đại:

'
max
''
0
600 0
600
10
0
Q
Q
TR
Q
TR Q
TR

Thay vào hàm cầu, ta đ-ợc:

600 0,5 600 0,5.600 300PQ

Vậy, để doanh thu cực đại thì giá bán là P*=300 (sản l-ợng Q*=600).

b) Nếu giá bán P
1
=280 thì sản l-ợng là:

11
1200 2 1200 2.280 640QP

Tổng doanh thu:

1 1 1
280.640 179200TR P Q

Doanh thu cực đại:

* * *
300.600 180000TR P Q

Chênh lệch:

*
1
179200 180000 800TR TR TR

Vậy, nếu đặt giá là 280 thì doanh thu giảm 800 đơn vị so với doanh thu cực đại.

Câu 2: Hàm sản xuất Q=30K
0,2
L
0,9
.
a) Xét số thực bất kỳ >1.
Ta có:

0,2 0,9
0,2 0,2 0,9 0,9
1,1 0,2 0,9
( , ) 30( ) ( )
30( )( )
(30 )
Q K L K L
KL
KL







Vì >1 nên
1,1
> do đó Q(K, L)> Q(K,L).
Vậy hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô.

b) Năng suất lao động là:

0,2 0,9
0,2 0,1
30
30
L
KL
Q
AP K L
LL



Hệ số co giãn của AP
L
theo K là:
2

'
0,8 0,1
0,2 0,1
.100%
%
. ( ) .
%
.100%
30(0,2 ) .
30
0,2

L
L
AP
L L L
K L K
LL
AP
AP AP AP
KK
E AP
K
K K AP AP
K
K
KL
KL










Vậy, nếu tăng vốn 1% (%K = 1%) thì NSLĐ tăng 0,2% (%AP
L
= 0,2%). Nói cách
khác, tốc độ tăng của NSLĐ theo vốn là 0,2%.

Câu 3:
a) Hàm ngân sách chi tiêu:
B = p
1
x
1
+p
2
x
2

Ph-ơng trình ràng buộc về lợi ích:
U = x
1
x
2
= u
0
(*)
Ycbt Tìm giá trị cực tiểu của hàm mục tiêu B với điều kiện ràng buộc (*).

Lập hàm Lagrange:
L = B + (u
0
- U)
L = (p
1
x
1

+p
2
x
2
) + (u
0
- x
1
x
2
) ( là nhân tử Lagrange)

Điều kiện cần:
Để B đạt giá trị cực tiểu thì:

1
2
'
12
'
12
'
0 1 2
0
0
00
0
0
x
x

L
px
L p x
u x x
L



















(1)
(2)
(3)

Từ (1) và (2), ta có:

1 2 1 1
2
2 1 2
p p p x
x
x x p



(4)

Từ (3) và (4), ta có:

1
1 0 1 2
1
2 0 1 2
x u p p
x u p p










Suy ra:

1
1
12
2
o
p
u p p
x




Hàm số có điểm dừng


1 1 1
10 20 0 0 1 2 0 1 2 1 2
( , , ) , ,
o
x x u p p u p p u p p





3
Điều kiện đủ:
Xét định thức:

12

1 11 12
2 21 22
0 UU
D U L L
U L L


Trong đó:

1
'
12
x
U U x
;
2
'
21
x
U U x
;

11
''
11
0
xx
LL
;
22

''
22
0
xx
LL
;

12
''
12 21
xx
L L L


;
Suy ra:

21
2 1 2
1
0
0 2 0
0
xx
D x x x
x

12
( , , )xx



Do đó, điều kiện đủ đ-ợc thỏa mãn tại điểm dừng
10 20 0
( , , )xx

.

Vậy, với ràng buộc lợi ích U=u
0
thì ngân sách chi tiêu cực tiểu khi


11
10 20 0 1 2 0 1 2
( , ) ,x x u p p u p p


.

b) Với p
1
= 8; p
2
= 4; u
0

=8 thì
1
1
1
2
8.8 .4 2
8.8.4 4
x
x











c) Nhân tử Lagrange
0
là giá trị cận biên của ngân sách chi tiêu cực tiểu theo lợi ích
min
0
o
B
u

. Mà
11
0 1 2
8 .8.4 2
o
u p p



. Nên
min
0
2
o
B
u




.
Vậy, nếu lợi ích u
0
tăng 1 dơn vị (u
0
=1) thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng 2 đơn vị
(B
min

=2).

d) Hệ số co giãn của ngân sách chi tiêu cực tiểu theo lợi ích:

min
min
min min min
0
min min
.100%
%

%
.100%
o
B
oo
u
o
oo
o
B
uu
B B B
E
u
u u B B
u

Do B
min
= p
1
x
10
+p
2
x
20
= 8.2 + 4.4 = 32 ; u
0
= 8 ;
0
= 2
Nên
min
min
%
8
2. 0,5
% 32
o
B
u

o
B
E
u



.
4
Vậy, nếu lợi ích u
0
tăng 1% (%u
0
=1%) thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng 0,5%
(%B
min
=0,5%).

Câu 4:
Gọi X
A
, X
B
t-ơng ứng là năng suất của hai loại đậu A và B:
2
2
( , )
( , )
A A A
B B B

XN
XN










a) Ta có
A
là độ phân tán của năng suất loại đậu A. Nên ycbt ƯL KTC bên phải của
tham số
A
của phân phối chuẩn N(
A
,
2
A
).

Công thức khoảng tin cậy bên phải của
2
A

là:

2
2( 1)
( 1)
;
A
AA
n
nS










với S
2
A
, n
A
là ph-ơng sai và kích th-ớc mẫu của năng suất loại đậu A.

Qua mẫu cụ thể, ta có:
Kích th-ớc mẫu n
A
= 41
Độ tin cậy

2( 1)
2(40)
0,05
1 95% 0,95 0,05
A
n





Mặt khác vì
2(40) 2(40)
0,05
( ) 0,05P


(theo t/c của phân phối
2
)

2(40)
( 55,7584) 0,05P


(theo giả thiết)
Nên
2( 1)
2(40)
0,05

55,7584
A
n





Ph-ơng sai mẫu s
2
A
= 9,53
Thay số, ta đ-ợc khoảng tin cậy bên phải của
2
A

là:


(41 1).9,53
; 6,837;
55,7584






Suy ra, khoảng tin cậy bên phải của
A

là:



6,837; 2,615;


Vậy, với ĐTC 95%, độ phân tán của năng suất loại đậu A tối thiểu là 2,615 (tạ/ha)

b) Ta có
A
,
B

là độ phân tán của năng suất 2 loại đậu. Nên ycbt KĐ 2 tham số
A
,

B
của 2 phân phối chuẩn N(
A
,
2
A
) và N(
B
,
2
B

).

Cặp giả thuyết:
0
1
:
:
AB
AB
H
H










Tiêu chuẩn kiểm định:
5

2
2
( 1, 1)
A
AB
B

S
F F n n
S


với - S
2
A
, n
A
là ph-ơng sai và kích th-ớc mẫu của năng suất loại đậu A
- S
2
B
, n
B
là ph-ơng sai và kích th-ớc mẫu của năng suất loại đậu B
Miền bác bỏ:



/2
1 /2
( 1, 1)
:
( 1, 1)
AB
AB
F f n n
WF

F f n n


















Qua mẫu cụ thể, ta có:
Kích th-ớc mẫu n
A
= 41; n
B
= 30
Mức ý nghĩa
/2 0,025
1 /2 0,975
( 1, 1) (40,29) 2,028
5% 0,05

( 1, 1) (40,29) 0,512
AB
AB
f n n f
f n n f













Do đó, miền bác bỏ
2,028
:
0,512
F
WF
F

Ph-ơng sai mẫu s
2
A
= 9,53; s
2
B
= 8,41
Do đó, giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định
9,53
1,133
8,41
qs
F

Ta thấy
qs
FW


nên ch-a có cơ sở để bác bỏ H
o


Vậy, với MYN 5%, có thể cho rằng độ phân tán của năng suất 2 loại đậu là nh- nhau.

c) Ta có S
2
A
là ph-ơng sai mẫu của năng suất loại đậu A.
Nên ycbt tìm P(S
2
A
> 5,9645)

Công thức suy diễn của ph-ơng sai mẫu:

2
2( 1)
2
1
1
1
A
n
A
A
A
PS
n

Cho
2
2( 1) 2( 1)
11
2
1
5,9645 5,9645.
1
AA
nn
AA
AA
n
n

Với n
A
= 41;
A
= 3 ta đ-ợc
2( 1)
2(40)
11
2
41 1
5,9645. 26,509
3
A
n







Mặt khác, theo t/c của phân phối
2
thì:


2(40) 2(40)
1
1P

2(40)
26,509 1P



Theo giả thiết:
6



2(40)
26,509 0,95P



Do đó:
1 0,95



Hay

2
5,9645 0,95

A
PS


Vậy, khả năng trong mẫu có 41 điểm trồng đậu loại A có ph-ơng sai mẫu lớn hơn
5,9645 là 95%.

Câu 5:
a) Gọi X là tuổi thọ của bóng đèn loại A:
2
( , )XN



Ta có là tuổi thọ trung bình của bóng đèn loại A. Nên ycbt WL KTC đối xứng
của tham số của phân phối chuẩn N(,
2
).

Công thức khoảng tin cậy đối xứng của là:

( 1) ( 1)
/2 /2
;
nn
SS
X t X t
nn

với
X
, S
2
, n là trung bình, ph-ơng sai và kích th-ớc mẫu tuổi thọ bóng đèn loại A.

Qua mẫu cụ thể, ta có:
Kích th-ớc mẫu n

= 16
Độ tin cậy
( 1)
(15)
/2 0,025
1 95% 0,95 0,05
n
tt





Mặt khác vì
(15) (15)

0,025
( ) 1 0,025 0,975P T t
(theo t/c của phân phối T)

(15)
( 2,13) 0,975PT
(theo giả thiết)
Nên
( 1)
(15)
/2 0 ,025
2,13
n
tt




Trung bình mẫu
19200
1200
16
i
X
x
n



Độ lệch chuẩn của mẫu s = 26,094

Thay số, ta đ-ợc khoảng tin cậy đối xứng của là:

26,094 26,094
1200 .2,13 ; 1200 .2,13
16 16





=

1186,105 ; 1213,895


Vậy, với ĐTC 95%, khoảng tin cậy đối xứng của tuổi thọ trung bình bóng đèn loại A
là (1186,105 ; 1213,895) (h).

b) Giả sử kích th-ớc mẫu là N.
7
Sai số của -ớc l-ợng tuổi thọ trung bình bóng đèn loại A là:

( 1)
/2
n
S
t
N

Do đó
5



( 1)
/2
5
n
S
t
N





2
( 1)
/2
.
5
n
S
Nt

2
26,094
.2,13 123,566
5
N





Vậy phải chọn kích th-ớc mẫu tối thiểu là 124 (bóng đèn).

c) Ta có ,

là độ phân tán (cũng là độ ổn định) của tuổi thọ 2 loại bóng đèn.
Theo giả thiết

= 20. Nên tuổi thọ của bóng đèn loại B ổn định hơn bóng đèn loại A
nếu > 20. Ycbt KĐ tham số của phân phối chuẩn N(,
2
).

Cặp giả thuyết:
0
1

: 20
: 20
H
H










Tiêu chuẩn kiểm định:

2
22
2
( 1)
( 1)
20
nS
n




với S , n là độ phân tán và kích th-ớc mẫu tuổi thọ bóng đèn loại A
Miền bác bỏ:

2 2 2( 1)
:
n
W






Qua mẫu cụ thể, ta có:
Kích th-ớc mẫu n

= 16
Mức ý nghĩa
2( 1) 2(15)
0,05
5% 0,05
n





Mặt khác vì
2(15) 2(15)

0,05
( ) 0,05P


(theo t/c của phân phối
2
)

2(15)
( 24,99) 0,05P


(theo giả thiết)
Nên
2( 1)
2(15)
0,05
24,99
n





Do đó, miền bác bỏ

22
: 24,99W

Độ phân tán mẫu s = 26,094
Do đó, giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định
2
2
2
(16 1)26,094
25,534
20
qs




Ta thấy
2
qs
W



nên bác bỏ H
o
, thừa nhận H
1
.

Vậy, với MYN 5%, có thể cho rằng tuổi thọ bóng đèn loại B ổn định hơn tuổi thọ
bóng đèn loại A.