Bài giảng vật lý đại cương 2 chương 10 GV nguyễn như xuân

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SƯ
BỘ MÔN VẬT LÝ

NGUYỄN NHƯ XUÂN
VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2
Chƣơng 10: CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
IV – Phương trình cơ bản của CHLT
III – Hàm sóng và ý nghĩa thống kê của nó
II – Hệ thức bất định Heisenberg
I – Tính sóng – hạt của vật chất
NỘI DUNG
I – TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT
1 – Tính sóng - hạt của ánh sáng:
 Các hiện tượng thể hiện tính sóng:
Tán sắc, giao thoa, nhiễu xạ ánh sáng.
 Các hiện tượng thể hiện tính hạt:
Bức xạ nhiệt, Quang điện, Tán xạ Compton.
 Các thuyết về bản chất của ánh sáng:
 Thuyết hạt của Newton
 Thuyết sóng của Huygens
 Thuyết sóng điện từ của Maxwell
 Thuyết photon của Einstein (1905)
I – TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT:
2 – Hàm sóng phẳng:
O
n

Sóng
phẳng
đơn
sắc

O
u acos2 t 
d = rcos =
r .n

M
d
u a cos2 ( t )
rn
a cos2 ( t )

   

   

rn
i
2 i( t )
(Wt p r )
i( t k r )
ae ae ae



   

  

   
34

h
2
1,05.10 Js



2
kn




pk


) 
M
r

I – TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT
3 – Giả thuyết của De Brogile:
h   W
Một hạt tự do có năng lƣợng và động lƣợng xác
định thì tƣơng ứng với một sóng phẳng đơn sắc.
Năng lƣợng của hạt liên hệ với tần số của sóng
tƣơng ứng theo hệ thức:
Động lƣợng của hạt
liên hệ với bƣớc sóng
của sóng tƣơng ứng
theo hệ thức:

h
p hay p k



Ý nghĩa triết học: là hai mặt đối lập, thể hiện
sự mâu thuẫn bên trong của các sự vật hiện
tƣợng.
I TNH SểNG HT CA VT CHT
4 Thc nghim xỏc nhn tớnh cht súng ca electron:
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Hoaứnh ủoọ x (mm)
Cửụứng ủoọ tổ ủoỏi I/Io
S nhiu x ca
chựm electron qua
khe hp chng t
chựm ht electron
cú tớnh cht súng.
I – TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT
Ví dụ 1:
Một electron có động năng ban đầu 10eV, đƣợc
gia tốc bởi hiệu điện thế 90V. Tìm bƣớc sóng
De Brogile của electron sau khi đƣợc gia tốc.
Giải

Động năng của electron sau khi đƣợc gia tốc:
0
W W eU 10 90 100eV    
Quan hệ giữa động năng W và động lƣợng p:
2
p 2mW
Bƣớc sóng De Brogile:
hh
p
2mW
  
Thay số:
34
10
31 19
6,625.10
1,23.10 m
2.9,1.10 .100.1,6.10



  
I – TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT
Ví dụ 2:
Máy bay khối lƣợng 1 tấn, chuyển động với tốc
độ 1440km/h thì có bƣớc sóng De Brogile bằng
bao nhiêu?
Giải
Bƣớc sóng De Brogile của máy bay:
hh

p mv
  
34
6,625.10
1000.400


39
1,66.10 m


II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG
1 – Hệ thức bất định:
Đối với hạt vi mô, có những đại lƣợng xác định
chính xác đồng thời, nhƣng cũng có những đại
lƣợng không thể xác định chính xác đồng thời.
Hệ thức xác định sai số khi đo đồng thời các đại
lƣợng đó đƣợc gọi là hệ thức bất định Heisenberg.
Tổng quát:
2 2 2
1
( F) .( G) K
4
  
F, G là hai đại lượng đo đồng
thời, tương ứng với hai toán
tử tuyến tính Hermite
Và
F,G
FG GF iK

II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG
1 – Hệ thức bất định:
Đối với tọa độ và động lượng:
x
y
z
xx
yy
zz
x. p hay x. p h
2
y. p hay y. p h
2
z.
hay x. p
hay y. p
hay z. pp hay z. p h
2
     
     
     
  
  
  
Đối với năng lượng và thời gian:
E. t hay E. t h hay
2
E. t      
II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG
2 – Nghiệm lại hệ thức bất định đối với tọa độ:

0
p

x
p p.sin   
p.
b


hh
.
bb



x
x. p h  
Vì:
xb
nên:
x
Sau khi qua khe hẹp,
các electron có thể rơi
vào các cực đại nhiễu
xạ. Sai số nhỏ nhất của
p
x
ứng với trƣờng hợp
hạt rơi vào cực đại
giữa:

x
0 p p.sin  
II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG
3 – Ý nghĩa của hệ thức bất định Heisenberg:
Việc không thể xác định chính xác đồng thời các
đại lƣợng vật lý là do lƣỡng tính sóng - hạt của
vi hạt. Nó mang tính khách quan.
Hệ thức bất định Heisenberg là cơ sở toán học
cho biết giới hạn ứng dụng của cơ học cổ điển
(nhƣng không hạn chế khả năng nhận thức của
con ngƣời) về thế giới vi mô.
Không thể dùng các khái niệm cổ điển để mô tả
qui luật vận động của các vi hạt.
II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG
Ví dụ:
Electron chuyển động trên trục Ox trong phạm vi
10
–8
m. Sử dụng hệ thức bất định Heisenberg,
xác định sai số nhỏ nhất trong phép đo tốc độ
của electron.
Giải
Ta có:
x
x. p  
x
x.m. v   
x
v
x.m

  

x
min( v )
max( x).m
  

34
4
x
8 31
6,625.10
min( v ) 7,3.10 m / s
2 .10 .9,1.10


   

III– HÀM SÓNG VÀ Ý NGHĨA THỐNG KÊ
1 – Hàm sóng:
Mỗi trạng thái của vi hạt đƣợc đặc trƣng bởi
một hàm phức gọi là hàm sóng.
(r,t)


Ví dụ: Hàm sóng của một vi hạt tự do có dạng
tƣơng tự nhƣ sóng phẳng đơn sắc:
i
(wt p r )
i( t k r )

oo
(r,t) e e




  
    
Trong đó biên độ 
0
của hàm sóng được xác định
bởi: 
0
2
= ||
2
= 
*
, với 
*
là liên hợp phức của 
III– HÀM SÓNG VÀ Ý NGHĨA THÔNG KÊ
2 – Ý nghĩa thống kê của hàm sóng:
Bình phƣơng môdun của hàm sóng tỉ lệ với mật
độ xác suất tìm thấy hạt.
2
| | mat do xac suat
Suy ra: Xác suất tìm thấy hạt trong yếu tố thể
tích dV là:
2

| | .dV
Vì xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian
luôn bằng 1, nên:
2
toanK/G
| | dV 1

(Điều kiện chuẩn
hóa của hàm sóng)
III– HÀM SÓNG VÀ Ý NGHĨA THÔNG KÊ
3 – Điều kiện của hàm sóng:
• Đơn trị
• Liên tục
• Giới nội
• Đạo hàm bậc nhất phải liên tục
Hàm sóng đặc trƣng cho trạng thái vật lý
của một vi hạt, nên nó phải thỏa mãn các điều
kiện:
(r,t)


III– HÀM SÓNG VÀ Ý NGHĨA THÔNG KÊ
Ví dụ:
Một vi hạt chuyển động dọc theo trục Ox, trong đoạn [0, a].
Hàm sóng của nó có dạng:
a) Xác định liên hợp phức và môdun của hàm sóng đó.
b) Xác định hệ số A theo a.
c) Tính xác suất tìm thấy hạt trong phạm vi từ 0 đến a/2.
ikx
(x) A.e



Giải
ikx
*(x) A.e
Liên hợp phức:
Modun của hàm sóng:
22
| | . * A | | A       
III– HÀM SÓNG VÀ Ý NGHĨA THÔNG KÊ
1
A
a

a
2
0
| | dx 1

a
2
0
A dx 1

c) Xác suất tìm hạt trong phạm vi từ 0 đến a/2:
a/2 a/2
22
00
| | dx A dx


b) Từ đk chuẩn hóa của hàm sóng:
2
a
A . 0,5 50%
2
  
IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT
1 – Phương trình cơ bản:
Một vi hạt chuyển động trong trường lực thế
U(r)

Thì hàm sóng của nó có dạng:
2
2m
(r) [W U(r)] (r) 0
  
    
Trong đó: W là năng lượng của vi hạt, là
i
wt
(r,t) e (r)


  
(r)


Phần phụ thuộc tọa độ không gian của hàm
sóng, thỏa mãn phương trình:
PT trên là pt Schrodinger, hay pt cơ bản của

CHLT
IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT
2
2m
(r) [W U(r)] (r) 0
  
    
Toán tử  gọi là toán tử Laplace.
Trong hệ tọa độ Descarter:
2 2 2
2 2 2
x y z
  
   
  
(*)
(*) là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2,
có vai trò nhƣ phƣơng trình của ĐL II Newton
trong CHCĐ.
W là năng lƣợng của hạt;
U là thế năng của hạt.
IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT
2
2m
(r) [W U(r)] (r) 0
  
    
(*)
Trường hợp hạt chuyển động tự do thì U = 0, (*)
trở thành:

Nếu 
1
, 
2
, …, 
n
là các nghiệm riêng của (*)
thì  = C
i

i
cũng là nghiệm của (*).
2
2mW
0   
(**)
Nghiệm của (**) chính là hàm sóng De Broglie:
i
(Wt p r )
0
(r,t) e



  
IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT
2
2m
(r) [W U(r)] (r) 0
  

    
2 – Ứ/dụng PTCB giải bài toán giếng thế 1 chiều:
0 khi 0 x a
U
khi x 0 x a




   

• PT cơ bản:
• Thế năng:
• Suy ra:
2
2mW
(r) (r) 0

   
Vì chỉ xét một phƣơng
Ox, nên (1) trở thành:
(1)
2
22
d 2mW
0
dx

  
(2)

Nghiệm của (2) là:
(x) Asinkx Bcoskx  
Với A, B là các hằng số tích phân, sẽ được xác định
từ điều kiện của bài toán; k là hệ số:
O
a
x
U
2
2
2mW
k 
IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT
2
2
2mW
k 
(4)
Vì hạt chỉ ở trong hố thế, nên:
(0) (a) 0   
Từ (3) suy ra: B = 0; sinka = 0
(x) Asinkx Bcoskx  
(3)
n
k (n 1,2, )
a

  
Từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng:
a

2 2 2
0
nx
| (x)| dx 1 A sin ( )dx 1
a



   

Vậy, hàm sóng:
n
2n
(x) sin( x)
aa


(4) Suy ra năng lượng của vi hạt:
22
2
n
2
Wn
2ma


(6)
2
A
a


IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT
n
2n
(x) sin( x)
aa


22
2
n
2
Wn
2ma


Kết luận:
Trong giếng thế một chiều, sâu
vô hạn, mỗi trạng thái của hạt
ứng với một hàm sóng:
Và năng lƣợng:
Năng lƣợng của hạt biến thiên gián đọan, tỉ lệ
thuận với bình phƣơng những số nguyên liên
tiếp – ta nói năng lƣơng bị lƣợng tử hóa.
IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT
Ví dụ:
Giả sử c/đ của electron trong nguyên tử Hydro
đƣợc coi là chuyển động trong giếng thế một
chiều, sâu vô hạn, bề rộng a. Xác suất tìm thấy
electron sẽ lớn nhất ở vị trí nào, nếu xét ở trạng

thái cơ bản và trang thái kích thích thứ 2?
Giải:
Hàm sóng của vi hạt trong giếng thế:
n
2 n x
(x) sin( )
aa


Mật độ xác suất tìm thấy vi hạt:
22
n
2 n x
(x) | (x) | sin ( )
aa

   
Xác xuất tìm thấy hạt lớn nhất tại vị trí có mật
độ xác suất lớn nhất.
2
max
nx
(x) sin ( ) 1
a

  