Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 11 năm học 2014-2015 tỉnh Cao Bằng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 11 – THPT NĂM HỌC 2014-2015



MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang)

Câu I (5,0 điểm). Giải các phương trình sau:
1)
01cos2cos3cos  xxx

2)
5)4)(1(41  xxxx

Câu II (3,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(a;b) với a>0,
b>0. Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A, B sao
cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu III (6,0 điểm).
1) Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi
tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của
tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12 288m
2
. Tính diện
tích mặt trên cùng.
2) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5
học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm
nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu

cách chọn như vậy?
3) Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x
)
1
(
7
4

, biết rằng
12
20
12
2
12
1
12


CCC
n
nnn

(n nguyên dương,
C
k

n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Câu IV (4,0 điểm). Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng một mặt
phẳng
)(

song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và
AD tại N, P và Q.
1) Tứ giác MNPQ là hình gì?
2) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các
điểm O khi M di động trên đoạn AC.
Câu V (2,0 điểm). Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x.y.z = 1. Chứng minh rằng:
2
3
)(
1
)(
1
)(
1
333





 yxzxzyzyx

___________ ___________________Hết_______________________________
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……………
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:……………………………………………………
ĐỀ CHÍNH THỨC