Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng

Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng

HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 1

Bi 1: Cho trng thỏi ng sut ti mt im nh bng 1:
Bng 1:
STT
2
,/
x
KN cm


y


z


xy


xz


yz


09
-5
6

-7
3
-2
1

a. Hóy biu din trng thỏi ng sut ny lờn phõn t:

Hỡnh 1 - Trng thỏi ng sut ca phõn t theo cỏc thụng s cho bng 1.
b. Xỏc nh cỏc bt bin ca tenx ng sut:
Tenx ng sut cú dng nh sau:
5 3 2
3 6 1
2 1 7
T










Cỏc bt bin ca tenx ng sut c xỏc nh theo cụng thc sau:
2
1
5 6 7 6 /
x y z
I kN cm

222
2
2 2 2
2
( 5)*6 6*( 7) ( 7)*( 5) 3 1 ( 2)
51 /
x y y z z x xy yz zx
I
kN cm





Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng

HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 2

2 2 2
3
2 2 2
2
det( ) 2 ( )
( 5)*6*( 7) 2*3*1*( 2) ( 5)*1 6*( 2) ( 7)*3
242 /
x y z xy yz xz x yz y xz z xy
IT

kN cm








c. Xỏc nh cỏc thnh phn ng sut chớnh:
xỏc nh c cỏc thnh phn ca ng sut chớnh ta i gii phng trỡnh
bc ba sau õy:
32
1 2 3
0I I I


, vi l mt lng vụ hng. Thay
cỏc bt bin ca tenx ng sut ó xỏc nh trong phn b trờn vo phng
trỡnh bc ba ta c:
32
6 51 242 0


. Gii phng trỡnh bc ba ny ta
c cỏc ng sut chớnh nh sau:
2
2
2
6.782 /

4.119 /
8.662 /
I
II
III
kN cm
kN cm
kN cm







Ta cú tenx ng sut ca h trc chớnh nh sau:
6.782 0 0
0 4.119 0
0 0 8.662
T









d. Xỏc nh cỏc phng chớnh:

tỡm cỏc phng chớnh ta gii bi toỏn vect riờng:
yx
2 2 2
0
1
x i xy xz
y i yz
zx zy z i
l
m
n
l m n

Phng chớnh n
1
= (l
1
, m
1
, n
1
) ng vi ng sut chớnh
I
= 6.782
kN/cm
2
:
1
1
1
2 2 2
1 1 1
5 6.782 3 2
3 6 6.782 1 0
2 1 7 6.782
1

l
m
n
l m n
















Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng

HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 3

1
1
1
2 2 2
1 1 1
1 1 1

1 1 1
1 1 1
2 2 2
1 1 1
11
11
2 2 2
1 1 1
1
11.782 3 2
3 0.782 1 0
2 1 13.782
1
11.782* 3* 2* 0
3* 0.782* 0
2* 13.782 0
1
4.026
0.147
1
l
m
n
l m n
l m n
l m n
l m n
l m n
ml
nl

l m n
l

11
11
0.241
4.026 0.970
0.147 0.035
ml
nl









Vy phng chớnh n
1
= (0.241 ; 0.970 ; 0.035) v
'

11
nn

Phng n
2
= (l
2
, m
2
, n
2
) ng vi ng sut chớnh
II
= -4.119 kN/cm
2
:
2
2
2
2 2 2
2 2 2
5 4.119 3 2
3 6 4.119 1 0
2 1 7 4.119
1
l
m
n
l m n

2
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
22
22
2 2 2
2 2 2
2

0.881 3 2
3 10.119 1 0
2 1 2.881
1
0.881* 3* 2* 0
3* 10.119* 0
2* 2.881 0
1
4.540
3.498
1
0
l
m
n
l m n
l m n
l m n
l m n
l m n
lm
nm
l m n
m

22
22
.172
4.540 0.781
3.498 0.602
lm
nm








Vy phng chớnh n
2
= (-0.781 ; 0.172 ; 0.602) v
'
22
nn


Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng

HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 4

Phng n

3
= (l
3
, m
3
, n
3
) ng vi ng sut chớnh
III
= -8.662 kN/cm
2
:
3
3
3
2 2 2
3 3 3
5 8.662 3 2
3 6 8.662 1 0
2 1 7 8.662
1
l
m
n
l m n

3
3
3
2 2 2
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
2 2 2
3 3 3
33
23
2 2 2
3 3 3
3
3.662 3 2
3 14.662 1 0
2 1 1.662

1
3.662* 3* 2* 0
3* 14.662* 0
2* 1.662 0
1
3.345
4.627
1
0.1
l
m
n
l m n
l m n
l m n
l m n
l m n
lm
nm
l m n
m

33
33
73
3.345 0.579
4.627 0.800
lm
nm








Vy phng chớnh n
3
= (-0.579 ; 0.173 ; -0.800) v
'
33
nn

e. Tớnh li cỏc bt bin theo cỏc thnh phn ng sut chớnh:
22
1
6.782 4.119 8.662 5.999 / 6 /
I II III
I kN cm kN cm

2
22
6.782*( 4.119) ( 4.119)*( 8.662) ( 8.662)*6.782
51.002 / 51 /
I II II III III I
I
kN cm kN cm





22
3
6.782*( 4.119)*( 8.662) 241.973 / 242 /
I II III
I kN cm kN cm



Qua kt qu tớnh toỏn cỏc bt bin theo cõu b v cõu e ta thy sai s khụng
vt qua sai s cho phộp nờn kt qu tớnh toỏn ta cú th tm chp nhn c.



Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng

HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 5

f. Xỏc nh cỏc thnh phn bin dng(tenx bin dng), bit
42
0.3, 2.10 /E kN cm



Tenx bin dng cú dng nh sau:
11
22
11
22
11
22
xx xy xz
xx xy xz
yx yy yz yx yy yz
zx zy zz
zx zy zz
T

Da vo nh lut Hooke xỏc nh cỏc thnh phn bin dng khi ta ó bit
cỏc thnh phn ng sut:

4
4
11
( ) 5 0.3*(6 7) 2.35*10
2*10
xx x y z
E







4
4

11
( ) 6 0.3*( 5 7) 4.8*10
2*10
yy y x z
E







4
4
11
( ) 7 0.3*( 5 6) 3.65*10
2*10
zz z x y
E






4
4
1 1 1 1 2(1 ) (1 ) (1 0.3)
3 1.95*10
2 2 2 2*10

xy xy xy xy xy
G E E






4
4
1 1 1 1 2(1 ) (1 ) (1 0.3)
1 0.65*10
2 2 2 2*10
yz yz yz yz yz
G E E






4
4
1 1 1 1 2(1 ) (1 ) (1 0.3)
( 2) 1.3*10
2 2 2 2*10
xz xz xz xz xz
G E E

Vy tenx bin dng:
4
2.35 1.95 1.3
10 1.95 4.8 0.65
1.3 0.65 3.65
T















Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng

HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 6

Bi 2: Cho vt rn hỡnh tr cú kớch thc nh bng 2:
Bng 2:
STT
Cỏc thnh phn chuyn v
Hỡnh dng vt th
09
zx
EJ
M
zyLxL
E
u )]()[(
2
2222



yz
EJ
M
yxL
E
v )(



)]([
2
)(
222

zyx
EJ
M
zxL
E
w






1. Vi cỏc thnh phn chuyn v cho trc, hóy dựng cụng thc Cauchy tỡm
bin dng ca vt th chu lc:
()
x
uM
L x z
x E EJ






()
y
vM
L x z
y E EJ

()
z
wM
L x z
z E EJ






1 1 1
0
2 2 2
xy xy
vu
yy
x y E E

1 1 1
0
2 2 2
zx zx
w u M M
z x z x
x z E EJ E EJ









1 1 1 1
( 1)
2 2 2 2
yz yz
w v M M M
y y y
y z EJ EJ EJ

Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng

HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 7


2. Vi bin dng va tỡm c, dựng nh lut Hooke tỡm cỏc thnh phn ng
sut:
gión n th tớch:
( ) ( ) ( )
( )(1 2 )
( ) 1 2
2(1 ) 2(1 )
1
(L x)
1 2 (1 )
x y z
MMM
L x z L x z L x z
E EJ E EJ E EJ

M
L x z
E EJ
E M E
L x z
E EJ
EM
z
EJ

22
1
(L x)
(1 )(1 2 ) 1 2 (1 )
(1 )
(L x)
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 )
E E M
z
EJ
E ME
z
J

2 2 ( ) (L x)
2(1 ) (1 ) (1 )
1
(L x)
(1 )
x
E M M
G L x z z
E EJ J
M
z
J

2 2 ( ) ( )
2(1 ) (1 ) (1 )
1
()
(1 )
y
E M M
G L x z L x z
E EJ J
M
L x z
J

2 2 ( ) ( )
2(1 ) (1 ) (1 )
()
(1 )
z
E M M
G L x z L x z
E EJ J
M
L x z
J

















Cỏc thnh phn ng sut:
Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng

HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 8

22
2
(1 ) 1
(L x) (L x)
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 )
xx
G
E ME M
zz
JJ











22
2
(1 ) 1
(L x) ( )
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 )
yy

G
E ME M
z L x z
JJ











22
2
(1 )
(L x) ( )
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 )
zz
G
E ME M
z L x z
JJ

0
xy xy
G



0
zx zx
G



( 1)
( 1)
2(1 ) 2 (1 )
yz yz
E M M
G y y
EJ J

3. Dựng cỏc phng trỡnh cõn bng, hóy tỡm lc khi tỏc dng lờn vt th:
xỏc nh lc khi tỏc dng lờn vt th ta dựng phng trỡnh cõn bng tnh
hc Navier-Cauchy:
0
0
0
yx
x zx
x
xy y zy
y
yz
xz
z
z
f
x y z
f
x y z
f
x y z

2
(1 )
(1 ) (1 2 ) (1 )
x
E
x

0
yx
y




,
0
zx
z




,
0
xy
x

,
0
y
y




,
0
zy
z




,
0
xz
x





( 1)
2 (1 )
yz
M
yJ

2
2 (1 ) (1 2 ) (1 )
z
ME M
z J J







Thay cỏc giỏ tr tớnh toỏn trờn vo phng trỡnh cõn bng tnh hc Navier-
Cauchy ta c lc khi nh sau:
Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng

HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 9

2
2
(1 )
(1 ) (1 2 ) (1 )

0
(1 )
2 (1 ) (1 2 ) 2 (1 )
x
y
z
E
f
f
ME M
f
JJ

4. S dng iu kin biờn theo ng sut, xỏc nh lc b mt tỏc dng lờn tt c
cỏc mt ca vt th:
iu kin biờn theo ng sut:
*
*
*
x yx zx x
xy y zy y
xz yz z z
l m n f
l m n f
l m n f














Thay cỏc ng sut vo ta c:

**
**
**
00
0
0
x x x x
y yz y y yz y
yz z z yz z z
l m n f l f
l m n f m n f
l m n f m n f














a) Xột mt ỏy di tng ng vi n
1
= (1,0,0)
*

22
*
*
(1 ) 1
(L x) (L x)
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 )
0
0
xx
y
z
f
E ME M
zz
JJ
f
f

b) Xột mt ỏy trờn tng ng vi n
2
= (-1,0,0)
*
22
*
*
(1 ) 1
(L x) (L x)
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 )
0
0
xx
y
z
f
E ME M
zz
JJ

f
f
























c) Xột mt hụng tng ng vi n
3
= (0, y/r, z/r)

Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng

HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 10

*
*
22
*
2
22
0
(1 ) 1
(L x) ( )
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 )
( 1)
2 (1 )
( 1)
2 (1 )
(1 )
(L x)
(1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 )
x
y y yz
z yz z
f
yz
f
rr
E ME M y
z L x z

J J r
M
yz
Jr
yz
f
rr
M
y
Jr
E ME
z
J

()
Mz
L x z
Jr

Bi 3: Cho thanh cú chiu di L chu lc nh hỡnh v. Cho hm ng sut Airy
dng a thc. Hóy:
STT
Thanh chu lc
Hm ng sut Airy
09


2 2 3
1 2 3
2 3 5

45
,x y A x A x y A y
A x y A y




a. Tỡm liờn h gia cỏc h s trong a thc hm ng sut Airy l iu hũa:
hm ng sut Airy

,xy
l hm iu hũa thỡ

,xy
phi tha phng
trỡnh sau:
4 4 4
4 2 2 4
20
x x y y




M:

4 4 4
45
4 2 2 4
0, 12 , 120A y A y

x x y y




Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng

HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 11

Thay cỏc giỏ tr va tỡm c vo phng trỡnh trờn ta c:
4 4 4
4 2 2 4
45
45
20
0 2*12 120 0
50
x x y y
A y A y
AA






b. Xỏc nh cỏc thnh phn ng sut phỏp v ng sut tip:
Cỏc thnh phn ng sut phỏp v ng sut tip c xỏc nh theo cỏc cụng
thc sau:
2

23
3 4 5
2
6 6 20
x
A y A x y A y
y





2
3
1 2 4
2
2 2 2
y
A A y A y
x





2
2
24
26
xy

A x A xy
xy





c. Xỏc nh cỏc iu kin biờn:
Mt y = -c cú n = (0,-1):
0, 0
y xy



Mt y = c cú n = (0,1):
,0
y xy
q



Mt x = L:
c
xy
c
dy P

d. Xỏc nh cỏc h s trong biu thc ca hm ng sut Airy:
Ti y = -c cú
3
1 2 4
0 2 2 2 0 (1)
y
A A c A c



Ti y =c cú
22
2 4 2 4
0 2 6 0 3 0 (2)
xy
A x A xc A A c x



Ti y = c cú
3
1 2 4
0 2 2 2 (3)
y
A A c A c q



Ti x = L cú

3
24
4 4 (4)
c
xy
c
dy P A Lc A Lc P





V phng trỡnh:
45
5 0 (5)AA

Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng

HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 12


tỡm cỏc h s ca hm ng sut Airy ta phi gii h 5 phng trỡnh trờn:
3
1 2 4
2
24
3
1 2 4
3
24

45
2 2 2 0 (1)
3 0 (2)
2 2 2 (3)
4 4 (4)
5 0 (5)
A A c A c
A A c
A A c A c q
A Lc A Lc P
AA















Kt qu gii h phng trỡnh trờn l:
1
2
4

3
5
3
4
3
8
8
40
q
A
P
A
Lc
P
A
Lc
P
A
Lc

xỏc nh A
3
ta phi xut phỏt t iu kin mụmen tai x = L cú giỏ tr bng
khụng. Tc l:
23
3 4 5
2 2 2 4
3 4 5
3 2 3 5
3 4 5
22
3 4 5
22
3 5 4
22
3
33
3
3
0
(6 6 20 ) 0
(6 6 20 ) 0
(2 2 4 ) 0
20
2

2
40 8
20 8
c
x
c
c
c
c
c
c
c
y dy
y A y A x y A y dy
A y A x y A y dy
A y A x y A y
A A L A c
A A c A L
PP
A c L
Lc Lc
P PL
A
Lc c