BÀI TẬP HÀM PHỨC ĐẦY ĐỦ

Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài tập chương I
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau
a)
( ) ( )
3 5i 4 i− +
b)
( ) ( )
2 3i 3 7i+ +
c)
3 i
4 5i
−
−
d)
( )
3
2 7i+
e)
1 i
1 i
−
+
f)
( )
6
1 i 3−
Bài 2. Tìm các căn số phức sau
a)
6
1

b)
i
c)
4
1−
d)
1 i−
e)
5 8i−
f)
3
2 2i− +
Bài 3. Tìm môđun và argument của các số phức sau
a)
1 i+
b)
1 i
3 i
+
+
c)
3 i 3− +
d)
( )
( )
1 i 1 i 3− +
e)
( )
2
3 i 3+

f)
( )
3
1 i 3
1 i
+
− −
Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho
a)
( ) ( )
1 2i x 3 5i y 1 3i+ + − = −
b)
( ) ( )
3 i x 1 2i y 1 4i− + − = +
c)
( ) ( )
2 3i x 1 3i y 4 5i− + + = +
d)
( ) ( )
2 3i x 3i 1 y 7 4i+ + − = +
Bài 5. Chuyển sang dạng lượng giác rồi tính các số phức sau
a)
( )
7
1 i 3+
b)
4
1 i 3−
c)
( )

2009
1 i+
d)
( )
( )
2010
2009
1 i 3 i− +
Bài 6. Chứng minh rằng
a)
( )
8n
n
1 i 16+ =
b)
( ) ( )
4n n
n
1 i 1 4+ = −
Bài 7. Giải các phương trình sau
a)
4 3 2
x 6x 9x 100 0+ + + =
b)
4 2
x 2x 24x 72 0+ − + =
c)
2
z z 1 0+ + =
d)

2
z 2i.z 5 0+ − =
e)
4 2
z 3i.z 4 0− + =
f)
( )
2
z 1 i z 6 3i 0− + + + =
Bài 8. Cho số phức
a cos +isin= ϕ ϕ
. Tính số phức
1 a
z
1 a
−
=
+
Bài 9. Cho đa thức
( ) ( )
4 3 2
f (t) t 4 1 i t 12it 8i 1 i t 5= − + + − + −
GV Phạm Trí Nguyễn
1
Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
a) Tính
f (1)
và
f (i)
b) Giải phương trình

f (t) 0=
Bài 10. Cho phương trình
n n 1
n n 1 1 0
a x a x a x a 0
−
−
+ + + + =
, với
( )
k
a R k 1,n∈ =
. Biết
α
là một nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng
α
cũng là nghiệm của
phương trình. Từ đó suy ra mọi phương trình bậc lẻ hệ số thực đều có ít nhất một
nghiệm thực.
Bài 11. Chứng minh rằng nếu
1
z 2sin
z
+ = α
thì
4k
4k
1
z 2cos4k , k N
z

+ = α ∈
.
Bài 12. Chứng minh rằng nếu
1
z 2sin
z
+ = α
thì
n
n
1
z 2cosn
z
+ = α
.
Bài 13. Tìm các số phức z sao cho
7
z
và
2
1
z
là hai số phức liên hợp của nhau.
Bài 14. Giải phương trình:
036)1(
2
=+++− iziz
Bài 15. a) Giải phương trình:
01
23456

=++++++ xxxxxx
b) Gọi các nghiệm của phương trình trên là
621
, ,,
εεε
. Hãy tính tổng:
5
6
5
1
1
εε
+++=S
(ĐS: 0)
Bài 16. Cho số phức z = x +iy thoả mãn:
0)2()1(
22
=−++ yx
. Hãy tìm
max(argz) và min(argz) ?
Bài 17. Tìm điều kiện cần và đủ để 3 số phức
321
,, zzz
thẳng hàng.
Bài 18. Xác định biên của các miền sau
a)
{ }
D z: Rez 0, 0 Imz 1= > < <
b)
{ }

D z: z 1 1= − >
c)
{ }
D z: z 1 0= − >
d)
1
D z : z 0, z , n N
n
 
= ≠ ≠ ∈
 
 
.
Bài 19. Xác định biên của các miền sau
a)
Imz Re z
>
b)
Imz z>
c)
z.z Rez>
.
Bài 20. Tìm phần thực và phần ảo của các hàm số sau
a)
2
f (z) iz 2z= +
b)
2
f (z) 2i z iz= − +
c)

z i
f (z)
i z
+
=
−
d)
2
z z 1
f (z)
iz z
+ +
=
+
GV Phạm Trí Nguyễn
2
Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài 21. Tìm
f (z)
biết phần thực và phần ảo của nó là
a)
( ) ( )
u x; y x y ; v x; y x y= + = −
b)
( ) ( )
2 2
u x; y x y 2y 1 ; v x;y 2xy 2x= − − − = +
c)
( ) ( )
1 1

u x; y ; v x;y
x y
= =
Bài 22. Tìm ảnh của họ đường cong sau đây qua hàm số
1
w f(z)
z
= =
a) Họ đường tròn
2 2
x y ax+ =
b) Họ đường tròn
2 2
x y by+ =

c) Chùm đường thẳng song song
y x b= +
d) Chùm đường thẳng đi qua điểm
0
z z=
Bài 23. Cho hàm số
1
w f(z)
z
= =
. Hãy tìm
a) Ảnh của đường thẳng
x c=
b) Ảnh của đường tròn
z 1 1− =

c) Tạo ảnh của đường thẳng
u c=
Bài 24. Cho biết 2 đỉnh liên tiếp
21
, zz
của đa giác đều n cạnh. Tìm đỉnh
3
z
kề với
đỉnh
2
z
?
Bài 25. Chứng minh rằng với mọi
21
, zz
ta luôn có bất đẳng thức:
2121
zzzz −≤−
Bài 26. Giải phương trình
13295064
)3()31( iiz +=−
Bài 27. Xác định biên của các miền sau
a)
Imz Re z>
b)
Imz z>
c)
z.z Rez
>

.
Bài 28. Tìm phần thực, phần ảo của số phức
1520
)3()1( iiz +−−−=
Bài 29. Giải phương trình:
031)31(
2
=+−+− iziz
Bài 30. a) Giải phương trình
013
2
=++ xx
(1)
b) Gọi các nghiệm của phương trình (1) là
α
và
α
. Cho đa thức:
.1)23()31(2)23()(
234
+−+−+−+= xxxxxP
Hãy tính
)(
α
P
? từ đó tìm các nghiệm còn lại của phương trình
0)( =xP
.
Bài 31. CMR nếu
0

321
=++ zzz
và
1
321
=== zzz
, thì 3 điểm
321
,, zzz
lập
thành một tam giác đều nội tiếp hình tròn đơn vị.
GV Phạm Trí Nguyễn
3
Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài 32. Cho hàm số
z
zw
1
+=
. Hãy tìm ảnh của đường tròn
Rz =
?
Bài 33. Dựa vào công thức Moavơrơ, hãy biểu diễn
x5tan
theo
xtan
.
Bài 34. Cho phương trình
0451857244)(
234

=−++−= xxxxxf
a) Tính
)63( if +
b) Giải phương trình
0)( =xf
Bài 35. Tìm số phức z thoả mãn:
zzz +=
4
Bài 36. Tìm ảnh của miền
{ }
10 << x
qua hàm số
z
z
w
1−
=
Bài 37. Giải phương trình
0)()(
44
=−−+ iziz
Bài 38. Cho a là số thực dương và tập






=+∈= a
z

zCzM
1
:
. Tìm giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của
z
khi
Mz ∈
.
Bài 39. Cho hàm số
i
ziz
zf
+
+
=
1
)(
. Tìm phần thực, phần ảo của f(z). Chứng tỏ
rằng ảnh của một đường tròn qua hàm f là một đoạn thẳng?
Bài 40. Tìm tất cả các số phức z sao cho:
8||84
22
=+ zz
.
Bài 41. Tìm số phức
0
≠
z
sao cho

z
z
1
+
là số thực?
Bài 42. Cho
iziz −−=+= 1,1
21
. Tìm
3
z
sao cho tam giác
321
zzz
đều?
Bài 43. Tìm z sao cho





=+
=
1
1
z
z
z
z
z

GV Phạm Trí Nguyễn
4
Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài tập chương II
(Đạo hàm và tích phân hàm biến phức)
Bài 1. Xét tính khả vi của các hàm số sau
a)
( )
zzzf =
b)
( ) ( )
izizzzf ++−= 1
c)
( )
xyiyxzf 2
22
−−=
d)
( )
( )
2222
22 yxxyixyyxzf −++−−=
e)
( )
2
1−
=
zz
ezf
f)

( )
zargzf =
Bài 2. Xác định các số thực a, b, c để hàm số sau giải tích trên C
( ) ( )
cybxiayxzf +++=
2
Bài 3. Bằng định lý Cauchy-Riemann chứng minh rằng hàm số
zln
là hàm khả vi
trên C\{0} và
( )
z
'zln
1
=
Bài 4. Tìm những miền mà tại đó hàm số
( )
xyiyxzf 2
22
+−=
là giải tích
Bài 5. Cho hàm số
( )
( ) ( )





=

≠
+
−−+
=
0 0
0
11
22
33
z,
z,
yx
iyix
zf
Chứng tỏ rằng hàm số trên liên tục và thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại
0
=
z
nhưng không khả vi tại đó.
Bài 6. CMR hàm số
( )
xyzf =
thoả mãn các điều Cauchy-Riemann tại
0
=
z

nhưng tại đó hàm số không có đạo hàm.
Bài 7. Khảo sát tính giải tích của hàm số
( )

( )





=
≠
+
+
=
0 0
0
42
2
z,
z,
yx
iyxxy
zf
Bài 8. Khảo sát tính giải tích của hàm số
( )



=
≠
=
0 0
0 e

4
-z
z,
z,
zf
Bài 9. Tính các tích phân sau
a)
∫
=
L
xdzI
, với L là đoạn gấp khúc nối từ A(0;0) đến B(1;1) đến C(1;2)
b)
∫
=
L
xdzI
, với L là đường tròn
Raz =−
c)
∫
=
L
dz
z
z
I
, với L là biên của miền
{ }
021 ><< zIm,z

d)
∫
=
L
dzzzI
, với L là biên của miền
{ }
01 >< zIm,z
GV Phạm Trí Nguyễn
5
Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
e)
∫
=
L
dzzI
, với L là nửa trên của Elip
1
4
2
2
=+ y
x
lấy ngược chiều KĐH
f)
( )
∫
=
L
dzzI

2
, với L là đường cong
1
2
+= xy
nối từ điểm
iz =
đến điểm
iz 21
+=
Bài 10. Tính các tích phân sau
a)
∫
=
L
dz
z
I
1
, với L là đường
{ }
1101 =≥= ,y,z
b)
∫
=
L
dz
z
I
1

, với L là đường
{ }
1101 −=≥= ,y,z
Bài 11. CMR
2
2
2
aR
R
azaz
dz
Rz
−
π
<
+−
∫
=
Bài 12. Tính các tích phân sau
a)
( )
3
2
2
2 1
1
z
z z
dz
z

=
+ +
−
∫
b)
( ) ( )
3 2
4 2
cos
1 5
z
z
dz
z z
− =
− −
∫
Bài 13. Tính các tích phân sau
a)
2 2
4
cos
z
z
dz
z
π
=
−
∫

b)
[ [
2
3
sin
2
1
z
z
dz
z
π
=
−
∫
c)
( )
2
2
sin sin 1
z
z z
dz
z z
=
−
−
∫
d)
( )

3
1
sin
z i
z
dz
z i
+ =
+
∫
Bài 14. Tính tích phân
∫
+
L
z
dz
9
2
trong các trường hợp sau
a)
LL
Di,Di ∉−∈ 33
b)
LL
Di,Di ∉∈− 33
c)
L
Di ∈± 3
Bài 15. Tính các tích phân sau
GV Phạm Trí Nguyễn

6
Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
a)
( )
∫
=
−
++
=
2
2
3
1
12
z
dz
z
zz
I
b)
( ) ( )
∫
=−
−−
=
24
23
51
z
dz

zz
zcos
I
Bài 16. Giả sử chu tuyến L giới hạn một miền kín D có diện tích S. CMR
a)
Sixdz
L
=
∫
b)
S−=
∫
L
ydz
c)
S2idzz
L
=
∫
Bài 17. Chứng minh rằng
a)
( )
( )
2
2
1
2 !
1 1
2
!

n
z
n
z dz i
z z
n
π
=
 
+ =
 ÷
 
∫
b)
( )
( )
( )
2
2
2
0
2 !
2cos 2
!
n
n
d
n
π
θ θ π

=
∫
c)
( )
( )
( )
2
2
2
2
0
2 !
cos
2
! 2
n
n
n
d
n
π
π
θ θ
=
∫
(Công thức Wallis)
d)
( )
( )
( )

2
2
2
2
0
2 !
sin
2
! 2
n
n
n
d
n
π
π
θ θ
=
∫
GV Phạm Trí Nguyễn
7
Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài tập chương III
(Chuỗi Taylor - Laurent)
Bài 21. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau theo lũy thừa
0
z z−
. Xác định
miền hội tụ của chuỗi tìm được
a)

0
1
, 1
2
z
z
=
−
b)
0
2
1
, 3
6 5
z
z z
=
− +
c)
0
1
, 3
1
z i
z
=
−
d)
( )
2

0
sin 4 , 2z z z+ = −
e)
0
2
1
, 2z
z
=
f)
2
4 1
0
, 2
z z
e z
− +
=
Bài 8. Khai triển Taylor hàm
f
quanh lân cận điểm
0
z z=
đã được chỉ ra
a)
( )
0
2
1
, 0

1
f z z
z z
= =
+ +
b)
( )
( )
( ) ( )
0
2 4
1
, 0
1 1 1
f z z
z z z
= =
+ + +
c)
( )
( )
( ) ( )
( )
*
0
2 2
1
, 0
1 1 1
m

f z z m
z z z
= = ∈
+ + +
¥
d)
( )
( )
0
2
2
1
, 0
1
f z z
z
= =
−
e)
( )
( )
0
2
2
1
, 0
1
f z z
z
= =

+
f)
( )
( )
0
2
3
1
, 0
1
f z z
z
= =
+
Bài 9. Không khai triển thành chuỗi, hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi Taylor của
các hàm sau quanh lân cận các điểm đã chỉ ra
a)
( )
0
4
1
, 1
1
f z z
z
= =
+
b)
( )
0

1
, 1
sin
f z z i
z
= = +
c)
( )
0
2 4
1
,
1
f z z i
z z
= =
+ +
d)
( )
0
1
, 1 2
1 tan
f z z i
z
= = +
−
GV Phạm Trí Nguyễn
8
Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán

Bài 10. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm sau, xác định miền hội tụ
a)
2
z
e
−
b)
( )
2
1
z
z e
−
−
c)
2
4
z
z+
d)
2
sin z
e)
2
3
1 2z z+ −
f)
( )
2
3 1

2
z
z
+
−
g)
( ) ( )
2
2 2
2 19
3 2 5
z z
z z
− +
− +
Bài 11. Tìm khai triển Laurent của các hàm sau trong lân cận của điểm đã chỉ ra
a)
1
, 0,
2
z z
z
= = ∞
−
b)
( )
1
, 0, 1,
1
z z z

z z
= = = ∞
−
c)
1
2
, 0,
z
z e z z= = ∞
d)
( )
2
2
4
cos , 2
2
z z
z
z
−
=
−
Bài 12. Tìm khai triển các hàm sau trong hình vành khăn đã chỉ ra
a)
( )
( )
2
2
2 5
, 1 2, 0 2 1

2 1
z z
z z
z z
− +
< < < − <
− +
b)
( ) ( )
1
, 1 2, 1 3 2
1 2
z
z z
z z
+
< < < − <
− −
c)
1
, 0
sin
z
z
< < ∞
d)
23
3
3
2

+−
+−
zz
zz
,
∞<<<<< zzz 2 ,21 ,1
Bài 13. Tìm khai triển Laurent của các hàm sau trong lân cận các điểm bất thường
hữu hạn của chúng
a)
2
1
cos)(
−
=
z
zf
b)
1
sin)(
−
=
z
z
zf
c)
z
zf
1
sin)( =
GV Phạm Trí Nguyễn

9
Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
d)
z
ezf
1
)( =
Bài 13. Tìm khai triển Laurent của các hàm sau trong lân cận của điểm vô cùng
a)
z
ezf =)(
b)
)1(
1
)(
−
=
zz
zf
c)
22
)1(
1
)(
+
=
z
zf
d)







−
−
=
bz
az
zf ln)(
GV Phạm Trí Nguyễn
10
Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
Bài tập chương IV
(Thặng dư và ứng dụng)
Bài 1. Tính thặng dư của các hàm sau tại các điểm bất thường khác
∞
a)
2
1
2
z
z
+
−
b)
( )
2
2

2
1
z
z +
c)
( )
( )
2
*
,
1
n
n
z
n
z
∈
−
¥
d)
( )
2
1
1
z
z e−
e)
1
1
sin

2
z −
f)
( )
2 2
4
z
e
z z +
Bài 2. Tính thặng dư của các hàm sau tại các điểm bất thường (kể cả điểm
∞
)
a)
3
cos z
z
b)
( )
4
3
1
z
z +
c)
2
1
1 z−
d)
( )
( )

2
2
1
1 1z z+ −
e)
1
sin
z
f)
2
sin
9
z
z +
Bài 3. Tính các thặng dư sau
a)
1
Res ,0
z
z
e
+
 
 
 
b)
1
Res , 0
1
n

z
z e
z
 
 
 
−
 
 
Bài 4. Tính các tích phân sau bằng thặng dư
a)
6 4
sin
z
dz
z
− =
∫
GV Phạm Trí Nguyễn
11
Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
b)
1
1
2
1
z
z
e
dz

z
=
−
∫
c)
10
2
1
z
dz
z
=
+
∫
d)
( )
( )
5
2
3 1
z
dz
z z
=
− −
∫
e)
2
2
1

2
z
zdz
z
=
−
∫
f)
5 3
4
1
2 1
z
z z
dz
z
=
+
+
∫
Bài 5. Cho hàm
( )
( )
1
*
, 0, ,
n
n n
z
f z a a n

z a
−
= > ∈ ∈
+
¥¡
.
Tìm tất cả các giá trị có thể nhận của tích phân
( )
∫
f z dz
γ
trong đó
γ
là chu tuyến
không đi qua cực điểm nào của hàm
( )
f z
.
Bài 6. Hãy tính các tích phân sau bằng thặng dư
a)
20
2
1
n
z
z dz
z
=
+
∫

b)
( ) ( )
( )
1
, 0 1
n n
z
dz
a b
z a z b
=
≤ < <
− −
∫
c)
2
1
n
z
z
z e dz
=
∫
Bài 7. Tính tích phân
( )
1 1 1
2
1 2
3
1

z z z
z
z z e e e dz
− −
=
 
+ + + +
 ÷
 
∫
Bài 8. Tính
( ) ( )
21
3 4
2 4
1
2 1 3 1
z
z
z z
=
+ +
∫
Bài 9. Tính thặng dư của các hàm sau tại các điểm bất thường đã chỉ ra
a)
1
1
cos)(
2
−

=
z
zzf
,
1
0
=z
b)
zzf
2
cot)( =
,
π
kz =
0
c)
z
zf
1
sin)( =
,
0
0
=z
d)
z
zf
1
sin)( =
,

∞=
0
z
e)
23
5
)1(
1
)(
+
+
=
z
z
zf
,
∞=
0
z
GV Phạm Trí Nguyễn
12
Bài tập Hàm biến phức Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán
f)






+

−
=
1
1
ln)(
z
z
ezf
z
,
∞=
0
z
g)
9
sin
)(
2
+
=
z
z
zf
,
∞=
0
z
h)
z
z

z
zf
1
sin
1
)(
2
2
−
=
,
∞=
0
z
GV Phạm Trí Nguyễn
13