Luận văn tốt nghiệp khái niệm cơ bản đầu tiên về dạng vi phân trên đa tạp

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Mục lục
Lời cảm ơn
Lời mở đầu 1
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bò 3
1. Hàm vectơ 3
1.1 Đònh nghóa 3
1.2 Hàm vectơ liên tục 3
1.3 Hàm vectơ khả vi 4
1.4 Hàm khả vi lớp C
r
4
2. Đa tạp khả vi 4
2.1 Khái niệm bản đồ 4
2.2 Khái niệm Atlas 6
2.2.1 Đònh nghóa 6
2.2.2 Hai Atlas phù hợp 6
2.2.3 Mệnh đề 6
2.2.4 Atlas cực đại 6
2.3 Đa tạp khả vi 7
2.4 Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp 8
2.5 Khái niệm về cung tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc 9
2.5.1 Cung tham số 9
2.5.2 Đường cong 9
2.5.3 Vectơ tiếp xúc 10
2.6 Không gian tiếp xúc 11
2.7 nh xạ tiếp xúc của hai đa tạp 11
2.8 Phân thớ tiếp xúc 12
2.9 Phân thớ đối tiếp xúc 12
2.10 Trường vectơ 13

2.11 Trường vectơ khả vi 13
Chương 2: Dạng vi phân 14
1. Đại số ngoài 14
1.1 Đònh nghóa ánh xạ đa tuyến tính thay dấu 14
1.2 Nhóm các hoán vò 15
1.3 Phép nhân các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu 15
1.4 Các tính chất của phép nhân ngoài 16
1.5 Các dạng vi phân trên không gian vectơ 16
1.5.1 Đònh nghóa 16
1.5.2 Các phép toán trên những dạng vi phân 17
1.5.3 Phép toán vi phân ngoài 18
1.5.4 Các tính chất của phép toán vi phân ngoài 18
1.5.5 Các dạng vi phân trên không gian hữu hạn chiều 19
1.5.6 Phép đổi biến trong các dạng vi phân 20
1.5.7 Các tính chất của ánh xạ
ϕ
* 20
2. Dạng vi phân trên đa tạp 20
2.1 Đònh nghóa 20
2.2 Các phép toán trên các dạng vi phân 21
2.3 Phép đổi biến trong các dạng vi phân trên đa tạp 24
2.3.1 Đònh nghóa 25
2.3.2 Các tính chất của ánh xạ f* 25
2.4 Vi phân ngoài của dạng vi phân 27
2.4.1 Đònh nghóa 27
2.4.2 Các tính chất của vi phân ngoài 27
Kết luận 30
Tài liệu tham khảo 31
LỜI MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết để tính diện tích của một mảnh phẳng thì người ta

phải phân hoạch mảnh phẳng đó thành các mảnh nhỏ sao cho mỗi mảnh nhỏ
đều có thể tính được diện tích của nó. Giới hạn diện tích của mỗi mảnh nhỏ
đối với một phép phân hoạch sao cho các mảnh nhỏ được coi là đều nhau thì
diện tích của mỗi mảnh nhỏ được gọi là dạng diện tích (volume foms). Cách
làm này được sử dụng để tính thể tích của một vật thể trong không gian 3
chiều.
Vấn đề đặt ra là xây dựng các dạng thể tích để tính thể tích của một đa
tạp con bất kỳ trong không gian? Để giải quyết những bài toán như vậy người
ta xây dựng khái niệm các dạng vi phân trên đa tạp.
Trong giới hạn của luận văn này chúng tôi chỉ trình bày những khái
niệm cơ bản đầu tiên về dạng vi phân trên đa tạp nhằm hiểu rõ bản chất của
dạng vi phân và thông qua đó nêu lên một vài ví dụ mang tính minh hoạ.
Nội dung đề tài bao gồm 2 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bò
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở để làm
tiền đề cho việc trình bày những khái niệm ở chương sau, đó là: hàm vectơ,
tính liên tục và khả vi của hàm vectơ ,…, trình bày về đa tạp khả vi, ánh xạ
khả vi giữa hai đa tạp, không gian tiếp xúc, phân thớ tiếp xúc, phân thớ đối
tiếp xúc và trường vectơ.
Chương 2: Dạng vi phân
Đây là chương trọng tâm của luận văn, nội dung của chương này là trình
bày các khái niệm : nh xạ đa tuyến tính thay dấu và các tính chất của
chúng trên không gian vectơ đònh chuẩn, các dạng vi phân trên không gian
hữu hạn chiều và trên đa tạp, tích ngoài của các dạng vi phân, không gian
các dạng vi phân và một số ví dụ minh hoạ.
Để hoàn thành đề tài này, tuy bản thân đã có nhiều nổ lực và cố gắng
song trong đề tài không tránh khỏi những sai sót, vì vậy em rất mong nhận
được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô và bạn bè. Em xin chân thành cảm ơn!
CHƯƠNG I
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm: Hàm vectơ, tính
liên tục và khả vi của hàm vectơ…. Nhắc lại một số kiến thức của đa tạp khả
vi như: khái niệm bản đồ, Atlas, ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp, khái niệm về
cung tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc. Mô tả cấu trúc của không gian tiếp
xúc và phân thớ tiếp xúc, trên cơ sở đó xây dựng khái niệm về phân thớ đối
tiếp xúc, trường vectơ và trường vectơ khả vi trên đa tạp, là kiến thức cơ sở
cho việc nghiên cứu các dạng vi phân ở chương II.
1.Hàm vectơ
1.1 Đònh nghóa Cho U là tập mở trong
¡
n
, hàm vectơ trên U là ánh xạ
f :U
→

¡
m
x
a
f(x)= (f
1
(x),….,f
m
(x)), trong đó x=(x
1
,x
2
,….,x
n
)

f
i
:U
→

¡
x
a
f
i
(x) ,
∀
i=1,2…m.
1.2 Hàm vectơ liên tục
Hàm vectơ f : U
⊂

¡
n
→

¡
m
được gọi là liên tục tại x
0
∈
U nếu
∀
ε
>0,

∃

δ
> 0 :
∀
x
∈
U mà
P
x – x
0

P
<
δ
thì
P
f(x) – f(x
0
)
P
<
ε
.
Nhận xét:
• f = (f
1
,… , f
m
) liên tục trên U khi và chỉ khi các f

i
liên tục trên U,
tức là f
i
liên tục tại mọi x
∈
U, i=1,2,…,m.
• Nếu hàm f : U
⊂

¡
n

→

¡
m


liên tục tại x
0

∈
U và
g : f(U)
⊂
V
⊂

¡

m

→

¡
p
liên tục tại f(x
0
) thì hàm số hợp
g.f : U
⊂

¡
n

→

¡
p
liên tục tại x
0
.
1.3 Hàm vectơ khả vi
Cho U
⊂

¡
n
, hàm vectơ f : U
→

¡
m
được gọi là khả vi tại a
∈
U
nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính
λ
:
¡
n

→

¡
m
sao cho

0
( ) ( ) ( )
lim
h
f a h f a h
h
λ
→
+ − −P P
P P
=0
nh xạ tuyến tính

λ
được gọi là đạo hàm của f tại a, ký hiệu là
λ
= D f(a).
Ta gọi hàm f khả vi trên U nếu hàm f khả vi tại mọi điểm a của U và
gọi hạng của f tại a là Rank
a
(f)= Rank(Df(a)).
1.4 Hàm khả vi lớp C
r
Hàm vectơ f : U
⊂

¡
n

→

¡
m
, với U mở, được gọi là khả vi lớp C
r
(r
≥
1) trên U nếu các hàm toạ độ f
1
, f
2
, …,f
m

của f khả vi lớp C
r
, có nghóa là :

∀
k
≤
r thì tồn tại
1
1

n
k i
k
k
n
f
x x
∂
∂ ∂

với k
1
+k
2
+…+ k
m
= k, i=
1, m
.

Một hàm liên tục tại x
0
được gọi là khả vi lớp C
0
, hàm f khả vi lớp
C
∞
được
gọi là trơn; ta viết f
C
∞
∈
.
2. Đa tạp khả vi
2.1 Khái niệm bản đồ
Cho M là không gian tôpô Hausdorff. Nếu U là tập mở trong M, V là
tập mở trong
¡
n
và
ϕ
: U
→
V là đồng phôi thì (U,
ϕ
) được gọi là một bản
đồ của M.
• Với p
∈
U thì

ϕ
(p)
∈

¡
n
nên
ϕ
(p)= (x
1
,x
2
,…,x
n
). Khi đó (x
1
,x
2
, ,x
n
) được
gọi là toạ độ của p đối với (U,
ϕ
) và (U,
ϕ
) được gọi là hệ toạ độ đòa
phương (vì
ϕ
là đồng phôi nên có thể đồng nhất một cách đòa phương
p với (x

1
,x
2
,…,x
n
)).
• Giả sử (U
1
,
ϕ
1
) và (U
2
,
ϕ
2
) là hai bản đồ của M sao cho W= U
1
∩
U
2
≠
∅
.
Khi đó: (U
1
,
ϕ
1
) và (U

2
,
ϕ
2
) được gọi là phù hợp nếu ánh xạ
ϕ
2
.
1
1
ϕ
−
là vi
phôi.
Quy ước: Nếu U
1
∩
U
2
=
∅
thì (U
1
,
ϕ
1
) và (U
2
,
ϕ

2
) là phù hợp.
2.1.1 Ví dụ
Ví dụ1: Lấy M=
¡
= U = V

ϕ
:
¡

→

¡
x
a
2x-1 thì (
¡
,
ϕ
) là một bản đồ của
¡
.
Ví dụ2 Đặt M=S
1
=
{
(x,y) : x
2
+y

2
=1
}
U
1
=
{
(x,y)
∈
S
1
: x>0
}
=
{
(
2
1 y−
, y): y
∈
( )
1,1−
}

V
1
=
( )
1,1−
U

1
U
2
M
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
2
ϕ
2
.ϕ
1
-1
R
n

ϕ
1
: U
1

→
V
1
(
2
1 y−
, y)

a
y. Khi đó (U
1
,
ϕ
1
) là một bản đồ của S
1
.
Ví dụ3 Đặt U
2
=
{
(x,y)
∈
S
1
: y>0
}
=
{
(x,
2
1 x−
): x
∈
(-1,1)
}
V
2

=(-1,1)

ϕ
2
: U
2

→
V
2
(x,
2
1 x−
)
a
x. Khi đó (U
2
,
ϕ
2
) là một bản đồ của M=S
1
và (U
1
,
ϕ
1
) và (U
2
,

ϕ
2
) là phù hợp.
2.2 Khái niệm Atlas
2.2.1 Đònh nghóa
Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, A =
{
(U
i
,
ϕ
i
)
i
∈
I

}
là họ các
bản đồ trên M. Nếu A thoã mãn đồng thời hai tính chất sau
•
i I∈
∪
U
i
=M
• (U
i
,
ϕ

i
) và (U
i
,
ϕ
j
) là phù hợp với mọi i,j
thì ta nói A là một Atlas của M.
2.2.2 Hai Atlas phù hợp (tương thích)
Cho A =
{
(U
i
,
ϕ
i
)
}
i
∈
I
và
B =
{
(V
j
,
ψ
j
)

}
j
∈
J
là hai Atlas trên không gian tôpô Hausdorff
M. Khi đó A và B được gọi là phù hợp nếu mọi bản đồ (U
i
,
ϕ
i
)
∈
A đều
phù hợp với mọi bản đồ(V
j
,
ψ
j
)
∈
B với mọi i,j.
Nhận xét Nếu A và B là hai Atlas phù hợp thì A
∪
B cũng là một
Atlas.
2.2.3 Mệnh đề
Trong tập hợp các Atlas của M, nếu gọi R là quan hệ phù hợp giữa
hai Atlas thì R là quan hệ tương đương.
2.2.4 Atlas cực đại
Hợp của tất cả các Atlas thuộc lớp tương đương R là Atlas cực đại

của lớp ấy ( Cực đại được hiểu theo nghóa là không có Atlas nào phù hợp với
nó mà chứa nó).
Nếu A là một Atlas cực đại trên M thì A còn được gọi là một cấu
trúc khả vi trên M.
2.3 Đa tạp khả vi
Một không gian tôpô Hausdorff M có cấu trúc khả vi
A =
{
(U
i
,
ϕ
i
)
}
i
∈
I
mà
:
n
i i i
V
ϕ
→ ⊂U ¡
thì được gọi là đa tạp khả vi
n- chiều.
Nhận xét Từ một Atlas bất kỳ trên M đều có thể bổ sung để được một Atlas
cực đại. Vì thế khi xét một cấu trúc khả vi trên M ta chỉ xét Atlas có số bản
đồ ít nhất.

Ví dụ
a) Xét M là tập mở, M
⊂
¡
n
. Lấy U=V=M và
ϕ
=id: M
→
M. Khi đó
( )
{ }
,U
ϕ
là một Atlas của M. Do đó M là đa tạp khả vi n- chiều. Như
vậy mỗi tập mở trong
¡
n
đều là một đa tạp khả vi n- chiều.
Đặc biệt các khoảng mở trong
¡
là các đa tạp khả vi 1- chiều,
¡
n
là
đa tạp khả vi n- chiều.
b) Lấy M = S
1
=
{

(x,y): x
2
+y
2
=1
}
. Ở ví dụ trước ta đã có (U
1
,
ϕ
1
) và
(U
2
,
ϕ
2
) là hai bản đồ của M.
Đặt: U
3
=
{
(x,y)
∈
S
1
: x<0
}
=
{

(-
2
1 y−
, y) : y
∈
(-1,1)
}
V
3
= (-1, 1)

ϕ
3
: U
3

→
V
3
(-
2
1 y−
, y)
a
y
Đặt U
4
=
{
(x,y)

∈
S
1
: y<0
}
=
{
(x, -
2
1 x−
) : x
∈
(-1,1)
}
V
4
= (-1,1)

ϕ
4
: U
4

→
V
4
(x, -
2
1 x−
)

a
x
Tương tự các ví dụ ta đã xét thì (U
3
,
ϕ
3
) và (U
4
,
ϕ
4
) là các bản đồ của M. Do
đó
{
(U
i
,
ϕ
i
)
}
4
i=1
là một Atlas của M.
Vậy M=S
1
là một đa tạp khả vi 1- chiều.
2.4 nh xạ khả vi giữa hai đa tạp
Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng.

Đònh nghóa
nh xạ liên tục f : M
→
N được gọi là khả vi tại điểm p
∈
M nếu với
mọi bản đồ đòa phương (U,
ϕ
) quanh p và (V,
ψ
) quanh q = f(p) sao cho f(U)
⊂
V thì ánh xạ
ψ
.f.
ϕ
-1
là khả vi tại điểm
ϕ
(p)
∈

¡
m
.
nh xạ f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm p
∈
M.

M

N
U
.
p
.
q
ψ
ϕ
ϕ(p)
f
R
m
R
n
ψ.f.ϕ
-1
Ví dụ: Xét M =(0,1), N =
¡
3
và
f : (0,1)
→

¡
3
t
a
(t
2
, t

3
, t+1) thì f khả vi.
2.5 Khái niệm về cung tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc
2.5.1 Cung tham số
a) Đònh nghóa
Cho M là đa tạp khả vi n- chiều, J = (a,b)
⊂
¡
. Mỗi ánh xạ khả vi
ρ
: J
→
M được gọi là một cung tham số.
b) Cung tham số tương đương
Cho hai cung tham số:
ρ
: J
→
M và
δ
: I
→
M
ρ
được gọi là tương đương với
δ
, ký hiệu
ρ

:

δ
, khi và chỉ khi tồn
tại vi phôi
: I J
λ
→
sao cho
ρ
.
λ
=
δ
. Ta viết
[ ]
γ
=
{
δ

δ
:

γ
}
và gọi là
một lớp các cung tham số tương đương.
Nhận xét Nếu hai cung tham số tương đương thì chúng có cùng một tập ảnh.
2.5.2 Đường cong
Đường cong trên đa tạp khả vi n- chiều M là một lớp các cung tham số

tương đương.
Để thuận tiện ta thường lấy đại diện của đường cong là một cung tham số. Từ
nay, khi nói cho đường cong nghóa là ta đã chọn một cung tham số đại diện
(đại diện ấy gọi là tham số hoá của đường cong).
 Hai đường cong tương đương:
Cho đa tạp khả vi n- chiều M và một điểm p
∈
M.
Cho hai đường cong:

ρ
: J
→
M và
δ
: I
→
M
0
a

ρ
(0) = p 0
a

δ
(0) = p
Ta nói
ρ
và

δ
tương đương với nhau khi và chỉ khi với mọi bản đồ (U,
ϕ
)
quanh p thì : (
ϕ
.
ρ
)
,
(0) = (
ϕ
.
δ
)
,
(0).
Ký hiệu:
ρ
:

δ
.
Nhận xét Hai đường cong được gọi là tương đương với nhau tại một điểm
nếu chúng có cùng một vectơ tiếp xúc tại điểm đó.
2.5.3 Vectơ tiếp xúc
Trong mục này ta luôn giả sử M là đa tạp khả vi n- chiều và
ρ
là
đường cong trên M.

nh xạ f : M
→
¡
được gọi là khả vi tại điểm p
∈
M nếu với mọi bản
đồ (U,
ϕ
), p
∈
U thì
-1
f.
ϕ
khả vi tại
ϕ
(p).
Ký hiệu: F (M) là tập hợp các hàm khả vi trên M.
F (p) là tập hợp các hàm khả vi trong lân cận U
p
chứa p.
Đònh nghóa Vectơ tiếp xúc tại điểm p
∈
M là một ánh xạ
v : F (p)
→

¡
f
a

v(f) =
d
dt
f.
ρ
(t)|
0
t t=
.
Khi đó ta cũng nói v là vectơ tiếp xúc với M tại p.
Xét bản đồ đòa phương (U,
ϕ
) quanh p và
γ
là đường cong trên M qua p. Khi
đó vectơ tiếp xúc tại p là
j
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p
, j =
1, n
.
Ta có :
j
ϕ

 
∂
 ÷
∂
 
p
(f) = D
j
(f.
ϕ
-1
)|
ϕ
(p)
, trong đó D
j
ký hiệu đạo hàm riêng
thứ j và f
∈
F ( (p). Ta viết:
j
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p
(f) =
j

f
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p
.
Như vậy, mỗi vectơ tiếp xúc với M tại p là tổ hợp tuyến tính của
1
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p
,
…,
n
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p
, được coi là một đạo hàm tại p và được cho bởi:
v =

1
n
j
j
j
ξ
ϕ
=
 
∂
 ÷
∂
 
∑
p
, j =
1, n
,
j
ξ
= v(
j
ϕ
).
2.6 Không gian tiếp xúc
Cho M là đa tạp khả vi n- chiều. Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M tạo
thành không gian tiếp xúc của M, ký hiệu là T
p
M.
Nhận xét Tập các vectơ tiếp xúc tại p là không gian con của không gian

vectơ các đạo hàm tại p, sinh bởi n vectơ
j
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p
, j =
1, n
.
2.7 nh xạ tiếp xúc của hai đa tạp
Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng và
f: M
→
N
p
a
f(p) = p’
là ánh xạ khả vi. T
p
M là không gian các vectơ tiếp xúc với M tại p và T
p
N
là không gian các vectơ tiếp xúc với N tại p’.
Đònh nghóa
nh xạ tiếp xúc của f tại p là f
*
|

p

:
T
p
M
a
T
p’
N và được xác đònh như
sau: Nếu v
∈
T
p
M tiếp xúc với đường cong
ρ
(t) tại p thì f
*
|
p
(v) = v’ tiếp xúc
với đường cong f.
ρ
(t) tại p’.
Ví dụ Giả sử lấy M =
¡
2

,

N =
¡
3
và f :
¡
2

→

¡
3


( )
, .
x u v
u v y u v
z u
= +


=


=

a
Cho p(1;2) và v(3;4). Ta tìm f
*
|

p
(v). Trước hết ta thấy f là ánh xạ khả vi .
Vectơ v tiếp xúc với đường cong
ρ
(t):
1 3
2 4
u t
v t
= +


= +

Ta có
(0)
'(0)
p
v
ρ
ρ
=


=

nh của đường cong
ρ
(t) qua ánh xạ f là f.
ρ

(t) :
2
3 7
2 10 12
1 3
x t
y t t
z t
= +


= + +


= +

Khi đó: vì v’= f
*
|
p
(v) tiếp xúc với f.
ρ
(t), nên v’=
d
dt
f.
ρ
(t)|
t=0
=(7,10,3).

2.8 Phân thớ tiếp xúc
Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều. Ta gọi :
TM =
p M∈
U
T
p
M là phân thớ tiếp xúc của M, là một đa tạp khả vi 2n- chiều.
Thật vậy, trên TM ta mô tả cấu trúc đa tạp như sau:
Đối với mỗi bản đồ (U,
ϕ
) trên M , ta đặt TU =
p U∈
U
T
p
M và xét ánh xạ

ϕ
: TU
→

ϕ
(U)
×

¡
n

v

a

ϕ
(v) = (
ϕ
(p), v(
ϕ
1
),…,v(
ϕ
n
))
trong đó v
∈
T
p
M và v =
1
( )
n
j
j
j
v
ϕ
ϕ
=
 
∂
 ÷

∂
 
∑
p
,
ϕ
là một song ánh từ TU lên
ϕ
(U)
×
¡
n
.
Người ta đã chứng minh được rằng (TU,
ϕ
) là bản đồ trên TM, kết hợp
với (U,
ϕ
). Nếu (V,
ψ
) là một bản đồ đòa phương khác trên M, với U
∩
V
≠
∅

thì với (a,b)
∈
ψ
( U

∩
V)
×
¡
n
, ta có:

ϕ
.
ψ
-1
(a,b) =
1 1
1
1
1 1
( ) ( )
. ( ), . , , .
n
n n
j j
j j
j j
a a
a b b
ψ ψ
ϕ ϕ
ϕψ
ψ ψ
− −

−
= =
 
   
∂ ∂
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
∂ ∂
   
 
∑ ∑
Như vậy, các hàm
ϕ
.
ψ
-1
là khả vi nên ta có thể trang bò cho TM một tôpô
xác đònh duy nhất sao cho các bản đồ (TU,
ϕ
) trên TM có
ϕ
là đồng phôi.
Tập các bản đồ
{
TU
i
,
ϕ
}

tạo thành một Atlas khả vi trên TM. TM cùng
với cấu trúc khả vi xác đònh như trên là đa tạp khả vi 2n- chiều, được gọi là
phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M.
2.9 Phân thớ đối tiếp xúc
Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều. Ta đã xây dựng được không gian
tiếp xúc T
p
M và phân thớ tiếp xúc TM của M là một đa tạp.
Tương tự như vậy ta xây dựng không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp
xúc trên đa tạp TM. Khi đó, không gian tiếp xúc với đa tạp TM được gọi là
không gian đối tiếp xúc của M tại p, ký hiệu là T*
p
M. Phân thớ tiếp xúc của
đa tạp TM được gọi là phân thớ đối tiếp xúc của M, ký hiệu là T*M.
2.10 Trường vectơ
Đònh nghóa Một trường vectơ X trên đa tạp M là ánh xạ
X : M
→

p M∈
U
T
p
M
P
a
X
p
, X
p

∈
T
p
M.
Nhận xét Một trường vectơ trên đa tạp M là một ánh xạ biến mỗi điểm trên
đa tạp thành một vectơ tiếp xúc thuộc không gian tiếp xúc với đa tạp tại điểm
đó.
2.11 Trường vectơ khả vi
Cho M là đa tạp khả vi n- chiều. Với mỗi bản đồ đòa phương (U,
ϕ
) của
M, p
∈
U thì
ϕ
(p)
∈

¡
n
nên
ϕ
(p) = (x
1
,…,x
n
). Vì
ϕ
là đồng phôi nên có thể
đồng nhất một cách đòa phương p với (x

1
,…,x
n
).
Ký hiệu: B (M) =
{
các trường vectơ khả vi trên M
}
.
Tại mỗi p
∈
M thì
i
p
x
 
∂
 
∂
 
là cơ sở của không gian tiếp xúc T
p
M. Khi cho p
thay đổi ta sẽ có
i
x
 
∂
 
∂

 
là một trường mục tiêu trên M ; nên với X
∈
B(M) thì
i
X= X
i
x
∑
∂
∂
. Khi đó X được gọi là trường vectơ khả vi nếu và chỉ nếu các hàm
toạ độ X
i
: U
→
¡
là khả vi.

CHƯƠNG II
DẠNG VI PHÂN
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm : nh xạ đa tuyến tính
thay dấu và các tính chất của chúng trên không gian vectơ đònh chuẩn, các dạng
vi phân cùng các phép toán của chúng trên không gian vectơ hữu hạn chiều. Từ
đó xây dựng khái niệm các dạng vi phân trên đa tạp khả vi n- chiều, tích ngoài
của các dạng vi phân, không gian các dạng vi phân, phép đổi biến trong các
dạng vi phân và phép toán vi phân ngoài.
1. Đại số ngoài
1.1 Đònh nghóa ánh xạ đa tuyến tính thay dấu
• Cho E

1
,E
2
,…,E
p
,F la ø(p+1) không gian vectơ đònh chuẩn. nh xạ
f: E
1
×
E
2
×
…
×
E
p

→
F
(x
1
,x
2
,…,x
p
)
a
f(x
1
,x

2
,…,x
p
)
(trong đó x
i
là một vectơ trong E
i
)
được gọi là một ánh xạ p- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến, tức là: cố
đònh (p-1) biến còn lại và xét biến thứ i ta có :
f(x
1
, ,
α
x
i
+
β
y
i
, x
i+1
,…,x
p
)=
α
f(x
1
, ,x

i
,x
i+1
,…,x
p
) +
β
f(x
1
,…,y
i
, ,x
p
) ,
∀
i=
1, p
.
• f được gọi là tuyến tính thay dấu (thay phiên) nếu:
i) f là p- tuyến tính .
ii) f(x
1
,…,x
i
,…,x
j
,…,x
p
)= - f(x
1

,…,x
j
,…,x
i
,…,x
p
).
Ký hiệu: L
p
(E,F) là tập hợp các ánh xạ p- tuyến tính từ E
p
→
F thì L
p
(E,F) là
một không gian vectơ.
A
p
(E,F) là tập hợp các ánh xạ p- tuyến tính thay dấu từ E
p

→
F . Ta
chứng minh được rằng A
p
(E,F) là không gian vectơ con của không gian
L
p
(E,F).
1.2 Nhóm các hoán vò

Giả sử
p
∑
là nhóm tất cả các hoán vò của tập
{ }
1, , p
gồm p số nguyên
dương đầu tiên. Nó chứa p! phần tử. Hoán vò
σ

∈

p
∑
được gọi là chuyển vò
nếu tồn tại một cặp số khác nhau i và j
( )
1 ,1i p j p≤ ≤ ≤ ≤
sao cho:

σ
(i) = j,

σ
(j) = i,

σ
(k) = k với k tuỳ ý khác i và j.
(Nói một cách đơn giản,
σ

đổi chỗ i và j).
Ta gọi cặp số
{ } { }
, 1,2, ,i j n⊂
là một nghòch thế của
σ
nếu với mọi
i j<
thì
( ) ( )i j
σ σ
>
.
Với hoán vò tuỳ ý
σ
của tập hợp
{ }
1, , p
, nếu f
∈
A
p
(E,F) thì
f(x
σ
(1)
,x
σ
(2)
,…,x

σ
(p)
) = sign
σ
f(x
1
,x
2
,…,x
p
), trong đó sign =1 nếu số nghòch thế
là chẵn và sign =-1 nếu số nghòch thế là lẻ.
Sign được gọi là dấu của phép thế
1 2
(1) (2) ( )
p
p
σ σ σ
 
 ÷
 
1.3 Phép nhân các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu
Giả sử f
∈
A
p
(E;F) và g
∈
A
q

(E;G). Để xác đònh phép nhân giữa g
và f trước tiên cần cho một ánh xạ song tuyến tính liên tục
Φ
: F
×
G
→
H
nh xạ song tuyến tính như thế cho phép đặt tương ứng f và g ánh xạ
h: E
p+q

→
H, cụ thể h(x
1
,…,x
p+q
) =
Φ
(f(x
1
,…,x
p
),g(x
p+1
,…,x
p+q
)).
Rõ ràng ánh xạ h là đa tuyến tính và liên tục, nhưng nói chung không thay dấu,
nó chỉ thuộc không gian các ánh xạ (p+q)- tuyến tính , thay dấu theo p biến đầu

và q biến cuối. Ký hiệu không gian đó là A
p,q
(E;H).
Ta xác đònh một ánh xạ liên tục tuyến tính

ϕ
p,q
: A
p,q
(E;H)
→
A
p+q
(E;H)
h
a

ϕ
p,q
(h)
Đònh nghóa Phần tử
ϕ
p,q
(h)
∈
A
p+q
(E;H) được gọi là tích ngoài của các ánh
xạ f
∈

A
p
(E;F) và g
∈
A
q
(E;G) ứng với
Φ
: F
×
G
→
H được ký hiệu là
f
∧
Φ
g và được xác đònh như sau:
(f
∧
Φ
g)(x
1
,…,x
p+q
) =
∑
(sign
σ
)
Φ

(f(x
σ
(1)
,…,x
σ
(p)
), g(x
σ
(p+1)
,…,x
σ
(p+q)
)) (1.3)
trong đó
σ
chạy khắp tập hợp hoán vò
{ }
1, , p q+
và thoã mãn
(1) ( )
( 1) ( )
p
p p q
σ σ
σ σ
< <


+ < < +


Khi G =
¡
, H = F và ánh xạ
Φ
: F
×

¡

→
F đơn giản là phép nhân các
vectơ của không gian F với các vô hướng. Trong trường hợp đó ta có thể bỏ
Φ

trong ký hiệu f
∧
g. Trong trường hợp riêng khi mà F =
¡
tích f
∧
g các dạng đa
tuyến tính thay dấu lại là một dạng đa tuyến tính thay dấu.
Một trường hợp riêng : giả sử f
∈
L(E,
¡
) và g
∈
L(E,
¡

) là các dạng
tuyến tính. Khi đó tích f
∧
g của chúng là một phần tử của không gian A
2
(E;
¡
) được cho bởi công thức: (f
∧
g )(x
1
,x
2
) = f(x
1
)g(x
2
) – f(x
2
)g(x
1
).
1.4 Các tính chất của phép nhân ngoài
Mệnh đề 1.4.1 Giả sử f
∈
A
p
(E;
¡
) và g

∈
A
q
(E;
¡
) là những dạng
đa tuyến tính thay dấu( với các giá trò vô hướng). Khi đó g
∧
f = (-1)
pq
f
∧
g
(phép nhân ngoài của các dạng thay dấu là phản giao hoán)
Mệnh đề 1.4.2 Phép nhân ngoài các dạng đa tuyến tính thay dấu là kết
hợp. Nói cách khác nếu f
∈
A
p
(E;
¡
), g
∈
A
q
(E;
¡
) và h
∈
A

r
(E;
¡
) thì
(f
∧
g)
∧
h = f
∧
(g
∧
h).
1.5 Các dạng vi phân trên không gian vectơ
1.5.1 Đònh nghóa Cho U là tập mở trong không gian đònh chuẩn E.
nh xạ
ω
: U
→
A
p
(E;F) được gọi là dạng vi phân bậc p xác đònh
trên U và nhận giá trò trong F. Đơn giản ta có thể nói : p- dạng vi phân trên U
với giá trò trong F.
Các trường hợp riêng:
• Dạng vi phân bậc 0 là hàm U
→
F
• Dạng vi phân bậc 1 là ánh xạ U
→

L(E,F).
Ký hiệu:
Ω
p
(U,F) là tập hợp tất cả p- dạng vi phân trên U với các giá trò trong F
và đó là một không gian vectơ.
Vớí
ω
∈
Ω
p
(U,F), x
∈
U và
ξ
1
,…,
ξ
p
∈

E ta ký hiệu
ω
(x).(
ξ
1
,…,
ξ
p
)

∈
F giá
trò của ánh xạ
ω
(x)
∈
A
p
(E;F) trên dãy các vectơ
ξ
1
,…,
ξ
p
. Đôi khi ta sẽ viết
giá trò đó như sau
ω
(x;
ξ
1
,…,
ξ
p
). Như vậy, mỗi p- dạng vi phân trên U
⊂
E là
một ánh xạ biến mỗi vectơ x
∈
U thành một ánh xạ p- tuyến tính thay dấu xác
đònh trên E.

1.5.2 Các phép toán trên những dạng vi phân
Giả sử F,G,H là các không gian Banach và
Φ
: F
×
G
→
H là ánh xạ
song tuyến tính liên tục. Ngoài ra giả sử
α
∈
Ω
p
(U,F),
β
∈
Ω
q
(U,G).
Đối với bất kỳ x
∈
U ,
α
(x) là phần tử của không gian A
p
(E;F), còn
β
(x) là
phần tử của không gian A
q

(E;G) . Vì vậy tích ngoài của chúng là

α
(x)
∧

Φ
β
(x)
∈
A
p+q
(E;H). Ta có ánh xạ song tuyến tính liên tục:

:
∧Φ
A
p
(E;F)
×
A
q
(E;G)
→
A
p+q
(E;H)
(
α
(x),

β
(x))
a

α
(x)
∧

Φ
β
(x) được xác đònh bởi phép nhân
ngoài.
Đònh nghóa Dạng vi phân x
→
α
(x)
∧

Φ
β
(x) được gọi là tích ngoài
α
∧
Φ
β

của các dạng vi phân
α
và
β

.
Khai triển đònh nghóa nhờ công thức (1.3) ta được:
(
α
∧
Φ
β
)(x;
ξ
1
,…,
ξ
p
)=∑(sign
σ
)
Φ
(
α
(x;
ξ
σ
(1)
,…,
ξ
σ
(p)
),
β
(x;

ξ
σ
(p+1)
,…,
ξ
σ
(p+q)
)
trong đó tổng lấy theo mọi hoán vò
σ
của dãy
{
1,…,p+q
}
sao cho
σ
(1)<…<
σ
(p),
σ
(p+1)<…<
σ
(p+q).
Ví dụ Giả sử
α
và
β
là các dạng vi phân bậc 1 với các giá trò vô hướng. Khi đó
dạng
α

∧
Φ
β
mà ta ký hiệu đơn giản là
α
∧
β
được xác đònh bởi công thức:
(
α
∧
β
)(x;
ξ
1
,
ξ
2
) =
α
(x;
ξ
1
)
β
(x;
ξ
2
) -
α

(x;
ξ
2
)
β
(x;
ξ
1
)
Nhận xét Phép nhân ngoài các dạng vi phân có tất cả các tính chất của phép
nhân các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu, đó là phản giao hoán và kết hợp.
Chú ý Với số nguyên n tuỳ ý ta xét không gian vectơ
0p≥
⊕
Ω
p
(U,
¡
) là tổng trực
tiếp các không gian vectơ
Ω
p
(U,
¡
) theo mọi giá trò của p, ký hiệu là
• (U,
¡
)=
0p≥
⊕

Ω
p
(U,
¡
), cùng với phép nhân ngoài
Ω
p
(U,
¡
)
×

Ω
q
(U,
¡
)
→
Ω
p+q
(U,
¡
) biến không gian vectơ
Ω
(U,
¡
) thành một
đại số. Đại số đó là kết hợp và phản giao hoán.
1.5.3 Phép toán vi phân ngoài
Bây giờ ta chuyển qua việc mô tả một phép toán rất quan trọng không có

sự tương tự trong lý thuyết các ánh xạ thay dấu. Ta đặt ứng với mỗi dạng
ω
∈

Ω
p
(U,F) một (p+1)- dạng nào đó mà ký hiệu là d
ω
với d
ω
∈

Ω
p+1
(U,F) và
được gọi là vi phân ngoài của dạng
ω
, được cho bởi công thức:
d(
ω
)(x;
0
, ,
p
ξ ξ
) =
0
p
i=
∑

(-1)
i
(
ω
’(x).
i
ξ
)
µ
( )
0
, , , ,
i p
ξ ξ ξ
trong đó
µ
i
ξ
là phần tử được loại bỏ.
Ví dụ a) Lấy hàm f: U
→
F . Khi đó (df)(x;
ξ
) = f’(x).
ξ
b) Nếu
ω
∈

Ω

1
(U,F) thì (d
ω
)(x;
1 2
,
ξ ξ
) = (
ω
’(x).
1
ξ
).
2
ξ
- (
ω
’(x).
2
ξ
).
ξ
1
1.5.4 Các tính chất của phép toán vi phân ngoài
a) Nếu f là hàm khả vi lớp C
1
và
ω
là p- dạng vi phân thì
d(f.

ω
) = (df)
∧
ω
+ f.(d
ω
). Ở đây chú ý có hai trường hợp :
 f nhận các giá trò trong F , còn
ω
nhận các giá trò vô hướng. Khi đó
các giá trò của d(f.
ω
) thuộc không gian F.
 f là hàm vô hướng, còn
ω
là vi phân nhận giá trò vô hướng. Khi đó
các giá trò của d(f.
ω
) cũng thuộc không gian F.
b) Giả sử
α
∈
Ω
p
(U,
¡
) và
β

∈

Ω
q
(U,
¡
). Khi đó:
d(
α
∧
β
) = (d
α
)
∧
β
+ (-1)
p

α
∧
(d
β
)
c) Nếu
ω
là p- dạng vi phân bất kỳ thì d(d
ω
) = 0.
1.5.5 Các dạng vi phân trên không gian hữu hạn chiều
Giả sử E là không gian hữu hạn chiều. Việc chọn một cơ sở trong E cho
phép đồng nhất E với

¡
k
.
Giả sử U là tập mở trong
¡
k
. Khi đó p- dạng vi phân
ω
tuỳ ý trên U
được viết một cách duy nhất dưới dạng
ω
=
1
1
, ,

( )
p
p
i i
i i
c x
< <
∑
d
1
i
x
∧
…

∧
d
p
i
x
, trong
đó
1

p
i i
c

là những hàm U
→
F và tổng được lấy theo tất cả các cách chọn sao
cho i
1
<…< i
p
.Với cách viết của
ω
như vậy thì vi phân ngoài của dạng vi phân
ω

được viết như sau: d
ω
= dc
∧
d

1
i
x
∧
…
∧
d
p
i
x
.
Trường hợp riêng: Nếu p = 1 , tức là
ω
∈

Ω
1
(U,F) thì
ω
được viết một cách
duy nhất dưới dạng:
ω
=
ϕ
1
k
i=
∑
c
i

(x) dx
i
, trong đó c
i
là các ánh xạ U
→
F khả vi
lớp C
n
.
* Giả sử U là tập con mở trong
¡
k
. Nếu f : U
→
F là hàm khả vi lớp C
1
thì vi
phân df của nó được viết dưới dạng chính tắc sau đây:
df =
1
k
i
i
f
x
=
∑
∂
∂

dx
i
.
Ví dụ Trong không gian
¡
3
xét dạng vi phân
ω
= Pdx + Qdy + Rdz . Khi đó
d
ω
= dP
∧
dx + dQ
∧
dy + dR
∧
dz , viết tường minh như sau:
d
ω
=
R Q
y z
 
∂ ∂
−
 ÷
∂ ∂
 
dy

∧
dz +
P R
z x
∂ ∂
 
−
 ÷
∂ ∂
 
dz
∧
dx +
Q P
x y
 
∂ ∂
−
 ÷
∂ ∂
 
dx
∧
dy.
1.5.6 Phép đổi biến trong các dạng vi phân
Cho U là tập con mở của không gian Banach E.
Giả sử
ω
: U
→

A
p
(E;F) là p- dạng vi phân lớp C
n
, và
ϕ
: U’
→
U là ánh xạ
khả vi lớp C
n+1
, trong đó U’ là tập con mở của không gian Banach E’.
Ta xác đònh p- dạng nào đó của lớp C
n
: U’
→
A
p
(E’;F) mà ta sẽ ký hiệu là
ϕ
*
ω
và gọi là dạng vi phân nhận được từ dạng
ω
nhờ phép đổi biến
ϕ
: U’
→
U , trong đó
ϕ

* là ánh xạ tuyến tính

ϕ
* :
Ω
p
(U,F)
→

Ω
p
(U’,F)

ω

a

ϕ
*
ω
1.5.7 Các tính chất của ánh xạ
ϕ
*
a) nh xạ
ϕ
* bảo toàn tích ngoài: nếu
( , )
p
U F
α

∈Ω
,
( , )
q
U G
β
∈Ω
và cho một
ánh xạ song tuyến tính liên tục
: F G HΦ × →
thì
( ) ( )
*( ) * *
ϕ α β ϕ α ϕ β
∧ Φ = ∧ Φ
.
b) Nếu
ϕ
: U’
→
U và f : U
→
F là các ánh xa khả vi lớp C
1
thì
ϕ
*(df) = d(
ϕ
*f).
2. Dạng vi phân trên đa tạp

2.1 Đònh nghóa
Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều. Dạng vi phân bậc k trên đa tạp M
là ánh xạ:

ω
: M
→
* * *
k
T M T M T M× × ×
1 4 4 4 4 2 4 4 4 43
p
a

ω
p
với
ω
p
:

p p p
k
T M T M T M× × ×
1 4 4 442 4 4 4 43

→
¡
ω
p

là ánh xạ k- tuyến tính thay dấu. Tập các dạng vi phân bậc k trên M làm
thành một
¡
- không gian vectơ, ký hiệu là
Ω
k
(M).
•
k
(M)=0 nếu k>n.
Các trường hợp riêng:
a) 1-dạng vi phân trên đa tạp M là một ánh xạ:

θ
: M
→
T*M
p
a

θ
p
mà
θ
p
∈
T*
p
M, tức là
θ

p
: T
p
M
→

¡
Nhận xét: Một dạng vi phân trên đa tạp M là một ánh xạ biến mỗi điểm trên
đa tạp thành một dạng tuyến tính xác đònh trên không gian tiếp xúc với đa tạp
tại điểm đó, ký hiệu là
Ω
1
(M).
b) 2- dạng vi phân trên đa tạp M là một ánh xạ:

η
: M
→
T*M
×
T*M
p
a

η
p
với
η
p
: T

p
M
×
T
p
M
→

¡
,
η
p
là ánh xạ 2- tuyến tính thay
dấu, ký hiệu là
Ω
2
(M).
2.2 Các phép toán trên các dạng vi phân
Ta ký hiệu :
Ω
0
(M) = F (M) : vành các hàm khả vi trên M.
Bây giờ ta trang bò cho
Ω
k
(M) các phép toán sau:
 Phép cộng:
Nếu
ω
∈

Ω
k
(M) và
θ
∈
Ω
k
(M) thì:

ω θ
+
: p
a
ω
p
+
θ
p
,
∀
p
∈
M.
Nhận xét: Tổng của hai k- dạng vi phân là một k- dạng vi phân.
 Nhân một hàm khả vi với một k- dạng vi phân:
.
ϕ ω
: p
a

ϕ
(p)
ω
p
,

∀
p
∈
M ,
ϕ
∈
F (M) và
ω
∈
Ω
k
(M).
Nhận xét: Phép nhân một hàm khả vi với một k- dạng vi phân là một k-
dạng vi phân.
Đònh lý
Ω
k
(M) là một môđun trên F (M)
Chứng minh Việc chứng minh đònh lý này là kiểm tra 8 tiên đề của đònh nghóa
môđun.
Khi
Ω
k
(M) là một môđun, ta muốn

Ω
k
(M) trở thành một đại số thì phải
có thêm phép toán sau, gọi là tích ngoài của các dạng vi phân:
 Tích ngoài của các dạng vi phân:
Cho M là đa tạp khả vi n- chiều, (U,
ϕ
) là một bản đồ đòa phương
trên M. Với mỗi p
∈
U thì p có toạ độ đòa phương là (x
1
,x
2
,…,x
n
).
Nếu
ω
là dạng vi phân bậc k trên M thì
ω
được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

ω
=
1 1


k k
i i i i

dx dx
ω
∧ ∧
, trong đó
1
1

, ,
k
k
i i
i i
x x
ω ω
 
∂ ∂
 ÷
=
 ÷
∂ ∂
 
Giả sử
ω
∈
Ω
k
(M) và
θ
∈
Ω

l
(M) thì
ω θ
∧
∈
Ω
k+l
(M), k,l=0,1,…,được xác đònh như
sau:
(
ω θ
∧
)(p) =
( ) ( )p p
ω θ
∧
=
1 1 1 1

( ( ) ) ( ( ) )
k k k l
i i i i j j i i
p dx dx p dx dx
ω θ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
=
1 1 1 1

( , )
k l k k k l

i i j j i i i i
dx dx dx dx
ω θ
+ +
Φ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
,