SKKN Những sai lầm của học sinh trong việc giải toán hình giải tích trong không gian và hướng khắc phục

Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
Hình học tọa độ trong khơng gian và những sai lầm của học sinh
A.Lý do chọn đề tài:
- Toán học thường được xem là bộ môn khoa học căn bản, tuy vậy mỗi giờ học toán
thường rất căng thẳng và thường học sinh quan niệm rằng toán học là những công
thức, quy tắc,…
- Cùng một vấn đề, toán học bao giờ cũng có thể luận giải được bằng phương pháp
giải tích, phương pháp đại số, phương pháp hình học, hoặc bằng sự kết hợp của các
phương pháp đó.
-Với phương pháp toạ độ trong không gian chúng ta đã có sự kết hợp của tất cả các
phương pháp trên. Việc làm này đã làm cho việc học hình học không bắt buộc phải tự
dạy cụ thể và trực quan với những hình vẽ không gian 3 chiều, tránh được tính trừu
tượng, nhằm đạt tới sự khái quát hoá của hình học không gian nói riêng và của toán
học nói chung.
- Lý thuyết của phương pháp toạ độ trong không gian bao gồm tất cả những lý thuyết
của phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và những lý thuyết mở rộng trong không
gian với một khối lượng kiến thức đáng kể.
- Bài tập của PP toạ độ trong KG rất đa dạng, số lượng tương đối nhiều. Muốn giải tốt
các bài tập này đòi hỏi học sinh phải biết nhận dạng các đối tượng cơ bản của HHKG,
biết tìm sự liên hệ giữa chúng, biết kết hợp giữa PP toạ độ với HHKG.
- Do thời gian phân phối chương trình cho phần này còn hạn chế: Có những bài cả lý
thuyết và bài tập chỉ có 1 tiết. Bản thân một số giáo viên chưa nhiều kinh nghiệm. Đa
số học sinh học toán với kỹ năng tính toán kém, tư duy tưởng tượng HHKG không có,
kiến thức HHKG lớp 11 nắm không vững , chỉ coi trọng công thức, chưa hiểu đúng vai
trò của lý thuyết với bài tập …
- Qua nhiều năm giảng dạy và qua theo dõi các bài làm, bài kiểm tra của học sinh tôi
nhận thấy các em có những sai lầm phổ biến sau:
1) Về lý thuyết:
Do trương trình sgk được viết ngắn gọn nên:

- Học sinh dễ ngộ nhận tất cả những khái niệm có trong HH phẳng là có trong HHKG.
Ví dụ như véc tơ pháp tuyến của đường thẳng.
- Học sinh không biết nhận ra sự giống và khác nhau gữa các công thức tính theo toạ
độ của PP toạ độ trong KG và PP toạ độ trong mặt phẳng. Dẫn đến tâm lý căng thẳng
cho rằng công thức phải thuộc là quá nhiều, khó nhớ.
- Các em không biết xâu chuỗi các kiến thức liên quan trong nhiều bài khác nhau.
Ví dụ: có thể tìm được vtpt của mặt phẳng, nhưng khi tìm vtcp của đường thẳng thì lại
khó khăn.
Trang1
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
- Kiến thức lý thuyết ở mỗi bài thường nhiều và tương đối khó, nhưng thời gian để
phân tích, chứng minh cho hs hiểu sâu lại không có.
2) Về bài tập:
- Học sinh không nhớ nhiều các kiến thức về PP toạ độ trong mặt phẳng có liên quan
đến PP toạ độ trong KG nên khi áp dụng làm các bài tập cụ thể gặp khó khăn.
- Học sinh thường sử dụng công thức một cách khuôn mẫu, không biết vận dụng triệt
để các kiến thức của hình học KG lớp 11 có liên quan.
Ví dụ như khi tính thể tích một hình chóp học sinh thường áp dụng máy móc công
thức tính :
],),[(
6
1
ADACAB
mà đơi khi khơng ngĩ tới cơng thức tính thể tích hình chóp : V=
1/6.h.dt(đáy)
. Công thức được sử dụng đơn giản hơn nhiều.
- Kỹ năng trình bày, diễn đạt của Hs chưa tốt. Nhiều khi đứng trước một nội dung đã
hiểu nhưng lại không biết diễn đạt như thế nào, hoặc nếu có thì diễn đạt không đủ ý,

nhiều khi còn lủng củng.
- Đa số các em không biết phân loại các dạng bài tập và các phương pháp chung cho
từng loại bài tập đó Vì thế khi gặp các bài tập tương tự nhưng hỏi theo cách khác các
em lại tưởng như đó là một loại bài tập mới.
- Đứng trước một bài tập mà giả thiết cho là những toạ độ, phương trình của các đối
tượng cơ bản trong KG, các em không biết liên hệ giữa giả thiết với kết luận như thế
nào. Tức là không biết bắt đầu từ đâu, không biết sử dụng trí tưởng tượng HHKG để
vẽ hình và tìm mối liên hệ giữa các đối tượng đó.
Từ những nhận đònh trên, tôi xin đưa ra một số giải pháp nhằm khắc phục những thiếu
sót của hs, giúp các em hiểu và giải được những bài tập loại này. Từ đó giúp các em
phấn khởi hơn khi học môn Toán, tự tin hơn khi bước vào kỳ thi học kỳ II, kỳ thi TN
THPT, kỳ thi Đại học. Những kỳ thi ma øcác bài tập loại này luôn luôn có.
Đó là lý do tôi chọn đề tài trên.
B)NỘI DUNG:
I) Một số giải pháp hạn chế những sai sót về kiến thức và kỹ năng của học sinh:
1) Vấn đề lý thuyết:
- Khi dạy lý thuyết đa số các giáo viên phải dạy nhanh vì phân phối chương trình rất
hạn chế về thời gian. Khi đó nhiều đònh lý không hoặc không chứng minh kỹ được,
hay một số công thức tính không được chỉ ra, dẫn dắt đến nó một cách bài bản, rõ
ràng con đường đi tới nó. Từ đó việc học công thức cuả học sinh rất máy móc, dẫn
đến khó thuộc, do không được hiểu một cách rõ ràng, chỉ biết là phải thuộc để vận
dụng chúng.
Trang2
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
- Ngoài ra nếu không đổi mới phương pháp dạy thì không có thời gian để củng cố các
kiến thức liên quan và đưa ra các dạng bài tập thường gặp, đồng thời chỉ rõ những
dạng bài tập đó được vận dụng lý thuyết tương ứng nào.
Chính vì vậy yêu cầu giáo viên khi dạy phần lý thuyết này trước hết phải phân biệt

cho học sinh rõ trọng tâm của mỗi bài, phải thể hiện cách ghi bảng sao cho học sinh
ghi ít nhất nhưng trong tâm nhất để tránh mất thời gian.
*) Khi dạy các công thức tính theo toạ độ như : biểu thức toạ độ của tích vô hướng, độ
dài vec tơ, góc giữa hai véc tơ, toạ độ véc tơ tổng, hiệu hai véc tơ, điều kiện vuông
góc giữa hai véc tơ, điều kiện cùng phương giữa hai véc tơ, phương trình tham số,
phương trình chính tắc của đường thẳng, phương trình mặt cầu, phương trình đường
tròn,…Giáo viên có thể đặt câu hỏi: Các công thức trên có quen không? Có những
công thức nào không giống trong hình học phẳng? Giúp các em trả lời được các câu
hỏi trên, như vậy giáo viên đã gợi cho học sinh thấy được sự giống và khác nhau với
các công thức tương tự ở phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Từ đó giúp học sinh dễ
nhớ các công thức và tránh nhầm lẫn khi vận dụng.
*) Giáo viên phải hướng dẫn học sinh xâu chuỗi các kiến thức có liên quan trong
nhiều bài khác nhau để có hướng chọn phương pháp khi gặp một bài tập.
VD: Khi nhận biết về 3 véc tơ đồng phẳng thì có thể sử dụng đònh nghóa nếu bài toán
có hình vẽ cụ thể cho trước, nhưng cũng có thể sử dụng đònh lý về điều kiện đồng
phẳng của 3 véc tơ ( SGK.HH12.trang 71, dựa và tích có hướng của hai vectơ ) nếu giả
thiết cho các véc tơ với những toạ độ của chúng.
*) Ở mỗi một kiến thức lý thuyết cụ thể giáo viên có thể gợi ý cho học sinh các dạng
bài tập áp dụng để từ đó khi bắt tay vào giải bài tập các em có đònh hướng rõ ràng
hơn.
VD: Khi học về phương trình mặt phẳng giáo viên cần cho học sinh biết rằng một mặt
phẳng xẽ xác định được khi biết một đường thẳng có hướng vng góc với nó và một
điểm nằm trên mặt phẳng, để học sinh biết được khi viết mộ phương trình mặt phẳng cần
phải biết những yếu tố gì.
*) Khi dạy có thể sắp xếp lại thứ tự trình bày của kiến thức trong SGK cho hợp lý hơn
với thực tế vận dụng kiến thức đó vào bài tập.
VD: Khi xét vò trí tương đối của 2 đường thẳng trong KG không nên chỉ ra việc cho 2
đt bởi PTCT như SGK mà cho:
Đt (d) qua M
0

(x
0
;y
0
;z
0
) , có VTCP
( )
cbau ;;
Đt (d’) qua M
0
’(x
0
’;y
0
’;z
0
’) , có VTCP
( )
';';'' cbau
( học sinh sẽ hiểu rằng đt cho bởi pt dạng nào đi nữa thì cũng phải khai thác từ mỗi đt
một điểm và một VTCP của nó )
Gv sử dụng hình vẽ minh hoạ giúp các em phân biệt được hai khả năng:
Trang3
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
2 đt cùng phương ( song song hoặc trùng) và 2 đ thẳng không cùng phương ( cắt hoặc
chéo ), sau đó mới phân biệt rõ 2 vò trí tương đối trong mỗi khả năng trên. Qua quá
trình phân tích, so sánh các vò trí tương đối của các đt đi tới kết luận:

+)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
000000
':':'':':'::' zzyyxxcbacbadd −−−==⇔≡
+)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
000000
':':'':':'::'// zzyyxxcbacbadd −−−≠=⇔
+) (d) cắt (d’)
[ ]





=
≠
⇔
0' . ',
':':'::
00
MMuu
cbacba
+) (d) và (d’) chéo nhau
⇔
[ ]
0'M . ',
00
≠Muu
Chú ý việc tính

[ ]
'M . ',
00
Muu
chỉ thực hiện khi hai véc tơ chỉ phương không cùng
phương, tránh những phần tính toán thừa.
*) Đổi mới phương pháp trong mỗi giờ dạy: Nếu bài lý thuyết quá dài không thể đủ
thời gian cho việc chứng minh các đlý, công thức một cách kỹ lưỡng thì gv có thể chủ
động soạn , dạy bằng giáo án điện tử
( tránh mất thời gian ghi bảng của cả gv và hs).
Ngoài ra còn có thể sử dụng được những hình vẽ sinh động minh hoạ cho phần chứng
minh.
Ví dụ:
*) Lập công thức tính thể tích của tứ diện:
So sánh thể tích của một tứ diện ABCD và thể tích của một khối hộp có
3 cạnh xuất phát từ đỉnh B là BA, BC, BD:
Coi ABCD là một hình chóp đỉnh A, đáy là
ABC
∆
, BCED là một đáy của
Hình hộp, ta thấy hình chóp và hình hộp có cùng
chiều cao AH. Nên:
V
ABCD
=
ABCDBCD
SAHSAH
2
1
.

3
1
.
3
1
=
∆
=
'''.
6
1
DEACBCED
V
=
[ ]
BABDBC .,
6
1
zzzzz
Trang4
A
B
C
D
H
E
D’
E’
C’
Sáng kiến kinh nghiệm

Đào
Anh Tuấn
*) Một cách tính véc tơ chỉ phương của một đường thẳng cho bởi phương trình
tổng quát:
[ ]
βα
nnu
d
,
=
Hình vẽ minh hoạ:
2) Vấn đề bài tập:
- Số lượng bài tập ở mỗi mục đều rất nhiều nên không thể sửa tất cả trong giờ bài tập,
vì vậy giáo viên phải yêu cầu đại trà cả lớp làm các bài tập cơ bản bắt buộc, đồng
thời không giới hạn cho những hs khá, giỏi.
-khi dạy xong một phần lý thuyết, ngoài việc củng cố những lý thuyết cơ bản, trọng
tâm của bài , gv cần đònh hướng cho hs những thể loại bài tập có thể sẽ gặp mà vận
dụng lý thuyết vừa học. Nêu vấn đề về phương pháp để hs có hướng về nhà tự tìm
hiểu và giải bài tập. Trong giờ bài tập gv cùng các em giải quyết các vấn đề đó và
cuối cùng chốt lại thành phương pháp cụ thể cho từng loại .
VD: Khi học xong bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU, qua các ví dụ được thể hiện
trong bài gv có thể gợi ý cho hs nêu lại các dạng bài tập có thể hỏi. Cụ thể là những
dạng bài tập sau:
+) Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu cho bởi pt dạng:
x
2
+ y
2
+ z
2

-2ax – 2by – 2cz + d = 0 (1)
+) Tìm điều kiện của tham số để pt dạng (1) là pt của một mặt cầu.
+) Xác đònh tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của một mặt phẳng
và một mặt cầu cho trước phương trình.
+) Lập phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc với mp (P) cho bởi
pt :Ax + By + Cz + D = 0
+) Lập pt mặt cầu đi qua 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng
+) Xét vò trí tương đối giữa một mặt cầu và một mặt phẳng đã cho pt.
Trang5
d
u
d
α
n
β
n
[ ]
βα
nn ,
β
α
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
+) Viết pt tiếp diện của một mặt cầu cho trước tại một điểm cho trước hoặc tiếp
diện song song với một mặt phẳng cho trước.
Đồng thời nêu phương pháp cơ bản cho từng loại.
- Khi ôn tập cần phân loại các dạng bài tập thường gặp khi thi, nhắc lại phương pháp
giải cho từng loại, cho bài tập hs giải để ghi nhớ phương pháp và rèn luyện kỹ năng.
Cụ thể có những loại bài tập sau:

a) Viết pt của đường thẳng trong KG.
Phương pháp chung:
+) Xác đònh được VTCP và một điểm của đt rồi sử dụng PTTS hoặc
PTCT để viết.
+) Xác đònh được pt của 2 mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường
thẳng phải tìm. (Chú ý sử dụng cho dạng bài tập viết pt đt là hình chiếu vuông góc của
một đt cho trước trên một mặt phẳng cho trước)
b) Viết pt của mặt phẳng:
Phương pháp chung:
Từ giả thiết tìm được toạ độ một điểm và VTPT của mặt phẳng , sau đó sử dụng công
thức: A(x – x
0
) + B(y - y
0
) + C( z – z
0
) = 0.
Hoặc dùng VTPT viết pt mp ở dạng Ax + By + Cz + D = 0, thế toạ độ của điểm mà
mp đó đi qua vào pt để tìm D. Từ đó kết luận pt của mp.
c) Viết pt của mặt cầu:
Phương pháp chung:
+) Xác đònh toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu rồi sử dụng pt dạng:
( x – a )
2
+ ( y – b )
2
+ ( z – c )
2
= R
2

để viết.
+) Gọi pt mặt cầu dạng : x
2
+ y
2
+ z
2
-2ax – 2by – 2cz + d = 0, sử dụng giả thiết lập
được một hệ pt với các ẩn là a,b,c,d. Giải hệ tìm được các ẩn đó và kết luận pt mặt
cầu.
d) Viết pt, xác đònh tâm và tính bán kính của đường tròn trong KG:
Phương pháp chung: Tìm được đường tròn là giao tuyến của một mặt phẳng và một
mặt cầu nào đó,suy ra pt đường tròn:



=+++
=+−−−++
0
0222
222
DCzByAx
dczbyaxzyx

Lập hệ pt tìm toạ độ tâm H của đường tròn:








=+++
=−
=−
=−
0DCzByAx
tCcz
tBby
tAax
Tính bán kính của đường tròn: r =
22
IHR −
e) Tính khoảng cách, góc giữa các đối tượng cơ bản của HHKG:
Phương pháp chung:
Trang6
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
+) Xác đònh rõ các đối tượng cần tính khoảng cách và vò trí tương đối gữa chúng để sử
dụng công thức cho chính xác. Nếu là khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song thì
được tính bằng k/c từ một điểm bất kỳ trên đt này đến đt kia, sử dụng công thức tính
k/c từ một điểm đến một đt. Khi 2 đt chéo nhau thì sử dụng trực tiếp công thức k/c
giữa 2 đt chéo nhau. Khi 2 đt trùng nhau thì k/c giữa chúng bằng 0.
Nếu là k/c giữa 2 mặt phẳng song song thì tính bằng k/c từ một điểm bất kỳ của mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
+) Xác đònh góc: Cách nhớ tóm tắt: Khi tính góc giữa hai đối tượng giống nhau thì tính
côsin của góc đó còn tính góc giữa hai đối tượng khác nhau thì tính sin.
+) Đôi khi còn dựa vào diện tích tam giác, thể tích khối hộp, thể tích khối chóp để
tính k/c giữa 2 đường thẳng chéo nhau, k/c từ một điểm đến một đường thẳng, k/c từ

một điểm đến một mặt phẳng…
g) Tìm chu vi, diện tích tam giác, thể tích khối hộp, thể tích tứ diện.
Phương pháp chung: Sử dụng toạđộ của các véc tơ, tích vô hướng, tích có hướng của
hai véc tơ, độ dài véc tơ và các công thức:
[ ] [ ] [ ]
CBCABABCACABS
ABC
,
2
1
,
2
1
,
2
1
===
∆
CBACABCV
ABC
++=
∆
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
DA . ,CA . ,BA . ,AD . ,
6
1
DD . ,CC . ,BB . ,AA . ,
''''
.

''''
DCDBCDCBBDBCACABV
DCDACDCBBABCADABV
ABCD
DCBAABCD
====
====

h) Loại bài tập chứng minh:
+) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Phương pháp: Lấy lần lượt trên hai đt hai véc tơ khác véc tơ không, tính tích vô hướng
của chúng và khẳng đònh được bằng 0.
+) Chứng minh hai đt song song.
Phương pháp: Lấy lần lượt trên hai đt các véc tơ chỉ phương, dùng toạ độ chỉ ra hai
véc tơ đó cùng phương và không cùng nằm trên một đt.
+) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
Phương pháp: Lấy hai véc tơ tạo bởi 3 điểm và chứng minh chúng cùng phương.
+) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Phương pháp: Lấy trên đt một véc tơ chỉ phương
a
, trên mặt phẳng lấy cặp véc tơ chỉ
phương
{ }
cb,
. CM






⊥
⊥
c
b
a
a
, từ đó kết luận.
Trang7
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
+) Chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng :
Phương pháp: Lấy trên đt một véc tơ chỉ phương
a
, trên mặt phẳng lấy cặp véc tơ chỉ
phương
{ }
cb,
. Chứng minh: đt không thuộc mặt phẳng và
[ ]
cba ,⊥
, từ đó kết luận.
II)Thời gian thực hiện:
- Tiết: 22. 23. 24. 25: Hệ toạ độ ĐềCác vuông góc trong KG- toạ độ của véc tơ
và của đểm.
- Tiết: 26, 27, 28: Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Tiết: 32, 33, 34, 35, 36, 37: Phương trình của đường thẳng.
- Ôn tập chương.
- Tiếp tục ôn trong thời gian học phụ đạo và ôn tập cuối năm.
III) Một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập và cách khắc phục:

Ví dụ 1: Viết pt mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-1;2;3) và có VTPT
)6;5;4(n

Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc phục Bài giải đúng
Pt mp (P) có dạng:
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0
02432
0)6(3)5(2)4(1
=−++−⇔
=−+−+−−⇔
zyx
zyx
*) Sai lầm:
Học sinh đã sử dụng ngược
vai trò của toạ độ VTPT và
điểm mà mp đi qua khi thế
vào công thức.
*) Khắc phục:
Để tránh sự nhầm lẫn này
gv hướng dẫn học sinh sử
dụng cách giải khác:
Sử dụng toạ độ VTPT viết
pt mp về dạng:
Ax+By+Cz+D=0

Sau đó thế toạ độ của điểm
M vào pt tìm D rồi kết luận
ptmp.
Mặt phẳng (P) có VTPT
)6;5;4(n
nên có pt dạng:
4x+5y +6z + D =0
Điểm M (-1;2;3) thuộc
(P) nên ta có :
4.(-1) +5.2 + 6.3 + D = 0
24−=⇔ D
Suy ra pt của mp (P):
4x+5y+6z -24 = 0
Bài tập tương tự: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;-2;5) và vuông góc
với đường thẳng có phương trình:
11
3
5
12
−
=
−
=
− zyx
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng và mặt phẳng
Trang8
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
( )

02-z-5y3x :
1
1-z

3
9-y

4
12-x
:)( =+==∆
α
1) Tìm toạ độ giao điểm của đt
( )
∆
và mặt phẳng
( )
α
2) Viết phương trình đt
( )
'
∆
là hình chiếu vuông góc của
( )
∆
trên mặt phẳng
( )
α
Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc phục Bài giải đúng
1) Giải hệ pt :






=−−+
−
=
−
=
−
0253
1
1
3
9
4
12
zyx
zyx
Tìm được nghiệm là
( 0;0;-2)
2) Đt
( )
'
∆
là hình chiếu
vuông góc của
( )
∆
trên

mặt phẳng
( )
α
Nên đt
( )
'
∆
đi qua điểm I
và nhận VTPT là
[ ]
( )
11;7;8,
'
−==
∆
∆
α
nun
Suy ra pt của đt
( )
'
∆
là:
-8(x – 0) +7(y –0)+11(z +
2) = 0
0221178 =+++−⇔ zyx

*) Sai lầm: Ở câu 2) hs đã
hiểu sai sự xác đònh của đt
trong KG, coi sự xác đònh

một đt giống như trong mặt
phẳng. Đó là một đt có thể
được xác đònh bởi một điểm
và một VTPT của nó.
Vì thế đã dùng một véc tơ
vuông góc với đt làm VTPT
và viết pt kiểu như phương
trình tổng quát của đt trong
mặt phẳng.
*) Cách khắc phục: Trước
khi giải bài tập loại này giáo
viên lưu ý cho hs: Một đt
trong KG chỉ có khái niệm
VTCP mà không có khái
niệm VTPT, vì một đt trong
KG có thể vuông góc với
nhiều đt có phương khác
nhau.
Sử dụng hình vẽ để minh hoạ
điều này:
Từ đó phân tích để hs hiểu
được sự xác đònh của đt
( )
'
∆
:
1) Giải hệ pt :






=−−+
−
=
−
=
−
0253
1
1
3
9
4
12
zyx
zyx
Tìm được nghiệm là
( 0;0;-2)
2) Gọi
( )
β
là mặt phẳng đi
qua đt
( )
∆
và vuông góc với
mp
( )
α

Mp
( )
β
đi qua điểm I và
nhận VTPT là
[ ]
( )
11;7;8, −==
∆
αβ
nun
Suy ra pt của mp
( )
β
là:
-8(x – 0) +7(y –0)+11(z +
2) = 0
0221178 =+++−⇔ zyx

Đt
( )
'
∆
=
( ) ( )
βα
∩
Suy ra pt của
( )
'

∆
là:



=+++−
=−−+
0221178
0253
zyx
zyx
Trang9
α
β
)(
∆
α
n
I
( )
'
∆
∆
u
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
( )
'
∆

=
( ) ( )
βα
∩
Trong đó
( )
β
là mặt phẳng
đi qua đt
( )
∆
và vuông góc
với mp
( )
α
.
Bài tập tương tự: Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đt (d) :
1
1
4
2
3
2
−
=
+
=
−
z
y

x

Lên mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z + 4 = 0
Ví dụ 3: Lập phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng:
(d) :
1
9
2
3
1
7
−
−
=
−
=
− zyx
và (d’) :
3
1
2
1
7
3 −
=
−
=
−
− zyx
Bài giải của HS Sai lầm – Cách

khắc phục
Bài giải đúng
Đt (d) đi qua điểm
M
0
(7;3;9) và có VTCP
( )
1;2;1 −u
Đt (d’) đi qua điểm
M
0
’(3;1;1) và có VTCP
( )
3;2;7' −u
.
Gọi
( )
∆
là đường vuông
góc chung của (d) và
(d’) thì
( )
∆
có VTCP
[ ]
)16;4;8(,
'
=
d
d

uu
Hay
( )
4;1;2=
∆
u
Gọi (P) là mp chứa
( )
∆

và (d) suy ra (P) là mp
chứa (d) vàvuông góc
với (d’) . Như vậy mp
(P) qua M
0
và có VTPT
( )
3;2;7
'
−
d
u
suy ra pt (P) :
-7(x -7) + 2(y -3) +
+3(z -9) = 0
*) Sai lầm: Học sinh
đã nghó rằng (P) là
mp chứa
( )
∆

và (d)
suy ra (P) là mp chứa
(d) và vuông góc với
(d’), như vậy là đã
ngộ nhận rằng (d’)
luôn góc với (d).
Thực tế 2 đt (d) và
(d’) giả thiết cho có
thể vuông góc với
nhau cũng có thể
không, và ở bài này
là không.
Tương tự hs đã sai
lầm ở sự xác đònh
mặt phẳng (Q).
*) Khắc phục: GV
hướng dẫn hs : Trước
hết phải kiểm tra
*) Cách 1:
Đt (d) đi qua điểm M
0
(7;3;9) và có
VTCP
( )
1;2;1 −u
Đt (d’) đi qua điểm M
0
’(3;1;1) và có
VTCP
( )

3;2;7' −u
.
Gọi
( )
∆
là đường vuông góc chung
của (d) và (d’) thì
( )
∆
có VTCP
[ ]
)16;4;8(,
'
=
d
d
uu
Hay
( )
4;1;2=
∆
u
Gọi (P) là mp chứa
( )
∆
và (d) suy ra
(P) là mp qua M
0
và nhận VTPT là:
[ ]

)3;6;9(, −−=
∆
uu
d
hay
)1;2;3( −−=
P
n
Suy ra pt mp (P):
3(x-7) – 2(y-3) – (z-9) = 0
0623 =−−−⇔ zyx
Gọi (Q) là mp chứa
( )
∆
và (d’). Như
vậy mp (Q) qua M
0
’ và có VTPT
[ ]
)11;34;5(,
'
−=
∆
uu
d
suy ra pt (Q) :
Trang10
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn

016327 =+++−⇔ zyx

Gọi (Q) là mp chứa
( )
∆

và (d’) suy ra (Q) là mp
chứa (d’) và vuông góc
với (d) . Như vậy mp
(Q) qua M
0
’ và có
VTPT
( )
1;2;1 −
d
u
Suy ra pt (Q) :
(x -3) +2(y -1) -(z -1) =
0
042 =−−+⇔ zyx

( ) ( ) ( )
( )



=−−+
=+++−
∆⇒

∩=∆
042
016327
:
zyx
zyx
pt
QP
xem (d) và (d’) có
vuông góc với nhau
hay không. Nếu
chúng có vuông góc
thì giải theo cách
của các em là đúng.
Còn nếu chúng chéo
nhau và không
vuông góc thì thông
qua hình vẽ: Giả sử
đt
( )
∆
đã dựng được.
với
( )
∆
là đường
vuông góc chung của
d và d’suy ra
( )
∆

có
VTCP là
[ ]
)16;4;8(,
'
=
d
d
uu
Tiếp đến gv chỉ ra
cho hs thấy mp (P)
chứa
( )
∆
và (d)
chính là mp chứa M
0
và song song với
phương của
∆
u
nên
nhận VTPT là
[ ]
∆
uu
d
,
. Tương tự
cho mp (Q) qua M

0
’
và nhận VTPT là
[ ]
∆
uu
d
,
'
.
Hoặc có thể viết
phương trình đường
vuông góc chung HK
bằng cách tìm cụ thể
toạ độ của 2 đầu
đoạn vuông góc
chung, với 2 giả thiết
H,K lần lượt thuộc
(d), (d’)và HK cùng
5(x -3) + 34(y -1) -11 (z -1) = 0
( ) ( ) ( )
( )



=−−+
=−−−
∆⇒
∩=∆⇒
=−−+⇔

03811345
0623
:
03811345
zyx
zyx
pt
QP
zyx
*) Cách 2: Gọi HK là đoạn vuông
góc chung của (d) và (d’). H thuộc
(d) , K thuộc (d’).
Ptđt (d)





−=
+=
+=
⇔
tz
ty
tx
9
23
7
( )
1;2;1 −⇒

d
u
Ptđt (d’)





+=
+=
−=
⇔
sz
sy
sx
31
21
73
( )
3;2;7
'
−⇒
d
u

H là một điểm thuộc (d) và K là
một điểm thuộc (d’) suy ra:
( )
( )
( )

stststKH
sssK
tttH
38;222;74
31;21;73
9;23;7
−−−+++⇒
++−
−++
KH là đường vuông góc chung
của (d) và (d’)
⇔





⊥
⊥
⇔
'd
d
uKH
uKH
)1;1;3();9;3;7(
0
0
0626
0
0)38(3

)222(2)74(7
0)38(
)222(2)74(
KH
s
t
st
st
st
stst
st
stst
⇔



=
=
⇔



=+
=+
⇔








=−−+
+−++++−
=−−−
−−++++
Suy ra
( )
∆
chính là đt KH và có pt:





+=
+=
+=
tz
ty
tx
49
3
27
Trang11
P
Q
( )
∆
(d)

(d’)
H
K
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
vuông góc với (d),
(d’).Từ đó viết pt
của
( )
∆
theo kiểu pt
đt đi qua 2 điểm
phân biệt.
Hướng dẫn hs thứ tự
trình bày bài toán.
Bài tập tương tự: Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt (a) và (b)
(a) :
1
2
3
1
2
1 −
=
−
=
+ zyx
, (b) :
25

2
1
1
−
=
+
=
− zyx

Ví dụ 4 : Tìm điểm M’ đối xứng với M(4;3;10) qua đt
( )
5
3
4
2
2
1
:
−
=
−
=
−
∆
zyx
Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc
phục
Bài giải đúng
Đt
( )

∆
qua I( 1;2;3) có VTCP
).5;4;2(u
Gọi (x;y;z) là toạ độ của
M’, ta có :
( ) ( )
[ ] [ ]
( ) ( )





=−+
+−−++−
=−++
⇔







=
=−+−+−
⇔






=
⊥
∆∆
630)24(
152245
070542
,',
05).10(4).3(2).4(
'
2
22
;';
yx
xzzy
zyx
u
uIM
u
uIM
zyx
dd
uMM
MM
dẫn đến không đủ phương trình
để giải tìm 3 ẩn x;y;z.
Không hoàn thành bài toán.
*) Sai lầm: Hs đã không
khai thác đủ điều kiện để

xác đònh M’ là điểm đối
xứng của M qua
( )
∆
trong
KG. Chưa hiểu đúng về vò
trí đối xứng này. Không
chỉ cần điều kiện:
( ) ( )
( )
1
'
;';





=
⊥
∆∆ MM
dd
uMM
Mà cần có MM’ và
( )
∆

cắt nhau, MM’ phải nằm
trên mặt phẳng vuông
góc với

( )
∆
tại trung điểm
H của MM’. Như vậy
phải thông qua toạ độ của
điểm H mới tìm được toạ
độ của M’
*) Khắc phục: Khi giải
loại bài tập này gv cần
lưu ý hs sử dụng hình vẽ
để tìm điều kiện triệt để
cho M’ là điểm đối xứng
Từ giả thiết ta có đt
( )
∆

quaI(1;2;3)cóVTCP
).5;4;2(u
Mp (P) qua M và vuông
góc với
( )
∆
có pt:
2(x-4)+4(y-3)+5(z-
10)=0
070542 =−++⇔ zyx
Pt tham số của
( )
∆
:






+=
+=
+=
tz
ty
tx
53
42
21
Gọi H là hình chiếu của
M trên
( )
∆
suy ra H là
Trang12
P
M
M’
( )
∆
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
của M qua
( )

∆
. Việc tìm
toạ độ của M’ là phải tìm
đủ 3 toạ độ x;y;z, nên cần
có đủ 3 phương trình 3 ẩn
thì mới giải và tìm được.
Có thể dùng hình vẽ phụ
minh hoạ cho hình ảnh
MM’ thoả đk (1) nhưng
M’ lại không là điểm đx
của M qua
( )
∆
.
( )
∆
giao của
( )
∆
và mp (P).
Toạ độ H là nghiệm của
hệ:





=
=
=

⇔







=−++
+=
+=
+=
8
6
3
070542
53
42
21
z
y
x
zyx
tz
ty
tx
H là trung điểm của
MM’ nên :
( )
6;9;2'

8
2
10
6
2
3
3
2
4
'
'
'
M
z
y
x
M
M
M
⇒









=

+
=
+
=
+
Bài tập tương tự: Trong Kg với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;-1)
và đt (d) :
2
2
2
2
3
1
−
−
=
−
−
=
+ zyx
Tìm điểm N đối xứng với M qua (d), từ đó tìm độ dài đoạn MN.
( Đề thi ĐH – CĐ năm học 1997 )
Ví dụ 5 :
Trong Kg với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(0;0;1), B(3;0;-2), C(0;3;-2).
a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm A,B,C và có tâm I nằm trên mặt phẳng
(Oxy).
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc phục Bài giải đúng
a) HS1: Gọi pt mặt cầu (S) Câu a)*) Sai lầm: HS1 chỉ a) Tâm I của mặt cầu
Trang13

M
M’
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
là:
x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d = 0
(S) qua A,B,C nên ta có:





=++−+
=++−+
=+−
04649
04649
021
dcb
dca
dc
Không đủ điều kiện để tìm
a,b,c,d, suy ra không viết

được pt mặt cầu (S)
HS2: Tâm I của mặt cầu (S)
thuộc mp (Oxy) suy ra
I(0;0;c)
Như thế pt mặt cầu (S) có
dạng: x
2
+y
2
+z
2
-2cz+d = 0
(S) qua A,B,C nên ta có:





=+++
=+++
=+−
(3) 0449
(2) 0449
(1) 021
dc
dc
dc
Trừ từng vế (2) cho (1) ta có:
6c +12=0 , suy ra c = -2
Thế vào (1) ta có d = -5

Vậy pt mặt cầu (S) là:
x
2
+y
2
+z
2
+ 4x - 5 = 0
sử dụng giả thiết mặt cầu (S)
qua 3 điểm A,B,C mà quên
không chú ý còn một giả
thiết cho tâm mặt cầu nữa.
HS2 sử dụng sai điều kiện
của tâm I. Em đã nghó rằng I
thuộc mp (Oxy) thì hoành độ
và tung độ của nó đều bằng
0. Dẫn tới lập hệ pt tìm toạ
độ tâm sai và dẫn tới đáp số
sai.
*) Cách khắc phục:
- Chú ý cho hs khi muốn viết
được pt của một mặt cầu thì
phải tìm được đầy đủ các giá
trò của a,b,c,d trong pt dạng
khai triển hoặc a,b,c,R
2
trong
dạng tổng quát. Nếu trong
quá trình giải mà chưa có đủ
điều kiện để tìm được tất cả

các giá trò đó thì phải xem lại
xem đã sử dụng đủ các giả
thiết của bài toán cho hay
chưa.
- Ngoài ra cần phải khai thác
đúng các giả thiết.
I thuộc mp toạ độ nào thì toạ
độ còn lại bằng 0.
- Củng cố lại các pt của các
mp toạ độ:
(Oxy) : z = 0
(Oyz) : x = 0
(Oxz) : y = 0.
- Hướng dẫn hs các bước
trình bày lời giải:
+) Xác đònh sự đặc biệt của
toạ độ tâm I, suy ra dạng pt
mặt cầu (S).
(S) thuộc mp (Oxy) suy
ra I(a;b;0)
Như thế pt mặt cầu (S)
có dạng:
x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by+d = 0
(S) qua A,B,C nên ta có:






−=
=
=
⇔





=+−+
=+−+
=+
1
2
2
0649
0649
01
d
b
a
db
da
d
Suy ra pt mặt cầu (S) :

x
2
+y
2
+z
2
- 4x - 4y - 1 = 0
Trang14
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
+) Sử dụng giả thiết A,B,C
thuộc mặt cầu để lập hệ pt
ẩn là a,b,d.
+) Giải hệ pt tìm a,b,d
+) kết luận pt mặt cầu (S).
Câu b):
Gọi I(x;y;z) là tâm đường
tròn ngoại tiếp
ABC
∆
( )
( ) ( )
( )
( )



=+
=+

⇔







++−+=
=−++
+++−=
=−++
⇔





=
=
⇔



=
=
⇔
1266
1266
2)3(

1
23
1
(*)
2
22
2
22
2
2
2
2
22
22
22
zy
zx
zyx
zyx
zyx
zyx
ICIA
IBIA
ICIA
IBIA
Không đủ tìm được toạ độ
tâm I, không viết được pt
đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆

b)
*) Sai lầm: Học sinh đã sử
dụng phương pháp tìm toạ độ
tâm đường tròn ngoại tiếp
như trong HH phẳng, không
hiểu rõ rằng trong KG có vô
số những điểm cách đều
điểm A, B, C. Trong số đó
chỉ có điểm nằm trên mp
(ABC) mới là tâm đường tròn
ngoại tiếp
ABC∆
.
*) Khắc phục: Gv giúp hs
hiểu rõ tập hợp những điểm
cách đều A,B,C trong KG là
trục (d) của đường tròn ngoại
tiếp
ABC∆
, tâm I của đường
tròn này là giao điểm của
đường thẳng (d) với mp
(ABC). Như vậy ngoài đk (*)
toạ độ tâm I còn phải thoả
mãn pt mp (ABC) nữa.
Ngoài ra pt của một đường
tròn trong KG phải là một hệ
gồm pt một mặt phẳng và pt
của một mặt cầu, chúng cắt
nhau tạo nên giao tuyến là

đường tròn đó.
Vậy việc viết pt của một
đường tròn trong KG chính là
việc tìm ra pt của một mp và
một mặt cầu cùng chứa
đường tròn phải tìm, sau đó
b)
( ) ( )
[ ]
( )
9;9;9,
3;3;0 AC ,3;0;3
=⇒
−−
ACAB
AB
Mp (ABC) có VTPT
( )
1;1;1n
01
:)(
=−++
⇒
zyx
ABCptmp
Mặt cầu (S) qua 3 điểm
A,B,C suy ra:
Đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
là giao tuyến của

mp(ABC) với mặt cầu
(S)nên có pt:





=−++
=
=−−−++
01
0
144
222
zyx
yxzyx
Trang15
B
C
A
O
(d)
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
ghép các pt đó thành một hệ.
Bài tập tương tự: Trong KG với hệ toạ độ Oxyz cho A,B,C lần lượt là giao điểm của
mặt phẳng (P) có phương trình: x+y+z-1=0 với các trục Ox,Oy,Oz.
a) Viết pt mặt cầu (S) qua 4 điểm A,B,C, O.
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ví dụ 6: Tìm khoảng cách sau:
a) Giữa hai đt
( ) ( )





+=
+−=
−=
∆





−=
−−=
+=
∆
tz
ty
tx
tz
ty
tx
33
32
32

:'
1
1
1
:
b) Giữa hai đt
( ) ( )
1
1
21
3
:'
11
1
2
1
:
−
==
−
−
∆
−
=
+
=
−
∆
zyxzyx
c) Từ điểm M(2;3;1) đến đt

( )
∆
:



=−+−
=+−+
0552
012
zyx
zyx
Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc phục Bài giải đúng
a)
( )
∆
qua M
0
(1;-1;1) và
có VTCP
)1;1;1( −−u
( )
'∆
qua M
0
’(2;-2;3) và có
VTCP
( )
[ ]
[ ]

[ ] [ ]
[ ]
( )
1
2
2
2' .',
2',)0;0;2(',
',
' .',
)2;1;1(')1;1;1('
';
00
00
';
00
==⇒
=
=⇒=
=⇒
−=⇒−
∆∆
∆∆
d
MMuu
uuuu
uu
MMuu
d
MMu

b)
( )
∆
qua M
0
(1;-1;0) và
có VTCP
)1;1;2( −u
a)*) Sai lầm:
-Hs đã tính
[ ]
',uu
sai.
- Không biết hai đường thẳng
đã cho ở vò trí tương đối nào,
cứ tính khoảng cách giữa hai đt
bằng công thức k/c giữa hai đt
chéo nhau.
*) Khắc phục:
- Hướng dẫn cách đặt toạ độ
của hai véc tơ chỉ phương
thẳng cột, lập đònh thức tính
véc tơ tích có hướng của
chúng, tránh được nhầm lẫn:
1 -1 -1 1
-1 1 1 -1
- Nhắc lại cách tính đònh thức
- Xét vò trí tương đối giữa hai
đt trước khi sử dụng công thức
tính khoảng cách . Nếu 2 đt

song song thì k/c giữa chúng
bằng k/c từ một điểm bất kỳ
trên đt này đến đt kia. Nếu hai
đt cắt nhau hoặc trùng nhau thì
a)
( )
∆
qua M
0
(1;-1;1) và
có VTCP
)1;1;1( −−u
( )
'∆
qua M
0
’(2;-2;3) và có
VTCP
)1;1;1(' −u
( )
2;1;1'
00
−=MM
Nhận thấy:
1 : (-1): (-1)=
=(-1):1:1
2:)1(:1 −≠
( ) ( )
'// ∆∆⇒
[ ]

( )
( )
[ ]
6
3
23
111
099
,'
0;3;3,'
00
';
00
==
++
++
=
=⇒
=
∆∆
u
uMM
d
uMM
b) Cách 1:
( )
∆
qua M
0
(1;-1;0) và có

Trang16
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
( )
'∆
qua M
0
’(3;0;1) và có
VTCP:
( )
[ ]
[ ]
( )
( )
[ ]
3
65
6
10
114
5.11).1(2.3
'M
' .',
1;1;2
35',
)5;1;3(',
1;2;1'
00
00

';
'00
=
=
++
+−+
=
=⇒
=
=⇒
−=⇒
−
∆∆
M
MMuu
d
MM
uu
uu
u
k/c quy ước bằng 0. Nếu 2 đt
chéo nhau thì tính k/c giữa
chúng theo công thức k/c giữa
hai đt chéo nhau.
b) *) Sai lầm:HS đã sử dụng
công thức một cách khuôn
mẫu, trong đó có nhiều đại
lượng khó nhớ do đó các em
đã lẫn lộn khi sử dụng công
thức và tính toán sai.

*) Khắc phục:- Để tránh
việc sử dụng công thức khó
nhớ, trong câu này giáo viên
có thể hướng dẫn hs tính theo
một cách khác. Trước hết
kiểm tra để khẳng đònh 2 đt
chéo nhau. Sau đó sử dụng
cách tính k/c giữa hai đt chéo
nhau được học trong HHKG
lớp 11. Đó là được tính bằng
k/c giữa một trong hai đt đó
với mp (P) song song với nó và
chứa đt kia. Cụ thể được tính
bằng k/c từ một điểm đến một
mp.
- Giáo viên hướng dẫn thứ tự
trình bày cho bài toán:
+ Tìm trên mỗi đt một điểm và
một VTCP.
+ Tìm tích có hướng của hai
VTCP đó.
+Viết pt mp (P) qua M
0
’ và
nhận VTPT là
[ ]
',uu
+ Tính k/c cần tìm bằng k/c từ
điểm M
0

’ đến mp (P).
VTCP
)1;1;2( −u
( )
'∆
qua M
0
’(3;0;1) và có
VTCP
( )
[ ]
( )
[ ]
015.11).1(2.3
.',
1;1;2
)5;1;3(',
1;2;1'
'00
'00
=+−+=
=
=
−=⇒
−
MMuu
MM
uu
u
( )

[ ]
[ ]
7
352
',u
'M . ',u
00
';
=
=
∆∆
u
Mu
d

Cách 2:
( )
∆
qua M
0
(1;-
1;0) và có VTCP
)1;1;2( −u
( )
'∆
qua M
0
’(3;0;1) và có
VTCP
)1;2;1(' −u

[ ]
)5;1;3(', −=⇒ uu
Gọi (P) là mặt phẳng
chứa
( )
∆
và song song với
( )
'∆
. Suy ra mp (P) qua M
0
và nhận
[ ]
',uu
làm VTPT.
Pt mp (P) :
3(x-1)-(y+1)+5(z-0) = 0
( ) ( )( ) ( )( )
7
352
2519
41.53.3
0453
;','';
0
=
++
−+
=
===⇒

=−+−⇔
∆∆∆ PMP
ddd
zyx
Trang17
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc phục Bài giải đúng
c) HS 1:
( )
6
67

114
1132.2
;
=
++
+−+
=
∆M
d
HS 2:
( )
30
30

2514
51.532.2

;
=
++
−+−
=
∆M
d
c) *) Sai lầm: -HS đã nhầm
cách tính k/c từ một điểm đến
một đt thành cách tính k/c từ
một điểm đến một mặt phẳng,
với công thức gần giống như
công thức tính k/c từ một điểm
đến một đt trong HH phẳng.
- Sử dụng chưa hết giả thiết
của bài toán nhưng lại không
biết như vậy là sai.
*) Khắc phục:- Chú ý cho
hs thấy rằng đây là bài toán
tìm k/c từ một điểm đến một đt
trong KG. Ta phải khai thác
trên đt đã cho một điểm và
một VTCP của nó và kết hợp
sử dụng công thức tính k/c từ
một điểm đến một đt trong KG
- Hướng dẫn các bước trình
bày cho bài toán:
+ Chuyển pt đt về dạng tham
số từ đó tìm được toạ độ M
0

và
VTCP
)1;1;2( −u
+ Tính
[ ]
uMM ,
0
+ Tính
( )
[ ]
u
uMM
d
M
,
0
,
=
∆
c) Từ pt đt
( )
∆
:



=−+−
=+−+
0552
012

zyx
zyx
Đặt z = t, thế vào hệ pt trên
suy ra pt tham số của đt
( )
∆
:





=
+−=
−=
tz
ty
tx
33
1

Suy ra
( )
∆
đi qua M
0
(1;-
3;0) và cóVTCP
)1;3;1(−u
)1;6;1(

0
=MM
[ ]
( )
[ ]
11
94
191
8149

,
)9;2;3(,
0
;
0
=
++
++
=
=⇒
−=⇒
∆
u
uMM
d
uMM
M
Bài tập tương tự: Tìm khoảng cách giữa :
a)
( )




=++
=−+
052
0932
:d A(2;7;3)
zy
yx
b)
( ) ( )



=+−
=−+





=
=
=
022
0
:a'
3t 3z
t 8y

t
:
zyx
zyx
x
a
c)
( ) ( )



=−+
=−+
∆



=+
=+−
∆
08
082
:'
032
032
:
zx
zy
yx
yx

Trang18
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
C. KẾT LUẬN
- Khắc phục sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải bài tập về phương
pháp toạ độ trong không gian là mối băn khoăn của rất nhiều giáo viên dạy
khối 12. Phần lớn những sai lầm này là do các em chưa thực sự quan tâm đến
cách học toán nói chung và cách học hình học không gian nói riêng, mà không
ai hết các thầy cô giáo phải là những người tạo ra hứng thú học tập cho học
sinh. Tìm tòi, cải tiến phương pháp dạy để học sinh có cơ hội tiếp thu được bài
học một cách nhẹ nhàng hơn, hiệu quả hơn, khắc phục được những sai lầm cơ
bản đã nêu ở trên.
- Các chú ý về mặt giảng dạy lý thuyết cũng như phân loại các dạng bài tập
thường gặp khi thi là kinh nghiệm của cá nhân tôi cùng với sự học hỏi đồng
nghiệp liên tục sau nhiều năm giảng dạy khối 12.
- Các bài tập được đưa ra để giải quyết có ở SGK và một số sách tham khảo
cũng như ở các đề đã thi những năm trước, được chọn với mục đích:
+ Các dạng bài tập đó là những bài tập cơ bản , thường có trong các kỳ thi và
hs thường mắc phải sai lầm .
+ Thời gian làm bài tập ở trên lớp không nhiều nên các bài tập tương tự được
đưa ra nhằm tạo điều kiện cho hs có bài tập tự luyện đúng hướng, đúng trọng
tâm. Sau đó giáo viên có thể kiểm tra lại để nắm được học sinh đã khắc phục
được những sai lầm đã nêu trong thể loại bài tập đó hay chưa. Từ đó giáo viên
có thể tiếp tục dẫn dắt, điều chỉnh cho phù hợp.
- Những giải pháp khắc phục sai lầm trên đây, tôi đã thực hiện qua nhiều năm
giảng dạy của mình ở những giờ dạy theo phân phối chương trình và cả những
giờ phụ đạo, ôn thi tốt nghiệp.
- Vận dụng các giải pháp này đã làm giảm đi nhiều những sai sót thường gặp
của đa số học sinh. Kết quả là qua so sánh bài kiểm tra giữa chương, kiểm tra

trắc nghiệm cuối chương của các năm, phần trăm bài trên trung bình tăng đáng
kể: Từ 30% đến 35%.
- Các tài liệu tôi đã tham khảo để thuận lợi cho việc viết sáng kiến kinh nghiệm
này:
1. Sách giáo khoa hình học 12 ( sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000)
Tác giả : Văn Như Cương – Tạ Mân.
2. Để học tốt Hình học 12.Tác giả : Nguyễn Vónh Cận.
3. Sai lầm phổ biến khi giải toán ( Nhà Xuất bản giáo dục )
Tác giả : Nguyễn Vónh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh
Quang.
4. Các đề thi tốt nghiệp THPT các năm học từ năm 1996 đến nay.
Trang19
Sáng kiến kinh nghiệm
Đào
Anh Tuấn
- Trên đây là những suy nghó và cách làm của riêng cá nhân tôi, tất nhiên không
tránh khỏi thiếu sót. Mong rằng với sự nhận xét, đánh giá của hội đồng khoa
học, sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp, đề tài : Khắc phục sai lầm của
học sinh khi giải một số bài tập về phương pháp toạ độ trong không gian,
được hoàn thiện hơn, đúng với lý do đã được đưa ra.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2013
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Đào Anh Tuấn
Trang20
Saùng kieán kinh nghieäm
Đào
Anh Tuấn

Trang21