bài giảng Lý thuyết tấm và vở mỏng

LOGO
LÝ THUYẾT TẤM VÀ
VỎ MỎNG
National University of Civil Engineering
March 2011
TRẦN MINH TÚ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG
1
PHẦN I
LÝ THUYẾT TẤM MỎNG
Tran Minh Tu -
2
Tran Minh Tu -
Tổng quan
Lý thuyết tấm và vỏ mỏng
材料力学课程的改革与建设
1
2
3
4
Lý thuyết tấm mỏng
Tấm chữ nhật
Tấm tròn
材料力学课程的改革与建设
4
Các phương pháp gần đúng và pp số
3
Tran Minh Tu -
4
1.Tổng quan
Tran Minh Tu -

1.1. Định nghĩa: Tấm là vật thể phẳng có chiều cao
(thường gọi là bề dày) nhỏ hơn nhiều so với kích
thước theo hai phương còn lại.
Tấm chữ nhật Tấm tròn
Tấm tam giác
• Mặt phẳng chia đều bề dày tấm gọi là mặt trung bình hoặc mặt
trung gian của tấm. Giao tuyến của mặt trung bình với các mặt
bên gọi là chu tuyến của tấm.
• Sự biến dạng của tấm được biểu thị bằng sự biến dạng của mặt
trung bình, do đó mặt này còn được gọi là mặt đàn hồi của tấm.
5
1.Tổng quan
Tran Minh Tu -
6
1.Tổng quan
Tran Minh Tu -
7
Tấm có lỗ khoét
Tấm đặc
1.2. Phân loại tấm
1.Tổng quan
Tran Minh Tu -
8
Đối xứng tâm
1.Tổng quan
Tran Minh Tu -
Bất đối xứng
9
• Phân loại tấm theo tỉ số h/L
min

11
/
80 100
hL




- Màng mỏng: là tấm rất mỏng, độ cứng uốn bằng
không, do vậy chỉ tồn tại các nội lực màng (lực dọc
và lực cắt)
1 1 1 1
/
8 10 80 100
hL

   


- Tấm dày: trạng thái ứng suất là trạng thái ứng suất
khối
11
/
8 10
hL




1.Tổng quan

- Tấm mỏng: trạng thái ứng suất là trạng
thái ứng suất phẳng, có thể bỏ qua ứng
suất theo phương chiều dày tấm
Tran Minh Tu -
- Tấm mỏng chia làm 2 loại:
• Tấm có độ võng bé (tấm cứng): w/h < 0,2 – biến dạng mặt
trung bình và nội lực màng có thể bỏ qua
• Tấm có độ võng lớn (tấm uốn): w/h > 0,3 – mặt trung bình bị
biến dạng
10
Tran Minh Tu -
11
Tran Minh Tu -
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
• Xét tấm mỏng, chiều dày h, mặt trung bình tấm là mặt phẳng xy,
trục z theo phương chiều dày tấm và chiều dương hướng xuống
dưới .
• Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff – tấm chịu uốn, vật liệu đàn hồi,
tuyến tính, độ võng bé) dựa trên các giả thiết sau:
2.1. Các giả thiết
12
1. Vật liệu đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính
2. Hình dạng hình học ban đầu của tấm là phẳng.
3. Độ võng của tấm w(x,y) là bé so với chiều dày tấm.
Như vậy góc xoay của mặt đàn hồi là bé nên bình
phương góc xoay << 1.
4. Đoạn thẳng pháp tuyến trước biến dạng là thẳng và
vuông góc với mặt trung bình trước, sau biến dạng
vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình và có độ
dài không đổi,

5. Bỏ qua ứng suất pháp s
z
theo phương chiều dày tấm.
6. Mặt trung bình của tấm không bị giãn khi chịu uốn
(remain unstrained)
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
Giả thiết Kirchhoff
Tran Minh Tu -
13
2.2. Quan hệ biến dạng – độ cong (pt động học)
0
xz yz


0
z


Từ gt 4: các biến dạng cắt ngang và
0
xz


uw
zx

  

0
yz



vw
zy

  

0
0z
ww
u u z u z
xx


   

0
0z
ww
v v z v z
yy


   

0
z


0

w
z



0
ww
Mà theo gt 6:
0
0
o
uv
u
0
, v
0
, w
0
– các tp chuyển vị
của điểm trên mặt trung bình
00
0
;;
ww
u z v z w w
xy

    

(2.1)

2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
Tran Minh Tu -
14
• Hình vẽ là mặt cắt của tấm
//Oxz, y=const trước và sau
biến dạng. Đoạn pháp tuyến
AB sau biến dạng là A
1
B
1
- là góc xoay mặt trung
bình quanh trục y
x
w
x




- là góc xoay mặt trung
bình quanh trục x
y
w
y




Thay pt (2.1) vào pt quan hệ chuyển vị - biến dạng:
2 2 2

0 0 0
22
; ; 2
x y xy
w w w
z z z
x y x y
  
  
     
   
(2.2)
• Các đạo hàm bậc hai của độ võng gọi là độ cong
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
Tran Minh Tu -
15
2
0
2
x
w
x




- Độ cong uốn của mặt đàn hồi dọc theo trục x
2
0
2

y
w
y




- Độ cong uốn của mặt đàn hồi dọc theo trục y
2
0
xy
w
xy




- Độ cong xoắn của mặt đàn hồi đối với trục x và y
Như vậy có thể viết:
; ; 2 ;
x x y y xy xy
z z z
     
  
(2.3)
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
Tran Minh Tu -
16
2.3. Ứng suất – Các thành phần ứng lực
• Chấp nhận giả thiết Kirchhoff, bài toán tấm ba chiều được đưa

về bài toán phẳng. Pt vật lý có dạng sau:
(2.4)
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
Tran Minh Tu -
17
Thay các tp biến dạng từ (2.3) vào (2.4):
(2.5)
Các tp ứng lực được xác định từ
các tp ứng suất theo định nghĩa:
Thứ nguyên: [lực/chiều dài]
(2.6)
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
Tran Minh Tu -
18
Thay (2.5) vào (2.6), ta nhận được:
(2.7)
- Độ cứng trụ
- Độ cứng trụ D của tấm đóng vai trò như độ cứng uốn EI của dầm. Ta
thấy D>EI, nên tấm bao giờ cũng cứng hơn dầm có cùng chiều dài nhịp
và cùng độ dày
- Giải (2.7) với ẩn là đạo hàm bậc 2 của độ võng, thay vào (2.5),
nhận được:
(2.8)
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
Tran Minh Tu -
19
• Chú ý rằng lý thuyết tấm cổ điển bỏ qua ảnh hưởng của biến
dạng cắt trong tấm chịu uốn, nhưng lực cắt thì không bỏ qua, chúng
được xác định từ phương trình cân bằng của phần tử tấm
• Từ phương trình cân bằng trong LTĐHH, ta nhận được các ứng

suất tiếp:
(2.9)
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
Tran Minh Tu -
20
• Phân bố của các tp ứng suất theo chiều dày:
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
Tran Minh Tu -
21
2.4. Phương trình độ võng của tấm trong hệ tọa độ vuông góc
Xét cân bằng phân tố tấm
0Z 

0; 0
xy
M M  

Rút Q
x
, Q
y
ra, thay vào (2.10a), nhận được:
(2.10a)
(2.10b,c)
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
Tran Minh Tu -
22
Thay giá trị của các tp mô men nội lực từ (2.7) vào (**):
=> Phương trình vi phân độ võng của tấm (pt Sophie – Germain)
(2.10)

(2.10) có thể viết dưới dạng:
với:
• Độ võng w(x,y) được xác định từ (2.10), từ đó xác định các thành phần
ứng suất theo (2.5), (2.9). Khi tích phân (2.10), các hằng số tích phân sẽ
xác định từ điều kiện biên
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
Tran Minh Tu -
23
Thay giá trị các tp mô men từ (2.7) vào (2.10b,c), nhận được giá trị
các lực cắt theo độ võng
(2.11)
Sử dụng (2.11), có thể viết lại biểu thức (2.9) dưới dạng:
(2.12)
Từ đó:
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)
Tran Minh Tu -
24
2.5. Điều kiện biên
• Xét tấm chữ nhật có hai cạnh song
song với hai trục Ox, Oy. Trên mỗi cạnh
phải thỏa mãn 2 điều kiện biên
1. Liên kết ngàm – cạnh y = 0
2. Liên kết gối di động – cạnh x = a
hoặc
• Khi tích phân pt (2.10), cần phải tính đến các
điều kiện biên. Điều kiện biên có thể là động
học (liên quan đến chuyển vị và góc xoay), có
thể là tĩnh học (liên quan đến lực và mô men)
hoặc là hỗn hợp
2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)

Tran Minh Tu -
25