Đáp án đề thi thử đại học toán khối A- lần 1 - THPT Nga Sơn

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN THI ĐẠI HỌC
NĂM 2010 – 2011
Câu Ý Nội dung Điểm
I
1
)∗
Tập xác định:
¡
)∗
Sự biến thiên
)g
Chiều biến thiên
2
' 3 6 0 0; 2y x x x x= − + = ⇔ = =
;
' 0 0 2y x> ⇔ < <
Hàm số đồng biến trên
(0; 2)
, nghịch biến trên
( ;0)−∞
và trên
(2; )+∞
0,25
)g
Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại
2
CD
x =
;

(2) 0
CD
y y= =
Hàm số đạt cực tiểu tại
0; (0) 4
CT CT
x y y= = = −
)g
Giới hạn tại vô cực
3 2 3 2
lim ( 3 4) ; lim ( 3 4)
x x
x x x x
→−∞ →+∞
− + − = +∞ − + − = −∞
0,25
)g
Bảng biến thiên
x
−∞
0 2
+∞
y’ - 0 + 0 -

+∞

y 0
-4

−∞

0,25
)∗
Đồ thị
0,25
2
3 2 2
( ) 3 4 ( 1)( 2)y f x x x x x= = − + − = − + −
Xét
2 2
( ) ( 3) ( 3) ( 1)g x x x x x f x= − = − − = −
. Đồ thị (H) của hàm số
( )y g x=
được suy
ra rừ (C) như sau: Tịnh tiến (C) sang phải 1 đơn vị dọc
Ox
được
1
( )C
, bỏ phần phía dưới
Ox
của
1
( )C
, lấy phần giữ lại đem đối xứng qua
Ox
được (H) như hình vẽ:
0,50
O
2
1−

4−
Số nghiệm của phương trình
2
2
( 3) 7 log ( 37)x x m− + = +
bằng số giao điểm của đường
thẳng
2
log ( 37) 7y m= + −
với đồ thị (H)
Qua đồ thị ta thấy
khi
2 2
log ( 37) 7 4 log ( 37) 11 2011m m m+ − = ⇔ + = ⇔ =
thì phương trinh đã cho có đúng 3 nghiệm.
Vậy
2011m =
là giá trị cần tìm.

0,50
II
1
Giải phương trình:
2
3(2cos cos 2) (3 2cos )sin 0x x x x+ − + − =
(2sin 3)( 3sin cos ) 0x x x⇔ − + =
3
sin
2
1

tan
3
x
x

=


⇔

= −


0,50
2
3
2
2 ( )
3
6
x k
x k k
x k
π
π
π
π
π
π


= +



⇔ = + ∈



= − +


¢
0,50
2
Giải phương trình:
cos
ln(cos 1) 1
x
x e+ = −
Đặt
ln(cos 1)x t+ =
khi đó ta được
cos
cos
1
cos
cos 1
x
t x
t

t e
e t e x
x e

= −

⇒ + = +

= −


(1) 0,25
Xét hàm
( )
t
f t e t= +
có
'( ) 1 0
t
f t e t= + > ∀
nên từ (1) được
cost x=
khi đó ta được
1
t
e t= +
(với
cost x=
)
0,25

Xét
( ) 1
t
g t e t= − −
có
'( ) 1 0 0
t
g t e t= − = ⇔ =
. Có BBT
Qua BBT thấy t 0
( ) 0g t t≥ ∀
g’(t) - 0 +
( ) 0 0g t t= ⇔ =
g(t)
0,25
Với
0t =
ta được
cos 0 ( )
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈¢
0,25
0
4
4
3
1

III Tính
4
2
6
cot
sin 1 sin
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
4
2 2
6
cot
sin 2 cot
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
0,25
Đặt
cott x=

;
3; 1
6 4
x t x t
π π
= → = = → =
0,25
1 3
3
2
2 2
1
1
3
2 5 3
2 2
t t
I dt dt t
t t
= − = = + = −
+ +
∫ ∫
0,50
IV
Hạ
IH BC⊥
, gọi K là trung điểm của AB.
Có
2
1

( ) 3
2
ABCD
S AB CD AD a= + =
;
2
1
.
2
ABI
S AB AI a= =
;
2
1
.
2 2
DCI
a
S DC DI= =
suy ra
2
3
2
BIC ABCD ABI DCI
a
S S S S= − − =
. Mặt khác
2 2
5BC BK KC a= + =
nên

2
3 5
5
BIC
S
a
IH
BC
= =
0,50
Do (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) nên giao tuyến SI của hai mặt phẳng đó
vuông góc với (ABCD) suy ra
SI IH
⊥
.
·
·
0
60 ( ; )
BC IH
BC SH SBC ABCD SHI
BC SI
⊥

⇒ ⊥ ⇒ = =

⊥

0
3 15

.tan 60
5
a
SI IH⇒ = =
Vậy
3
2
.
1 1 3 15 3 15
. .3
3 3 5 5
S ABCD ABCD
a a
V SI S a= = =
0,50
V
2
2x x x m m− − + =
(*)
Đặt
2
( 0)t x m t x t m= + ≥ ⇒ = −
(1)
khi đó (*) trở thành
2 2 4 2
(1 2 ) 2 0m t m t t t+ − + − − =
0,25
2 2
; 1m t t m t t⇒ = + = − −
. Từ (1) suy ra (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

0,25
S
A
B
C
D
I
A
B
I
D
C
H
H
K
2
2
1
m t t
m t t

= +

= − −

(2) có nghiệm duy nhất trên
[
)
0; +∞
Xét

2
( )f t t t= +
có đồ thị là
1
( )P
và
2
( ) 1g t t t= − −
có đồ thị là
2
( )P
trên
[
)
0; +∞
như
hình vẽ:
Số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của đường thẳng
y m=
với đồng thời cả
1
( )P
và
2
( )P
trên cùng một hệ
trục toạ độ.
Qua đồ thị ta thấy (2) có nghiệm duy nhất trên
[
)

0; +∞
khi và chỉ khi
5
4
m = −
hoặc
1 0m
− < <
0,50
VI.a
1
AC
qua
(1;1)M
vuông góc với
: 3 0BH x y+ + =
nhận
(1; 1)
BH
u −
uuur
làm vtpt có phương trình
0x y− =
AC
cắt
( ) : 2 2 0d x y− − =
tại
A
có toạ độ thoả mãn hệ
0 2

( 2; 2)
2 2 0 2
x y x
A
x y y
− = = −
 
⇒ ⇒ − −
 
− − = = −
 
C
đối xứng với
( 2; 2)A − −
qua
(1;1)M
nên
(4;4)C
0,25
Dễ thấy đường thẳng
( ) : 2 2 0d x y− − =
không tạo với các trục toạ độ góc
0
45
nên
BC

không song song với các trục toạ độ.
( )d
có hệ số góc bằng

1
2
, gọi
k
là hệ số góc của
BC
khi đó ta có
1
3
2 1
2
1 1
1
2
1
3
2
k
k
k
k
k
k
=

−
−

= ⇔ = ⇔


+
= −
+

0,25
Với
3k
=
ta có
: 3( 4) 4BC y x= − +
hay
:3 8 0BC x y− − =
khi đó
5 17
( ; )
4 4
B −
0,25
Với
1
3
k = −
ta có
: 3 16 0BC x y+ − =
khi đó
25 19
( ; )
2 2
B −
0,25

2
Khi
2
1x =
thì
(1 1)
n
+
bằng tổng các hệ số trong khai triển nên
2 32768 15
n
n= ⇔ =
0,50
Số hạng thứ
1k
+
trong khai triển:
2
3
1
2
1
( )
k
k n k
k n
T C x
x
−
+

 
=
 ÷
 ÷
 
do đó với
15n =
thì số hạng
thứ 10 trong khai triển là
6 6
15
C x
0,50
5 / 4
−
2
2
1
O
1
−
2
( )P
1
( )P
A
B
H
(1;1)M
C

Giải phương trình:
2
4 5 6 10 2 4x x x x+ + + = + +
(*)
ĐK:
5
4
x ≥ −
Khi đó
2
(*) 4 5 ( 2) 6 10 ( 3) 1x x x x x
   
⇔ + − + + + − + = −
   
0,25
2 2
2
1 1
1
4 5 2 6 10 3
x x
x
x x x x
− −
⇒ + = −
+ + + + + +

(do với
5
4

x ≥ −
thì
4 5 2 0x x+ + + >
và
6 10 3 0x x+ + + >
)
0,25
2
1 1
( 1) 1 0
4 5 2 6 10 3
x
x x x x
 
⇔ − + + =
 ÷
+ + + + + +
 
1x⇔ = ±
(thử lại thấy thoả mãn)
Vậy
1x = ±
là nghiệm của phương trình
0,50
VI.b
1
(C) tâm
(0;0)O
bán kính
1

1R =
cắt
Ox
tại
1
(1;0)A
và
2
( 1;0)A −
cắt
Oy
tại
1
(0;1)B
và
2
(0; 1)B −
.
Dễ thấy
(2;2)I
và
(0;0)O
cùng thuộc đường thẳng
y x=
Do
,A B
là giao điểm của (C) và (C’) nên
AB OI
⊥
Hay đường thẳng

AB
có hệ số góc
1k = −
0,5
Mặt khác
1 1
1 1
2
A B IO
A B
⊥



=


;
2 2
2 2
2
A B IO
A B
⊥



=



đồng thời
2
AB IO
AB
⊥



=


nên
1 1
)AB A B• ≡
có phương trình
1 0x y+ − =
2 2
)AB A B• ≡
có phương trình
1 0x y+ + =
0,5
2
2 4 3 3
( 5) 2 2 5
n n n
n C C A n− + = ⇔ ⇔ =
0,50
Khi
5n
=

ta có:
2 5 0 2 5 1 2 4 2 2 3 3 2 2 4 2 5
5 5 5 5 5 5
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x x C x x C x x C x x C x x C x x C= + − = + − + + + − + + + −

trong đó chỉ
4 2
5
( )C x x+
và
5
3 2 2
( )C x x+
có chứa
2
x
. Do đó hệ số của
2
x
trong khai triển là
4 3
5 5
5C C− = −
0,50
Giải phương trình:
2
1
2 3 1 4 3x x x
x
+ + = − + +

VII.b
)∗
Khi
0x
>
phương trình trở thành
2 2
1 3 1 3
2 4
x x x x
+ + = + −
(1).
Đặt
2
1 3
2 ( 0)t t
x x
= + + ≥
.
Từ
2
(1) 6 0 3t t t⇒ − − = ⇒ =
2
3 37
7 3 1 0
14
x x x
+
⇒ − − = ⇒ =
0,50

)∗
Khi
0x
<
phương trình trở thành
2 2
1 3 1 3
2 4
x x x x
− + + = + −
(2)
Đặt
2
1 3
2 ( 0)t t
x x
= + + ≥
Từ
2
(2) 6 0 2t t t⇒ + − = ⇒ =
2
2 3 1 0x x⇒ − − =
3 17
14
x
−
⇒ =
0,50
Chú ý:
- Câu hình thí sinh không vẽ hình thì không chấm điểm

- Các câu khác, thí sinh làm cách không như hướng dẫn mà đúng thì vẫn cho điểm
tối đa