toan11_PP_Quy_Nap

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. Chứng minh rằng
*
Nn ∈∀
ta luôn có các đẳng thức sau :
1.
2
)1(
21
+
=+++
nn
n
2.
6
)12)(1(
21
222
++
=+++
nnn
n
3.
4
)1(
21
22
333
+
=+++
nn

n
4.
3
)14(
)12( 31
2
222
−
=−+++
nn
n
5.
2
)12( 531 nn =−++++
6.
2
)1()13.( 7.24.1 +=++++ nnnn
7.
1)1(
1

3.2
1
2.1
1
+
=
+
+++
n

n
nn
8.
)1()13( 8.35.22.1
2
+=−++++ nnnn
9.
1)12(2 4321 +=++−+−+− nnn
10.
nn
nnn
n
2).1(
1
1
2).1((
2

2.3.2
4
2.2.1
3
2
+
−=
+
+
+++
11.
3

)12).(1(2
)2( 42
222
++
=+++
nnn
n
II. Chứng minh rằng
*
Nn ∈∀
ta luôn có :
1.
nn 2
3
+
chia hết cho 3
2.
113 −
n
chia hết cho 6
3.
nn 11
3
+
chia hết cho 6
4.
149
2
+
n

chia hết cho 5
5.
410 −
n
chia hết cho 3
6.
11516 −− n
n
chia hết cho 225
7.
1154 −+ n
n
chia hết cho 9
8.
281810 −+ n
n
chia hết cho 27
9.
nnn
336
22
++
+
chia hết cho 11
10.
1222
32.7
−−
+
nn

chia hết cho 5
11.
1323
32.5
−−
+
nn
chia hết cho 19
12.
nnnn 6116
234
+++
chia hết cho 24
13.
36323.4
22
−+
+
n
n
chia hết cho 64
14.
16
2
−
n
chia hết cho 35
15.
453.2
2

−+
+
n
nn
chia hết cho 25
16.
1412
225
+++
++
nnn
chia hết cho 23
17.
137 −+ n
n
chia hết cho 9
18.
67403
12
−+
+
n
n
chia hết cho 64
19.
nnnnnn 25763
23456
−+−+−
chia hết cho 24
20.

)132.(
2
+− nnn
chia hết cho 6
21.
121
1211
−+
+
nn
chia hết cho 133
III. Cho số thực
Zkkx ∈≠ ,2
π
. Chứng minh rằng
*
Nn ∈∀
, ta luôn có :
1.
2
sin
2
)1(
sin.
2
sin
.sin 2sinsin
x
xnnx
nxxx

+
=+++
1
2.
2
sin
2
cos.
2
)1(
sin
.cos 2coscos1
x
nxxn
nxxx
+
=++++
IV. Cho số thực
1
−>
x
. Chứng minh rắng :
nxx
n
+≥+ 1)1(
,
*
Nn ∈∀
V. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bđt :
1.

n
n
2
1

2
1
1 <+++
2.
1
13
1

2
1
1
1
>
+
++
+
+
+ nnn
3.
43
1
22
12

6

5
.
4
3
.
2
1
+
<
+
+
n
n
n
VI. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
2
≥
n
, ta luôn có :
n
n
n 2
11
1
9
1
1.
4
1
1

2
+
=






−






−






−
VII. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bđt :
24
13
2
1

2
1
1
1
>++
+
+
+ nnn
IX. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
2
≥
n
, ta luôn có đẳng thức :

( )
1221
).(
−−−−
++++−=−
nnnn
bbabaababa
X. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
3
≥
n
, ta có :
122 +> n
n
XI. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
2

≥
n
, ta có :
1.
n
n
>++++
1

3
1
2
1
1
2.
n
N
<
−
++++
12
1

3
1
2
1
1
XII. Chứng minh rằng với mọi số nguyên
0

≥
thì :
27263
33
−−
+
n
n
chia hết cho 169
XIII. 1. Tính tổng :
[ ]
).()1(
1

)2).(1(
1
)1.(
1
nanaaaaa
S
n
+−+
++
++
+
+
=
2. Tính tổng :
n
n

n
aaaa
S
2422
1
2

1
4
1
2
1
2
+
++
+
+
+
+
−
=
2