Cực trị hàm nhiều biến

T
T
T
Ì
Ì
Ì
M
M
M
C
C
C
Ự
Ự
Ự
C
C
C
T
T
T
R
R
R
Ị
Ị
Ị
C
C
C
Ủ

Ủ
Ủ
A
A
A
B
B
B
I
I
I
Ể
Ể
Ể
U
U
U
T
T
T
H
H
H
Ứ
Ứ
Ứ
C
C
C
C

C
C
Ó
Ó
Ó
N
N
N
H
H
H
I
I
I
Ề
Ề
Ề
U
U
U
B
B
B
I
I
I
Ế
Ế
Ế
N

N
N
MộtbàiToánđãcho,dĩnhiêncónhiềucáchgiải.Chúngtôimuốnnóiởđâyvài một
trongnhữngphươngphápấy!
I.ĐƯAVỀPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAICÓNGHIỆM
NguyễnLái
GVTHPTCHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH
Trongbàiviếtnàyxintrìnhbày cáchgiảimột dạngtoántìmcựctrịcủabiểuthứccónhiều
biến,trongđóbiểuthứcđiềukiện đãcho chứacácbiếncóbậc bìnhđẳng
Phươngpháp đặty=tx, từđósuyracác biến cònlạiphụthuộctheo ẩnt…đưabiểuthứcđã
chovềhàmsốcóchứabiếnmới tduy nhấtdạngS=f(t).Dùngđiềukiệnphươngtrìnhbậchai
cónghiệmđểgiải
Sau đâylàcácbàitoánminh họa:
Vídụ 1.Chohaisốthực x,y thoảmãnđiều kiện: 1 3 3
2 2
+ = + xy y x .
Tìmgiátrịlớnnhất, giá trịnhỏnhấtcủabiểu thức
1 3 2 4
1
2 2
2
- - +
- +
=
xy y x
xy y
S
.
Lờigiải.Thayđiềukiện xy y x 3 3 1
2 2

- + = ,biểuthứcviếtlại
2 2
2
3 4
y x
x xy
S
+
-
=
.
Nếuy=0,từđiều kiệnsuyra 3
3
1
2
- = Þ = S x .
Nếu 0 ¹ y ,đặty=tx 0 3 4
1
3 4
2
2
= + + - Û
+
-
= Þ S t St
t
t
S .
Khi
0 ¹ S

,đểphương trìnhcónghiệm
1 4 0 4 3 0 ) 3 ( 4 0 '
2
£ £ - Û £ - + Û ³ + - Û ³ D S S S S S .
Khi x y t S 2 2 1 = Þ = Þ = ,từđiềukiệnsuyrax=1;y=2 hoặcx=1;y=2 .
Tương tựkhi
Þ - = 4 S
19
1
;
19
2
- = = y x
hoặc
19
1
;
19
2
= - = y x
.
Vậy,giátrịlớnnhấtcủabiểuthứcS =1khivàchỉkhi(x=1;y=2)hoặc(x=1;y=2).
Giátrịnhỏnhất S =4khivàchỉkhi(
19
1
;
19
2
- = = y x
)hoặc(

19
1
;
19
2
= - = y x
).
Vídụ 2.
Chohaisốthực x
0 ¹
,y
0 ¹
thayđổivà thỏamãnđiều kiện: x y y x y x
2 2 2 2
2 + = + .
Tínhgiátrịlớnnhất ,giátrị nhỏnhấtcủabiểu thức
.
1 2
y x
P + =
Lờigiải:Vì 0 ; ¹ y x ,nênđặt y=tx .
Từgiảthiết x y y x y x
2 2 2 2
2 + = +
) 2 (
1
2
2
3 2 3 2 2 2
t t

t
x x t tx x t x
+
+
= Þ + = + Þ .(vì 2 , 0 - ¹ ¹ t t )
1
2 5 2
1
) 2 )( 1 2 ( 1 2 1 1
2
1 1 2
2
2
2
+
+ +
=
+
+ +
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
÷
ø

ö
ç
è
æ
+ = + = Þ
t
t t
t
t t
t
t
x t x y x
P
Xéthàm số 0 2 5 ). 2 ( 2 5 2
1
2 5 2
2 2 2
2
2
= - + - - Û + + = + Û
+
+ +
= P t t P t t P Pt
t
t t
P
Khi 2 ¹ P ,đểphương trìnhcónghiệm
Û ³ D 0
2
9

2
1
0 9 16 4
2
£ £ - Û £ - - P P P .
Khi 2 ; 2 1
2
1
= - = Þ - = Þ - = y x t P .
Khi
3
2
1
2
9
= = Þ = Þ = y x t P .
Vậy,Giátrịlớnnhất
2
9
= P khivàchỉkhi
3
2
= = y x .
Giátrịnhỏnhất
2
1
- = P khivàchỉkhi 2 ; 2 = - = y x .
Vídụ 3.Tìmgiátrịlớn nhất,giátrị nhỏnhất củabiểuthức xy x y T 4 2 3
2 2
+ - = .

trongđóx,y làhaisố thựcthayđổithoảmãn 4 2
2 2
£ + y x .
Lờigiải.Nếu y=0
2
2x T - = Þ .Theođiềukiệntacó
0 8 £ £ - T
.
Nếu 0 2 0
2 2
> + Þ ¹ y x y . Xéthàm số
2 2
2 2
2
4 2 3
y x
xy x y
u
+
+ -
=
Đặty=tx 0 2 4 ) 3 2 (
1 2
2 4 3
2
2
2
= + + - - Û
+
- +

= Þ u t t u
t
t t
u .
Khi
2
3
¹ u đểphương trìnhcónghiệm thì 0 ) 2 )( 3 2 ( 4 0 ' ³ + - - Û ³ D u u
2 2
2
2 2
5 5 3 2 4
2 10 0 2 2
2 2 2
y x xy
u u u
x y
- +
Û + - £ Û - £ £ Û - £ £
+
.
Vì Þ £ + < 4 2 0
2 2
y x
2 2
10 3 2 4 8y x xy - £ - + £ .
Dođógiátrịlớnnhất
8T =
;giátrịnhỏnhất
10T = -

.
Vídụ 4.Chox,y,z làcácsố thựcthỏamãnhệ
ï
î
ï
í
ì
> +
= +
= + +
0
3
6 3
2
2
z y
yz x
yz xy x
Chứngminhrằngtaluôncó: z y x + £ 3 ,
Lờigiải.Tacó yz xy x - +
2
=( ( 2 ) 3
2
- + + yz xy x yz x +
2
) xy x yz + = Þ =
2
0 .
Từhệ, ta nhậnthấy 0 ¹ y và
0 ¹ x

.
Đặt y=tx x
t
t
z tx x txz xy x yz
+
= Þ + = Û + = Þ
1
2 2 2
.
Xétbiểuthức
z y
x
Q
+
=
,thay y=tx; x
t
t
z
+
=
1
tacó:
Q 0 ) 1 (
1
1
2
2
= + - + Û

+ +
=
+
+
= Q t Q Qt
t t
t
x
t
t
tx
x
.
Vì 0 ¹ Q ,đểphương trìnhcónghiệm ,tacó
3
1
0 1 2 3 0
2
£ Þ £ - + Û ³ D Q Q Q .
Hay
3
1
£
+ z y
x
.Vìtheo giảthiếtx+y>0 z y x + £ Þ 3 (đpcm).
Đẳng thứcxảyrakhivàchỉkhi 2 ; 1 1
3
1
= = = Û = Û = z x y t Q .

Mờicácbạn tiếp tụcgiảicácbàitoán sau theophương pháp trên
Bài1 Chocácsốthựcx,y thoảmãnđiềukiện:x
2
+y
2
=1.
Tìmgiátrịlớnnhất ,giá trịnhỏnhấtcủabiểu thức:
3 3
2 2
2
2
+ +
+ +
=
y xy
xy x
S
.
Bài2.Chứngminhrẳng: 3 3 4 3 3 3 4
2 2
- £ - - £ - - y xy x
trongđóx,ylà cácsốthựcthoảmãn 3
2 2
£ + + y xy x .
Bài3.Chohaisố thựctuỳýthoảmãn điềukiện: xy y x xy y x 2 ) (
3 3
= + + + .
Tìmgiátrịlớnnhất,giá trịnhỏnhấtcủa biểuthứcS=x+y.
Bài4.Chox,y,zlà cácsốthựcthỏamãn hệ:
î

í
ì
= + + +
= + + +
2 ) ( ) (
4 2 ) 3 5 (
2
x y x z z x
x xy z x z
Tìmgiátrịlớnnhất, giátrịnhỏ nhất: .
2 2
xy z x T + + =

Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức có
từ một biến số trở lên . Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về phương pháp tìm cực trị của biểu thức hai
biến số nhờ miền giá trị , trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước .
Bài toán :
Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = 0 ( hoặc
G(x;
y
)0
≥

hoặc
G(x;y)0≤
) .
Tìm GTLN , GTNN ( nếu có ) của biểu thức P = F(x ; y).
Cách giải :

Gọi T là miền giá trị của P . Khi đó m là một giá trị của T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm (x ; y):

(;) 0
(;)
=
⎧
⎨
=
⎩
Gxy
F
xy m
( hoặc
(;) 0
(;)
≥
⎧
⎨
=
⎩
Gxy
F
xy m
hoặc
(;) 0
(;)
≤
⎧
⎨
=
⎩
Gxy

F
xy m
)
Sau đó tìm các giá trị của tham số m để một trong các hệ trên có nghiệm . Từ đó suy ra miền giá trị
T của P , rồi suy ra GTLN , GTNN ( nếu có ) của P.
Sau đây là các bài toán minh hoạ .
Bài toán 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn điều kiện :
(
)
33
33 3
(1) 1
x
xyy−+ −=xy

Tìm GTLN , GTNN của biểu thức
=++
3
33
F
xyxy
.
Lờ
i gi
ả
i :
Gọi T
1
là miền giá trị của F . Ta có
1

mT∈ ⇔ hệ sau có nghiệm:
( )
33
33 3
3
33
(1) 1
x
xyy
xyxym
⎧
−+ −=
⎪
⎨
⎪
++ =
⎩
xy

Đặ
t :
3
3
3
S
xy
Pxy
⎧
=+
⎪

⎨
=
⎪
⎩
. Ta có
2
,,:
4
x
ySPS
∃⇔∃ ≥
P

H
ệ
trên
22
30 23
S
SP S S m
S
Pm PmS
⎧⎧
−− = + =
⇔⇔
⎨⎨
+= =−
⎩⎩

Ta có :

2
22 2
4( )
440
3
SS
SPS SS S
−
≥⇔≥ ⇔−≤⇔≤≤04
T
ừ

đ
ó h
ệ
PT
đầ
u có nghi
ệ
m
⇔
2
() 2 3
f
SS Sm
=+=
có nghiệ
m
0
S

4
≤
≤
. Vì hàm b
ậ
c hai f(S)

đồ
ng
bi
ế
n trên
[
]
0;4
nên PT
f(S) = 3m có nghi
ệ
m
04
S
≤
≤

(0) 3 (4) 0 3 24fmf m⇔ ≤≤ ⇔≤≤

. Do đó
0m⇔≤ ≤8
[
]

1
0;8T =

Vậy minF = 0 , maxF = 8.
Bài toán 2 : Cho các số thực x, y thoả mãn : 3≤
22
x-xy+y
Tìm GTLN , GTNN của biểu thức
22
Q = x + x
y
-2
y

Lời giải : Gọi T
2
là miền giá trị của Q . Ta có
2
mT∈ ⇔ hệ sau có nghiệm:

3
⎧
≤
⎨
⎩
22
22
x-xy+y (1)
x+xy-2y=m (2)
Nếu y = 0 thì hệ (1),(2)

⎧
≤
⎪
⇔
⎨
=
⎪
⎩
2
2
3x
x
m
, suy ra trường hợp này hệ có nghiệm (x ; 0)
⇔≤

≤03m
Nếu y 0 thì đặt x = ty ta có hệ :
≠
⎧
−+ ≤
⎨
+− =
⎩
22
22
(1)3(
(2)(
yt t
yt t m

3)
4)
2)tt+−Từ (4) ta phải có m( > 0 và thay
2
2
2
2
m
y
tt
=
+
−
vào (3) được
−+
≤
+−
2
2
(1)
3
2
mt t
tt

Trường hợp này hệ (1),(2) có nghiệm
⎧
+−
⎪
⇔

⎨
−+
≤
⎪
+−
⎩
2
2
2
m( 2) > 0
Ö
(1)
3
2
tt
H
mt t
tt
có nghiệm
⎡
>
⎧
⎪
⎢
⎨
⎢
≤ ∈ −∞ − ∪ +∞
⎪
⎢
⎩

⇔
⎢
<
⎧
⎢
⎪
⎢
⎨
≥∈−
⎢
⎪
⎩
⎣
0
3
() ã Ö ( ; 2) (1; )
0
3
() ã Ö ( 2;1)
m
ft c nghimt
m
m
ft c nghimt
m
( I ) ( với
−
+
=
+

−
2
2
1
()
2
tt
ft
tt
,
{
}
\2;1t ∈−R
)
Ta có :
−+
′
=
+−
2
22
26
()
(2
1tt
ft
tt
()
)
,

t
′
=
0
±
⇔=
37
2
t

f
Bảng biến thiên của hàm f(t)
t −∞ - 2
−37
2
1
37
2
+
+
∞

f’(t) + + 0 - - 0 +
−127
9
+
∞
1 + ∞
f(t)

1 −∞
−
∞
12

7
9
+
Từ bảng biến thiên ta có
( I )
⎡
>
⎧
⎪
⎢
⎨
+
⎢
≤
⎪
⎢⎡
<≤−+
⎩
⇔⇔
⎢⎢
<
⎧
−
−≤<

⎢⎢
⎣
⎪
⎢
⎨
−
⎢
≥
⎪
⎢
⎩
⎣
0
122 3
012
9
0
127 0
127 3
9
m
m
m
m
m
m
7

Kết hợp các trường hợp trên ta được :
−− ≤ ≤−+127 127m

.
Do đó
⎡⎤
=−− −+
⎣⎦
3
127;127T . Vậy minQ = 127−− , maxQ = 127−+
( Bài này các bạn có thể tham khảo hướng dẫn giải đề số 4 - THTT tháng 6/2007 )
Bài toán 3 : Cho hai số thực x, y thoả mãn :
22
916683(18)
x
yxy xy+++≤−
Tìm GTNN của biểu thức
=
++ +(1)(1Kxx yy )

Lời giải : Gọi T
3
là miền giá trị của K . Ta có mT
3
∈
⇔
)
hệ sau có nghiệm:
22
916683(18
(1)(1)
x
yxy xy

xx yy m
⎧
+++≤−
⎨
++ +=
⎩

Hệ trên
⎧
−≤ + ≤
⎧
+++−≤
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+++=+
+++=+
⎪⎪
⎩
⎩
2
22
22
33 4 1 (5)
(3 4 ) 2(3 4 ) 3 0
111
111
()() (6)
()()
222

222
xy
xy xy
xym
xym

Dễ thấy : nếu
1
2
m
thì hệ vô nghiệm
≤−
Với
1
2
m
, xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta có : tập hợp nghiệm của (5) là miền mặt phẳng
>−
(H) ở giữa hai đường thẳng song song
1
:3 4 3 0dxy
+
+= và dx
2
:3 4 1 0
+
y−= có chứa cả biên là hai
đường thẳng và , còn tập hợp nghiệm của (6) là đường tròn (C) có tâm I(
1
d

2
d
1
2
−
;
1
2
−
) , bán kính
1
2
Rm=+
. Trường hợp này hệ (5),(6) có nghiệm
⇔
(C) và (H) có điểm chung
⇔

1
11
(; )
10 2 100
dId R m m≤⇔ ≤ +⇔≥−
49
( thoả mãn m >
1
2
−
) .
Do đó

3
49
;
100
T
⎡⎞
=− +∞
⎟
⎢
⎣⎠
. Vậy
=−
49
min
100
K
( không tồn tại maxK) .
(Bạn đọc tự vẽ hình minh hoạ).
Bài toán 4 : Cho các số thực x, y thoả mãn :
2cos 2cos 3 cos cos 2 cos cos
(2
.
) 2 4 42
x y xy xy++ ++ +
+−≥
Tìm GTLN , GTNN của biểu thức :
cos 2 cos 2
M
xy
=

+

Lời giải : Gọi T
4
là miền giá trị của M . Ta có
∈
⇔
4
mT hệ sau có nghiệm:
2cos 2cos 3 cos cos 2 cos cos
(2) 2 4 42
(*)
cos 2 cos 2
x y xy xy
xym
++ ++ +
⎧
+−≥
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

Hệ(*) ⇔
cos cos 2 cos cos cos cos
22 22
22
3
1cos cos

(2 ) (22 2)2 42 0 2 2 22
2
22
2
cos cos cos cos
cos cos
++ +
⎧
⎧
⎧
≤+≤
−+ +≤ ≤ ≤
⎪
⎪
⎪⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨⎨
++
22
2
+
+= +=
⎪⎪⎪
+=
⎩
⎪
⎩
xy xy xy
xy
mm

m
xy xy
xy
vy==
⎪
⎩

Đặt
ux
ta có hệ :
cos ; cos
22
3
1(
2
1, 1 (8)
2
(9)
2
⎧
≤+≤
⎪
⎪
≤≤
⎨
⎪
+
⎪
+=
⎩

uv
uv
m
uv
7)

v
Hệ (*) có nghiệm hệ (7),(8),(9) có nghiệm. ⇔
Dễ thấy , với
m
hệ (7),(8),(9) vô nghiệm .
2≤−
Với m > - 2 , xét trong mặt phẳng toạ độ Ouv
khi đó tập hợp nghiệm của (7) và (8) là hình


O
u
A
B
C
D
1
1
1
2
1
2
thang cân ABCD ( gồm các điểm ở trong hình
thang và các điểm trên cạnh hình thang) , còn

tập hợp nghiệm của (9) là đường tròn ( T ) có
tâm O(0 ; 0) , bán kính
2
2
+
=
m
R
( hình vẽ )
Từ đó , hệ (7),(8),(9) có nghiệm đường tròn ⇔
( T ) có điểm chung với hình thang ABCD
(; )dOCD R OB⇔≤≤

225
1
222
+
⇔≤ ≤⇔−≤≤
m
m
1
2
0
( thoả mãn m > - 2)
(Ở đây đường thẳng CD: , đường thẳng AB:
10uv+−= 223uv
+
−=
và các tam giác OCD , OAB
cân tại O) .

Do đó
4
1
1;
2
⎡
=−
⎢
⎣⎦
T
⎤
⎥
. Vậy minM = -1 , maxM =
1
2

Bài toán 5 : (Tuyển sinh đại học khối A năm 2006 )
Cho hai số thực thay đổi x
≠
0 , y
≠
0 thoả mãn :
22
(x y)xy x y xy
+
=+−
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
33
11
A

xy
=+

Lời giải : Gọi T
5
là tập giá trị của A . Ta có
5
mT
∈
⇔ hệ sau có nghiệm x
≠
0 , y 0 :
≠
22 22
22
22 2
33
33
(x y)xy x y xy (x y)xy x y xy
(x y)xy x y xy
11
(x y)(x y xy) xy(x y)
m
mm
xy
(xy) (xy)
⎧⎧
+
=+− + =+−
⎧

+=+−
⎪⎪ ⎪
⇔⇔
⎨⎨ ⎨
++− +
+=
==
⎪⎪ ⎪
⎩
⎩⎩


2
2
(x y)xy (x y) 3xy
xy
()m
xy
⎧
+=+−
⎪
⇔
+
⎨
=
⎪
⎩
(V)
Đặt ( ) , ta có hệ :
Sxy

Pxy
=+
⎧
⎨
=
⎩
2
S4≥ P
2
2
SP S 3P
S
() m
P
⎧
=
−
⎪
⎨
=
⎪
⎩
(VI)
Hệ (V) có nghiệm x 0 , y 0 hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn .
≠ ≠
⇔
2
S4P≥
Do
22 2 2

13
SP x y xy (x y) y 0
24
=+−=− + >
với mọi x
≠
0 , y
≠
0
S
0
P
⇒>
với mọi x 0 , y
≠
≠
0
Từ đó :
•
Nếu thì hệ (V) vô nghiệm
m0≤
•
Nếu m > 0 thì từ phương trình
2
SS
() m m
PP
=⇒=
Sm.⇒= P
thay vào phương trình

đầu của hệ (VI) được :
22
mP mP 3P (m m)P 3=−⇔− = ( vì SP > 0 nên P 0 )
≠
Để có P từ phương trình này thì
mm0m1
−
≠⇔ ≠
( m > 0 ) và ta được

3
P
m( m 1)
=
−
, do đó
3
S
m1
=
−
. Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả
mãn khi và chỉ khi :
2
S4P≥


2
312
()

m1 m(m1)
≥
−−
2
4( m 1)
3
3m4(m1) m4
m( m 1)
−
⇔≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≤
−



0m16(m1)⇔< ≤ ≠
Tóm lại các giá trị của m để hệ (V) có nghiệm x
≠
0 , y
≠
0 là :
0m16,m1
<
≤≠

Do đó :
(
]
{
}
5

T0;16\1=

V
ậ
y
: maxA = 16 (
chú ý không t
ồ
n t
ạ
i
minA )
Bài toán 6 : ( HSG quốc gia - Bảng A + B năm 2005 )
Cho hai số thực x, y thoả mãn :
x3x13y2y− += +−

Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Kxy= +

Lời giải :
ĐKXĐ :
x1,y≥− ≥−2
Gọi T
6
là tập giá trị của K . Ta có hệ sau có nghiệm:
6
mT∈⇔
3( x 1 y 2) m
x3x13y2y
(VII)

xym
xym
⎧
⎧
++ + =
−+=+−
⎪⎪
⇔
⎨⎨
+=
+=
⎪
⎪
⎩
⎩

Đặt
ux=+1
và
vy
=+
2
thì
và h
ệ
(VII) tr
ở
thành :
u,v 0≥

22 2
m
uv
3(u v) m
3
uvm3 1m
uv ( m 3)
29
⎧
+=
⎪
+=
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
+=+
⎩
⎪
=−−
⎪
⎩
⇔ u , v là hai nghiệm của phương trình :

2
22
m1m
t t ( m 3) 0 18t 6mt m 9m 27 0
329
−+ −−=⇔ − +−−=

2
2
(10)
Từ

đ
ó , hệ
(VII) có nghi
ệm ( x ; y ) sao cho
khi và ch
ỉ
khi (10) có hai nghiệ
m không âm
và đ
i
ều ki
ệ
n là :
x1,y≥− ≥−
2
t
t
2
t
9(m 18m 54) 0
m9321
S0 m93
32
m9m27
P0

18
⎧
⎪
′
Δ=− − − ≥
⎪
+
⎪
=≥ ⇔ ≤≤+
⎨
⎪
⎪
−−
=≥
⎪
⎩
15
. Do đó
6
9321
T;
9
2
315
⎡ ⎤
+
=+
⎢ ⎥
⎣ ⎦

Vậy : minK =
9321
2
+
, maxK = 9315+
Bình luận :
Ưu thế của phương pháp trên là quy bài toán tìm GTLN , GTNN về bài toán tìm tham số
để hệ có nghiệm , vì vậy không cần chỉ rõ giá trị của biến số để biểu thức đạt GTLN , GTNN . Nếu
dùng các bất đẳng thức để đánh giá thì nhất thiết phải chỉ rõ các giá trị của biến số để tại đó biểu thức
đạt GTLN , GTNN .
Các bạn có thể mở rộng phương pháp này cho biểu thức có nhiều hơn hai biến số .
Cuối cùng mời các bạn vận dụng phương pháp trên để làm các bài tập sau :
Bài 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn :
22
2( ) 7xy xy+ =++ .
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
= −+ −
3
3
(2) (2Pxx yy)

Bài 2 : Cho hai số thực x , y thoả mãn :
+ ++≤(1)(1)xx yy 0
.
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
2007 2008 2009
= ++
Qxy

Bài 3 :

Cho các số thực x, y thoả mãn :
22
4x - 3x
y
+3
y
6
≤ . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
bi
ể
u th
ứ
c
2
2
F
=x +xy-2y
Bài 4 :
Cho các s
ố
th
ự
c không âm x , y tho
ả
mãn :
4
xy+ =
. Tìm giá tr
ị
l

ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t
của biểu thức
19
Qx y
=+++

Bài 5 :
Cho các số thực x, y thoả mãn :
1
cos cos
2
xy
+
=
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức
cos3 cos3
L
xy
=+

Bài 6 : (Đại học khối B năm 2008 ) : Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn hệ thức
. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

22
xy+=
1
2
2
2(x 6xy)
P
12xy2y
+
=
++

Bài 7 :
( Cao đẳng kinh tế kỹ thuật năm 2008 ) Cho hai số x , y thoả mãn
22
xy
2+
=
.
Tìm GTLN , GTNN của biểu thức
33
P2(x y)3xy
=+−
Bài 8 :
Cho các số dương x , y thoả mãn : xy + x + y = 3 . Tìm GTLN của biểu thức

2
3x 3y xy
P
y1 x1 x y

=++ −−
+++
2
x
y
(
Đ
/s : maxP = 3/2)