BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MTCT PHẦN IV: SỐ HỮU TỈ VÀ LIÊN PHÂN SỐ

DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
PHẦN IV: SỐ HỮU TỈ, LIÊN PHÂN SÔ
Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà
toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó.
Bài toán: Cho a, b (a > b)là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán Ơclit chia a cho
b, phân số
a
b
có thể viết dưới dạng:
0
0 0
0
b
a 1
a a
b
b b
b
= + = +
Vì b
0
là phần dư của a khi chia cho b nên b > b
0
. Lại tiếp tục biểu diễn phân số
1
1 1
0
0 0
1
bb 1
a a

b
b b
b
= + = +
Cứ tiếp tục quá trình này sẽ kết thúc sau n bước và ta được:
0
0 0
1
n 2
n
b
a 1
a a
1
b b
a
1
a
a
−
= + = +
+
+
. Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ
dưới dạng liên phân số. Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên
phân số, nó được viết gọn
[ ]
0 1 n
a ,a , ,a
. Số vô tỉ có thể biểu diễn dưới dạng liên

phân số vô hạn bằng cách xấp xỉ nó dưới dạng gần đúng bởi các số thập phân hữu
hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số.
Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số
0
1
n 1
n
1
a
1
a
1
a
a
−
+
+
+
về dạng
a
b
. Dạng
toán này được gọi là tính giá trị của liên phân số. Với sự trợ giúp của máy tính ta
có thể tính một cách nhanh chóng dạng biểu diễn của liên phân số đó.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn lần lượt
b/ c b/ c b/ c
n 1 n n 2 0
a 1 a a a 1 a Ans a 1 a Ans
− −

+ = + = + =
1. Dạng tính liên phân số đơn giản.
Ví dụ 1: Tính giá trị của
1
A 1
1
2
1
3
2
= +
+
+
=1+1:(2+1:(3+1:2))
Giải .Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
Cách 1:Ấn các phím:
+ = + = + =
b/c b/c b/c
d
3 1a 2 2 1a Ans 1 1a Ans SHIFT
c
Cách 2: Kết quả:
23
16

1 1
3 1 2 2 1
b d

a x x shift
c c
− −
+ + + =
Kết quả:
23
16

Cách 3:
1 1 ( 2 1 ( 3 1 2 ) )
b
a
c
+ ÷ + ÷ + =
Kết quả:
23
16
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức B
A = 3+
3
5
2
4
2
5
2
4
2
5
+

+
+
+
Giải .Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
1
1
1
1
1
2 5 3
4 2
5 2
4 2
5 3
b
a x
c
x
x
x
d
x shift
c
−
−
−
−
−
+ =
× + =

× + =
× + =
× + =

Kết quả: B = 4,6099644 =
382
1761
382
233
4
=
.
2. Dạng tìm a, b, c… của liên phân số.
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
Ví dụ 3: Biết
15 1
1
17
1
1
a
b
=
+
+
trong đó a và b là các số dương. Tính a,b?
Giải
Ta có:
15 1 1 1 1

17 2 1 1
17
1 1 1
15 1
15 15
7
2 2
= = = =
+ + +
+
. Vậy a = 7, b = 2.
Giải .Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
1
15 17
b
c
a x
−
=
kết quả : 1
1
1 x
−
− =
Kết quả : 7
1
7 x
−
− =
Kết quả : 2

Vậy a = 7, b = 2
Ví dụ 4: Tìm a,b thuộc vào số tự nhiên.
b
a
1
1
5
1
3
1
1051
329
+
+
+
=
Giải .Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
1
329 1051
b
c
a x
−
=
Kết quả : 3
1
3 x
−
− =
Kết quả : 5

1
5 x
−
− =
Kết quả : 7
1
7 x
−
− =
Kết quả : 9
Vậy a = 7, b = 9
3. Dạng toán biểu liên phân số.
Ví dụ 5:
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
12
30
5
10
2003
cho A
= +
+
Viết lại:
0
1
1
1
1
1

a
n
n
A a
a
a
−
= +
+
+ +

Viết theo kết quả thứ tự
[ ] [ ]
0 1 1
, , a , ; , ,
n n
a a a
−
=

Giải .Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
1
1
1
1
1
1
1
1
1

mod 1
10 5 2003 12 30
31
5
133
2
1
2
1
2
e
b
a x
c
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
−
−
−

−
+ = × + =
− =
− =
− =
− =
− =
− =
− =
− =

[ ] [ ]
0 1 1
, , a , 31;5;133;2;1;2;1;2
n n
a a a
−
=

4. Dạng toán tính tổng, tìm x của liên phân số.
Ví dụ 6:
x x
4
1 1
1 4
1 1
2 3
1 1
3 2
4 2

+ =
+ +
+ +
+ +
Giải .Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
Đặt:
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
=
+ +
+ +
+ +
1 1
A ; B=
1 1
1 4
1 1
2 3
1 1
3 2
4 2

Ta có: 4+Ax=Bx
4
x
B A
⇒ =
−

1 1 1

1 1 1
1
mod 1
3 1 4 2 1
3 1 2 3 4
( ) 4
e
b
a x x x shift sto A
c
b
a x x x shift sto B
c
alpha B alpha A x
− − −
− − −
−
+ = + = + =
+ = + = + =
− × =

Kết quả:
844
8
1459
−

Ví dụ 7: Tìm x
3 381978
3

382007
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
1
8
1 x
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

Giải .Qui trình ấn máy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
381978
÷
382007
=
Kết quả:0.999924085
Ấn tiếp:
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
x

x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
×−=
×−=
×−=
×−=
×−=
×−=
×−=
×−=
×−=
−=

Kết quảø : x = - 1.11963298
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1.Dạng tính giá trị biểu thức
Bài 1:
a. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:
5 1
A 3 B 7
4 1
2 3
5 1
2 3
4 1
2 3
5
4
2
3
= + = +
+ +
+ +
+ +
+
b. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:
1 1
A
1 1
5 2
1 1
4 3
1 1

3 4
2 5
= +
+ +
+ +
+ +
c. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:
20 2
A B
1 1
2 5
1 1
3 6
1 1
4 7
5 8
= =
+ +
+ +
+ +
Bài 2:
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
Tính và viết kết quả dưới dạng phân số
4
D=5+
4
6+
4
7+

4
8+
4
9+
10
Bài 3:
Tính giá trị của các biểu thức sau và biểu diễn kết quả dưới dạng phân số:
31
1
2
1
3
1
4
5
A =
+
+
+
;
10
1
7
1
6
1
5
4
B =
+

+
+
;
2003
2
3
4
5
8
7
9
C =
+
+
+
Bài 4:
a) Tính
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1

A
= +
+
+
+
+
+
+
b)
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
3
B
= +
−
+
−
+
−
c)

1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
9
C
= +
+
+
+
+
+
+
+
d)
1
9
2

8
3
7
4
6
5
5
6
4
7
3
8
2
9
D = +
+
+
+
+
+
+
+
Bài 4: Viết quy trình tính:

3 1
17
12 5
1 23
1 1
1 3

12 1
17 7
2002 2003
A = + +
+ +
+ +
+ +
Bài 5:
Thời gian trái đất quay một vòng quanh trái đất được viết dưới dạng liên phân số
là:
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
1
365
1
4
1
7
1
3
1
5
1
20
6
+
+
+
+
+

+
. Dựa vào liên phân số này, người ta có thể tìm ra số năm
nhuận. Ví dụ dùng phân số
1
365
4
+
thì cứ 4 năm lại có một năm nhuận.
Còn nếu dùng liên phân số
1 7
365 365
1
29
4
7
+ =
+
thì cứ 29 năm (không phải là 28
năm) sẽ có 7 năm nhuận.
1) Hãy tính giá trị (dưới dạng phân số) của các liên phân số sau:
a)
1
365
1
4
1
7
3
+
+

+
; b)
1
365
1
4
1
7
1
3
5
+
+
+
+
; c)
1
365
1
4
1
7
1
3
1
5
20
+
+
+

+
+
Bài 6: Tính giá trị biểu thức
3 1
17
12 5
1 23
1 1
1 3
12 1
17 7
2008 2007
C = + +
+ +
+ +
+ +
2. Tìm a,b,c
Bài 1: Tìm các số tự nhiên a và b biết:
329 1
1
1051
3
1
5
1
a
b
=
+
+

+
Bài 2:
Biết
2003 1
7
1
273
2
1
1
1
a
b
c
d
= +
+
+
+
+
. Tìm cc số a, b, c, d.
Bài 3 : Tính a, b biết :
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS

b
a
B
1
1

5
1
3
1
1051
329
+
+
+
==
Bài 4: Tìm a,b,c,d,e
e
d
c
b
a
1
1
1
1
243
20032004
+
+
+
+=
Bài 5: Tìm a,b
b
a
1

1
5
1
3
1
1051
329
+
+
+
=
Bài 6: Tìm các số tự nhiên a và b và điền kết quả vào ô vuông , biết
2108 1
13
1
157
2
1
2
2
a
b
= +
+
+
+
Bài 7: Tìm a,b,c ,d

3 12585 20052006 1
a) 9 b) a

2 1
1354 2007
10 b
1 1
a c
b d
+ = = +
+ +
+ +
c) 365 +
484
176777
1
1
7
1
4
1
=
+
+
+
b
a
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
Bài 8: Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng
b
a
1

1
5
1
3
1
2
1
3976
1719
+
+
+
+
=
3. Biểu diễn liên phân số và tìm x.
Bài 1: Tìm giá trị của x, y từ các phương trình sau:
b.
y y
1 1
1 2
1 1
3 4
5 6
+
+ +
+ +
Bài 2: Lập qui trình bấm phím để tính giá trị của liên phân số sau
[ ]
M 3,7,15,1,292=

và tính
M
π−
?
Bài 3: Lập qui trình bấm phím để tính giá trị của liên phân số sau
[ ]
M 1,1,2,1,2,1,2,1=
và tính
3 M
−
?
Bài 4: Các số
2, 3
,
π
có biểu diễn gần đúng dưới dạng liên phân số như sau:
[ ]
2 1,2,2,2,2,2 ;
=

[ ] [ ]
3 1,1,2,1,2,1 ; 3,17,15,1,292,1,1,1,2,1,3
= π =
. Tính các liên phân số
trên và só sánh với số vô tỉ mà nó biểu diễn?
Bài 5:
Tìm gi trị của x, y. Viết dưới dạng phân số từ các phương trình sau:

1 1
1 2

1 1
3 4
5 6
y y
=
+ +
+ +
Bài 6: Tìm giá trị của x, y viết dưới dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phương
trình sau:
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao
DNG TON THI HC SINH GII MY TNH CM TAY S DNG MY TNH FX500MS V FX570 MS
2
5
4 2
3 1
6 4
5 3
8 5
7 5
7
9
8
9
x x
+ =
+ +
+ +
+ +
+
Bit

20032004 1
a
2
243
b
1
c
1
d
e
= +
+
+
+
. Tỡm cỏc ch s a, b, c, d, e?
Bi 7: Tỡm s dng x tha món phng trỡnh:

1
2005
1
2005
1
2005
1
2005
1
2005
x
x
= +

+
+
+
+
b)Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng:
b
a
1
1
5
1
3
1
1051
329
+
+
+
=
Bi 8: Tỡm nghim ca phng trỡnh:
1 1 1
. 4
3 2 1
2 3 1
5 3 1
4 5 1
7 4
2
6 7
8 9

x




= + +

+ + +

+ + +


+ +
Bi 9: Tỡm x bit
4 1 2
4
1 8
2 1
1
9
3
2 4
4
2 x 1
4 1
1 2
7
5
1
8

+ = +

+ +
ữ

+
ữ
ữ
ữ
+ +
ữ
ữ
ữ
+ +
ữ
ữ

+
ữ


Bi 10: Tìm giá trị gần đúng của x và y (chính xác đến 9 chữ số thập phân):
V Xuõn Tỳ trng THCS Vừ Lao
DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX500MS VÀ FX570 MS
1)
8
5
6
4
7

5
3
12
9
5
7
4
5
3
2
28
+
+
+
=
+
+
+
x
x
2)
5
3
3
3
3
2
1
3
3

2
6
4
2
2
9
7
7
5
3
4
+
+
+
=
+
+
+
+
+
yy
Bài 11: Giải phương trình :
20 2003
1 3
2 2
1 5
3 4
1 7
4 6
8x

=
+ +
+ +
+ +
Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao