Đề và đáp án thi Olympic toán 7

Phòng gd-đt đức thọ
đề thi học sinh giỏi năm học 2009-2010
Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:
a)
1
.81 3
27
=
n n
; b) 8 < 2
n
< 64
Bài 2. Thực hiện phép tính:

1 1 1 1 4 3 5 7 49
( )
8 8.15 15.22 43.50 217

+ + + +
Câu 3: Tìm các cặp số (x; y) biết:
=
x y
a) và xy=405
5 9
;
= =
1+5y 1+7y 1+9y
b)
24 7x 2x
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :

a) A =
x 5+
+ 5 b) B =
2
2
x 17
x 7
+
+
Bai 5: Cho tam giác ABC (CA < CB), trên BC lấy các điểm M và N sao cho BM = MN
= NC. Qua điểm M kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AN tại I.
a) Chng minh: I là trung điểm của AN
b) Qua K là trung điểm của AB kẻ đờng thẳng vuông góc với đờng phân giác góc
ACB cắt đờng thẳng AC tại E, đờng thẳng BC tại F.
Chứng minh AE = BF
Đáp án và hớng dẫn chấm toán 7
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:
a) (2điểm)
1
.81 3
27
=
n n
; => 3
4n-3
= 3
n
=> 4n 3 = n => n = 1
b) (2điểm) 8 < 2
n

< 64=> 2
3
< 2
n
< 2
6
=> n = 4, n = 5
Bài 2. Thực hiện phép tính: (3điểm)

1 1 1 1 4 3 5 7 49
( )
8 8.15 15.22 43.50 217

+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 5 (1 3 5 7 49)
(1 ).
7 8 8 15 15 22 43 50 217
+ + + + +
+ + + +
=
1 1 5 (12.50 25) 1 49 5 625 7.7.2.2.5.31 2
(1 ). . .
7 50 217 7 50 7.31 7.2.5.5.7.31 5
+ =
= = =
Câu 3. Tìm các cặp số (x; y) biết:
(2điểm)
=
x y

a) và xy=405
5 9
=>
2 2
x y xy 405
9
25 81 5.9 45
= = = =
=> x
2
= 9.25 = 15
2
=> x =

15
=> y
2
= 9.81 = 27
2
=> y =

27
Do x, y cùng dấu nên:
x = 15; y = 27
Và x = - 15; y = - 27
(2điểm)
= =
1+5y 1+7y 1+9y
b)
24 7x 2x

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+ +
= = = = = =

1+5y 1+7y 1+9y 1 9y 1 7y 2y 1 7y 1 5y 2y
24 7x 2x 2x 7x 5x 7x 24 7x 24
=>
2y 2y
5x 7x 24
=

=> - 5x = 7x 24 => x = 2
Thay x = 2 vào trên ta đợc:
1 5y y
24 5
+
=

=> - 5 - 25y = 24 y => - 49y = 5 => y =
5
49

Vậy x = 2, y =
5
49

thoả mãn đề bài
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau:
a) (2điểm) A =
x 5+

+ 5
Ta có :
x 5+


0. Dấu = xẩy ra

x = - 5.

A

5.
Vậy: Min A = 5

x = - 5.
b) (2điểm)B =
2
2
x 17
x 7
+
+
=
( )
2
2
x 7 10
x 7
+ +
+

= 1 +
2
10
x 7+
Ta có: x
2


0. Dấu = xảy ra

x = 0

x
2
+ 7

7 (2 vế dơng )

2
10
x 7+



10
7
=> 1 +
2
10
x 7+

1 +
10
7

B


17
7
Dấu = xảy ra

x = 0
Vậy: Max B =
17
7


x = 0.
B i 5. a) (3điểm) Từ I kẻ đờng thẳng // BC cắt AB tại H. Nối MH.
Ta có:

BHM =

IMH vì:

ã
ã
BHM IMH=

(so le trong)

ã
ã
BMH IHM=
(so le trong)
Cạnh HM chung =>BM = IH = MN



AHI =

IMN vì:
IH = MN (kết quả trên)

ã
ã
ã
AHI IMN ( ABC)= =


ã
ã
AIH INM=
(đồng vị)
=> AI = IN (đpcm)
b) (2điểm)Từ A kẻ đờng thẳng song song với BC
cắt EF tại P.

PKA =

FKB vì:

ã
ã
PKA FKB=
(đối đỉnh)

ã
ã
APK BFK=
(so le trong)
AK = KB (gt)
=> AP = BF (1)

ã
ã
EPA KFC=
(đồng vị)

ã
ã
CEF KFC=
(

CFE cân)
=>
ã
ã
EPA CEF=

=>

APE cân
=> AP = AF (2). Từ (1) và (2) => AE = BF (đpcm)
A
B
H
M N C
I
P
K
F
B
A
E
C
đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 7
Năm học 2006-2007
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:
a)
1
.16 2
8
n n
=
; b) 27 < 3
n
< 243

Bài 2. Thực hiện phép tính:

1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89

+ + + +
Bài 3. a) Tìm x biết:
2x3x2 +=+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x +
Khi x thay đổi
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm
đối diện nhau trên một đờng thẳng.
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối
tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA,
qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC
đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2002-2003
Môn: Toán lớp 7 (Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1/ Tìm x biết :
( ).
( , ):
,
6
3
5
3
3
16

5
5
6
21 1 25
2 5


=
x
Bài 2/ Cho P = 12x + 7 - x - 5
a) Rút gọn P
b)Tính x khi P = 11
Bài 3 / Chứng minh : Nếu
x y
x y
z x
z x

+
=

+
thì
x yz
2
=
Bài 4/ Tìm các số a, b, c, biết:
ab bc ac= = =
1
2

2
3
3
4
; ;
Bài 5/ Cho tam giác cân ABC (AB=AC), trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA
lấy điểm D sao cho BM = CD. Từ M kẻ MN // BC (N nằm trên AC).
a) Chứng minh NC = ND.
b) Gọi H là chân đờng vuông góc của M trên BC, O là trung điểm của BC, MO cắt BC
tại K. Chứng minh OK =BH
đề thi Ô-lim -pic huyện Năm học 2007-2008
Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tính tổng: S =
5 13 25 41 181

1.2 2.3 3.4 4.5 9.10
+ + + +
Bài 2. Tìm giá trị x, y nguyên dơng trong biểu thức sau:
1 1 1 1
2x 2y xy 2
+ + =
Bài 3. Tìm x biết: a)
3 1 3 = x x
; b)
1 1
x x
5 5
=
Bài 4. Trong đợt phát động trồng cây đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một
trờng THCS đã trồng đợc một số cây. Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B; 7B và

7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây trồng đợc của các lớp.
Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác
vuông cân ACD (
ã
0
ADC 90=
), trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác
vuông cân BDE (
ã
0
BDE 90=
). Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng EA
cắt đờng thẳng BD tại M. Chứng minh: DF = DM
Đáp án toán 7
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a)
1
.16 2
8
n n
=
; => 2
4n-3
= 2
n
=> 4n 3 = n => n = 1
b) 27 < 3
n
< 243 => 3
3

< 3
n
< 3
5
=> n = 4
Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm)

1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89

+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49)
( ).
5 4 9 9 14 14 19 44 49 12
+ + + + +
+ + + +
=
1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9
( ).
5 4 49 89 5.4.7.7.89 28
+
= =
Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a) Tìm x biết:
2x3x2 +=+

Ta có: x + 2

0 => x

- 2.
+ Nếu x

-
2
3
thì
2x3x2 +=+
=> 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2

x < -
2
3
Thì
2x3x2 +=+
=> - 2x - 3 = x + 2 => x = -
3
5
(Thoả mãn)
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x +
Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006

x

2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013
Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006

x

2007
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm
đối diện nhau trên một đờng thẳng. (4 điểm mỗi)
Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau
trên một đờng thẳng, ta có:
x y =
3
1
(ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)
và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
Do đó:
33
1
11:
3
1
11
yx
1
y
12

x
1
12
y
x
==

===>=
=> x =
11
4
x)vũng(
33
12
==>
(giờ)
Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên
một đờng thẳng là
11
4
giờ
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối
tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA,
qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC
(4 điểm mỗi)
Đờng thẳng AB cắt EI tại F


ABM =

DCM vì:
AM = DM (gt), MB = MC (gt),

ã
AMB
= DMC (đđ) => BAM = CDM
=>FB // ID => ID

AC
Và FAI = CIA (so le trong) (1)
IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) =>

CAI =

FIA (AI chung)
=> IC = AC = AF (3)
và E FA = 1v (4)
Mặt khác EAF = BAH (đđ),
BAH = ACB ( cùng phụ ABC)
=> EAF = ACB (5)
Từ (3), (4) và (5) =>

AFE =

CAB
=>AE = BC
D
B
A

H
I
F
E
M