Đề và đáp án thi HSG Toán 7

Phòng Giáo dục- Đào tạo
đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
năm học 2008 - 2009
môn: Toán 7
(Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang
Bài 1: (3,5 điểm)
Thực hiện phép tính:
a)
3 4 7 4 7 7
: :
7 11 11 7 11 11


+ + +
ữ ữ

b)
1 1 1 1 1
...
99.97 97.95 95.93 5.3 3.1

Bài 2: (3,5 điểm)
Tìm x; y; z biết:
a) 2009
2009x
= x
b)
( )
2008
2008

2
2 1 0
5
x y x y z

+ + + =
ữ

Bài 3: (3 điểm)
Tìm 3 số a; b; c biết:
3 2 2 5 5 3
5 3 2
a b c a b c
= =
và a + b + c = 50
Bài 4: (7 điểm)
Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên
tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Trên tia đối của CA lấy điểm I sao
cho CI = CA.
Câu 1: Chứng minh:
a)
ABD ICE =

b) AB + AC < AD + AE
Câu 2: Từ D và E kẻ các đờng thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB; AI theo
thứ tự tại M; N. Chứng minh BM = CN.
Câu 3: Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN.
Bài 5 (3 điểm):
Tìm các số tự nhiên a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008
a

+ 2008.a + b) =
225
Đáp án Đề thi HSG môn Toán 7
Bài 1: 3 điểm
Câu a: 1 điểm (kết quả = 0).
Câu b: 2 điểm
1 1 1 1 1
...
99.97 97.95 95.93 5.3 3.1

1 1 1 1 1
...
99.97 1.3 3.5 5.7 95.97
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ...
99.97 2 3 3 5 5 7 95 97
1 1 1
1
99.97 2 97
1 48
99.97 97
4751
99.97

= + + + +
ữ


= + + + +
ữ

=
ữ

=

=
Bài 2: 3,5 điểm
Câu a: 2 điểm
- Nếu x

2009

2009 x + 2009 = x

2.2009 = 2x

x = 2009
- Nếu x < 2009

2009 2009 + x = x


0 = 0
Vậy với

x < 2009 đều thoả mãn.
- Kết luận : với x

2009 thì
2009 2009x x
=
Hoặc cách 2:
( )
2009 2009
2009 2009
2009 2009
2009
x x
x x
x x
x
=
=
=

Câu b: 1,5 điểm
1
2
x
=
;
2
5
y =
;
9
10
z =

Bài 3: 2,5 điểm
3 2 2 5 5 3
5 3 2
15 10 6 15 10 6
25 9 4
a b c a b c
a b c a b c

= =

= =

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:
15 10 6 15 10 6 15 10 6 15 10 6
0
25 9 4 38
a b c a b c a b c a b c
+ +
= = = =
2 3
15 10 0 3 2
6 15 0 2 5
2 5
10 6 0 5 3
5 3
a b
a b a b
a c
c a c a
b c b c

c b

=

= =



= = =


= =


=


Vậy
2 3 5
a b c
= =
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
10
15
25
a
b
c
=

=


=

Bài 4: 7 điểm
O
N
M
B
C
A
D
E
I
Câu 1: mỗi câu cho 1,5 điểm
Câu a: Chứng minh
( )
ABD ICE cgc
=
V V
Câu b: có AB + AC = AI
Vì
ABD ICE AD EI
= =
V V
(2 cạnh tơng ứng)
áp dụng bất đẳng thức tam giác trong
AEIV

có:
AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC
Câu 2: 1,5 điểm
Chứng minh
V
v
BDM =
V
v
CEN (gcg)

BM = CN
Câu 3: 2,5 điểm
Vì BM = CN

AB + AC = AM + AN (1)
có BD = CE (gt)

BC = DE
Gọi giao điểm của MN với BC là O ta có:
( )
2
MO OD
MO NO OD OE
NO OE
MN DE
MN BC
>

+ > +

>

>
>
Từ (1) và (2)

chu vi
ABCV
nhỏ hơn chu vi
AMNV
Bài 5: 2 điểm
Theo đề bài

2008a + 3b + 1 và 2008
a
+ 2008a + b là 2 số lẻ.
Nếu a

0

2008
a
+ 2008a là số chẵn
để 2008
a
+ 2008a + b lẻ

b lẻ
Nếu b lẻ

3b + 1 chẵn do đó
2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn)
Vậy a = 0
Với a = 0

(3b + 1)(b + 1) = 225
Vì b

N

(3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25
3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1
3 1 25
8
1 9
b
b
b
+ =

=

+ =

Vậy a = 0 ; b = 8.