Bài tập toán ôn thi tốt nghiệp và đại học năm học 2013 - 2014

Nguyễn Thanh Triều
    
BÀI TẬP TOÁN
ÔN THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC 2013 - 2014
Tháng 05 - 2013
Để biết thêm về các tài liệu toán học, đọc giả có thể truy cập vào
trang web cá nhân của tác giả:

2
Mục lục
1 Bài tập về khảo sát hàm số 5
1.1 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi tốt nghiệp . . . . 5
1.2 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi đại học . . . . . . 7
2 Bài tập về lũy thừa và logarit 11
2.1 Bài tập lũy thừa và logarit trong các đề thi tốt nghiệp . . . 11
2.2 Bài tập lũy thừa và logarit trong các đề thi đại học . . . . . 11
2.3 Bài tập bổ sung về lũy thừa và logarit . . . . . . . . . . . . 12
3 Bài tập phương trình lượng giác trong các đề thi đại học 15
4 Bài tập về phương trình chứa căn thức 16
4.1 Bài tập phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học 16
4.2 Bài tập bổ sung về phương trình chứa căn thức . . . . . . . 16
5 Bài tập về bất phương trình chứa căn thức 18
5.1 Bài tập bất phương trình chứa căn thức trong các đề thi
đại học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Bài tập bổ sung về bất phương trình chứa căn thức . . . . . 18
6 Bài tập về tổ hợp - Nhị thức Newton - Xác suất 20
6.1 Bài tập tổ hợp - Nhị thức Newton - Xác suất trong các đề
thi đại học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2 Bài tập bổ sung về tổ hợp - Nhị thức Newton - Xác suất . . 22
7 Bài tập về hệ phương trình 25
7.1 Bài tập bổ sung về hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . 25

7.2 Bài tập hệ phương trình trong các đề thi đại học . . . . . . 28
8 Bài tập về tích phân 31
8.1 Bài tập tích phân trong các đề thi tốt nghiệp . . . . . . . . 31
8.2 Bài tập tích phân trong các đề thi đại học . . . . . . . . . . 32
8.3 Bài tập bổ sung về tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9 Bài tập về số phức 38
9.1 Bài tập bổ sung về số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.2 Bài tập số phức trong các đề thi tốt nghiệp . . . . . . . . . 39
3
9.3 Bài tập số phức trong các đề thi đại học . . . . . . . . . . . 40
10 Bài tập về hình học 42
10.1 Bài tập hình học trong các đề thi tốt nghiệp . . . . . . . . . 42
10.2 Bài tập hình học trong các đề thi đại học . . . . . . . . . . 46
11 Bài tập về bất đẳng thức 53
11.1 Bài tập bổ sung về bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.2 Bài tập bất đẳng thức trong các đề thi đại học . . . . . . . 60
4
KHẢO SÁT HÀM SỐ
1 Bài tập về khảo sát hàm số
1.1 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi tốt nghiệp
1.1 (TN - 2013) Cho hàm số y = x
3
− 3x − 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp
tuyến đó bằng 9.
1.2 (TN - 2013) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =
√
x

2
+ 3 − x ln x trên đoạn [1; 2]
1.3 Cho hàm số y = f(x) =
1
4
x
4
− 2x
2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
x
0
, biết f

(x
0
) = −1.
1.4 Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =
x − m
2
+ m
x + 1
trên đoạn [0; 1] bằng −2.
1.5 Cho hàm số y =
2x + 1
2x − 1
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x+2.

1.6 Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x
3
−2x
2
+ mx + 1 đạt
cực tiểu tại x = 1.
1.7 Cho hàm số y =
1
4
x
3
−
3
2
x
2
+ 5
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x
3
− 6x
2
+ m = 0
có 3 nghiệm thực phân biệt.
5
1.8 Cho hàm số f(x) = x − 2
√
x
2
+ 12. Giải bất phương trình f


(x)  0.
1.9 Cho hàm số y =
2x + 1
x − 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp
tuyến bằng −5.
1.10 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x
2
−
ln(1 − 2x) trên đoạn [−2; 0].
1.11 Cho hàm số y = x
3
− 3x
2
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x
3
− 3x
2
− m = 0
có ba nghiệm phân biệt.
1.12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =
2x − 1
x − 3
trên đoạn [0; 2].
1.13 Cho hàm số y = x
4

− 2x
2
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành
độ x = −2.
1.14 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +
9
x
trên đoạn [2; 4].
1.15 Cho hàm số y = −x
3
+ 3x
2
− 2, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của (C).
1.16 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = −x +
1 −
4
x + 2
trên đoạn [−1; 2].
1.17 Cho hàm số y =
2x + 1
x + 1
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
6
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua
điểm A(−1; 3).

3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ
thị (C).
1.18 Xác định tham số m để hàm số y = x
3
−3mx
2
+ (m
2
−1)x + 2 đạt
cực đại tại điểm x = 2.
1.2 Bài tập khảo sát hàm số trong các đề thi đại học
1.19 Cho hàm số y = x
4
− 2(m + 1)x
2
+ m
2
(1) với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba
đỉnh của một tam giác vuông.
1.20 Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 3m
3
(1) với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho

tam giác OAB có diện tích bằng 48.
1.21 Cho hàm số y =
2
3
x
3
− mx
2
− 2(3m
2
− 1)x +
2
3
(1) với m là tham
số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị x
1
và x
2
sao
cho x
1
x
2
+ 2(x
1
+ x
2
) = 1.

1.22 Cho hàm số y =
−x + 1
2x − 1
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị
(C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k
1
, k
2
lần lượt là hệ số góc
của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k
1
+ k
2
đạt
giá trị lớn nhất.
7
1.23 Cho hàm số y = x
4
− 2(m + 1)x
2
+ m (1) với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho
OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục
tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
1.24 Cho hàm số y =
2x + 1
x + 1

.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng
nhau.
1.25 Cho hàm số y = x
3
− 2x
2
+ (1 − m)x + m (1) với m là tham số
thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thoả mãn điều kiện x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
< 4.
1.26 Cho hàm số y =

2x + 1
x + 1
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
√
3 (O là
gốc tọa độ).
1.27 Cho hàm số y = −x
4
− x
2
+ 6.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông
góc với đường thẳng y =
1
6
x − 1.
1.28 Cho hàm số y =
x + 2
2x + 3
(1).
8
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến
đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B
và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ.
1.29 Cho hàm số y = 2x

4
− 4x
2
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m thì phương trình x
2
|x
2
− 2| = m có đúng
6 nghiệm thực phân biệt ?
1.30 Cho hàm số y = x
4
−(3m + 2)x
2
+ 3m có đồ thị là (C
m
), m là tham
số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.
2. Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C
m
) tại 4 điểm phân biệt
đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
1.31 Cho hàm số y = 4x
3
− 6x
2
+ 1 (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp
tuyến đó đi qua điểm M(−1; −9).
1.32 Cho hàm số y = x
3
− 3x
2
+ 4 (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc
k (k > −3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt
I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
1.33 Cho hàm số y = −x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
−1)x −3m
2
−1 (1), m là tham
số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của
đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O.
9
1.34 Cho hàm số y =
2x
x + 1
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt
hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
1.35 Cho hàm số y = 2x
3
− 9x
2
+ 12x − 4.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2|x|
3
− 9x
2
+
12|x| = m.
1.36 Cho hàm số y = x
3
− 3x + 2.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m.
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
1.37 Cho hàm số y = −x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 − m
2
)x + m

3
− m
2
(1), m là
tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm k để phương trình −x
3
+ 3x
2
+ k
3
−3k
2
= 0 có ba nghiệm phân
biệt.
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số (1).
1.38 Cho hàm số y =
1
3
x
3
− 2x
2
+ 3x (1) có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh
rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
1.39 Cho hàm số y = x

3
− 3x
2
+ m (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
10
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với
nhau qua gốc tọa độ.
1.40 Cho hàm số y = mx
4
+ (m
2
− 9)x
2
+ 10 (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba cực trị.
1.41 Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 9x + 1 (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị của hàm số (1) thuộc đường thẳng
y = x + 1.
LŨY THỪA VÀ LOGARIT
2 Bài tập về lũy thừa và logarit
2.1 Bài tập lũy thừa và logarit trong các đề thi tốt nghiệp
2.1 (TN - 2013) Giải phương trình: 3
1−x

− 3
x
+ 2 = 0.
2.2 Giải phương trình: log
2
(x − 3) + 2 log
4
3. log
3
x = 2.
2.3 Giải phương trình: 7
2x+1
− 8.7
x
+ 1 = 0.
2.4 Giải phương trình: 2 log
2
2
x − 14 log
4
x + 3 = 0.
2.5 Giải phương trình: 25
x
− 6.5
x
+ 5 = 0.
2.2 Bài tập lũy thừa và logarit trong các đề thi đại học
2.6 Giải hệ phương trình:

log

2
(x
2
+ y
2
) = 1 + log
2
(xy)
3
x
2
−xy+y
2
= 81
2.7 Giải bất phương trình: 2 log
3
(4x − 3) + log
1
3
(2x + 3)  2.
2.8 Giải phương trình: 3.8
x
+ 4.12
x
− 18
x
− 2.27
x
= 0.
2.9 Giải hệ phương trình:




log
1
4
(y − x) − log
4
1
y
= 1
x
2
+ y
2
= 25
2.10 Giải hệ phương trình:

log
2
(3y − 1) = x
4
x
+ 2
x
= 3y
2
(với x, y ∈ R).
11
2.11 Giải bất phương trình: log

0,7

log
6
x
2
+ x
x + 4

< 0.
2.12 Giải phương trình:

√
2 + 1

x
+

√
2 − 1

x
− 2
√
2 = 0.
2.13 Giải bất phương trình: log
5
(4
x
+ 144)−4 log

5
2 < 1+log
5

2
x−2
+ 1

.
2.14 Giải hệ phương trình:

√
x − 1 +
√
2 − y = 1
3 log
9
(9x
2
) − log
3
y
3
= 3
2.15 Giải bất phương trình: log
x
(log
3
(9
x

− 72))  1.
2.16 Giải bất phương trình: log
1
2
x
2
− 3x + 2
x
 0.
2.17 Giải phương trình: log
2
(4
x
+ 15.2
x
+ 27) + 2 log
2
1
4.2
x
− 3
= 0.
2.18 Giải phương trình: 2
x
2
+x
− 4.2
x
2
−x

− 2
2x
+ 4 = 0.
2.19 Giải phương trình: 2
x
2
−x
− 2
2+x−x
2
= 3.
2.20 Giải hệ phương trình:



2
3x
= 5y
2
− 4y
4
x
+ 2
x+1
2
x
+ 2
= y
2.3 Bài tập bổ sung về lũy thừa và logarit
2.21 Giải các phương trình mũ sau:

a) 2
2x
− 3.2
x+2
+ 32 = 0. b) 4
x+1
+ 2
x+4
= 2
2x+2
+ 16.
c) 25
x
+ 10
x
= 2
2x+1
. d) 2
x
= 1 + 3
x
2
.
e)

2 −
√
3

x

+

2 +
√
3

x
= 14. f) 2
x+1
− 4
x
= x − 1.
g) 3.25
x
+ (3x − 10).5
x−2
+ 3 − x = 0.
h)

2 +
√
3

x
+ (7 + 4
√
3 )

2 −
√

3

x
= 4(2 +
√
3 ).
2.22 Giải các bất phương trình mũ sau:
a) 3
x+1
− 2
2x+1
− 12
x
2
< 0. b) 2
x
< 3
x
2
+ 1.
c)
3
2−x
+ 3 − 2x
4
x
− 2
 0. d)
2
1−x

− 2x + 1
2
x
− 1
 0.
e) 8.3
√
x+
4
√
x
+ 9
4
√
x+1
 9
√
x
. f) 2
x+1
− 4
x
< x − 1.
g)

√
10 + 3

x−3
x−1

<

√
10 − 3

x+1
x+3
. h) 3
√
x
2
−2x


1
3

x−|x−1|
.
i) 25
2x−x
2
+1
+ 9
2x−x
2
+1
 34.15
2x−x
2

.
j) 4x
2
+ x.2
x
2
+1
+ 3.2
x
2
> x
2
.2
x
2
+ 8x + 12.
2.23 Giải các phương trình logarit sau:
12
a) log
x+3

3 −
√
1 − 2x + x
2

=
1
2
.

b)
3
2
log
1
4
(x + 2)
2
− 3 = log
1
4
(4 − x)
3
+ log
1
4
(x + 6)
3
.
c) (x + 2) log
2
3
(x + 1) + 4(x + 1) log
3
(x + 1) − 16 = 0.
d) log
3
(x + 2)
2
+ log

3
√
x
2
+ 4x + 4 = 9.
e) log
x
2 − log
4
x +
7
6
= 0.
f) log
2
(9
x
+ 7) = 2 + log
2
(3
x
+ 1).
g) log
5
(5
x
− 1) . log
25

5

x+1
− 5

= 1.
h) log
x
(x + 1) = lg 1, 5.
2.24 Giải các bất phương trình logarit sau:
a) log
2

x
2
+ 8x − 1
x + 1

 2. b) log
x
2

4x − 2
|x − 2|


1
2
.
c) log
x


2x − 1
x − 1

> 1. d) log
3x−x
2
(3 − x) > 1.
e) log
5
√
3x + 4. log
x
5 > 1. f) 5
log
3
(
x−2
x
)
< 1.
g) 5
(log
x
5)
2
+ x
log
5
x
 10. h) log

2x
64 + log
x
2
16  3.
i) log
2
x + log
3
x < 1 + log
2
x. log
3
x.
j) log
3
√
x
2
− 5x + 6 + log
1
3
√
x − 2 >
1
2
log
1
3
(x + 3).

k)
1
log
1
3
√
2x
2
− 3x + 1
>
1
log
1
3
(x + 1)
.
2.25 Giải các hệ hỗn hợp sau:
a)

4
x
y
+
y
x
= 32
log
3
(x − y) = 1 − log
3

(x + y)
b)

x + log
3
y = 3
(2y
2
− y + 12).3
x
= 81y
c)

2
3x+1
+ 2
y−2
= 3.2
y+3x

3x
2
+ 1 + xy =
√
x + 1
d)

log
2
(1 + log

1
9
x − log
9
x) < 1
log
5
√
3x + 4. log
x
5 > 1
e)







log
1
4




2x + 1
x + 3
+
1

2




>
1
2

1
2

2
√
x
+ 2 > 3.(0, 5)
√
x
f)






1
5

6 log
4

x−3
log
4
x
>
3

(0, 008)
2 log
4
x−1
log
x
(x
3
+ 1). log
x+1
x > 2
13
g)



log
4
(x
2
+ y
2
) − log

4
(2x) + 1 = log
4
(x + 3y)
log
4
(xy + 1) − log
4
(4y
2
+ 2y − 2x + 4) = log
4

x
y

− 1
14
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3 Bài tập phương trình lượng giác trong các đề
thi đại học
3.1 Giải phương trình:
√
3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1.
3.2 Giải phương trình:
1 + sin 2x + cos 2x
1 + cot
2
x
=

√
2 sin x sin 2x.
3.3 Giải phương trình:
(1 + sin x + cos 2x) sin

x +
π
4

1 + tan x
=
1
√
2
cos x.
3.4 Giải phương trình:
(1 − 2 sin x) cos x
(1 + 2 sin x)(1 − sin x)
=
√
3.
3.5 Giải phương trình:
1
sin x
+
1
sin

x −
3π

2

= 4 sin

7π
4
− x

.
3.6 Giải phương trình:

1 + sin
2
x

cos x +

1 + cos
2
x

sin x = 1 + sin 2x.
3.7 Giải phương trình:
2

cos
6
x + sin
6
x


− sin x cos x
√
2 − 2 sin x
= 0.
3.8 Giải phương trình: cos
2
3x cos 2x − cos
2
x = 0.
3.9 Giải phương trình: cot x − 1 =
cos 2x
1 + tan x
+ sin
2
x −
1
2
sin 2x.
3.10 Giải phương trình: 2(cos x +
√
3 sin x) cos x = cos x −
√
3 sin x + 1.
3.11 Giải phương trình: sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x.
3.12 Giải phương trình: (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0.
3.13 Giải phương trình: sin x+cos x sin 2x+
√
3 cos 3x = 2(cos 4x+sin
3

x).
3.14 Giải phương trình: sin
3
x −
√
3 cos
3
x = sin x cos
2
x −
√
3 sin
2
x cos x.
3.15 Giải phương trình: 2 sin
2
2x + sin 7x − 1 = sin x.
3.16 Giải phương trình: cot x + sin x

1 + tan x tan
x
2

= 4.
3.17 Giải phương trình: 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
3.18 Giải phương trình: 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan
2
x.
3.19 Giải phương trình: cot x − tan x + 4 sin 2x =
2

sin 2x
.
3.20 Giải phương trình: sin
2
3x − cos
2
4x = sin
2
5x − cos
2
6x.
3.21 Giải phương trình: sin 3x + cos 3x − sin x + cos x =
√
2 cos 2x.
3.22 Giải phương trình:
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
tan x +
√
3
= 0.
15
3.23 Giải phương trình: sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0.
3.24 Giải phương trình:
√
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0.
3.25 Giải phương trình: 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.
3.26 Giải phương trình:

sin
x

2
+ cos
x
2

2
+
√
3 cos x = 2.
3.27 Giải phương trình: cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
3.28 Giải phương trình: cos
4
x+sin
4
x+cos

x −
π
4

sin

3x −
π
4

−
3
2
= 0.

3.29 Giải phương trình: (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.
3.30 Giải phương trình: sin
2

x
2
−
π
4

tan
2
x − cos
2
x
2
= 0.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
4 Bài tập về phương trình chứa căn thức
4.1 Bài tập phương trình chứa căn thức trong các đề thi
đại học
4.1 Giải phương trình: 2
3
√
3x − 2 + 3
√
6x − 5 − 8 = 0.
4.2 Giải phương trình: 3
√
2 + x − 6

√
2 − x + 4
√
4 − x
2
= 10 − 3x.
4.3 Giải phương trình:
√
3x + 1 −
√
6 − x + 3x
2
− 14x − 8 = 0.
4.4 Giải phương trình:
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1 = 0.
4.5 Giải phương trình: 2

x + 2 + 2
√
x + 1 −
√
x + 1 = 4.
4.2 Bài tập bổ sung về phương trình chứa căn thức
4.6 Giải các phương trình sau:
a)
√
x

2
− 6x + 6 = 2x − 1. b)
√
3x + 4 −
√
2x + 1 =
√
x + 3.
c)
x
2
√
3x − 2
−
√
3x − 2 = 1 − x. d)

x + 2
√
x − 1 −

x − 2
√
x − 1 = 2.
e)
x
2
− 2 =
x
2

2

1 +
√
1 + x

2
. f)

x(x − 1) +

x(x + 2) = 2
√
x
2
.
g)
3
√
2 − x = 1 −
√
x − 1. h) 3

2 +
√
x − 2

= 2x +
√
x + 6.

i) x
3
+ 1 = 2
3
√
2x − 1. j)
3
√
x + 34 −
3
√
x − 3 = 1.
k)
3
√
x + 1 +
3
√
3x + 1 =
3
√
x − 1. l)
√
4x − 1 +
√
4x
2
− 1 = 1.
m) (x + 4)(x + 1) − 3
√

x
2
+ 5x + 2 = 6.
16
n)
√
2x
2
+ 5x + 2 − 2
√
2x
2
+ 5x − 6 = 1.
o)
√
x + 1 +
√
4 − x +

(x + 1)(4 − x) = 5.
p)
√
3x − 2 +
√
x − 1 = 4x − 9 + 2
√
3x
2
− 5x + 2.
q)

3

(2 − x)
2
+
3

(7 + x)
2
−
3

(7 + x)(2 − x) = 3.
r) 2(1 − x)
√
x
2
+ 2x − 1 = x
2
− 2x − 1.
s)
√
x
2
− 2x + 5 +
√
x − 1 = 2.
t)
√
x − 1 + x − 3 =


2(x − 3)
2
+ 2(x − 1).
u)
√
2 − x
2
+

2 −
1
x
2
= 4 −

x +
1
x

.
4.7 Tìm giá tri lớn nhất của hàm số y =
√
2x − 3 +
√
5 − 2x. Từ đó giải
phương trình
√
2x − 3 +
√

5 − 2x − x
2
+ 4x − 6 = 0.
4.8 Với những giá trị nào của a thì phương trình sau có nghiệm
3
√
1 − x +
3
√
1 + x = a.
4.9 Cho phương trình −x
2
+ 2x + 4

(3 − x)(x + 1) = m − 3.
a) Giải phương trình khi m = 12.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
4.10 Cho phương trình
√
x + 1 +
√
3 − x −

(x + 1)(3 − x) = m.
a) Giải phương trình khi m = 12.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
4.11 Cho phương trình
√
x +
√

9 − x =
√
−x
2
+ 9x + m.
a) Giải phương trình khi m = 9.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
4.12 Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m


1 + x
2
−

1 − x
2
+ 2

= 2

1 − x
4
+

1 + x
2
−

1 − x

2
.
17
4.13 Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm
x +

4x
2
− 1 = mx +
1
2
.
4.14 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

1 − x
2
+ 2
3

1 − x
2
= m.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
5 Bài tập về bất phương trình chứa căn thức
5.1 Bài tập bất phương trình chứa căn thức trong các đề
thi đại học
5.1 Giải bất phương trình:
x −
√
x

1 −

2(x
2
− x + 1)
 1.
5.2 Giải bất phương trình:
√
5x − 1 −
√
x − 1 >
√
2x − 4.
5.3 Giải bất phương trình:

2(x
2
− 16)
√
x − 3
+
√
x − 3 >
7 − x
√
x − 3
.
5.4 Giải bất phương trình: x + 1 +
√
x

2
− 4x + 1  3
√
x.
5.5 Giải bất phương trình: (x
2
− 3x)
√
2x
2
− 3x − 2  0.
5.2 Bài tập bổ sung về bất phương trình chứa căn thức
5.6 Giải các bất phương trình sau:
a) x + 1 

2(x
2
− 1). b)

(x + 5)(3x + 4) > 4(x − 1).
c)
√
x + 2 −
√
3 − x <
√
5 − 2x. d) (x − 3)
√
x
2

− 4  x
2
− 9.
e)
2x
2

3 −
√
9 + 2x

2
< x + 21. f)
x
2

1 +
√
1 + x

2
> x − 4.
g)
√
−3x
2
+ x + 4 + 2
x
< 2. h) x +
x

√
x
2
− 1
>
35
12
.
i) x
3
− 3x + 3 
√
−x
2
+ 2x. j)
1
1 − x
2
>
3x
√
1 − x
2
− 1.
k)
√
x
4
− 2x
2

+ 1  1 − x. l)
√
x + 3 −
√
x − 1 <
√
x − 2.
m)
√
x
2
− 3x + 2
√
x
2
− 4x + 3  2
√
x
2
− 5x + 4.
18
n) (x + 1)(x + 4) < 5
√
x
2
+ 5x + 28.
o)
√
7x + 7 +
√

7x − 6 + 2
√
49x
2
+ 7x − 42 < 181 − 14x.
p) 3
√
x +
3
2
√
x
< 2x +
1
2x
− 7.
q)
√
2x
3
+ 3x
2
+ 6x + 16 > 2
√
3 +
√
4 − x.
r) 5
√
x +

5
2
√
x
< 2x +
1
2x
+ 4.
5.7 Cho bất phương trình:
√
4x − 2 +
√
16 − 4x  a.
a) Giải bất phương trình khi a = 4.
b) Tìm a để bất phương trình có nghiệm.
5.8 Cho bất phương trình: mx −
√
x − 3  m + 1.
a) Giải bất phương trình khi m =
1
2
.
b) Tìm m để bất phương trình có nghiệm.
5.9 Cho bất phương trình: (x
2
+ 1)
2
+ m  x
√
x

2
+ 2 + 4.
a) Giải bất phương trình khi m = 3.
b) Tìm m để bất phương trình được thỏa với mọi x ∈ [0; 1]
5.10 Tìm m để bất phương trình sau thỏa với mọi x ∈ [−
1
2
; 3]:

(1 + 2x)(3 − x) > m + 2x
2
− 5x + 3.
5.11 Tìm m để bất phương trình sau thỏa với mọi x ∈ [−2; 4]:
2x − 4

(4 − x)(2 + x)  x
2
+ m − 18.
19
TỔ HỢP - NHỊ THỨC NEWTON - XÁC SUẤT
6 Bài tập về tổ hợp - Nhị thức Newton - Xác
suất
6.1 Bài tập tổ hợp - Nhị thức Newton - Xác suất trong các
đề thi đại học
6.1 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C
n−1
n
= C
3
n

. Tìm số hạng chứa
x
5
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

nx
2
14
−
1
x

n
, x = 0.
6.2 Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Niutơn của

1
x
4
+ x
7

n
biết rằng C
1
2n+1
+ C
2

2n+1
+ . . . + C
n
2n+1
= 2
20
−1. (n nguyên
dương, C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
6.3 Tìm số nguyên dương n sao cho C
1
2n+1
− 2.2C
2
2n+1
+ 3.2
2
C
3
2n+1
−
4.2
3
C
4
2n+1
+ ··· + (2n + 1).2
2n

C
2n+1
2n+1
= 2005 (C
k
n
là số tổ hợp chập k của
n phần tử).
6.4 Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1 + x
2
(1 −x)]
8
.
6.5 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
C
1
2n
+ C
3
2n
+ ··· + C
2n−1
2n
= 2048
(C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).

6.6 Tìm hệ số của x
8
trong khai triển nhị thức Newton của

1
x
3
+
√
x
5

n
biết rằng
C
n+1
n+4
− C
n
n+3
= 7(n + 3)
(n là số nguyên dương, x > 0, C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
6.7 Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo
viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4
học sinh được gọi có cả nam và nữ.
6.8 Chứng minh rằng
n + 1

n + 2

1
C
k
n+1
+
1
C
k+1
n+1

=
1
C
k
n
20
(n, k là các số nguyên dương, k  n, C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần
tử).
6.9 Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức Niutơn của
(2 + x)
n
, biết: 3
n

C
0
n
−3
n−1
C
1
n
+ 3
n−2
C
2
n
−3
n−3
C
3
n
+ . . . + (−1)
n
C
n
n
= 2048
(n là số nguyên dương, C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
6.10 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4). Biết rằng, số tập con gồm
4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm

k ∈ {1, 2, . . . , n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.
6.11 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp
đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ ?
6.12 Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu
hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể
lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho
trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và
số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?
6.13 Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C
0
n
+
2
2
− 1
2
C
1
n
+
2
3
− 1
3
C
2
n
+
. . . +

2
n+1
− 1
n + 1
C
n
n
(C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
6.14 Cho đa giác đều A
1
A
2
. . . A
2n
(n  2, n nguyên) nội tiếp đường tròn
(O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
, A
2
, . . . , A
2n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
, A
2
,
. . . , A

2n
. Tìm n.
6.15 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C
1
2n
+C
3
2n
+. . . + C
2n−1
2n
=
2048 với C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử.
6.16 Tìm hệ số của x
5
trong khai triển thành đa thức của x(1 − 2x)
5
+
x
2
(1 + 3x)
10
.
6.17 Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh,
gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4
học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong
3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?

6.18 Tính giá trị của biểu thức M =
A
4
n+1
+ 3A
3
n+1
(n + 1)!
, biết rằng C
2
n+1
+
2C
2
n+2
+ 2C
2
n+3
+ C
2
n+4
= 149, n là số nguyên dương, A
k
n
là số chỉnh hợp
chập k của n phần tử, C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử.
6.19 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton


3
√
x +
1
4
√
x

7
21
với x > 0.
6.20 Với n là số nguyên dương, gọi a
3n−3
là hệ số của x
3n−3
trong khai
triển thành đa thức của

x
2
+ 1

n
(x + 2)
n
. Tìm n để a
3n−3
= 26n.
6.2 Bài tập bổ sung về tổ hợp - Nhị thức Newton - Xác

suất
6.21 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,
sao cho mỗi số có 6 chữ số và thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số có một số là
khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của
ba chữ số cuối 1 đơn vị.
Đáp số: 108.
6.22 Từ chín chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau ?
Đáp số: 90720.
6.23 Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai
chữ số lẻ đứng cạnh nhau.
Đáp số: 360.
6.24 Cho 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lập được bao nhiêu số lẻ có
6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 số trên.
Đáp số: 36960.
6.25 Tìm các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ
số sau lớn hơn chữ số liền trước.
Đáp số: 126.
6.26 Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các
bông hoa này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó
hoa gồm 7 bông.
a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông hoa màu đỏ ?
b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất
3 bông đỏ ?
Đáp số: a) 112. b) 150.
6.27 Có 12 cây giống gồm 3 loại: xoài, mít và ổi trong đó có 6 cây xoài, 4
cây mít và 2 cây ổi. Muốn chọn ra 6 cây giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn sao cho số cây mít nhiều hơn số cây xoài.
Đáp số: 172.

22
6.28 Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người sao cho có ít nhất 3 nữ.
Đáp số: 3690.
6.29 Một lớp học gồm 30 học sinh trong đó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn 3 em trong lớp để trực tuần sao cho trong 3 em đó luôn
luôn có cán bộ lớp.
Đáp số: 1135.
6.30 Trong một toa tàu có 2 ghế xa-lông đối mặt nhau, mỗi ghế có 4 chỗ
ngồi. Trong số 8 hành khách có 3 người muốn ngồi nhìn theo hướng tàu
chạy, 2 người muốn ngồi ngược lại, 3 người còn lại không yêu cầu gì. Hỏi
có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi ?
Đáp số: 1728.
6.31 Số điện thoại của một thành phố có 6 chữ số được lựa chọn trong
tập {0; 1; . . . ; 8; 9}.
a) Có bao nhiêu số điện thoại gồm 3 cặp hai số giống nhau (tức là có
dạng ababab), chấp nhận cả số 000000.
b) Có bao nhiêu số điện thoại mà số 6 có mặt 2 lần, số 2 và số 5 có mặt
đúng 1 lần và hai số còn lại có tổng chia hết cho 3.
Đáp số: a) 100. b) 2700.
6.32 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức

x
3
√
x + x
−
28
25


12
.
Đáp số: 729.
6.33 Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x
2
+ 1)
n
bằng 1024. Tìm hệ số của số hạng chứa x
12
trong khai triển trên.
Đáp số: 210.
6.34 Gọi a
1
, a
2
, . . . , a
11
là hệ số trong khai triển
(x + 1)
10
(x + 2) = x
11
+ a
1
x
10
+ a
2
x
9

+ . . . + a
10
x + a
11
.
Tìm hệ số của a
5
.
Đáp số: 672.
6.35 Giả sử (1 + x + x
2
+ x
3
)
5
có khai triển thành đa thức a
0
+ a
1
x +
a
2
x
2
+ . . . + a
15
x
15
. Tính a
0

− a
1
+ a
2
− a
3
+ . . . − a
15
.
Đáp số: 0.
6.36 Trong khai triển

√
3 −
4
√
5

124
có bao nhiêu số hạng là số nguyên ?
Đáp số: 32.
23
6.37 Tìm hệ số của x
7
trong khai triển thành đa thức của (2 −3x)
2n
, biết
C
1
2n+1

+ C
2
2n+1
+ . . . + C
2n+1
2n+1
= 1024.
Đáp số: −C
7
10
.2
3
.3
7
.
6.38 Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển của nhị thức (1 + 0, 2)
1000
.
Đáp số: C
166
1000
5
−166
.
6.39 Tổng các hệ số của khai triển

1
x
+ x
3


n
là 1024. Tìm hệ số của x
6
trong khai triển đó.
Đáp số: 210.
6.40 Tìm hệ số của số hạng chứa x
7
trong khai triển

1
x
+ x

15
.
Đáp số: 1365.
6.41 Cho n là số nguyên dương. Chứng minh:
1 +
1
2
C
1
n
+
1
3
C
2
n

+ . . . +
1
n + 1
C
n
n
=
2
n+1
− 1
n + 1
.
Hướng dẫn: Tính
1

0
f(x) dx theo hai cách, ở đây f(x) = (1 + x)
n
.
6.42 Cho n là số nguyên dương. Chứng minh:
a) C
1
n
+ 2C
2
n
+ 3C
3
n
+ . . . + (n − 1)C

n−1
n
+ nC
n
n
= n.2
n−1
.
b) 2C
2
n
+ +3.2C
3
n
+ 4.3C
4
n
+ . . . + n.(n − 1)C
n
n
= n(n − 1).2
n−2
.
Hướng dẫn: Tính f

(x), f

(x) theo 2 cách với f(x) = (1 + x)
n
.

6.43 Một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ và 5 viên bi
màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tìm xác suất để trong hai
trường hợp sau:
a) Lấy được 3 viên bi màu đỏ.
b) Lấy được ít nhất 2 viên bi màu đỏ.
Đáp số: a)
7
44
. b)
7
11
.
24
6.44 Cho 8 quả cân 1 kg, 2 kg, , 8 kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân. Tìm
xác suất để tổng cộng 3 quả cân không quá 9 kg.
Đáp số:
1
8
.
6.45 Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong
đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lý khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người.
Tìm xác suất để:
a) Có 4 khách nam và 2 khách nữ.
b) Có ít nhất 2 khách nữ.
Đáp số: a)
3
7
. b)
37
42

.
6.46 Một đoàn tàu có 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách lên tàu. Mỗi
hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa tàu. Tìm xác suất
để mỗi toa có ít nhất một hành khách lên tàu.
Đáp số:
50
81
.
6.47 Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 chiếc phong bì đã đề sẵn
địa chỉ. Tìm xác suất để có ít nhất 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ.
Đáp số:
5
8
.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
7 Bài tập về hệ phương trình
7.1 Bài tập bổ sung về hệ phương trình
7.1 Giải các hệ phương trình sau
a)

x + y + xy = 5
x
2
+ y
2
= 5
b)






x + y + xy =
7
2
xy(x + y) =
5
2
c)

x
2
y + xy
2
= 30
x
3
+ y
3
= 35
d)

x
2
+ y
2
= 5
x
4
− x

2
y
2
+ y
4
= 13
7.2 Giải các hệ phương trình sau
25