Chuyên đề luyện thi đại học phần mặt tròn xoay và mặt cầu

Chuyờn MT TRềN XOAY- MT CU Luyn thi i Hc 2014
Giỏo viờn: Lấ B BO CLB Giỏo viờn tr TP Hu

1

Ch 1:
MT NểN TRềN XOAY

I- Lí THUYT:
1/ nh ngha:
Cho ng thng

. Mt ng thng l ct

ti O v to
vi

mt gúc

khụng i
(
)
0 0
0 90

< <
.
Mt trũn xoay sinh bi ng thng l khi quay quanh

gi l
mt nún trũn xoay (hay n gin l mt nún).

: trc ca mt nún.
l : ng sinh ca mt nún.
O : nh ca mt nún.

2

: gúc nh.
2/ Hỡnh nún v khi nún
:

a/ Hỡnh nún
:
Cho mt nún
N
vi
trc

,
nh
O
v gúc nh l
2

.
Gi
(
)
P

l mt phng vuụng gúc vi

ti
I


(
)

I O
, ct mt phng theo thit din l ng
trũn (
C
);
(
)
'
P
l mt phng vuụng gúc vi


ti
O.

Khi ú phn ca mt nún
N
gii hn bi hai mt phng
(
)
P

v
(
)
'
P
cựng vi ng trũn (
C
)
c gi l hỡnh nún.
b/ Khi nún:

L phn khụng gian gii hn bi hỡnh nún, k c hỡnh nún ú.
Nhn xột:
+ Thit din ca hỡnh nún v mt phng qua nh ca hỡnh nún l 1 tam giỏc cõn ti nh
mt nún (cú cnh tam giỏc l
l
).
+
(
)
, :
M C O R SM l
=
: cỏch xỏc nh 1 ng sinh ca hỡnh nún.
3/ Din tớch hỡnh nún v th tớch khi nún
:
Cho hỡnh nún
N
cú chiu cao
h

, ng sinh
l
v bỏn kớnh ỏy
R
.
*
Din tớch xung quanh v din tớch ton phn:

( ) ( )
1

2
xq
S Rl
= =

chu vi ủaựy . ủửụứng sinh



2
tp xq
S S S Rl R
= + = +
đáy


*
Th tớch:

( )
( )
2
1 1

3 3
V R h
= =

dieọn tớch ủaựy . chieu cao








O
l



P'
P
I



r

l
O




Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

2


II- BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài tập 1:
Cho hai điểm
,
A B
cố định. Một đường thẳng
d
thay đổi luôn đi qua
A
và cách
B
một đoạn không đổi
2
=
AB
a
. Chứng minh rằng
d

luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay.
Bài giải:
Xét tam giác AHB vuông tại H:

0
1
sin 60
2
HB
AB
α = = ⇒ α =
.
Suy ra đường thẳng
d
là đường sinh của mặt nón với góc ở
đỉnh
0
2 120
α =
(không đổi), trục là đường thẳng AB (cố định).

Nhận xét:


Để chứng minh một đường thẳng đã cho luôn nằm trên
một mặt nón tròn xoay, cần chỉ rõ mặt tròn xoay với các thuộc tính không đổi.
Bài tập 2:
Cho khối nón tròn xoay có đường cao
20
=

h cm
, bán kính đáy
25
=
R cm
. Một
mặt phẳng
(
)
P
đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là
12
cm
. Hãy
xác định thiết diện của
(
)
P
với khối nón và tính diện tích thiết diện đó.
Bài giải:

2 2
5 41 cm
l SO OA
= + =

Thiết diện tà tam giác SAB cân tại S. Gọi I là trung điểm AB
Ta có:
( )
OI AB

AB SOI
SO AB
⊥

⇒ ⊥

⊥


suy ra
(
)
(
)
SOI SAB
⊥
và
(
)
(
)
SOI SAB SI
∩ =
.
Dựng
(
)
OH SI OH SAB
⊥ ⇒ ⊥
hay

(
)
(
)
d ,
O SAB OH
=
.
Xét tam giác SOI vuông tại O:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
225
OH OS OI OI OH OS
= + ⇔ = − =
suy ra
15 cm
OI
=
.
Xét tam giác OIA vuông tại I:
2 2
20 cm 40 cm
AI OA OI AB= − = ⇒ =

và
2 2
25 cm
SI SA AI= − =
.
Vậy

2
1 1
. .40.25 500 cm
2 2
SAB
S SI AB
∆
= = =
.
Bài tập 3:
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy
sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và
0 0
ˆ ˆ
30 , 60
SAO SAB= =
. Tính độ dài đường sinh
của hình nón theo a.
Bài giải:
Đặt
SA l
=
. Gọi I là trung điểm AB
OI AB
SI AB
⊥

⇒

⊥


.
Xét tam giác SOA vuông tại O:

cos cos
2
SO l
SAO SO SA SAO
SA
= ⇔ = =

30
0
60
0
S
A
B
O
I

I
O
H
B
A
S

H
d

d
α
αα
α
h
h
B
A

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

3

Xét tam giác SAI vuông tại I:

3
sin sin
2
SI
SAI SI SA SAI l
SA
= ⇔ = =

Xét tam giác SOI vuông tại O:
2 2
2 2 2 2
3
2
4 4

l l
SO OI SI a l a
+ = ⇔ + = ⇔ =
.
Nhận xét:
Hoàn toàn chúng ta có thể biểu diễn
l
theo OA và AI, để áp dụng định lí Pitago
trong tam giác AIO.
Bài tập 4:
Cho khối nón có bán kính đáy
12
=
r cm
và có góc ở đỉnh là
0
120
α
=
. Tính diện
tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.
Bài giải:
Nhận xét:
Thiết diện là tam giác cân SAB với
.
SA SB l
= =

Xét tam giác SOA vuông tại O:

sin sin
2
OA r
OSA
SA l
α
= ⇔ =

2 24
cm
3 3
sin
2
r r
l⇔ = = =
α

Lúc đó:
2
2 2
1 1 24
96 cm
2 2
3
SAB
S l
∆
 
= = =
 

 
.
Bài tập 5:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi
1 2 3
, ,

V V V
lần lượt là thể tích của khối nón
sinh ra khi lần lượt cho tam giác ABC quay quanh AB, AC và BC. CMR:
2 2 2
3 1 2
1 1 1
V V V
= +
.
Bài giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

Dễ thấy:
2
1
2
2
1
.
3
1
.
3

V AB AC
V AC AB

= π




= π





Nhận xét:
Khối tròn xoay nhận được khi quay tam giác ABC quanh BC là hợp của hai khối
nón chung đường tròn đáy với bán kính
.
AH

Ta có:
( ) ( )
2 2
3
1 1
. . '
3 3
V BH AH CH A H
= π + π

( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1
. .
3 3
1 1

3 3
BH AH CH AH
AH BH CH AH BC
= π + π
= π + = π

Lúc đó:
2 2 2 2 4 2 2 4
1 2
1 1 9 9
. .
V V AB AC AC AB
+ = +
π π

60
0
S

A
B
O

C
B
A

A
B
C

H
A'
B
A
C

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

4

( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
1 9 1 1 1 9 1
.
. .
AB AB AH

AB AC AH BC
 
= + =
 
 

π π

( )
2
2 2 4 2
3
2
9 1 1
.
1
3
BC AH V
AH BC
= = =
 
 
 
(®.p.c.m)
π
π

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc

60
0
. Gọi (T) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích hình nón có đỉnh S và đáy (T).
Bài tập 2:
Trong mặt phẳng
(
)
P
cho điểm O cố định. Xét những đường thẳng d thay đổi
luôn đi qua O và hợp với
(
)
P
một góc 30
0
. Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón
xác định.
Bài tập 3:
Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
cạnh a. Tính diện tích xung quanh của
hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông
' ' ' '
A B C D
.
Bài tập 4:
Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc
vuông bằng a.
a)

Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b)

Tính thể tích của khối nón tương ứng.
c)

Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện này.
Bài tập 5:
Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và có góc giữa các mặt
bên và mặt đáy là
α
. Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC.
Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và
α
.
Bài tập 6:
Tính thể tích khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh a?
Bài tập 7:
Xét tam giác vuông OAB, vuông tại O có
4, 3
OA OB
= =
. Nếu tam giác vuông
quay quanh cạnh OA thì mặt nón tạo thành có diện tích xung quanh bằng bao nhiêu?
Bài tập 8:
Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy
bằng

α
. Tính thể tích khối nón.
Bài tập 9:
Nếu hình nón có góc ở đỉnh bằng
0
60
và diện tích đáy bằng
9
π
thì thể tích hình
nón bằng bao nhiêu?
Bài tập 10:
Tính diện tích thiết diện lớn nhất của hình nón có độ dài đường sinh
l
, chiều cao
h
khi cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh hình nón?

Chuyờn MT TRềN XOAY- MT CU Luyn thi i Hc 2014
Giỏo viờn: Lấ B BO CLB Giỏo viờn tr TP Hu

5




Ch 2:
MT TR TRềN XOAY

I- Lí THUYT:
1) nh ngha:

Cho ng thng

. Mt ng thng l song song vi

v
cỏch

mt khong khụng i R. Mt trũn xoay sinh bi ng
thng l khi quay quanh

gi l mt tr trũn xoay
(hay n gin l mt tr).

: trc ca mt tr.
l :
ng sinh

ca mt tr.
R : bỏn kớnh ca mt tr.
2) Hỡnh tr v khi tr:
a) Hỡnh tr:

Cho mt tr

cú trc

, ng sinh l v bỏn kớnh R.
Ct mt tr bi 2 mt phng
(
)
P
v
(
)
'
P
cựng vuụng gúc vi

ta c thit din l 2 ng
trũn
( )
C
v
/
( )
C
.

Khi ú phn ca mt tr

gii hn bi hai mt phng
(
)
P
v
(
)
'
P
cựng vi hai ng trũn
( )
C
v
/
( )
C
c gi l hỡnh tr.
b) Khi tr:

L phn khụng gian gii hn bi hỡnh tr, k c hỡnh tr ú.
3) Din tớch hỡnh tr v th tớch khi tr:

Cho hỡnh tr cú chiu cao h, ng sinh l v bỏn kớnh ỏy R.
*
Din tớch xung quanh v din tớch ton phn:

(
)

(
)
2
xq
S Rl
= =

chu vi ủaựy . ủửụứng sinh


2
2 2
tp xq
S S S Rl R
= + = +
đáy


*
Th tớch:

(
)
(
)
2

V R h
= =

dieọn tớch ủaựy . chieu cao

Nhn xột:
+ Rừ rng
h l
=


+ Mt phng bt kỡ song song vi trc ca tr (hay qua trc) ct hỡnh tr theo thit din l
hỡnh ch nht
.
+
(
)
, : // '
M C O R MN OO

: cỏch xỏc nh 1 ng sinh ca hỡnh tr.
II- BI TP MINH HA:
Bi tp 1:
Cho mt ng trũn nm trờn mt phng
(
)
P
. T mt im M nm trờn ng
trũn ta k ng thng m vuụng gúc vi mt phng
(
)
P
. Chng minh rng nhng ng

thng m nh vy nm trờn mt mt tr trũn xoay.
Bi gii:
Do ng trũn (O) cú bỏn kớnh R khụng i nờn ng thng
m
song song v cỏch 1 khong R vi ng thng OO
qua O, vuụng gúc (P).
T õy suy ra, ng thng
m
luụn nm trờn mt tr vi
O'
O
l

R

P
M
m
m
A
M
O
O'

R
M
l
h
l
R

O
O'

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

6

trục của trụ là đường thẳng OO’ và có
h R
=
(y.c.b.t)
Nhận xét:
Để chứng minh một đường thẳng đã cho luôn nằm
trên một mặt trụ tròn xoay, cần chỉ rõ mặt tròn xoay với các
thuộc tính không đổi.
Bài tập 2:
Cho hình trụ có bán kính đáy
53 cm
R
=
, chiều cao
56
h
=
cm
. Một thiết diện
song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục của trụ đến mặt phẳng thiết diện.
Bài giải:
Gọi thiết diện là hình vuông ABCD và H là trung điểm AB.

Ta có:
( )
OH AB
OH ABCD
OH AD
⊥

⇒ ⊥

⊥

.
Do
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
'// d ', d ,
OO ABCD OO ABCD O ABCD OH
⇒ = =

Xét tam giác OAH vuông tại H:

2 2

2 2 2 2
45 cm
2 2
AB h
OH OA AH R R
   
= − = − = − =
   
   

Kết luận:

(
)
(
)
d ', 45 cm
OO ABCD
=
.
Bài tập 3:
Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ theo R.
Bài giải:
Gọi thiết diện là hình vuông ABCD.
Lúc đó, dễ thấy:
2
2
l AD AB R
h l R

= = =


= =


Vậy
2
2 4
xq
S Rl R
= π = π
(đ.v.d.t)
và
2 3
. 2
V h R R
= π = π
(đ.v.t.t)

Bài tập 4:
Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao
50
cm
=
h
.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ được tạo nên.
b) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn của
đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục của hình trụ.

Bài giải:
a)
2
2 5000 cm
xq
S Rl= π = π

và
2 3
. 12500 cm
V h R
= π = π

b) Dựng BB’ // OO’
(
)
'// '
OO ABB
⇒

(
)
(
)
(
)
d ', d ', '
OO AB OO ABB
⇒ =

Gọi H là trung điểm AB’.
Ta có:
( )
'
'
'
OH AB
OH ABB
OH BB
⊥

⇒ ⊥

⊥


Suy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
d ', ' d , '
OO ABB O ABB OH
⇒ = =

Xét tam giác ABB’ vuông tại B’:

2 2 2 2
' ' ' 50 3 cm
AB AB BB AB OO= − = − =

H
O'
O
D
A
B
C

O'
O
D
C
A
B

P
K
B'
B
A
H
O
O'

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

7

Xét tam giác OHB’:
2
2 2 2
'
' ' ' 25 cm
4
AB
OH OB B H OB= − = − =

Kết luận:

(
)
d ', 25 cm
OO AB OH
= =
.
Mở rộng:
Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng OO’ và AB.
+ Dựng HK // OO’
+ Dựng KP // OH
Suy ra, đoạn PK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng OO’ và AB.
Bài tập 5: (Khối A- 2006
) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy
bằng chiều cao và bằng
a
. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’

lấy điểm B sao cho
2
AB a
=
==
=
. Tính thể tích khối tứ diện OO’AB.
Bài giải:
Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’
và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A’D.
Do
'
BH A D
⊥
và
'
BH AA
⊥
nên
(
)
' ' .
BH AOO A
⊥

Suy ra:
' ' '
1
. .
3

OO A A OO A
V BH S
∆
=

Ta có
2 2 2 2
' ' 3 ' '
A B AB A A a BD A D A B a
= − = ⇒ = − =

'
BO D
⇒ ∆
đều
3
2
a
BH⇒ =
.
Vì AOO’ là tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng
a
nên
2
'
1
2
AOO
S a
∆

=
.
Vậy thể tích khối tứ diện OO’AB là
2 3
1 3 3
. .
3 2 2 12
a a a
V = =
(đ.v.t.t)
Bài tập 6:
Cho hình trụ có bán kính đáy
70 cm
R
=
, chiều cao
20 cm
h
=
. Một hình vuông có
các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy và mặt phẳng hình vuông không song song với trục hình
trụ. Tính diện tích hình vuông đó.
Bài giải:
Gọi H là K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD của
hình vuông ABCD.
Ta có:
{
}
// ' '
OH O K HK OO I

⇒ ∩ =

Dễ thấy:
( )
'
' c.g.c
OI O I
OIH O IK
HI KI
=

∆ = ∆ ⇒

=


hay I là trung điểm của OO’ và HK.
Đặt
(
)
0 2 140 cm
AB x x R
= < ≤ =

Xét tam giác OHB vuông tại H:

2
2 2 2
4
x

OH OB HB R= − = −
(1)
Xét tam giác OHI vuông tại O, ta có:

2 2 2 2
2 2
4 4 4 4
BC h x h
OH HI OI= − = − = −
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
H
O'
O
C
A
B
D
K
I

H
D
A'
A
B
O
O'

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

8


2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 100 cm
4 4 4 4 4 4 4
x x h x x h h
R R x R
 
− = − ⇔ − = − ⇔ = + =
 
 

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1:
Cho mặt phẳng
(
)
P
, một điểm A nằm trên
(
)
P
, một điểm B nằm ngoài
(
)

P
sao
cho hình chiếu H của B lên
(
)
P
không trùng với A. Một điểm M di động trong mặt phẳng
(
)
P

sao cho ta luôn có
ˆ ˆ
ABM BMH
=
. Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn
xoay có trục là AB.
Bài tập 2:
Cho khối trụ có bán kính
5
=
R cm
, khoảng cách hai đáy bằng
7
cm
. Cắt khối trụ
bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục
3
cm
. Tính diện tích của thiết diện.

Bài tập 3:
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng
a
, chiều cao
3
a
. Tính
diện tích toàn phần mặt trụ nội tiếp, mặt trụ ngoại tiếp lăng trụ.
Bài tập 4:
Cho khối trụ có chiều cao bằng
20 cm
và có bán kính đáy bằng
10 cm
. Người ta
kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lược trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc
0
30
.
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối
trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.
Bài tập 5:
Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Bài tập 6:
Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng
3
R
; A và B là hai điểm trên

hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là
0
30
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. Xác định đoạn vuông góc chung.
c) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B.
d) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.
Bài tập 7:
Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’; ABCD là hình vuông nội tiếp
đường tròn tâm O, AA’, BB’ là các đường sinh của hình trụ. Biết bán kính đáy của hình trụ là
R và mặt phẳng(A’B’BA) hợp với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích tứ giác A’B’CD.
Bài tập 8:
Cho hình trụ nội tiếp một mặt cầu bán kính R (đường tròn đáy của hình trụ ở trên
mặt cầu).
a) Cho biết chiều cao của hình trụ bằng h. Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể
tích khối trụ đã cho.
b) Tính giá trị lớn nhất của thể tích hình trụ nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước.

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

9








Chủ đề 3:
MẶT CẦU

I- LÝ THUYẾT:
1/ Định nghĩa:

Cho điểm I cố định và một số thực dương R.
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I
một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

K/h:

(
)
;
S I R

(
)
{
}
; /
S I R M IM R
⇒ = =


2/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu
(
)
;
S I R
và mặt phẳng
(
)
P
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên
(
)
P


d IH
⇒ =
là khoảng cách từ I đến mặt phẳng
(
)

P
. Khi đó:
+

Nếu
d R
>
: Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.

+

Nếu
d R
=
: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.

Lúc đó:
(
)
P
đgl mp
tiếp diện
của mặt cầu. H:
tiếp điểm.

+

Nếu
d R
<

: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là

đường tròn có tâm H và bán kính
2 2

r R IH= −

Lưu ý:
Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mp(P) được gọi là
mặt phẳng kính
và thiết diện lúc
đó được gọi là
đường tròn lớn.
3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
:
Cho mặt cầu
(
)
;
S I R
và đường thẳng
∆
. Gọi H là hình chiếu của I lên
∆
. Khi đó:
+

IH R
>
:

∆
không cắt mặt cầu.

+

IH R
=
:
∆
tiếp xúc với mặt cầu.
∆
:
Tiếp tuyến
của (S)

+

IH R
<
:
∆
cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

*
Lưu ý:

Lúc đó bán kính R của (S) được tính như sau:
+ Xác định:
( ; ) .
d I IH

∆ =

+ Lúc đó:
2
2 2 2
2
AB
R IH AH IH
 
= + = +
 
 


4/ Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
:
Cho
(
)
;
S I R
. Khi đó:

*
Diện tích mặt cầu:

2
4
π
=

S R

*
Thể tích khối cầu:

3
4

3
=
V R
π
ππ
π



R I

∆
H
R I

H
B
A
I
R
∆

H
α
I
R

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

10









II- BÀI TẬP MINH HỌA:

Dạng 1: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Bài tập 1:
Cho mặt cầu
(
)
;
S O R
và một điểm A biết

2
OA R
=
. Qua A kẻ 1 tiếp tuyến với mặt
cầu tại B và kẻ 1 cát tuyến cắt
(
)
;
S O R
tại C, D. Biết
3
CD R
= .
a) Tính độ dài đoạn AB. b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Bài giải:
a) Tính độ dài đoạn AB:
Xét
OAB
∆
vuông tại B, ta có:

2 2
3
AB OA OB R
= − =
.
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD:
Gọi H là trung điểm CD
OH CD
⇒ ⊥

.
Xét
OHC
∆
vuông tại H, ta có:

2 2
2 2 2 2
3
4 4 2
CD R R
OH OC HC OC R
= − = − = − =
.


Bài tập 2:
Cho mặt cầu
(
)
;
S O R
tiếp xúc với mp(P) tại I. Gọi M là 1 điểm nằm trên
(
)
;
S O R

nhưng không phải đối xứng với I qua O. Từ M kẻ 2 tiếp tuyến với
(

)
;
S O R
và hai tiếp tuyến
này vuông góc, cắt (P) tại A, B. Chứng minh rằng:
2 2 2
AB AI BI
= +
.
Bài giải:
Do
MAB
∆
vuông tại M, ta có:

2 2 2
MA MB AB
+ =
(1)
Dễ thấy, do
(
)
OI P
⊥
và
(
)
,

A B P

∈
nên AI và BI là các tiếp
tuyến của
(
)
;
S O R

Lúc đó, do từ A dựng được 2 tiếp tuyến AM và AI tới
(
)
;
S O R

với các tiếp điểm M, I nên ta có:
AM AI
=
(2)
Tương tự:
BM BI
=
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
2 2 2
AB AI BI
= +
(đ.p.c.m)
Bài tập 3:
Cho mặt cầu với
(

)
;
S O R
. Lấy 1 điểm A trên mặt cầu và gọi
( )
α
là mặt phẳng qua
A sao cho góc giữa OA và
( )
α
bằng 30
0
.
a) Tính diện tích thiết diện tạo bởi
( )
α
và hình cầu.
b) Đường thẳng
∆
qua A và vuông góc với
( )
α
cắt mặt cầu tại B. Tính AB.
H
R
D
C
B
A
R

O

R
R
P
B
A
M
O
I

∆
∆∆
∆
B
O
Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

11

Bài giải:
a) Tính diện tích thiết diện tạo bởi
( )
α
và hình cầu:
Gọi thiết diện của
( )
α
và

(
)
;
S O R
là đường tròn tâm H
và bán kính AH.
Do
(
)
AH
α
⊥ ⇒
góc giữa OA và
( )
α
là góc giữa OA và
A, tức là góc
0
30
OAH
=
.
Xét
AOH
∆
vuông tại H, ta có:

3
cos .cos
2

AH R
OAH AH OA OAH
OA
= ⇔ = =
.
Lúc đó:
2
2
3
4
td
R
S AH
π
π
= =
(đ.v.d.t)
b) Tính AB:
Gọi I là trung điểm AB
OI AB
⇒ ⊥
. Vậy tứ giác OHAI là hình chữ nhật.
Suy ra:
2
AI OH AB OH
= ⇔ =
.
Xét
AOH
∆

vuông tại H, ta có:

sin .sin
2
OH R
OAH OH OA OAH
OA
= ⇔ = =
.
Kết luận:

.
AB R
=

Bài tập 4:
Cho hình chóp S.ABC có chiều cao
SO a
=
, đáy là tam giác ABC vuông tại A có
, 3
AB a AC a
= =
. Tính bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc mp(SBC).
Bài giải:
Goi mặt cầu là
(
)
;
S A R

.
Do mp(SBC) tiếp xúc với
(
)
(
)
(
)
; ,
d
S A R A SBC R
⇔ =
.
Gọi H là hình chiếu của A trên BC, ta có:

( ) ( )
( )
,
d
AH BC
AH SBC A SBC AH
AH SO
⊥

⇔ ⊥ ⇔ =

⊥


Xét

ABC
∆
vuông tại A với đường cao AH, ta có:

2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
3 2
a
AH
AH AB AC a a
= + = + ⇔ =

Kết luận:
3
.
2
a
R =

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1:
Mặt cầu tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác ABC. Cho biết ba cạnh của tam giác ABC
lần lượt là: 13 cm, 14 cm, 15 cm và bán kính của mặt cầu là 5 cm. Tính khoảng cách từ tâm
của (S) đến mp(ABC).
Bài tập 2:
Cho mặt cầu với
(
)
;
S O R

với
5
R
=
cm
. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo thiết diện là
một đường tròn có diện tích bằng
9
π
. Tính
(
)
d ,mp( )
O P
.
Bài tập 3:
Cho mặt cầu với
(
)
;
S O R
với đường kính AA’. Gọi H là một điểm trên AA’ sao
cho
4
3
R
AH =
. Mặt phẳng (P) qua H và vuông góc với AA’ cắt mặt cầu với thiết diện là một
đường tròn (C). Tính diện tích (C).
H

a 3
a
C
B
O
S
A

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

12

Bài tập 4:
Cho mặt cầu (S) tâm O với
13 cm
R
=
. Thiết diện do mặt phẳng (P) cắt (S) là
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có các cạnh là 6 cm, 8 cm, 10 cm. Tính
(
)
d ,mp( )
O P
.
Bài tập 5:
Cho tứ diện ABCD có 3 cạnh AB, BC, CD vuông góc từng đôi một. Gọi I là trung
điểm của BC. Nếu có
2,
AB a BC a

= =
thì bán kính mặt cầu tâm I, tiếp xúc với mp(ACD)
bằng bao nhiêu?
Bài tập 6:
Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng
a
. Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Mặt cầu
tâm O tiếp xúc cạnh SA có diện tích bao nhiêu?
Bài tập 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với
, 2
AC a BD a
= =

và SA
vuông góc với mp(ABCD). Gọi I là trung điểm SA, mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mp(SAB) có
bán kính bằng bao nhiêu?
Bài tập 8:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao
3
8
2 ,
3
a
SO a V= =
. Mặt cầu tâm
O tiếp xúc cạnh bên của hình chóp có thể tích bằng bao nhiêu?
Bài tập 9:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
a

, các cạnh bên hợp với đáy
một góc 60
0
. Mặt cầu tâm O tiếp xúc cạnh bên của hình chóp có thể tích bằng bao nhiêu?
Bài tập 10:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
a
, các mặt bên hợp với đáy
một góc 60
0
. Mặt cầu tâm O tiếp xúc các mặt bên của hình chóp có thể tích bằng bao nhiêu?

Dạng toán:
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

Phương pháp:
1.
Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện:

Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số
nhận xét quan trọng sau:
-

Điểm M thuộc S(O;R)

OM R
⇔ =
.
-

Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn
đường kính dưới 1 góc vuông
.
2.
Điều kiện cần và đủ:

- Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là
đáy của hình chóp
có đường tròn ngoại tiếp.
- Để một hình lăng có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là
hình lăng trụ đứng

và có
đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp.

3. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng:
Cho đoạn thẳng AB. Mặt phẳng
( )
α
được gọi là
mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB khi mp
( )
α


đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB
.

Dạng toán: CHỨNG MINH KHỐI ĐA DIỆN NỘI TIẾP MẶT CẦU
I- PHƯƠNG PHÁP:

Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện:

Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số
nhận xét quan trọng sau:
-

Điểm M thuộc S(O;R)

OM R
⇔ =
.
-

Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn
đường kính dưới 1 góc vuông
.
II- BÀI TẬP MINH HỌA:
I
B
A
α

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

13

Bài tập 1:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
(

)
SA ABC
⊥
.
a) Chứng minh hình chóp S.ABC nội tiếp trong một mặt cầu.
b) Cho
SA BC a
= =
và
2
AB a
= . Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Bài giải:
a) Chứng minh hình chóp S.ABC nội tiếp trong một mặt cầu:
Ta có:
0
90
SAC
=
(1)
Mặt khác:
( )
SA BC
BC SAB BC SB
AB BC
⊥

⇔ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


hay
0
90
SBC
=
(2)
Từ (1), (2) suy ra điểm A và B cùng nhìn đoạn SC dưới 1 góc
vuông. Vậy 4 điểm A, B, C, S cùng thuộc
;
2
SC
S I
 
 
 

với I là trung điểm của SC.

b) Tính bán kính mặt cầu:
Xét
ABC
∆
vuông tại B, ta có:
2 2
3
AC AB BC a
= + =
.
Trong

SAC
∆
vuông tại A, ta có:
2 2
2
SC SA AC a
= + =
.
Kết luận:
Bán kính mặt cầu
.
2
SC
R a
= =

Bài tập 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
(
)
SA ABCD
⊥

và
3
SA a
= . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.
a) Chứng minh hình chóp S.OAKB nội tiếp trong một mặt cầu.
b) Xác đinh tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Bài giải:

a) Chứng minh hình chóp S.OAKB nội tiếp trong một mặt cầu:
Ta có:
0
90
SAB
=
(1) và
0
90
SKB
=
(2)
Mặt khác:

( )
BD AC
BD SAC BD SO
BD SA
⊥

⇔ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


hay
0
90
SOB
=

(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra điểm A, K và O cùng nhìn đoạn SB
dưới 1 góc vuông. Vậy 5 điểm A, B, O, K, S cùng thuộc
;
2
SB
S I
 
 
 

với I là trung điểm của SC.
b) Tính bán kính mặt cầu:
Trong
SAB
∆
vuông tại A, ta có:
2 2
2
SB SA AB a
= + =
.
Kết luận:
Bán kính mặt cầu
.
2
SB
R a
= =

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 3:
Chứng minh 8 đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu.
Tính bán kính của mặt cầu ấy, biết hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c.
a
a 2
a
I
S
A
B
C

I
O
a 3
a
D
S
A
B
C
K
a

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

14

Bài tập 3:
Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Mặt
phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
a) Chứng minh rằng: A, B, C, D. B’, C’, D’ cùng thuộc 1 mặt cầu.
b) Chứng minh rằng: S, A, B’, C’, D’ cùng thuộc 1 mặt cầu.
Bài tập 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy AB, AB= 2a,
BC= CD= DA= a; SA vuông góc với đáy. Chứng minh rằng: A, B, C, D, P, Q, R cùng ở trên
một mặt cầu và tứ giác DCQR nội tiếp.
Bài tập 3:
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mp(BCD). Gọi E là chân đường cao DE
của tam giác BCD, BF và BK là đường cao của tam giác ABC và BCD; H và I là trực tâm của
tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng: C, E, H, F, I, K cùng thuộc 1 mặt cầu.
Bài tập 3:
Cho tam giác ABC có AB= 3a, AC= 2a, Góc B bằng 60
0
. Trên đường thẳng vuông
góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S, kẻ AH
⊥
SB và AK
⊥
SC. Chứng minh rằng: A, K, H, B, C
cùng thuộc mặt cầu. Xác định tâm và tích bán kính của mặt cầu này.
Bài tập 3:
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB= AD= a;
CD= 2a, SD
⊥
(ABCD). Từ trung điểm E của CD kẻ trong mp(SCD) đường vuông góc với SC
cắt SC tại K. Chứng minh rằng: S, A, D, B, E, K cùng thuộc mặt cầu. Xác định tâm và tích bán
kính của mặt cầu này.

I- Thuật toán 1:

XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

Cho hình chóp
1 2
.
n
S A A A
(thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp).
Thông thường,
để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1:
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng
∆
: trục đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy.

Bước 2:
Lập mặt phẳng trung trực
( )
α
của một cạnh bên.


Lúc đó: - Tâm O của mặt cầu:
{
}
mp( )

O
α
∆ ∩ =

- Bán kính:
(
)
R OA OS
= =
. Tuỳ vào từng trường hợp.




Lưu ý:

Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy:
là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại
tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.


Tính chất:

:
M MA MB MC
∀ ∈∆ = =

Suy ra:
MA MB MC M
∆
= = ⇔ ∈








α
H
O
I
D
C
B
A
S

∆
H
M
C
B
A

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

15

2. Các bước xác định trục:
- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Bước 2:
Qua H dựng
∆
vuông góc với mặt phẳng đáy.

VD:
Một số trường hợp đặc biệt
a. Tam giác vuông
b. Tam giác đều c. Tam giác bất kì






3.
Lưu ý:
Kỹ năng tam giác đồng dạng


SMO
∆
đồng dạng với
SO SM

SIA
SA SI
∆ ⇒ =







4.
Nhận xét quan trọng
:


MA MB MC
M , S : SM
SA SB SC
= =

∃ ⇒ ∆

= =

lµ trôc ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ABC

II- BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài tập 1:
Cho hình chóp S.ABC với
(

)
SA ABC
⊥
và
2
SA a
=
. Xác định tâm và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC trong các trường hợp sau:
a) Tam giác ABC vuông cân tại B, với
3
BC a
= .
b) Tam giác ABC vuông cân tại A, với
3
AB a
= .
c) Tam giác ABC đều cạnh
3
a
.
d) **Tam giác ABC có
, 2
AB a AC a
= =
và

0
30
BAC

=
Hướng dẫn:
a) Tam giác ABC vuông cân tại B, với
3
BC a
= .
Do
ABC
∆
vuông cân tại B nên trung điểm O
của AC là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
.
+ Qua O dựng
(
)
ABC // SA.
∆ ⊥ ⇒ ∆

+ Gọi K là trung điểm SA, qua K dựng
d SA
⊥

{
}
d I
⇒ ∩∆ =

Ta có:

I : IA IB IC
IA IB IC IS.
I d : IA IS
∈ ∆ = =

⇔ = = =

∈ =


Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Rõ ràng: I là trung điểm AC.
H
A
B
C
∆

∆
C
B
A
H

B
A
C
H
∆

A

M
I
O
S

K
O
I
d
∆
∆∆
∆
a 3
a 3
2a
A
B
C
S

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

16

Ta có:
2 2
2 2
10
4 4 2

SA AC a
R IA IO AO= = + = + =
cÇu
.
b) Tam giác ABC vuông cân tại A, với
3
AB a
= .
Do
ABC
∆
vuông cân tại A nên trung điểm O của AC
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
.
+ Qua O dựng
(
)
ABC // SA.
∆ ⊥ ⇒ ∆

+ Gọi K là trung điểm SA, qua K dựng
d SA
⊥

{
}
d I
⇒ ∩∆ =

Ta có:
I : IA IB IC
IA IB IC IS.
I d : IA IS
∈ ∆ = =

⇔ = = =

∈ =


Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Ta có:
2 2
2 2
10
4 4 2
SA BC a
R IA IO AO= = + = + =
cÇu
.
c) Tam giác ABC đều cạnh
3
a
.
Do
ABC
∆
đều nên trọng tâm G là tâm đường

tròn ngoại tiếp
ABC
∆
.
+ Qua G dựng
(
)
ABC // SA.
∆ ⊥ ⇒ ∆

+ Gọi K là trung điểm SA, qua K dựng
d SA
⊥

{
}
d I
⇒ ∩∆ =

Ta có:
I : IA IB IC
IA IB IC IS.
I d : IA IS
∈ ∆ = =

⇔ = = =

∈ =


Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Ta có:
2
2
2
2 2 2
2 2 3 3
2
4 3 3 2
SA a
R IA IG GA AM a . a
 
 
= = + = + = + =
 
 
 
 
cÇu
.
d) **Tam giác ABC có
, 2
AB a AC a
= =
và

0
30
BAC
=

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
với bán
kính
OA R.
=

+ Qua O dựng
(
)
ABC // SA.
∆ ⊥ ⇒ ∆

+ Gọi K là trung điểm SA, qua K dựng
d SA
⊥

{
}
d I
⇒ ∩∆ =

Ta có:
I : IA IB IC
IA IB IC IS.
I d : IA IS
∈ ∆ = =

⇔ = = =


∈ =


Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Lúc đó:
2
2 2 2
4
SA
R IA OA OI R= = + = +
cÇu
(*)
.
* Ta có:
2 2
2 5 2 3
BC AB AC AB.AC. BAC a= + − = −cos
.
2
1 1
. .sin
2 2
ABC
S AB AC BAC a
∆
= =
.
K
O

S
C
B
A
2a
a 3
∆
∆∆
∆
d
I

M
K
G
S
C
B
A
2a
3a
3a
∆
∆∆
∆
d
I

K
R

O
30
0
a
2a
S
A
B
C
∆
∆∆
∆
2a
I
d

O
A
B
C
30
0

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

17

Mặt khác:
. . . .

5 2 3
4 4
ABC
ABC
AB AC BC AB AC BC
S R a
R S
∆
∆
= ⇔ = = −

Thay vào (*) ta được:
2 2
6 2 3
R IA OA OI a .
= = + = −
cÇu

Bài tập 2:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng
2
a
và cạnh bên bằng
3
a
.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Hướng dẫn:
Gọi G là trọng tâm
ABC

∆
. Do hình chóp
S.ABC là hình chóp tam giác đều nên
(
)
SG ABC
⊥
.
Suy ra: SG là trục đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
.
Gọi K là trung điểm SA, qua K dựng đường
thẳng trung trực của SA, cắt SG tại I.
Ta có:
IA IB IC
IA IB IC IS.
IA IS
= =

⇔ = = =

=


Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
và
R IS
=
cÇu

.

* Xét
KSI
∆
đồng dạng với
GSA
∆
:
Ta có:
.
SI KS SA KS
SI
SA GS GS
= ⇔ =


2 2
.
9 69
2
.
46
SA
SA
a
SA AG
= =
−

Vậy
9 69
46
a
R IS .
= =
cÇu

Hoàn toàn tương tự, các em giải quyết bài tập sau:
Bài tập 2-1:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng
2
a
và cạnh bên hợp với
đáy 1 góc
0
60
. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài tập 2-2:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng
2
a
và mặt bên hợp với
đáy 1 góc
0
60
. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Chúng ta xem xét bài tập sau…
Bài tập 3:
Hình chóp tam giác S.ABC có

SA SB SC a
= = =
và có chiều cao bằng
h
. Xác định
tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu.
Hướng dẫn:
Do
SA SB SC a
= = =
nên S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
, suy ra SO là đường cao và
.
SO h
=

Gọi K là trung điểm SA, qua K dựng đường thẳng
trung trực của SA, cắt SG tại I.
Ta có:
IA IB IC
IA IB IC IS.
IA IS
= =


⇔ = = =

=


Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
và
R IS
=
cÇu
.
G
I
K
M
S
A
B
C
3a
2a

S
A
G
I
K

N
h

M
a
C
B
A
S
K
I
O

h
a
K
S
Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

18

* Xét
KSI
∆
đồng dạng với
OSA
∆
:
Ta có:
2
.
.

2
.
2
SA
SA
SI KS SA KS a
SI
SA OS OS OS h
= ⇔ = = =

Vậy
2
2
a
R IS .
h
= =
cÇu

Ta xem bài tập 3, là dạng tổng quát của các bài toán tương tự và đặc biệt sau:
Bài tập 3-1:
Hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy bằng
2
a
và
3
SA SB SC a
= = =
. Xác
định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu.

Hướng dẫn:
Do
SA SB SC a
= = =
nên S thuộc trục đường tròn
ABC
∆
.
Gọi G là trọng tâm của
ABC
∆
, suy ra SG là đường cao.
Gọi K là trung điểm SA, qua K dựng đường thẳng
trung trực của SA, cắt SG tại I.
Ta có:
IA IB IC
IA IB IC IS.
IA IS
= =

⇔ = = =

=


Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
và
R IS
=
cÇu

.
* Xét
KSI
∆
đồng dạng với
GSA
∆
:
Ta có:
2
2 2 2
2
.
. 3 3 15
2
10
2 2 3
2 3 .
3 2
SA
SA
SI KS SA KS a a
SI
SA GS GS
SA AG
a
a
= ⇔ = = = =
−
 

−
 
 
Vậy
2
3 15 27
4
10 5
a a
R IS S R
π
= = ⇒ = π =
cÇu
2
cÇu cÇu
(đ.v.d.t)
Bài tập 3-2:
Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A với
AB a
=
và
2
SA SB SC a
= = =
. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích
mặt cầu.
Hướng dẫn:
Do
SA SB SC a
= = =

nên S thuộc trục đường tròn
ABC
∆
.
Gọi O là trung điểm BC, suy ra SO là đường cao.
Gọi K là trung điểm SA, qua K dựng đường thẳng
trung trực của SA, cắt SG tại I.
Ta có:
IA IB IC
IA IB IC IS.
IA IS
= =

⇔ = = =

=


Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
và
R IS
=
cÇu
.
* Xét
KSI
∆
đồng dạng với
OSB
∆

:
2a
G
I
K
S
B
C
3a
M

S
A
G
I
K
3a

O
C
A
S
B
K
I

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

19

Ta có:
2
2 2 2
2
.
. 2 2 14
2
.
7
2
4
2
SB
SB
SI KS SB KS a a
SI
SB OS OS
SB OB
a
a
= ⇔ = = = =
−
 
−
 
 

Vậy
2

2 14 32
4
7 7
a a
R IS S R
π
= = ⇒ = π =
cÇu
2
cÇu cÇu
(đ.v.d.t)
Thuật toán 2:

XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.

Cho hình chóp
1 2
.
n
S A A A
(thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp).
Thông thường,
để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1:
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng
∆
: trục đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy.

Bước 2:
Xác định trục d của một mặt bên ( dễ xác định ) của khối chóp.



Lúc đó: - Tâm O của mặt cầu:
{
}
d
O
∆ ∩ =

- Bán kính:
(
)
R OA OS
= =
. Tuỳ vào từng trường hợp.










Bài tập 4:
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh 2a. Gọi H là trung điểm AB

và
3
SH a
= là độ dài đường cao của hình chóp. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp đó.
Hướng dẫn:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Qua O dựng
(
)
// .
ABCD SH
∆ ⊥ ⇒ ∆

Ta có:
(
)
( ) ( )
( )
SH ABCD
OH SAB
SAB ABCD AB

⊥

⇒ ⊥

∩ =



Mặt khác:
SAB
∆
cân có
2
AB a
=
và
3
SH a
= suy ra:
SAB
∆
đều cạnh
2 .
a

Gọi G là tâm
SAB
∆
, qua G dựng
(
)
//
d SAB d OI
⊥ ⇒

Lúc đó:
{

}
d I
∩ ∆ =
.
R
I
∆
∆∆
∆
D
d
S
A
B
C

H
G
O
S
A
B
D
C
d
I
∆
∆∆
∆
R

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

20

Ta có:
IA IB IC ID
IA IB IC ID IS
IA IB IS
= = =

⇔ = = = =

= =

hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD. Bán kính
cÇu
R SI
=
.
Xét
SGI
∆
vuông tại G, ta có:
2
2 2 2 2 2
2 4 21
.3

3 9 3
a
SI SG GI SH IO a a
 
= + = + = + =
 
 
.
Kết luận:
21
3
cÇu
a
R =

Bài tập 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D,
2 ,

AB AD a
= =

2
CD a
=
. Cạnh bên
(
)
SD ABCD
⊥

và
SD a
=
. Gọi E là trung điểm của DC. Xác định tâm và
tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE.
Bài giải:
Vì
AB DE AD a
= = =
và
0
90
DAB
=
nên ABED là hình vuông.
Tam giác BED có
EB ED EC a
= = =
nên vuông tại B,
BE CD
⊥
nên trung điểm M của BC là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC.
+ Qua M dựng
(
)
// .
ABCD SD
∆ ⊥ ⇒ ∆

+ Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh SC, mặt phẳng này cắt
∆
tại I.
Ta có: :
IB IE IC
IB IE IC IS.
IC IS
= =

⇔ = = =

=


Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BEC.
và
R IS
=
cÇu
.
* Kẻ
//
SN DM
cắt MI tại N, ta có SDMN là hình chữ nhật,
với
SD a
=
và
2 2 2
2

2 4
DB DC BC
DM
+
= −


(
)
2
2 2
2 2 2
5
2 4 2
AB AD DC
EC EB a
+ +
+
= − =
.
Ta có:
(
)
2
2 2 2 2
SI SN NI SN NM IM
= + = + −


( )

2
2
5
2
a
a IM
= + −
.
Mặt khác:
2
2 2 2 2
2
a
IC IM MC IM
= + = +
và
R IC SI
= =
.
Suy ra:
( )
2 2 2
2
2 2
5 3 11
2 2 2 2 2
cÇu
a a a a a
a IM IM IM R IC IM+ − = + ⇔ = ⇒ = = + =
.

Bài tập 6:
Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng a. Góc giữa
đường thẳng AD và (ABC) bằng 60
0
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Hướng dẫn:
Tâm I là giao điểm của hai trục đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
và
BCD
∆
.
Cách 1:
Chỉ rõ góc
0
30
IMG
=
.
Do
'
IG IG IM
= ⇒
là đường phân giác của góc AMD.
Cách 2:
Xét hai tam giác GKI và G’KM đồng dạng:
N
M
J

S
A
B
C
D
I
∆
∆∆
∆

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

21


' '
GI GK
G M G K
=

Đáp số:
13
6
a
R IA= =
.

Bài tập 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,
2, 6

AB a BC a
= =
và
độ dài các cạnh bên bằng
5
a
. Gọi giao điểm của AC và BD là H. Tính thể tích khối cầu
ngoại tiếp tứ diện SHAB.
Hướng dẫn:
(
)
2 2 2 2 2
SH ABCD SH SD DH SA AH
DH AH AC BD
⊥ ⇒ = − = −
⇒ = ⇒ =

Suy ra ABCD là hình chữ nhật
Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AB và SH.

Suy ra tâm I của mặt cầu là giao điểm của
trục đường tròn
∆
của
AHB
∆
và đường trung
trực của SH.
Lúc đó:
2 2
2 2
4 4
cÇu
AB SH
R IB IM MB= = + = +


Bài tập 8:
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân
(
)
(
)
,
mp
AB AC a SBC ABC
= = ⊥

và
SA SB a

= =
.
a) Chứng minh: Tam giác SBC vuông.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết
.
SC x
=

Hướng dẫn:
a) Chứng minh: Tam giác SBC vuông:
Theo giả thiết
AB AS AC
= = ⇒
A nằm trên trục đường
tròn ngoại tiếp
SBC
∆
(1)
Gọi O là trung điểm BC.
Ta có:
(
)
(
)
( ) ( )
SBC ABC
SBC ABC BC

⊥



∩ =



và
AO BC
⊥
suy ra
(
)
AO SBC
⊥
(2)
Từ (1), (2) suy ra: AO là trục đường tròn ngoại tiếp
SBC
∆

K'
H'
K
H
G'
I
G
M
D
C
B
A

∆
∆∆
∆
K
M
I
a 5
a 6
a 2
S
H
D
C
B
A

x
K
I
O
a
a
a
a
S
A
B
C

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

22

Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp
SBC
∆
.
Do I là trung điểm BC nên tam giác SBC vuông tại S (đ.p.c.m).
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết
:
SC x
=

Gọi K là trung điểm AB, qua K dựng đường trung trực của AB.
Tâm I của mặt cầu là giao điểm của trục đường tròn
∆
của
SBC
∆
và đường trung trực
của AB.
Lúc đó:
cÇu
R IA
=
.
Xét hai tam giác KAI và OAB đồng dạng:

2 2
2 2 2 2
.
2 3
AI KA AB KA AB a
AI
AB AO AO
AC OC a x
= ⇔ = = =
− −

Kết luận:

2
2 2
3
cÇu
a
R
a x
=
−

Xem xét thêm một số bài tập “có vấn đề” nhỏ nhỏ sau đây:
Bài tập 4-1:
Cho hình chóp S.ABC với SAB là tam giác vuông cân tại S với
2
SA a
=
, đáy là

tam giác đều. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp(ABC). Xác định tâm và bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài tập 4-2:
Cho hình chóp S.ABC với SAB là tam giác đều với
2
SA a
=
, đáy là tam giác
vuông cân tại A. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp(ABC). Xác định tâm và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài tập 4-3:
Cho hình chóp S.ABC với SAB là tam giác đều với
2
SA a
=
, đáy là tam giác
vuông cân tại A. Mặt phẳng (SAB) hợp với mp(ABC) một góc
0
60
. Xác định tâm và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài tập 4-4:
Cho hình chóp S.ABC với SAB là tam giác vuông cân tại S với
2
SA a
=
, đáy là
tam giác đều. Mặt phẳng (SAB) hợp với mp(ABC) một góc
0
60

. Xác định tâm và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài tập 1:
Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau tạo thành tứ diện SABC với
SA= a, SB= b, SC= c. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài tập 2:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông với cạnh huyền
BC a
=
. Các cạnh
bên đều tạo với đáy 1góc
α
. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Bài tập 3:
Cho tứ diện SABC có
2
AB a
=
,
3
AC a
=
,
0
ˆ
60
BAC =

, cạnh SA vuông góc với
(ABC) và
SA a
=
. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài tập 4:
Cho tứ diện SABC có
( )
SA ABC
⊥
và
, ,
SA a AB b AC c
= = =
. Xác định tâm và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
a. Góc BAC vuông b. Góc ABC bằng 60
0
c. Góc ABC bằng 60
0
và b= c.
Bài tập 5:
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng b. Xác
định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Bài tập 6:
Một hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. CMR: Hình chóp đó
có 1 mặt cầu ngoại tiếp. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
Bài tập 7:
Cho tam giác ABC vuông cân tại B với AB= 2a. Từ trung điểm M của AB dựng
đường thẳng vuông góc với mp(ABC) và chọn trên đó điểm S sao cho tam giác SAB đều. Xác

định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.
Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế

23

Bài tập 8:
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân
,
AB AC a
= =

(
)
(
)
SBC ABC
⊥
mp

và
SA SB a
= =
.
a) Chứng minh: Tam giác SBC vuông.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết
.
SC x
=

Bài tập 9:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A và BC= a, các cạnh bên
SA= SB= SC= 2a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Bài tập 10:
Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm
AH. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.
Bài tập 11:
Hình chóp S.ABCD có SA=a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình
thang vuông tại A và B có AB= BC= a và AD= 2a. Gọi E là trung điểm của AD. Xác định tâm
và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.CDE.
Bài tập 12:
(
Khối D- 2003
) Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau có giao tuyến
∆
.
Trên
∆
lấy 2 điểm A, B với AB= a. Trên (P) lấy C và trên (Q) lấy D sao cho AC, BD cùng
vuông góc với
∆
và AC= BD= AB. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bài tập 13:

(Dự bị A-2 2003)
Cho tứ diện ABCD có AB= AC= a, BC= b. Hai mặt phẳng
(BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc
0
90
=

BDC
. Xác định tâm và tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
Bài tập 14:

(Khối B 2010)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có
AB a
=
, góc giữa
hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là 60
0
. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối
lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.

RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC GÓP Ý CỦA QUÍ THẦY CÔ
VÀ CÁC BẠN HỌC SINH!
Xin trân trọng cám ơn!