chuyên đề luyện thi đại học lượng giác

ebooktoan.com

TRAN VAN HAO
(Chu bién)

NGUYEN CAM

NGUYÊN MÔNG HY
TRAN

DUC

HUYEN

CHUYEN

E

DE

“~

NGUYEN SINH NGUYÊN
NGUYEN VU THANH

LŨ YE N
`

`

THI

VÀO ĐẠI HỌC

LƯƠNG GING

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM
aap

TA

SS


enooktoan.com

-

TRẦN VĂN HẠO (Chủ biên)

NGUYEN CAM - NGUYEN MONG HY - TRAN ĐỨC HUYỆN

CAM DUY LE - NGUYEN SINH NGUYEN - NGUYEN VU THANH

CHUYEN DE LUYEN THI VAG BAI HOC

LUONG GIAC

BIEN SOAN THEO CHUONG TRINH TOAN THPT NANG CAO HIEV HANH
(Tái bản lần thứ năm có chỉnh li va bé sung)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM


enooktoan.com

- 32-2009/CXB/113-16/GD

Mã số : PTK23t9 -LKT


ebooktoan.com

Loi noi dau
Bộ sách Chuyên đề luyện thi vào Đại học được biên soạn nhằm mục
đích giúp các em học sinh lớp 12 có thêm tài liệu tham khảo, nim vững
phương pháp giải các dạng bài toán cơ bản, thường gặp trong các kì thi
tuyên sinh vào các trường Đại học và Cao đăng hàng năm.
Nội dung bộ sách bám

sát theo chương trình bộ mơn

Tốn THPT

nâng cao hiện hành và Hướng dẫn ôn tập thi tuyển sinh vào các trường Đại
học và Cao đăng mơn Tốn của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Bộ sách gôm 7
tập, tương ứng với 7 chuyên đề :

1. Đại số
2. Lượng giác

3. Hình học khơng gian
4. Hình học giải tích

5. Giải tích - Đại số tô hợp
6. Khảo sát hảm số .
7. Bất đăng thức
Tập sách "Chuyên

đề luyện thì vào Đại học : Lượng

gồm 2 phân :

giác" này,

.

Phân I : Kiến thức cơ bản — Ví dụ áp dụng : có 6 chương thuộc phần

Lượng giác. Mỗi

chương gồm nhiều đơn vị kiến thức (§), được biên soạn

thông nhât pgôm các mục :
A. Kiến thức cơ bản : Tóm tắt, hệ thơng kiến thức trọng tâm.

B. Ví dụ áp dụng : gồm nhiều ví dụ, có hướng dẫn giải. Mỗi ví dụ là

một dạng bài tập cơ bản, thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào các
trường Đại học và Cao đăng.

Trong mỗi (§) có phần Luyện tập : gồm nhiều bài tập, giúp học sinh
tự rèn luyện kĩ năng giải toán.


ebooktoan.com
Phan II : Hướng dẫn giải —- Câu hỏi trắc nghiệm ôn tập : Phân này
gồm hướng dẫn giải bài tập hoặc cho đáp số của phần luyện tập ở mỗi (§) và
câu hỏi trắc nghiệm ơn tập, có trả lời ; giúp học sinh tự kiểm tra, đánh giá kết
quả giải bài tập của mình.
Cuối sách có phân phụ lục : Trích giới thiệu một số đề thi tuyến sinh

Đại học (2005 — 2008). Đây là phần trích giới thiệu một số đề thi tuyển
sinh Đại học đã ra từ 2005 đến 2008 — mơn

Tốn, có liên quan

đến phan

Lượng giác, có hướng dẫn giải ; giúp học sinh làm quen với các dạng câu
hỏi của để thi tuyến sinh Đại học.
Tập thể tác
Chuyên để luyện
phần giúp các em
quả mĩ mãn trong

giả trân trọng giới thiệu với các em học sinh 12, bộ sách
thi vào Đại học. Chúng tôi tin tưởng bộ sách này, sẽ góp
học sinh 12, nâng cao chất lượng học tập và đạt được kết
kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đăng.
Chủ

biên

PGS, TS. TRAN VAN HAO


enooktoan.com

CAU TRUC DE THI TUYỂN SINH DAI HOC

CAO BANG 2009, MON TOAN

!

II. PHÂN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 DIEM)
Câu I (3 điểm) :
— Khảo sát, vẽ đỗ thi của hàm số.

~ Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của
chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đỗ thị những
tính chất cho trước, tương giao giữa hai đỏ thị (một trong hai để thị
thang) ;...

hàm SỐ :
số. Tiếp
điểm có
là đường

Câu II (2 điểm) :

— Phương trình, bất phương trình ; hệ phương trình đại số ;
— Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác.

Câu III (1 điểm) :
— Tìm giới hạn
— Tìm ngun hàm, tính tích phân

- Ứng dụng của tích phân: tính điện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay.
Câu IV (1 điểm):
Hình học khơng gian (tơng hợp): Quan hệ song Song, quan hệ vng góc của
đường thắng, mặt phẳng. Tính diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay, hình
trụ trịn xoay; tỉnh thể tích khối lăng trụ, khối ,chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ
trịn xoay; tính điện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

Câu V (1 điểm) :

Bài tốn tơng hợp.

II. PHAN RIENG (3 ĐIỂM) :
Thí sinh chỉ được làm một trong 2 phần (phần I hoặc 2)
1. Theo chương trình chuẩn :

Câu VLa (2 điểm) :
Nội dung kiến thức ; Phương pháp toạ độ trong mặt phăng và trong không gian :


enooktoan.com

— Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
— Đường tròn, elip, mặt cầu.

— Viết phương trình mặt phẳng, đường thang.
— Tính góc ; tính khoảng cách từ diém đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của
đường thẳng, mặt phăng và mặt cầu.

Câu VII. a (1 điểm) :

Nội dung kiến thức :
- Số phức
~ Tổ hợp, xác suất, thông kê.
— Bắt đăng thức. Cực trị của biéu thức đại SỐ.
2. Theo chương trình nâng cao :

Câu VI.b (2 điểm) :
Nội dung kiến thức :
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian :

— Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
~ Đường trịn, ba đường cơnic, mặt câu.

— Viết phương trình mặt phẳng, đường thăng.

— Tính góc ; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng

cách giữa hai đường thăng, Vị trí tương đơi của đường thắng, mặt phãng và mặt câu.

Câu VII.b (1 điểm) :
Nội dung kiến thức :

- Số phức
- Để

thị hàm

phân

thức

hin ti dang

y=

liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
— Hệ phương trình mi va légarit.

— Tế hợp, xác suất, thông kê.
- Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.

ax” +bx+c

px +q

và một số yêu

tổ


ebooktoan.com
Phan |.

KIEN THUC CO BAN — Vi DY AP DỤNG
Chương 1.

|

BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIAC
A. KIEN THỨC CƠ BẢN
Học

sinh cần

tand,

cotœ

năm

vững

định nghĩa các giá trị lượng giác

sina, cosa,

và các tính chất cơ bản của chúng như :

¡. Dâu của các giá trị lượng giác
2. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

3. Các hệ thức lượng giác cơ bản

4. Tính chất tuần hồn và chu kì của các hàm số lượng giác

5. Sy biến thiên của các hàm số lượng giác

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
* Cung đối nhau

cos(—x)= cosx

sin(—x})= —sỉn x

tan (—x) = - tanx

cot(—x)=—cotx

* Cung bù nhau

sin(—x}=sinx

_

tan(n—x)=—tanx

cos(n— x) =—cosx
cotÍ£~—x)=—cotx

* Cung hơn kém Hhqw 7£

sin{x + x) =—sinx

cos(x +) =-—cosx

tan(x + 7) = tan x

cotÍx
+ %4) = cot x

* Cung phụ nhau

. l5
sinl —T—x
2

|=cosx

lễ
)
cos} ——x |=sinx
2


enooktoan.com

TL
2

tan( 5x

T

2

]=eotx

co| 5 ~x ]=tanx

,
7
* Cung hơn kém nhau 5

ols]

sin]

X+—

|=cosx,

2

.

cos|

T4
tan| x+ 5 ]= ~eotx,

bea}
x +—
2

|=~—sinx

T1
cot[ x+2 ]= =tanx

Công thức cộng

cos(a + b) =cosacos b + sinasin b, cos(a + b) =cosacos b — sin asin b
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb, sin(a — b) = sỉn acosb
— eosa sin b
tan a + tan b
tan(a+b}=———————,
l— tan atanb

`

ftana-tanb

tan(a—b)= ———

Ì+ tanatanb

Cơng thức nhân đơi
sin2a = 2sinacosa
_
2
- 2
2
_

- 2
cos
2a =cos a—sin’a=2cos' a-l=1-2s8in‘a
? tana

tan 2a =——————

1—tan” a

Hệ quả : Công thức hạ bậc

cos 2 a =2 (1+cos2),

sin? a= lq —cos2a)
2

ˆ
oo
.
a
Cong thu tinh sina, cosa, tana theo t = tans
4

2t

sina = ——,, cosa = ——_.,, fana=

l+t

J+t

|—t

Cơng thức biến đỗi tích thành tông
2cosacosb = cos(a ~ b} + cos(a + b)
2sinasinb = cos(a - b)— cos(a + b)
2sinacos
b = sỉn (a — b)+ sin (a + b)
Công thức biến đỗi tổng thành tích
a+

œ—

cosa +cosp = 2eos “=F cos2—P

5


enooktoan.com

`, Œ+B., acosa —cosf = —2sin
P sin
B
2
2
.

.

~ at

sin œ + sin B = 2sin

œ—

P cọc

2

2

PB

.
.
a+B
. asina. -sinB = 2cos 27 P gin 2B
2
2
sin (a +

sin(a —

tanơ — tang = ŠIP(œ =B)

tano: + tanp = St(@+B)

cos œ cos

cos œcos

Công thức rút gọn asinx + bcosx, acosx + bsinx
¬

b

* Giả
sử a > 0. Đặt tan

=—

.„.

với

a

ec

m

“535

oT

,

. Tacd:

asinx

+ beosx = Va’ +b’ sin(x +9)

x + bsinx = Va? +b” cos(x—@)
acos
* Đặc biệt :
snx+eosx

= v2 sin| x+

.
sin x ~cosx=

.
¥25in

T Ì= V5 em

7
X- 7

,

x~)

.
.COSX —SINX =

¥2C0S

1

ket

B. VÍ DỤ ÁP DỤNG

§ 1. CHỨNG MINH ĐÀNG THỨC LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG PHÁP
Muốn chứng minh một đẳng thức lượng giác, ta dùng công thức lượng giác

để biến đôi biêu thức lượng giác ở một về thành biểu thức lượng giác ở về
kia.

Đề ý răng một biểu thức lượng giác có thể được biến đổi thành nhiều dạng
khác nhau. Chăng hạn ta có :

* sinˆ2x =l—cos” 2x (Hệ thức lượng giác cơ bản)
= (1 -cos2x){t + cos 2x)


enooktoan.com

* sin? 2x = il —cos4x} (công thức hạ bậc)
* sinˆ2x =4sin? xcos” x (Công thức nhân đôi)

Tuỳ theo mỗi bài tốn, ta chọn cơng thức thích hợp đề biến đối.
Il.

VÍ DỤ ÁP DỤNG
Vi du I: Ching minh các cơng thức sau (công thức nhân ba) :
1) cos3a = 4cos”a
— 3cosa ;

3) tan3a

2) sin3a =3sina—4sin’a;

_ tan a(3~ tan? a)
=
I—3tanˆa

Hướng dẫn giải

1) cos3a = cos(2a + a) = cos2acosa — sin 2a sin a
=(2cos?a ~l}cosa — 2cosa(1 —€co0s” a) =ÁcosÌa —3cosa.
2) Chứng minh tương tự.

= tan(2a +a) =
3) tan3a

t an 2a ++ tana
1 —tan
2a tan a

2tana

_]I-inla CA
ˆ ¡—__2fan a-

3tana-tana
— l-3tana

tana(3-tan°a)

I1-3tana

I—tan2a

Vi du 2: Chimg minh:
1) cotx
+ tanx =

3) cot x —cot2x

2) cotx —tanx
= 2cot2x;

sin 2x `
=—

sin 2x

.

Hướng
dân giải
1) cotx
+ tanx

:
3
2
cosx
SMX

cos X+Sin^x
=—
+
=
SINX
COSX
sin X COSX

2) Chứng mình tương tự.
3) cot x — cos tan 2x =

COSX
sinx

_

CoS2X
sin2x

=

|
2
=—
=
siInxcosx
sin2x

2
2COS X—COS2X

sin 2x

_1l+cos2x—cos2x

|

sin 2x

sin 2x


enooktoan.com

Vi dy 3: Chimg minh :
1

1) sin’ x+cos°x=-Lcos4x+

4

.

3;

3

2) SỈNẾ X +eoS x =2 cos4x +;

4

Đ

8

3) sinđ x + cosđx = + cos8x +—-cos 4x +2>.
64
16
64
Hướng
dẫn giải
w
4.
. 2
2Ý
I) sin’ x + cos x =(sin xX + COS x)

=1~ Lgin

2x =] ~

2

.

á

6

—2s51n*

.

2) sinéx+cos®x =(sin? x +cos?x)

4

2

XCos”

2

x

cos 4x) = bcos 4x +3

4

4

.

4

:

—3sin? xcos? x(sin? x + cos? x)

=l—3sin? xeos” 2 x =1—-3 sin’ 2x =1—-2(1—cos4x) = >cos 4x 42
4

8

3) sin? x +cos® x = (sin* x +cos*x)
_ 2

=(1—2sin?

2

xcos’x)

8

8

—2sin‘* xcos* x
‹

_ 4

—2sin‘

xcos

4

x

=}—4sin* xcos* x + 2sin’ xcos* x

=l—sin? 2x + Lsin^ 2x =[_ 1

8

= ..
2
2

=

64

HU
32

€os4x In]

2

3

2

gL

— 2cos4x "=>

cossx +p cos4x +22
-_ lế

64

Ví dụ 4 : Chứng minh :

1) sin(a + b)sin(a — b) = cos” b— cos” a ;
2) cos(a + b)cos(a — b) =cos? a + cos? b— l.
Hướng dẫn giải

1) sin(a + b)sin (a — b)= 5 (eos 2b—-cos2a)
l

4

= 5 (2008" b-l-2cos

_
"

1

5

a+ 1) = cos” b - cos”a

II


enooktoan.com

2) cosa + b)eos(a — b) = 5 (£08 2a + cos 2b)

|
2
3
= 5 (2cos? a ~1+2cos”b ~ 1) =cos’a+cos’ b-|
Vĩ dụ$ : Chứng minh:
1) cos3xsin

3

.
3
3.
x +sin3xcos x = 7sin 4x ;

2) cos3xcos’ x +sin3xsin? x =cos? 2x.

Hướng dẫn giải
1) Ta có : 4cos” x =cos3x +3cos x,
4sin” x = 3sin x — sin3x,

Do đó, ta tính 4 lần về trái (VT)

4(VT) = cos3x (3sin x ~ sin 3x) + sín 3x(eos3x + 3cos x)

= 3(cos3xsin x + sin3xcosx) =3sin 4x
Suy ra công thức phải chứng minh.

2) 4(VT) =cos3x(cos3x + 3cosx) + sin 3x (3sin x — sin 3x)
=cos” 3 3x —sinˆ 2 3x + 3(ecos3xeos
X + sin: 3x sin. x}

= cos6x + 3cos2x

= 4cos? 2x (Do cos6x =4cos” 2x - 3cos 2x)

Suy ra công thức phải chimg minh.
Vĩ dụ 6 : Chứng minh :
ft
.
[7U
.
.
Ì) sinxsin| Z.~x Ìsin[ “+
3
3

4

2) cosxcos| Z- xÌkos[+

x ]= Leos

3

1.

3

3) tanxtan( 5 —x |an

.

;

4

+ x ]= tan3x

Hướng dẫn giải
.
, |T
I) sinxsin{ ©
=.
|.

=—sin

2

12

xcos2x

. [T1
1.
Ìsin[ + x Ì=sh
3
2
.

1l...

x( sos2x —eos
.

+-Lsin x — —(sin3x —sin x)+

4

4

.

gìn x

4

21
3

|
.

| gin3x


enooktoan.com

bì
—-x
3

2) cosxcos|
l

1
—+ x
3

|cos}
]

= — cos
x cos2x ~—cosx

2

4

|
|=—cosx|
2

27
cos 2x + cos—
3

l

l

l

=—(cos3x + cosx}——cosx

4

=—cos3x.

4

4

3) Từ kết qua bai | va bài 2, suy ra kết qua bai 3.
Sau đây là cách giải trực tiếp bài 3.
[;

tan
x tan | ——x

3

|ftan|

l

—+x | = tan x-

3

V43—-tanx
1+ J3 tanx

.

x/3+tanx
1— V3 tanx

_ tanx(3-tan? x) _
—

tan?
3tan“ x

tan 3x

Ví dụ 7: Chứng minh :

l) sin 5x — 2sinx {cos 4x + cos2x) = sinx ;
3X
3x
_. 7x, xX
2) cos —cps— + sin—sin— =cosxcos2x.
2
2
2
2

Hướng dẫn giải
I) VT = sin 5x — 2sm xcos 4x — 2 sin xeos 2x
=sinSx— (sin 5x —sin 3x) - (sin 3x - sin x} = sin x

2) cos-* cos 3% 4 sin * sin
=-Ì(€os4x +cos x)+-L(eos3x —cos4x)
2
2
2
2
2
2
]

= 2 (eos3x + cosx) =cos2xcosx.
Vi du 8 : Chứng minh
.

-

rằng :
:

. atb..

1) sina+sinb+sinc —sin(a+b+c)= 4sin
2) cosa + cosb + cosc + cos(a +b+c}=

4cos

bie.

cta

sin——sin—_

a+b

cos

b+c

2

cos

5

c+a

2

Hướng dẫn giải
Các bài toán nảy thuộc dạng biến đơi tổng số thành tích số.
1)sỉna + sinb + sine — sin (a + b + c) =(sína + sin b}+ [sine — sin (a + b + €)]
.

= 2s!'n

a+b

cos

a—b

a+b+2c
_ a+b
— 2?cos————Si

13


enooktoan.com

= 2sIn

25

cos -

a-b
2

—=

—C€OS——
2

. a+b.
atc.
—b-c
= —4sin
sin
sin

2
2
2

. a+b_.
b+e.,
c+a
— Asin
sin
sin
2
2
2

2) cosa + cosb + cosc + cos(a + b+c)
=2cos

a+b

a+b

= 2cos

cos

a—b

a—b

cos

a+b+2c
+2€0§—————cos

a+b
2

a+b+2c
a+b
b+c
.c+a
+ COS —————_ | = 4cos
cos
5 cos
2

Vĩ dụ /9 : Cho a # k2r, k e Z. Chứng minh rằng :
. na.

1) sina + sin 2a + sin 3a +... + sin na =

(n+l)a

sỉn——sin
——
.

a

sin —

2
. na

sin — cos

2} cosa +cos2a
+ coS 3a +... + c0s na =

(n+l)a

>

a
sin —
2

Hướng dẫn giải
Đặt: Š = sin a + sin 2a + sin 3a +... + sinnia. Ta có :
[2sin2 |s

2

= sin

sina + 2sin Ê sin 2a+ at 2sin

2

2

2

sin na =

[
a
22) [
3a
a)
Sa
72
=| cos— —cos—
|+] cos— —cos—
}+| cos—~cos—
2

2

2°

-eo[a=1à-s(a«1)
a

(

= COS—
— C€OS| n+—
2
2

.

na

|

na.

la =2sin——sin
2

2

(n+l)a

(n+l)a

sin —— cos ——__

Suy ra: S=——^—————“——.
. a
sin 514

.

2

,

2

|+...


ebooktoan.com

2) Đặt: t=cosa + cos2a + cos3a +... + cosna. Ta có:
[2sinŠ ]T =2sin5 eosa + 2sin 2 eos2a +... + 2sin5 cosna =
2
2
2
2

=|

3a

3

2

2

sin
— —sin—

[

sa,

a)

|+| sin—
— sin —
2

[xm(s+2)s-sm[n~ 2 Ìà

... +| sin|

; (

=sin|

ñ+—

]

a

2

2

n-—

n+— |a -sin—
= 2cos

na

Suy ra: T=

Ja—sin|

2

Sin~~€OS-

2

(

Ja,

‘a

|+| sin — — sin—

2

2

2

|+...

la

(n+l)a

si

. na

(n+l)a

5
sin—

2

2

LUYEN TAP
1.1

Chứng minh :

1) cos(x +n) =(-1)" cosx (ne N);
2) sin(x tnx) =(-1)" sinx (ne N).
1.2

Chứng minh :

1) cos? (a — b)— cos” (a + b) = sin 2sin 2b ;
2) cos? (a —b) -sin? (a + b) = cos 2acos 2b.
1.3

Chứng minh :

1L) sin” x(I+ cotx)+ cos” x(I+ tan x}= sỈn x + coS x ;

2) sin3x — 2sin” 3x + cos2xsin x = cos 5xsin 4x ;
3) sin”x +cosf [x ra] =2- Y? sin{ 2x +]
1.4

Chứng minh :

4)

4

2

4

1) cos4a = 8cos‘ a —8cosˆa + Ï ;

2) cos” xcos3x —sin? xsin 3x = .eo 4x+ 1.5

.

cà

Chimg minh:

tanx + tan x

Tt

tT

rã] + tan| x =

= 3tan 3x.
15


ebooktoan.com

sin(a+ b+c)

1.6

Chứng minh : tana + tan b + tanc = tan
a lan bfan€ +——————————.
€os acos beosc

1.7

Chứng minh :
2
2
1-cos°a—cosˆ b— cosˆ°c + 2cosacosbcose
.

= 4sm

18

a+tb+c..

2

sin

a+b-c..

b+c-a.,

2

2

sin

sin

ce+a-b

2

Cho a z k21, k e Z. Chứng minh
na.

l) I+cosa
+ cos2a +... + c0s na =

(n+l)a

€OS——SỈỉn — - : -=

w
sin—

2

2) sinx +sin(x +a)+sin(x +2a)+...+sin(x+na)
. |

sin|
,

X+---

2

|

. (n+l)a
- -- —2

|SI1

_ a:
sin ~
2

>

3) cosx +cos(x +a)+cos(x +2a)+...+cos(x+ na)
|
= . (n+l)a
cos| x +
sin —-———
2

sin 2

2

§ 2. RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIÊU THỨC
LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG PHÁP
* Muốn rút gọn một biếu thức lượng giác,
ta dùng các công thức lượng giác

để biến đổi biểu thức đã cho.

* Muốn tính giá trị của một biểu thức lượng giác, nói chung ta tìm cách rút

gọn biếu thức này. Ngoài việc sử dụng các công thức lượng giác, nên xét
xem biểu thức đã cho có dạng gì đặc biệt, từ đó có thể chọn cách giải
thích hợp.
l6


enooktoan.com

II.

VÍ DỤ ÁP DỤNG
Vĩ dụ 1 : Rút gọn các biểu thức sau :
I) A= sin{ 2s + © Joos x +2 |-cosl = ~ x Jeos! 2x + z| :
3
3
3
3
2

2) B=cosx + eos{ x+22) + cos| x

|

Hướng dẫn giải
1) Nhận xét :

[EBs
X-~—
6

Do đó :

|+| —-x |= — => cos]
3
2

ocala)

——x
3

|=sin|

x-—
6

`

A= sin| 2x +™ Jeos{ x-™}- cos{ 2x +2) sin{ x2)
3
6
3
6

n([2x+3)-{*-5)|=#m|+3)
(>+3)(<-j)|=st(+3

=sin|

| 2x+—

|-|

x-—

||=sin|

x+—

|=c0SXx.

2) B =cosx +|c03( x+ 2)» eos{ x~28)|
= cosx + 2cosxcos
Ghi cha

+ Goi

X,X+ `
đều, do đó:

X

M,
=o

=cosx —cosx =0 (Do cos F<

N, P lan

lượt là điểm

ngọn

của các cung

trên đường tròn lượng giác. Thế thì MNP

OM +ON +OP

1),
có số đo

là một tam giác

=0.

Chiếu đăng thức vectơ này trên trục cosin và trục sm, ta được :
cos
X + cos|
.
sinx +sin

x +— |+ cos| x -—
3
3
xt

2T

.
+ sin

xe

21

|=0

=0

Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức :
A =sin? x+shn'[x=5

LUGNG GIAC - 2

Ì—sinxsin| x5

17


ebooktoan.com

Hướng dẫn giải
Cách ! :
_

Á =sinˆ

_

[

x+sin|

4

3Ề

X—— || sm|
3

.

Te

= sin® x + 2sin( x —

(

3

x——

3

Jeos| x

3

.

|

|—sSinx

rr.

Tt

6

6

jsin{ —=

ix sin x5 Jos| x —F
5 sin 2x—F)+sin(
4

=Sih

xX—siIn]

_

4

.

+

=sin’

X

]

——

`

x ——| sin}

=sin" x +

2

cos2x

3

|COS|

3

2x —-—

ul

X

-——

6

`

|+sin|

"

4

|

l

*)

-—

7

"

=SIn“ x rare —2sin? x)+—

l

3

=—.

4

Cúch
2-

= 3
4

—€OS2xX

+ Ỉ ~cos{ 2x -28\ + cos{ 2x2 |-cos%
3
3
3

gỊ 952% +cos{ 2x — =) _ cos{ 28 -]|
2

3

= 3 -4)
4
2?

0s

2x -2sin( 2x-=}sin
2

= 3-3} cos2x-sin(2x-2)]

4

3

a

A“gi!
2

2

2

(*)

-)|
6

-3 _

4

2

(os2x

~cos2x)=3

4

Ghi chu (*):
Taco: cos{ 2x — B

= -eod|2x + =|

4

2

c3

reos{ 24422

Suy ra: A= 2-1) cosdx + cos{ 2-2)

4

3

3

Vĩ dụ 3 : Tính giá trị của các biểu thức sau :

l) A=

-

sin

L0°

— 4sin 70” ;

2) B=

Le

sint0°

v3

cosl0"

.


enooktoan.com

Hướng dẫn giải
]

1) A=——~

.

-4sin 70°

sinl0

=—

sin L0?

— 4c0s 20°

_1-4sin 10° cos]0° _1—2(sin30°-sin10°) _ 2sin10° =3
sin 10°

sinl0°

yy pet
sinl0°

V3

cosl0° -43sin10°

cosl0°

sinlO° cost 0°

sin I0°

Nhận xéi :

Ta có ; cos10° ~ V3 sin L0® = 2eos(10® +60°})= 2eos 709
Suy ra:

g- 4cos 70
sin 20°

ọ

_ 4sin' 20

0

=4,

sin 20°

Vi du 4 : Chúng minh các đăng thức :
1) sinxe€osxecos2xcos4x = = sin Bx :

2) sinxcosxc0s2xcos 4xcosÑx = na sin 16x

Ap dụng : Tính giá trị các biểu thức sau :
l A= cos “cos

2

eos st ;

.

.

ga

2) B=sin6° sin 42° sin 66° sin 78°.

Hướng dẫn giải
Ap dụng công thức sinacosa = san 2a, ta được điều phải chứng minh.
Áp dụng :

4m
lI) A= cos Tcog ^T cọs 5
7
7
7
Suy ra:

Vay:
dy

on
¬‹
T7
2T
4x
1Ì. 8n
|.
sin—.A = sin —cos—cos—cos— = —sIn—— =——sin—
7
7
7
7
7
8
7
8
7
]

A=--.8

2) B=sin6” sin 42° sin 66” sin 78° = sin 6° cos12° cos24” cos48°
19