Sổ tay luyện thi toán học tại nhà

Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.

 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


*
*


1. Công thức cộng

2. Công thức nhân đôi.





3. Công thức hạ bậc:



4. Công thức nhân ba

– .

5. Công thức tính theo t=tan



6 .Công thức tích thành tổng

7 .Công thức tổng thành tích
. “học là (c+c=2cc)”
. “học là (c-c=-2ss)”
. “học là (s+s=2sc)”
. “học là (s-s=2cs)”
. “học là (t t=s trên cc)”
 Cơ bản nhất: *
* *

* .
 Đặc biệt:
*
*
*
*
* , *
1. Phƣơng trình đặc biệt:

2. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản:

3. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx. (3), Cách giải: Chia 2 vế cho ta có: (3)
Gọi là góc thỏa:
 PT có nghiệm x
4. Phƣơng trình đẳng cấp theo sinx và cosx : * Đẳng cấp bậc 2: Cách giải: i. Xét
trƣờng hợp . ii. Xét trƣờng hợp , chia 2 vế cho ta đƣợc pt bậc 2 theo tanx:
, ta đƣợc pt bậc 2 theo .Kết luận nghiệm: gộp 2 trƣờng hợp.
* Đẳng cấp bậc 3: . Cách giải: i. Xét trƣờng

hợp cosx=0. ii. Xét trƣờng hợp cosx≠0, chia 2 vế cho ta đƣợc p/trình bậc 3 theo tanx:
,.ta đƣợc pt bậc 3 theo Kết luận nghiệm: gộp 2 trƣờng hợp.
5. Phƣơng trình đối xứng theo sinx và cosx
Cách giải: Đặt , điều kiện , lúc đó . Thay vào ta
đƣợc pt bậc hai theo t : , nhớ kiểm tra điều kiện t.
6. Phƣơng trình dạng: nếu pt thay x bởi 2x ta đặt .









*
* .
*
CÔNG THỨC VÀ CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.

 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


 ĐƠN ĐIỆU 
Hàm số đồng biến trên tập . Dấu “=” không đƣợc đồng nhất .
Hàm số nghịch biến trên tập . Dấu “=” không đƣợc đồng nhất .
Nếu thì hàm số đồng biến trên R hàm số nghịch biến trên
Nếu thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định , hàm số đồng biến trên tập

hàm số nghịch biến trên tập . Ex: Tìm m để các hàm số: a) luôn nghịch biến
trên , b) nghịch biến trên khoảng ĐS:a) b) Ex: Tìm
m để hàm số: nghịch biến trên ĐS: .
 CỰC TRỊ 
 Hàm số đạt cực tiểu tại  Hàm số đạt cực đại tại
1) Cực trị hàm số bậc ba: Đạo hàm: (1)
2) Hàm số có cực trị có nghiệm và đổi dấu (nếu thì
3) Hàm số có 2 cực trị Hàm số có cđ, ct Hàm số có cực (nếu trị ) có 2 phân biệt
4) Để tính giá trị cực trị của hàm số ta có 2 cách: Giả sử , lúc đó Suy ra các giá trị cực trị của hàm số:
Nếu nghiệm của không đƣợc đẹp ( ) thì ta tính theo các bƣớc sau:
+ Bƣớc 1: Thực hiện phép chia cho ta có : (hay chia cho ta có: )
Thực ra, có công thức khó nhớ :
+ Bƣớc 2: Do nên . Từ đây đƣờng thẳng đi qua CĐ, CT có phƣơng trình : .
5) Tìm m để hàm số có 2 cực trị đối xứng nhau qua đƣờng thẳng (D): bƣớc 1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua 2 cực trị .
bƣớc 2: cho đƣờng thẳng vuông góc với (D), suy ra m. bƣớc 3: với m vừa tìm đƣợc ta kiểm tra xem trung điểm của 2 cực trị có
thuộc vào đƣờng thẳng (D) không là xong. Ex 13: Tìm m để hs có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại cực
tiểu đối xứng nhau qua đƣờng thẳng (D): ĐS:
6) Hàm số có 2 cực trị trái dấu (2 hoành độ cực trị trái dấu ) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về 2 phía trục
tung có 2 nghiệm trái dấu . (xem (1)). Ex 15:
2 +4.
Tìm m để hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về 2 phía trục tung
(1< <2)
.
7) Hàm số có 2 cực trị cùng dấu (2 hoành độ cực trị cùng dấu ) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về 1 phía trục
tung phƣơng trình có 2 nghiệm cùng dấu .
8) Hàm số có 2 cực trị dƣơng (đạt cực trị tại 2 điểm có hoành độ dƣơng) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về
bên phải trục tung phƣơng trình có 2 nghiệm dƣơng .
9) Hàm số có 2 cực trị âm (đạt cực trị tại 2 điểm có hoành độ âm) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về bên trái
trục tung phƣơng trình có 2 nghiệm âm .
10) Hàm số có 2 giá cực trị trái dấu Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về 2 phía trục hoành Hàm số có 2 cực

trị và có 3 nghiệm phân biệt. Ex 16: Cho hàm số Tìm m
để có cực đại, cực tiểu và giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số trái dấu. ĐS:
Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.

 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


11) Hs có 2 giá trị cực trị cùng dấu Hs có 2 điểm cđ, ct A và B nằm về 1 phía trục Ox Hs có 2 c/trị và
12) Hsố có 2 giá trị cực trị dƣơng Hsố có 2 điểm cđ, ct nằm phía trên Ox pt có 2 và .
13) Hsố có 2 giá trị cực trị âm Hsố có 2 điểm cđ, ct nằm phía dƣới Ox pt có 2 và
14) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B cách đều trục tung có 2 nghiệm phân biệt và

15) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B cách đều trục hoành có 2 nghiệm phân biệt và
(sử dụng định lý Viet)
16) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B cách đều đƣờng thẳng (D): có 2 nghiệm
phân biệt và
Lƣu ý nếu
17) Tam giác ABC vuông tại A .
18) đối xứng qua đƣờng phân giác góc
 Cực trị hàm số bậc bốn: Đạo hàm: .
19) , suy ra hàm số luôn có cực trị .
20) Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu 3 lần có 2 nghiệm phân biệt khác 0
( nếu thì hàm số có 2 cực tiểu 1 cực đại, nếu thì hàm số có 1 cực tiểu, 2 cực đại)
21) Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại (a>0) .
22) Hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu (a<0) .
23) Nếu hàm số có 3 cực trị thì 3 hoành độ cực trị là : . Từ đó tính đƣợc tung độ cực trị .
Lúc đó có 3 điểm cực trị là A, B, C tạo thành tam giác cân tại đỉnh
24) Hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông (vuông cân ) có 3 nghiệm phân biệt và ABC là tam giác vuông tại
có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và .

25) Hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều có 3 nghiệm phân biệt và ABC là tam giác đều có 2 nghiệm
phân biệt khác 0 và (vì luôn cân tại ) .
26) Lƣu ý nếu hàm số có 3 cực trị thì : (với I là giao điểm của AC với y’Oy).
Cực trị hàm số : (nâng cao) Đạo hàm: .
27) Hàm số có cực trị có 2 phân biệt có 2 phân biệt khác –
28) Tung độ cực trị : Đƣờng thẳng đi qua CĐ, CT có pt : .
Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.

 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


 TIẾP TUYẾN  Cho hàm số .
1) Tiếp tuyến tại có phƣơng trình: (với ).
2) Để viết phƣơng trình tiếp tuyến đi qua ta xét đƣờng thẳng (d) đi qua M có hệ số góc k có phƣơng trình:
. Điều kiện để (d) tiếp xúc với (C) là hệ : có nghiệm . Nghiệm của hệ là hoành
độ tiếp điểm. Thay (2) vào (1) ta giải đƣợc rồi thay x vào (2) ta đƣợc k , từ đó viết đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến .
3) Để viết tiếp tuyến biết hệ số góc , ta giải pt: rồi viết phƣơng trình các tiếp tuyến tại mỗi .
Đối với hàm bậc 3 và hàm bậc nhất trên bậc nhất thì số nghiệm của hệ chính là số tiếp tuyến của (C). Ex 1: Cho
a) Viết phƣơng trình tiếp tuyến qua Tìm trên đƣờng thẳng các điểm kẻ đƣợc đến (C) 3 tiếp tuyến. c) Tìm
trên đƣờng thẳng các điểm kẻ đƣợc đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. HD:Xét đƣờng thẳng đi qua A có hệ số góc k
có phƣơng trình: (d) tiếp xúc với (C) có nghiệm x.
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có 3 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán c)
4) Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng hoặc

5) Tiếp tuyến tạo với 2 tiệm cận: đứng và ngang một tam giác vuông cân tiếp tuyến có hệ số góc
6) Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc (tạo với trục tung một góc tiếp tuyến có hệ số góc
7) Tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng một góc tiếp tuyến có dạng với hệ số góc thỏa mãn công
thức cosin giữa 2 đƣờng thẳng:

8) Tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng tiếp tuyến có hệ số góc
9) Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng tiếp tuyến có hệ số góc
10) Tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho: tiếp tuyến có hệ số góc .
11) Đối với (H), tiếp tuyến của (H) tại có dạng: . Lúc đó cắt tiệm cận
đứng tại cắt tiệm cận ngang tại Lúc đó ta có: * M là trung điểm của AB. * Diện tích tam giác IAB không đổi hay
IA.IB không đổi (với I là giao điểm 2 tiệm cận). * Tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận không đổi. suy ra Điều kiện để chu
vi nhỏ nhất, bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp IAB nhỏ nhất, khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất, Ex : Cho hàm số :
. Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M tạo với 2 tiệm cận của đồ thị (C) một tam giác có bán kính đƣờng tròn
ngoại tiếp bằng . HD: Gọi . Ptrình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là: .
Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận, A và B lần lƣợt là giao điểm của tiếp tuyến với các đƣờng tiệm cận của (C), khi đó:
. Vì tam giác IAB là tam giác vuông tại I nên
. ĐS:
. Ex: Cho (C): gọi I là giao điểm 2 tiệm cận viết phƣơng trình tiếp tuyến tạo với 2 tiệm cận 1 tam
giác có chu vi nhỏ nhất hoặc viết phƣơng trình tiếp tuyến sao cho khoảng cách từ I đến ∆ là lớn nhất: Giải: Gọi tiếp điểm là điểm
M, lập luận nhƣ trên ta có: Chu vi:
Phƣơng trình 2 tiếp tuyến.

Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.

 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


TƢƠNG GIAO Cho 2 hàm số và . Lúc đó số nghiệm của phƣơng trình chính là
số giao điểm của và
1) Cho hàm số và đƣờng thẳng đi qua lúc đó phƣơng trình
, ( đang tìm) và phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) nếu bậc 3 thì 99% có nghiệm . Từ đó nhờ
Hoocner ta đƣa phƣơng trình hoành độ giao điểm về dạng:
2) Lúc đó cắt (C) tại 3 điểm phân biệt pthđ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác
3) Lúc đó tọa độ giao điểm của (C) và là:

4) Đối với hàm phân thức có tập xác định hay nhận làm tiệm cận đứng.
Giả sử đƣờng thẳng (d): . Lúc đó phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: hoặc
(Nếu không là nghiệm pt này thì chỉ cần viết )
+ Từ đó số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm của phƣơng trình (*) thỏa
+ Từ đó (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác
+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C) có 2 nghiệm phân biệt thỏa:
+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C) có 2 nghiệm phân biệt thỏa:
+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh bên phải của (C) có 2 phân biệt thỏa:
+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh bên trái của (C) có 2 phân biệt thỏa:
+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thỏa có 2 nghiệm phân biệt thỏa:
5) Đặc biệt đối với hàm số bậc ba: ngoài việc đoán nghiệm ra, chúng ta có thể dùng tính chất cực
trị để tìm số giao điểm của (C) với trục hoành hoặc với đƣờng thẳng
(C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có cực đại, cực tiểu và 2 giá trị cực trị trái dấu có 2 nghiệm phân biệt
và
6) Tìm điều kiện để (C): cắt Ox tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB=BC
có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng:
+ Điều kiện cần: Giả sử khi đó:
2
−
3, ∀ ⇔ 3+ 2+ + = 3
−
1+ 2+ 3 2+ 1 2+ 2 3+ 3 1
−
1 2 3 , ∀
. Đồng nhất hệ số bậc 2 ở 2 vế suy ra:
(có thể lập luận nhanh hơn nhƣ sau theo định lý Viet phƣơng
trình bậc 3 ta có: ). Thay vào pt:
+ Điều kiện đủ: Thử giá trị của tham số kiểm tra phƣơng trình có 3 nghiệm phân biệt là đƣợc.
7) Đối với cấp số nhân thì làm tƣơng tự: đồng nhất ở hệ số tự do ta có: ,
Ex:Tìm m để cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.ĐS:m=1.

Ex:Tìm m để cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân.ĐS:m=2.
Ex 15: Tìm điều kiện để (C): cắt Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho
có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
Giải: Xét phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành: . Đặt .
Phƣơng trình (1) trở thành: . (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có 4 nghiệm phân
biệt có 2 nghiệm dƣơng phân biệt Lúc đó gọi 2 nghiệm là: , suy ra 4 nghiệm của phƣơng trình
(1) theo thứ tự là: . Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng
Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.

 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


Tóm lại, yêu cầu bài toán:

Ex 1: Cho (C). CMR mọi đƣờng thẳng qua với hệ số góc đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B,
I sao cho I là trung điểm của AB. Giải: Đƣờng thẳng d qua với hệ số góc có dạng:
Ptrình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
Ta có nên phƣơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
khác 1, tức là phƣơng trình (1) luôn có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm Nghĩa là khi thì d và (C) cắt nhau
tại 3 điểm phân biệt A, B, I, trong đó hoành độ của A, B là 2 nghiệm phân biệt của phƣơng trình (2).
Theo định lý Viet ta có . Mặt khác A, B, I thẳng hàng (đều thuộc d) nên I là trung điểm của AB.
Cho Tìm m để đƣờng thẳng cắt (C) tại 2 phân biệt A, B sao cho AB nhỏ nhất.
Giải: Pthđgđ của (C) và (d): (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B
có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Do đó
(d) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B Gọi 2 nghiệm của pt (2) là , Theo Viet ta có
Suy ra tọa độ 2 giao điểm là

 ĐỐI XỨNG  Cho hàm số và điểm , hoặc đƣờng thẳng
1) Trên tồn tại 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm I hệ sau có nghiệm x : phƣơng

trình có nghiệm . Lúc đó nghiệm của hệ là tọa độ cặp điểm đối xứng nhau qua I.
2) Tìm trên 2 điểm A, B đối xứng nhau qua đƣờng thẳng Suy ra phƣơng trình AB . Lập phƣơng trình hoành
độ giao điểm của AB với (C). Buộc điều kiện phƣơng trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt. Gọi 2 nghiệm phân biệt đó
là trung điểm I của AB có toạ độ . dùng Viet .
Lúc đó A, B đối xứng nhau qua . Thay vào pthđgđ suy ra x, suy ra A, B.
Ex: Cho hàm số . Tìm các cặp điểm trên đồ thị (C) đối xứng qua gốc tọa độ O. ĐS .
Ex: Cho . Tìm cặp điểm trên đồ thị (C) đối xứng nhau qua đt (D) ĐS : .
Ex: Cho . Tìm m để trên đồ thị (C) có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc O. ĐS:
 KHOẢNG CÁCH khi Khoảng cách từ M đến :
Nếu thì gọi 2 điểm thuộc 2 nhánh: , với
3) Ex: Cho hàm số , gọi I là giao điểm 2 tiệm cận, a) tìm sao cho có diện tích nhỏ nhất.
4) Ex: Cho hàm số . a) Tìm trên đồ thị hàm số tất cả các điểm có tổng khoảng cách đến hai đƣờng tiệm cận
nhỏ nhất. b) Tìm 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB nhỏ nhất. ĐS: a)
Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.

 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài toán : Cho (C)
Dạng 1: Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị . Ta có
Cách vẽ :
 Giữ nguyên phần (C) nằm trên Ox
 Bỏ phần (C) nằm dƣới Ox
 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dƣới Ox ta sẽ có
Lƣu ý : là hàm số không âm nên luôn nằm phía trên Ox

Dạng 2: Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị . Ta có là đồ thị hàm chẵn nên nhận trục tung làm trục đối
xứng. Khi thì )

Cách vẽ : + Giữ nguyên phần (C) nằm bên phải Oy .+ Bỏ phần (C) bên trái Oy (nếu có). +Lấy đối xứng qua Oy phần (C) nằm phía
bện phải trục Oy ( tính chất hàm chẵn) ta sẽ có

Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.

 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


Dạng 3: Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị . Ta có : .
Cách vẽ :
 Giữ nguyên phần (C) nằm phía trên Ox (do (1))
 Bỏ phần (C) nằm dƣới Ox
 Lấy đối xứng qua Ox phần (C) nằm phía trên ta sẽ có .

Dạng 4: Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị .Ta có .
Cách vẽ : Giữ nguyên phần (C) khi . Lấy đối xứng qua Ox phần (C) khi
Tƣơng tự ta cũng sẽ làm đƣợc dạng








1
1
x
y

x

1
1
x
y
x

1
1
x
y
x

Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và biên soạn.

 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


 ÔN TẬP ĐẠI SỐ CẤP TỐC  Để giải pt, hệ p/trình vô tỷ ta thƣờng sử dụng các phƣơng pháp phổ biến sau: bình phƣơng 2
vế, đặt ẩn phụ ( 1 ẩn t hoặc 2 ẩn u, v, ), liên hiệp, đoán nghiệm (FX 570 ES), khảo sát hàm số, bất đẳng thức, sử dụng
tính chất tích vectơ SAU ĐÂY LÀ 10 CÔNG THỨC CƠ BẢN NHẤT:
3) 4)
hoặc . 7) .
8) . 9) 10) .
Ex: D2002: ĐS: . TIẾP THEO LÀ ĐẦY ĐỦ CÁC DẠNG:
1) (pt đẳng cấp). Thƣờng gặp dạng: Ex:
ĐS: . Ex *: . HD:ĐS:
(*) ↔

Ex : . ĐS:
2) Ví dụ nhƣ: Ex:
ĐS: Ex: ĐS: Ex:
. ĐS: Ex: Tìm m để pt có nghiệm: . ĐS:
3) Đẳng cấp bậc 3: Ex: . Đs: .
4) * Chia 2 vế cho đặt ĐS: .
5) * . Chia 2 vế cho đặt bình phƣơng ĐS:
6) * Đặt . Chuyển về hệ đối xứng. Ex:
ĐS: ĐS: Ex:
ĐS:
Đs: S Ex: . ĐS: HD: (1)

Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


7) Dạng chia 2 vế cho x rồi đặt ẩn phụ: Xét nếu pt
. Ex: ĐS: Ex:
8) Đặt 1 ẩn, Ex: đặt , đs: . Ex:
. ĐS: Ex: .ĐS: Ex:Tìm m để ptrình sau có
nghiệm: Đs: Ex:Tìm m để ptrình sau có
nghiệm: Đs:
9) Đặt 2 ẩn, Ex: ĐS: Đặt , ta có hệ:
Ex: . ĐS: . Ex: đặt , ta có
hệ đs: Ex: HD: đặt .
10) Liên hiệp, tựa liên hiệp: Ex: đsố: Ex: ĐS:
Ex: . Đs: ; Ex: .
11) Khảo sát hàm số: Ex: ĐS: Ex:
Ex: ĐS

. Ex: HD: đặt Ex:
=
.HD:
= + + .
Ex:
− − + − − = ( ) + + + + + = + + ( )
. ĐS:

12) Dạng: đặt
. Ex: ĐS: (có thể liên hiệp). Tìm m
để pt sau có nghiệm . ĐS Ex:
ĐS: Ex: ĐS:
13) Lƣợng giác: Ex: đặt đs: Ex: đặt
đs: Ex: đặt đsố:
14) Đoán nghiệm: Ex: . ĐS: x=5. Ex: ĐS:
Ex: ĐS: . Ex: ĐS:
15) Đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Ex: ĐS: đặt
pt trở thành:
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


. Ex: HD: , Pt
. Ex: HD:
- - -

16) Phƣơng trình : Đặt Ex: . ĐS:
17) Phƣơng trình : Chia 2 vế cho Đặt
Ex: . ĐS:

18) „‟Lƣu ý phép thế trong của phƣơng trình: . Ex: (1)
, thay vào ta có
phƣơng trình hệ quả (không tƣơng đƣơng) :
 Thử lại  ta thấy chỉ có thoả mãn pt
19) Hệ đẳng cấp, đặt : ; Ex
: Ex: Ex:
Ex: (1) là đẳng cấp bậc 2. Ex: ; Ex:
20) Hệ “đối xứng” “ đối xứng dọc thì trừ dọc, đối xứng ngang thì trừ ngang hoặc khảo sát:Ex:
Ex: Ex: . Ex:
21) Tổng, tích: Ex: HD: Đặt
22) Đặt ẩn phụ cho hệ: . ĐS: Đặt ta có ;
. HD: là pt đẳng cấp bậc 2
 Trên đây chỉ là tóm tắt những dạng và bài tập tƣơng ứng, giúp chúng ta ôn tập nhanh.(chƣa rõ thì hỏi tại lớp)
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Cho hàm số y=f(x) xác định trên [a;b]

Thay đoạn bởi tập khác ta có định nghĩa tƣơng tự.  Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: ta có thể có ba hai cách sau:
Sử dụng bất đẳng thức, tìm miền giá trị ,Lập bảng biến thiên rồi kết luận
Tìm các điểm tới hạn rồi so sánh (thƣờng sử dụng đối với bài toán tìm GTLN, GTNN trên đoạn [a;b]).
Ex:: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số TXĐ:

Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên:



|| 0 ||

2


Dựa vào BBT ta có .

Cách 2: Nếu không dùng bảng biến thiên thì các điểm tới hạn của hàm số là: x=2,x=3,x=4 . (Điểm x
o
thuộc tập xác định
đƣợc gọi là điểm tới hạn nếu f’(x
o
)=0 hoặc f’(x
o
) không tồn tại.)

Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức Ta có
. Suy ra .
Từ BBT hoặc từ GTNN, GTLN ta suy ra phƣơng trình có nghiệm trên tập A Ví
dụ phƣơng trình có nghiệm khi , phƣơng trình này có 2 nghiệm x
Ex:**: B 2010. Cho các số thực không âm Tìm GTNN của
Giải: Cách 1: Đặt , ta có:
Mà
với
Ta có là hàm giảm trên
là hàm tăng trên . Khi
thì Cách 2: Ta có
2→
2
+

2
+
2≥
13 + + 2=13,
Mặt khác từ giả thiết suy ra
, , ∈0;1→
2
+
2
+
2≤ + + =1→Đ
ặ

. Suy ra là hàm giảm trên mà phƣơng trình có
duy nhất nghiệm lập của suy ra .
Khi thì Nhận xét: Cách này tuy không thu đƣợc nhƣng vẫn
cho ta . Đây là thế mạnh của cách 2.
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


Ex:: CĐ khối A,B,D 2010. Cho hai số thực dƣơng thay đổi x, y thỏa: . Tìm GTNN của biểu thức .
Giải: Cách 1: Theo bđt Côsi ta có . Từ giả thiết, theo Côsi 4 số suy ra
Cách 2: Theo bđ thức Côsi ta có
. Áp dụng bđt Côsi ta có Cách 3:
Khảo sát, gt
Cách 4: Gt suy ra
,
Ex: Tìm các giá trị m để p trình sau có nghiệm

. Giải: ĐK: . Pt(*) . Đặt
;
Ta có ; , . Lập BBT suy ra , thay vào p trình (*) ta có
phƣơng trình . Phƣơng trình (*) có nghiệm Phƣơng trình (1) có nghiệm Đặt
. Lập BBT suy ra phƣơng trình (1) có nghiệm
trình có nghiệm Ex:Khối B_2004: Tìm m để ptrình sau có
nghiệm: Giải: Đk: . Đặt
. Lập BBT suy ra . Lúc đó phƣơng trình
(*) trở thành : Phƣơng trình (*) có nghiệm phƣơng trình
có nghiệm Ta có:
. Do đó phƣơng trình có nghiệm . Ex:Tìm m để
hệ pt sau có nghiệm . Cách 1: Từ (2) suy ra , thay vào (1) ta có:
Hệ
có nghiệm có nghiệm Đặt
Thay vào Ta có ;
Lập BBT: suy ra . Do đó phƣơng trình có nghiệm
. Hay hệ có nghiệm khi Cách 2: Hệ . Đặt
Lúc đó ta có Hệ có nghiệm
có nghiệm Ta có: (1) , . Lập BBT suy ra hệ có nghiệm khi
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321



1. I. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG (Viết tắt Ptđt)
* Trong mặt phẳng Oxy, phƣơng trình tổng quát của có dạng:
Từ ptrình ta xác định đƣợc một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng : .
* Ptđt đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là:
2. PTTS của đƣờng thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phƣơng là: .

3. PTCT của đƣờng thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phƣơng là:
4. Ptđt đi qua 2 điểm là
5. Đƣờng thẳng cắt trục Ox, Oy lần lƣợt tại và có ptrình:
7. Phƣơng trình của đƣờng thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k là:
II. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƢỜNG THẲNG
Cho 2 đƣờng thẳng có phƣơng trình: Khi , ta có:

III. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH:
1. Cho 2 đt có pt:
2. Khoảng cách từ 1 điểm đến đƣợc tính bởi công thức:
* Khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng song song : .
3. Cho 2 đƣờng thẳng có phƣơng trình . Lúc đó phƣơng trình 2
đƣờng thẳng phân giác của gó tạo bởi là:
   PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÒN: * Dạng 1: , lúc đó tâm của đường tròn này là
I(a,b) và bán kinh là R * Dạng 2: , với điều kiện , lúc đó tâm của đường
tròn này là và bán kinh là . ( thực ra hai dạng này tương đương nhau )
 Đường thẳng ∆ tiếp xúc với (C ) tâm I(a,b) bán kính R .
 Đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi (C) có tâm I(a;b) và bán kính
 Đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi (C) có tâm I(a;b) và bán kính
 Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ khi và chỉ khi (C) có tâm hoặc và bán kính
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC (Oxy)

Ex: Viết pt tiếp tuyến của (C): – – – biết tiếp tuyến qua điểm . Giải:tâm I(2 ; 1), R=3. PT tiếp
tuyến qua có dạng: – – . tiếp xúc với (C)
. Ta đƣợc 2 tiếp tuyến – và . Ex: Viết pt tiếp
tuyến của : (C) : – , biết rằng tiếp tuyến hợp với đƣờng thẳng (D): một góc Giải:
(C) có tâm . Gọi Ta có:
. TH 1 : có dạng: Ta có
tiếp xúc (C) . Có 2 tiếp tuyến trong trƣờng hợp này:
(
d
)
L
C
A
B
C
H
M
G
AH
=2.
IM
;
IH
=3.
IG
G
M

H
C
B
A
C'
H
A
C'
H
C
B
I
A'
B'
A'
B'
B
C
A
A'
R
H
R
H
R
H
120
0
60
0

I
M
M
I
I
M
T
T'
T
T'
T
T'
1) Cho qua
Nếu qua .
2) Nếu giả thiết cho phƣơng trình đƣờng cao AH thì ta chỉ sử dụng đƣợc 1 điều kiện (1 phƣơng
trình) đó là , nếu biết thêm BC đi qua 1 điểm có tọa độ thì ta có thể viết phƣơng trình
đƣờng thẳng BC. ( )
3) Nếu giả thiết cho phƣơng trình trung tuyến BM thì ta chỉ sử dụng đƣợc 1 điều kiện (1
phƣơng trình) đó là trung điểm M của AC thuộc BM.
4) Nếu giả thiết cho phƣơng trình phân giác thì thông thƣờng ta gọi điểm đối xứng với điểm
cho trƣớc thuộc cạnh AC hoặc thuộc cạnh BC. Điểm thuộc AC lấy đối xứng qua sẽ nằm trên
BC và ngƣợc lại. Nếu đề cho phƣơng trình AC, phƣơng trình thì ta suy ra tọa độ điểm C và
viết đƣợc phƣơng trình BC nhờ công thức .
5) Nếu giả thiết cho phƣơng trình trung trực (d) của AC thì ta chỉ sử dụng đƣợc 2 điều kiện (2
phƣơng trình) đó là trung điểm M của AC thuộc (d) và .
6) Nếu giả thiết cho tọa độ trọng tâm G, trực tâm, trung điểm hoặc trọng tâm G thuộc đƣờng
thẳng nào đó có phƣơng trình thì ta thu đƣợc 2 điều kiện (2 ptrình):

(
d

)
(
d'
)
(loại do // AB).
A
B
C
M
 BẢN CHẤT CỦA BÀI TOÁN GÓC GIỮA 2 TIẾP TUYẾN:
Giả sử tiếp tuyến MT, MT’, với T, T’ là 2 tiếp điểm, Lúc đó:
1) là tam giác đều
thuộc đƣờng tròn tâm bán kính
2) là hình vuông thuộc
đƣờng tròn tâm bán kính
3) vuông tại T và có
thuộc đƣờng tròn tâm bán kính
* Bài toán: Viết phƣơng trình cạnh AB
của tam giác ABC nếu biết tọa độ 3 chân
đƣờng vuông góc của 3 đƣờng cao kẻ từ
A, B, C là A’, B’, C’. Giải: Trƣờng hợp
1:sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp:
HC’AB’;AB’BA’;HC’A’B ta suy ra đƣợc
AB là đƣờng phân giác trong của góc
. Trƣờng hợp 2: AB là đƣờng phân
giác ngoài của góc .
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321

I. PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ.
1. Biểu thức tọa độ của điểm và vectơ:
* M(x;y;z) .
* *
* *
* Điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k
* Tích vô hƣớng của 2 vectơ:
* Độ dài của vectơ : .
* Khoảng cách giữa 2 điểm A,B là
* Góc giữa 2 vectơ khác không:
* Lƣu ý, góc giữa 2 đƣờng thẳng :
* . * .
2. Tích có hƣớng của 2 vectơ và ứng dụng: Cho 2 vectơ .
Tích có hƣớng của 2 vectơ là vectơ đƣợc tính bởi công thức sau:

Tính chất:* . *
* . *
Ứng dụng: * Diện tích hình bình hành ABCD : * Diện tích tam giác ABC:
* Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ : * Thể tích tứ diện ABCD :
* đồng phẳng * là 4 đỉnh của một tứ diện không đồng phẳng.

II. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
nếu giá của nếu vectơ vuông góc với (P), kí hiệu .
- Vectơ đƣợc gọi là vectơ chỉ phƣơng của mặt phẳng (P)
nếu giá của nếu vectơ song song hoặc trùng với (P).
- Nếu mặt phẳng (P) có 2 vectơ chỉ phƣơng khác , và không cùng phƣơng. Lúc
đó mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
2. Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng:

Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Chú ý: *Từ phƣơng trình tổng quát của mp (P) ta xác định đƣợc một vectơ pháp tuyến


a
b
(P)
[a;b]
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


* Mặt phẳng (P) đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phƣơng trình tổng quát
là
* Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm có phƣơng trình:

3. Vị trí tƣơng đối giữa 2 mặt phẳng:
Cho 2 mặt phẳng (P): , (Q): . Lúc đó:
a. (P) cắt (Q) . b. (P) // (Q)
c. (P) (Q) d. (P) (Q)
*Chùm mặt phẳng: Mỗi mặt phẳng đi qua giao tuyến của (P) và (Q) đều có phƣơng trình:

Phát hiện nhanh: mp: 2x+3y+7=0 là mặt phẳng //oz, mp:3y+2z+9=0 //ox, mp:2y+9=0//mặt phẳng(xoz).
 mp có pt: ,mp
ch
ứ
a
có pt: ,
4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Cho mặt phẳng (P): , điểm . Khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (P) đƣợc tính bởi công thức:
* Chú ý: Theo công thức trên ta có thể chứng minh rằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song (P):
, (P’): là
III. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG:
1. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng: Đƣờng thẳng (D) đi qua điểm và có vectơ chỉ phƣơng
có phƣơng trình tham số là:
2. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng: Đƣờng thẳng (D) đi qua điểm và có vectơ chỉ phƣơng
có phƣơng trình chính tắc là:
3. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng: Đƣờng thẳng (D) là giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)
có phƣơng trình (P): , (Q): . Lúc đó đƣờng thẳng (D) có một
vectơ chỉ phƣơng là
4. Vị trí tƣơng đối giữa 2 đƣờng thẳng: Cho 2 đƣờng thẳng đi qua diểm và có vectơ chỉ phƣơng
, đi qua diểm và có vectơ chỉ phƣơng . Ta có các trƣờng hợp sau:
* và cùng nằm trong 1 mặt phẳng
* và chéo nhau
* và cắt nhau
* song song
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


*
5. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng: Cho đƣờng thẳng : đi qua diểm và có vectơ chỉ phƣơng
và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến . Ta có các trƣờng hợp sau:
* Đƣờng thẳng .
* Đƣờng thẳng
* Đƣờng thẳng cắt mặt phẳng
* Đƣờng thẳng

6. Khoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng, giữa 2 đƣờng thẳng chéo nhau:
* Cho đƣờng thẳng : đi qua diểm và có vectơ chỉ phƣơng Lúc đó khoảng cách từ điểm A đến đƣờng thẳng
đƣợc tính bởi công thức: .
* Cho 2 đƣờng thẳng chéo nhau: đi qua có VTCP và đi qua có VTCP . Lúc đó khoảng cách
giữa 2 đƣờng thẳng đƣợc tính theo công thức sau: .
7.Góc: *Góc giữa 2 đường thẳng: Cho 2 đƣờng thẳng có VTCP và có VTCP . Lúc đó góc giữa 2
đƣờng thẳng đƣợc tính bởi công thức sau:
* Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đƣờng thẳng có VTCP và mặt phẳng (P) có VTPT là
. Lúc đó góc hợp bởi và (P) đƣợc tính theo công thức sau:

* Góc giữa 2 mặt phẳng: Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lƣợt là:
. Lúc đó góc hợp bởi và (Q) đƣợc tính theo công thức sau:
.
IV. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
1. Phƣơng trình mặt cầu: có 2 dạng
Tâm và bán kính .
, với điều kiện . Lúc đó tâm của mặt cầu
có tọa độ bán kính .
2. Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phƣơng trình:
Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R.
Ta có các trƣờng hợp sau:
a) : (P) không cắt (S). b) : (P) tiếp xúc với (S).
c) : (P) cắt (S) theo đƣờng tròn (C) có phƣơng trình là đƣờng tròn (C) có tâm H là hình chiếu vuông
góc của I lên mp (P) và bán kính , với
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


O

HÀM SỐ MŨ
Lý thuyết : Với , ta có:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Hàm số mũ: * Tập xác định : , * Tập giá trị
* Khi thì hàm số đồng biến trên R và
* Khi thì hàm số nghịch biến trên R và
* Dạng đồ thị của hàm số mũ :




* Từ tính đồng biến nghịch biến ta suy ra các tính chất quan trọng sau:
 hoặc
 xét tính đơn điệu của hàm số

Hàm số
Số mũ lũy thừa
Tập xác định

n nguyên dƣơng

n nguyên âm hoặc


không nguyên

 Lƣu ý cách viết là đúng, nhƣng thì sai, tại vì không có định nghĩa lũy thừa số hữu tỉ
(không nguyên) cho số âm . Hãy xem các ví dụ là sai tại vì
chỉ đúng cho Giả sử mặt khác Vì vậy cần phải có
điều kiện cơ số dƣơng cho lũy thừa với số mũ không nguyên nếu không thì loạn hết !.


x
y


* Đạo hàm: .
* Đạo hàm: .
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321



O

( 1)
x
y a a

O
 HÀM SỐ LÔGARIT 
* Miền xác định
* Miền giá trị là R. * Với thì
* Nếu thì hàm số nghịch biến và

* Nếu thì hàm số đồng biến và
* Dạng đồ thị của hàm số logarit :





* Phƣơng pháp giải phƣơng trình lôgarit, biến đổi về các dạng sau:
 .

 .

 Nếu thì

 Nếu thì
1.
2.
3.

.
4.
5.

6.
7.
8.
9. (nếu )
10. (nếu )
11. (nếu điều kiện ).
12. ( buộc đk ).
13. = . (nếu
14. 0)
x
y


có nghĩa khi 

* . *
*
* *

*
*
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


Thần
chú:
 Đổi
biến

thử đặt:
Mẫu,
Mũ,
Căn,
Cơ số,
Lôga.
Từng
Phần:
thử đặt
“U=
Lôga >
Đa
Thức.
CÔNG THỨC ĐẠO HÀM :
1)
2) .
3)
4)
5) .
6)
 CÔNG THỨC VÀ DẠNG TÍCH PHÂN:
1) .
2) .
3)
4)
5.
6.
7.
8.
9.

10. .
11. .
12.
13. .
14.
15.
16.
17. .
18. đặt
19. .
20.
21.
22.
23. đặt

24. đặt , .
25. .
26. *
27. (xem 16)
28. (xem 23)
29.
30.

31.
(rồi áp dụng dạng 28 hoặc 29)
1. TQ:
− + − + + + + +

32. đặt
33. đặt

34.
đặt
35.
đặt
36. đặt .
37. ;
38. .
39.
Thử đổi biến trƣớc, đặt u=q(x), rồi đến từng phần.

a) Thử đổi biến trƣớc,
đặt u=q(x), rồi đến từng phần .
40. . Bƣớc 1: đổi biến đặt
Bƣớc 2: từng phần
41. . . Bƣớc 1: đổi biến đặt Bƣớc 2:
từng phần
42.
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN:


Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hỗ.
ĐT054.3931305__054.3811471__0935961321
SỐ PHỨC
1. Định nghĩa: Một số phức là một biểu thức dạng , trong đó là những số thực và số thỏa mãn Kí

hiệu số phức đó là và viết . gọi là đơn vị ảo, đƣợc gọi là phần thực , đƣợc gọi là phần ảo của số phức
. Tập hợp các số phức đƣợc kí hiệu là .
Số phức là số ảo ( thuần ảo ) nếu Số phức là số thực ( thuần thực ) nếu
 Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
Định nghĩa: Hai số phức , gọi là bằng nhau nếu
1. Một số phép toán trên : Cho 2 số phức , . Lúc đó:
* Phép cộng: . * Phép nhân:
* Phép chia: (với ):
2. Số phức liên hợp và môđun của số phức: a) Số phức liên hợp của số phức là
b) Môđun của số phức là
Rõ ràng * ; * Lưu ý: (sử dụng nhiều trong bài tập).
* số phức là số thực khi và chỉ khi . * số phức là số ảo
* ; * ; * ; * ;
* Lưu ý: Nếu là 2 số phức và thì .
3. Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi số phức đƣợc biểu diễn bởi điểm trong hệ tọa độ Oxy. Nếu
lần lƣợt là điểm biểu diễn số phức . Khi đó .
: Gọi . là 2 điểm tƣơng ứng. Lúc đó
  .  .
4. Căn bậc 2 của số phức: Cho số phức . Mỗi số phức thỏa mãn gọi là một căn bậc hai của
Cách tìm căn bậc hai của số phức Giả sử là căn bậc 2 của khi đó ta có:

Lƣu ý: * có đúng một căn bậc hai là * có đúng 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau (khác 0).
* Đặc biệt, số thực a dƣơng có hai căn bậc hai là số thực a âm có hai căn bậc hai là và
. (ứng dụng quan trọng để giải phƣơng trình bậc 2 với hệ số thực)
6. Dạng lƣợng giác của số phức và ứng dụng: Xét số phức: Kí hiệu .
Gọi là một acgumen của Lúc đó số phức (dạng đại số) có thể
viết dƣới dạng: gọi là dạng lƣợng giác của số phức z.
 Nếu , . Khi đó ta có thể nhân, chia 2 số phức:
 
Từ đây nếu có một acgumen lớn hơn acgumen của là

 Công thức Moa-vrơ: .  Số phức có hai căn
bậc hai là và
Ex:Tính hay viết số phức z dƣới dạng đại số với HD: Cách 1: ( chú ý: ) Ta có
. Cách 2: Ta có
.
sin
42013=21006.2.
cos
2013. 4+ .
sin
2013. 42013=21006.2.12+ .122013=21006+21006 .
Ex:A2010 : Tìm phần
ảo của số phức z, biết HD:
. Do đó phần ảo của z là Ex: A2010 : Cho số phức thoả mãn
. Tìm môdun của . HD: Cách 1: (cơ bản)
. Cách 2: (nâng cao): Ta có
D2010 : Tìm số phức z thỏa mãn: là số thuần
ảo. HD: Gọi ; . Do đó là số thuần ảo
. Vậy có 4 số phức cần tìm: .
Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.
 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hỗ.
ĐT054.3931305__054.3811471__0935961321

a
b
c
d
Quy tắc hình bình hành:
ABCD là hình bình hành ta có:
2(A

B
2
+
BC
2
)=
AC
2
+
BD
2

A
C
B
D

KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Cho vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago :
b)
c)
d) .  e) .
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường: Định lý Cosin: lý sin :
* Công thức đƣờng trung tuyến: . * Tính chất phân giác: *
Độ dài đƣờng phân giác trong kẻ từ A
3. Các công thức tính diện tích.
Đặc biệt :* vuông ở A : , * ABC đều cạnh a: .
1. Định lý Ptôlêmê: Tứ giác ABCD nội tiếp đƣợc đƣờng tròn .

a
x
x
x
2x
45
0
60
0
x
3
x
2
a
3
2
a
2
A
B
C
C
A
B
B
A
C
H

Định lý Talet:

DE
BC
AD
AB
=
AE
AC
=
DE
BC
;
AD
DB
=
AE
EC
≠
DE
BC
A
B
C
D
E

dt(SAB)
dt(SA'B')
=
SA.SB
SA'.SB'

dt(NOPQ)=
1
2
OR(OP+NQ)
dt(JKLM)=
1
2
JL.KM
dt(EFGH)=
1
2
EG.HF.sin
α
α
dt(ABCD)=BH.AD
A
B
C
D
E
H
G
F
K
J
M
L
O
N
Q

P
S
A'
B'
H
R
A
B

P
B
A
N
C
M
A'
C'
B'
Định lý Menelauyt: Cho
ba điểm M,P,N thuộc 3 đt AB,
BC, AC thẳng hàng


d
2
d
1
α
A
B

C
D
Cho hình bình hành ABCD có ; . Tính .
Giải:
.

c
b
a
a
c
b
h
a
m
a
h
a
A
B
C
C
B
A
A
B
C
H
M
H

D
H
A
B
C
A'
Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sƣu tầm và chọn lọc.

 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây. 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


TÓM TẮT LÝ THUYẾT KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
1.
2.
3.
4.
5.
6.

1) ĐỊNH LÝ 3 GIAO TUYẾN
2) Ta có: .
Ta có:
Ta có: .
3)Ta có: .
Ta có: .
Ta có: với H là hình chiếu của
A lên . Đây cũng là 1 cách tìm khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

4) Ta có: .

Ta có: .
6) Theo định lý Talet ta có:
 .
 .
Đặc biệt nếu I là trung điểm của AC thì
5) Định lý 3 đƣờng vuông góc “ vuông với hình chiếu thì vuông
đƣờng xiên và ngƣợc lại”
Ta có: .
Ta có: .