Tổng hợp đề tuyển chọn học sinh giỏi toán lớp 12

ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: Toán lớp 12
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao ñề)
Chú ý: Thí sinh không ñược sử dụng máy tính bỏ túi
Câu 1. 1). Giải phương trình:
2). Giải hệ phương trình:
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của ñể bất phương trình sau có nghiệm :
Câu 3. Cho dãy số ñược xác ñịnh bởi:
ðặt . Tìm giới hạn :
Câu 4. Cho các số thực dương thỏa mãn : . Chứng minh rằng:
Câu 5.
a). Cho hình chóp với thể tích . Gọi là trung ñiểm cạnh . Các ñiểm và lần lượt là trọng tâm
các tam giác và . Tính theo thể tích khối tứ diện .
b). Cho tứ diện là ñiểm nằm bên trong tứ diện, các ñường thẳng và lần lượt cắt
các mặt và tại . Tìm vị trí của ñiểm ñể biểu thức sau ñạt giá
trị nhỏ nhất:
Câu 6. Gọi lần lượt là góc giữa ñường thẳng và các ñường thẳng chứa các cạnh của tam giác
ñều Chứng minh rằng:
.
2 − x − =x
2
1
8
+ − 1
9
8x
2
1
x
− −−−−−−−−−−
√

3
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
(y + 1 + y = x +)
2
+ 1y
2
− −−−−
√
3
2
x + = 1 + 2− 2x + 5x
2
− −−−−−−−−−
√
2x − 4y + 2
− −−−−−−−−−
√
m
m( + 1) + x( + 1) ≥ 01 − x
− −−−−
√ 1 + x
− −−−−
√
⎧
⎩
⎨

= 5u
1
=u
n+1
+ 2 + 4u
2
n
u
n
6
=v
n
∑
k=1
n
1
+ 4u
k
lim
n→∞
v
n
a, b, c + + = 3a
2
b
2
c
2
+ + ≥
1

1 + a
2
b
2
1
1 + b
2
c
2
1
1 + c
2
a
2
9
2(a + b + c)
S. ABC V M BC K G
SAB SAC V AMGK
ABCD, M AM, BM, CM DM
(BCD), (ACD), (ABD) (ABC) , , ,A
1
B
1
C
1
D
1
M
P = + + + .
AM

MA
1
− −−−−
√
BM
MB
1
− −−−−
√
CM
MC
1
− −−−−
√
DM
MD
1
− −−−−
√
α
, β, γ ∆ BC, CA, AB
ABC.
α. β. γ + α. β. γ =sin
2
sin
2
sin
2
cos
2

cos
2
cos
2
1
16
ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: Toán lớp 12
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi
Câu 1. 1). Giải phương trình:
2
3
2
1 9 1
21
88
xx
xx
    

2). Giải hệ phương trình:
22
2
3
( 1) 1
2
2 5 1 2 2 4 2
y y y x

x x x x y

    



      



Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của
m
để bất phương trình sau có nghiệm

   
1 1 1 1 0m x x x     

Câu 3. Cho dãy số
()
n
u
được xác định bởi:
1
2
1
5
24
6
nn
n

u
uu
u











Đặt
1
1
4
n
n
k
k
v
u




. Tìm giới hạn
lim

n
n
v


Câu 4. Cho các số thực dương
,,abc
thỏa mãn
2 2 2
3abc  
. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
1 1 1 2( )a b b c c a a b c
  
    

Câu 5. a). Cho hình chóp S.ABC với thể tích V. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Các điểm
K và G lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SAC. Tính theo V thể tích khối tứ diện
AMGK.
b). Cho tứ diện ABCD, M là điểm nằm bên trong tứ diện, các đường thẳng AM, BM, CM
và DM lần lượt cắt các mặt (BCD), (ACD), (ABD) và (ABC) tại
1 1 1 1
, , ,A B C D
. Tìm vị trí
của điểm M để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

1 1 1 1
AM BM CM DM

P
M A MB MC MD
   
.
Câu 6. Gọi
,,
  
lần lượt là góc giữa đường thẳng

và các đường thẳng chứa các cạnh
BC, CA, AB của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
1
sin .sin .sin cos .cos .cos
16
     

.


Hết

2. ðặt . Tính
Câu III: (4p)
1. Giải hệ phương trình
2. Cho . Chứng minh rằng
Câu IV: (8p)
Cho tứ diện có ba cạnh tại ñỉnh ñôi một vuông góc vơi nhau. Gọi lần lượt là góc tạo bởi
với các mặt phẳng , và là các góc tương ứng trong tam giác .

1. Chứng mình rằng:
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
3. Chứng minh rằng:
Hết
=v
n
( + ( +. . . +(u
1
)
n
u
2
)
n
u
2012
)
n
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
n
Lim( )v
n
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
= cos(π )x
1
3
√
9
x
2
= cos(π )x
2
3
√
9
x
3
= cos(π )x
3
3
√
9
x
1
a, b, c ∈ [2; + ∝)

lo + lo + lo ≥ 3g
b+c
a
2
g
c+a
b
2
g
a+b
c
2
OABC O α, β, γ (ABC)
(OBC); (OAC); (OAB) A, B, C ABC
co α + co β + co γ = 1s
2
s
2
s
2
T = ta α + ta β + ta γ + co α + co β + co γn
2
n
2
n
2
t
2
t
2

t
2
= =
si αn
2
sin2A
si βn
2
sin2B
si γn
2
sin2C

ðỀ THI HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN ðẠI HỌC VINH
Câu I: (4p)
Tìm ñề nghiệm của bất phương trình sau chứa ñoạn
Câu II: (4p)
Cho dãy số , với
1. Chứng minh là dãy tăng.
m [1; 2]
m − 3x + 1 − ≤ 0
∣
∣
x
2
∣
∣
2
− 3x + 1 + 1
∣

∣x
2
∣
∣
( )u
n
= , n = 1, 2 u
n
∑
i=1
n
i
(i + 1)!
( )u
n
ðỀ THI HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN ðẠI HỌC VINH
Câu I: (4p)
Tìm ñề nghiệm của bất phương trình sau chứa ñoạn
Câu II: (4p)
Cho dãy số , với
1. Chứng minh là dãy tăng.
2. ðặt . Tính
Câu III: (4p)
1. Giải hệ phương trình
2. Cho . Chứng minh rằng
Câu IV: (8p)
Cho tứ diện có ba cạnh tại ñỉnh ñôi một vuông góc vơi nhau. Gọi lần lượt là góc tạo bởi với các
mặt phẳng , và là các góc tương ứng trong tam giác .
1. Chứng mình rằng:
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của

3. Chứng minh rằng:
Hết
m [1; 2]
m − 3x + 1 − ≤ 0
∣
∣
x
2
∣
∣
2
− 3x + 1 + 1∣
∣
x
2
∣
∣
( )u
n
= , n = 1, 2
u
n
∑
i=1
n
i
(i + 1)!
( )u
n
=

v
n
( + ( +. . . +(
u
1
)
n
u
2
)
n
u
2012
)
n
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
n
Lim( )
v
n
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
= cos(π )x
1
3
√
9
x
2
= cos(π )x
2
3
√
9
x
3
= cos(π )
x
3
3
√
9
x
1
a, b, c ∈ [2; + ∝)
lo + lo + lo ≥ 3g

b+c
a
2
g
c+a
b
2
g
a+b
c
2
OABC O α, β, γ (ABC)
(OBC); (OAC); (OAB) A, B, C ABC
co α + co β + co γ = 1s
2
s
2
s
2
T = ta α + ta β + ta γ + co α + co β + co γn
2
n
2
n
2
t
2
t
2
t

2
= =
si αn
2
sin2A
si βn
2
sin2B
si γn
2
sin2C
HD
1. Xét hàm số
Hàm số liên tục trên và
Nên :
ðặt :
Bài toán trở thành, tìm ñể nghiệm bất phương trình sau : (*) chứa ñoạn
g(x) = − 3x + 1, x ∈ [1; 2]x
[1; 2] (x) = 0 ⇔ x =g
′
3
2
g(x) = Min{g(1); g( ); g(2)}= g( ) = −Min
[
1;2
]
3
2
3
2

5
4
g(x) = Max{g(1); g( ); g(2)} = g(1) = g(2) = −1Max
[
1;2
]
3
2
t = − 3x + 1 ⇒ t ∈ [1; ]
∣
∣
x
2
∣
∣
5
4
m mt − ≤ 0 ⇔ m + mt − 2 ≤ 0
2
t + 1
t
2
[1; ]
5
4
+) Nếu tập nghiệm của bất pt là .
+) Với , ta có :
Nếu :
Tập nghiệm của BPT (*) là .
Nếu

Với ta có :
Nên yêu cầu b.toán
Trường hợp này cho ta kết quả :
Với ta có :
Nên yêu cầu b.toán
Trường hợp này nghiệm ñúng .
Kết hợp với ñk tìm ñược
m = 0 R ⊃ [1; ]
5
4
m ≠ 0 = + 8m∆
m
m
2
= + 8m ≤ 0 ⇔ −8 ≤ m < 0∆
m
m
2
R ⊃ [1; ]
5
4
= + 8m > 0 ⇔ [∆
m
m
2
m > 0
m < −8
m > 0 ≤ t ≤
−m − + 8mm
2

− −−−−−−−
√
2m
−m + + 8mm
2
− −−−−−−−
√
2m
⇔ ≤ 1 < ≤
−m − + 8mm
2
− −−−−−−−
√
2m
5
4
−m + + 8mm
2
− −−−−−−−
√
2m
0 < m ≤
32
45
m < −8 ⇔ ≤ t ≤
−m + + 8mm
2
− −−−−−−−
√
2m

−m − + 8mm
2
− −−−−−−−
√
2m
⇔ ≤ 1 < ≤
−m + + 8mm
2
− −−−−−−−
√
2m
5
4
−m − + 8mm
2
− −−−−−−−
√
2m
∀
m < −8
m ≤
32
45
2. Cho . Chứng minh rằng
Ta có bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với
Do nên
a, b, c ∈ [2; + ∝)
lo + lo + lo ≥ 3g
b+c
a

2
g
c+a
b
2
g
a+b
c
2
+ + ≥ 3
log
2
a
2
(b + c)log
2
log
2
b
2
(c + a)log
2
log
2
c
2
(a + b)log
2
a, b, c ≥ 2
+ ≤ 1 ⇒ a + b ≤ ab

1
a
1
b
Xây dựng các BðT tương tự ta ñưa bài toán về chứng minh
Sử ñụng Nesbit ta có ñpcm.
+ + = 2( + + )≥ 3
2 alog
2
bclog
2
2 blog
2
calog
2
2lo cg
2
lo abg
2
x
y + z
z
x + y
y
x + y
2. ðặt . Tính
a) Vì với mọi
b)
Lại có
Nhưng vì

=v
n
( + ( +. . . +(u
1
)
n
u
2
)
n
u
2012
)
n
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
n
Lim( )v
n
− = > 0u
n+1
u
n
i
+ 1
(i + 2)!
k ∈ N ⇒ > ,
∀
i ∈ Nu
i+1

u
i
⇒ < + +. . . + < 2012.y
2012
u
n
1
u
n
2
u
n
2012
x
n
2012
⇒ < < . (∗)u
2012
+ +. . . +u
n
1
u
n
2
u
n
2012
− −−−−−−−−−−−−−−−
√
n

2012
− −−−
√
n
x
2012
= = −
i
(1 + i)!
(i + 1) − 1
(i + 1)!
1
i!
1
(i + 1)!
⇒ = (1 − ) + ( − )+. . . +( − ) = 1 −u
k
1
2!
1
2!
1
3!
1
k!
1
(k + 1)!
1
(k + 1)!
⇒ = 1 −u

2012
1
2013!
1 − < < (1 − )
1
2013!
+ +. . . +u
n
1
u
n
2
u
n
2012
− −−−−−−−−−−−−−−−
√
n
2012
− −−−
√
n
1
2013!
(1 − )= [ (1 − )]
lim
n→+∞
1
2013
lim

n→+∞
2012
− −−−
√
n
1
2013!
⇒ lim( ) = = 1 −v
n
lim
n→+∞
+ +. . . +u
n
1
u
n
2
u
n
2012
− −−−−−−−−−−−−−−−
√
n
1
2013!
(a
2
+ b
2

+ c
2
+ d
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
) = (ax − by − cz − dt)
2
+ (bx +
ay − dz + ct)
2
+ (cx + dy + az −dt)
2
+ (dx −cy + bz + at)
2
ax−by−cz−dt = 0 bx+ay−dz+ct = 0
cx + dy + az − dt = 0 dx − cy + bz + at = 0
a = b = c = d = 0 x = y = z = t = 0
(a
2
+b
2
+c
2

)(x
2
+y
2
+z
2
)−(ax+by+cz)
2
= (bx−ay )
2
+(cy−bz)
2
+(az−cx)
2
(a
2
1
+ a
2
2
+ ··· + a
2
n
)(b
2
1
+ b
2
2
+ ··· + b

2
n
) −(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ ··· + a
n
b
n
)
2
=
= (a
1
b
2
− a
2
b
1
)
2
+ (a
1
b

3
− a
3
b
1
)
2
+ ··· + (a
n−1
b
n
− a
n
b
n−1
)
2
n(a
2
1
+ a
2
2
+ ··· + a
2
n
) = (a
1
+ a
2

+ ··· + a
n
)
2
a
1
= a
2
= ··· = a
n
(x − y)
2
+ (y − z)
2
+ (z − x)
2
= (y + z −
2x)
2
+ (z + x −2y)
2
+ (x + y − 2z)
2
x = y = z
(a
2
− b
2
)
2

+ (2ab)
2
= (a + b)
2
(6a
2
−4ab+4b
2
)
3
= (3a
2
+5ab−5b
2
)
3
+(4a
2
−4ab+6b
2
)
3
+(5a
2
−5ab−3b
2
)
3
(p
2

− q
2
)
4
+ (2pq + q
2
)
4
+ (2pq + p
2
)
4
= 2(p
2
+ pq + q
2
)
4
X
2
+ XY + Y
2
= Z
3
X = q
3
+ 3pq
2
− p
3

Y =
−3pq(p + q) Z = p
2
+ pq + q
2
(3a + 3b)
k
+ (2a + 4b)
k
+ a
k
+ b
k
= (3a + 4b)
k
+ (a + 3b)
k
+ (2a + b)
k
k = 1, 2, 3
x + y + z = 0
(ix −ky)
n
+ (iy −kz)
n
+ (iz −kx)
n
= (iy −kx)
n
+ (iz −ky)

n
+ (ix −kz)
n
n = 0, 1, 2, 4 i i
2
= −1
x
n
+ (x + 3)
n
+ (x + 5)
n
+ (x + 6)
n
+ (x + 9)
n
+ (x +
10)
n
+ (x + 12)
n
+ (x + 15)
n
= (x + 1)
n
+ (x + 2)
n
+ (x + 4)
n
+ (x + 7)

n
+
(x + 8)
n
+ (x + 11)
n
+ (x + 13)
n
+ (x + 14)
n
n = 0, 1, 2, 3
(a + b + c + d)
2
+ (a + b −c −d)
2
+ (a + c −b −d)
2
+ (a + d −b −c)
2
=
4(a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
)
(a

2
− b
2
+ c
2
− d
2
)
2
+ 2(ab − bc + dc + ad)
2
= (a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
)
2
−
2(ab −ad + bc + dc)
2
(a
2
−c
2
+2bd)
2

+(d
2
−b
2
+2ac)
2
= (a
2
−b
2
+c
2
−d
2
)
2
+2(ab−bc+dc+ad)
2
(a+b+c)
4
+(a+b−c)
4
+(a−b+c)
4
+(−a+b+c)
4
= 4(a
4
+b
4

+c
4
)+24(a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
)
s = a + b + c = 2p

sym
s(s −2b)(s − 2c) = (s − 2a)(s − 2b)(s −2c) + 8abc

sym
a(p −a)
2
= abc − 2(p −a)(p −b)(p − c)
s = a + b + c 2δ = a
2
+ b
2
+ c
2


sym
(δ
2
− a
2
)(δ
2
− b
2
) = 4s(s −a)(s −b)(s − c)
a + b + c = 0 a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
a
3
+ b
3
+ c
3
− 3abc = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2

− ab − bc −ca)
a, b, c
(a + b + c)
3
−

sym
(a + b − c)
3
(a −b)
3
+ (b −c)
3
+ (c −a)
3
= 3(a −b)(b −c)(c −a)
[(a −b)
2
+ (b −c)
2
+ (c −a)
2
]
2
= 2[(a −b)
4
+ (b −c)
4
+ (c −a)
4

]
a + b + c = 0
• 2(a
4
+ b
4
+ c
4
) = (a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
•
a
5
+b
5
+c
5
5
= abc ·
a
2
+b
2
+c

2
2
•
a
3
+b
3
+c
3
3
·
a
2
+b
2
+c
2
2
=
a
5
+b
5
+c
5
5
•
a
7
+b

7
+c
7
7
=
a
2
+b
2
+c
2
2
·
a
5
+b
5
+c
5
5
•
a
7
+b
7
+c
7
7
=
a

3
+b
3
+c
3
3
·
a
4
+b
4
+c
4
4
·
2n a
1
, a
2
, . . . , a
n
b
1
, b
2
, . . . , b
n
s
k
= a

1
b
1
+ a
2
b
2
+
···+ a
k
b
k
k = 1, 2, , n
n

k=1
a
k
b
k
=
n

k=1
(a
k
− a
k+1
)s
k

n
a
1
+ a
2
+ ··· + a
n
=
n
2
s
n

k=1
(s −a
k
)
2
=
n

k=1
a
2
k
Ax
2
+ 2Bxy + Cy
2
x = αu + βv y = γu + δv

Mu
2
+ 2Nuv + P v
2
N
2
−MP = (B
2
−AC)(αδ −βγ)
2
2n a
1
, a
2
, . . . , a
n
b
1
, b
2
, . . . , b
n
a
i
+ b
i
= 1
a =
a
1

+ a
2
+ ··· + a
n
n
b =
b
1
+ b
2
+ ··· + b
n
n
n

k=1
a
k
b
k
= nab − (a
1
− a)
2
− (a
2
− a)
2
− ··· −(a
n

− a)
2
1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ ··· +
1
2n −1
−
1
2n
=
1
n + 1
+
1
n + 2
+ ··· +
1
2n
(1+
1
x −1
)(1−

1
2x −1
)(1+
1
3x −1
) ···(1+
1
(2n −1)x − 1
)(1−
1
2nx −1
) =
=
(n + 1)x
(n + 1)x − 1
·
(n + 2)x
(n + 2)x − 1
···
(n + n)x
(n + n)x − 1
x
3
= (x ·
x
3
− 2y
3
x
3

+ y
3
)
3
+ (y ·
2x
3
− y
3
x
3
+ y
3
)
3
2
x
2
− 1
+
4
x
2
− 4
+
6
x
2
− 9
+ ··· +

20
x
2
− 100
= 11

1
(x −1)(x + 10)
+
1
(x −2)(x + 9)
+ ··· +
1
(x −10)(x + 1)

a
b
=
c
d
ab
cd
=
(a + b)
2
(c + d)
2
x =
a −b
a + b

; y =
b −c
b + c
; z =
c −a
c + a
(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 − x)(1 − y)(1 −z)
(a + b + c + d)(a −b −c + d) = (a −b + c −d)(a + b − c − d)
a
c
=
b
d
ax + by + cz = 0
ax
2
+ by
2
+ cz
2
bc(y − z)
2
+ ca(z −x)
2
+ ab(x −y)
2
=
1
a + b + c
x

2
y
2
z
2
a
2
b
2
+
(x
2
− a
2
)(y
2
− a
2
)(z
2
− a
2
)
a
2
(a
2
− b
2
)

+
(x
2
− b
2
)(y
2
− b
2
)(z
2
− b
2
)
b
2
(b
2
− a
2
)
= x
2
+ y
2
+ z
2
− a
2
− b

2
S
k
=
a
k
(a −b)(a − c)
+
b
k
(b −c)(b − a)
+
c
k
(c −a)(c − b)
S
−2
=
1
abc
· (
1
a
+
1
b
+
1
c
); S

−1
=
1
abc
; S
0
= S
1
= 0; S
2
=
a + b + c; S
4
= ab + bc + ca + a
2
+ b
2
+ c
2
; S
5
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ a
2
b + ab

2
+
b
2
c + bc
2
+ c
2
a + ca
2
S
k
=

cyclic
a
k
(a −b)(a − c)(a − d)
S
0
= S
1
= S
2
= 0; S
3
= 1; S
4
= a + b + c + d
S

k
=

cyclic
a
k
(a + b)(a + c)
(a −b)(a − c)
S
0
, S
1
, S
2
, S
3
, S
4

cyclic
ab
(c −x)(c − y)(c −z)
(c −a)(c − b)
= abc − xyz

cyclic
a
2
b
2

c
2
(a −d)(b − d)(c − d)
= abc + bcd + cda + dab

cyclic
a
k
(a −b)(a − c)(x − a)
k = 1, 2

cyclic
b + c + d
(a −b)(a − c)(a − d)(a −x)
=
x −a − b − c − d
(x −a)(x − b)(x − c)(x −d)

cyclic
a
k
(x −b)(x − c)
(a −b)(a − c)
= x
k
k = 0, 1, 2
a + b + c = 0
(
a −b
c

+
b −c
a
+
c −a
b
)(
c
a −b
+
a
b −c
+
b
c −a
) = 9
a −b
a + b
+
b −c
b + c
+
c −a
c + a
+
a −b
a + b
·
b −c
b + c

·
c −a
c + a
= 0

cyclic
b −c
(a −b)(a − c)
= 2

sym
1
a −b

sym
b
2
+ c
2
− a
2
2bc
= 1
1
−1
1
a
+
1
b

+
1
c
=
1
a + b + c
n
1
a
n
+
1
b
n
+
1
c
n
=
1
a
n
+ b
n
+ c
n
bz + cy
x(−ax + by + cz)
=
cx + az

y(ax −by + cz)
=
ay + bx
z(ax + by − cz)
x
a(b
2
+ c
2
− a
2
)
=
y
b(c
2
+ a
2
− b
2
)
=
z
c(a
2
+ b
2
− c
2
)

a + b + c = x + y + z =
x
a
+
y
b
+
z
c
= 0
xa
2
+ by
2
+ cz
2
= 0
a
3
+b
3
+c
3
= (b +c)(c+a)(a+b) (b
2
+c
2
−a
2
)x = (c

2
+a
2
−b
2
)y =
(a
2
+ b
2
− c
2
)z
x
3
+ y
3
+ z
3
= (x + y)(y + z)(z + x)
1
x
+
1
y
=
1
z
(z − x)
2

+ z
2
(z − y)
2
+ z
2
=
x
2
y
2
b −c
1 + bc
,
c −a
1 + ca
,
a −b
1 + ab

cyclic
a
k
(x −b)(x − c)(x − d)
(a −b)(a − c)(a − d)
= x
k
k = 0, 1, 2, 3
x =
3

√
4 +
3
√
2 + 1
(1 +
1
x
)
3
• (a + b + c)(bc + ca + ab) = abc + (b + c)(c + a)(a + b)
• (a
2
− 1)(b
2
− 1)(c
2
− 1) + (a + bc)(b + ca)(c + ab) = (abc + 1)(a
2
+
b
2
+ c
2
+ 2abc −1)
• (b + c − a)
3
+ (c + a − b)
3
+ (a + b − c)

3
− 4(a
3
+ b
3
+ c
3
− 3abc) =
3(b + c − a)(c + a − b)(a + b −c)
•

cyclic
a
4
(b
2
− c
2
) = (

cyclic
a
2
(b −c))(a + b)(b + c)(c + a)
• a
5
+ b
5
− (a + b)
5

= −5ab(a
2
+ ab + b
2
)
• (a + b)
7
− a
7
− b
7
= 7ab (a + b)(a
2
+ ab + b
2
)
2
xy + yz + zx = 0

sym
(x + y)
2
+ 24x
2
y
2
z
2
=


sym
x
4
(y + z)
2
xy + yz + zx = 1

sym
x
1 −x
2
=
4xyz
(1 −x
2
)(1 −y
2
)(1 −z
2
)
f(a, b, c) = |
|b −a|
|ab|
+
b + a
ab
−
2
c
| +

|b −a|
|ab|
+
b + a
ab
+
2
c
f(a, b, c) = 4max{
1
a
,
1
b
,
1
c
}
a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b
= 1
a
2
b + c

+
b
2
c + a
+
c
2
a + b
= 0
x + y
z + t
+
y + z
t + x
+
z + t
x + y
+
t + x
y + z
x
y + z + t
=
y
z + t + x
=
z
t + x + y
=
t

x + y + z
x + y = z + t
x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
= (x + y)
2
+ (x −z)
2
+ (x −t)
2
ab + bc + ca = 1
(1 + a
2
)(1 + b
2
)(1 + c
2
) = [(a + b)(b + c)(c + a)]
2
a, b, c b = c a + b = c c
2
+ 2(ab − bc − ca) = 0
a
2

+ (a −c)
2
b
2
+ (b −c)
2
=
a −c
b −c
a
b −c
+
b
c −a
+
c
a −b
= 0
a
(b −c)
2
+
b
(c −a)
2
+
c
(a −b)
2
= 0

x, y, z
xy + yz + zx = 0, a =

y
2
+ yz + z
2
b =
√
z
2
+ zx + x
2
, c =

x
2
+ xy + y
2
(a + b − c)(b + c − a)(c + a −b) = 0
a, b, c, d ac + bd = (b + d + a − c)(b +
d −a + c)
(ab + cd)(ad + bc) = (ac + bd)(a
2
− ac + c
2
)
a, b, c a
2
+ b

2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1
a + b
2
+ c
3
= 1
a, b, c, d a + b
2
= c + d
2
, a
2
+ b = c
2
+ d
a + b + c + d ≤ 2 {a, b} = {x, y}
a, b, c, d a + b + c + d =
a
7
+ b
7

+ c
7
+ d
7
= 0
(a + b)(a + c)(a + d) = 0

cyclic
a
k
(a −x)(a − y)
(a −b)(a − c)
=
xy
abc
•

cyclic
x(y + z)
2
− 4xyz = (x + y)(y + z)(z + x)
• 1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= (1 + x)(1 + x + x

2
)(1 −x + x
2
)
• (ab + bc + ca)(a + b + c) −abc = (a + b)(b + c)(c + a)
• (1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
)
2
−x
5
= (1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
) ·(1 + x +
x
2
+ x
3
+ x
4

+ x
5
+ x
6
)
a+b(1+a)+c(1+a)(1+b)+···+l(1+a)(1+b) ···(1+k) = (1+a)(1+b) ···(1+l)−1
a = b = c = ··· = l
a + b + c = 0
(
b −c
a
+
c −a
b
+
a −b
c
)(
a
b −c
+
b
c −a
+
c
a −b
) = 9
a
2
k+1

− b
2
k+1
a −b
= (a + b)(a
2
+ b
2
)(a
4
+ b
4
) ···(a
2
k
+ b
2
k
)
a, b, c, d





a + 4b + 9c + 16d = 1
4a + 9b + 16c + 25d = 12
9a + 16b + 25c + 36d = 123
16a + 25b + 36c + 49d
a, b, c

a
b
=
b
c
=
c
a
a + b + c
a + b − c
a, b, c, d
a
4
b
+
b
4
d
=
1
b + d
a
2
+ c
2
= 1
a
2004
b
1002

+
b
2004
d
1002
=
2
(b + d)
1002
xyz = 1
1
1 + x + xy
+
1
1 + y + yz
+
1
1 + z + zx
= 1
2 +
√
3
√
2 +

2 +
√
3
+
2 −

√
3
√
2 −

2 −
√
3
=
√
2
3

3
√
2 −1 =
3

1
9
−
3

2
9
+
3

4
9

A
a
=
B
b
=
C
c
=
D
d
√
Aa +
√
Bb +
√
Cc +
√
Dd =

(a + b + c + d)(A + B + C + D)
ax
3
= by
3
= cz
3
1
x
+

1
y
+
1
z
= 1
3

ax
2
+ by
2
+ cz
2
=
3
√
a +
3
√
b +
3
√
c
a, b, c, d abcd = 1
a + b + c + d =
1
a
+
1

b
+
1
c
+
1
d
1

4 −

10 −2
√
5 −

4 +

10 −2
√
5 = 1 −
√
5

2 +
√
3 +

14 −5
√
3 = 3

√
2
3

6 +

847
27
+
3

6 −

847
27
= 3

4 −
√
15 +

5 +
√
21 +

6 −
√
35 +
√
6

3

7 +
8
3

55
3
+
3

7 −
8
3

55
3

5 +

17 + 2
√
7+

5 +

17 −2
√
7+


5 −

17 + 2
√
7−

5 +

17 −2
√
7
4

2 +
√
5 + 2

2 +
√
5 +
4

2 +
√
5 −2

2 +
√
5
a, b, c

a
2002
=
b
2003
=
c
2004
4(a −b)(b − c) = (c − a)
2
x, y x
2
+ xy + y
2
= 0

x
x + y

2001
+

y
x + y

2001
n 2n + 1 {2, 5, 9}
a
1
, a

2
, . . . , a
2n+1
a
2n+1
= a
1
a
1
a
2
− a
2
a
3
+ ··· + a
2n−1
a
2n
− a
2n
a
2n+1
= 0
a, b, c ∈ R
1
bc −a
2
+
1

ca −b
2
+
1
ab −c
2
= 0
a
(bc −a
2
)
2
+
b
(ca −b
2
)
2
+
c
(ab −c
2
)
2
= 0
n n x
1
, . . . , x
n
k

S
k
= x
k
1
+ ··· + x
k
n
S
2
= S
3
= S
4
S
k
= S
1
k
x, y
(
√
x
2
+ 3 + x)(

y
2
+ 3 + y) = 1
x + y = 0

x, y, z xyz(x + y + z) = 1
(x + y)(y + z)(z + x) =
1
x
+
1
z
+ (x + z)xz
a, b, c, d, e, f





|d + e − a − b| =
√
3 ·

|b −a| + |e − d|

|e + f −b −c| =
√
3 ·

|c −b| + |e − f|

|f + a −c −d| =
√
3 ·


|c −d|+ |f − a|

a + c + e = b + d + f
n w = cos
2kπ
n + 1
+ i · sin
2kπ
n + 1
n + 1 1 1
a
k
=

cos
2kπ
n + 1

n
1 + a
1
w + a
2
w
2
+ ··· + a
n
w
n
= 0

• cos a + cos b = 2 cos(
a+b
2
) ·cos(
a−b
2
)
• cos a −cos b = −2 sin(
a+b
2
) ·sin(
a−b
2
)
• sin a + sin b = 2 sin(
a+b
2
) ·cos(
a−b
2
)
• sin a −sin b = 2 cos(
a+b
2
) ·sin(
a−b
2
)
• tan a + tan b =
sin(a+b)

cos a·cos b
• cos a ·cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a − b)]
• sin a ·cos b =
1
2
[sin(a + b) + sin(a − b)]
• cos(a + b) · cos(a − b) = cos
2
a −sin
2
b
• (cos a + cos b)
2
+ (sin a + sin b)
2
= 4 cos
2
a−b
2
• (cos a −cos b)
2
+ (sin a − sin b)
2
= 4 sin
2
a−b
2

• cos(a + b) = cos a ·cos b − sin a · sin b
• cos(a −b) = cos a ·cos b + sin a · sin b
• sin(a + b) = sin a ·cos b + cos a · sin b
• sin(a −b) = sin a ·cos b − cos a · sin b
• sin 2a = 2 sin a · cos a
• cos 2a = cos
2
a −sin
2
a = 2 cos
2
a −1 = 1 −2 sin
2
a
• cos
2
a + sin
2
a = 1
• tan 2a =
2 tan a
1−tan
2
a
• sin 3a = 3 sin a − 4 sin
3
a
• cos 3a = 4 cos
3
a −3 cos a

• tan 3a =
3 tan a−tan
3
a
1−3tg
2
a
• tan a −tan b =
sin(a−b)
cos a·cos b
• cot a + cot b =
sin(a+b)
sin a·sin b
• cot a −cot b =
sin(b−a)
sin a·sin b
tan
a
2
= 4 tan
b
2
tan
a −b
2
=
3 sin b
5 −3 cos b
a cos x + b cos y = a cos(x + z) + b cos(y + z) = 0 z = kπ
t ∈ R

a cos(x + t) + b cos(y + t) = 0
• tan
4
a =
cos 4a−4 cos 2a+3
cos 4a+4 cos 2a+3
•
1
2
· cot
4
a =
sin
2
2a+4 sin
2
a−4
1−8 sin
2
a−cos 4a
• cot a −tan a − 2 tan 2a −4 tan 4a = 8 cot 8a
• cos
6
a −sin
6
a =
(3+cos
2
2a) cos 2a
4

• 2(sin
6
a + cos
6
a) −3(sin
4
a + cos
4
a) + 1 = 0
•
1+sin 2a
sin a+cos a
−
1−tan
2
a
2
1+tan
2
a
2
•
√
1+cos a+
√
1−cos a
√
1+cos a−
√
1−cos a

= c ot(
a
2
+
π
4
)
sin(a + 2b) = 2 sin a tan(a + b) = 3 tan b
sin(x −α)
sin(x −β)
=
a
b
cos(x −α)
cos(x −β)
=
a
1
b
1
ab
1
+ a
1
b = 0
cos(α −β) =
aa
1
+ bb
1

ab
1
+ a
1
b
f(x) = a sin x + b cos x x
1
, x
2
x
1
− x
2
= k · π k ∈ Z f(x
1
) = f(x
2
) = 0
f(x)
a = cos(x−α), b = sin(x −β) a
2
−2ab sin(α−
β) + b
2
= c os
2
(α −β)
x = 2y x+y+z = π (sin y+sin z)·sin y = sin
2
x

0 < α, β <
π
2

3 sin
2
α + 2 sin
2
β = 1
3 sin 2α − 2 sin 2β = 0
α + 2β =
π
2
r
2
− 1
1 + 2r cos u + r
2
=
1 + 2r cos v + r
2
r
2
− 1
r
2
− 1
1 + 2r cos u + r
2
=

r + cos u
r − cos v
= ±
sin u
sin v
= −
1 + r cos u
1 + r cos v
tan
u
2
· tan
v
2
= ±
r + 1
r − 1
cos x = tan y, cos y = tan z, cos z = tan x
sin x = sin y = sin z =
√
5 −1
2
sin x
a
1
=
sin 3x
a
3
=

sin 5x
a
5
a
1
+ a
5
a
3
=
a
3
− a
1
a
1
cos x
a
1
=
cos 2x
a
2
=
cos 3x
a
3
sin
2
x

2
=
2a
2
− a
1
− a
3
4a
2
sin β
sin(2α + β)
=
m
n
1 +
tan α
tan β
m + n
=
1 −tan α tan β
m −n
0 < α, β <
π
2
α = β
cos x −cos α
cos x −cos β
=
sin

2
α cos β
sin
2
β cos α
tan
2
x
2
= tan
2
α
2
· tan
2
β
2
sin(a + b − c − d) =
sin(a −c) sin(a −d)
sin(a −b)
+
sin(b −c) sin(b −d)
sin(b −a)

cyclic
tan a −
sin(a + b + c)

cyclic
cos a

=

cyclic
tan a

cyclic
sin a −sin(a + b + c) = 4

cyclic
sin
a + b
2

cyclic
cos a −cos(a + b + c) = 4

cyclic
cos
a + b
2
sin
4
α
a
+
cos
4
β
b
=

1
a + b
sin
8
α
a
3
+
cos
8
β
b
3
=
1
(a + b)
3
a, b, c

cyclic
sin(a −b)
cos a ·cos b
= 0

cyclic
sin a
sin(a −b) sin(a −c)
= 0

cyclic

cos a
sin(a −b) sin(a −c)
= 0

cyclic
sin a sin(b − c) cos(b + c − a) = 0

cyclic
cos a sin(b − c) sin(b + c − a) = 0

cyclic
1
sin(a −b)(a − c)
=
1
2

cyclic
cos
a−b
2
a + b + c = π

cyclic
sin 3a sin
3
(b −c) = 0

cyclic
sin 3a cos

3
(b −c) = 0

cyclic
sin
3
a cos(b −c) = 0

cyclic
sin
3
a sin(b −c) = 0

cyclic
sin a = 4

cyclic
cos
a
2

cyclic
cos a = 1 + 4

cyclic
sin
a
2

cyclic

tan a =

cyclic
tan a

cyclic
tan
a
2
tan
b
2
= 1

cyclic
sin 2a = 4

cyclic
sin a

cyclic
cos
2
a = 2

cyclic
cos a + 1
a
1
cos α

1
+ a
2
cos α
2
+ ··· + a
n
cos α
n
= 0 a
1
cos(α
1
+ θ) +
a
2
cos(α
2
+ θ) + ··· + a
n
cos(α
n
+ θ) = 0 θ = k · π(k ∈ Z)
λ ∈ R
a
1
cos(α
1
+ λ) + a
2

cos(α
2
+ λ) + ··· + a
n
cos(α
n
+ λ) = 0
a
tan(α + x)
=
b
tan(α + y)
=
c
tan(α + z)

cyclic
a + b
a −b
sin
2
(x −y) = 0
(a+b) sin(x−α) = (a−b) sin(x+α) atg
x
2
= c+b tan
α
2
sin α =
2bc

a
2
− b
2
− c
2
tan 3α = tan α ·tan(60
0
− α) ·tan(60
0
+ α)
cot 3α = cot α ·cot(60
0
− α) ·cot(60
0
+ α)
tan
2
α + tan
2
(60
0
− α) + tan
2
(60
0
+ α) = 9 tan
2
3α + 6
sin 18

0
=
√
5 −1
4
tg15
0
= 2 −
√
3
sin 15
0
=
√
6 −
√
2
4
cos 15
0
=
√
6 −
√
2
4
cos 18
0
=
1

4

10 + 2
√
2