Tổng hợp tài liệu hình không gian ôn thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.82 MB, 94 trang )
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Góc giữa hai véc tơ
Giả sử ta có
( )
( )
; ;
=
→ = =
=
AB u
u v AB AC BAC
AC v
, v
ớ
i
0 180 .
≤ ≤
o o
BAC
2) Tích vô hướng của hai véc tơ
Gi
ả
s
ử
ta có
( )
. . . .cos .
=
→ = =
=
AB u
u v AB AC AB AC AB AC
AC v
Nh
ậ
n xét:
+ Khi
0
. 0
0
=
→ =
=
u
u v
v
+ Khi
(
)
0
; 0
↑↑ → =
u v u v
+ Khi
(
)
0
; 180
↑↓ → =
u v u v
+ Khi
. 0
⊥ ←→ =
u v u v
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính góc giữa hai véc tơ
(
)
; .
AB BC
b) Gọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB. Tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
(
)
; .
CI AC
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
ta
đượ
c
( )
( )
2
. . .
cos ; , 1 .
.
.
= = =
AB BC AB BC AB BC
AB BC
AB BC a
AB BC
Xét
(
)
. . . .
= + = +
AB BC AB BA AC AB BA AB AC
Mà
( )
( )
0 2
2
0
. . .cos . . .cos180
. . .cos . . .cos60
2
= = = −
= = =
AB BA AB BA AB BA a a a
a
AB AC AB AC AB AC a a
2 2
2
. .
2 2
→ = − + = −
a a
AB BC a
( )
( )
( )
2
0
2
1
2
1 cos ; ; 120 .
2
−
⇔ = = − → =
a
AB BC AB BC
a
V
ậ
y
(
)
; 120 .
=
o
AB BC
b) Ta có
( )
. .
cos ;
.
.
= =
CI AC CI AC
CI AC
CI AC
CI AC
T
ứ
di
ệ
n ABCD
đề
u c
ạ
nh a, CI là trung tuy
ế
n c
ủ
a tam giác
đề
u ABC nên
( )
( )
2
3 .
cos ; , 2 .
2
3
2
= → =
a CI AC
CI CI AC
a
Ta có
(
)
. . . .= + = +
CI AC CI AI IC CI AI CI IC
Do
∆
ABC
đề
u nên
. 0.
⊥ ⇔ =
CI AI CI AI
Tài liệu tham khảo:
01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Đồng thời,
( )
2 2 2
0
3 3 3 3 3
. . .cos ; . .cos180 . 0 .
2 2 4 4 4
= = = − → = − = −
a a a a a
CI IC CI IC CI IC CI AC
Thay vào (2) ta
đượ
c
( )
( )
( )
2
0
2
3
3
4
2 cos ; ; 150 .
2
3
2
−
⇔ = = − → =
a
CI AC CI AC
a
V
ậ
y
(
)
0
; 150 .
=
CI AC
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của
AB.
a) Biểu diễn các véc tơ
SM
và
BC
theo các véc tơ
; ; .
SA SB SC
b) Tính góc
(
)
; .
SM BC
Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
được
( )
1
2
2
= +
+ =
←→
= +
= −
SM SA SB
SA SB SM
BC BS SC
BC SC SB
b)
( )
( )
. .
cos ; , 1 .
.
.
= =
SM BC SM BC
SM BC
SM BC
SM BC
Mà SA, SB, SC
đ
ôi m
ộ
t vuông góc nên
. 0
. 0
. 0
=
=
=
SA SB
SA SC
SB SC
Tam giác SAB và SBC vuông t
ạ
i S nên theo
đị
nh lý Pitago ta
đượ
c
2
2
1 2
2 2
=
= = →
= =
BC a
AB BC a
a
SM AB
Theo câu a,
( ) ( )
2
2
0
0 0
1 1 1
. . . . . .
2 2 2 2
= + − = − + − = − = −
a
SM BC SA SB SC SB SASC SA SB SB SC SB SB SB
Thay vào (1) ta
đượ
c
( )
( )
2
0
. 1
2
cos ; ; 120 .
. 2
2
. 2
2
−
= = = − → =
a
SM BC
SM BC SM BC
SM BC
a
a
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1) Khái ni
ệ
m véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
M
ộ
t véc t
ơ
u 0
≠
mà có ph
ươ
ng song song ho
ặ
c trùng v
ớ
i d
đượ
c g
ọ
i là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d.
2) Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
Khái ni
ệ
m:
Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a và b là góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a
′
; b
′
l
ầ
n l
ượ
t song song v
ớ
i a; b. Kí hi
ệ
u
( )
a;b .
T
ừ
đị
nh ngh
ĩ
a ta có s
ơ
đồ
( )
( )
a//a
a;b a ;b
b//b
′
′ ′
→ =
′
Nh
ậ
n xét:
+ Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là
u; v
và
(
)
u; v
φ.
=
Khi đó,
( )
( )
o o
o o o
a; b φ ; 0 φ 90
a; b 180
φ ; 90 φ 180
= ≤ ≤
= − < ≤
+ Nếu a // b hoặc a ≡ b thì
( )
o
a; b 0 .
=
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
Phương án 2
Tạo ra các đường
( )
( )
a // a
a,b a ,b
b // b
′
′ ′
→ =
′
- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, dựng đường ∆ // b
( )
( )
a,b a,
→ = ∆
Chú ý:
Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:
N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác vuông thì dùng các công th
ứ
c tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.
N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác th
ườ
ng thì s
ử
d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác
ABC
:
2 2 2
2 2 2
2 cos cos .
2
+ −
= + − → =
b c a
a b c bc A A
bc
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết
= = =
3; ; 3 .
SA a AB a AD a
Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SD và BC.
b) SB và CD.
c) SC và BD.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Tính góc gi
ữ
a SD và BC
Để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD và BC ta s
ử
d
ụ
ng
ph
ươ
ng án 2, tìm
đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i m
ộ
t trong hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD, BC và song song v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng còn l
ạ
i.
Ta d
ễ
nh
ậ
n th
ấ
y AD // BC.
Khi
đ
ó
( )
( )
o
SDA
SD;BC SD;AD
180 SDA
= =
−
Xét
∆
SAD:
o
SA 3
tanSDA SDA 30 .
AD 3
= = → =
V
ậ
y
( )
o
SD;BC 30 .
=
b) Tính góc gi
ữ
a SB và CD
T
ươ
ng t
ự
,
( )
( )
o
SBA
CD//AB SB;CD SB;AB
180 SBA
→ = =
−
Xét
∆
SAB:
o
SA
tanSBA 3 SDA 60 .
AB
= = → =
Vậy
( )
o
SB;CD 60 .
=
c) Tính góc gi
ữ
a SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
Trong ∆SAC có
( )
( )
o
IOB
OI//SC SC;BD OI;BD
180 IOB
→ = =
−
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI:
2
2 2 2
a 3 a 7
IB IA AB a
2 2
= + = + =
ABCD là hình chữ nhật nên
2 2 2 2
a 10
BD AB AD a 9a a 10 OB OA
2
= + = + = → = =
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO:
2 2
2 2
a 3 a 10 a 13
IO IA AO
2 2 2
= + = + =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được:
2 2 2
2 2 2
13a 10a 7a
OI OB IB 8
4 4 4
cosIOB
2.OI.OB
a 13 a 10 130
2. .
2 2
+ −
+ −
= = =
( )
8
IOB arccos SC;BD .
130
→ = =
V
ậ
y
( )
8
SC;BD arccos .
130
=
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết
= = =
2 , 3.
AB CD a MN a Tính góc gi
ữ
a
hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
Do AB và CD là các c
ạ
nh c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n nên chúng chéo nhau,
để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD ta t
ạ
o các
đườ
ng th
ẳ
ng t
ươ
ng
ứ
ng song song v
ớ
i AB, CD và chúng c
ắ
t
nhau.
G
ọ
i P là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC, khi
đ
ó MP // AB, NP // CD
( )
( )
o
MPN
AB,CD MP,NP
180 MPN
→ = =
−
Do MP, NP là các
đườ
ng trung bình nên ta có MP = NP = a.
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆MPN ta
đượ
c
( )
2 2 2 2 2
o o
MP NP MN 2a 3a 1
cosMPN
2MP.NP 2.a.a 2
MPN 120 MP,NP 60
+ − −
= = = −
→ = ⇔ =
V
ậ
y
( )
o
AB,CD 60 .
=
Nhận xét:
Ngoài vi
ệ
c kh
ở
i t
ạ
o P nh
ư
trên ta c
ũ
ng có th
ể
l
ấ
y
đ
i
ể
m P là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BD, cách gi
ả
i khi
đ
ó c
ũ
ng t
ươ
ng t
ự
.
Ví d
ụ
3. Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình thang vuông t
ạ
i A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc v
ớ
i
AB và AD, =
2 3
3
a
SA . Tính góc c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
a)
( )
( )
Do DC// AB DC,SB AB,SB
α
→ = =
Tam giác SAB vuông t
ạ
i A nên
α
là góc nh
ọ
n, khi
đ
ó
o
2a 3
SA 3
3
tan
α α 30
AB 2a 3
= = = → =
Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30
o
.
b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là
hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a
DI a 2.
→ =
mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI.
Khi đó,
( )
( )
SD,BC SD,DI
β
= =
.
Tam giác SAI vuông tại A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SI SA AI a
3 3
= + = + =
Tam giác SAD vuông t
ạ
i A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SD SA AD a
3 3
= + = + =
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác SDI ta
đượ
c
2 2 2 2
SD DI SI 2a 3
cosSDI
2SD.DI
a 21 42
2. .a 2
3
+ −
= = =
Do
cosSDI 0
>
nên góc
SDI
là góc nh
ọ
n
3
β
SDI arccos .
42
→ = =
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
c
ạ
nh
a
, g
ọ
i
I
là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh
AD
. Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
AB
và
CI
.
Đ/s:
( )
3
; arccos .
6
=
AB CI
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD. G
ọ
i M, N, P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, AD và AC. Bi
ế
t
2 , 2 2, 5.
= = =AB a CD a MN a
Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và
2.
=BC a Tính góc giữa
(
)
,
SC AB
, từ đó suy ra góc
giữa SC và AB.
III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu
( )
; 90 .
o
a b a b
= ←→ ⊥
Chú ý:
Các ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh a
⊥
b:
Chứng minh
( )
o
a; b 90
=
Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau,
u.v 0.
=
Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó
= = = = = =
o o o
AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 .
G
ọ
i I và J l
ầ
n l
ượ
t
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD.
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng IJ vuông góc v
ớ
i c
ả
hai
đườ
ng AB và CD.
b) Tính
độ
dài IJ.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,
∆ACD vuông cân tại A.
Từ đó
BC BD a,CD a 2
= = = →∆BCD vuông cân t
ạ
i B.
Chứng minh IJ vuông góc với AB
Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân t
ạ
i A, B nên
1
AJ CD
2
AJ BJ IJ AB.
1
BJ CD
2
=
→ = ⇔ ⊥
=
Chứng minh IJ vuông góc với CD
Do các ∆ACD, ∆BCD
đề
u nên CI = DI → IJ ⊥CD.
b) Áp d
ụ
ng
đị
nh lý Pitago cho ∆AIJ vuông t
ạ
i I ta
đượ
c
2
2
2 2
a 2 a a
IJ AJ AI
2 4 2
= − = − =
V
ậ
y IJ = a/2.
Ví dụ 2.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và
= =
ASB BSC CSA.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SA ⊥
⊥⊥
⊥ BC, SB ⊥
⊥⊥
⊥ AC, SC ⊥
⊥⊥
⊥ AB.
Hướng dẫn giải:
Ch
ứ
ng minh: SA ⊥ BC.
Xét
(
)
SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB
= − = −
Mà
( )
( )
SA.SC SA.SC.cos SA;SC
SA.SB SA.SB.cos SA;SB
SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC
SA SB SC
ASB BSC CSA
=
=
→ = ⇔ − = ←→ = ⇔ ⊥
= =
= =
Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB
Ví d
ụ
3. Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
, c
ạ
nh b
ằ
ng
a
. G
ọ
i
O
là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
∆
∆∆
∆BCD
.
a) Ch
ứ
ng minh
AO
vuông góc v
ớ
i
CD
.
b) G
ọ
i
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
CD
. Tính góc gi
ữ
a
BC
và
AM
.
AC
và
BM
.
Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng
Gọi M là trung điểm của CD. Ta có
(
)
AO.CD AM MO .CD AM.CD MO.CD
= + = +
Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay
O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó
AM CD AM.CD 0
AO.CD 0 AO CD.
MO CD
MO.CD 0
⊥ =
⇔ → = ⇔ ⊥
⊥
=
b)
Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM
Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC.
Từ đó
( )
( )
AMI
BC;AM MI;AM
180 AMI
= =
−
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆AMI ta
đượ
c
( )
2 2 2
AM MI AI
cosAMI , 1 .
2.AM.MI
+ −
=
Các ∆ABD, ∆ACD
đề
u, có c
ạ
nh a nên
a 3
AI AM .
2
= =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
MI là đường trung bình nên MI = a/2.
Từ đó
( )
( )
2 2 2
a 3a 3a
1 1 1
4 4 4
1 cosAMI AMI arccos BC;AM arccos .
a a 3 2 3 2 3 2 3
2. .
2 2
+ −
⇔ = = → = ⇔ =
Xác định góc giữa BC và AM:
G
ọ
i J là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AD
→
MJ // AC.
Khi
đ
ó
( )
( )
BMJ
AC;BM MJ;BM
180 BMJ
= =
−
Các tam giác ABD, BCD là các tam giác
đề
u c
ạ
nh a, nên các trung tuy
ế
n t
ươ
ng
ứ
ng
a 3
BJ BM
2
= =
Do
đ
ó,
1
AIM BJM AMI BMJ arccos .
2 3
∆ = ∆ → = =
V
ậ
y
( )
1
AC;BM arccos .
2 3
=
Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A
′
′′
′
B
′
′′
′
C
′
′′
′
D
′
′′
′
cạnh a. Đặt
′
= = =
AB a,AD b,AA c.
a) Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
( )
( )
( )
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .
b) G
ọ
i O là tâm c
ủ
a hình vuông ABCD và I là m
ộ
t
đ
i
ể
m sao cho
′ ′
= + + + +
OI OA OA OB OB
′ ′
+ + + +
OC OC OD OD .
Tính khoảng cách từ O đến I theo a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
theo ba véc tơ
a, b, c.
Từ đó, chứng tỏ rằng AC′
′′
′ và BD vuông góc với nhau.
d) Trên cạnh DC và BB′
′′
′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a).
Chứng minh rằng AC′
′′
′ vuông góc với MN.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để
làm t
ố
t các bài toán liên quan
đế
n hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta c
ầ
n nh
ớ
m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t c
ơ
b
ả
n c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng:
T
ấ
t c
ả
các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng
đề
u b
ằ
ng nhau và b
ằ
ng
a 2
(n
ế
u hình l
ậ
p ph
ươ
ng c
ạ
nh a).
Các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng t
ạ
o b
ở
i các kích th
ướ
c c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng luôn vuông góc v
ớ
i nhau (dài, r
ộ
ng, cao).
a) Tính góc giữa:
( )
( )
( )
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .
Tính
( )
AB,B C
′ ′
:
( )
( )
o
Do B C //BC AB,B C AB,BC 90 .
′ ′ ′ ′
→ = =
Tính
( )
AC,B C
′ ′
:
( )
( )
o
ACB
Do B C //BC AC,B C AC,BC
180 ACB
′ ′ ′ ′
→ = =
−
ABCD là hình vuông nên
∆
ABC là tam giác vuông cân t
ạ
i B
( )
o o
ACB 45 AC,B C 45 .
′ ′
→ = ⇔ =
Tính
( )
A C ,B C
′ ′ ′
:
( )
( )
o
ACB
Do A C //AC A C ,B C AC,B C
180 ACB
′
′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = =
′
−
Xét trong tam giác ACB
′
có AC = B
′
C = AB
′
(do
đề
u là các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t hình vuông c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng).
Do
đ
ó
∆
ACB
′
đề
u
( )
o o
ACB 60 A C ,B C 60 .
′ ′ ′ ′
→ = ⇔ =
b) Tính độ dài OI theo a.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Với O là tâm của hình vuông ABCD thì
OA OC 0
OA OC OB OD 0
OB OD 0
+ =
→ + + + =
+ =
Khi
đ
ó
OI OA OB OC OD
′ ′ ′ ′
= + + +
G
ọ
i O
′
là tâm c
ủ
a
đ
áy A
′
B
′
C
′
D
′
, theo quy t
ắ
c trung tuy
ế
n ta có
OA OC 2OO
OI 4OO
OB OD 2OO
′ ′ ′
+ =
′
→ =
′ ′ ′
+ =
Kho
ả
ng cách t
ừ
O
đế
n I chính là
độ
dài véc t
ơ
OI, t
ừ
đ
ó ta
đượ
c OI = 4OO
′
= 4a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
theo ba véc t
ơ
a, b, c.
Theo tính ch
ấ
t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta d
ễ
dàng có
a.b 0
a.c 0
b.c 0
=
=
=
Phân tích:
AC AB BC CC a b c
BD BA AD b a
′ ′
= + + = + +
= + = −
Ch
ứ
ng minh AC
′
vuông góc v
ớ
i BD.
Xét
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
AC .BD a b c . b a a.b b c.b a a.b c.a b a AD AB 0 AC .BD AC B
D.
′ ′ ′
= + + − = + + − − − = − = − = ⇔ ⇔ ⊥
d) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC
′
′′
′
vuông góc v
ớ
i MN.
Ta có phân tích:
MN MC CB BN
AC AB BC CC
= + +
′ ′
= + +
( ) ( )
0 0 0 0
MN.AC MC CB BN . AB BC CC MC.AB MC.BC MC.CC CB.AB CB.BC CB.CC
BN.AB
′ ′ ′ ′
→ = + + + + = + + + + + +
+
0 0
BN.BC BN.CC MC.AB CB.BC BN.CC
′ ′
+ + = + +
Mà
( )
( )
o
o 2 2
o
MC.AB MC.AB.cos0 a x a
CB.BC CB.BC.cos180 a MN.AC a x a a ax 0 MN AC .
BN.CC BN.CC .cos0 ax
= = −
′ ′
= = − → = − − + = ⇔ ⊥
′ ′
= =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp
S.ABCD
có
ABCD
là hình ch
ữ
nh
ậ
t v
ớ
i
; 3
AB a AD a
= = , SA = 2a và vuông góc v
ớ
i
đ
áy. Tính
góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SB và CD b) SD và BC
c) SB và AC d) SC và BD
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t
đ
áy là
trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a AB, bi
ế
t
3.
SH a= G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SD. Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
a) SC và AB b) SD và BC
c) CI và AB d) BD và CI
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang vuông t
ạ
i A, B v
ớ
i AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chi
ế
u
vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là H thu
ộ
c AB v
ớ
i AH = 2HB, bi
ế
t SH = 2a. Tính góc gi
ữ
a
a) SB và CD
b) SB và AC
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Góc giữa hai véc tơ
Giả sử ta có
( )
( )
; ;
=
→ = =
=
AB u
u v AB AC BAC
AC v
, v
ớ
i
0 180 .
≤ ≤
o o
BAC
2) Tích vô hướng của hai véc tơ
Gi
ả
s
ử
ta có
( )
. . . .cos .
=
→ = =
=
AB u
u v AB AC AB AC AB AC
AC v
Nh
ậ
n xét:
+ Khi
0
. 0
0
=
→ =
=
u
u v
v
+ Khi
(
)
0
; 0
↑↑ → =
u v u v
+ Khi
(
)
0
; 180
↑↓ → =
u v u v
+ Khi
. 0
⊥ ←→ =
u v u v
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính góc giữa hai véc tơ
(
)
; .
AB BC
b) Gọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB. Tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
(
)
; .
CI AC
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
ta
đượ
c
( )
( )
2
. . .
cos ; , 1 .
.
.
= = =
AB BC AB BC AB BC
AB BC
AB BC a
AB BC
Xét
(
)
. . . .
= + = +
AB BC AB BA AC AB BA AB AC
Mà
( )
( )
0 2
2
0
. . .cos . . .cos180
. . .cos . . .cos60
2
= = = −
= = =
AB BA AB BA AB BA a a a
a
AB AC AB AC AB AC a a
2 2
2
. .
2 2
→ = − + = −
a a
AB BC a
( )
( )
( )
2
0
2
1
2
1 cos ; ; 120 .
2
−
⇔ = = − → =
a
AB BC AB BC
a
V
ậ
y
(
)
; 120 .
=
o
AB BC
b) Ta có
( )
. .
cos ;
.
.
= =
CI AC CI AC
CI AC
CI AC
CI AC
T
ứ
di
ệ
n ABCD
đề
u c
ạ
nh a, CI là trung tuy
ế
n c
ủ
a tam giác
đề
u ABC nên
( )
( )
2
3 .
cos ; , 2 .
2
3
2
= → =
a CI AC
CI CI AC
a
Ta có
(
)
. . . .= + = +
CI AC CI AI IC CI AI CI IC
Do
∆
ABC
đề
u nên
. 0.
⊥ ⇔ =
CI AI CI AI
Tài liệu tham khảo:
01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Đồng thời,
( )
2 2 2
0
3 3 3 3 3
. . .cos ; . .cos180 . 0 .
2 2 4 4 4
= = = − → = − = −
a a a a a
CI IC CI IC CI IC CI AC
Thay vào (2) ta
đượ
c
( )
( )
( )
2
0
2
3
3
4
2 cos ; ; 150 .
2
3
2
−
⇔ = = − → =
a
CI AC CI AC
a
V
ậ
y
(
)
0
; 150 .
=
CI AC
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của
AB.
a) Biểu diễn các véc tơ
SM
và
BC
theo các véc tơ
; ; .
SA SB SC
b) Tính góc
(
)
; .
SM BC
Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
được
( )
1
2
2
= +
+ =
←→
= +
= −
SM SA SB
SA SB SM
BC BS SC
BC SC SB
b)
( )
( )
. .
cos ; , 1 .
.
.
= =
SM BC SM BC
SM BC
SM BC
SM BC
Mà SA, SB, SC
đ
ôi m
ộ
t vuông góc nên
. 0
. 0
. 0
=
=
=
SA SB
SA SC
SB SC
Tam giác SAB và SBC vuông t
ạ
i S nên theo
đị
nh lý Pitago ta
đượ
c
2
2
1 2
2 2
=
= = →
= =
BC a
AB BC a
a
SM AB
Theo câu a,
( ) ( )
2
2
0
0 0
1 1 1
. . . . . .
2 2 2 2
= + − = − + − = − = −
a
SM BC SA SB SC SB SASC SA SB SB SC SB SB SB
Thay vào (1) ta
đượ
c
( )
( )
2
0
. 1
2
cos ; ; 120 .
. 2
2
. 2
2
−
= = = − → =
a
SM BC
SM BC SM BC
SM BC
a
a
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1) Khái ni
ệ
m véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
M
ộ
t véc t
ơ
u 0
≠
mà có ph
ươ
ng song song ho
ặ
c trùng v
ớ
i d
đượ
c g
ọ
i là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d.
2) Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
Khái ni
ệ
m:
Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a và b là góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a
′
; b
′
l
ầ
n l
ượ
t song song v
ớ
i a; b. Kí hi
ệ
u
( )
a;b .
T
ừ
đị
nh ngh
ĩ
a ta có s
ơ
đồ
( )
( )
a//a
a;b a ;b
b//b
′
′ ′
→ =
′
Nh
ậ
n xét:
+ Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là
u; v
và
(
)
u; v
φ.
=
Khi đó,
( )
( )
o o
o o o
a; b φ ; 0 φ 90
a; b 180
φ ; 90 φ 180
= ≤ ≤
= − < ≤
+ Nếu a // b hoặc a ≡ b thì
( )
o
a; b 0 .
=
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
Phương án 2
Tạo ra các đường
( )
( )
a // a
a,b a ,b
b // b
′
′ ′
→ =
′
- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, dựng đường ∆ // b
( )
( )
a,b a,
→ = ∆
Chú ý:
Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:
N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác vuông thì dùng các công th
ứ
c tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.
N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác th
ườ
ng thì s
ử
d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác
ABC
:
2 2 2
2 2 2
2 cos cos .
2
+ −
= + − → =
b c a
a b c bc A A
bc
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết
= = =
3; ; 3 .
SA a AB a AD a
Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SD và BC.
b) SB và CD.
c) SC và BD.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Tính góc gi
ữ
a SD và BC
Để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD và BC ta s
ử
d
ụ
ng
ph
ươ
ng án 2, tìm
đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i m
ộ
t trong hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD, BC và song song v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng còn l
ạ
i.
Ta d
ễ
nh
ậ
n th
ấ
y AD // BC.
Khi
đ
ó
( )
( )
o
SDA
SD;BC SD;AD
180 SDA
= =
−
Xét
∆
SAD:
o
SA 3
tanSDA SDA 30 .
AD 3
= = → =
V
ậ
y
( )
o
SD;BC 30 .
=
b) Tính góc gi
ữ
a SB và CD
T
ươ
ng t
ự
,
( )
( )
o
SBA
CD//AB SB;CD SB;AB
180 SBA
→ = =
−
Xét
∆
SAB:
o
SA
tanSBA 3 SDA 60 .
AB
= = → =
Vậy
( )
o
SB;CD 60 .
=
c) Tính góc gi
ữ
a SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
Trong ∆SAC có
( )
( )
o
IOB
OI//SC SC;BD OI;BD
180 IOB
→ = =
−
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI:
2
2 2 2
a 3 a 7
IB IA AB a
2 2
= + = + =
ABCD là hình chữ nhật nên
2 2 2 2
a 10
BD AB AD a 9a a 10 OB OA
2
= + = + = → = =
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO:
2 2
2 2
a 3 a 10 a 13
IO IA AO
2 2 2
= + = + =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được:
2 2 2
2 2 2
13a 10a 7a
OI OB IB 8
4 4 4
cosIOB
2.OI.OB
a 13 a 10 130
2. .
2 2
+ −
+ −
= = =
( )
8
IOB arccos SC;BD .
130
→ = =
V
ậ
y
( )
8
SC;BD arccos .
130
=
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết
= = =
2 , 3.
AB CD a MN a Tính góc gi
ữ
a
hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
Do AB và CD là các c
ạ
nh c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n nên chúng chéo nhau,
để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD ta t
ạ
o các
đườ
ng th
ẳ
ng t
ươ
ng
ứ
ng song song v
ớ
i AB, CD và chúng c
ắ
t
nhau.
G
ọ
i P là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC, khi
đ
ó MP // AB, NP // CD
( )
( )
o
MPN
AB,CD MP,NP
180 MPN
→ = =
−
Do MP, NP là các
đườ
ng trung bình nên ta có MP = NP = a.
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆MPN ta
đượ
c
( )
2 2 2 2 2
o o
MP NP MN 2a 3a 1
cosMPN
2MP.NP 2.a.a 2
MPN 120 MP,NP 60
+ − −
= = = −
→ = ⇔ =
V
ậ
y
( )
o
AB,CD 60 .
=
Nhận xét:
Ngoài vi
ệ
c kh
ở
i t
ạ
o P nh
ư
trên ta c
ũ
ng có th
ể
l
ấ
y
đ
i
ể
m P là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BD, cách gi
ả
i khi
đ
ó c
ũ
ng t
ươ
ng t
ự
.
Ví d
ụ
3. Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình thang vuông t
ạ
i A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc v
ớ
i
AB và AD, =
2 3
3
a
SA . Tính góc c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
a)
( )
( )
Do DC// AB DC,SB AB,SB
α
→ = =
Tam giác SAB vuông t
ạ
i A nên
α
là góc nh
ọ
n, khi
đ
ó
o
2a 3
SA 3
3
tan
α α 30
AB 2a 3
= = = → =
Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30
o
.
b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là
hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a
DI a 2.
→ =
mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI.
Khi đó,
( )
( )
SD,BC SD,DI
β
= =
.
Tam giác SAI vuông tại A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SI SA AI a
3 3
= + = + =
Tam giác SAD vuông t
ạ
i A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SD SA AD a
3 3
= + = + =
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác SDI ta
đượ
c
2 2 2 2
SD DI SI 2a 3
cosSDI
2SD.DI
a 21 42
2. .a 2
3
+ −
= = =
Do
cosSDI 0
>
nên góc
SDI
là góc nh
ọ
n
3
β
SDI arccos .
42
→ = =
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
c
ạ
nh
a
, g
ọ
i
I
là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh
AD
. Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
AB
và
CI
.
Đ/s:
( )
3
; arccos .
6
=
AB CI
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD. G
ọ
i M, N, P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, AD và AC. Bi
ế
t
2 , 2 2, 5.
= = =AB a CD a MN a
Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và
2.
=BC a Tính góc giữa
(
)
,
SC AB
, từ đó suy ra góc
giữa SC và AB.
III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu
( )
; 90 .
o
a b a b
= ←→ ⊥
Chú ý:
Các ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh a
⊥
b:
Chứng minh
( )
o
a; b 90
=
Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau,
u.v 0.
=
Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó
= = = = = =
o o o
AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 .
G
ọ
i I và J l
ầ
n l
ượ
t
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD.
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng IJ vuông góc v
ớ
i c
ả
hai
đườ
ng AB và CD.
b) Tính
độ
dài IJ.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,
∆ACD vuông cân tại A.
Từ đó
BC BD a,CD a 2
= = = →∆BCD vuông cân t
ạ
i B.
Chứng minh IJ vuông góc với AB
Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân t
ạ
i A, B nên
1
AJ CD
2
AJ BJ IJ AB.
1
BJ CD
2
=
→ = ⇔ ⊥
=
Chứng minh IJ vuông góc với CD
Do các ∆ACD, ∆BCD
đề
u nên CI = DI → IJ ⊥CD.
b) Áp d
ụ
ng
đị
nh lý Pitago cho ∆AIJ vuông t
ạ
i I ta
đượ
c
2
2
2 2
a 2 a a
IJ AJ AI
2 4 2
= − = − =
V
ậ
y IJ = a/2.
Ví dụ 2.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và
= =
ASB BSC CSA.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SA ⊥
⊥⊥
⊥ BC, SB ⊥
⊥⊥
⊥ AC, SC ⊥
⊥⊥
⊥ AB.
Hướng dẫn giải:
Ch
ứ
ng minh: SA ⊥ BC.
Xét
(
)
SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB
= − = −
Mà
( )
( )
SA.SC SA.SC.cos SA;SC
SA.SB SA.SB.cos SA;SB
SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC
SA SB SC
ASB BSC CSA
=
=
→ = ⇔ − = ←→ = ⇔ ⊥
= =
= =
Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB
Ví d
ụ
3. Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
, c
ạ
nh b
ằ
ng
a
. G
ọ
i
O
là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
∆
∆∆
∆BCD
.
a) Ch
ứ
ng minh
AO
vuông góc v
ớ
i
CD
.
b) G
ọ
i
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
CD
. Tính góc gi
ữ
a
BC
và
AM
.
AC
và
BM
.
Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng
Gọi M là trung điểm của CD. Ta có
(
)
AO.CD AM MO .CD AM.CD MO.CD
= + = +
Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay
O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó
AM CD AM.CD 0
AO.CD 0 AO CD.
MO CD
MO.CD 0
⊥ =
⇔ → = ⇔ ⊥
⊥
=
b)
Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM
Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC.
Từ đó
( )
( )
AMI
BC;AM MI;AM
180 AMI
= =
−
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆AMI ta
đượ
c
( )
2 2 2
AM MI AI
cosAMI , 1 .
2.AM.MI
+ −
=
Các ∆ABD, ∆ACD
đề
u, có c
ạ
nh a nên
a 3
AI AM .
2
= =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
MI là đường trung bình nên MI = a/2.
Từ đó
( )
( )
2 2 2
a 3a 3a
1 1 1
4 4 4
1 cosAMI AMI arccos BC;AM arccos .
a a 3 2 3 2 3 2 3
2. .
2 2
+ −
⇔ = = → = ⇔ =
Xác định góc giữa BC và AM:
G
ọ
i J là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AD
→
MJ // AC.
Khi
đ
ó
( )
( )
BMJ
AC;BM MJ;BM
180 BMJ
= =
−
Các tam giác ABD, BCD là các tam giác
đề
u c
ạ
nh a, nên các trung tuy
ế
n t
ươ
ng
ứ
ng
a 3
BJ BM
2
= =
Do
đ
ó,
1
AIM BJM AMI BMJ arccos .
2 3
∆ = ∆ → = =
V
ậ
y
( )
1
AC;BM arccos .
2 3
=
Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A
′
′′
′
B
′
′′
′
C
′
′′
′
D
′
′′
′
cạnh a. Đặt
′
= = =
AB a,AD b,AA c.
a) Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
( )
( )
( )
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .
b) G
ọ
i O là tâm c
ủ
a hình vuông ABCD và I là m
ộ
t
đ
i
ể
m sao cho
′ ′
= + + + +
OI OA OA OB OB
′ ′
+ + + +
OC OC OD OD .
Tính khoảng cách từ O đến I theo a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
theo ba véc tơ
a, b, c.
Từ đó, chứng tỏ rằng AC′
′′
′ và BD vuông góc với nhau.
d) Trên cạnh DC và BB′
′′
′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a).
Chứng minh rằng AC′
′′
′ vuông góc với MN.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để
làm t
ố
t các bài toán liên quan
đế
n hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta c
ầ
n nh
ớ
m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t c
ơ
b
ả
n c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng:
T
ấ
t c
ả
các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng
đề
u b
ằ
ng nhau và b
ằ
ng
a 2
(n
ế
u hình l
ậ
p ph
ươ
ng c
ạ
nh a).
Các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng t
ạ
o b
ở
i các kích th
ướ
c c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng luôn vuông góc v
ớ
i nhau (dài, r
ộ
ng, cao).
a) Tính góc giữa:
( )
( )
( )
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .
Tính
( )
AB,B C
′ ′
:
( )
( )
o
Do B C //BC AB,B C AB,BC 90 .
′ ′ ′ ′
→ = =
Tính
( )
AC,B C
′ ′
:
( )
( )
o
ACB
Do B C //BC AC,B C AC,BC
180 ACB
′ ′ ′ ′
→ = =
−
ABCD là hình vuông nên
∆
ABC là tam giác vuông cân t
ạ
i B
( )
o o
ACB 45 AC,B C 45 .
′ ′
→ = ⇔ =
Tính
( )
A C ,B C
′ ′ ′
:
( )
( )
o
ACB
Do A C //AC A C ,B C AC,B C
180 ACB
′
′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = =
′
−
Xét trong tam giác ACB
′
có AC = B
′
C = AB
′
(do
đề
u là các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t hình vuông c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng).
Do
đ
ó
∆
ACB
′
đề
u
( )
o o
ACB 60 A C ,B C 60 .
′ ′ ′ ′
→ = ⇔ =
b) Tính độ dài OI theo a.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Với O là tâm của hình vuông ABCD thì
OA OC 0
OA OC OB OD 0
OB OD 0
+ =
→ + + + =
+ =
Khi
đ
ó
OI OA OB OC OD
′ ′ ′ ′
= + + +
G
ọ
i O
′
là tâm c
ủ
a
đ
áy A
′
B
′
C
′
D
′
, theo quy t
ắ
c trung tuy
ế
n ta có
OA OC 2OO
OI 4OO
OB OD 2OO
′ ′ ′
+ =
′
→ =
′ ′ ′
+ =
Kho
ả
ng cách t
ừ
O
đế
n I chính là
độ
dài véc t
ơ
OI, t
ừ
đ
ó ta
đượ
c OI = 4OO
′
= 4a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
theo ba véc t
ơ
a, b, c.
Theo tính ch
ấ
t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta d
ễ
dàng có
a.b 0
a.c 0
b.c 0
=
=
=
Phân tích:
AC AB BC CC a b c
BD BA AD b a
′ ′
= + + = + +
= + = −
Ch
ứ
ng minh AC
′
vuông góc v
ớ
i BD.
Xét
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
AC .BD a b c . b a a.b b c.b a a.b c.a b a AD AB 0 AC .BD AC B
D.
′ ′ ′
= + + − = + + − − − = − = − = ⇔ ⇔ ⊥
d) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC
′
′′
′
vuông góc v
ớ
i MN.
Ta có phân tích:
MN MC CB BN
AC AB BC CC
= + +
′ ′
= + +
( ) ( )
0 0 0 0
MN.AC MC CB BN . AB BC CC MC.AB MC.BC MC.CC CB.AB CB.BC CB.CC
BN.AB
′ ′ ′ ′
→ = + + + + = + + + + + +
+
0 0
BN.BC BN.CC MC.AB CB.BC BN.CC
′ ′
+ + = + +
Mà
( )
( )
o
o 2 2
o
MC.AB MC.AB.cos0 a x a
CB.BC CB.BC.cos180 a MN.AC a x a a ax 0 MN AC .
BN.CC BN.CC .cos0 ax
= = −
′ ′
= = − → = − − + = ⇔ ⊥
′ ′
= =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp
S.ABCD
có
ABCD
là hình ch
ữ
nh
ậ
t v
ớ
i
; 3
AB a AD a
= = , SA = 2a và vuông góc v
ớ
i
đ
áy. Tính
góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SB và CD b) SD và BC
c) SB và AC d) SC và BD
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t
đ
áy là
trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a AB, bi
ế
t
3.
SH a= G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SD. Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
a) SC và AB b) SD và BC
c) CI và AB d) BD và CI
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang vuông t
ạ
i A, B v
ớ
i AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chi
ế
u
vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là H thu
ộ
c AB v
ớ
i AH = 2HB, bi
ế
t SH = 2a. Tính góc gi
ữ
a
a) SB và CD
b) SB và AC
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn Facebook: LyHung95
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao
2 3
=
SA a
đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a.
a) Chứng minh rằng: (SCD)⊥(SAD).
b) Tính khoảng cách từ O và từ A tới mặt phẳng (SCD).
c) Tính tan của góc giữa SB và (SAC).
d) Xác định tâm, bán kính, và tính diện diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC, có đường cao SA, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
; 3
= =
AB a AC a
.
Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
3
.
4
a
Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD và th
ể
tích kh
ố
i
c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p kh
ố
i chóp.
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABCD, có
đườ
ng cao SA,
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t,
2 ; 2 3
= =
AB a AD a
.
G
ọ
i O là tâm
đ
áy, bi
ế
t kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AC và SD b
ằ
ng
3
.
2
a
a)
Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD
b)
Tính th
ể
tích kh
ố
i c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p kh
ố
i chóp S.ABCD.
Ví dụ 4:
Hình chóp S.ABC có
đườ
ng cao SA = a,
đ
áy ABC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a. Tính bán kính m
ặ
t c
ầ
u
ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp.
Ví dụ 5:
Cho hình chóp t
ừ
giác
đề
u S.ABCD có c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng a và góc h
ợ
p b
ở
i m
ặ
t bên và
đ
áy b
ằ
ng 60
0
.
Xác
đị
nh tâm và bán kính m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp.
Ví dụ 6:
Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u ABCD có c
ạ
nh là a.
a)
Xác
đị
nh tâm và bán kính m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n.
b)
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u và th
ể
tích kh
ố
i c
ầ
u
đ
ó.
Ví dụ 7:
Cho m
ộ
t hình chóp t
ứ
giác
đề
u có c
ạ
nh
đ
áy là a, c
ạ
nh bên h
ợ
p v
ớ
i m
ặ
t
đ
áy m
ộ
t góc 60
0
.
a)
Xác
đị
nh tâm và bán kính m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp.
b)
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u và th
ể
tích kh
ố
i c
ầ
u
đ
ó.
Ví dụ 8:
Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u S.ABCD có t
ấ
t c
ả
các c
ạ
nh
đề
u b
ằ
ng a. Xác
đị
nh tâm và bán kính c
ủ
a
m
ặ
t c
ầ
u
đ
i qua n
ă
m
đ
i
ể
m S, A, B, C, D.
Ví dụ 9:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh a,
)(ABCDSA
⊥
và 3aSA = . Gọi
O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.
a)
Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K B
cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Tài liệu bài giảng:
MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn Facebook: LyHung95
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và )(ABCSA
⊥
.
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm
trên mặt cầu tâm O bán kính
2
SC
R = .
b)
Cho SA = BC = a và
2aAB =
. Tính bán kính m
ặ
t c
ầ
u nói trên.
Ví dụ 11:
Cho hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC) và tam giác ABC vuông t
ạ
i B. G
ọ
i AH, AK l
ầ
n l
ượ
t là các
đườ
ng cao c
ủ
a các tam giác SAB và SAC.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ă
m
đ
i
ể
m A, B, C, H, K cùng
ở
trên m
ộ
t m
ặ
t c
ầ
u.
b)
Cho AB = 10, BC = 24. Xác
đị
nh tâm và tính bán kính m
ặ
t c
ầ
u
đ
ó.
Ví dụ 12:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông c
ạ
nh b
ằ
ng a,
7
=
SA a
và SA
⊥
(ABCD). M
ộ
t
m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) qua A và vuông góc v
ớ
i SC, c
ắ
t SB, SC, SD l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i H, M, K.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng b
ả
y
đ
i
ể
m A, B, C, D, H, M, K cùng
ở
trên m
ộ
t m
ặ
t c
ầ
u.
b)
Xác
đị
nh tâm và tính bán kính m
ặ
t c
ầ
u
đ
ó.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn Facebook: LyHung95
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên
mặt phẳng ABCD là trung điểm H của AB, đường trung tuyến AM của ∆ACD có độ dài
3
2
a
, góc giữ
a
hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD) và (ABCD) b
ằ
ng 30
0
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD và tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u
ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp S.ABC.
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABC bi
ế
t SA = SB = SC,
∆
ABC có
0
60
=
BAC , AB = 4, AC = 5. Góc gi
ữ
a SA và
(ABC) b
ằ
ng 60
0
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABC và tìm tâm, bán kính m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp theo a.
Ví dụ 3:
Cho t
ứ
di
ệ
n SABC có SA
⊥
(ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xác
đị
nh tâm và tính bán kính m
ặ
t
c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a)
0
90
=
BAC b)
0
60
=
BAC , b = c c)
0
120
=
BAC , b = c.
Ví dụ 4:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t,
; 3
= =
AB a AD a
. Gọi O là tâm đáy,
biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABC; khoảng cách từ O
đến mặt phẳng (SAD) bằng
.
2
a
a)
Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD
b)
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p kh
ố
i chóp S.ABCD.
Ví dụ 5:
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD, bi
ế
t AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (ACD) và (BCD)
vuông góc v
ớ
i nhau.
a) Ch
ứ
ng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n ABCD.
Đ
/s:
2
2 2
3
=
−
a
R
a b
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a. Trên nửa
đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB,
cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. tính diện tích của mặt
cầu đó.
b) Cho
3
=
SA a
. Tính diện tích của tứ giác APQR.
Ví dụ 7: Cho hình chp S.ABC có đáy là tam giác ABC biết AB =5a ; BC =4a và CA = 3a Trên đương
vuông góc v
ới (ABC) dựng từ A lấy một điểm S sao cho (SBC) tạo với đáy góc 45
0
. Xác định tâm và
tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chop trên.
Ví dụ 8: Cho
∆
ABC cân có
0
120
=
BAC và đường cao
2
=
AH a
. Trên đường thẳng
∆
⊥
(ABC) tại
Tài liệu bài giảng:
MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn Facebook: LyHung95
A ta lấy 2 điểm I, J ở 2 bên điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.
a) Tính các cạnh của ∆ABC
b) Tính AI, AJ và CM các tam giác BIJ, CIJ là các tam giác vuông cân
c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC
( 2 3)
=R a
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết SA vuông góc với
(ABCD), AB = BC = a; AD = 2a,
3.
=SA a
Tính góc giữa
a) (SB; CD)
b) (SC; AB)
c) (SD; BC)
d) (SB; CK), với K là điểm thuộc đoạn AB sao cho BK = 2KA.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với
1
.
2
=
AH HB
Biết
2 ; 3; 2.
= = =AB a AD a SH a
Tính góc giữa
a) (SD; BC)
b) (SB; CD)
c) (SA; HC)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA = a; AB =
a;
2.
BC a=
Gọi I là trung điểm của BC.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC)
b) Gọi J là trung điểm của SB, N là điểm trên đoạn AB sao cho AN = 2NB. Tính góc giữa hai đường AC và
JN.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
; 3.
AB a AD a= = Hình chiếu vuông góc
của đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của OD, biết SH = 2a. Tính góc giữa
a) (SB; CD)
b) (AC; SD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
3
a
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S
xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với
1
; 2.
4
AH AB SH a= = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SD; BC)
b)
(SB; AC)
c)
(SA; BD)
d)
(SC; BD)
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:
02. LUYỆN TẬP VỀ TÍNH GÓC
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC. Hình chiếu
vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AI với
2 0
HI HA
+ =
và
3.
SH a=
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SA; BC)
b) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB; SI)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC với
1
; 2 .
4
AH AC SH a
= = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; CD)
b)
(SC; BD)
c)
(SB; AD)
d)
(SA; BD)
Bài 6.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đỉ
nh S xu
ố
ng
(ABCD) là trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a AB. Bi
ế
t
3.
SH a= Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; BC)
b)
(SB; CD)
c)
(SA; CD)
d)
(SB; MN), v
ớ
i M và N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC; CD.
e)
(SC; MN), v
ớ
i M, N nh
ư
trên.
Bài 7.
Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a. Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng (ABC)
là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c AB sao cho
1
.
3
AH AB
= Bi
ế
t di
ệ
n tích tam giác SAB b
ằ
ng
2
3
.
2
a
Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; BC)
b)
(SB; AC)
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Ví dụ 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Hướng dẫn giải:
a) * S
xq
= 2πRl = 2π.OA.AA
’
= 2π.R.2R = 4
π
R
2
* OA = R; AA
’
= 2R
* S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
= 4
π
R
2
+
π
R
2
= 5
π
R
2
b) V =
2
π
R h
=
2
′
π
.OA .OO
=
2 3
2 2
π = π
.R . R R
Ví dụ 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3 cm. Hãy tính diện tích của thiết diện
được tạo nên
Hướng dẫn giải:
a) Ta có S
xq
= 2πRl = 2π.OA.AA
’
= 2
π
.5.7 = 70π (cm
2
)
* OA = 5cm; AA
’
= 7cm
* S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
= 70π + 50π = 120π (cm
2
)
b) V =
2
π
R h
=
2
′
π
.OA .OO
= π.5
2
.7 = 175π (cm
3
)
c) Gọi I là trung điểm của AB
⇒
OI = 3 cm
*
ABB A
S
′ ′
= AB.AA
’
= 8.7 = 56 (cm
2
) (hình chữ nhật)
* AA
’
= 7
* Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tính: AI = 4 (cm) (do tam giác OAI vuông tại I)
Ví dụ 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao
3
h r
=
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính th
ể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục
của hình trụ bằng 30
0
. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
Hướng dẫn giải:
Tài liệu bài giảng:
MẶT TRỤ - KHỐI TRỤ
Thầy Đặng Việt Hùng
A
B
O
O'
A'
B'
l
h
h
r
l
B'
A'
O'
I
O
B
A
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
a) * S
xq
= 2
π
Rl = 2
π
.OA.AA
’
= 2
π
.r. r
3
= 2
3
π
r
2
* S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
= 2
π
r
2
3
+ 2
π
r
2
= 2 (
3 1
)
+
π
r
2
b) * V =
2
R h
π
=
2
.OA .OO
′
π
=
2 3
3 3
.r .r rπ = π
c) * OO
’
//AA
’
⇒
BAA
∧
′
= 30
0
* Kẻ O
’
H
⊥
A
’
B
⇒
O
’
H là khoảng cách giữa đường thẳng AB
và trục OO
’
của hình trụ
* Tính: O
’
H =
3
2
r
(vì
∆
BA
’
O
’
đều cạnh r)
* C/m:
∆
BA
’
O
’
đều cạnh r * Tính: A
’
B = A
’
O
’
= BO
’
= r
* Tính: A
’
B = r (do tam giác AA
’
B vuông tại A
’
)
Cách khác: Tính O
’
H =
2 2
′ ′ ′
−
O A A H
=
2
2
3
4 2
− =
r r
r
(
∨
∆
A
’
O
’
H tại H). Tính: A
’
H =
2
′
A B
=
2
r
Tính: A
’
B = r (do tam giác AA
’
B vuông tại A
’
)
Ví dụ 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O
’
, bán kính R, chiều cao hình trụ là
2
R
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Hướng dẫn giải:
a) * S
xq
= 2πRl = 2π.OA.AA
’
= 2
π
.R. R
2
=
2 2
π
R
2
* S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
=
2 2
π
R
2
+ 2
π
R
2
= 2
2 1
+
( )
π
R
2
b) * V =
2
π
R h
=
2
′
π
.OA .OO
=
2 3
2 2
π = π.R .R R
Ví dụ 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h = 50 cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách
từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ
Đ/s: a) S
xq
= 2πRl = 5000 π (cm
2
) S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
= 5000π + 5000π = 10000π (cm
2
)
b) * V =
2
π
R h
= 125000π (cm
3
)
c) * O
’
H = 25 (cm)
r
3
H
A
B
O
O'
A'
r
R
2
R
A'
O'
O
A
LUYN THI I HC MễN TON Thy Hựng Chuyờn Hỡnh hc khụng gian
Tham gia khúa TON 2014 t 9 im Toỏn www.moon.vn facebook: LyHung95 fanpage: Hungdv95
BI TP T LUYN
Bài 1: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông.
a) Tính diện tích thiết diện qua trục.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của trụ.
c) Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ.
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy
lớn CD = 4a, cạnh bên bằng
5
2
a
; chiều cao hình lăng trụ bằng h.
a) Chứng minh có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ đó.
Bài 3: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng
4
.
a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ.
c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ.
Bài 4: Cho hình trụ có trục O
1
O
2
. Một mặt phẳng
( )
song song với trục O
1
O
2
cắt hình trụ theo
thiết diện là hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm của thiết diện đó. Tính góc O
1
OO
2
biết bán kính
đờng tròn ngoại tiếp ABCD bằng bán kính đờng tròn đáy của hình trụ.
