Đề thi và đáp án môn toán cao cấp A1

ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP A1- HKI 2011-2012
Thời gian: 75 phút
Câu 1: ( 2 điểm )
a/ Tính

 
 

 
2012
1
3
i
i

b/ Tính giới hạn:



ln(1 )
0
lim
x
x
x

Câu 2: ( 1,5 điểm) Khảo sát sự liên tục của hàm số










3
1
, 0
( )
3 , 0
x
e
x
f x
x
x

Chứng minh rằng hàm số
( )
f x
liên tục tại
0
x

. Hàm
( )
f x

có khả vi tại
0

x

hay
không? Tại sao?
Câu 3: ( 2 điểm) Khảo sát và vẽ đường cong trong tọa độ cực
5 4 sin
r

 

Câu 4: ( 3 điểm)
a/ Khảo sát sự hội tụ của tích phân
3
3 5
1
( 1)
3
x x
dx
x x x x


  


b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi
1
( 1) ( 2)
3. .5



 

n n
n
n
x
n

Câu 5: (1,5 điểm) Khai triển thành chuỗi lũy thừa của (x-3) của hàm



 
2
6 2
( )
6 5
x
f x
x x
. Tính
(2011)
(3)
f
.

ĐÁP ÁN:
Câu 1: ( 2 điểm )
a/ Tính
2012
1
3
i
i

 
 

 

2012
2012
2012
1006
2012
1006
1006
2. cos sin
4 4

1
3
2. cos sin
6 6
1
cos sin
2 4 6 4 6
1 5 5
cos sin
2 12 12
1 2515
cos
2 3
i
i
i
i
i
i
 
 
   
 

 
 
   
  
 
   

 

 
   
 
 

 
 
 

 

 
 
 
 
 
   
     
 
   
   
 
 
   
   
 
   
   

 
 
1006
2515
sin
3
1
cos sin
2 3 3
i
i

 
 
   
 
 
   
   
 
 
   
   
 
   
   
 

b/ Tính giới hạn:




ln(1 )
0
lim
x
x
x

Đặt

ln(1 )
0
ln(1 )
0
0
lim
ln ln lim
ln lim ln(1 ). ln
x
x
x
x
x
A x
A x
A x x










 
  

2
0 0 0
2
2
0 0 0
2
0 0 0
2
1
ln(1 ) . ln
1
ln lim lim lim
1 1
1
ln . ln
1
2(ln )
1 ln
lim . lim lim
1
1

1
2 ln 2
lim lim lim 2 0
1 1
Lp
x x x
Lp
x x x
Lp
x x x
x x x
x
A
x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
  
  
  
  
  

  


    



  
  

 
 
    
   

   
   

Nên
0
1
A e
 
.
Câu 2: ( 1,5 điểm)
a/
0

x
:

3
0 0
1 3
lim lim 3 (0)
x
x x
e x
f
x x
 

  
Vậy hàm số liên tục tại
0
x

.
b/
3
3 3 3
' '
2
0 0 0 0 0
1
3
( ) (0) 1 3 3 3 9 9
lim lim lim lim lim
0 2 2 2
x

x x x
L hospital L hospital
x x x x x
e
f x f e x e e
x
x x x x
    


   
    


Do giới hạn trên tồn tại nên
( )
f x
khả vi tại
0
x

.

Câu 3: ( 2 điểm) Khảo sát và vẽ đường cong trong tọa độ cực
5 4 sin
r

 

MXĐ:

R

 

Tuần hoàn : Hàm số tuần hoàn chu kì
2

nên ta chỉ cần khảo sát trên
[0, 2 ]


Đối xứng: Hàm số có dạng
(sin )
f

nên đối xứng qua Oy nên ta chỉ cần khảo
sát trên
[ , ]
2 2
 

.
Ta có:
/ /
/
4cos ; 0 ; [ , ]
2 2 2 2
5 4sin
tan
4cos

r r
r
r
   
 



       

 


BBT:


-
2


2


/
r

0 - 0
r

9

1
tan







Đồ thị: Ta vẽ đồ thị trong
[ , ]
2 2
 

sau đó lấy đối xứng qua Oy sẽ được toàn
bộ đồ thị.


Câu 4: ( 3 điểm)
a/ Khảo sát sự hội tụ của tích phân
3
3 5
1
( 1)
3
x x
dx
x x x x



  


Khi
 
x
thì


  

2
3
3
3 5 3
2
( 1) 1
3
x x x
x x x x x x
x
.
Mà


3
1
2
1

dx
x
hội tụ ( do 
 
3
1
2
)
Nên
3
3 5
1
( 1)
3
x x
dx
x x x x


  

hội tụ (tcss2)
b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi
1
( 1) ( 2)
3 .5
n n
n
n
x

n


 


Đặt
2
X x
 
thì chuỗi trở thành
1
( 1)
3 .5
n n
n
n
X
n





Xét
1
1
3. .5 1
lim lim 5
3.( 1).5 5

n
n
n
n n
n
a n
R
a n


 
   


nên
5 5 2 5
X x
     
. Và khoảng hội tụ là


3,7
x  

- Tại
3
x
 
:
1

1
3
n
n



chuỗi phân kì (do


1
) .
- Tại
7
x

:
1
( 1)
3.
n
n
n




chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
- Vậy miền hội tụ là
( 3,7]


.


Câu 5: (1,5 điểm) Khai triển thành chuỗi lũy thừa của (x-3) của hàm



 
2
6 2
( )
6 5
x
f x
x x
. Tính
(2011)
(3)
f
.
- Đặt
3
t x
 
thì
0 3
t khi x
 

Mà
 
   
 
   









 
2 2 2
2
6 2 2 2 2
( )
6 5 4 4
4 1
4
x t t t
f x
x x t t
t

Nên

 

 
 



  



 


 









 
 
2 2 1
2
0 0
2
( )
2 4

2.4
4 1
4
n
n
n
n n
t t t t
f t
t

 
 

 
 
 
 
2 1 2 1
1
0 0
( 3) ( 3)
( )
2.4 2
n n
n n
n n
x x
f x

- Tính
(2011)
(3)
f
:
Do
   
2 1 2011 1005
n n

Ta có
(2011) 2011 2011
(2011)
1005 1005 2011
(3)( 3) ( 3) 2011! 2011!
(3)
2011! 2.4 2.4 2
f x x
f
 
    .


Cách 2:
 
 

 



  
 
 
 
 
   
 
 
 
  
 
 
 
 
 
   
 




 





 
 


2
0 0
1 1
0
6 2 1 1
( )
5 1
6 5
1 1
2 2
1 1
( 1)
2 2 2 2
1 ( 1)
.
2 2
n n
n
n n
n
n
n n
n
x
f x
x x
x x
t t
t t
t