3.TÌM m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

Chuyên đề:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆAN –
1
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN




BÀI TẬP: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
1/ Xác định m để pt sau có nghiệm:
m(

1 + 
2
–

1 
2
+2) = 2

1 
4
+

1 + 
2
–

1 
2

(1)
Hd: t = 1 + 
2
– 1 
2
đk: -1 x 1 thì 0 t

2 ,ta có t
2
= 2 - 21 
4
nên 1 
4
=
2
2
2

Pt trở thành : mt + 2m = 2 – t
2
+ t Hay là f(t) =

2
++2
+2
= m (2)
-Tìm Max ,Min của f(x) trên

0;


2

.Đk Min f(x) m Max f(x)
2/ Tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt:
2
2 2 1x mx x   
(1)
Hd: x -
1
2
Bình phương hai vế viết pt thành: f(x) =
3
2
+41

= m (2)
-Hàm số f(x) đồng biến với mọi x :

0

1
2

Do đó pt có 2 nghiệm khi m f(-
1
2
) =
9
2

3/ Xác định m để pt sau có nghiệm thực :
2
4
3 1 1 2 1x m x x    
(1)

Hd: Đk x 1 - Chia hai vế pt cho

+ 1 > 0 , được : 3(

1
+1
4
)
2
+ m = 2.

1
+1
4

- Đặt t =

1
+1
4
ta có 0 t 1 được phương trình f(t) = - 3t
2
+ 2t = m (2)
- Pt (1) có nghiệm t/mãn x 1 Khi pt (2) có nghiệm t/mãn: 0 t 1.

Đkiện Minf(x)  Maxf(x) Ta thấy trên nửa đoạn

0; 1)

hàm số f(t) có Max= f(
1
3
) và không có Min
Do đó suy ra : f(1) m f(
1
3
) Tức là : - 1 m
1
3
(chú ý với mọi x 1 thì 0 t 1)
4/ Cmr với m > 0, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt
2
2 8 ( 2)x x m x   
(1)
Hd: Đk x 2 .Viết pt thành (x -2)
2
+ 6(x-2) =

 .

2 






= 
3
+ 6= 
=

2 0

(2)
-P/trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn x 2 khi p/trình (2) có 2 nghiệm thực t/mãn t 0
Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x = t
2
+ 2 (Do t =

2 )
5/ Xác định m để pt sau có nghiệm:
2
( 1)(3 ) 2 3x x x x m    
(1)
Hd: Đkiện: – 1 x 3 .Viết p/trình thành  
2
+ 2+ 3 = 
2
23 + 3m + 3 .Đặt t =  
2
+ 2+ 3 ,
Thì 0  2 Ph/trình trở thành : - t
2
+ t = 3m + 3  f(t) = -
1

3
t
2
+
1
3
t - 1 = m (2)
-P/trình (1) có nghiệm t/mãn – 1 x 3 khi và chỉ khi p/trình (2) có nghiệm t/mãn 0  2
- Ta có trên

0; 2

:Maxf(t) = f(
1
2
) = -
11
12
; Minf(t) = f(2) = -
5
3
.Do đó p/trình có nghiệm khi: -
5
3
 m -
11
12

6/ Xác định m để pt sau có đúng 2 nghiệm :
22

4 5 4x x m x x    
(1)
Hd: txđ: R Viết p/trình thành: x
2
– 4x + 5 + 
2
4+ 5 - 5 = m .Đặt t = 
2
4+ 5 (*) , t 1.
-Ta có p/trình : f(t) = t
2
+ t – 5 = m (2)
- P/trình (1) có hai nghiệm khi p/trình (2) có một nghiệm thoả mãn t 1.Vì với mỗi giá trị của t thoả
mãn t 1 thay vào (*) ta được hai giá trị x thuộc R,(với t = 1 thì p/trình chỉ có một nghiệm x = 2).Từ đó suy
ra : m f(1) = - 3  m - 3 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm .
7/ Xác định m để pt sau có nghiệm:
3 6 (3 )(6 )x x x x m      
(1)
Hd: Đkiện: – 3 x 6 Đặt t =

3 + +

6  thì 0 t

6 ; Ta có :


3 + 

(6 ) =


2
9
2
.
Do đó ta có pt : f(t) =
1
2
t
2
– t -
9
2
= m (2)
-Để pt (1) có nghiệm : – 3 x 6 thì pt (2) phải có nghiệm t thoả mãn 0 t

6 Điều kiện m phải thuộc tập
giá trị của hàm số ,với 0 t

6 .Tức là Minf(t) m Maxf(t) .Với 0 t

6 .
Chuyên đề:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆAN –
2
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN

Ta có Minf(t) = f(1) = -5 và Maxf(t) = f(

6) =
32

6
2
.Như vậy để pt có nghiệm thì : -5 m
32

6
2

8/ Xác định m để pt sau có đúng 1 nghiệm :
4
4
13 1 0x x m x    
(1)
Hd: -Viết pt thành 
4
13+ 
4
= 1 – x .Đkiện : x 1
- Nâng luỹ thừa bậc 4 cả hai vế được : x
4
– 13x + m = x
4
– 4x
3
+ 6x

2
– 4x + 1
Hay là f(x) = – 4x
3
+ 6x
2
+ 9x + 1 = m . (2)
-Tính đạo hàm f ‘(x) = - 12x
2
+12x +9 = 0 khi x
1
= -
1
2
, x
2
=
3
2
… (Lập bảng biến thiên)
- Suy ra :Để pt (1) có đúng một nghiệm thì m f(1) = 9 (lúc m f(1) = 9 mặc dù pt (2) có hai nghiệm
nhưng chỉ có một nghiệm thoả mãn x 1) Vậy m 9
9/ Xác định m để pt sau có nghiệm :



2
2
+  = 3 - x
Hd: Đkiện: x 3 Bình phương hai vế ,được pt tương đương : 2x

2
+ mx = x
2
– 6x + 9  - x
2
- 6x + 9 = mx
-Chia hai vế cho x 0 được pt : f(x) =

2
6+9

= m  f(x) = - x – 6 +
9

= m ,có f ‘(x)= -1-
9

2
0
với

3
0

Suy ra :Phương trình luôn có nghiệm ,với mọi m  R
10/ Xác định m để pt sau có nghiệm :
mxxxx  11
22

Hd: Txđ : R .Tính đạo hàm ,lập bbt với hàm số f(x) =



2
+ + 1 -


2
+ 1 để suy ra kết quả mong muốn
11/ Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất :
3
22
1 2 1x x m   
(1)
Hd: Đkiện: – 1 x 1 .Đặt t = 1 
2
6
thì 0 t 1 p/trình trở thành : f(t) = t
3
+ 2t
2
= m (2)
-Pt (1) có nghiệm thoả mãn – 1 x 1  pt (2) có nghiệm thoả mãn 0 t 1 .
- Tính đạo hàm , lập bảng biến thiên để suy ra kết quả.
12/Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất :

3
4
1 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m      

13/ Xác định m để pt sau có nghiệm:


 +

9  =


2
+ 9 + m (1)
Hd: Đkiện: 0 x 9 Đặt t =

 +

9  thì 0 t  3 .Vì t
2
= 9 + 2


2
+ 9 


2
+ 9 =

2
9
2

Ta có ptrình : t =


2
9
2
+ m . Hay là f(t) = -

2
2
+ t +
9
2
= m (2)
-Tìm m để pt (1) có nghiệm : 0 x 9 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm 0 t  3
-Đ/kiện : Minf(t) m Maxf(t) trên

0; 3

.Ta có Minf(t) = f(3) = 3 , Maxf(t) = f(1) = 5. Vậy 3 m 5
Thì pt đã cho có nghiệm .
14/ Xác định m để pt sau có nghiệm:(m – 4)9
x
–2(m -2)3
x
+ m – 1=0 (1)
Hd: Txđ : R .
-Thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt .Do đó viết pt thành : m =
4.9

4.3

+1

9

2.3

+1
 m =
(2.3
x
1)
2
(3
x
1)
2
.(*)
Suy ra :- Đk cần : m 0 .
-Đk đủ:Từ pt (*) có

 = 2 +
1
3

1
  

 = 2 +
1
3

1


 =  2 
1
3

1


 
3

=

 1

  2
3

=

 +1


 + 2


 (vì 3

> 0  )
 

 

0;1



4 ;+∞)

0

- Vậy m 

0 ;

+ ∞) thì pt có nghiệm
15/Cho phương trình : 4

1
2
2
1

1
2
= m với m là tham số. (1)
- Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm.
Hd: Đk : -1 x 1 Đặt t = 2

1
2

thì ta có 1 t 2 , phương trình trở thành: f(t) = t
2
-
2

= m (2)
- Tìm m để pt (1) có nghiệm x thoả mãn -1 x 1 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm t thoả mãn
1 t 2 Điều này xẩy ra khi :Trên

1 ; 2

thì Minf(t) m Maxf(t) .
Chuyên đề:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆAN –
3
GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN



– Ta có f ‘(t) = 2t +
2

2
0 với mọi t thuộc

1 ; 2

Suy ra Minf(t) = f(1) = - 1 Maxf(t) = f(2) = 3.
-Vậy -13 thì pt có nghiệm

16/ Cho phương trình : 2
2+1
 2
+3
 2 = 0 (1)
a)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b)Giải phương trình với m=32
Hd: -Đặt t = 2
x
, t 0 Viết pt thành f(t) = t
2
– 4t = m (2) – P/trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi pt (2) có 2
nghiệm dương phân biệt .Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x .( x = log
2
 suy ra từ t = 2
x
)
– Dựa vào đồ thị ( hoặc bbt ) ta có : f(2) = - 4 m 0
(Lúc đó đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f(t) = t
2
– 4t tại hai điểm với hoành độ dương )