Đề+Đáp án thi HSG Toán 9 huyện Nga Sơn năm 2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (82.03 KB, 4 trang )
Phòng giáo dục & đào tạo
Huyện nga sơn
(Đề thi gồm có 01 trang)
đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs cấp huyện
năm học: 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 20/ 01/ 2011
Câu 1:
( 4 điểm)
.
Rút gọn các biểu thức:
a. A =
2 10
( 5 7)
2 5 7
+ +
b. B = 2
2
1 1
1
4
a
a
+
với a > 0
Câu 2: (4 điểm).
Giải các phơng trình:
a.
1 4 3
x x
+ + =
b. Cho ba số
, ,
a b c
thoả mn điều kiện:
a b c abc
+ + =
. Chứng minh rằng:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 4
a b c b a c c a b abc
+ + =
Câu 3:
(3 điểm)
.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình:
3x + 4y = 21. Hy tìm các điểm trên đờng thẳng (d) có toạ độ nguyên và nằm trong
góc phần t thứ (I).
Câu 4: (
2.0 điểm)
. Chứng minh rằng: Tổng S =
100
1
4
1
3
1
2
1
1 +++++
không thể là
một số nguyên.
Câu 5:
(6.0 điểm)
.
Cho đờng tròn (O; R) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O; r) tại A. Một tiếp tuyến
chung ngoài tiếp xúc với các đờng tròn (O) và (O) lần lợt tại B và C. Kẻ AH vuông
góc với BC.
a. Tính diện tích Tứ giác OBCO.
b. Chứng minh rằng: Giao điểm D của OC và OB là trung điểm của AH.
Câu 6:
(1.0 điểm)
.
Tìm các số nguyên
,
x y
thoả mn phơng trình: 5
2
25 3 8
x xy y
+ = + .
Hết
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Đề chính thức
Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện nga sơn
Hớng dẫn chấm
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010 2011
Môn thi: Toán
Câu
ý Tóm tắt lời giải Điểm
a.
(2đ)
A =
2 10
( 5 7)
2 5 7
+ +
=
(
)
( )( )
( )
2 10 2 5 7
5 7
2 5 7 2 5 7
+
+ + +
=
(
)
( ) ( )
( )
2 2
2 10 2 5 7
5 7
2 5 7
+
+
=
(
)
( )
2 10 2 5 7
5 7
2 10
+
=
2 5 7 5 7
+ +
=
2
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu1
4đ
b.
(2đ)
B = 2
2
1 1
1
4
a
a
+
với a > 0
B = 2
( )
2
2
1
1
1
4
a
a
+
=
( )
2
1 4
2
4
a a
a
+
=
( )
2
1
2
4
a
a
=
1
a
a
=
1
(0 1)
1
( 1)
a
a
a
a
a
a
<
>
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu2
4đ
a
2.5đ
1 4 3
x x
+ + =
(1)
Điều kiện:
1 0 1
4 1
4 0 4
x x
x
x x
+
(1)
(
)
(
)
(1 ) (4 ) 2 1 4 9
x x x x
+ + + + =
(
)
(
)
1 4 2
x x
+ =
0.5
0.5
(
)
(
)
1 4 4
x x
+ =
-x
2
- 3x = 0
-x(x + 3) = 0
x = 0; x = -3
Đối chiếu với điều kiện của x ta có nghiệm của phơng trình là
x = 0, x = -3
0.5
0.5
0.5
b
1.5đ
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c b a c c a b
+ +
=
2 2 2 2
ab c ab ac a
+
+
2 2 2 2
ba c ba bc b
+
+
2 2 2 2
cb a cb ca c
+
=
( )
a b c bc
+ + +
2 2
ab ac a
+
+
( )
a b c ac
+ + +
2 2
ba bc b
+
+
( )
a b c ab
+ +
2 2
cb ca c
+
=
2 2
abc b c bc
+ +
2 2
ab ac a
+
2 2
abc a c ac
+ + +
2 2
ba bc b
+
2 2 2 2
abc ab a b ca cb c
+ + + +
=
3 4
abc a b c abc
+ + + =
(đpcm)
0.5
0.5
0.5
Câu3
3đ
- Toạ độ các điểm cần tìm chính là nghiệm nguyên dơng của phơng
trình đ cho.
- Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng 3x + 4y = 21 tìm đợc
nghiệm (x = y = 3)
- Vậy điểm cần tìm là (3; 3).
0.5
1.25
0.25
Câu4
2đ
Ta có:
1 2 2
2( 3 2)
2 2 2 3 2
= > =
+
Tơng tự ta cũng có:
1
2( 4 3)
3
>
. . .
1
2( 101 100)
100
>
Suy ra S > 1 + 2
(
)
(
)
(
)
3 2 4 3 101 100
+ + +
S > 1 + 2(
101 2)
> 1 + 2(10 - 1.5) = 18
Vậy S > 18 (1)
Ta lại có:
1 2 2
2( 2 1)
2 2 2 2 1
= < =
+
Tơng tự ta cũng có:
1
2( 3 2)
3
<
. . .
1
2( 100 99)
100
<
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
Suy ra S < 1+ 2
(
)
(
)
(
)
2 1 3 2 100 99
+ + +
S < 1 + 2(
100 1)
= 19 (2)
Từ (1) và (2) ta có 18 < S < 19. Chứng tỏ S không thể là số nguyên
0.25
0.25
Câu5
6đ
a
3.0đ
- Từ A kẻ tiếp tuyến chung của
hai đờng tròn cắt BC tại M.
Chứng minh đợc BC = 2 AM.
- Chứng minh đợc tam giác OMO
vuông tại M
có MA là đờng cao nên
MA
2
= OA.OA = Rr
Từ đó tính đợc BC = 2MA = 2
Rr
- Chỉ ra tứ giác OBCO là hình thang vuông
có diện tích là: S =
1
( ).2 ( )
2
R r Rr R r Rr
+ = +
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
b
3.0đ
Gọi giao điểm của BO và AH là D. Các đờng thẳng OB, AH và OC
song song (vì cùng vuông góc với BC) nên ta có:
'
'
DH CD O A
OB CO O O
= =
Rr
DH
R r
=
+
Tơng tự tính đợc DA =
Rr
R r
+
Nh vậy BO cắt AH tại trung điểm D của AH.
Chứng minh tơng tự ta cũng đợc CO cắt AH tại trung điểm D của
AH.
Vậy hai đờng thẳng BO và CO cắt nhau tại trung điểm của AH.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu6
1 đ
5
2
25 3 8
x xy y
+ = +
2
8 25
3 5
y
x
y
=
+
. Do
,
x y
nên
2
8 25 3 5
y y
+
2
24 40 40 75 3 5
y y y y
+ +
-40y-75 chia hết cho 3y+5
120 225 3 5
y y
+
25 3 5 3 5 1; 5; 25
y y
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
, 7; 2 ; 5;0 ; 3; 10
x y
0.5
0.5
O
O
A
B
C
H
D
M
