Ebook cơ ứng dụng phần 2 ngô kiều nhi (chủ biên)

Chương
7

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT CÁC ĐIỂM
CỦA THANH
7.1 CÁC TIÊN ĐỀ CƠ SỞ
1- Đặt vấn đề
Để đánh giá khả năng làm việc của vật thể, ta cần xác đònh các ứng suất lớn nhất. Muốn vậy ta cần biết được trạng thái ứng suất
của mọi điểm thuộc vật. Như đã trình bày trong phần 1 mục 5.2.1 chương 5, để biết được TTƯS tại mỗi điểm, ta cần biết được ứng suất
trên 3 mặt cắt vuông góc nhau đi qua điểm khảo sát.
Cần nhắc lại mô hình vật thể nghiên cứu trong giáo trình là thanh. Từ mục 5.1.5 chương 5 ta đã biết cách xác đònh các
thành phần nội lực trên mặt cắt vuông góc với trục thanh sau khi biết toàn bộ hệ ngoại lực. Vấn đề tiếp theo cần được giải quyết
trong chương này là tìm các thành phần ứng suất như hàm của các thành phần nội lực và của tọa độ. Để giải quyết vấn đề này
người ta phải kết hợp khảo sát thực nghiệm với dẫn dắt lý thuyết. Trên cơ sở các kết luận rút ra được từ thực nghiệm người ta đưa
ra các tiên đề về quan hệ giữa nội lực và ứng suất, giữa ứng suất và biến dạng, và về đặc điểm biến dạng gây bởi các thành phần
nội lực.
2- Nguyên lý cộng tác dụng
Nguyên lý cộng tác dụng, hay còn có tên là nguyên lý độc lập tác dụng phát biểu ở dạng tổng quát như sau:

"Tác dụng của một hệ lực bằng tổng tác dụng của các lực thuộc hệ lực". Với nguyên lý này ta suy ra:
1- Biểu đồ nội lực của một hệ ngoại lực bằng tổng biểu đồ nội lực của từng ngoại lực.
2- Ứng suất (biến dạng) bằng tổng ứng suất (biến dạng) gây bởi từng thành phần nội lực riêng rẽ. Nhờ nhận đònh này mà vấn
đề xác đònh ứng suất (biến dạng) được tách thành các bài toán xác đònh chúng khi mà trên các mặt cắt trên suốt chiều dài thanh chỉ
có một loại thành phần nội lực. Trong kỹ thuật người ta gọi trường hợp thanh chòu tác dụng của hệ ngoại lực sao cho trên các mặt cắt
chỉ có một loại thành phần nội lực nào đó là trường hợp chòu lực đơn giản.
Các trường hợp chòu lực đơn giản có các tên gọi sau:
a) Kéo (nén) đúng tâm, khi trên mặt cắt chỉ tồn tại thành phần N
z
≠ 0. Nếu N
z

> 0, thì thanh chòu kéo đúng tâm, khi N
z
< 0 thì
thanh chòu nén đúng tâm;
b) Uốn thuần túy, khi trên mặt cắt chỉ tồn tại thành phần M
x
(hoặc M
y
) khác không;
c) Xoắn thuần túy, khi trên mặt cắt chỉ có M
z
khác không;
d) Cắt, khi trên mặt cắt, hệ nội lực tương đương với 1 lực nằm trong mặt cắt có đường tác dụng đi qua khối tâm.
Khi trên mặt cắt hệ nội lực chứa từ 2 thành phần trở lên thì ta nói rằng thanh chòu lực phức tạp. Để tính ứng suất (hay biến
dạng) khi thanh chòu lực phức tạp, ta tính ứng suất (hay biến dạng) gây bởi từng thành phần nội lực, rồi cộng các thành phần ứng
suất (hay biến dạng) tương ứng với nhau. Riêng trong trường hợp trên mặt cắt thanh hệ nội lực cho lực cắt và ngẫu lực mômen
uốn cùng nằm trong 1 mặt quán tính chính trung tâm (Q
y
và M
x
hay Q
x
và M
y
) thì thực nghiệm cho thấy không thể dùng nguyên
lý độc lập tác dụng. Trường hợp thanh chòu lực như vừa nêu trên, gọi là chòu uốn ngang phẳng, được xét riêng.
3- Đònh luật Húc
Trong kỹ thuật người ta công nhận giả thiết cho rằng trong quá trình làm việc thực tế thì đặc tính cơ học của vật liệu tuân
theo đònh luật Húc (mục 5.4 chương 5), có nghóa cho rằng quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính và không tồn tại biến
dạng dư sau khi ngoại lực thôi tác dụng. Vật liệu tuân theo đònh luật Húc được gọi là vật liệu đàn hồi tuyến tính. Lưu ý các kết

quả thực nghiệm (trình bày trong phần 1 mục 6.1 chương 6) thì giả thiết này chỉ có thể được chấp nhận trong trường hợp giá trò

biến dạng và ứng suất còn bé. Do vậy các công thức được thiết lập trên cơ sở đònh luật Húc, bao gồm các công thức thiết lập để
tính ứng suất đưa ra trong chương này, chỉ đúng trong trường hợp thanh khảo sát dưới tác dụng của tải trọng có biến dạng bé.
4- Tiên đề mặt cắt ngang phẳng
Quy luật biến thiên giá trò (hay gọi là quy luật phân bố) của các thành phần ứng suất trên mặt cắt có thể được quy đònh
trước dựa và kết quả quan sát thực nghiệm về đặc điểm biến dạng. Một trong hai tiên đề về đặc điểm biến dạng của thanh được
trình bày trong mục này là tiên đề mặt cắt ngang phẳng như sau "Các điểm nằm trên cùng một mặt cắt vuông góc với tiếp tuyến
trục thanh trước khi thanh bò biến dạng thì sẽ tiếp tục nằm trong cùng một mặt phẳng vuông góc với tiếp tuyến trục thanh sau khi
thanh bò biến dạng".
Nhờ tiên đề này mà khi thực hiện thí nghiệm, thay vì phải khảo sát sự di chuyển của mọi điểm nằm trên tiết diện thì ta chỉ
cần khảo sát sự di chuyển của các điểm nằm trên chu vi của hình phẳng tiết diện bằng cách khảo sát đường kẻ trên bề mặt thanh
vuông góc với trục thanh. Tiên đề này thực ra không phù hợp cho trường hợp thanh ở trạng thái chòu lực uốn ngang phẳng.
5- Tiên đề các thớ dọc
Để đưa ra tiên đề này, người ta quan niệm thanh được ghép lại bởi các sợi có cùng chiều dài, gọi là các thớ dọc. Tiên đề
được phát biểu như sau: "Trong quá trình thanh bò biến dạng thì các thớ dọc không xô đẩy lẫn nhau".
Nhờ tiên đề các thớ dọc mà ta cho rằng các thành phần ứng suất gây ra các biến dạng nằm trong mặt cắt bằng không, tức
ta có được:

σ = σ = τ =
x y xy
0
(7.1)
Vậy khi nghiên cứu lập biểu thức ứng suất của thanh ta chỉ quan tâm thiết lập biểu thức cho các thành phần ứng suất
, ,
z zx zy
σ τ τ
(lưu ý quy đònh thiết lập hệ trục tọa độ xyz như trong phần 1 mục 5.4 chương 5).
Kết hợp hai tiên đề về mặt cắt ngang phẳng và các thớ dọc cho phép chúng ta nhận đònh rằng khi thanh bò biến dạng thì
các tiết diện thanh trước khi thanh bò biến dạng vuông góc với tiếp tuyến trục thanh (hay vuông góc với trục thanh nếu trục thanh

là thẳng) sẽ chuyển động như một hình phẳng rắn tuyệt đối. Vấn đề là cần khẳng đònh tiếp trong các trường hợp chòu lực khác
nhau thì các tiết diện thực hiện dạng chuyển động nào.
Trình tự chung để lập biểu thức các thành phần ứng suất còn lại của thanh như sau:
Bước 1: Dựa vào quan hệ giữa các thành phần ứng suất và thành phần nội lực (công thức 5.14) tiến hành thí nghiệm quan
sát quy luật chuyển động, tức dạng chuyển động, của các tiết diện của thanh ở các trạng thái chòu lực mà tạo ra trên mặt cắt
thanh các thành phần ứng suất tương ứng.
Bước 2: Thiết lập biểu thức biến dạng như hàm của chuyển vò của tiết diện và tọa độ điểm khảo sát.
Bước 3: Sử dụng đònh luật Húc (công thức 5.38) lập biểu thức ứng suất như hàm của chuyển vò của tiết diện và tọa độ của
điểm.
Bước 4: Sử dụng quan hệ giữa các thành phần nội lực và các thành phần ứng suất (công thức 5.14) để thiết lập biểu thức
của chuyển vò tiết diện như hàm của nội lực.
Bước 5: Sau khi có hàm của chuyển vò phụ thuộc vào nội lực, sử dụng biểu thức thiết lập ở bước 3 để viết lại biểu thức ứng
suất như hàm của các thành phần nội lực trên tiết diện và tọa độ của điểm khảo sát.
Trong mục 7.2.1. và phần 1 mục 7.3.2 tiếp theo, khi thiết lập biểu thức tính ứng suất pháp σ
z
và ứng suất tiếp trên tiết diện
tròn gây bởi thành phần nội lực M
z
, ta sẽ sử dụng trình tự vừa nêu trên.
7.2 BIỂU THỨC TÍNH ỨNG SUẤT PHÁP σ
σσ
σ
Z

7.2.1 Lập biểu thức
Bước 1: Trong số các công thức ở (5.14) thì các công thức sau đây cho ta quan hệ giữa σ
z
với các thành phần nội lực:

z z
A
N dA
= σ
∫
(a)


x z
A
M y dA
= σ
∫
(b)

y z
A
M x dA
= − σ
∫
(c)
Áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng ta có thể tính riêng cho trường hợp chỉ có N
z
khác không, tính riêng cho trường hợp chỉ
có M
x
khác không, và tính riêng cho trường hợp M
y
khác không, tức khảo sát các trường hợp chòu lực đơn giản độc lập nhau, rồi
cộng các kết quả σ

z
của ba trường hợp đó lại với nhau. Cách thực hiện như vậy rất hay gặp trong các giáo trình Sức bền vật liệu.
Để ngắn gọn, trong giáo trình này ta sẽ xét trường hợp tổng quát khi tồn tại trên các mặt cắt của thanh cả ba thành phần nội lực
, ,
z x y
N M M
. Trường hợp thanh chòu lực như vậy có tên là chòu kéo (nén) lệch tâm.
Khảo sát chuyển động của các tiết diện thanh khi thanh chòu kéo (nén) lệch tâm, khi biến dạng thanh còn bé thì thực
nghiệm cho phép giả thiết chuyển động của chúng là hợp của ba chuyển động cơ bản sau:
- Chuyển động tònh tiến dọc theo trục thanh (để đơn giản ta cho rằng trục thanh trước biến dạng là thẳng), chuyển vò trong
chuyển động này ký hiệu là dl
o
(H.7.1).

Hình 7.1: Chuyển vò của tiết diện thanh chòu kéo lệch tâm

- Chuyển động quay quanh trục x, chuyển vò quay thể hiện bởi góc quay
x
d
θ
.
- Chuyển động quay quanh trục y với chuyển vò
y
d
θ
.
Bước 2. Thiết lập biểu thức biến dạng dài tại một điểm H có tọa độ x, y của tiết diện: chuyển vò của điểm H là hợp của
chuyển vò của nó khi tiết diện thực hiện ba chuyển động. Ta ký hiệu véctơ chuyển vò của điểm H là
δ
uur

H
l
, thì

(
)
(
)
(
)
H H H H
o x y
l l dl l d l d
δ = δ + δ θ + δ θ
uur uur uur uur
(d)
trong đó
(
)
H
o
l dl
δ
uur
- chuyển vò của điểm H trong chuyển động tònh tiến của tiết diện, có phương theo phương của trục z, và có giá
trò:

(
)
H o o

l dl dl
δ =
(e)

(
)
H
x
l d
δ θ
uur
- chuyển vò của điểm H trong chuyển động quay của tiết diện quanh trục x. Một cách gần đúng ta có thể cho
chuyển vò này theo phương trục z, và có giá trò:

(
)
.
H x x
l d y d
δ θ = θ
(f)

(
)
H
y
l d
δ θ
uur
- chuyển vò của điểm H trong chuyển động quay của tiết diện quanh trục y. Gần đúng, ta có thể cho rằng chuyển

vò này theo phương trục z, lưu ý chiều dương quy đònh như trên hình 7.1 thì giá trò
(
)
H y
l d
δ θ
sẽ có dấu âm

(
)
H y y
l d x d
δ θ = − θ
(g)
Vậy chuyển vò của điểm H, cho kết quả của (e) ÷ (g) vào biểu thức d), sẽ theo phương z và có giá trò bằng:

H o x y
l dl yd xd
δ = + θ − θ
(h)
Cho khoảng cách giữa điểm H với một điểm lân cận kề nó theo phương z trước khi biến dạng là dz, thì biến dạng dài tuyệt
đối của khoảng cách giữa chúng khi tiết diện chứa điểm H chuyển động sẽ được xác đònh bởi biểu thức h). Vậy biến dạng dài

tương đối tại H theo phương z, tức
z
ε
, bằng:

y
o x

H
z
d
dl d
l
y x
dz dz dz dz
θ
θ
δ
ε = = + −
(7.2)
Bước 3. Biểu thò
z
σ
như hàm của chuyển vò của tiết diện:
Từ công thức 3 trong công thức (5.38), lưu ý các công thức (7.1) và (7.2) ta có:

y
o x
z
d
dl d
E y x
dz dz dz
θ
 
θ
σ = + −
 

 
(7.3)
Bước 4. Lập biểu thức tính các chuyển vò tương đối của tiết diện như hàm của các thành phần nội lực: cho biểu thức (7.3)
vào các công thức (a), (b), (c). Lưu ý
, , ,
y
o x
d
dl d
E
dz dz dz
θ
θ
không phụ thuộc tọa độ của điểm trên tiết diện, vậy các công thức (a) ÷ (c)
trở nên:


θ
θ

= + −


θ
θ

= + −




θ
θ

= − − +


∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
y
o x
z
A A A
y
o x
x
A A A
y
o x
y
A A A
d
dl d
N E dA E ydA E x dA
dz dz dz
d
dl d
M E y dA E y dA E xy dA
dz dz dz
d

dl d
M E x dA E xy dA E x dA
dz dz dz
2
2
(7.4)
Trong hệ phương trình (7.4) các biểu thức tích phân chính là các đặc trưng hình học của mặt cắt. Với cách xây dựng hệ trục tọa độ
theo quy đònh trong phần 1 mục 5.4 chương 5 thì hệ trục oxyz là hệ trục quán tính chính trung tâm. Ta có:


;

= =




= =


∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
A A A A
y x
A A
dA A ; ydA = xdA = xydA
x dA J ; y dA J
2 2
0
(7.5)

chú ý các kết quả (7.5), thì hệ (7.4) trở nên:

.
.
.

=


θ

=


θ

=


o
z
x
x x
y
y y
dl
N E A
dz
d
M E J

dz
d
M E J
dz
(7.6)
Từ ba phương trình (7.6) ta tìm được 3 ẩn
, ,
y
o x
d
dl d
dz dz dz
θ
θ


=
o z
dl N
dz EA
(7.7)

x x
x
d M
dz EJ
θ
=
(7.8)

y y
y
d M
dz EJ
θ
=
(7.9)
Trong các công thức (7.7)
÷
(7.9) thì:

- EA gọi là độ cứng chống kéo (nén)
-
x y
EJ EJ
,
gọi là các độ cứng chống uốn
Bước 5. Viết biểu thức xác đònh σ
z
như hàm của các thành phần nội lực: sử dụng các biểu thức (7.7) ÷ (7.9) ta viết lại công
thức (7.3):

y
z x
z
x y
M
N M
y x
A J J

σ = + −
(7.10)
7.2.2 Khảo sát phân bố giá trò σ
σσ
σ
z
trên tiết diện
Công thức (7.10) cho thấy giá trò σ
z
tại mỗi tiết diện là hàm bậc nhất của tọa độ x, y về vò trí của điểm khảo sát trên tiết
diện. Chúng ta sẽ khảo sát sự biến thiên giá trò σ
z
trên tiết diện gây bởi từng thành phần nội lực
, ,
z x y
N M M
và tổ hợp của chúng.
1- Kéo (nén) đúng tâm
Sau đây ta sẽ xét sự phân bố ứng suất trên tiết diện khi chỉ có thành phần N
z
khác không. Nếu trên mọi mặt cắt của thanh
chỉ có giá trò của N
z
thì như trong phần 2 mục 7.1 ta có trường hợp thanh chòu lực đơn giản có tên gọi là chòu kéo (nén) đúng tâm.
Khi trên mặt cắt chỉ có thành phần N
z
khác không, thì biểu thức (7.10) trở nên:

z
z

N
A
σ =
(7.11)
Lúc này ứng suất tại mọi điểm trên mặt cắt như nhau, tức nội lực N
z
được phân bố đều
như trên hình 7.2b. Trong thực tế, ta gặp thanh chòu kéo (nén) đúng tâm trong các trường
hợp sau:
Hình 7.2
Biểu đồ phân bố
z
σ


a) Thanh chòu tải trọng tác dụng theo phương dọc trục.
b) Ống trụ thành mỏng chòu áp suất.
Sau đây ta sẽ thiết lập biểu thức ứng suất cho trường hợp ống trụ thành mỏng chòu áp suất. Sẽ có 2 loại ống chòu áp suất:
ống hở và ống kín.
b.1. Ống trụ hở
Ta gọi ống trụ chòu áp suất là hở khi chiều dài b của ống rất lớn so với đường kính 2r của ống (H.7.3a). Lúc này bỏ qua biến dạng
dài dọc trục (tức cho
z
σ =
0
), và coi như áp suất tác dụng lên thành ống theo phương hướng kính (H.7.3b).
Nếu ta cắt tưởng tượng ống trụ bằng mặt cắt chứa đường kính (H.7.3c), thì vì tính chất đối xứng của ống trụ, ứng suất trên
các tiết diện a–a, b–b của mặt cắt chỉ có thể hướng theo phương vuông góc mặt cắt. Ta ký hiệu các ứng suất này là
θ
σ

và gọi là
ứng suất vòng. Khi bề dầy ống trụ rất bé so với đường kính
t
r
 
≤
 
 
1
10
ta có thể coi
θ
σ
phân bố đều trên a–a, b–b. Để tính
θ
σ
ta
dùng phương trình cân bằng lực theo phương y của nửa ống trụ:
sin
iy
i
F tb pbrd
π
θ
= ⇔ − σ + θ θ =
∑
∫
0
0 2 0

Hình 7.3: Ống trụ hở thành mỏng chòu áp suất
Vậy
cos
tb pbr pbr
θ
π
σ = − θ =2 2
0

suy ra:
pr
t
θ
σ =
(7.12)



Hình 7.4: Trạng thái chòu lực của thành ống trụ hở
thành mỏng chòu áp suất
Tưởng tượng cắt ống trụ trên (H.7.3a) bằng 1 mặt cắt chứa đường kính trục trên 1 thành của nó (H.7.4a) và tách nhẹ 2 mép
ra. Ta sẽ được 1 tấm chiều dài
r
π
2
, rộng b, dày t, chòu kéo với ứng suất pháp phân bố đều trên tiết diện b × t, có giá trò bằng
θ
σ

tính theo (7.12) (H.7.4b). Vậy ta có trường hợp của thanh chòu kéo đúng tâm.
b.2. Ống trụ kín
Nếu 2 đầu ống trụ được bòt kín thì áp lực tác dụng lên 2 mặt đáy sẽ tạo ra thêm thành phần ứng suất dọc trục, ký hiệu σ
z
,
và gọi là ứng suất dọc trục (H.7.5a). Điều kiện cân bằng lực theo phương z giữa ứng suất tác dụng lên thành ống với áp suất trên
mặt đáy cho ta phương trình:

.
z
r p rt
π = π σ
2
2

Từ đây suy ra:


z
pr
t
σ =
2
(7.13)
Trạng thái ứng suất của 1 điểm khi này sẽ khác với trường hợp chòu kéo (nén) đúng tâm. Ba mặt cắt đi qua điểm khảo sát:
mặt vuông góc với trục z (H.7.5b), mặt chứa trục z, và mặt trụ có trục là trục z là 3 mặt chính, với 2 ứng suất chính khác không là
σ
θ
(tính theo 7.12) và σ

z
(tính theo 7.13). Vậy khi này 1 điểm thuộc ống trụ sẽ có TTƯS là phẳng.

Hình 7.5: Trạng thái chòu lực của ống trụ kín thành mỏng chòu áp suất
2- Uốn thuần túy
Sau đây ta sẽ xét sự phân bố ứng suất trên tiết diện khi chỉ có một mômen uốn M
x
, hay M
y
, là khác không. Nếu trên mọi
mặt cắt của thanh có giá trò của M
x
(hay chỉ có giá trò của M
y
) khác không thì trạng thái chòu lực đó của thanh thuộc loại đơn giản,
và như trong phần 2 mục 7.1, tên gọi của trạng thái này là uốn thuần túy.
Trường hợp thành phần nội lực M
x
khác không
Khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại 1 thành phần mômen uốn M
x
thì công thức (7.10) trở nên:


x
z
x
M
y
J

σ =
(7.14)
Lúc này ứng suất các điểm trên mặt cắt là hàm tuyến tính của tọa độ y, tức mọi điểm nằm trên cùng 1 đường song song
trục x có ứng suất như nhau (H.7.6).

Hình 7.6: Biểu đồ phân bố
σ
z
gây bởi M
x

Các điểm nằm trên trục x, có y = 0 sẽ có ứng suất
σ
z
= 0. Sau này ta sẽ gọi q tích các điểm trên mặt cắt có ứng suất
σ
z
=
0 là đường trung hòa. Trong trường hợp đang khảo sát, trục x đồng thời là đường trung hòa.
Biểu đồ ứng suất của các điểm nằm trên cùng 1 đường song song trục y biểu thò trên hình 7.6b. Từ biểu đồ này ta có các
nhận xét:
a) Đường trung hòa chia tiết diện thành 2 phần: các điểm nằm phía dương trục y chòu kéo, các điểm nằm phía âm của trục
y chòu nén (nếu cho M
x
> 0).
b) Điểm có trò số ứng suất lớn nhất là điểm nằm xa trục trung hòa nhất. Ký hiệu
,
k n
y y
(H.7.6a) là các khoảng cách xa nhất

đến trục trung hòa lần lượt của vùng chòu kéo và chòu nén. Ta có trò ứng suất kéo lớn nhất và trò ứng suất nén lớn nhất lần lượt
bằng:

,max
.
/
x x
k k
x x k
M M
y
J J y
σ = =
(7.15)

,max
.
/
x x
n n
x x n
M M
y
J J y
σ = =
(7.16)
Trong các sổ tay kỹ thuật, người ta thường cho các đặc trưng hình học của các loại tiết diện thường dùng trong kỹ thuật.
Ký hiệu
max

y
là giá trò lớn nhất trong 2 giá trò tuyệt đối
k
y
và
n
y
. Tỷ số
max
x
J
y
được ký hiệu là
x
W
và có tên gọi là mômen
tiết diện chống uốn đối với trục x.

max
x
x
J
W
y
=
(7.17)
c) Các điểm nằm gần trục trung hòa có ứng suất không đáng kể. Do vậy trong trường hợp thanh chòu uốn, để tiết kiệm
nguyên vật liệu, tiết diện thanh thường được chọn sao cho ở phần giữa, nằm gần trục trung hòa, diện tích là nhỏ, ví dụ như các
loại tiết diện như trên hình 7.7. Các tiết diện có dạng như vậy được gọi chung là tiết diện hợp lý đối với uốn. Các thanh thép
trong kỹ thuật được chế tạo có hình dạng tiết diện tương tự như các loại trên hình 7.7, có kích thước tiết diện theo tiêu chuẩn, gọi

chung là thép dát đònh hình. Số liệu về kích thước và các đặc trưng hình học tiết diện thép dát đònh hình ta có thể tham khảo trong
phụ lục trình bày ở cuối giáo trình.


Hình 7.7: Tiết diện hợp lý của thanh chòu uốn thuần túy
Nếu vật liệu của thanh không thuộc loại dẻo, tức thuộc loại vật liệu có ứng suất cho phép vùng kéo
[
]
k
σ
không bằng ứng
suất cho phép vùng nén
[
]
n
σ
, thì khoảng cách
k
y
và
n
y
nên chọn sao cho thỏa mãn điều kiện:

[
]
[ ]
k k
n
n

y
y
σ
=
σ
(7.18)
Việc chọn kích thước
,
k n
y y
tuân theo công thức (7.18) khiến cho mức độ nguy hiểm của vùng chòu nén và vùng chòu kéo
của tiết diện tương đương nhau. Ta gọi điều kiện này là điều kiện bền đều.
Trường hợp thành phần nội lực M
y
khác không
Khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại 1 thành phần mômen uốn M
y
thì công thức (7.10) trở nên:

y
z
y
M
x
J
σ = −
(7.19)
Lúc này ứng suất các điểm trên mặt cắt là hàm tuyến tính của tọa độ x, tức mọi điểm nằm trên cùng một đường song song

trục y có ứng suất như nhau (H.7.8). Các điểm nằm trên trục y, có x = 0 sẽ có σ

z
= 0. Vậy khi này trục y sẽ là trục trung hòa. Biểu
thức giá trò các ứng suất kéo lớn nhất và nén lớn nhất có dạng tương tự như các biểu thức (7.15), (7.16), chỉ thay thế ký tự y sang
ký tự x:


Hình 7.8: Biểu đổ phân bố
σ
z
gây bởi M
y


,max
y
k k
y
M
x
J
σ =
(7.20)

,max
.
y
n n
y
M
x

J
σ =
(7.21)

Nếu ký hiệu
max
x
là giá trò lớn nhất trong hai giá trò tuyệt đối
k
x
và
n
x
, thì tỷ số
max
y
J
x
được ký hiệu là
y
W


max
y
y
J
W
x
=

(7.22)
W
y
được gọi là mômen tiết diện chống uốn đối với trục y.
3- Uốn xiên
Sau đây ta xét sự biến thiên của σ
z
khi trên mặt cắt có hai thành phần mômen uốn M
x
, M
y
đều khác không. Nếu trên suốt
chiều dài thanh, mọi mặt cắt chỉ chòu tác dụng của M
x
và M
y
thì ta nói rằng thanh ở trạng thái chòu lực uốn xiên. Công thức (7.10)
trở nên:

y
x
z
x y
M
M
y x
J J
σ = −
(7.23)
Trong trường hợp này σ

z
là hàm tuyến tính của cả hai tọa độ x và y. Tương tự như trong các trường hợp xét ở phần 2 mục
7.2.2, ta suy ra các điểm cùng cách đều đường trung hòa sẽ có giá trò ứng suất như nhau, và điển càng xa đường trung hòa thì sẽ
có giá trò ứng suất tuyệt đối càng lớn, biến đổi theo quy luật tuyến tính. Do vậy, để vẽ biểu đồ phân bố σ
z
, trước tiên cần phải tìm
vò trí đường trung hòa. Ký hiệu tọa độ các điểm nằm trên đường trung hòa là y* và x*, thì từ điều kiện ứng suất σ
z
của các điểm
trên đường trung hòa bằng không, từ công thức (7.23) ta có:

* *
⋅ − =
y
x
x y
M
M
y x
J J
0

Vậy ta suy ra đường trung hòa có phương trình như sau:


* . *
y
x
x y
M

J
y x
M J
=
(7.24)
Công thức (7.24) cho thấy đường trung hòa đi qua gốc tọa độ, và có phương hợp với trục x một góc α sao cho (H.7.9):

.
y
x
x y
M
J
tg
M J
α =
(7.25)

Hình 7.9: Biểu đồ phân bố
σ
z
gây bởi đồng thời M
x
và M
y

Các điểm cùng nằm cách đường trung hòa khoảng giá trò h thì sẽ có cùng giá trò σ
z
. Do vậy đồ thò biểu đồ σ
z

sẽ có trục hoành
vuông góc với đường trung hòa, các véctơ biểu thò giá trò σ
z
hướng song song với đường trung hòa, ngọn của các véctơ biểu thò σ
z

nối lại cho đường thẳng. Hoàn toàn tương tự như đã phân tích trong phần 2 mục 7.2.2, đường trung hòa chia tiết diện làm hai
phần, một phần có σ
z
mang dấu (+), tức chòu kéo, một phần có σ
z
mang dấu (–), tức chòu nén. Các điểm nằm xa đường trung hòa

nhất về phía kéo chòu ứng suất kéo lớn nhất
(
)
,max
k
σ
, các điểm nằm xa đường trung hòa nhất về phía nén chòu ứng suất nén lớn
nhất
(
)
,max
n
σ
(các điểm D, B trên hình 7.9).
4- Kéo (nén) lệch tâm
Sau đây ta xét sự biến thiên của σ
z

khi trên mặt cắt có đầy đủ ba thành phần
, ,
z x y
N M M
. Như đã nêu ở trên, trạng thái
chòu lực của thanh là kéo (nén) lệch tâm. Công thức xác đònh σ
z
là công thức (7.10):

y
z x
z
x y
M
N M
y x
A J J
σ = + −

So sánh biểu thức trên với biểu thức (7.23) của σ
z
trong trường hợp uốn xiên thì ta dễ dàng nhận thấy chỉ khác nhau một
hằng số
z
N
A
. Tận dụng các kết quả phân tích trong trường hợp uốn xiên, ta có thể suy ra cho trường hợp kéo (nén) lệch tâm như
sau:
° Đường trung hòa có cùng độ nghiêng như trong trường hợp
z

N
=
0
, tức hợp với trục x góc α có tgα xác đònh theo công
thức (7.25).
° Đường trung hòa không đi qua gốc tọa độ, vì khi x = y = 0 thì
z
z
N
A
σ =
.
Biểu đồ σ
z
được biểu thò như trên hình 7.10.


Hình 7.10: Biểu đồ phân bố
σ
z
gây bởi đồng thời N
z
, M
x
, M
y

Nhìn vào hình 7.10 ta nhận thấy, khi có thêm thành phần N
z
thì, giả sử N

z
> 0, phần tiết diện chòu kéo sẽ tăng, phần tiết
diện chòu nén sẽ thu nhỏ lại. Nếu giá trò N
z
lớùn đến mức nào đó thì toàn tiết diện có thể chòu kéo hoàn toàn. Trong trường hợp N
z

< 0 thì hình ảnh sẽ ngược lại. Như vậy, khi tiết diện chỉ chòu M
x
hoặc M
y
, hoặc đồng thời cả M
x
, M
y
thì luôn tồn tại hai phần chòu
kéo và nén. Còn khi trên tiết diện có cả ba thành phần N
z
, M
x
, M
y
thì có khả năng mọi điểm trên tiết diện có σ
z
cùng một dấu.
7.2.3 Kiểm tra bền
Lưu ý từ các công thức (a), (b), (c) (mục 7.2.1) thì trong trường hợp kéo (nén) lệch tâm (với các trường hợp riêng suy từ đây
như kéo (nén) đúng tâm, uốn thuần túy, uốn xiên) thì trạng thái ứng suất các điểm chỉ chứa có một thành phần ứng suất là σ
z
.

Vậy các điểm của thanh lúc này ở trạng thái ứng suất đơn. Do đó, điều kiện bền (6.5) thể hiện bởi bất đẳng thức:

[
]
z
σ ≤ σ


Tuy nhiên ứng suất σ
z
các điểm khác nhau trên mặt cắt có giá trò khác nhau, nên chỉ cần kiểm soát các điểm có giá trò
tuyệt đối ứng suất kéo và nén lớn nhất. Nếu các điểm này thỏa mãn điều kiện bền thì các điểm khác cũng thỏa mãn điều kiện
bền. Những điểm có giá trò tuyệt đối của ứng suất kéo và nén lớn nhất được gọi là điểm nguy hiểm trên tiết diện. Trình tự để
kiểm tra bền nói chung như sau:
° Tìm mặt cắt nguy hiểm: Mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt mà tại đó các thành phần nội lực tương đối lớn so với các mặt cắt
khác.
° Tìm điểm nguy hiểm trên mặt cắt nguy hiểm: tùy theo trạng thái chòu lực của thanh (hay những thành phần nội lực nào
trên tiết diện khảo sát khác không) mà ta có vò trí các điểm nguy hiểm sẽ khác nhau.
° Dựa vào tọa độ điểm nguy hiểm, tính ứng suất tại điểm đó, ký hiệu
max
σ
.
° Kiểm soát bất đẳng thức:

[
]
max
σ ≤ σ

Giả sử ta gặp trường hợp kéo (nén) đúng tâm, ứng suất mọi điểm như nhau trên tiết diện, vậy điều kiện bền là

[ ]
z
N
A
σ = ≤ σ
(7.26)
Giả sử ta gặp trường hợp uốn thuần túy với
x
M
≠
0
, thì từ công thức (7.15) và (7.16), điều kiện bền sẽ là:

[ ]
,max
/
x
k
k
x k
M
J y
σ = ≤ σ
,
[ ]
,max
/
x
n

n
x n
M
J y
σ = ≤ σ
(7.27)
7.3 BIỂU THỨC TÍNH ỨNG SUẤT TIẾP
7.3.1 Đặt vấn đề
Khảo sát các công thức (5.14) ta thấy các điểm trên tiết diện thanh sẽ có thể có ứng suất tiếp nếu trên tiết diện tồn tại lực

cắt Q
x
, Q
y
và mômen xoắn M
z
. Tuy nhiên khảo sát thực nghiệm cho thấy phương véctơ ứng suất tiếp gây bởi các thành phần nội
lực khác nhau rất khác nhau. Do vậy việc sử dụng biện pháp khảo sát như đã sử dụng trong mục 7.2 để xác đònh σ
z
là không phù
hợp. Đối với việc lập biểu thức ứng suất tiếp, ta sẽ dùng nguyên lý độc lập tác dụng, xét riêng từng trường hợp chòu lực đơn giản:
xoắn thuần túy (khi chỉ có M
z
khác không), cắt (khi trên mặt cắt chỉ có thành phần lực cắt), uốn ngang phẳng (khi trên mặt cắt tồn
tại cả lực cắt và ngẫu lực uốn cùng trong một mặt quán tính chính trung tâm).
7.3.2 Xoắn thuần túy
1- Tiết diện thanh có dạng hình tròn
Lập biểu thức
Vận dụng trình tự nêu ở cuối mục 7.1 để lập biểu thức xác đònh ứng suất tiếp khi trên tiết diện thanh chỉ tồn tại thành phần
M

z
, và tiết diện thanh là hình tròn hết sức tiện lợi, vì vậy ta sẽ thực hiện theo trình tự ấy.
Bước 1: Quan sát chuyển động của tiết diện: Tạo trạng thái chòu lực thuần túy, ví dụ như theo sơ đồ lực trên hình 7.11.
Khảo sát đặc điểm chuyển động của các tiết diện thanh vuông góc với trục thanh
thì thấy rằng các tiết diện này đều chỉ thực hiện chuyển động quay quanh trục
thanh. Ta sẽ ký hiệu góc quay của tiết diện khảo sát là ϕ.

Hình 7.11: Thanh chòu xoắn thuần túy
Bước 2: Lập biểu thức biến dạng từ chuyển vò của tiết diện: Sau đây ta sẽ
Hình 7.12: Biến dạng góc khi
thanh tiết diện tròn chòu xoắn
thuần túy

lập biểu thức biến dạng góc: tức sự thay đổi góc vuông. Góc vuông mà thực nghiệm cho thấy sự thay đổi là góc giữa đường sinh
(đường BH trên hình 7.12) và đường tròn tâm O trên tiết diện (được vẽ trên HH hay BB). Ta sẽ khảo sát chuyển động tương đối
giữa 2 tiết diện B và H cách nhau khoảng chiều dài phân tố dz. Ký hiệu góc quay tương đối của tiết diện B so với tiết diện H là
dϕ. Điểm B, nằm cách trục quay z đoạn ρ, sẽ dòch chuyển đến vò trí
B', tức đường BH trở thành đường B'H. Biến dạng góc, ký hiệu là γ, chính là góc BHB'. Trong điều kiện biến dạng bé, ta viết
được:

'
BB
BH
γ =

Vì
' .
= ρ ϕ
BB d
,

BH dz
=
, vậy ta viết được như sau:

d
dz
ϕ
γ = ρ
(7.28)
Bước 3: Lập biểu thức ứng suất tiếp nhờ đònh luật Húc (5.38), ta có

G
τ = γ

Lưu ý công thức (7.28) thì biểu thức cuối trở nên

ϕ
τ = ρ
d
G
dz
(7.29)
Bước 4: Thiết lập quan hệ giữa τ và thành phần nội lực M
z
. Với biến dạng góc γ như trên hình 7.12 thì phương của véctơ
τ
r

hướng dọc theo BB', gồn đúng là vuông góc với bán kính r đi qua OB. Biểu thức quan hệ giữa M
z

và τ có dạng:

( )
.
z
A A
M dA dA
= τ ρ = τρ
∫ ∫

Lưu ý công thức (7.29) thì biểu thức cuối có dạng:


.
z
A
d
M G dA
dz
ϕ
= ρ
∫
2

Vì
ϕ
⋅
d
G
dz

không phụ thuộc tọa độ của điểm khảo sát trên tiết diện nên ta viết lại được như sau:

z
A
d
M G dA
dz
ϕ
= ⋅ ρ
∫
2
(7.30)
Biểu thức tích phân trong công thức (7.30) chính là mômen quán tính diện tích của tiết diện đối với trục z (xem công thức
5.4c), ký hiệu Jz, vậy lúc này ta viết được công thức (7.30) ở dạng:

z z
d
M G J
dz
ϕ
= ⋅ ⋅

Từ công thức cuối suy ra chuyển vò góc tương đối của tiết diện tính theo công thức sau:

z
z
M
d
dz G J
ϕ

=
(7.31)
Tích GJ
x
gọi là độ cứng chống xoắn.
Bước 5. Công thức xác đònh giá trò của τ trong (7.29) sẽ có dạng sau, sau khi sử dụng biểu thức
d
dz
ϕ
như trong công thức
(7.31):

z
z
M
J
τ = ρ⋅
(7.32)
Khảo sát phân bố giá trò τ trên tiết diện