Đề thi chọn Học sinh giỏi Toán 9_3

ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG HUYỆN LỚP 9
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian giao đề)
Bài 1(6 điểm). Chứng minh rằng:
a. S = 2
1
+

2
2
+ 2
3
+ …+ 2
2010
chia hết cho 3
b. a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

≥
a(b + c + d + e) với mọi a, b, c, d, e
c. Với mọi số tự nhiên n thì: (n + 2011
2010
)(n + 2010

2011
) chia hết cho 2
Bài 2(4 điểm). Cho hàm số
96
22
+−+= xxxy
a. Tìm tập xác định của hàm số
b. Rút gọn y
c. Vẽ đồ thi hàm số
d. Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x
Bài 3(4 điểm).
a. Tìm mọi x, y, z trong phương trình sau:
)27(105632 −−=−−+−− zyyxx
b. Giải hệ phương trình:
1 2 9
1 4 2
x y
x y
 − + + =


− = +


Bài 4(3 điểm). Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD), M và N là trung điểm của
hai đường chéo BD và AC. Chứng minh:
a. Các tứ giác AMNB và DMNC là những hình thang cân.
b. BM
2
= AM

2
+ MN.AB
Bài 5(3 điểm). Cho hai tiếp tuyến AB và AC của nữa đường tròn(O) (B, C là hai tiếp điểm).
Qua điểm X của cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến đến đường tròn này nó cắt AB và AC theo thứ tự
tại M và N. Chứng minh rằng chu vi tam giác AMN và góc MON không phụ thuộc vào việc
chọn điểm X trên cung nhỏ BC.
Hết
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
Câu a
(2 đ)
Câu b
(2 đ)
Câu c
(2 đ)
Chứng minh rằng:S = 2
1
+

2
2
+ 2
3
+ …+ 2
2010
chia hết cho 3
Ta có: S = 2
1
+

2
2
+ 2
3
+ …+ 2
2010

= (2
1
+

2
2
) + (2
3
+

2
4
) + … + (2
2009
+

2
2010
)

= 2(1 + 2) + 2
3

(1 + 2) + …. + 2
2009
(1 + 2)
= (1 + 2) (2 + 2
3
+ …. + 2
2009
)
= 3 (2 + 2
3
+ …. + 2
2009
)
M
3
Vậy S = 2
1
+

2
2
+ 2
3
+ …+ 2
2010
chia hết cho 3
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2

+ c
2
+ d
2
+ e
2

≥
a(b + c + d + e)
∀
a, b, c, d, e
Ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

≥
a(b + c + d + e)
⇔
a
2
+ b
2

+ c
2
+ d
2
+ e
2
– a(b + c + d + e)
≥
0
⇔
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
– ab – ac – ad – ae
≥
0
⇔
(
2
4
a
– ab + b
2

) + (
2
4
a
– ac + c
2
) + (
2
4
a
– ad + d
2
) + (
2
4
a
– ae + e
2
)
≥
0
⇔
(
2
a
– b

)
2
+ (

2
a
– c

)
2
+(
2
a
– d

)
2
+(
2
a
– e

)
2

≥
0 (bđt này đúng
∀
a,b,c,d,e)
Vậy a
2
+ b
2
+ c

2
+ d
2
+ e
2

≥
a(b + c + d + e) với mọi a, b, c, d, e
Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n thì: (n + 2011
2010
) (n + 2010
2011
)
chia hết cho 2
* Nếu n là số chẵn thì (n + 2010
2011
) là số chẵn

⇒
(n + 2011
2010
) (n + 2010
2011
) là số chẵn

⇒
(n + 2011
2010
) (n + 2010
2011

) chia hết cho 2
* Nếu n là số lẻ thì (n + 2011
2010
) là số chẵn

⇒
(n + 2011
2010
) (n + 2010
2011
) là số chẵn

⇒
(n + 2011
2010
) (n + 2010
2011
) chia hết cho 2
Vậy với mọi số tự nhiên n thì: (n + 2011
2010
) (n + 2010
2011
) chia hết cho 2

0,5
0,5
0,5
0,25
0,25

0,25
0,25
0,75
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
Bài 2
Câu a
(0,75đ)
Câu b
Cho hàm số
96
22
+−+= xxxy
Tìm tập xác định của hàm số
y có nghĩa
2
2
0
6 9 0
x
x x

≥


⇔

− + ≥


2
2
0
( 3) 0
x
x

≥

⇔

− ≥


x R
⇔ ∈
Rút gọn y
0,75