de THI CHỌN học SINH GIỎI toan 9

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1. (4,5 điểm):
a) Cho hàm số
3 2010
f (x) (x 12x 31)
= + −
Tính
f (a)
tại
3 3
a 16 8 5 16 8 5
= − + +
b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
2 2
5(x xy y ) 7(x 2y)
+ + = +
Câu 2. (4,5 điểm):
a) Giải phương trình:
2 3 2 2
x x x x x
= − + −
b) Giải hệ phương trình:
2
1 1 1
2
x y z
2 1

4
xy z

+ + =




− =


Câu 3. (3,0 điểm):
Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 3 3 3 3 3
1 1 1
A
x y 1 y z 1 z x 1
= + +
+ + + + + +
Câu 4. (5,5 điểm):
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với
đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai
đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác
với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng:
a)
MI.BE BI.AE
=
b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5. (2,5 điểm):
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên
đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ
NH PD
⊥
tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2013 – 2014
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Môn: TOÁN
Câu Ý Nội dung Điểm
1,
(4,5đ
)
a)
(2,0đ)
3 3
16 8 5 16 8 5a = − + +
⇒
3
3 3
3
32 3 (16 8 5)(16 8 5).( 16 8 5 16 8 5 )a = + − + − + +
0,5
⇒
3
32 3.( 4).a a= + −
0,5
⇒
3

32 12a a= −
0,25
⇒
3
12 32 0a a+ − =
0,25
⇒
3
12 31 1a a+ − =
0,25
⇒
2010
( ) 1 1f a = =
0,25
b)
(2,5đ)
2 2
5( ) 7( 2 )x xy y x y+ + = +
(1)
⇒
7( 2 ) 5x y+ M

⇒
( 2 ) 5x y+ M
0,25
Đặt
2 5x y t+ =
(2)
( )t Z∈
0,25

(1) trở thành
2 2
7x xy y t+ + =
(3)
Từ (2)
⇒

5 2x t y= −
thay vào (3) ta được
0,25
2 2
3 15 25 7 0y ty t t− + − =
(*)
0,25
2
84 75t t∆ = −
Để (*) có nghiệm
2
0 84 75 0t t⇔ ∆ ≥ ⇔ − ≥

28
0
25
t⇔ ≤ ≤
0,25
0,25
Vì
0t Z t∈ ⇒ =
hoặc
1t =

0,25
Thay vào (*)
Với
0t
=
1
0y⇒ =
1
0x⇒ =
0,25
0,25
Với
1t
=
2 2
3 3
3 1
2 1
y x
y x
= ⇒ = −

⇒

= ⇒ =

0,25
0,25
2,
ĐK

0x =
hoặc
1x ≥
0,25
Với
0x
=
thoã mãn phương trình 0,25
Với
1x
≥
Ta có
3 2 2 2
1
( 1) ( 1)
2
x x x x x x− = − ≤ + −
0,5

2 2 2
1
1( ) ( 1)
2
x x x x x x− = − ≤ − +
0,5
3 2 2 2
x x x x x⇒ − + − ≤
0,25
Dấu "=" Xẩy ra
2

2
1
1
x x
x x

= −

⇔

− =


0,25
2
2
1
1 1
1
x x
x x
x x

= −

⇔ ⇒ + = −

= +



Vô lý
0,25
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
0x =
0,25
b)
(2,0đ)
2
1 1 1
2 (1)
( )
2 1
4 (2)
x y z
I
xy z

+ + =




− =


ĐK
; ; 0x y z ≠
0,25
Từ (1)
2 2 2

1 1 1 2 2 2
4
x y z xy xz yz
⇒ + + + + + =
0,25
Thế vào (2) ta được:
2 2 2 2
2 1 1 1 1 2 2 2
xy z x y z xy xz yz
− = + + + + +
0,25
2 2 2
1 1 2 2 2
0
x y z xz yz
⇔ + + + + =
0,25
2 2 2 2
1 2 1 1 2 1
( ) ( ) 0
x xz z y yz z
⇔ + + + + + =
0,25
2
2
1 1 1 1
0
x z y z
 
 

⇔ + + + =
 ÷
 ÷
 
 
0,25
1 1
0
1 1
0
x z
x y z
y z

+ =


⇔ ⇔ = = −


+ =


0,25
Thay vào hệ (I) ta được:
1 1 1
( ; ; ) ( ; ; ) ( )
2 2 2
x y z TM= −
0,25

3,
Ta có
2
(x y) 0 x;y− ≥ ∀
0,25
2 2
x xy y xy⇔ − + ≥
0,25
Mà x; y > 0 =>x+y>0 0,25
Ta có: x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
- xy + y
2
) 0,25
⇒ x
3
+ y
3
≥ (x + y)xy
0,25
⇒ x
3
+ y
3
+1 = x
3

+ y
3
+xyz ≥ (x + y)xy + xyz
0,25
⇒ x
3
+ y
3
+ 1 ≥ xy(x + y + z) > 0
0,25
Tương tự: y
3
+ z
3
+ 1 ≥ yz(x + y + z) > 0 0,25
(3,0đ
)
z
3
+ x
3
+ 1 ≥ zx(x + y + z) > 0 0,25
⇒
1 1 1
A
xy(x y z) yz(x y z) xz(x y z)
≤ + +
+ + + + + +
0,25
⇒

x y z
A
xyz(x y z)
+ +
≤
+ +
0,25
⇒
1
A 1
xyz
≤ =
0,25
Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 ⇔ x = y = z = 1
0,25
4,
(5,5đ
)
N
Q
H
K
I
M
D
E
B
A
O
O'

C
a)
(3,0đ)
Ta có:
·
·
BDE BAE=
(cùng chắn cung BE của đường tròn tâm O)
0,25
·
·
BAE BMN=
(cùng chắn cung BN của đường tròn tâm O')
0,25
⇒

·
·
BDE BMN=
0,25
hay
·
·
BDI BMN=

⇒
BDMI là tứ giác nội tiếp
0,50
⇒

·
·
MDI MBI=
(cùng chắn cung MI)
0,25
mà
·
·
MDI ABE=
(cùng chắn cung AE của đường tròn tâm O)
0,25
⇒

·
·
ABE MBI=
0,25
mặt khác
·
·
BMI BAE=
(chứng minh trên)
0,25
⇒
∆MBI ~ ∆ ABE (g.g)
0,25
⇒
MI BI
AE BE
=

⇔ MI.BE = BI.AE
0,50
b)
(2,5đ)
Gọi Q là giao điểm của CO và DE
⇒
OC ⊥ DE tại Q
⇒
∆ OCD vuông tại D có DQ là đường cao
⇒
OQ.OC = OD
2
= R
2
(1)
0,50
Gọi K giao điểm của hai đường thẳng OO' và DE; H là giao điểm của
AB và OO'
⇒
OO' ⊥ AB tại H.
0,50
Xét ∆KQO và ∆CHO có
µ
µ
µ
0
Q H 90 ;O= =
chung
⇒
∆KQO ~ ∆CHO (g.g)

0,50
⇒

KO OQ
OC.OQ KO.OH (2)
CO OH
= ⇒ =
Từ (1) và (2)
2
2
R
KO.OH R OK
OH
⇒ = ⇒ =
0,50
Vì OH cố định và R không đổi
⇒
OK không đổi
⇒
K cố định
0,50
5,
(2,5đ
)
O
A
H'
H
E
P

N
D
C
B
M
∆ABC vuông cân tại A
⇒
AD là phân giác góc A và AD ⊥ BC
⇒ D ∈ (O; AB/2)
0,25
Ta có ANMP là hình vuông (hình chữ nhật có AM là phân giác)
⇒
tứ giác ANMP nội tiếp đường tròn đường kính NP
mà
·
0
NHP 90= ⇒
H thuộc đường tròn đường kính NP
0,50
⇒

·
·
0
AHN AMN 45= =
(1)
Kẻ Bx ⊥ AB cắt đường thẳng PD tại E
⇒
tứ giác BNHE nội tiếp đường tròn đường kính NE
0,25

Mặt khác ∆BED = ∆CDP (g.c.g)
⇒
BE = PC
mà PC = BN
⇒
BN = BE
⇒
∆BNE vuông cân tại B
⇒

·
0
NEB 45=
mà
·
·
NHB NEB=
(cùng chắn cung BN)
⇒

·
0
NHB 45=
(2)
0,50
Từ (1) và (2) suy ra
·
0
AHB 90=
⇒

H ∈ (O; AB/2)
gọi H' là hình chiếu của H trên AB
AHB AHB
HH'.AB
S S
2
⇒ = ⇒
lớn nhất ⇔ HH' lớn nhất
0,50
mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D cùng thuộc đường tròn đường kính AB
và OD ⊥ AB)
Dấu "=" xẩy ra ⇔ H ≡ D ⇔ M ≡ D
0,50