Đề thi tuyển sinh đại học năm học 2010 - 2011-ĐHKT y tế Hải Dương (VLVH)

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đhkt y tế hải dơng
Đề thi tuyển sinh hệ đại học liên thông VLVH
năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
(Thời gian làm bài 180 phút)


Câu 1(2 điểm)
Cho hàm số
3 2
3 2y x x= +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm M(1; 2) cắt đồ thị tại điểm thứ hai N. Tìm
tọa độ điểm N.
Câu 2 (2 điểm)
1. Giải phơng trình
=3 sin cos 2sin3x x x
2. Giải phơng trình
+ + = +
2
2 ( 1)(2 ) 1 2x x x x

( )x R
Câu 3 (2 điểm)
1. Tính tích phân
=
+

1

0
3 1
x
I dx
x
2. Chứng minh rằng với

(0; )
2
x
thì
> +
3
tan
3
x
x x
.
Câu 4 (2 điểm)
1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có diện tích tam giác SAB bằng
2
3
2
a
, cạnh
đáy hình chóp bằng
3a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -3), B(4; 1) và trọng tâm
G(1; -1). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Câu 5 (2 điểm)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đờng thẳng d có phơng trình

= =

2 1 2
1 3 4
x y z
và mặt phẳng (Q) có phơng trình
+ =1 0x y
. Lập phơng trình
mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q).
2. Gọi
1 2
,z z
là hai nghiệm phức của phơng trình
+ + =
2
2 2 0z z
.
Tính giá trị của biểu thức
= + + +
2 2
1 2
3 2 3 2A z i z i
.
.Hết.
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:. Số báo danh:.
Chữ ký của giám thị 1:Chữ ký của giám thị 2:

đáp án và biểu điểm chấm Môn toán
Câu Đáp án Điểm
I.1
* Tập xác định:
D = Ă
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
' 2
3 6 ;y x x= +

'
0 0y x= =
hoặc
2x =
0,25
Đề thi chính thức
- Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ; 2)
và
(0; )+
; nghịch biến trên
khoảng
( 2;0)
.
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
2 2
CD
x y= =
; đạt cực tiểu tại
0 2

CT
x y= =
- Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
+
= = +
0,25
- Bảng biến thiên:
x -

-2 0 +

y' + 0 - 0 +
y 2 +

-

-2
0,25
* Đồ thị. Đồ thị đi qua các điểm (-3 ; -2), (-2 ; 2), (-1 ; 0), (0 ; -2), (1 ; 2)
Đồ thị là đờng cong trơn thể hiện nh hình vẽ


-3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2

3
x
y
0,25
I.2
Hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm M(1; 2) là: f'(1) = 9 0,25
Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là: y = 9(x - 1) + 2 hay y = 9x - 7 0,25
Tiếp tuyến cắt đồ thị hàm số tại điểm có toạ độ là nghiệm của hệ phơng trình:

= +

=

3 2
3 2
9 7
y x x
y x

+ + =


=

3 2
3 9 5 0
9 7
x x x
y x

+ =


=

2
( 1) ( 5) 0
9 7
x x
y x
0,25
=



=

1
2
x
y
hoặc
=


=

5
52
x

y
. Vậy toạ độ điểm N(-5; -52). 0,25
II.1
Phơng trình
=
3 1
sin cos sin3
2 2
x x x
0,25

=sin .cos cos .sin sin3
6 6
x x x
0,25


= +


=



= +


12
sin( ) sin3
6

7
24 2
x k
x x
k
x
với k là số nguyên. 0,5
II.2
ĐK: -1
2x
. Phơng trình
+ + + + =
2 2
2( 2) 2 3 0x x x x
0,25
Đặt t =
+ +
2
2x x
, điều kiện t

0
Phơng trình trở thành: 2t
2
- t - 3 = 0

t = -1 (loại) hoặc t =
3
2
(thoả mãn)

0,25
Với t =
3
2
, ta có:
+ +
2
2x x
=
3
2

-x
2
+ x + 2 =
9
4
0,25

4x
2
- 4x + 1 = 0

x =
1
2
. Vậy phơng trình có nghiệm x =
1
2
0,25

III.1
Đặt

= + + = =
2
2
1
3 1 3 1
3
t
t x x t x
tdtdx
3
2
=

0,25
Với
10
==
tx

21 == tx
0,25
Vậy

=

=
2

1
2
2
1
2
)1(
9
2
9
2)1(
dttdt
t
tt
I
0,25

= =
ữ

2
3
1
2 8
9 3 27
t
t
0,25
III.2
BĐT:
0

3
tan
3
>
x
xx
. Đặt
3
tan)(
3
x
xxxf =
với



ữ


0;
2
x
Ta có
= = = +
' 2 2 2
2
1
( ) 1 tan (tan )(tan )
cos
f x x x x x x x x

x
0,25
Xét hàm số
= ( ) tang x x x
với



ữ


0;
2
x
có


= = >
ữ

' 2
2
1
( ) 1 tan 0, 0;
cos 2
g x x x
x


Hàm số đồng biến trên

[0; )
2

.
0 ( ) (0) 0
2
x g x g

> > > =
. Vậy
tan 0, 0;
2
x x x


>
ữ

0,25
Suy ra f '(x) = (tanx + x)(tanx - x) > 0

x

(0;
2

)
0,25

hàm số f(x) đồng biến trên [0;

2

)
0 ( ) (0) 0
2
x f x f

> > > =
hay tanx - x -
3
3
x
> 0

x

(0;
2

)
0,25
IV.1 Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là trung điểm AB.
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO

(ABCD) và SI

AB.
Vì S
SAB
=

2
3 1
2 2
a
=
SI.AB

SI =
2
3a
AB
=
2
3
3
3
a
a
a
=
0,25
Xét tam giác SOI vuông tại O có OI =
1
2
AB =
3
2
a
; SI = a
3

suy ra SO =
2
2 2 2
3 3
3
4 2
a a
SI OI a = =
0,25
S
B
C
D
A
O
I
S
ABCD
= AB
2
= 3a
2
. 0,25
Vậy thể tích khối chóp là: V =
2
1 1 3
. . .3
3 3 2
ABCD
a

SO S a=
=
3
3
2
a
(đvtt) 0,25
IV.2
Xét tam giác ABC có A(2; -3), B(4; 1) và trọng tâm G(1; -1).
Gọi đỉnh C(x; y) thì ta có C(-3; -1) 0,25
Gọi trực tâm H(a; b) thì
AH.BC 0
BH.AC 0

=


=


uuur uuur
uuur uuur
0,25
Ta có:
AH(a 2;b 3),BC( 7; 2)
BH(a 4;b 1),AC( 5;2)
+

uuur uuur
uuur uuur

0,25
Vậy ta có hệ:
13
a
7a 2b 8
6
5a 2b 18
43
b
12

=

+ =




=


=


Suy ra trực tâm H(
13 43
;
6 12

)

0,25
V.1
Mặt phẳng (Q): x - y + 1 = 0 có véc tơ pháp tuyến
1
n (1; 1;0)
uur
Đờng thẳng (d) có véc tơ chỉ phơng
u( 1; 3; 4)
r
và đi qua M(2; 1; 2)
0,25
Gọi
n
r
là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì

1
n n ,u (4;4;2) 2(2;2;1)

= = =

r uur r
0,25
Mặt phẳng (P) chứa (d) nên đi qua điểm M(2; 1; 2)
Suy ra (P) có phơng trình là: 2x + 2y + z - 8 = 0
0,5
V.2
Xét phơng trình: z
2
+ 2z + 2 = 0 có

'
=1 - 2 = -1 = i
2
0,25
Phơng trình có hai nghiệm phức là: z
1
= -1 - i và z
2
= -1 + i 0,25
Biểu thức | z
1
+ 3- 2i | = | 2- 3i | =
13
, | z
2
+ 3- 2i | = | 2- i | =
5
0,25
Vậy A = 13 + 5 = 18 0,25
Chú ý:
- Thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho đủ số điểm thành phần tơng ứng.
- Sự phân chia biểu điểm nhỏ hơn cần đợc thống nhất trong hội đồng chấm.