luậLý thuyết lọc tối ưu đối với quá trình Gaussian điều kiện và áp dụng của nó vào các bài toán thống kê và các bài toán điều khiển tối ưu với thời gian rời rạc và các bài toán điều khiển tối ưu với thời gian liên tục

LỜI NÓI ĐẦU
Lí thuyết lọc đã được các nhà toán học nghiên cứu đến hai thế kỷ nay.
Lý thuyết lọc hiện đại dựa trên toán học hiện đại, nó có nhiều ứng dụng trong
vật lý kỹ thuật và các ngành khoa học khác.
Đề tài này chỉ đề cập đến vấn đề lý thuyết lọc tối ưu đối với quá trình
Gaussian điều kiện và áp dụng của nó vào các bài toán thống kê và các bài
toán điều khiển tối ưu với thời gian rời rạc và các bài toán điều khiển tối ưu
với thời gian liên tục.
Do hạn chế về mặt thời gian lên luận văn không thể tránh khỏi những sai
lầm thiếu sót. Em rất mong các thầy và các bạn đọc đóng góp ý kiến để em tiếp
tục ngiờn cứu, bổ xung làm cho luận văn này hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
1
Chương I
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Các khái niệm cơ bản
Cho không gian xác suất đầy đủ
( , , )F PΩ
,
( ,0 )
t
F t T
≤ ≤
là họ không giảm các
σ
-đại số con của
σ
- đại số F,
,0
t
F t T

≤ ≤
là liên tục.
Giả sử
( , )
θ ξ
là quá trình ngẫu nhiên hai chiều quan sát được bộ phận, trong đó
( , ),1
t t
F t T
θ θ
= ≤ ≤
là quá trình không quan sát được và
( , ),1
t t
F t T
ξ ξ
= ≤ ≤
là quá
trình quan sát được.
Bài toán lọc tối ưu đối với quá trình quan sát được bộ phận
( , )
θ ξ
được hiểu là
xây dựng đối với mỗi t
(0 )t T
≤ ≤
ước lượng bình phương tối thiểu của hàm h
t
của
( , )

θ ξ
là F
t
–đo được trên cơ sở những quan sát
1
,1 t
ξ
≤
.
Nếu
2
t
Eh < ∞
khi đó ước lượng tốt nhất trùng với kỳ vọng điều kiện
( ) ( / ),
t t t t
h E h F F
ξ ξ
π
=
là
σ
- đại số sinh bởi quá trình
( , )
t t
F
ξ ξ
=
. Đại lượng
( )

t
h
π

khó được xác định. Song dưới giả thiết quá trình
( , )h
ξ
được cho bởi đẳng thức

0
0
t
t s t
h h H ds x
= + +
∫
(1)
Và
0 s
0 0
( ) ( ) w
t t
t s s
A ds B d
ξ ξ ω ξ
= + +
∫ ∫
(2)
t
(w , )

t
F
là quá trình wiener,
( , ),( , )
t t t t
A A F B F
=
thỏa mãn giả thiết
2
0 0
( ( ) ) 1, ( ( ) ) 1
T T
t t
P A dt P B dt
ω ξ
< ∞ = < ∞ =
∫ ∫
(3)
Và
2
2
1 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
t
t t s s s s
B x B y L x y dK s L x y
− ≤ − + −
∫
(4)

( )
2 2 2
1 2
0
( ) (1 ) (1 )
t
t s t
B x L x dK s L x≤ + + +
∫
(5)
2
Trong đó L
1
, L
2
là các hằng số khụng õm và K(t)
0 ( ) 1K t
≤ ≤
là hàm liên tục
phải không tăng của x, y
T
C
∈
Giả sử hàm
( ),0
t t
g g t T
ω
= ≤ ≤

là quá trình ngẫu nhiên đo được nào đó thỏa
mãn
t
E g < ∞
và kỳ vọng điều kiện
( / )
t t
E g F
ξ
là cải tiến đo được (bản sao đo
được) ký hiệu là
( )
t
g
π
.
Phương trình lọc cơ bản (trường hợp một chiều).

I.1. Biến ngẫu nhiên: Giả sử (
Ω
, F) là không gian đo đã cho,
( ; )R
= −∞ +∞
Định nghĩa1:
Hàm thực
( )X X
ω
=
xác định trên
Ω

lấy giá trị trên R gọi là hàm
F- đo được hoặc biến ngẫu nhiên nếu

{ }
1
: ( ) ( )X B X B
ω ω
−
∈ = ∈
F với mỗi
B
∈
B (R)
(với B (R) là
σ
- đại số các tập Borel của R)
Định nghĩa2:
Hàm thực
( )X X
ω
=
xác định trên
Ω
và lấy giá trị trong
R

[ ]
;= −∞ +∞
sao
cho

{ }
1
: ( ) ( )X B X B
ω ω
−
∈ = ∈
F với mỗi B
∈
B
( )
R
được gọi là biến ngẫu nhiên
suy rộng.
I.2. Quá trình ngẫu nhiên
Định nghĩa 1:
Cho không gian xác suất (
Ω
, F, P) và
[
)
0,T
= +∞
. Họ các biến ngẫu nhiên
( )
,
t
X t T
∈
được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục t∈ T.
Trong trường hợp T=N=

{ }
0,1,2,
, họ
( , )
t
X t T
∈
được gọi là quá trình ngẫu
nhiên với thời gian rời rạc.
X(t, ω) phụ thuộc hai biến t ∈T, ω∈Ω. Với mỗi t cố định, X(t, ω) là hàm đo
được theo ω. Với mỗi ω cố định X(t, ω) được gọi là quỹ đạo hay hàm chọn của
quá trình ngẫu nhiên.
3
Định nghĩa 2:
Hai quá trình ngẫu nhiên
( )
t
X
và
( )
t
Y
, t∈T cùng xác định trên không gian
xác suất (Ω, F, P) được gọi là tương đương ngẫu nhiên nếu chúng trùng nhau
hầu khắp nơi với mỗi t∈ T. Nghĩa là
[ ]
0
t t
P X Y
≠ =

. Quá trình
( )
,
t
Y t T∈
được
gọi là quá trình cải tiến của quá trình
( , )
t
X t T
∈
.
Định nghĩa 3 :
Quá trình ngẫu nhiên
( , )
t
X t T
∈
xác định trên TxΩ được gọi là đo được nếu
với bất kỳ tập borel B∈ B (R) ta có
{ }
( , ) : ( )
t
t X B
ω ω
∈
∈F x B(T).
Trong đó B (T) là б- đại số borel trên T=
[
)

0,
∞
.
Định nghĩa 4:
Quá trình ngẫu nhiên
( , )
t
X t T
∈
được gọi là phù hợp với họ б- đại số F
t
,
t∈ T, nếu với mỗi t∈T, biến ngẫu nhiên X
t
là F
t
-đo được.

Định nghĩa 5:
Quỏ trình ngẫu nhiên
( , )
t
X t T
∈
được gọi là đo được tiến nếu với mỗi t∈T
{ }
( , ):
s
s t X B
ω

≤ ∈
∈F
t
x B (
[ ]
0,t
). Trong đó B là tập borel trên R, và B (
[ ]
0,t
) là
б -đại số các tập borel trên
[ ]
,o t
. Rõ ràng, mọi quá trình ngẫu nhiên đo được
tiến đều là đo được và phù hợp với họ б- đại số F
t
, t∈T.

Định nghĩa 6:
4
Quá trình ngẫu nhiên
( , )
t
X t T
∈
với X
0
là F
o
-đo được, là dự báo được nếu nó

đo được với б -đại số trên
[
)
0,
∞
x Ω sinh bởi các tập tớch cú dạng
(
]
,s t
x A,
0 s t
≤ ≤
, A ∈ F
t
.
Định nghĩa 7:
Quá trình ngẫu nhiên X
t
, t∈T được gọi là liên tục ngẫu nhiên tại
t
o
∈T, nếu đối với
0
ε
>
có:
0
o
s t
P X X

ε
 
− > →
 
,
o
s t
→
Nếu quá trình ngẫu nhiên liên tục tại mọi điểm của tập
S T
≤
thì ta núi nú liên
tục ngẫu nhiên trên S.
Định nghĩa 8:
Quá trình ngẫu nhiên
( , )
t
X t T
∈
được gọi là liên tục (liên tục phải, liên tục
trái) trên S ⊆ T nếu hầu hết quỹ đạo của nó liên tục (liên tục phải, liên tục trái).
Nghĩa là, ∃ N có P(N)=0 sao cho ∀ ω∈N, quỹ đạo X
t
(ω), t∈S là liờn tục(liờn
tục phải, liên tục trái).
Định nghĩa 9:
Nếu tồn tại giới hạn theo nghĩa xác suất (h.c.c):
0
lim
t h t

h
X X
h
+
→
−
Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên( X
t
,
t∈T) theo xác suất (h.c.c) và ta nói quá trình (X
t
, t∈T) khả vi tại t.
Kí hiệu:
'
t
X
hoặc
t
dX
dt
.
I.3. Kỳ vọng điều kiện:
Định nghĩa 1: Giả sử x là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất
( , , )F PΩ
và tồn tại kỳ vọng E(x), G là
σ
-đại số con của
σ
-đại số F. kỳ vọng
điều kiện của biến ngẫu nhiên x đối với

σ
-đại số G đã cho là đại lượng ngẫu
nhiên, kí hiệu là
( / )E x G
đo được đối với
σ
-đại số G và thỏa mãn
( / ) ( )
A
B B
E x G dP I dP
ω
=
∫ ∫
đối với bất kì
B G
∈
5
Định nghĩa 2: xác suất điều kiện. xác suất điều kiện của biến cố A với điều
kiện
σ
-đại số G đã cho là đại lượng ngẫu nhiên
( / )P A G
đo được đối với
σ
-
đại số G sao cho
( / ) ( ), .
B
P A G dP P A B B G

= ∩ ∈
∫
I.4. Martingale. Cho không gian xác suất
( , , )F PΩ
và họ
( ),
t
F t T
∈
là họ
không giảm các
σ
-đại số con của F. quá trình
( , ),
t t
X x F t T
= ∈
được gọi là
martingale ( Submartingale, Supermartingale) nếu:
1) x
t
là F
t
đo được
2)
t
E x
< ∞
3) Với
, ( / ) ( ( / ) , ( / ) )

t s s t s s t s s
s t E x F x E x F x E x F x
≤ = ≥ ≤
Định nghĩa này tương đương với mệnh đề:

( , ),
t t
X x F t T
= ∈
là martingale (submartingale, supermartingale) nếu
s
A F
∈
tùy
ý (s<t) ta có:

,
s t s t t
A A A A A A
x dP x dP x dP x dP dP x dP
 
= ≤ ≥
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bổ đề 4.12. Giả sử
t
w=(w , ),0
t
F t T

≤ ≤
là quá trình winer và
( , )f t
ω
là hàm
không khả đoán với
2m
0
E f ( , )
T
t dt
ω
< ∞
∫
. Khi đó
2 2m 1 2
s
0 0
( ( , ) w ) [m(2m-1)] ( , )
t t
m m m
E f s d t E f s ds
ω ω
−
≤
∫ ∫
Bổ đề 4.13. Giả sử
0 1 2
, ,c c c
là các hằng số khụng õm, u(t) là hàm không âm, bị

chặn, v(t) là hàm khụng õm khả tích
0 1t
≤ ≤
, sao cho
s
0 1 2
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )[ u(b)dK(b)]ds
t t
u t c c v s u s ds c v s
≤ + +
∫ ∫ ∫
trong đó K(s) là hàm không giảm
liên tục phải,
0 ( ) 1K s
≤ ≤
. Khi đó
1 2
0
0
( )
( ) ( ( ) ) ( )
!
t
j
j
n
c c
u s c v s ds t
j

ϕ
+
≤ +
∑
∫
trong đó
( ) 0
n
t
ϕ
→
khi
n
→ ∞
.
6
Chương II
LỌC PHI TUYẾN TỐI ƯU: PHÉP NỘI SUY VÀ PHÉP NGOẠI SUY
CỦA CÁC THÀNH PHẦN CỦA QUÁ TRÌNH GAUSSIAN ĐIỀU KIỆN
II1. Phương trình lọc tối ưu
Giả sử
( , ) ( , ),0
t t
t T
θ ξ θ ξ
= ≤ ≤
là quá trình ngẫu nhiên trong đó
,0
t
t T

θ
≤ ≤
, là
quá trình không quan sát được,
( ,0 )
t
t T
ξ
≤ ≤
là quá trình quan sát được.
Trong trường hợp đó xột ở trương trước quá trình
( , )
θ ξ
là Gaussian mà nó
được bổ xung thêm tính điều kiện

3 2 3
( ) 3 ( ) ( ) 2[ ( )]
t t t t
π θ π θ π θ π θ
= −
(II
0
)
Đối với kỳ vọng hậu nghiệm
( ) ( / )
t t t
E F
ξ
π θ θ

=
và phương sai hậu nghiệm

2 2
t
( ) ( ) [ ( )]
t t
γ θ π θ π θ
= −
.
Trong chương này ta sẽ đề cập tới lớp quá trình ngẫu nhiên
( , ) ( , ),0
t t
t T
θ ξ θ ξ
= ≤ ≤
mà không là quá trình Gaussian nhưng nó có tính chất
quan trọng là phân phối điều kiện
0
t
( ) [ / ]
t
t
F x P x F
ξ
ξ
θ
= ≤
là Gaussian
Đặc biệt có tính chất (II

0
)
Cho không gian xác suất
( , , )F PΩ
với họ không giảm các
σ
−
đại số
,0
t
F t T
≤ ≤

con của
σ
−
đại số F và cho
1 1 2 2
w (w ( ), ),w (w ( ), )
t t
t F t F
= =
là hai quá trình wiener
độc lập. biến ngẫu nhiên
0 0
,
θ ξ
được giả thiết là độc lập với quá trình w
1
, w

2
.
Cho
( , ) ( , ),0
t t
t T
θ ξ θ ξ
= ≤ ≤
là quá trình khuyếch tán ngẫu nhiên liên tục với
0 1 1 1 2 2
[a ( , ) ( , ) ]dt+b ( , ) w ( ) ( , ) w ( )
t t
d t a t t d t b t d t
θ ξ ξ θ ξ ξ
= + +
(2.1)

0 1 2
[A ( , ) ( , ) ]dt+B(t, )dw ( )
t t
d t A t t
ξ ξ ξ θ ξ
= +
(2.2)
Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
7
2 2
i j
0,1 j=1,2
0

T
2 2
1
0
( { a ( , ) ( , ) }+ b ( , ) ( , ))
{ A ( , ) }=1
T
i
i
t
t x A t x t x B t x dt
P t m dt
ξ
=
+ + < ∞
< ∞
∑ ∑
∫
∫
Với phân phối điều kiện
0
0 0
( ) ( / )F a P a
ξ
θ ξ
= ≤
là Gaussian
Bổ đề 2.1: Giả sử
1 1
( , ) , ( , )a t x L A t x L

≤ ≤
(2.3)

4 4
0 1
0
[ ( , ) ( , )]dt<
T
E a t b t
ξ ξ
+ ∞
∫
(2.4)

4
0
E
θ
< ∞
(2.5)
thì
4
0
[ sup ]<
t
t T
E
θ
≤ ≤
∞

(2.6)
Chứng minh: Đặt
4
s t
inf{t:sup }
N s
N
τ θ
≤
= ≥
Lấy
N
T
τ
=
nếu
4
sup
s
s T
N
θ
≤
<
, thì
2
4 4
0 0 1 i
1
0 0 0

2
4 4 4 4
0 1 i
1
0 0 0
4 3 4 3 4 4
0 0 1
0
[ ( , ) ( , ) ( , ) w ( )]
125[ ( ( , ) ) ( ( , ) ) ( ( , ) w ( )) ]
125[ ( ) ( , ) ( ) ( , )
N N N
N
N N N
N
t t t
t s i
i
t t t
o s i
i
t
N N s
a s ds a s ds b s d s
a s ds a s ds b s d s
t a s ds t a s ds
τ τ τ
τ
τ τ τ
τ

θ θ ξ ξ θ ξ
θ ξ ξ θ ξ
θ τ ξ τ ξ θ
∧ ∧ ∧
∧
=
∧ ∧ ∧
=
∧
= + + +
≤ + + +
≤ + ∧ + ∧
∑
∫ ∫ ∫
∑
∫ ∫ ∫
2
4
i
1
0 0
( ( , ) w ( )) ]
N N
t t
i
i
b s d s
τ τ
ξ
∧ ∧

=
+
∑
∫ ∫ ∫
(2.7)
theo bổ đề 4.12 suy ra

4 4
i
0 0
2
4 4 3 4 3 4 4 4
0 0
1
0 0 0
4 4
1 2
0
( ( , ) w ( )) 36 ( , ) , 1,2
,
125[ ( , ) 36 ( , ) ]
N
N N
N N
t
T
i i
s s N N
T t T
t s i

i
t
t s
E b s d s T Eb s ds i
s t
E E T Ea s ds T L E ds Eb s ds
E C C E ds
τ
τ τ
τ τ
ξ ξ
θ θ τ τ
θ θ ξ θ ξ
θ θ
∧
∧ ∧
=
∧ ∧
≤ =
= ∧ ≤ ∧
≤ + + +
⇒ ≤ +
∫ ∫
∑
∫ ∫ ∫
∫
(2.8)
Trong đó C
1
, C

2
là các hằng số.
Theo bổ đề 4.13
8

2
2
4 4
1
4 4 4
1
0
lim sup
N
N
C T
t t
C T
t t t
t T
N
E E C e
E E C e E
τ
τ
θ θ
θ θ θ
−−−−−
∧
∧

≤ ≤
→∞
≤ ≤
⇒ ≤ ≤ ⇒ < ∞
(2.9)
Bây giờ ta chỉ ra rằng
4
0
(sup )
t
t T
E
θ
≤ ≤
< ∞
Thay
N
t
τ
∧
bởi t ta nhận được

2
4 4 3 4 3 4 4
0 0 i
0 0
1
0 0 0
sup 125[ ( , ) sup ( , ) w ( ) ]
T T t

t s i
t T t T
i
T a s ds T L ds b s d s
θ θ ξ θ ξ
≤ ≤ ≤ ≤
=
≤ + + +
∑
∫ ∫ ∫
Theo bổ đề 4.12 ta có:
4
4 4
i
0
0 0
4
sup ( , ) w ( ) ( ) 36 ( , ) , 1,2
3
t T
i i
t T
E b s d s T Eb s ds i
ξ ξ
≤ ≤
≤ =
∫ ∫
Từ (2.3) và (2.4), (2.5), (2.9) ta có
2
4 4 3 4 4 4 4 4 4

0 0
0 0
1
0 0
4
[sup ] 125[E ( , ) sup ( ) 36 ( , ) ]
3
T T
t s i
t T t T
i
E T Ea s ds T L E T Eb s ds
θ θ ξ θ ξ
≤ ≤ ≤ ≤
=
≤ + + + < ∞
∑
∫ ∫

Định lý II.1: Cho
( , )
θ ξ
là qỳa trỡnh ngẫu nhiên với vi phân cho bởi (2.1)
và (2.2)
Nếu các điều kiện (2.3), (2.4), (2.5)sau được thỏa mãn và

2 2
i j
0,1 j=1,2
0

( { a ( , ) ( , ) }+ b ( , ) ( , ))
T
i
i
t x A t x t x B t x dt
=
+ + < ∞
∑ ∑
∫
(2.10)

2 2
0 1
0
[A ( , ) ( , )]dt<
T
t x A t x
+ ∞
∫
(2.11)
2
x C
inf ( , ) 0,0B t x C t T
∈
≥ > ≤ ≤
(2.12)
2 2 2
1 2
0
( , ) ( , ) ( )

t
s s t t
B t x B t y L x y dK s L x y
− ≤ − + −
∫
(2.13)
2 2 2
1 2
0
( , ) (1 ) ( ) (1 )
t
s t
B t x L x dK s L x
≤ + + +
∫
(2.14)
Được thỏa mãn
Trong đó K(s) là hàm liên tục phải,
0 ( ) 1K s
≤ ≤

9
Và phân phối điều kiện
0 0
( / )P a
θ ξ
≤
là Gaussian,
0 0
( , )N m

γ
thì
,
t t
m
γ
thỏa mãn
phương trình

0 1
2 1
t 0 1
2
[a ( , ) ( , ) ]dt+
b ( , ) ( , ) ( , )
[d ( ( , ) ( , ) ) ]
( , )
t t
t
t
dm t a t m
t B t A t
A t A t m dt
B t
ξ ξ
ξ ξ γ ξ
ξ ξ ξ
ξ
= +
+

× − +
(2.15)

' 2 2 2
2 1
1 1 2
( , ) ( , ) ( , )
2 ( , ) ( , ) ( , ) ( )
( , )
t
t t
b t B t A t
a t b t b t
B t
ξ ξ γ ξ
γ ξ γ ξ ξ
ξ
+
= + + −
(2.16)
Với điều kiện
2
0 0 0 0 0 0 0
( / ), [( ) / ]m E E m
θ ξ γ θ ξ
= = −
Chứng minh. Khai thác điều kiện
2 2
0
,w ( , )

t
x b s ds
ξ
< >=
∫
từ (8.9) suy ra

t
0 0 1
0
2 2
1 s
2
0
[a ( , ) ( , )]ds
( , )[E( / ) ]
{b ( , ) }dw
B(s, )
t
t
s s
s
m m s a s
A s F m
s
ξ
ξ ξ
ξ θ
ξ
ξ

= + +
−
+ +
∫
∫
(2.17)
Trong đó
0 1
( ( , ) ( , ) )
w
( , )
t
s s
t
d A s A s m ds
B s
ξ ξ ξ
ξ
− +
=
∫

2 2
( / )
s s s s
E F m
ξ
θ γ
− =
, kết hợp với (2.17) suy ra

0 1
2 1
t 0 1
2
[a ( , ) ( , ) ]dt+
b ( , ) ( , ) ( , )
[d ( ( , ) ( , ) ) ]
( , )
t t
t
t
dm t a t m
t B t A t
A t A t m dt
B t
ξ ξ
ξ ξ γ ξ
ξ ξ ξ
ξ
= +
+
− +
(2.18)
Kí hiệu
2
( / )
t t t
E F
ξ
δ θ

=
, ta có
2
t t t
m
δ γ
− =

Từ phương trình
%
2 2
0
, w 2 ( , )
t
t s
x b s ds
θ ξ
< > =
∫
và từ (8.9) ta nhận được
2 2
0 0 1 1 2
0
1 3
s 2 0 1 0 1
0
[2a ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )]ds
{2m ( , ) ( , )[A ( , ) ( , ) ( / ) ( ( , ) ( , ) )]}dw
t
t s s

t
s
s s s s s
s m a s b s b s
b s B s s A s E F A s A s m
ξ
δ δ ξ ξ δ ξ ξ
ξ ξ ξ δ ξ θ δ ξ ξ
−
= + + + +
+ + + − +
∫
∫
hay
10

2 2
0 0 1 1 2
0
1 3
s 2 1 s
[2a ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )]ds
( , ){2m ( , ) ( , ) ( , )[E( / ) ]}dw
t
t s s
t
s
s s s
s m a s b s b s
B s b s B s A s F m

ξ
δ δ ξ ξ δ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ θ δ
−
= + + + +
+ + −
∫
∫
(2.19)
Do công thức I tô và (2.18) ta suy ra

2 2 2
2 1
0 0 1
0
2 1
0
b ( , ) ( , ) ( , )
(2 [a ( , ) ( , ) ] [ ] )
( , )
( , ) ( , ) ( , )
2 w
( , )
t
s
t s s
t
s
s
s

s B s A s
m m m s a s m ds
B s
b s B s A s
m d
B s
ξ ξ γ ξ
ξ ξ
ξ
ξ ξ γ ξ
ξ
+
= + + +
+
+
∫
∫
(2.20)
Kết hợp (2.19) và (2.20) suy ra

2
2 2 2
2 1
0 1 1 2
2
0
t
3
1
s

0
( , ) ( , ) ( , )
[2a ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ]ds
( , )
A ( , )
+ {E( / ) 2 }dw
( , )
t t t
t
t
t s
s
s s s s s
m
b s B s A s
s b s b s
B s
s
F m m
B s
ξ
γ δ
ξ ξ γ ξ
γ γ ξ γ ξ ξ
ξ
ξ
θ δ γ
ξ
= −
+

= + + + −
− −
∫
∫
(2.21)
Do phân phối điều kiện
( / )
s s
P a F
ξ
θ
≤
là Gaussian lên

3 3
( / ) 3 2 ( 2 )
s s s s s s s s s
E F m m m m
ξ
θ δ δ γ
= − = +
Tích phân (2.21) suy ra
2 2 2
2 1
0 1 1 2
0
( , ) ( , ) ( , )
[2a ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ]ds
( , )
t

s
t s
b s B s A s
s b s b s
B s
ξ ξ γ ξ
γ γ ξ γ ξ ξ
ξ
+
= + + + −
∫
(2.22)
Định lý II.2 : Cho
( )
θ θ ω
=
là biến ngẫu nhiên với
4
E
θ
< ∞
, và vi phân

0 1 2
[A ( , ) ( , ) ]dt+B(t, )dw ( ),
t
d t A t t
ξ ξ ξ θ ξ
= +
trong đó các hệ số

0 1
, ,A A B
thỏa mãn
phân phối điều kiện
0
( / )P a
θ ξ
≤
là Gaussian. Khi đó

2
( / ), [( ) / ]
t t t t t t
m E F E m F
ξ ξ
θ γ θ
= = −
được cho bởi công thức

1
0 0 s 0
2
0
2
1
0
0
( , )
[d ( , ) ]
( , )

( , )
1
( , )
t
t
t
A s
m A s ds
B s
m
A s
ds
B s
ξ
γ ξ ξ
ξ
ξ
γ
ξ
+ + −
=
 
+
 ÷
 
∫
∫
(2.23)
11

0
2
1
0
0
( , )
1
( , )
t
t
A s
ds
B s
γ
γ
ξ
γ
ξ
=
 
+
 ÷
 
∫
(2.24)
Chứng minh: Do (2.15) và (2.16)
,
t t
m
γ

thỏa mãn các phương trình

1
t 0 1
2
( , )
[d ( ( , ) ( , ) ],
( , )
t
t t
A s
dm A t A t m
B s
γ ξ
ξ ξ ξ
ξ
= − +
(2.25)

2
'
1
( , )
( , )
t
t
A t
B t
γ ξ
γ

ξ
 
= −
 ÷
 
(2.26)
Các nghiệm của (2.23), (2.24) được xác định bởi (2.25) và (2.26)
Trong trường hợp (2.23) và (2.24) nhận được từ công thức Bayes:

0
0 1 t
-
[ ( , w , )/ ]= f ( , , ) ( , , ) w(c)dF ( )
t t t
E f F a c a c d a
ξ
ξ
θ ξ ξ ρ ξ µ
∞
∞
∫
Thì ta không cần sử dụng phương trình lọc nhiều chiều cho quá trình ngẫu
nhiên Gaussian điều kiện.
Thật vậy, nếu
0
0,
γ
>
ta có

t
2
a
2
0
1 1
0
- 0 0
0
( / ) { [ a]/F }=
( -m )
( , ) A ( , )1 1
exp{- ( ( )) w ( ( )) }
2 ( , ) 2 ( , )
2
t
t t
s
s s
P a F E
A s s
m d a m ds
B s B s
ξ ξ
θ χ θ
α
ξ ξ
α ξ ξ
γ ξ ξ
πγ

∞
≤ = ≤
 
+ − − −
 
 
∫ ∫ ∫
Do phân phối điều kiện
( / )
t t
P a F
ξ
θ
≤
là Gaussian ta có mật độ:

2
2
0
1 1
0
0 0
0
( / )
(a-m )
( , ) ( , )
1 1
exp - ( ( )) w ( ( ))
2 ( , ) 2 ( , )
2

t
t t
s
s s
dP a F
da
A s A s
a m d a m ds
B s B s
ξ
θ
ξ ξ
ξ ξ
γ ξ ξ
πγ
≤
=
 
 
 
+ − − −
 
 
 
 
 
∫ ∫
(2.27)

2

t
( / ) (a-m )
1
exp -
2
2
t
t
t
dP a F
da
ξ
θ
γ
πγ
 
≤
=
 
 
(2.28)
Từ (2.27), (2.28) suy ra

2
1
0
0
( , )1 1 1
2 2 ( , ) 2
t

t
A s
ds
B s
ξ
γ ξ γ
 
− − = −
 ÷
 
∫
(2.29)
12

2
0 1
1
0
0 0
( , ) ( )
( , )
w
( , ) ( , )
t t
s t
s
t
m A s m m
A s
d ds

B s B s
ξ ξ
ξ
γ ξ ξ γ
 
+ + =
 ÷
 
∫ ∫
(2.30)
Ta có
0 1
[A ( , ) ( , ) ]ds
w
B(s, )
s s
t
d s A s m
d
ξ ξ ξ
ξ
− +
=
Nếu
0
( 0) 0P
γ
= >
, thì từ (2.23) và (2.24) ta xét phân phối Gaussian

0
( / )P a
ε
θ ξ
≤
với tham số
0 0
m m
ε
=
,
0 0
, 0
ε
γ γ ε ε
= + >
, thay cho phân phối

0
( / )P a
θ ξ
≤
. Khi đú cỏc giá trị liên đới
,
t t
m
ε ε
γ
được cho bởi (2.23) và (2.24) với
sự thay thế của

0 0
ε
γ γ ε
= +
cho
0
γ
, chuyển qua giới hạn khi
0
ε
→
ta thu được
điều phải chứng minh.
II.2. Tính duy nhất nghiệm của phương trình lọc: quan hệ tương đương
của
σ
−
đại số
t
F
ξ
và
0
,w
t
F
ξ

Định lý II.3: Cho các điều kiện của định lý II.1 được thỏa mãn. Khi đó hệ
phương trình

2 1
0 1
2
t 0 1
2
' 2
2 1
1 1
b ( , ) ( , ) ( ) ( , )
( ) [a ( , ) ( , ) ( )]dt+
( , )
[d ( ( , ) ( , ) ( ) ]
( , ) ( , ) ( ) ( , )
( ) 2 ( , ) ( ) ( , )
( , )
t B t y t A t
dx t t a t x t
B t
A t A t x t dt
b t B t y t A t
y t a t y t b t
B t
ξ ξ ξ
ξ ξ
ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ
ξ

+
= + ×
× − +
 
+
= + −
 ÷
 
(2.31)
(2.32)
Với điều kiện ban đầu
0 0 0 0
(0) , (0) ,( ;0 )x m y m
γ γ
= = < ∞ ≤ < ∞
Có nghiệm duy nhất, liên tục,
t
F
ξ
-đo được,
,0t t T
∀ ≤ ≤
Chứng minh: cho y
1
(t), y
2
(t),
0 t T
≤ ≤
là hai nghiệm khụng õm, liờn tục của

phương trình (2.32), khi đó ta có:

2
1 2 1 1 1 2
0
2
1
1 2 1 2
2
0
( , )
( ) ( ) 2 ( , ) ( , ) ( ) ( )
( , )
( , )
[y ( ) ( )] y ( ) ( )
( , )
t
t
b s
y t y t a s A s y s y s ds
B s
A s
s y s s y s ds
B s
ξ
ξ ξ
ξ
ξ
ξ
 

− ≤ + −
 ÷
 
+ − −
∫
∫
(2.33)
13
Kí hiệu
2
2 1
1 1 1 1 2
2
( , ) ( , )
( , ) 2 ( , ) ( , ) [y ( ) ( )]
( , ) ( , )
b s A s
r s a s A s s y s
B s B s
ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ
 
= + + −
 ÷
 
(2.33) có thể viết lại là
1 2 1 1 2
0
( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

t
y t y t r s y s y s ds
ξ
− ≤ −
∫
Theo (4.13),
1 2
{y ( ) ( )}=1,0 t T,P t y t
= ≤ ≤
Do tính liên tục của các nghiệm
1 2
( ), ( )y t y t
nên

{ }
1 2
0
sup ( ) ( ) 0 1
t T
P y t y t
≤ ≤
− = =
Tính duy nhất nghiệm của (2.32) được chứng minh.
Gọi
1 2
( ), ( )x t x t
là hai nghiệm của (2.31)
Ta có

2

2 1
1 2 1 1
2
0
1 2
( , ) ( ) ( , )
( ) ( ) [a ( , ) ( , ) ]
( , ) ( , )
[x ( ) ( )]ds
t
b s y s A s
x t x t s A s
B s B s
s x s
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
− = + +
× −
∫
Suy ra
1 2 2 1 2
( ) ( ) ( , ) ( ) ( )
t
x t x t r s x s x s ds
ξ
− ≤ −
∫
(2.34)
Trong đó

2
2 1
2 1 1
2
( , ) ( ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
b s y s A s
r s a s A s
B s B s
ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ
= + +
Lại áp dụng bổ đề (4.13) ta tìm được:
1 2
( ) ( ), ,0x t x t t t T
= ∀ ≤ ≤
Từ đó suy ra
{ }
1 2
0
sup ( ) ( ) 0 1
t T
P x t x t
≤ ≤
− = =

W
Định lý II.4: Kí hiệu g(t, x) là mỗi hàm không khả đoán

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), 0,1, 1,2,0 ,
i i i T
a t x A t x b t x B t x i j t T x C
= = ≤ ≤ ∈
giả thiết rằng

2
2 2
1 2
0
2 2 2
1 2
0
, , ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ;(2.35)
( , ) (1 ) ( ) (1 )(2.36)
t
T s s t t
t
s t
x y C g t x g t y L x y dK s L x y
g t x L x dK s L x
∀ ∈ − ≤ − + −
≤ + + +
∫
∫
Trong đó K(s) là hàm không giảm liên tục phải,
1 2
0 ( ) 1, ,K s L L
≤ ≤
=cosnt

14

1 1 1 2
2 2
0 0
3, ( , ) , ( , ) ;(2.37)
4, ( ) , 1(2.38)
n n
a t x L A t x L
E n
θ ξ
≤ ≤
+ < ∞ ∀ ≥
Khi đó hệ phương trình cho bởi (2.1) và (2.2)
Có nghiệm mạnh liên tục. nghiệm này duy nhất và

2 2
0
sup ( )
n n
t t
t T
E
θ ξ
≤ ≤
+ < ∞
Chứng minh định lý này giống như chứng minh định lý 4.9
Định lý II.5. Cho các hàm
1
( , ), ( , ), ( , ), ( , )

i i
a t x A t x b t x B t x
−
hội tụ đều và bị chặn và
thỏa mãn các điều kiện (2.35) và (2.36). khi đó hệ phương trình

0 1
2
2 2
2 1
1 1 t 1
2
1
0 1 2
[A ( , ) ( , ) ]dt+B(t, )dw
( , ) ( , )
2[ ( , ) ( , )] ( , )
( , ) ( , )
( , )
[a ( , ) ( , ) ]dt+[b ( , ) ]dw
( , )
t
t t
t t
t
t
t t
d t A t m
b t A t
a t A t b t

B t B t
A t
dm t a t m t
B t
ξ ξ ξ ξ
ξ ξ
γ ξ ξ γ ξ γ
ξ ξ
γ ξ
ξ ξ ξ
ξ


= +


= − + −



= + +


(2.39)
Có nghiệm mạnh duy nhất. trong trường hợp này
0
,w
,0
t t
F F t T

ξ
ξ
= ≤ ≤
(2.40)
Chứng minh. Cho
T
x C
∈
,
( )
t t
x
γ γ
=
thỏa mãn phương trình

2
2 2
1
1
0 1
2
0
( , )
( ) ( ) 2a ( , ) ( ) ( , ) ( )
( , )
t
t s s
A s x
x x s x x b s x x ds

B s x
γ γ γ γ
 
= + + −
 
 
∫
%
(2.41)
Phương trình (2.41) là phương trình Ricati, nú có nghiệm khụng õm duy nhất
liên tục với mỗi
T
x C
∈

Dễ thấy
t t
2
1 1
0 1
0 0 0
( ) exp 2a ( , ) ( ) exp -2 a ( , ) ( , )
s
t
x s x x u x du b s x ds
γ γ
 
   
 
≤ +

  
 
 
   
 
∫ ∫ ∫
% %
Do giả thiết
( )
t
x
γ
bị chặn đều tại x.
Ta chứng minh hàm
( )
t
x
γ
thỏa mãn điều kiện lipschitz

° °
2
0 0
0
( ) ( ) ( ), ,0 ( ) 1
t
t t s s
x y L x y d K s x y K s
γ γ
− ≤ − = ≤ ≤

∫
,
°
( )K s
là hàm liên tục phải.
15
Từ (2.41) ta nhận được
% %
2 2
2 2 2 2
1 1
1 1
1 1
2 2
0
A ( , ) ( , )
( ) ( ) 2[ ( , ) ( ) ( , ) ( ) [b ( , ) ( , )]- ( ) ( )
( , ) ( , )
t
t t s s s s
s x A s y
x y a s x x a s y y s x b s y x y ds
B s x B s y
γ γ γ γ γ γ
 
 
 
− = − + − −
 
 

 
 
 
∫

(2.42)
theo (2.35) của định lý II.4
% % % % %
2 2 2
2
2
1 1 1 1 1
2 2 2
0 1 2
0
( , ) ( ) ( , ) ( ) 2 ( ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t t t t
t
s s t t t t
a t x x a t y y x a t x a t y a t x x y
d x y dK s d x y d x y
γ γ γ γ γ
γ γ
− ≤ − + −
≤ − + − + −
∫
(2.43)
Trong đó
0 1 2

, ,d d d
là các hằng số tồn tại ứng với sự bị chặn của các hàm số
%
1
( , ), ( ),
t T
a t x x x C
γ
∈
Tương tự

2
2 2
2 2
1 1 3 4
0
( , ) ( , ) ( )
t
s s t t
b t x b t y d x y dK s d x y− ≤ − + −
∫
(2.44)
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2 2
5 6 7
0
( , ) ( , )

( ) ( )
( , ) ( , )
( ) ( ) ( )
t t
t
s s t t t t
A t x A t y
x y
B t x B t y
d x y dK s d x y d x y
γ γ
γ γ
− ≤
− + − + −
∫
(2.45)
Từ (2.42) và (2.45) ta suy ra:
( )
2 2
8
0 0
2
2
9 10
0 0
2
2 2
8 9 10
0 0 0
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t s
t t u u
t t
s s s s
t t t
s s s s s s
x y d x y dK u ds
d x y ds d x y ds
d T x y dK s d x y ds d x y ds
γ γ
γ γ
γ γ
 
− ≤ −
 
 
+ − + −
≤ − + − + −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Do bổ đề 4.13,

°
10
2
2 2
8 9

0 0
2
11
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
t t
d t
t t s s z s
t
s s
x y d T x y dK s d x y ds e
d x y d K s
γ γ
 
− ≤ − + −
 
 
≤ −
∫ ∫
∫
(2.46)
16
Trong đó
°
10
11 8 9
( )
( ) , [ ]( ( ) )
( )

d T
K s s
K s d e d T d K T T
K T T
+
= = + +
+
Bây giờ ta xét hai phương trình

1
0 1 2
0 1
( , )
[ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ] w
( , )
[ ( , ) ( , ) ] ( , ) w
t
t
t t
t
t t
A t
dm a t a t m dt b t d
B t
d A t A t m dt B t d
γ ξ
ξ ξ ξ
ξ
ξ ξ ξ ξ
= + + +

= + +
(2.47)
Theo giả thiết của định lý và tính chất của hàm
( )
t
x
γ
, hệ phương trình cho bởi
(2.47) có nghiệm mạnh duy nhất
0 0
, ,wm
t
F
ξ
-đo được với mọi t.
Nhưng
0 0 0
( / )m E
θ ξ
=
là
0
,w
t
F
ξ
-đo được với mọi t.
Vì vậy
0
,w

t t
F F
ξ
ξ
⊆
. bao hàm ngược lại là hiển nhiên
0
,w
t t
F F
ξ
ξ
⊇
(do cách xây
dựng quá trình
w
).
W
II.3. Phương trình lọc tối ưu nhiều chiều
Cho không gian xác suất
( , , )F PΩ
với họ không giảm, liên tục phải các
σ
−
đại số
( ),0
t
F t T
≤ ≤
.

1 1 2 2
w (w ( ), ), w (w ( ), )
t t
t F t F
= =
là hai quá trình wiener
độc lập, trong đó
1 11 1 2 21 2
w ( ) [w ( ), , w ( )], w ( ) [w ( ), , w ( )]
k l
t t t t t t
= =
Quá trình quan sát bộ phận
1 1
( , ) [( ( ), , ( )),( ( ), , ( )), ],0 ;
k l t
t t t t F t T
θ ξ θ θ ξ ξ
= ≤ ≤
Được giả thiết là quá trình khuyếch tán với vi phân

2
0 1
1
[ ( , ) ( , ) ] ( , ) w ( )
t t i i
i
d a t a t dt b t d t
θ ξ ξ θ ξ
=

= + +
∑
(2.48)

2
0 1
1
[A ( , ) ( , ) ] ( , ) w ( )
t t i i
i
d t A t dt B t d t
ξ ξ ξ θ ξ
=
= + +
∑
(2.49)
Các thành phần của hàm véc tơ (cột)

0 01 0
0 01 0
( , ) ( ( , ), , ( , )),
( , ) ( ( , ), , ( , )
k
l
a t x a t x a t x
A t x A t x A t x
=
=
Và các ma trận
17

(1) (1)
1 ? 1 ?
( ) ( )
(1) (2)
1 ? 2 ?
( ) ( )
(1) (2)
1 ? 2 ?
( ) ( )
( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ,
( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ,
( , ) ( , ) , ( , ) ( , )
k k l k
k k k l
l k l l
a t x a t x A t x A t x
b t x b t x b t x b t x
B t x B t x B t x B t x
× ×
× ×
× ×
= =
= =
= =
Là các hàm đo được trên

{ }
[ , ] 1
[ , ] , , ( , , )

l l l
T o T T l T
o T C B B x x x C
× × = ∈
Xột các điều kiện

(1) (1) 2 (2) 2 (1) 2 (2) 2
0 ? ? ? ? ?
0
( , ) ( , ) ( ( , )) ( ( , )) ( ( , )) ( ( , ))
T
i
a t x a t x b t x b t x B t x B t x dt
 
+ + + + + < ∞
 
∫
(2.5
0)
2 (1) 2
0 ?
0
[( ( , )) ( ( , )) ] ;
T
i
A t x A t x dt
+ < ∞
∫
(2.51)
ma trận

* *
0 1 1 2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )B B t x B t x B t x B t x B t x
≡ +
là khả tích và không suy biến,
có nghĩa các phần tử của ma trận nghịch đảo bị chặn đều. (2.52)
nếu kí hiệu g(t, x) là phần tử của ma trận B
1
(t, x) và B
2
(t, x), thì với

,
l
T
x y C
∈
,

2 2 2
1 2
0
2 2
2
1 2
0
( , ) ( , ) ( ) ,
( , ) (1 ) ( ) (1 ),
T
s s t t

t
s t
g t x g t y L x y dK s L x y
g t x L x dK s L x
− ≤ − + −
≤ + + +
∫
∫
(2.53)
Trong đó
2
2 2
1
( ) ( ), ( )
t l
x x t x t K s
= + +
là hàm không giảm, liên tục phải,

0 ( ) 1;K s
≤ ≤

(1)
?
0
( , ) ( )
T
i
E A t t dt
ξ θ

< ∞
∫
(2.54)

( ) ,0 ;
j
E t t T
θ
< ∞ ≤ ≤
(2.55)

(1) 2
?
0
( ( , ) ( )) 1
T
j
P A t m t dt
ξ
 
< ∞ =
 
 
∫
(2.56)
Trong đó
( ) [ ( ) / ]
j j t
m t E t F
ξ

θ
=

18
Định lý II.6: Cho các điều kiện từ (2.50) đến (2.56) được thỏa mãn với xác
suất 1 và phân phối
0
0 0 0 0
( ) ( / )F a P a
ξ
θ ξ
= ≤
là Gaussian,
0 0 0 0 0
( , ), ( / )N m m E F
ξ
γ θ
=
và ma trận
*
0 0 0 0 0 0
[( )( ) / ]E m m F
ξ
γ θ θ
= − −
sao cho
0
Tr
γ
< ∞

. Khi đó quá trình ngẫu nhiên
1 1
( , ) [( ( ), , ( )),( ( ), , ( ))]
k k
t t t t
θ ξ θ θ ξ ξ
=
thỏa mãn hệ phương trình

2
0 1
1
2
0 1
1
[ ( , ) ( , ) ] ( , ) w ( )
[ ( , ) ( , ) ] ( , ) w ( )
t t i i
i
t t i i
i
d a t a t dt b t d t
d A t A t dt B t d t
θ ξ ξ θ ξ
ξ ξ ξ θ ξ
=
=
= + +
= + +
∑

∑
Là quá trình Gaussian điều kiện, với
0 1
,0 ,
n
t t t t t
∀ < < < < ≤

Phân phối điều kiện
0
0
0 0
( , , ) { , , / }
t
n
n t t n t
F a a P a a F
ξ
ξ
θ θ
= ≤ ≤
là Gaussian.
Chứng minh định lý này tương tự như chứng minh định lý II.1.
Định lý II.7: Cho các điều kiện từ (2.50) đến (2.56) được thỏa mãn và thỏa
mãn 3 điều kiện sau

(1) (1)
? ?
4 (1) 4 (2) 4
0 ? ?

0
4
1
(2.57) : ( , ) , ( , ) ;
(2.58) : [ ( , ) ( ( , )) ( ( , )) ]
(2.59) : (0)
T
i
k
i
i
a t x L A t x L
E a t b t b t dt
E
ξ ξ ξ
θ
=
≤ ≤
+ + < ∞
< ∞
∫
∑
Khi đú vộc tơ
( / )
t t
m E F
ξ
θ
=
và ma trận

*
{( )( ) / }
t t t t t t
E m m F
ξ
γ θ θ
= − −
là nghiệm
t
F
ξ
-đo được, liên tục và duy nhất của hệ phương trình
* 1
0 1 0 1 0
0 1
'
* *
1 1 0 0 1
1 * *
0 0 1
(2.60) : [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , )]( ) ( , )
[ ( ( , ) ( , ) ) ]
(2.61) : ( , ) ( , ) ( )( , ) [( )( , ) ( , )]
( ) ( , )[( )( , ) ( , )]
t t t
t t
t t t
t
t
dm a t a t m dt b B t A t B B t

d A t A t m dt
a t a t b b t b B t A t
B B t b B t A t
ξ ξ ξ γ ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ γ γ ξ ξ ξ γ ξ
ξ ξ γ ξ
γ
−
−
= + + + ×
× − +
= + + − + ×
× +
Với điều kiện ban đầu
*
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( / ), {( )( ) / }m E E m m
θ ξ γ θ θ ξ
= = − −
Trong trương hợp này nếu ma trận
0
γ
xác định dương thì ma trận
19

,0
t
t T
γ

≤ ≤
cũng xác định dương.
Chứng minh định lý này tương tự như chứng minh định lý II.1 với

?
( ) ( ( ) / )
( ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )] / }
j j t
i i j j t
m t E t F
t E t m t t m t F
ξ
ξ
θ
γ θ θ
=
= − −
Chứng minh tính duy nhất nghiệm của hệ giống như chứng minh định lý II.3.
Định lý II.8: Cho
1
( , , )
k
θ θ θ
=
là biến ngẫu nhiên k chiều với
4
1
k
i
i

E
θ
=
< ∞
∑
. Giả
thiết quá trình quan sát
1
( ( ), , ( )),0
t k
t t t T
ξ ξ ξ
= ≤ ≤
Có vi phân
0 1 2
[ ( , ) ( , ) ] ( , ) w ( ),
l
d A t A t dt B t d t
ξ ξ ξ θ ξ
= + +
Trong đó các hệ số A
0
, A
1
, B thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.6 với phân
phối điều kiện
0
( / )P a
θ ξ
≤

là Gaussian,
0 0
( , )N m
γ
. Khi đó

* * 1 1
0 1 1
0
1
* * 1
0 0 1 0
0
* * 1 1
0 1 1 0
0
(2.61) : [ ( , )( ( , ) ( , )) ( , ) ]
[ ( , )( ( , ) ( , )) ( ( , ) )]
(2.62) : [ ( , )( ( , ) ( , )) ( , ) ]
t
t
s
t
t
m E A s B s B s A s ds
m A s B s B s d A s ds
E A s B s B s A s ds
γ ξ ξ ξ ξ
γ ξ ξ ξ ξ ξ
γ γ ξ ξ ξ ξ γ

− −
−
− −
= + ×
+ −
= +
∫
∫
∫
Chứng minh định lý này giống như chứng minh định lý II.2
20
II.4. Phép nội suy của quá trình Gaussian điều kiện
Kí hiệu
*
1
1
,
,
*
( , ) ( / )
( , ) [( ( , ))( ( , )) / ]
( , ) [ ( )/ ]
( , ) [ ( , ), , ( , )]
[ ( ), , ( )]
{ , }
( , ) ( / )
( , ) [( ( , ))( ( , )) / ]
(2
s
s

s
s s
s t
s s t
i i t
k
s k
t
s s
t t
t t t
m s t E F
s t E m s t m s t F
m s t E s F
m s t m s t m s t
s s
s t
m t s E F
t s E m t s m t s F
ξ
ξ
ξ
θ ξ
θ
θ ξ
θ θ
θ
γ θ θ
θ
θ θ θ

ξ ξ
θ
γ θ θ
=
= − −
=
=
=
= ≤
=
= − −
0
* 1
0 1 0 0
*
1
.63) : ( , ) [ ( , ) ( ( , ) ( , ) ( , ) ( , )]
[( )( , ) ( , ) ( , )]( ) ( , )[ ( , ) ]
( , )
(2.64) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
(2.65) : ( , ) ( ,
s s
t
t
d m t s a t a t s t s c t s m t s dt
b B t t s A t B B t d A t dt
d t s
a t t s t s a t s b t t c t t
dt
a t x a t x

θ θ
ξ γ
ξ γ ξ ξ ξ ξ
γ
ξ γ γ ξ γ ξ ξ γ ξ
−
= + − +
+ −
= + + −
=
1
0 0 1
1 *
0 0 0 0
* 1
1 0 1
) ( )( , )( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( )( , )( ) ( , )( ) ( , )
( , ) ( , )( ) ( , ) ( , )
b B t x B B t x A t x
b t x b b t x b B t x B B t x b B t x
c t x A t x B B t x A t x
−
−
−
−
= −
=
Bổ đề 2.2: Cho ma trận
( ),

t
s
t s
ϕ ξ
≥
là nghiệm của phương trình vi phân

( )
( )
[ ( , ) ( , ) ( , )] ( ), ( )
t
t s
s
s s k k
d
a t t s c t E
dt
ϕ ξ
ξ γ ξ ϕ ξ ϕ ξ
×
= − =
(2.66)

1 *
0 0 1
1
0 0
( ) ( ( )) [ ( , ) {( )( , ) ( , ) ( , )]
( ) ( , ){ ( , ) }]
t

t u
s s
s
u
q a u du b B u u s A u
B B u d A u du
ξ ϕ ξ ξ ξ γ ξ
ξ ξ ξ
−
−
= + + ×
× −
∫
(2.67)
Thì
s
( , ) ( )[ ( )]
s
t t
s s
m t s q
θ
ϕ ξ θ ξ
= +
(2.68)
Chứng minh. Áp dụng công thức I tô suy ra (2.69)
Bổ đề 2.3: Cho
0 s t T
≤ ≤ ≤
. Khi đó

*
(2.70): ( )[ ( , ) ( )]
(2.71): ( , ) ( ) ( , )( ( ))
t t
t s s
t t
t s s
m m s t q
t s s t
ϕ ξ ξ
γ γ ϕ ξ γ ϕ ξ
= +
= +
(h.c.c)
Chứng minh.
21
Khi
,
s
t t
F F
θ ξ
ξ
⊆
thì
,
( / ) [ ( / ) / ] ( ( , ) / )
s
s

t t t t t t t
m E F E E F F E m t s F
θ ξ
ξ ξ ξ
θ
θ θ
= = =

(2.72) là phần tử của véc tơ
( )
t
N s s
χ ϕ ξ θ
, trong đó

{ ( ) ( ) }
t t
N s s
q N
χ χ ϕ ξ ξ
= ≤
khả tích. Do đó

[ ( , ) / ] [ ( )( ( )) / ]
( )[ ( , ) ( )]
s
t t
N t N s s s t
t t
N s t

E m t s F E q F
m s t q
ξ ξ
θ
χ χ ϕ ξ θ ξ
χ ϕ ξ ξ
= +
= +
Khi

*
*
,
*
*
[( )( ) / ] {[( ( , )) ( ( , ) )]
[( ( , )) ( ( , ) )] / }
{ [( ( , ))( ( , )) / ] / }
{( ( , ) )( ( , ) ) / }
( , ) {( ( , ) )( (
s s
s s
s
s s
s s
s s
t t t t t t t
t t t
t t t t
t t t

t
E m m F E m t s m t s m
m t s m t s m F
E E m t s m t s F F
E m t s m m t s m F
t s E m t s m m t
ξ
θ θ
ξ
θ θ
θ ξ
ξ
θ θ
ξ
θ θ
θ θ
θ θ θ
θ
θ θ
γ
− − = − + − ×
× − + −
= − −
+ − −
= + −
*
, ) ) / }
t t
s m F
ξ

−

( , ) ( )[ ( )] [ ( , ) ( )]
( )[ ( , )]
s
t t t t
t s s s s s
t
s s
m t s m q m s t q
m s t
θ
ϕ ξ θ ξ ϕ ξ
ϕ ξ θ
− = + − +
= −
Suy ra
*
* *
*
{( ( , ) )( ( , ) ) / }
( ) [( ( , ))( ( , )) / ]( ( ))
( ) ( , )( ( ))
s s
t t t
t t
s s s t s
t t
s s
E m t s m m t s m F

E m s t m s t F
s t
ξ
θ θ
ξ
ϕ ξ θ θ ϕ ξ
ϕ ξ γ ϕ ξ
− −
= − −
=
Định lý II.9: Cho các điều kiện từ (2.50) đến (2.59) được thỏa mãn và cho
phân phối điều kiện
0 0
( / )P a
θ ξ
≤
là Gaussian. Khi đó m(t, s) và
( , )t s
γ
Được xác định bởi công thức

* * 1
1 0
0 1
* * 1 1
1 0 1
(2.72) : ( , ) ( , )( ( )) ( , )( ) ( , )
[ ( ( , ) ( , ) ) ]
(2.73): ( , ) ( ( ( )) ( , )( ) ( , ) ( , ) ( ) )
t

u
s s
s
u u
t
u u
s s s s
s
m s t m s u A u B B u
d A u A u m du
s t E A u B B u A u du
γ ϕ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
γ γ ϕ ξ ξ ξ ξ ϕ ξ γ
−
− −
= + ×
× − +
= +
∫
∫
22
Chứng minh: ta có

1
( )[ ( , ) ( )]
m(s,t)=( ( )) ( )
t t
t s s
t t

s t s
m m s t q
m q
ϕ ξ ξ
ϕ ξ ξ
−
= +
⇒ −
(2.74)
Ma trận
( )
t
s
ϕ ξ
không suy biến nên tồn tại ma trận
1
( ( ))
t
s
ϕ ξ
−
Do
( )
[ ( , ) ( , ) ( , )] ( )
t
t
s
s
d
a t t s c t

dt
ϕ ξ
ξ γ ξ ϕ ξ
= −
với
( )
t
s
ϕ ξ
=E
(kxk)
(2.75)

⇒
1
1
( ( ))
( ( )) [ ( , ) ( , ) ( , )], t s
t
t
s
s
d
a t t s c t
dt
ϕ ξ
ϕ ξ ξ γ ξ
−
−
= − − ∀ ≥

1 * 1
1 0
0 0
( , ) ( ( )) [ ( , )] ( , )( ) ( , )
[ ( ( , ) ( , ) ) ]
t
u
s s u
s
u u
m s t m u s A u B B u
d A u A u m du
ϕ ξ γ γ ξ ξ
ξ ξ ξ
− −
⇒ = + − ×
× − +
∫
(2.76)
Do
*
1 *
( , ) ( ) ( , )( ( ))
( ( )) [ ( , )] ( , )( ( ))
t t
t s s
u u
s u s
t s s t

u s s u
γ γ ϕ ξ γ ϕ ξ
ϕ ξ γ γ γ ϕ ξ
−
= +
⇒ − =
Và
1 * 1
*
( , ) ( ( )) [ ( , )][( ( )) ]
( , )
( , )( ( )) ( , ) ( ) ( , )(2.78)
t t
s t s
t t
s s
s t t s
d s t
s t c t s t
dt
γ ϕ ξ γ γ ϕ ξ
γ
γ ϕ ξ ξ ϕ ξ γ
− −
= −
⇒ = −
(2.77)
Phương trình (2.78) được gọi là phương trình Ricati. Nghiệm của nó tồn tại và
duy nhất. để giải (2.78), cho ma trận

*
1
1 * 1
, : ( ( )) ( , ) ( )
( ( )) ( , ) ( ),
t
u t
t t s s s
s
t t
t
t s s s s
U t s U E c u du
dU
U c t U E
dt
γ ϕ ξ ξ ϕ ξ
γ ϕ ξ ξ ϕ ξ
−
− −
≥ = +
⇒ = − =
∫

1
1 * 1
( )
( )( ( )) ( , ) ( )( )
t t
t s

t s s s t s
d U
U c t U
dt
γ
γ ϕ ξ ξ ϕ ξ γ
−
− −
⇒ = −
(2.79)
Trong đó
1
s s s
U
γ γ
−
=
23
So sánh (2.78) và (2.79) suy ra
1
( , )
t s
s t U
γ γ
−
=

W

Định lý II.10.Cho các điều kiện từ (2.50) đến (2.59) được thỏa mãn và cho

phân phối điều kiện
0 0
( / )P a
θ ξ
≤
là Gaussian,
0 0
( , )N m
γ
và
0
{ inf det 0} 1
t
t T
P
γ
≤ ≤
> =
Khi đó

1
0 1
1
0 0 0 1
1
1 *
( , ) [ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ) ]
( )( , )( ) ( , )[ ( ( , ) ( , ) ( , ) ](2.80)
( , ) {[ ( , ) ( , ) ] ( , )
( , )[ ( , ) ( , ) ] ( , )} (2.

t
t u u
s
t
u
s
t
t u
s
u
m s t m a u a u m u t b u m u t m du
b B u B B u d A u A u m u t du
s t a u b u u t
u t a u b u b u du
ξ ξ ξ γ
ξ ξ ξ ξ ξ
γ γ ξ ξ γ γ
γ ξ ξ γ ξ
−
−
−
−
= − + + −
− − +
= − +
+ + −
∫
∫
∫
81)

Trong đó a(u, x), b(u, x) được xác định như trong bổ đề 2.3
Để chứng minh định lý II.10 ta cần dùng hai bổ đề sau
Bổ đề 2.4: Cho
{inf det 0} 1
t
t T
P
γ
≤
> =
và cho ma trận
( )
t
s
R
ξ
là nghiệm của hệ
phương trình vi phân:

1
( )
( )
[ ( , ) ( , ) ] ( ), ( )
t
t s
s
t s s k k
dR
a t b t R R E
dt

ξ
ξ ξ γ ξ ξ
−
×
= + =
(2.82)
Khi đó
* 1
( , )( ( )) ( ( ))
t t
s s t
s t R
γ ϕ ξ ξ γ
−
=
(2.83)
Chứng minh:
Cho
{inf det 0} 1
t
t T
P
γ
≤
> =
. khi đó theo (2.78) và (2.66)

* *
* *
* *

( , )( ( )) ( , ) ( ) ( , )( ( ))
( , )( ( )) [ ( , ) ( , ) ( , )]
( , ) ( , )[ ( ) ( , )( ( )) ( , )]
t
t t t
s
s s s
t
s
t t t t
s s s s
dU
s t c t s t
dt
s t a t t s c t
U a t U c t s t t s
γ ϕ ξ ξ ϕ ξ γ ϕ ξ
γ ϕ ξ ξ γ ξ
ξ ξ ϕ ξ γ ϕ ξ γ
= −
+ −
= − +
Nhưng theo (2.69),
24

*
( ) ( , )( ( )) ( , )
t t
s s t
s t t s

ϕ ξ γ ϕ ξ γ γ
+ =
Do đó

*
[ ( , ) ( , ) ]
t
t
s
s t
dU
U a t c t
dt
ξ ξ γ
= −
(2.84)
Cho
t
s
V
là ma trận nghiệm của phương trình (2.84)

*
( )
[ ( , ) ( , ) ],
t
t s
s
s t s k k
dV

V a t c t V E
dt
ξ ξ γ
×
= − =
(2.86)
Khi
1
0 0
( )
t t s
s
V V V
−
=
và ma trận
1
0
( )
s
V
−
là nghiệm của hệ phương trình


1
* 1 0 1
0
0 0 ( )
( )

[ ( , ) ( , ) ](V ) ,( )
s
s
s k k
d V
a s c s V E
ds
ξ ξ γ
−
− −
×
= − − =
Ma trận
t
s
V
khả vi tại s và, với s<t

*
( )
[ ( , ) ( , ) ]V ,
t
t t
s
s s t k k
dV
a s c s V E
ds
ξ ξ γ
×

= − − =
(2.87)
Nhưng
t s t t
s s s s s
U U V V
γ
= =

Trong đó
,
t
s s
V
γ
khả vi tại s. do đó, ma trận
t
s
U
khả vi tại s và

t t
t
s s s
s s
dU d dV
V
ds ds ds
γ
γ

= +
Từ (2.16), và (2.65) ta suy ra

*
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
s
s s s s
d
a s a s b s c s
ds
γ
ξ γ γ ξ ξ γ ξ γ
= + + −
(2.89)
Kết hợp (2.86) và (2.89) suy ra

*
*
1
[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ]
( ( , ) ( , ) )
[ ( , ) ( , ) ]
t
t
s
s s s s s
t
s s s
t
s s

dU
a s a s b s c s V
ds
a s c s V
a s b s U
ξ γ γ ξ ξ γ ξ γ
γ ξ ξ γ
ξ ξ γ
−
= + + − −
−
= +
(2.89)
25