Giúp học sinh khá giỏi lớp 4-5 nắm vững cách tìm chữ số tận cùng giống nhau

Sáng kiến kinh nghiệm
Phơng pháp giúp học sinh khá, giỏi lớp 4 + 5 nắm vững cách tìm số chữ số
tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên mà tích có chứa thừa
số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn .
I. Đặt vấn đề :
1, Tính lý luận :
Trong cuộc sống việc vận dụng các yếu tố có liên quan đến toán học là một vấn đề
không thể thiếu, không thể không đề cập tới. Vậy có thể khẳng định rằng : Toán học có
một tầm quan trọng rất lớn và chiếm một vị trí hết sức đặc biệt trong đời sống thực tế
của con ngời .
Chính vì thế mà trong chơng trình giáo dục phổ thông, Toán học luôn luôn đợc
chú trọng và đợc dành một thời lợng rất lớn cho chơng trình dạy - học môn toán ở trong
các nhà trờng.
Với vai trò là những ngời giáo viên, ngời làm công tác giáo dục thì việc thấm nhuần
và thực hiện tốt phơng châm giáo dục của Đảng là hết sức cần thiết Đào tạo nhân lực,
bồi dỡng nhân tài . Nên việc nêu lên những định hớng và giải pháp phù hợp với yêu cầu
giáo dục ở phổ thông nói chung và ở Tiểu học nói riêng, nhằm giúp học sinh hình thành,
rèn luyện những kĩ năng cần thiết và phát triển năng lực t duy toán học là một công việc
thờng xuyên, cập nhật và luôn phải đợc coi trọng không thể xem nhẹ đợc.
2. Tính thực tiễn :
Hiện nay trong các cấp học phổ thông nói chung và cấp Tiểu học nói riêng, việc dạy
- học môn toán đã có nhiều tiến bộ, đã có nhiều đổi mới theo hớng tích cực hơn. Hoạt
động giảng dạy của giáo viên hay hoạt động học tập của học sinh đều đợc chú trọng và đạt
hiệu quả khá tốt. Việc áp dụng phơng pháp dạy học mới nhằm phát huy tối u tính tích cực,
sáng tạo của học sinh, dạy - học lấy học sinh làm nhân vật trung tâm đã đợc nhiều đồng
chí giáo viên khai thác, áp dụng hết sức thành công.
Song bên cạnh đó cũng còn không ít tồn tại, thiếu sót, việc dạy - học thụ động, đối
phó vẫn còn xảy ra. Việc chú trọng tìm ra cách dạy cách học hợp lý nhằm để phát triển
đúng năng lực t duy học toán cho học sinh và điều đặc biệt hơn việc xác định rõ vai trò
thiết yếu, tầm quan trọng đặc biệt của mỗi dạng toán lại cha đợc giáo viên chú trọng, ngay
ở chơng trình chính khóa cũng nh việc phát hiện và bồi dỡng học sinh khá, giỏi.

Mặt khác, ngoài yếu tố giáo viên và học sinh thì chúng ta cũng không thể không đề
cập tới vấn đề về sách giáo khoa và các t liệu tham khảo. Vẫn biết rằng, theo sự phát triển
chung trong nền giáo dục của đất nớc thì hệ thống cấu trúc chơng trình cũng đợc điều
chỉnh một cách khá hợp lí. Nhiều t liệu tham khảo dành cho môn toán cũng đợc chỉnh sửa,
tái bản, đầu t có chiều sâu và hết sức có hiệu quả. Nhiều tài liệu đã đáp ứng đợc các yêu
cầu thiết yếu cho quá trình nghiên cứu và học tập của các độc giả, đặc biệt là cho giáo
viên, học sinh và các bậc phụ huynh. Tuy vậy, ngoài tính u việt của sách giáo khoa và sách
-1-
tham khảo thì vẫn còn không ít những vấn đề về toán học mà t liệu tham khảo cha đáp ứng
đợc, thậm chí còn thiếu hụt trong quá trình dạy - học.
Chính từ những cơ sở lí luận và thực tiễn ở trên mà chúng tôi đã chọn việc nghiên
cứu và tìm hiểu về môn toán ở Tiểu học, nhng với phạm trù chơng trình môn toán hết sức
đa dạng và phong phú, phạm vi đề cập quá rộng. Vả lại với yêu cầu về công việc và dung l-
ợng thời gian không cho phép, vì thế chúng tôi chỉ lựa chọn một phần nhỏ, một dạng bài
cụ thể để nghiên cứu và xây dựng. Nội dung đề cập của sáng kiến là: Phơng pháp giúp
học sinh khá, giỏi lớp 4 + 5 nắm vững cách tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong
một tích các số tự nhiên mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn
II. Thực trạng và nguyên nhân tồn tai:
Trong quá trình dạy học hiện nay, ngoài công tác dạy - học theo đúng mục tiêu, yêu
cầu về kĩ năng cần đạt của môn học, thì việc phát hiện và bồi dỡng học sinh năng khiếu
từng môn ở lớp bốn, năm đã có nhiều điểm tốt, mang lại một số kết quả nhất định. Nhng
bên cạnh đó cũng còn có nhiều điểm tồn tại, thiếu sót cần đợc khắc phục.
Qua quá trình dạy học nhiều năm cũng nh quá trình làm công tác quản lý, với nhiệm
vụ chỉ đạo công tác chuyên môn; bồi dỡng chất lợng đội ngũ; chỉ đạo và tham gia việc
nâng cao chất lợng mũi nhọn cho học sinh, cũng nh việc thờng xuyên nghiên cứu nhiều tài
liệu tham khảo liên quan đến toán học, chúng tôi nhận thấy :
1, Về học sinh :
Với đặc điểm tâm sinh lý của học sinh Tiểu học thì tính t duy trừu tợng cha cao,
mới chỉ ở trong giai đoạn hình thành và phát triển. Do vậy việc tiếp nhận tri thức của
các em trong quá trình học tập chủ yếu vẫn đang thiên về tính cụ thể, bắt chớc, làm

theo, học tập theo mẫu. Mặc dù vẫn biết rằng phơng pháp dạy học mới đang phát huy
tính độc lập, sáng tạo và nâng cao năng lực t duy trừu tợng cho các em, thế nhng cũng
không thể thay đổi hoàn toàn đợc đặc điểm này của lứa tuổi học sinh Tiểu học.
Từ lí do này và qua quá trình chỉ đạo công tác nâng cao chất lợng mũi nhọn cho các
nhà trờng, thì quả thật học sinh còn hết sức mơ hồ, cha thể hiểu một cách cặn kẽ và làm tốt
các bài tập ở một dạng toán nào đó ( Dạng lạ cha đợc đa về dạng quen ), khi mà cha đợc
giáo viên cung cấp kiến thức một cách hoàn chỉnh và có hệ thống. Trờng hợp ( tìm số
chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên mà tích có
chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn ) cũng nh vậy.
Lí do là các em thiếu hụt kiến thức cơ bản của các dạng toán này.
2, Về giáo viên :
Hiện nay đội ngũ giáo viên các nhà trờng nói chung cũng nh trờng Tiểu học Quỳnh
Tân B nói riêng đều đạt chuẩn và trên chuẩn; trẻ, khỏe, năng nổ, nhiệt tình và năng lực t
duy khá tốt. Song do tuổi đời còn trẻ, tuổi nghề còn non vì thế mà kinh nghiệm dạy học
còn ít, vốn tích lũy kiến thức và hệ thống chơng trình môn học của từng khối lớp cha sâu,
dẫn đến việc cố gắng dạy - học cho học sinh trên lớp đúng, đủ, chính xác và đạt chuẩn đã
-2-
là hết sức khó khăn, chứ nói gì đến công tác phát hiện và bồi dỡng học sinh năng khiếu
đạt hiệu quả cao.
Bên cạnh đó có nhiều giáo viên tuy năng lực chuyên môn rất tốt nhng phơng pháp
truyền thụ lại bị hạn chế. Vì vậy, hiệu quả dạy - học vẫn còn cha cha đáp ứng đợc.
Nhiều đồng chí có năng lực đợc chọn làm hạt nhân trong công tác bồi dỡng, nhng
việc cung cấp kiến thức cho học sinh cũng mới chỉ nghiên cứu trên phơng diện t liệu có
sẵn, chứ cha chịu đào sâu kiến thức của từng dạng bài cụ thể, những nội dung ở sách giáo
khoa và sách tham khảo không đề cập tới.

3, Về tài liệu tham khảo :
Trên thực tế, bản thân chúng tôi làm công tác quản lí và nhiều năm tham gia công
tác bồi dỡng. Với lòng say mê nghiên cứu và tìm hiểu nhiều t liệu tham khảo nhằm nâng
cao trình độ và thuận lợi cho việc chỉ đạo dạy - học thì chúng tôi nhận thấy rằng :

Tài liệu tham khảo là một t liệu cơ bản không thể thiếu trong quá trình dạy học của ng-
ời giáo viên, đặc biệt là các đồng chí giáo viên tham gia làm công tác nâng cao chất lợng
mũi nhọn trong các nhà trờng. Về cơ bản, các t liệu có tính u việt hết sức cao. Song bên
cạnh đó, trong nhiều tài liệu còn có một số hạn chế nhất định và cha đáp ứng hết đợc lòng
đam mê khám phá toán học của nhiều giáo viên và học sinh. Nhiều dạng toán ở tài liệu
tham khảo đa ra hớng giải quyết cha có tính thuyết phục cao, vì kiến thức mỗi ngời có hạn,
lĩnh vực toán học thì rất rộng lớn.
Dạng toán : Tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự
nhiên mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn cũng
không phải là trờng hợp ngoại lệ, trong cách trình bày còn có rất nhiều hạn chế, cách
viết còn phiến diện, chung chung, không cụ thể. Các bài tập đa ra phơng pháp giải cha
gãy gọn, mới xét đến trờng hợp số thừa số là 5 ít hơn số thừa số chẵn có trong tích để tìm
số chữ số tận cùng giống nhau, chứ cha chú trọng hết tất cả các trờng hợp có thể xảy ra
trong dạng toán này liên quan đến kết quả của tích.( Chẳng hạn : Nhiều bài tập cụ thể
ở dạng toán này thì không chỉ căn cứ vào số thừa số 5 trong tích để xét số chữ số tận
cùng giống nhau là đợc nh tài liệu đề cập, mà phải xét đến số thừa số chẵn tham gia
trong tích khi trờng hợp số thừa số chẵn ít hơn số thừa số là 5 . Đây cũng chính là nội
dung sáng kiến hớng dẫn học sinh giải loại toán này. Điểm mới so với các tài liệu
tham khảo ).
Để kiểm chứng tính thuyết phục và triết lí đa ra của sáng kiến, trớc khi triển khai
thực nghiệm, chúng tôi đã tổ chức khảo sát chất lợng học sinh ở một số trờng về dạng toán
này.
* Kết quả kiểm tra học sinh đầu năm :
TT Đơn vị, lớp
Số l-
ợng
hs
Kết quả
G K TB Y
-3-

SL TL SL TL SL TL SL TL
1
TH QHồng, Lớp thực nghiệm 5A
25 0
0
7
28
18
72
0
0
2
TH QTân B, Lớp Tnghiệm 5A + 4A
50 0
0
8
16
40
80
2
4
3
TH QTân A, Lớp đối chứng 4A
25 0
0
3
12
18
72
4

16
Từ những thực trạng và nguyên nhân cơ bản đó đã làm cho nhiều giáo viên lúng
túng trong cách dạy, nhiều học sinh lúng túng trong cách giải. Với trách nhiệm là những
ngời làm công tác quản lí và chỉ đạo chuyên môn, cũng là những ngời trực tiếp làm công
tác bồi dỡng học sinh năng khiếu ( khá, giỏi ), chúng tôi phải suy nghĩ, tìm tòi, chắt lọc và
lựa chọn phơng pháp dạy học phù hợp, với mục đích khắc phục những hạn chế trong quá
trình dạy học của giáo viên và học sinh; nhằm hoàn thiện về dạng toán này một cách cụ
thể và chi tiết hơn.
III, Biên pháp khắc phục :
Qua quá trình nghiên cứu, tìm tòi và trao đổi với một số đồng nghiệp để tìm ra cách
giải tốt dạng bài toán mà sáng kiến kinh nghiệm đã đa ra, chúng tôi đã lựa chọn và đa ra h-
ớng giải quyết các tồn tại của dạng bài toán trên bằng những biện pháp cụ thể nh sau :
1, Cung cấp cho học sinh một số kiến thức về phép nhân có liên quan đến dạng
toán :
+ Tích một số chẵn với một số có tận cùng là 5 thì kết quả của tích có tận cùng
là chữ số 0.
+ Tích các thừa số trong đó có ít nhất một thừa số có tận cùng bằng 0 thì tích
đó có tận cùng bên phải bằng 0.
+ Một số tự nhiên có tận cùng bằng 5 thì số đó chia hết cho 5.
+ Một số tự nhiên có tận cùng bằng 0 thì số tự nhiên đó chia hết cho 2 và 5.
+ Trong một tích có chứa thừa số là 2 và có chứa thừa số là 5, thì cứ một cặp
thừa số ( 2 x 5 ) cho ta một chữ số 0 tận cùng .
2, Hình thành và xác lập rõ các thành tố có liên quan đến dạng bài
tập tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự
nhiên mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn .
ở nội dung này chúng tôi đã hình thành cho học sinh về việc xác định và nắm
vững các thừa số tham gia trong tích, nó thờng xảy ra ở những dạng nào ?
Kiến thức cần xác định :
+ Tích chứa các thừa số đều là số lẻ trong đó có chứa thừa số là 5 (Dạng toán
này không thuộc phạm vi đề cập của đề tài nên chúng tôi không đa vào phân tích)

+ Tích có các thừa số trong đó có chứa thừa số là chẵn và chứa thừa số là 5
( hoặc khi khai triển có chứa thừa số là 5 ) .
3, Xây dựng kĩ năng giải toán trong dạng bài toán này:
Chuyên đề 1 : Xét các trờng hợp số thừa số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5( sau khi
phân tích) tham gia trong tích để tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong tích đó.
* Các ví dụ minh họa
-4-
Ví dụ 1 : Cho tích : A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37.
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Phân tích và hớng dẫn học sinh :
-Trong tích A có bao nhiêu thừa số chẵn ? ( 2 thừa số là 16 và 10 ).
-Trong tích A có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 3 thừa số là 5; 15; 25 ).
-Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất ( bằng
2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành tích các thừa số 5
và các thừa số lẻ khác.
-Đếm các thừa số là 2 và các thừa số là 5 để tìm số chữ số tận cùng giống nhau và là chữ
số nào.
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37
A = 16 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 )
A = 2 x2 x2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x 5 x 5 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ).
Nh vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 5 thừa số là số chẵn
( là 2 ) và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 5 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0
( mỗi thừa số 2 nhân với mỗi thừa số 5 cho ta tận cùng một chữ số 0 ).
Ví dụ 2 : Cho tích B = ( 4 x 6 x8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 ).
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Phân tích và hớng dẫn học sinh :
-Trong tích B có bao nhiêu thừa số chẵn ? ( 4 thừa số là 4; 6; 8 và 12 ).
-Trong tích B có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 7 thừa số là 5; 15; 25; 35; 45;

55; 65 ).
-Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất ( bằng
2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành tích các thừa số 5
và các thừa số lẻ khác.
-Đếm các thừa số là 2 và các thừa số là 5 để tìm số chữ số tận cùng giống nhau và là chữ
số nào.
Giải :
Ta thấy tích B có thể viết :
B = ( 4 x 6 x8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 )
B = ( 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x2 x2 x3 x2 ) x ( 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x 7 x 5 x 9 x 5 x 11 x 5 x 13 x
5 ). Nh vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 8 thừa số là số
chẵn ( là 2 ) và 8 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 8 chữ số tận cùng giống nhau và đều là
chữ số 0 ( mỗi thừa số 2 nhân với mỗi thừa số 5 cho ta tận cùng một chữ số 0 ).
Ví dụ 3 : Tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 tận cùng có bao nhiêu chữ số
giống nhau và là chữ số nào ?
Giải :
-5-
Trong tích này thì số thừa số chẵn bằng số thừa số lẻ và bằng 50 : 2 = 25 ( thừa số ).
Trong các thừa số lẻ, số thừa số có tận cùng bằng 5 là : 5; 15; 25; 35; 45. Các thừa số này
chia hết cho 5 và có thể phân tích thành các thừa số nh sau :
5 = 5 x 1; 15 = 3 x 5; 25 = 5 x5; 35 = 7 x5; 45 = 9 x 5. ( 1 )
Trong tích trên còn có các thừa số tận cùng bằng 0 là : 10; 20; 30; 40; 50, các thừa số này
phân tích thành các thừa số nh sau : 10 = 2 x5; 20 = 2 x 2 x 5; 30 = 2 x 3 x 5; 40 = 2 x 2 x2
x5; 50 = 2 x 5 x 5. ( 2 ).
Từ ( 1 ) và ( 2 ) thì trong tích có 12 thừa số 5 và trong tích rất nhiều thừa số 2 ( vì
một số chẵn cho ta ít nhất một thừa số bằng 2 khi phân tích ). Vì số thừa số là 5 có 12 thừa
số ít hơn số thừa số là 2 của tích. Vậy tích trên có 12 chữ số tận cùng giống nhau và là chữ
số 0.
Ví dụ 4 : Cho tích : 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37.
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?

Nếu không chú ý đến thừa số chẵn mà chỉ dựa vào thừa số là 5 thì bài toán này cũng tính
đợc 5 chữ số tận cùng của tích giống nhau và đều là chữ số 0 ( trờng hợp này sai với kết
quả thực của tích ).
Nh vậy phải giải bài toán theo biện pháp đa ra của sáng kiến và xét đến yếu tố các thừa số
là số chẵn tham gia trong tích.
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37
= 8 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 )
= 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x 5 x 5 x ( 1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ).
Nh vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn và số thừa số là 5 ( có 4 thừa số là số chẵn và 5
thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 4 chữ số tận cùng giống nhau và đều bằng 0.
*( Bài này phải căn cứ vào số lợng các thừa số là số chẵn chứ không căn cứ theo
các thừa số là 5 đợc, vì nếu không chú ý đến yếu tố thừa số chẵn của tích thì dễ dẫn
đến giải bài toán sai. Bởi trong một tích cứ một cặp thừa số chẵn và một thừa số là 5 thì
cho ta kết quả là một chữ số 0 tận cùng bên phải.
Để chứng tỏ vai trò tham gia của các thừa số là số chẵn và thừa số là 5 trong tích ta
có thể tham khảo thêm các ví dụ sau :
Ví dụ 5 : Cho tích C = 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 27 x 29 x 31 x 33 x37.
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
C = 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 27 x 29 x 31 x 33 x37
C = 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37)
C = 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x ( 1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ).
Nh vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 4 thừa số là số chẵn
( là 2 ) và 3 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 3 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số
0.
-6-