Một số đề chọn HSG Toán 9

Trịnh Hữu Lý Email: – Sưu tầm, tuyển chọn 1

Một số bài toán hay ñể chọn học sinh giỏi lớp 9
Bài 1 : Tìm số nguyên x ñể số trị của tích x(x+1)(x+7)(x+8) là số chính
phương
Bài 2 : Chứng minh qua ñiểm A(0;1) có duy nhất một dây của parabol y=x
2
có
ñộ dài bằng 2
Bài 3 : (1 ñiểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x+y+z=xyz
Bài 4
Tìm giá trị của m ñể hai phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm chung
x
2
+2x+m=0 (1)
x
2
+mx+2=0 (2)
Bài 5: Chứng minh phương trình ax
2
+bx+c=0 (a
≠
0) có nghiệm nếu :
2
4
b c
a a
≥ +

Bài 6 : Giải phương trình : x
4

+2x
3
+5x
2
+4x+4=0
Bài 7 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 2x
2
+4x=19-3y
2

Bài 8: Cho hai số a và b (a,b
≠
0) thoả mãn
1 1 1
2
a b
+ =
. Chứng minh phương
trình sau luôn có nghiệm: (x
2
+ax+b)(x
2
+bx+a)=0
Bài 9: Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng :

a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
> 2

Bài 10: Cho hệ
1 1
2 1
x y a
x y a

+ + − =


+ = +


. Tìm số nguyên a ñể hệ có nghiệm
Bài 11: Cho a, b thoả mãn hệ
3 2
3 2
3 2
3 11
a ab
b a b

− =


− =


.
Tính giá trị biểu thức P=a
2

+b
2
Bài 12:
Chứng minh:
1 1 1 1
2
2
3 2 4 3 2006 2005
+ + + + <

Bài 13:
Tam giác ABC có a,b,c và x,y,z lần lượt là ñộ dài các cạnh BC,CA,AB và
các ñường phân giác của các góc A,B,C. Chứng minh:
1 1 1 1 1 1
x y z a b c
+ + > + +

Trịnh Hữu Lý Email: – Sưu tầm, tuyển chọn 2

Bài 14: Tìm x, y nguyên dương ñể biểu thức (x
2
-2) chia hết cho biểu thức
(xy+2)
Bài 15:
Cho 5< x
≤
10 và
10
x x k
+ − =

. Tính giá trị của biểu thức:
A=
2
5 10
5
x x
x
− −
−
theo k
Bài 16:
Tìm x, y thoả mãn:
x
2
+ xy + y
2
= 3(x + y -1)
Bài 17:
Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác với
a b c
≤ ≤
≤ ≤≤ ≤
≤ ≤
.
Chứng minh rằng: (a+b+c)
2
≤
≤≤
≤
9bc.

Bài 18 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = (2x-x
2
).(y-2y
2
)
với
1
0 x 2,0 y
2
≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤
.
Bài 19 :
Cho a,b là hai số dương thoả mãn a+b =
5
4
. Chứng minh rằng
4 1
5
a 4b
+ ≥
+ ≥+ ≥
+ ≥
khi nào
bất ñẳng thức xảy ra dấu bằng.
Bài 20 :
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz -
16

0.
x y z
=
+ +

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p = ( x +y )(x +z )
Bài 21
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn ñẳng thức x
2
+xy +y
2
– xy =0.
Bài 22
Cho số thực
x 2
>
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
1
S x x
x 2
= − +
−
.
Bài 23
Cho
2 2 2
x 2y z 2xy 2yz zx 3x z 5 0
+ + − − + − − + =
. Tính giá trị của biểu thức

3 7 2010
S x y z
= + +
.