Chuyên đề hình học không gian ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán 2015

CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. HÌNH HỌC PHẲNG
1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho
A BCD
vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:
2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường
a) Định lí hàm số cosin
b) Định lí hàm số sin
c) Công thức tính diện tích của tam giác
1
A
C
B
R
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)
b
c
a
A
B C
bc
a
– nửa chu vi
– bán kính đường tròn nội tiếp
A
B C
bc
a

2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
a c b
b a c ac B B
ac
a b c
c a b ab C C
ab
+ -
* = + - =Þ
+ -
* = + - =Þ
+ -
* = + - =Þ
A

B C
H M

( )

2 2 2
BC A B A C Pitago= +

. .A H BC A B A C=


2 2
. , .A B BH BC A C CH CB= =


2
2 2 2
1 1 1
, .A H HB HC
A H A B AC
= + =

2
BC
A M =
d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

2 2 2
2
2 4

A B A C BC
A M
+
* = -
.

2 2 2
2
2 4
BA BC A C
BN
+
* = -
.

2 2 2
2
2 4
CA CB A B
CK
+
* = -
.
3/ Định lí Talet
4/ Diện tích của đa giác
a/ Diện tích tam giác vuông
 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh
góc vuông.
b/ Diện tích tam giác đều
 Diện tích tam giác đều:

. 3
4
S
D
=
 Chiều cao tam giác đều:

. 3
2
h
D
=
c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật
 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.
 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân
2
.
 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.
2
A
B C
NK
M


2
2
/ /
A MN

A BC
A M A N MN
MN BC k
A B A C BC
S
A M
k
S A B
D
D
* = = =Þ
æ ö
÷
ç
÷
* = =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)
A
B C
NM
A
C
B
1

.
2
A BC
S A B A C
D
=Þ
A
B
C
a
h
2
3
4
3
2
A BC
a
S
a
h
D
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
Þ

í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
A B
CD
a
O
2
2
HV
S a
A C BD a
ì
=
ï
ï
ï
Þ
í
ï
= =
ï
ï
î
(cạnh)

2
đều
(cạnh)
đều
d/ Diện tích hình thang
 Diện tích hình thang:
S
Hình Thang
1
2
=
.(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao
e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vuông góc
 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông
góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau
tại trung điểm của mỗi đường.
Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ
tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa
giác.
II. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Quan Hệ Song Song
a/ Chứng minh đường thẳng
// ( )d mp
a
với
( )
( )d
a

Ë
 Chứng minh:
// 'd d
và
' ( )d
a
Ì
 Chứng minh:
( )d
b
Ì
và
( )
// ( )
b a
b/ Chứng minh
( )
// ( )mp mp
a b
 Chứng minh
( )mp
a
chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với
( )
mp
b
.
 Chứng minh
( )mp
a

và
( )
mp
b
cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc
với 1 đường thẳng.
c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau
 Hai
( )
( ),mp
a b
có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song
,a b
thì
( )
// // ( ) Sx a b
a b
=Ç
.

( )
( )
//
//
( )
( )
a mp
b a
a mp
a

a b
b
ì
ï
ï
ï
=Þ Ç
í
ï
Ì
ï
ï
î
.
2. Quan Hệ Vuông Góc
a/ Chứng minh đường thẳng
( )
d mp
a
^
 Chứng minh
d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong
( )mp
a
.
3
A
B H C
D

( )
.
2
A D BC A H
S
+
=Þ
A
B
D
C
.
1
.
2
H Thoi
S A C BD=Þ
Chng minh:
( )
// '
'
d d
d mp
a
ỡ
ù
ù
ù
ị
ớ

ù
^
ù
ù
ợ
( )
d mp
a
^
Chng minh:
( )
( ) ( )
//
d mp
mp mp
b
b a
ỡ
ù
^
ù
ù
ị
ớ
ù
ù
ù
ợ
( )
d mp

a
^
Hai mt phng ct nhau cung vuụng goc vi mt phng th 3 thi giao tuyờn cua chung
vuụng goc vi mt phng th 3:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
P
P d P
d
a
b
a b
ỡ
ù
^
ù
ù
ù
ù
^ ^ị
ớ
ù
ù
ù
=ầ
ù
ù
ợ

b/ Chng minh ng thng
'd d^
Chng minh
( )
d
a
^
va
( )
'd
a
ẫ
.
S dung inh ly ba ng vuụng goc.
Chng to goc gia
d
va
'd
bng
0
90
.
c/ Chng minh
( ) ( )
mp mp
a b
^
Chng minh
( )
( )

( ) ( )
d
mp mp
d
a
a b
b
ỡ
ù
ẫ
ù
ù
^ị
ớ
ù
^
ù
ù
ợ
(chng minh mp cha 1 ng thng
vuụng goc vi mp kia)
Chng to goc gia hai mt phng bng
0
90
.
3/ Gúc V Khong Cỏch.
a/ Goc gia hai ng thng
La goc tao bi hai ng thng ct nhau lõn lt ve cung phng
vi hai ng thng o:
ả

ã
//
//
'
( , ) ( ', ')
'
a a
a b a b
b b
f
ỡ
ù
ù
= =ị
ớ
ù
ù
ợ

b/ Goc gia ng thng
d
va mt phng
( )
mp
a
La goc tao bi ng thng o va hinh chiờu cua no trờn mt phng.
( )
ã
ã
, ( , ')d d d

a f
ộ ự
= =
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
(vi
'd
la hinh chiờu vuụng goc cua
d
lờn
( )mp
a
).
4


d
'd

a
b
'a
'b
c/ Góc giữa hai
( )
mp
a
và
( )

mp
b
 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến
u
,
2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên
2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
( )
·
( )
¶
( ); ( , )a b
a b f
= =
d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
 Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng
( )
,d M MH=D
e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)
này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia.
f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.
g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên
d
đến
( )
mp

a
chứa
'd
và song song với
d
.
 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
( ) ( )
,
a b
lần lượt chứa
d
và
'd
.
5
α β
φ
a
b
u
M
d
'd
M
M
D
H
M
d

'd
S
A
B
C
H
O
A
B C
D
S
O
H
4/ Hinh Chóp Đều
a/ Định nghĩa.
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo
với đáy các góc bằng nhau.
 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
b/ Hai hình chóp đều thường gặp
* Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều
.S A BC
. Khi đó:
 Đáy
A BC
là tam giác đều.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại
S

.
 Chiều cao:
SO
.
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
·
·
·
SAO SBO SCO= =
.
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy:
·
SHO
.
 Tính chất:

2 1 3
, ,
3 3 2
A B
A O A H OH A H A H= = =
.
 Lưu ý : Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.
* Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều
.S A BCD
.
 Đáy
A BCD

là hình vuông.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại
S
.
 Chiều cao:
SO
.
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
·
·
·
·
SAO SBO SCO SDO= = =
.
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy:
·
SHO
.
6
A
B
5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp
a/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc
với đáy:
Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh
bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Hình chóp
.S A BC
có cạnh bên
( )

SA A BC^
thì chiều cao là
SA
.
b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc
với mặt đáy:
Chiều cao của hình chóp là chiều cao của
tam giác chứa trong mặt bên vuông góc
với đáy.
Ví dụ: Hình chóp
.S A BCD
có mặt bên
( )
SAB
vuông góc với mặt đáy
( )
A BCD
thì chiều cao của hình chóp
là chiều cao của
SABD
.
c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc
với đáy:
Chiều cao của hình chóp là giao tuyến
của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy.
Ví dụ: Hình chóp
.S A BCD
có hai mặt bên
( )
SAB

và
( )
SAD
cùng vuông góc
với mặt đáy
( )
A BCD
thì chiều cao
là
SA
.
d/ Hình chóp đều:
Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng
nối đỉnh và tâm của đáy.
Ví dụ: Hình chóp tứ giác đều
.S A BCD
có
tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của
hai đường chéo hình vuông
A BCD
thì có đường cao là
SO
.
6/ Thể Tích Khối Đa Diện
1/ Thể tích khối chóp:
1
.
3
V B h=
:B

Diện tích mặt đáy.

:h
Chiều cao của khối chóp.
2/ Thể tích khối lăng trụ:
.V B h=
:B
Diện tích mặt đáy.

:h
Chiều cao của khối chóp.
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng
là cạnh bên.
7
C
D
S
O
C
A
B
B’
A’ C’
A
B
C
A’
B’
C’
a

b
c
a
a
a
S
A
’
B
’
C
’
A
B
C
3/ Thể tích hình hộp chữ nhật:
. .V a b c=
Þ
Thể tích khối lập phương:
3
V a=
4/ Tỉ số thể tích:
. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S AB C
V
SA SB SC

V SA SB SC
=
5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC
( )
' '
3
h
V B B BB= + +
Với
, ',B B h
là diện tích hai đáy và chiều
cao.
B. BÀI TẬP MẪU
Thí dụ 1. Cho hình chóp
.S A BC
có đáy là tam giác vuông tại
·
0
, 30 ,B BA C SA A C a= = =
và
SA
vuông góc với
( )
mp A BC
.Tính thể tích khối chóp
.S A BC
và khoảng cách
Bài giải tham khảo
Tính thể tích khối chóp
.S A BC

.
* Ta có:
( )

.
1
. . 1
3
S ABC A BC
V S SA
D
=
* Trong đó:
( )
2SA a=
* Tìm
A BC
S
D
?
Trong
A BCD
vuông tại
B
, ta có:
0
0
0
0
. sin 30

sin 30
2
3
cos 30
. cos 30
2
a
BC
BC A C
A C
A B
a
A B A C
A C
ì
ì
ï
ï
ï
ï
= =
=
ï
ï
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï

ï ï
=
= =
ï ï
ï ï
ï
î
ï
î
( )

2
1 1 3 3
. . . 3
2 2 2 2 8
A BC
a a a
S A B BC
D
= = =Þ
8
S
A
C
B
3
0
0
a
* Thay

( ) ( )
2 , 3
vao
( )
2 3
.
1 3 3
1 .
3 8 24
S AB C
a a
V a= ì =ị
(vtt)
( )
4
Tinh khong cỏch t
A
n
( )
mp SBC
.
* Ta co:
( ) ( ) ( )

.
.
3.
1
, . , 5
3

S A BC
S A BC SBC
SB C
V
V d A SBC S d A SBC
S
D
D
ộ ự ộ ự
= =ị
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
* Tim
SBCD
?
Ta co:
( )
BC A B
BC mp SAB BC SB SBC
BC SA
ỡ
ù
^
ù
^ ^ị ị ị D
ớ
ù
^
ù
ợ

vuụng tai
B
.
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3
. . . . .
2 2 2 2 2
SB C
a a
S BC BS A C A B SA A B a a
D
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
= = - + = - +ị
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
( )

2
1 7 7
6

2 2 2 8
a a a
= ì ì =
* Thờ
( ) ( )
4 , 6
vao
( )
5
( )
3
2
3 8 21
, 3
24 7
7
a a
d A SBC
a
ộ ự
= ì ì =ị
ờ ỳ
ở ỷ
.
Thi du 2. Cho hỡnh chúp
.S A BCD
cú ỏy
A BCD
l hỡnh ch nht cú
, 2A B a BC a= =

. Hai
( )
mp SAB
v
( )
mp SAD
cung vuụng gúc vi mt
phng ỏy, cnh
SC
hp vi ỏy mt gúc
0
60
. Tớnh th tớch khi chúp
.S A BCD
theo
a
.
Bai giai tham khao

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SA B A BCD
SA D A BCD SA ABCD
SA B SAD SA
ỡ
ù
^
ù
ù

ù
^ ^ị
ớ
ù
ù
=ầ
ù
ù
ợ
.
ị
Hinh chiờu cua
SC
lờn
( )
mp A BCD
la
A C
.
( )
ã
ã
0
, 60SC A BCD SCA
ộ ự
= =ị
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
.

Ma:
( )

.
1
. 1
3
S A BCD A CBD
V SA S=
.
Tim
?SA
9
S
A
D
B
C
6
0
0
Trong
SACD
vuụng tai
A
:
ã ã
t an . t an
SA
SCA SA A C SCA

A C
= =ị
( )

2 2 0 2 2
. t an 60 (2 ) . 3 15 2A B BC a a a= + = + =
.
Ta lai co:
( )

2
. .2 2 3
A BCD
S A B BC a a a= = =
.
Thay
( ) ( )
2 , 3
vao
( )
3
2
1 2 15
1 15 2
3 3
A BCD
a
V a a= ì ì =ị
(vtt).
Thi du 3. Hỡnh chúp

.S A BC
cú
2BC a=
, ỏy
A BC
l tam giỏc vuụng ti
,C SA B
l
tam giỏc vuụng cõn ti
S
v nm trong mt phng vuụng gúc vi mt ỏy.
Gi
I
l trung im cnh
A B
.
a/ Chng minh rng, ng thng
( )
SI mp A BC^
.
b/ Bit
( )
mp SAC
hp vi
( )
mp A BC
mt gúc
0
60
. Tớnh th tớch khi chúp

.S A BC
.
Bai giai tham khao
a/ CM:
( )
SI mp A BC^
Do
SABD
vuụng cõn tai co
SI
la trung tuyờn
ị
SI
cung
ụng thi la ng cao
SI AB^ị
.
Ta co:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
SA B A BC
A B SA B A BC SI mp ABC
A B SI SA B
ỡ
ù
^
ù
ù

ù
= ^ầị
ớ
ù
ù
^ è
ù
ù
ợ

(pcm)
b/ Tinh thờ tich khụi chop
.S A BC
Goi
K
la trung iờm cua oan
A C
.
SKị
va la trung tuyờn va la ng cao trong
SAC SK A C^D ị
.
Trong
A BCD
vuụng tai
C
co
KI
la ng trung binh.
//KI BC

KI A C
BC A C
ỡ
ù
ù
^ị ị
ớ
ù
^
ù
ợ
.
Mt khac:
( ) ( )
ã
ã
0
( ) ( ) { }
( ) ; 60
( )
mp A BC mp SAC A C
KI A C mp A B C mp SA C mp A BC SKI
SK A C mp SA C
ỡ
ù
^ =
ù
ù
ộ ự
ù

^ = =ị è ị
ớ ờ ỳ
ù ờ ỳ
ở ỷ
ù
^ è
ù
ù
ợ
.
Ma:
( )

.
1
. 1
3
S A BC A BC
V S SI
D
=
Tim
?SI
10
S
A
B
C
I
K

6
0
0
2
a
Trong
SKID
vuụng tai
I
, ta co:
ã ã
( )

0
1
t an . tan . .t an 60 3 2
2
SI
SKI SI IK SKI BC a
IK
= = = =ị
.
Tim
A BC
S
D
?
( )
2
2 2 2

1 1 1
. . . . . . 2
2 2 2
A BC
S B C A C BC A B BC BC SI BC
D
= = - = -
( )
( ) ( )

2
2
2
1
.2 . 2 3 2 2 2 3
2
a a a a= - =
.
Thờ
( ) ( )
2 , 3
vao
( )
3
2
.
1 2 6
1 .2 2. 3
3 3
S A BC

a
V a a= =ị
Thi du 4. Cho hỡnh lng tr
. ' ' 'ABC A B C
cú ỏy
A BC
l tam giỏc u cnh bng
a
.
Hỡnh chiu vuụng gúc ca
'A
xung
( )
mp A BC
l trung im ca
A B
. Mt
bờn
( )
' 'A A C C
to vi ỏy mt gúc bng
45
o
. Tớnh th tớch ca khi lng
tr ny.
Bai giai tham khao
Goi
, ,H M I
lõn lt la trung iờm cua cac oan
thng

, ,A B A C A M
.

( )

. ' ' '
. . ' 1
A BC A B C A BC
V B h S A H
D
= =
Do
A BCD
ờu nờn:
( )

2 2
. 3 3
2
4 4
A BC
BC a
S
D
= =
.
Tim
'A H
?
Do

IH
la ng trung binh trong ờu
A MBD
,
ụng thi
BM
la trung tuyờn nờn cung la ng
cao.
Do o:
// IH MB
IH A C
MB A C
ỡ
ù
ù
^ị
ớ
ù
^
ù
ợ
va
( )
'
' '
A C A H
A C A HI A C A I
A C IH
ỡ
ù

^
ù
^ ^ị ị
ớ
ù
^
ù
ợ
Ma:
( ) ( )
ã
ã
0
( ) ( ' ') { }
( ) ' ' ; ' 60
' ( ' ')
A BC A CC A A C
A C IH A BC A CC A A BC A IH
A C A I A CC A
ỡ
ù
=ầ
ù
ù
ộ ự
ù
^ = =èị
ớ ờ ỳ
ù ờ ỳ
ở ỷ

ù
^ è
ù
ù
ợ
.
Trong
'A HID
vuụng tai
H
, ta co:
( )
o

0
' 1 3
t an 45 ' . t an 45 3
2 4
A H a
A H IH IH MB
HI
= = = = =ị
.
11
A

B

C

A
B
C
M
I
H
a
 Thay
( ) ( )
2 , 3
vào
( )
2 3
. ' ' '
3 3 3
1 .
4 4 16
A BC A B C
a a a
V = =Þ
.
Thí dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy
A BC
là tam giác vuông tại
·
0
, , 60A A C a AC B= =
. Đường chéo

'BC
của mặt bên
( )
' 'BC C C
tạo với
mặt phẳng
( )
' 'mp A A C C
một góc
0
30
. Tính thể tích của khối lăng trụ theo
a
.
Bài giải tham khảo
 Ta có:
( )
A B A C
A B A CC A
A B A A
ì
ï
^
ï
¢ ¢
^Þ
í
¢
ï
^

ï
î
. Do đó
A C
¢
là hình chiếu
vuông góc của
BC
¢
lên
( )A CC A
¢ ¢
.
Từ đó, góc giữa
BC
¢
và
( )A CC A
¢ ¢
là
·
0
30BC A
¢
=
.
 Trong tam giác vuông
A BC
:
0

. tan 60 3A B A C a= =
.
 Trong tam giác vuông
'A BC
:
0
. cot 30 3. 3 3A C A B a a
¢
= = =
.
 Trong tam giác vuông
'A CC
:
2 2 2 2
' ' (3 ) 2 2CC A C A C a a a= - = - =
.
 Vậy, thể tích lăng trụ là:
3
1 1
. . . ' . 3. .2 2 6
2 2
V B h A B A C CC a a a a= = = =

(đvdt).
Thí dụ 6. Cho hình chóp đều
.S A BCD
có cạnh đáy
2a
, góc giữa mặt bên và mặt đáy
bằng

0
60
. Tính thể tích của hình chóp
.S A BCD
.
Bài giải tham khảo
Tính thể tích khối chóp
.S A BCD
 Gọi
O
là tâm của mặt đáy thì
( )
SO mp A BCD^
nên
SO
là đường cao của hình chóp và gọi
M
là
trung điểm đoạn
CD
.
 Ta có:
·
0
( )
( ) 60
( ) ( )
CD SM SCD
CD OM A BCD SMO
CD SCD A BCD

ì
ï
^ Ì
ï
ï
ï
^ =ÌÞ
í
ï
ï
= Ç
ï
ï
î
(góc giữa mặt
( )SCD
và mặt đáy)
 Ta có:
( )

.
1
. 1
3
S A BCD A BCD
V S SO=
 Tìm
?SO
12
B

’

A
C
B
’
A
’
C
’
a
6
0
0
3
0
o
S
A
B
C
D
O
2
a
M
6
0
0
Trong

SMOD
vuông tại
O
, ta có:
·
t an
SO
SMO
OM
=
·
( )

0
. t an .t an 60 3 2
2
BC
SO OM SMO a= = =Þ
.
 Mặt khác:
( ) ( )

2
2 2
2 4 3
A BCD
S BC a a= = =
.
 Thế
( ) ( )

2 , 3
vào
( )
3
2
1 4 3
1 .4 . 3
3 3
A BCD
a
V a a= =Þ
(đvtt).
C. BÀI TẬP
Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)
Cho hình chóp
.S A BC
có đáy
A BC
là tam giác vuông cân tại
( )
, ,B A B a SA A BC= ^
, góc giữa
( )
mp SBC
và
( )
mp A BC
bằng
0
30

. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
SC
. Tính thể tích khối chóp
.S A BM
theo
a
.
HD: Cm :
( )
BC SA B^
, Kẻ
// MN BC
,

. .
1
. .
3
S A B M M SA B SA B
V V S MN
D
= =
ĐS:
( )
3
. .
3
2

36
S A BM M SA B
a
V V= =Þ
Bài 2. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)
Cho hình chóp
.S A BCD
đáy là hình vuông
A BCD
cạnh
a
, mặt bên
SAD
là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy
A BCD
. Gọi
, ,M N P
lần
lượt là trung điểm của
, ,SB BC CD
. Tính thể tích khối tứ diện
CMNP
.
HD: Gọi
H
là trung điểm của
A D
thì
SH A D^

( )
SH A BCD^Þ
( )
// MK SH K HBÎ

( )
MK ABCD^Þ
1
. .
3
CMNP CNP
V S MK
D
=
2 3
1 3 . 3
. .
3 8 4 96
a a a
= =
13
S
H
A
D
C
B
M
N
P

K
Bi 3. (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B 2006)
Cho hinh chop
.S A BCD
co ay
A BCD
la hinh ch nhõt
vi
, 2,A B a AD a SA a= = =
va
SA
vuụng goc vi
mt phng ay. Goi
,M N
lõn lt la trung iờm cua
,A D S C
va
I
la giao iờm cua
BM
va
A C
. Tinh thờ tich
khụi t diờn
A NIB
.
HD: Goi
O
la tõm cua cua ay
A BCD

.
Trong
SACD
, ta co
NO
la ng trung binh nờn:
( )
( )
// NO SA
NO A BCD
SA A BCD
ỡ
ù
ù
ù
^ị
ớ
ù
^
ù
ù
ợ


.
1
. .
3
A NIB N A I B A IB
V V S NO

D
= =
Tim
?
A IB
S
D
=
Do
I
la trong tõm
A BDD
nờn
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 3
.
3 3 2 3 3 3 3
2 2 2 6
. . .
3 3 3 2 3
A C A C A D DC A D A B a
A I A O
A D a
BI BM A B A M A B
ỡ
ù
+ +
ù

ù
= = = = = =
ù
ù
ù
ị
ớ
ù
ổ ử
ù
ữ
ỗ
ữ
ù
= = + = + =
ỗ
ữ
ù
ỗ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ù
ợ
2 2
2 2 2 2
3 6
3 3
a a

A B a A I BI A IB
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
= = + = + ịD
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
vuụng tai I
2 3
.
1 2 2
. .
3 6 2 36
N A IB
a a a
V = =
Bi 4. (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B 2009)
Cho lng tru tam giac
. ' ' 'ABC A B C
co
'BB a=
, goc gia ng thng
'BB

va
( )
mp A BC
bng
0
60
, tam giac
A BC
vuụng tai
C
va goc
ã
0
60BA C =
. Hinh chiờu vuụng goc cua iờm
'B
lờn
( )
mp A BC
trung vi
trong tõm cua
A BCD
. Tinh thờ tich cua khụi t diờn
'A A BC
theo
a
.
HD:
Goi
,M N

la trung iờm cua
,A B A C
. Khi o,
G
la trong tõm cua
A BCD
.
Do hinh chiờu iờm
'B
lờn
( )
mp A BC
la
G
nờn
( )
'B G A BC^

( )
ã
ã
0
; ' 60BB A BC B BG
ộ ự
= =ị
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
.
14

A
B
CD
M
I
S
A
D
C
B
M
N
I
O
A

B

C

A
B
C
G
N
M
Ta có:
( )

'

1 1
. . ' . . . ' 1
3 6
A A BC A BC
V S B G A C BC B G
D
= =
.
Tìm
'B G
?
Trong
'B B GD
vuông tại
G
và có
·
0
' 60B BG =
nên nó là nữa tam giác đều cạnh là
'BB a=

( )

3
; ' 2
2 2
a
a
BG B G= =Þ

.
 Tìm
,A B BC
?
Đặt
2A B x=
. Trong
A BCD
vuông tại
C
có
·
0
60BA C =
nên nó
cũng là nữa tam giác đều với đường cao là
BC
.
, 3
2
A B
A C x BC x= = =Þ
Do
G
là trọng tâm
A BCD
3 3
2 4
a
BN BG= =Þ

.
Trong
BNCD
vuông tại
C
:
2 2 2
BN NC BC= +
( )

2 2 2
2 2
3
9 9 3
2 13
3 3
16 4 52
3 3
2 13
2 13
a
A C
a x a a
x x x
a
BC
ì
ï
ï
=

ï
ï
ï
ï
= + = =Û Û Þ Þ
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
î
15
6
0
0
B
A C
N
M
G
 Thế
( ) ( )
2 , 3
vào
( )
3
'

1 3 3 3 3 9
1 . . .
6 2 108
2 13 2 13
A A B C
a a a a
V = =Þ
Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a. Đỉnh S cách
đều A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp
S.ABC.
HD:
Bài 6: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng
3a
và hình chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC . Tính
thể tích khối lăng trụ ,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’. ABC
HD:
Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b,
·
0
60ACB =
. Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một
góc 30
0
.
a) Chứng minh tam giác
'ABC
vuông tại A
b) Tính độ dài đoạn AC’

c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp
C’.ABC
HD:
Bài 8: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)
16
Cho hình lập phương
. ' ' ' 'A BCD A B C D
có cạnh bằng 1. Gọi
,M N
lần lượt là
trung điểm của
A B
và
CD
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
'A C
và
MN
.
HD: PP tọa độ ĐS:
( )
2
, '
4
d MN AC =
Bài 9. Cho hình chóp
.S A BC
có đáy
A BC
là tam giác vuông tại

( )
,B SA mp ABC^
.
Biết rằng:
,A B a=

2A C a=
, góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
A BC
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S A BC
theo
a
.
ĐS:
3
2
a
V =
.
Bài 10. Cho hình chóp
.S A BC
có đáy

A BC
là tam giác vuông cân tại
( )
,B SA A BC^
.
Cho
2A C a=
,
3SB a=
. Tính thể tích của khối chóp
.S A BC
.
ĐS:
3
2
3
a
V =
17