CHUYÊN đề HÌNH học KHÔNG GIAN LUYỆN THI đh cđ trung

CHUN ĐỀ
ĐỀ HÌNH
HÌNH HỌC
HỌC KHƠNG
KHƠNG GIAN
GIAN
CHUN
LUYỆN THI
THI ĐH-CĐ
ĐH-CĐ
LUYỆN

Dạng 1-Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Bài 1:
Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính
thể
tích
và
tổng
diện
tích
các
mặt
bên
của
lăng
trụ.
Bài 2:
Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD' a 6 . Tính
thể
tích

của
lăng
trụ.
Bài 3.
Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi
đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.
Bài 4:
Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện
tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ .
Bài 5:
Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vng cân tại A ,biết rằng
chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ.
Bài 6:
Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của
lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ.
Bài 7.
Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng
trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.
Bài 8.
Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 .Tính thể tích khối lập phương
Bài 9:
Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo
của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Bài 10
. Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là 5; 10; 13 . Tính
thể tích khối hộp này.

DẠNG 2- khối lăng trụ có góc giữa ĐT và MP
Bài 1:
ˆ =600 biết AB/

Cho hình hộp đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAC
hợp với đáy (ABCD) một góc 300 . Tính V lăng trụ.
Bài 2:
Cho Lăng trụ đứng ABC.A/B/C có đáy ABC vuông cân tại B ;biết A/C = a và A/C hợp với
mặt bên (AA/B/B) một góc 300.Tính V lăng trụ
Bài 3:
Cho Lăng trụ đứng ABC.A/B/C có đáy ABC vng tại B ;biết BB/= AB = a và B/C hợp với
đáy (ABC) một góc 300 .Tính V lăng trụ
Bài 4:
1


Cho Lăng trụ đứng ABC.A/B/C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,biết AB/ hợp với mặt bên
(BCC/C) một góc một góc 300 .Tính đọ dài AB/ và V lăng trụ.
Bài 5:
ˆ =600 ; BC/ hợp
Cho Lăng trụ đứng ABC.A/B/C có đáy ABC vng tại A;biết AC= a và ACB
/ /
0
với mặt bên (AA C C) một góc 30 .Tính V lăng trụ và diện tích tam giác ABC/.
Bài 6:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A/B/C/D/ có đường chéo A/C =a và biết rằng A/C hợp với
(ABCD) một góc 300 và hợp với (ABB/A/) một góc 450 .Tính thể tích của khối hộp chữ nhật.
Bài 7:
Cho lăng trụ đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy ABCD là hình vng và BD/ = a .Tính V lăng trụ
cho các trường hợp sau đây.
a.BD/ hợp với đáy (ABCD) một góc 600
b.BD/ hợp với mặt bên (AA/D/D) một góc 300
Bài 8:
ˆ =.

Cho Lăng trụ đứng ABC.A/B/C có đáy ABC cân tại A, góc ABC
ˆ =900 .
BC/ hợp với đáy (ABC) một góc  .Gọi I là trung điểm của AA/ .Biết góc BIC
a.CMR: tam giác BIC vuông cân.
b.CMR: tan2  + tan2  = 1
Bài 9:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A/B/C/D/ có AB = a ; AD = b ; AA/ = c và BD/ = AC/ = CA/ =
a 2  b2  c 2 . Gọi x ; y ; z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉnh
thuộc đường chéo . CMR sin2x + sin2y + sin2z =1
Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Bài 1. Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD
một góc 30o và
mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 .Tính thể tích hộp chữ nhật.
Đs:
3
V 2a 2 / 3
Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng và cạnh bên bằng a
biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ.
Đs: V = 3a3
Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a
biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V a 3 2
Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và
BAC 120o biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V a 3 3 / 8
Bài 5. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h
biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V h 3 2 / 4
Bài 6. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a.Tính thể tích
lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o .
Đs:
3
V a 3
2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o.
ĐS:
V a 3 3 / 4

2


3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
ĐS:
V a 3
Bài 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích lăng trụ
trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o .
ĐS : V = 16a3
2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 .
ĐS : V = 12a3
3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .
ĐS : V 16a 3 / 3
Bài 8. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Tính thể tích
lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một
o
3
góc 60
ĐS : V a 6 / 2 .
2)Tam giác BDC' là tam giác đều.

ĐS : V = a 3
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
ĐS : V = a 3 2
Bài 9. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A =
60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) (BDC') hợp với đáy ABCD
một góc 60o . ĐS: V 3a 3 3 / 4
2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng a / 2
ĐS : V 3a 3 2 / 8
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
ĐS : V 3a 3 / 2
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a.Tính thể tích khối hộp
trong các trường hợp sau đây:
1) AB = a
3
ĐS : V 8a 2
2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30o
ĐS : V 5a 3 11
3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300
ĐS : V 16a 3
3

Dạng 4. Khối lăng trụ xiên
Bài 1. Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp
với đáy ABCD một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = a 3 2
Bài 2. Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vng cạnh a và biết cạnh bên
bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V =336
Bài 3. Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và BAD 30o và biết cạnh
bên AA' hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.

Đs: V = abc 3 / 4
Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A'

2a 3 .Tính thể tích lăng trụ.
3
Đs: V a 3 3 / 4

cách đều A,B,C biết AA' =

Bài 5. Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu
trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy
ABC một góc 60o .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
3


2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'.
Đs:
3
V 3a 3 / 8
Bài 6. Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a hợp
với đáy ABC 1 góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .
1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
ĐS : S a 2 3 / 2
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'.
ĐS:
3
V 3a 3 / 8
Bài 7. Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vng
góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.

1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
ĐS : 30o.
2) Tính thể tích lăng trụ
ĐS:
3
V a 3 / 8
Bài 8. Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của
C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2
mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90o
Đs: V 27a 3 / 4 2
Bài 9. Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vng góc của
A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đơi một tạo với nhau một
góc 60o .
1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.
ĐS:

SACC'A' a 2 2;SBDD'B' a 2
3) Tính thể tích của hộp.

a
V

3

Đs:

2

2

Bài 10. Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60 o chân
đường vng góc hạ từ B' xng ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.
ĐS : 60o
2) Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.
ĐS:
3
2
V 3a / 4 &S a 15

Dạng 1:

THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B với BA=BC=a biết SA
vng góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30 o. Tính thể tích hình chóp .
Đs: V = a3 2 / 6
Bài 2. Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác
ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp SABC
Đs: V h3 3 / 3
Bài 3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng tại A và SB vng góc với đáy ABC biết SB
= a,SC hợp với (SAB) một góc 30 o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60 o .Chứng minh rằng
SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp.
4


Đs: V a3 3 / 27
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD 

(ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm.
1) Tính thể tích ABCD.
Đs:
V = 8 cm3
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Đs:
d = 12 / 34
Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , BAC 120o ,
biết SA  (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45 o . Tính thể tích khối chóp SABC.
Đs: V a3 / 9
Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng biết SA  (ABCD),SC = a và SC
hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp.
Đs: V a3 3 / 48
Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA  (ABCD) , SC
hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a. Tính thể tích khối chóp.
Đs: V = 20a3
Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60 o và
SA  (ABCD)
Biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đs:
3
V a 2 / 4
Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC
= a , AD = 2a ,
SA  (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o Tính thể thích khối chóp SABCD. Đs:
V a3 6 / 2
Bài 10 :Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường
trịn đường kính AB = 2R biết (SBC) hợp với đáy ABCD một góc 45o.Tính thể tích khối
chóp SABCD. Đs: V 3R 3 / 4
Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vng góc với đáy

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vng góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC.
Đs:

a3 3
V
24

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân tại A với AB = AC = a biết tam giác
SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với
(ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC.

a3
12

Đs: V 


+Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC 90o ;ABC
30o ; SBC là tam giác đều cạnh a và
(SAB)  (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC.
2
Đs: V a 2
24
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h
và (SBC)  (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp
4h3 3
SABC. Đs: V 

9

5


Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng
vng góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện.

a3 6
36

Đs: V 

Bài 6 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng .Mặt bên SAB là tam giác đều
có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vng góc với ABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD .
Đs:

4h3
9
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , D SAB đều cạnh a nằm trong mặt
phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình
V

3
chóp SABCD Đs: V a 3
4
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB 
(ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích

8a3 3
Đs: V 
9
Bài 9:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và D SAD
vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vng góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp

hình chóp SABCD.

Đs: V a 5
12
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D; AD = CD = a ;
AB = 2a, D SAB đều nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp
3

SABCD.

3
Đs: V a 3

SABCD .

2

Dạng 3 :

Khối chóp đều

Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính
thể tích

hình chóp.
Đs:
3a3
V
16

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o.
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .
Đs: SH =

a
3

3) Tính thể tích hình chóp SABC.

a3
6

Đs: V 

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc
60o. Tính thể tích hình chóp SABC.
3
Đs: V a 3
24
Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .
6


Tính thể tích hình chóp.

Đs:
h 3
V
3
Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60o.
Tính thể tích hình chóp.
Đs:
3
h 3
V
8
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ASB 60o .
1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.
Đs:
3

a2 3
S
3

2) Tính thể tích hình chóp.
Đs:
a 2
V
6
Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60o.
Tính thể tích hình chóp.
Đs:
2h3
V

3
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân
đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.Tính thể tích hình chóp .
3
Đs: V 8a 3
3
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.
Tính thề tích hình chóp.
Đs:
3
a 3
V
12
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là
3

3
chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng V 9a 2 .

2

Đs: AB = 3a

Dạng 4 : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích
Bài 1. Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể
tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD.
Đs: k 1/ 4
Bài 2. Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao
cho AB = 2AB'
2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'.

Đs: V = 2
3
m
Bài 3. Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho
a
2a
AB  ;AC'  . Tính thể tích tứ diên AB'C'D .
2
3
3
Đs: V a 2
36

Bài 4. Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N
trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP.
Đs: V = 1 m3
Bài 5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường cao SA = a.Mặt
phẳng qua A và vng góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK.
Đs: V a3 3 / 40
Bài 6. Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho
7


SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại
B',C',D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'.
Đs: V = 1 m3
Bài 7. Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA
sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN .
Đs: V = 4m3
Bài 8. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vng cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung

điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và // BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P. Tính VS.AMNP
Đs: V a2 h / 9
Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của
SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2
phần này.
Đs: k 1/ 2
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho
SM
x Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
SA
Đs: x  5  1
2

ÔN TẬP
TẬP KHỐI
KHỐI ĐA
ĐA DIỆN
DIỆN
ƠN

Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa
mặt bên và mặt đáy bằng  (450 <  < 900). Tính thể tích hình chóp.
HD: Tính h =

1
1
a tan   V  a3 tan 
2
6

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh
bên SA = a 5 . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt
SC và SD tại C và D. Tính thể tích của khối đa diện ADD.BCC.
HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD
5a3 3
6
Bài 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
Tính thể tích hình chóp theo x và y.
HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)
xy
4  x 2  y2
V
12
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính
thể tích tứ diện theo a, b, c.
HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của
1
PQ, QR, RP. Chú yù: VAPQR = 4VABCD = AP. AQ. AR
6

V

2
(a2  b2  c 2 )(b2  c2  a2 )(c 2  a2  b2 )
12
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA 
(ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính
thể tích khối chóp A.BCNM.

V

8


HD:

VSAMN
VSABC

2

3a3 3
SA SM SN  SA 2 
16
 V
 .
.

 
50
SA SB SC  SB 2 
25

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA  (ABCD),
SB = 7 3 cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC =
4cm. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =
5cm. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 8. Cho hình tứ diện ABCD có AD  (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC =
5cm.

a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có mp(ABC) tạo với đáy một góc 45 0 và
diện tích ABC bằng 49 6 cm2. Tính thể tích lăng trụ.
Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với
mp(ABCD) và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Trên Bx và Dy lần lượt lấy
các điểm M, N và gọi BM = x, DN = y. Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a 2 ,
SA  (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM
và AC.
a) Chứng minh mp(SAC)  BM.
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA 
(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính
thể tích khối chóp A.BCNM.
·
Bài 13. a,(A–13) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC
300 , SBC là
tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vng góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
ĐS: d(C, SAB)=

3V
a 3

dt (SAB )
13

b, (D–13) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của khối chóp

S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
a 3
d(A, SCD) 
7
c, (B–13Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Baøi 14. (A–08) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là
trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa
2 đường thẳng AA’ và B’C’.
9


HD:

V

a3
;
2

cos  

1
4

Bài 15. (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB
= a 3 và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và

DN.
HD:

V

a3 3
;
3

cos  

5
5

Bài 16. (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB =
BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của
lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, BC.
HD:

2a3
V
;
2

d

a 7
7

Bài 17. (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên

SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM  BP và tính thể tích khối CMNP.
HD:

3a3
96

V

Bài 18. (B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là
trung điểm của BC. Chứng minh MN  BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
HD:

d

a 2
4

Bài 19. (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với
ABC BAD 900 , BC = BA = a, AD = 2a. SA(ABCD), SA a 2 . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng
cách từ H đến (SCD).
HD:

d

a
3

Bài 20. (A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O, bán kính đáy bằng
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm
O lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OOAB.
HD:

V

3a3
12

Bài 21. (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD a 2 , SA = a vaø SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I
là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC)  (SMB). Tính thể tích của
khối tứ dieän ANIB.
HD:

V

a3 2
36
10


Bài 22. (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA
= 2a và SA  (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC.
Tính thể tích của hình chóp A.BCMN.
HD:

V

3 3a3
50

Bài 23. (Dự bị 1 A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 =
2a 5 vaø BAC 1200 . Gọi M là trung điểm CC 1. Chứng minh MB  MA1 và tính
khoảng cách d từ A đến (A1BM).
HD:

d

a 5
3

Bài 24. (Dự bị 2 A–07): Cho hình chóp SABC có góc (SBC ),( ABC ) 600 , ABC và SBC





là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
HD:

3a

d

13

Bài 25. (Dự bị 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA

 (ABCD). AB = a, SA a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên
SB, SD. Chứng minh SC(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK.
HD:

V

2 a3
27

Bài 26. (Dự bị 2 B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R
và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với
(P) tại A lấy điểm S sao cho (SAB),(SBC ) 600 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của





A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC.
HD:

R3 6
V
12

Bài 27. (Dự bị 1 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A 1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = AC = a, AA1 = a 2 . Goïi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA 1 và BC1. Chứng
minh MN là đường vuông góc chung của AA 1 và BC1. Tính thể tích của tứ diện
MA1BC1.
HD:

V

a3 2
12

Bài 28. (Dự bị 2 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M
là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM  B1C và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng BM và B1C.
HD:

d

a 30
10

Bài 29. (Dự bị 1 A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a,
a 3
và BAD 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và
2
A'B'. Chứng minh AC'  (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
AA' =

11


HD:

V

3a3

16

Bài 30. (Dự bị 2 A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0.
Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =

a 3
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N.
3

Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
HD:

10 3 3
V
a
27

Bài 31. (Dự bị 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi caïnh a,
BAD 600 , SA  (ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi
qua AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích
khối chóp S.AB'C'D'.
HD:

V

a3 3
18

Bài 32. (Dự bị 2 B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác

đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(A'BC). Tính tan và thể tích khối chóp A'.BB'C'C.
HD:

2
2
2
2
2
tan = 2 3b  a ; V  a 3b  a
a
6

Baøi 33. (Dự bị 1 D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH
là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng
(SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
HD:

2
a3 b
V .
3 a 2  16b 2

Bài 34. (Dự bị 2 D–06): Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a và điểm
2
K thuộc cạnh CC sao cho CK = a . Mặt phẳng () đi qua A, K và song song với BD,
3
chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
HD:

V1 

a3
;
3

V2 

2a 3
3

Bài 35. (Dự bị 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SB  (ABC). Tam giác ABC có
BA = BC = a, góc ABC bằng 1200. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(SBC).
Bài 36. (Dự bị 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng
minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.
2 2
a
2
Bài 36: ( A-12)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc
của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa
HD:

S AMB 

12


đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và

tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Bài 37: ( B-12) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu
vng góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể
tích
Bài 38: ( A-11) Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt phẳng (ABC). Gọi
M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S. BCNM và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 39: ( B-11) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD =
a 3 . Hình chiếu vng góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD.
Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và
khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.

ƠN TẬP
TẬP KHỐI
KHỐI ĐA
ĐA DIỆN
DIỆN (Tiếp
(Tiếp theo)
theo)
ƠN
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và ASB  .
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp.
b) Chứng minh chiều cao của hình chóp bằng

a

cot 2  1
2

2

c) Tính thể tích khối chóp.
HD:

a) Sxq = a 2 cot


2

c) V =

1 3

a cot 2  1
6
2

Bài 2. Cho hình chóp SABC có 2 mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy. Đáy ABC
là tam giác cân đỉnh A. Trung tuyến AD = a. Cạnh bên SB tạo với đáy góc  và tạo
với mp(SAD) góc .
a) Xác định các góc , .
b) Chứng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2.
c) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp.
HD:
a) SBA  ; BSD 
1
a2
a 2 sin 
(sin

2


sin
2

)

c) Stp = 2
cos2   sin 2 
cos2   sin 2 
V=

a3 sin  .sin 
3(cos2   sin 2  )

Baøi 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam
giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là một điểm di
động trên đường thẳng BC.
a) Chứng minh rằng SH  (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD.
b) Tìm tập hợp các hình chiếu của S lên DM.
c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM.
HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD
13

c) SK =

a 7a 2  4ax  4 x 2
2
a2  x 2

Bài 4. Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a
ta lấy điểm S với SA = 2a. Gọi B, D là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng
(ABD) cắt SC tại C. Tính thể tích khối chóp SABCD.
HD:

VSABC 
VSABC

3
8
  VSABCD = 16a
15
45

Bài 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt
SA, SB, SC, SD lần lượt tại A, B, C, D. Chứng minh:
SA SC SB SD



SA SC SB SD
HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp
Bài 6. Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SH.
a) Chứng minh SA  BC.
b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC.
c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau.
a3 2

HD:
b) V =
; Stp = a 2 3 .
12
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0 và cạnh
đáy bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P)
và hình chóp.
a3 6
a2 3
b) S =
6
3
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên

HD:

a) V =

Bài 8.
là .
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo  và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuoáng mp(MAB).
HD:

a) Sxq =

4h 2 tan 

4 h3

; V=
3(tan 2   1)
tan 2   1
Bài 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0
 x  a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông,
người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0).
a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc.
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC).
c) Tính thể tích khối chóp SABCM.
d) Với giả thiết x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích với SABCM.
e) I là trung điểm của SC. Tìm q tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên
đoạn AD.
1
1 3
x 2
a 3
HD:
b) d =
c) V = ay( x  a)
d) Vmax =
6
24
2
Bài 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc  và hợp với mặt bên SAB một
góc .
14

a2

2

a) Chứng minh: SC =

cos2   sin 2 

.

b) Tính thể tích khối chóp.
HD:

b) V =

a3 sin  .sin 
3(cos2   sin 2  )

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và
vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b) Hạ AE  SB, AF  SD. Chứng minh SC  (AEF).
Bài 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D,
AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD  (ABCD) và SD = a .
a) Chứng minh SBC vuông. Tính diện tích SBC.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,

AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD  (ABCD), SD a 3 . Từ trung điểm E của DC
dựng EK  SC (K  SC). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC 
(EBK).
Bài 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D.
Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD.
b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a.
Bài 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA
vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD  SB và AE  SC. Biết AB = a, BC =
b, SA = c.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE.
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB).
Bài 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.ABC, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt
bên BCCB hợp với mặt bên ABBA một góc .
a) Xác định góc .
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:

a3
8

3 sin 3

.
sin3 
HD:
a) C BI  với I là trung điểm của AB
Bài 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.ABCD, chiều cao h. Mặt phẳng (ABD) hợp
với mặt bên ABBA một góc . Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD:

3
2
V = h tan   1 ,

Sxq = 4h

2

tan 2   1 .

Baøi 19. Cho lăng trụ đứng ABC.ABC, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA đến
mặt bên BCCB bằng a, mp(ABC) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc .
a) Dựng AH  BC, CK  AC. Chứng minh: AH = a, CAC  = , CK = b.
b) Tính thể tích lăng trụ.
15


c) Cho a = b không đổi, còn  thay đổi. Định  để thể tích lăng trụ nhỏ nhất.
HD:

ab3

b) V =

c)  = arctan

2
2

sin 2 b 2  a 2 sin 2 

Bài 20. Cho lăng trụ đều ABCD.ABCD cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC
và đáy là 600. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD:
V = a3 6 ; Sxq = 4a2 6
Bài 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2
mặt bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là . Tính diện tích xung quanh hình lăng
trụ.
1  cos 
.
cos 
Bài 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.ABC, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC) hợp
với mp(BCCB) một góc . Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC.
a) Chứng minh AJI = .
HD:

Sxq = 4h2

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD:

b) V =

3a3
2

4 tan   3

; Sxq = 3a2

3

2

tan   3

.

Bài 23. Cho lăng trụ xiên ABC.ABC, đáy là tam giác đều cạnh a, AA = AB = AC =
b.
a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ A. Chứng minh mặt bên BCCB là hình
chữ nhật.
b) Định b theo a để mặt bên ABBA hợp với đáy góc 600.
c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm được.
7
a2
c) Stp =
(7 3  21)
12
6
Bài 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt
bên ABBA là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên
ACCA hợp với đáy góc nhị diện có số đo  (0 <  < 900).
a) Chứng minh: AAB = .
HD:

b) b = a

b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Xác định thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
d) Gọi  là góc nhọn mà mp(BCCB) hợp với mặt phẳng đáy.
Chứng minh: tan = 2 tan.

1
HD:
b) V = a3sin
c) Sxq = a2(1 + sin + 1  sin 2  )
2
Bài 25. Cho lăng trụ xiên ABC.ABC đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A
lên mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Cho BAA = 450.
a) Tính thể tích lăng trụ.

b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.

a2 2
2
b) Sxq = a2(1 +
).
8
2
Bài 26. Cho lăng trụ xiên ABC.ABC, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường
tròn tâm O. Hình chiếu của C lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC laø d
HD:

a) V =

16


và số đo nhị diện cạnh CC là 2.
a) Tính thể tích lăng trụ.
b) Gọi  là góc giữa 2 mp(ABBA) và (ABC) (0 <  < 900).
Tính  biết  +  = 900.

1
2d 3 tan3 
2
HD:
a) V =
b)
tan

=
;
 = arctan
2
2
3 tan   1
2
3 tan   1
Baøi 27. Cho lăng trụ xiên ABC.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a.
Mặt bên ABBA là hình thoi, mặt bên BCCB nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc .
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCCB). Xác định góc .
b) Tính thể tích lăng trụ.
HD:

a)

a 3
. Gọi AK là đường cao của ABC; vẽ KH  BB. AHK = .
2

3a3

b) V =
cot  .
2
Baøi 28. Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo
ACCA, BDDB là S1, S2.
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp.
b) Biết BAD = 1v. Tính thể tích hình hộp.
HD:

a) Sxq = 2

S12

 S22

S1S2
2
.
b) V = 2 4 2
S  S2
2

1

Bài 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD, đường chéo AC = d hợp với đáy ABCD
một góc  và hợp với mặt bên BCCB một góc .
a) Chứng minh: CAC   và AC B  .
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sin.sin cos(   ).cos(   )
c) Tìm hệ thức giữa ,  để ADCB là hình vuông. Cho d không đổi,  và  thay đổi
mà ADCB luôn là hình vuông, định ,  để V lớn nhất.

d3 2
khi  =  = 300 (dùng Côsi).
32
Bài 30. Cho hình hộp ABCD.ABCD’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, A = 600. Chân
đường vuông góc hà từ B xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của
đáy. Cho BB = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.
HD:

c) 2(cos2 – sin2) = 1 ; Vmax =

3a3
; Sxq = a2 15 .
4
Bài 31. Cho hình hộp xiên ABCD.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD =
600; AA = AB = AD và cạnh bên hợp với đáy góc .
a) Xác định chân đường cao của hình hộp vẽ từ A và góc . Tính thể tích hình hộp.
b) Tính diện tích các tứ giác ACCA, BDDB.
 ABBA, ABCD  . Tính  biết  +  = 4 .
c) Đặt  = 
HD:

a) 600

b) V =

17

HD:

a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD.

a2 3
17  3
; SACCA = a2tan
c)  = arctan
3 sin 
4
Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a , SA ^ mp( ABCD ) .
b) SBDDB =

Góc giữa SC và mặt phẳng chứa đáy bằng 600 và M là trung điểm của cạnh SB .
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
b/ Tính thể tích khối chóp M .BCD .
3
3
ĐS: a/ VS.ABCD = 8a 6 ; b/ VM .BCD = 1VS .ABCD = 2a 6 .
3
4
3
AB
=
5
a
,
BC
=
6

a
,
CA
=
7
a
Bài 33. Cho hình chóp tam giác S.ABC có
. Các mặt bên
( SAB ) ,( SBC ) và ( SCA) tạo với mp( ABC ) một góc 600 . Tính thể tích khối chóp

S.ABC .

ĐS: VS.ABC = 8 3a3 .
Bài 34. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' có AB = a 3, AD = a, AA ' = a,O là giao
điểm của AC và BD .
a/ Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' và khối chópOA 'B 'C 'D ' .
b/ Tính thể tích khốiOBB 'C ' .
c/ Tính độ dài đường cao đỉnhC ' của tứ diệnOBB 'C ' .
3
3
ĐS: a/ V = a3 3,VOA 'B 'C 'D ' = 1V = a 3 ; b/ VO.BB 'C ' = a 3 ; c/ C 'H = 2a 3 .
3
3
12
Bài 35. Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh bằng a . Tính thể tích khối tứ diện
ACB 'D ' .
1
ĐS: V = a3 .
3
Bài 36. Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh AC ,

mặt phẳng ( A 'B 'E ) cắt BC tại F . Tính thể tích khối tứ diện A 'B 'BC và khối
CA 'B 'FE .
3

3
a3 3 .
; VCA 'B 'FE =
12
16
·
Bài 37. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đay lớn AB = 2cm, ACB
= 900 .
ĐS: VA 'B 'BC = a

Hai D SAC và D SBD là các tam giác đều có cạnh bằng 3( cm) . Tính thể tích khối
chóp S.ABCD .
ĐS: V = 6 ( cm) .
4
Bài 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và
mp( SAB ) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC .Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN .
3

ĐS: V = a

3.

3
Bài 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a,mặt bên SAD là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy .Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh

SB, BC ,CD .Chứng minh AM vng góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện
CMNP .
18


3

ĐS: V = a

3.
96
Bài 40. Chho hình chóp S.ABC có đáy là D ABC vuông tại B , cạnh bên SA ^ mp( ABC ) .
Biết rằng: SA = AB = BC = a .
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC .
b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mp( SBC ) .
c/ Gọi H là trung điểm của SB . Mặt phẳng ( a ) đi qua AH và song song với BC cắt SC
tại K . Tính thể tích hình chóp S.AHK .
Bài 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy là D ABC vng tại A và AB = a, AC = SA = a 3 .
Hai mặt bên ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với mp( ABC ) .
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mp( SBC ) .
b/ Tìm góc hợp bởi hai mp( SBC ) , mp( ABC ) và góc giữa đường thẳng SB ,
mp( SAC ) .
c/ Gọi M là trung điểm của cạnh SC . Tính thể tích hình chóp S.ABM .
Bài 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâmO . Hai mặt bên
( SAD ) ,( SCD ) cùng vng góc với mp( ABCD ) và SA tạo với mặt phẳng đáy một góc
450 .
a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .
b/ Tính thể tích khối S.OAB và khoảng cách từO đến mp( SAB ) .
Bài 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâmO . Hai mặt bên
( SAD ) ,( SCD ) cùng vng góc với mp( ABCD ) và SD = 2a . Mặt bên ( SAB ) tạo với

mp( ABCD ) một góc 450 .
a/ Tính thể tích hình chóp S.ABCD .
b/ Tính thể tích hình chóp SOCD
.
.
c/ Tính góc hợp bởi SC và ( SBD ) .
d/ Tính khoảng cách từ O đến mp( SAD ) .
e/ GọiG là trọng tâm D SAB . Mặt phẳng ( a ) quaOG và song song với AB cắt
SA, SB tại H , K . Tính thể tích khối chóp S.OHK .
Bài 44. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a , cạnh bên a 2 .
a/ Tính thể tích hình chóp S.ABC .
b/ Mặt phẳng ( P ) qua A, B và trung điểm K của SC chia hình chóp làm 2 phần. Tính tỉ
số thể của 2 phần đó.
Bài 45. Cho hình chóp S.ABC có đáy D ABC đều cạnh 2a , hai mặt bên ( SAB ) và ( SAC ) cùng
vng góc với mặt đáy ( ABC ) , SA = a 2 .
a/ Tính thể tích hình chóp S.ABC .
b/ Gọi E là điểm trên SB và F trên SC sao cho SB = 4BE , SC = 2SF . Mặt phẳng
( a ) qua A, E , F chia hình chóp làm 2 phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 46. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà trung đoạn của nó bằng 6a , cịn góc giữa hai
mặt bên đối diện là 600 . Qua CD dựng mp( a ) vng góc với mp( SAB ) cắt SA, SB
lần lượt tại H , K . Tính thể tích khối chóp SCDHK
.
.
19


Bài 47. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ mp( ABCD ) , SA = 2a .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD . Mặt phẳng ( AHK ) cắt SC tại I .
Tính thể tích khối chóp S.AHIK .
Bài 48. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I ,J lần lượt là trung điểm của

SB và SD . Mặt phẳng ( AIJ ) cắt SC tại L . Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp
S.AIJ L và S.ABCD .
Bài 49. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm
của AB, AD, SC . Chứng minh rằng: mp( MNP ) chia khối chóp S.ABCD thành 2

phần có thể tích bằng nhau.
Bài 50. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD . Một mp( a ) đi qua A, B và trung điểm M của
SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Bài 51. Cho khối chóp tam giác S.ABC . Gọi M trên cạnh SA , điểm N trên cạnh SB sao
cho MA = 2SM và SN = 2NB . Một mp( a ) qua MN và song song với SC chia
khối chóp thành 2 phần. Tìm tỉ số thể tích 2 phần đó.
Bài 52. Cho hình chóp tam giác S.ABC và M là một điểm thuộc miền trong D ABC . Các
đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC lần lượt cắt các mặt
( SBC ) ,( SAC ) ,( SAB ) tại O, P ,Q . Chứng minh rằng:
a/

VM .SBC
VM .ABC

=

MO
.
SA

ỉ
MO MP
MQ ư
÷
÷

+
+
= w là một s khụng i. Tỡm w ?
ỗ
b/ ỗ
ữ
ữ
ỗ
SB
SC ứ
ố SA
Bi 53. Cho đường trịn đường kính AB = 2a nằm trong mặt phẳng mp( a ) và M nằm trên
·
đường tròn đó sao cho MAB
= 300 . Trên đường thẳng vng góc với mp( a ) tại A ,
ta lấy điểm S sao cho SA = SB . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của A
trên SM , SB .
a/ Chứng minh rằng: SB ^ mp( AHK )
b/ Gọi I là giao điểm của HK với mp( a ) . Chứng minh rằng: AI là tiếp tuyến của
đường trong đã cho.
c/ Tính thể tích khối chóp S.AHK .
Bài 54. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ^ mp( ABCD ) . Một
mp( a ) đi qua A A, vng góc với cạnh SC cắt SB, SC , SD lần lượt tại I ,J , K .
a/ Chứng minh rằng: Tứ giác AI J K có hai góc đối diện là góc vng.
b/ Chứng minh rằng: Nếu S di động trên đường thẳng ^ mp( ABCD ) tại A A thì
mp( AIJ K ) luôn đi qua một đường thẳng cố định và các điểm A, B, I ,C ,J , D, K
cùng cách đều 1 điểm cố định 1 khoảng khơng đổi.
c/ Cho góc giữa cạnh SC và mp( SAB ) là  và AB = BC . Tính tỉ số thể tích :
VS.AIJ K
VS.ABCD

.

·
Bài 55. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a , BAD
= 600 . Các mặt bên
tạo với đáy góc α
20