Cực trị KSHS hay và khó

HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Chuyên đề 2.
CỰC TRỊ HÀM SỐ
PHẦN 1. LÝ THUYẾT
A. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
Cho hàm số f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a = 0).
1. Tập xác định : D = R.
2. Đạo hàm : y

= f

(x) = 3ax
2
+ 2bx + c.
3. Điều kiện tồn tại cực trị : Hàm số y = f(x) có cực trị ⇔ y = f(x) có cực đại và cực
tiểu ⇔ f

(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆

y

= b
2
− 3ac > 0.
4. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
Lấy y chia cho y


ta được y = (ax + b)y

+ (mx + n).
Gọi A (x
1
; y
1
) , B (x
2
; y
2
) là tọa độ các điểm cực trị.
Do

y

(x
1
) = 0
y

(x
2
) = 0
nên

y
(x
1
)

= mx
1
+ n
y
(x
2
)
= mx
2
+ n
.
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị y = mx + n.
B. CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Cho hàm số f(x) = ax
4
+ bx
2
+ c (a = 0).
1. Tập xác định : D = R.
2. Đạo hàm : y

= f

(x) = 4ax
3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b).
3. y


= 0 ⇔

x = 0
x
2
=
−b
2a
.
4. Điều kiện tồn tại cực trị :
• Để hàm số có 1 cực trị ⇔ y

= 0 có một nghiệm ⇔ −
b
2a
≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.
• Để hàm số có 3 cực trị ⇔ y

= 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ −
b
2a
> 0 ⇔ ab < 0.
1
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
PHẦN 2. BÀI TẬP
A - HÀM BẬC BA
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
+ (m − 1)x
2

− (2m + 1)x − 2, (m là tham số).
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ x
1
, x
2
thỏa mãn
1. x
2
1
+ x
2
2
= 2.
2. x
3
1
+ x
3
2
= 0.
3. |x
1
− x
2
| =
2
3
.
4. |x
1

− x
2
| ≥
4
3
.
5. x
1
+ 2x
2
=
1
3
.
6. x
2
CĐ
= x
CT
.
7. Chứng minh rằng A = x
1
+ x
2
− x
1
x
2
không phụ thuộc m.
(Hệ thức độc lập giữa x

1
và x
2
đối với m)
8. Hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn
5
3
.
9. Hoành độ điểm cực đại và điểm cực tiểu đều lớn hơn
−1
3
.
10. Hoành độ các điểm cực trị thuộc khoảng

−1
3
;
5
3

.
Bài 2. Cho hàm số y = 2x
3
+ 3(m − 1)x
2
+ 6(m − 2)x − 1, (m là tham số).
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị đồng thời
1. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đi qua điểm I(0; −1)
(Hai điểm cực trị và điểm I thẳng hàng)
2. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng (d) : y = x + 2012.

3. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng (d) : 4x +y +13 = 0.
4. Hai điểm cực trị nằm trên đường thẳng (d) : x + y + 1 = 0.
5. Đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng (d) : y = −
√
3x + 1 một
góc 60
0
.
6. Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d) : x − y −14 = 0.
(Hai điểm cực trị nhận đường thẳng y = x - 14 làm đường trung trực)
7. Hai điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng (d) : y = −9x − 3.
8. Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua điểm I(0; −1).
9. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
10. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cắt hai trục tọa độ Ox tại A, cắt Oy tại B sao
cho OB = OA.
11. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện
tích bằng
2
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Bài 3. Cho hàm số y = −x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
− 1)x − 3m
2
− 1, (m là tham số).
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị và
1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung. (Hoành độ trái dấu)

2. Hai điểm cực trị nằm về cùng một phía đối với trục tung. (Hoành độ cùng dấu)
3. Hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. (Tung độ trái dấu)
4. Hai điểm cực trị nằm về cùng một phía đối với trục hoành. (Tung độ cùng dấu)
5. Hàm số đạt giá trị cực trị tại ít nhất một điểm lớn hơn 1.
6. Gọi A (x
1
; y
1
) , B (x
2
; y
2
) là các điểm cực trị. Tìm m để x
3
1
+ x
3
2
= −14 (y
1
+ y
2
).
7. Tung độ các cực trị thỏa mãn (y
CĐ
− y
CT
)
2
= 8m

4
(3m + 5).
Bài 4. Cho hàm số y = −x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
− 1)x − 3m
2
− 1, (m là tham số).
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị và các điểm cực trị thỏa mãn
1. Cách đều gốc tọa độ O. (Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác cân tại O)
2. Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O.
3. Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 4.
4. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng

18
17
.
5. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số tiếp xúc với đường tròn có phương
trình (C) : (x − 2)
2
+ (y + 1)
2
=
49
65
. (Tiếp tuyến của đường tròn (C))
6. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng

6
√
10
tại A, B mà diện tích tam giác IAB là lớn nhất.
7. Khoảng cách từ điểm I(3; −3) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất.
Bài 5. Cho hàm số y = x
3
− 2mx
2
+ m
2
x − 2, (m là tham số).
1. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 1.
2. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.
Bài 6. Cho hàm số y = 2x
3
− 3(m + 2)x
2
+ 6(5m + 1)x − (4m
3
+ 2), (m là tham số). Tìm m
để hàm số đạt cực tiểu tại x
0
∈ (1; 2].
Bài 7. Cho hàm số y =
1
3
x
3
−mx

2
−x + m + 1, (m là tham số). Chứng minh hàm số luôn có
cực trị. Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất.
Bài 8. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
−4. Hãy tìm các giá trị của a để hai điểm cực trị của hàm số
1. Nằm về hai phía của đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x − 4ay + a
2
− 1 = 0.
2. Nằm về hai phía của đường thẳng (∆) : 3x − 4y + a = 0.
Bài 9. Cho hàm số y =
2
3
x
3
+ (m + 1) x
2
+ (m
2
+ 4m + 3) x, (m là tham số). Gọi x
1
, x
2
là

hoành độ các điểm cực trị. Tìm Max của A = |x
1
x
2
− 2 (x
1
+ x
2
)|.
3
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Bài 10. Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 3(m
2
− 1)x − m
3
+ m, (m là tham số). Tìm m để hàm
số có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O
bằng
√
2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ.
B - HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Bài 1. Cho hàm số y = mx
4
+ (m
2
− 9) x

2
+ 10, (m là tham số).
1. Tìm m để hàm số có một điểm cực trị.
2. Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
3. Tìm m để hàm số có cực đại mà không có cực tểu.
4. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị.
Bài 2. Cho hàm số y = x
4
− 2 (1 − m
2
) x
2
+ m + 1, (m là tham số).
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị và
1. Ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều.
2. Ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
3. Ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120
0
.
4. Ba điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác có diện tích bằng
9
√
3
32
.
5. Ba điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác có diện tích lớn nhất.
6. Các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại
tiếp bằng 1.
7. Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu lớn nhất.
8. Các điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ. (Hai điểm cực tiểu nằm trên Ox)

9. Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc
tọa độ.
Bài 3. Cho hàm số y = x
4
+ 2mx
2
+ m
2
+ m, (m là tham số). Tìm m để hàm số có ba điểm
cực trị và hai điểm cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8.
Bài 4. Cho hàm số y = x
4
− 2mx
2
+ 2, (m là tham số). Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị
đồng thời
1. Một điểm cực đại và một điểm cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác có
diện tích bằng 2.
2. Các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua
điểm M

3
5
;
9
5

.
3. Các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có trọng tâm là O. (câu hỏi
tương tự cho trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp)

——— HẾT ———
4