Các chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn toán 2015 (HAY)

TÀI LIỆU ƠN TẬP MƠN TỐN KÌ THI QUỐC GIA
THPT NĂM 2015
Chuyên đề 1
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
(Thời lượng: 25%)
1. Một số kiến thức bổ trợ (2%)
a) Tính đạo hàm
Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác
định. Ta có:

( u + v ) '= u '+ v '
( u − v ) ' = u '− v '
( u.v ) ' = u '. v '

( 1)
( 2)
( 3)

 u  u '.v − u.v '
( v = v( x ) ≠ 0 )
 ÷' =
v2
v

( 4)

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = x3 + 3x 2 − 4
4

2

c) y = x − 2 x − 3
e) y =

−x + 2
x +1

b) y = − x 3 + 3x 2 − 4 x + 2
x4
3
d ) y = − − x2 +
2
2
x−2
g) y =
2x + 1

Giải
a) y ' = 3x 2 + 6 x

b) y ' = −3x 2 + 6 x − 4

c) y ' = 4 x 3 − 4 x
−3
e) y ' =
2
( x + 1)

d ) y ' = −2 x 3 − 2 x
5

g) y ' =
2
( 2 x + 1)

b. Xét dấu y'
1) Hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )
- Khi đó y' có dạng: y' = f(x) = Ax2 + Bx + C ( A ≠ 0 ) , ∆ = B 2 − 4 AC
+ Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số A, ∀x ∈ ¡
1


+ Nếu ∆ = 0 thì f(x) ln cùng dấu với hệ số A, x ≠

−B
2A

+ Nếu ∆ > 0 thì:
 x < x1
 f(x) ln cùng dấu với hệ số a khi 
 x > x2
 f(x) luôn trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2
Trong đó x1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của y'
Ví dụ: Xét dấu các biểu thức sau:
a) f ( x ) = 3x 2 + 6 x

b) f ( x ) = −3x 2 + 6 x − 4

Giải
 x = −2
2

a) Ta có: f ( x ) = 3x + 6x = 0 ⇔ 3x ( x + 2 ) = 0 ⇔ 
x = 0
Bảng xét dấu:
−∞
x
-2
0
f(x)
+
0
0
+
2
b) Ta có: ∆ = −12 < 0 nên f ( x ) = −3x + 6 x − 4 < 0, ∀x ∈ ¡

+∞

2) Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 )
- Khi đó y' có dạng: y ' = f ( x ) = Ax3 + Bx ( A ≠ 0 ) ( *) . Trong khoảng đầu tiên dấu
của (*) trái dấu với dấu của hệ số A, sau đó dùng tính đan dấu để xét.
Ví dụ: Xét dấu các biểu thức sau:
a) f ( x ) = 4x 3 − 4 x
b) f ( x ) = −2 x 3 − 2 x
Giải:
x =1

3
2
a) Ta có: f ( x ) = 4 x - 4 x = 0 ⇔ 4 x x − 1 = 0 ⇔  x = -1
x = 0



(

)

Bảng xét dấu:
x
f(x)

−∞
-

-1
0

+

0
0

-

1
0

+∞
+
2

(

)

+

0
0

3
2
b) Ta có: f ( x ) = −2 x − 2 x = 0 ⇔ −2x x + 1 = 0 ⇔ x = 0

Bảng xét dấu:

3. Hàm số y =

ax + b
cx + d

x
f(x)

−∞

+∞
-

( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 )

ad − bc

- Khí đó: y ' =

( cx + d ) 2

+ Nếu ad − bc > 0 thì y ' > 0
+ Nếu ad − bc < 0 thì y ' < 0
Ví dụ: Xét dấu y' của các hàm số sau:
a) y =

−x + 2
x +1

b) y =

x−2
2x + 1

Giải
a) Ta có: y ' =

−3

nên y ' < 0, ∀x ≠ −1

( x + 1) 2

b) Ta có : y ' =

5

( 2 x + 1)

2

nên y ' > 0, ∀x ≠ −

1
2

c) BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 2 + 3x − x 3

b) y = x 3 + 4x 2 + 4x

c) y = x 3 + x 2 + 9x

d ) y = −2 x 3 + 5

e) y = − x 4 + 8x 2 − 1
1
3
h) y = x 4 + x 2 −
2
2
x+3
j) y =

x −1
−x + 2
l) y =
2x + 1

g ) y = x 4 − 2x 2 + 2
i ) y = −2 x 2 − x 4 + 3
k) y =

1 − 2x
2x − 4

Bài 2: Xét dấu các biểu thức sau

3


a) f ( x ) = 3 − 3x 2

b) f ( x ) = 3x 2 + 8x + 4

c) f ( x ) = 3x 2 + 2x + 9

d ) f ( x ) = −6 x 2

e) f ( x ) = −4 x 3 + 16x

g ) f ( x ) = 4 x 3 − 4x

h) f ( x ) = 2 x 3 + 2x

i ) f ( x ) = −4 x − 4x 3

Bài 3: Xét dấu y' của các hàm số sau:
x+3
x −1
1 − 2x
b) y =
2x − 4
−x + 2
c) y =
2x + 1
a) y =

2. Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề
Chủ đề 1: Khảo sát hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d và các bài tốn liên quan
(7%)
A) Kiến thức cần nhớ:
• Sơ đồ khảo sát hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d
• Dạng đồ thị của hàm số bậc 3
a>0

a<0

Phương trình
y’ = 0
có hai nghiệm
phân biệt

Phương trình

y’ = 0
có nghiệm kép
Phương trình
4


y’ = 0
vơ nghiệm

* CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN
1) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Giả sử (C1) là đồ thị của hàm số y = f(x) và (C2) là đồ thị hàm số y = g(x).
Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao điểm của (C1) và (C2)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm
M0(x0;f(x0))
B1. Tính y’ = f’(x), suy ra f’(x0)
B2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0;f(x0)) là y = f’(x0)(x - x0) + y0 (*)
3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi biết trước
hệ số góc k
Biết k = y’(x0) => x0, y0 thay vào (*)
(Hai đường thẳng vng góc thì k’.k = -1, hai đường thẳng song song thì hệ số
góc bằng nhau)
B. Ví dụ ơn tập lý thuyết
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của
3
2
phương trình x − 6 x + 9 x = m

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song
song với đường thẳng y = 24x + 1
Giải
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)
5


* TXĐ: D = R
* Sự biến thiên
• Chiều biến thiên
y ' = 3x 2 − 12 x + 9
x =1
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 12 x + 9 = 0 ⇔ 
x = 3

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) và ( 3; + ∞ )
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)
• Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ= y(1)= 4

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, yCT= y(3)= 0
• Giới hạn
lim y = lim ( x3 − 6 x 2 + 9 x ) = −∞

x →−∞

x →−∞

x →+∞

x →+∞

lim y = lim ( x3 − 6 x 2 + 9 x ) = +∞

• BBT

* Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;0) và cắt trục hoành tại điểm (0;0),
(3;0)
Đồ thị nhận điểm I= (2; 2) làm tâm đói xứng
b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương
3
2
trình x − 6 x + 9 x = m (*)
Ta có số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số (1) với
đường thẳng y = m. Dựa vào đồ thị hàm số (1) ta có:
m > 4

Nếu 
thì phương trình (*) có một nghiệm
m < 0
m = 4

Nếu 
thì phương trình (*) có hai nghiệm
m = 0
6


Nếu 0< m< 4 thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2; 2)

Ta có: y' = 3x2 - 12x + 9, y'(2) =3
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là:
y = -3( x- 2) + 2 hay y = -3 x + 8
d) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x + 1 nên k = y’(x0) = 24
 x0 = 5
 x0 = −1

2
2
<=> 3x0 − 12 x0 + 9 = 24 ⇔ 3 x − 12 x − 15 = 0 ⇔ 

Với x0 = 5 => y0 = 20 => PT tiếp tuyến là: y = 24(x – 5) + 20 <=> y = 24x 100
Với x0 =-1 => y0 = - 16 => PT tiếp tuyến là: y = 24(x +1) -16 <=> y = 24x + 8
Ví dụ 2: Cho hàm số y = -x3+3x-2 (2)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (2)
b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cực đại của hàm số.
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x3-3x+2+m=0
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc k =-9
Giải
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (2)
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên
- Chiều biến thiên : y' = -3x2+3 = -3(x2-1)
 x = −1
y′ = 0 ⇔ 
x = 1

Hàm số dồng biến trên khoảng (-1; 1)
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; − 1) và ( 1; + ∞ )
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1 => yCĐ = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 => yCT = -4
7


3
3
- Giới hạn : xlim (− x + 3 x − 2) = +∞ ; xlim ( − x + 3x − 2) = −∞
→+∞
→−∞

- Bảng biến thiên.
x

−∞

y/

-1
+

+∞

1

0

-

0

+∞

+

0

y
-∞

-4
* Đồ thị
Đồ thị cắt truc tung tại C(0;-2)
Đồ thị cắt trục hoành tại A(1;0) và B(-2;0
Đồ thị nhận điểm I= (0; -2) làm tâm đối xứng

b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cực đại
Điểm cực đại (1;0). Ta có: y’(1) = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 0
c) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm PT:
x3- 3x + 2 + m = 0 ⇔ -x3+3x-2 = m (*)
Số nghiệm của PT (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m
Nếu: -4< m <0 Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
 m = −4

Nếu : 
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
m = 0
 m < −4

Nếu: 

Phương trình (*) có 1 nghiệm
m > 0
 x0 = −2
 x0 = 2

d) Ta c ó y’(x0) = - 9<=> −3x0 + 3 = −9 ⇔ 
2

Với x0 = 2 => y0 = - 4 => PT tiếp tuyến là: y = -9(x-2) – 4 <=> y = -9x + 14
8


Với x0 = - 2 => y0 = 0 => PT tiếp tuyến là: y = -9(x +2) <=> y = -9x - 18
3
2
Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số y = x + ( m − 1) x + ( m − 4 ) x + 9 đồng biến với mọi x ∈ R
Giải
3
2
/
2
2
Xét HS : y = x + ( m − 1) x + ( m − 4 ) x + 9 . Ta có y = 3x + 2 ( m − 1) x + m − 4
Hàm số luôn đồng biến mọi x ∈ R khi và chỉ khi : y / ≥ 0, ∀x ∈ R
⇔ f ( x ) = 3x 2 + 2 ( m − 1) x + m 2 − 4 ≥ 0, ∀x ∈ R. (1)

Do 3 > 0 nên (1) xảy ra khi và chỉ khi ∆ / ≤ 0 hay : ( m − 1) − 3 ( m 2 − 4 ) ≤ 0
2



−1 − 27
m ≤
2
⇔ m 2 − 2m + 1 − 3m2 + 12m ≤ 0 ⇔ −2m 2 − 2m + 13 ≤ 0 ⇔ 2m 2 + 2m − 13 ≥ 0 ⇔ 

−1 + 27
m ≥

2

Ví dụ 4 : Tìm m để hàm số sau có cực đại và cực tiểu :
1
y = x 3 + mx 2 + ( m + 6 ) x − ( 2m + 1)
3

Giải :
/
2
Ta có y = x + 2mx + ( m + 6 )
/
2
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi PT : y = 0 ⇔ x + 2mx + ( m + 6 ) = 0 có hai
nghiệm phân biệt.
 m < −2
m > 3

/
2
Điều này xảy ra khi ∆ > 0 ⇔ m − m − 6 > 0 ⇔ 

C. Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương
trình:
x3 - 3x2 + m =0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng 1
Bài tập 2 : Tìm m để hàm số y =
x∈R

m −1 3
x + mx 2 + ( 3m − 2 ) x nghịch biến với mọi
3

Giải :
/
2
Ta có y = ( m − 1) x + 2mx + 3m − 2
Hàm số luôn nghịch biến mọi x ∈ R khi và chỉ khi : y / ≤ 0, ∀x ∈ R
⇔ f ( x ) = ( m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2 ≤ 0, ∀x ∈ R (1)
1
, không đúng ∀x ∈ R
2
m − 1 < 0
m − 1 < 0

⇔ 2
+) Nếu m ≠ 1 , khi đó (1) dúng khi và chỉ khi :  /
 m − ( m − 1) ( 3m − 2 ) ≤ 0
∆ ≤ 0



+) Nếu m =1, khi đó (1) trở thành 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ −

9


m < 1

m < 1
1

1
⇔
⇔ m ≤ ⇔ m ≤
2

2
2
 − 2 m + 5m − 2 ≤ 0

m ≥ 2

1
Vậy m ≤ là giá trị cần tìm.
2
3
2
Bài tập 3 : Tìm m để hàm số y = ( m + 2 ) x + 3x + mx − 5 có cực đại và cực tiểu.

Tương tự VD1
ĐS : m ∈ ( −3; −2 ) ∪ ( −2;1)
D. Bài tập về nhà
Bài tập 1 : Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 -1 (2)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (2)
b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của PT : 2 x3 + 3x 2 − m = 0
c) Viết PTTT của đồ thị (C) biết TT đó vng góc với đường thẳng : y = 1
x+3
12

3
2
Bài tập 2: Cho hàm số y = − x + 3x ( 1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của
x 3 − 3x 2 + m = 0
phương trình
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng 1
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc k = 2
3
2
Bài tập 3: Cho hàm số y = 2 x + 3x − 1 ( 2 )

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (2)
b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (2) biện luận theo m số nghiệm của
2 x3 + 3x 2 − 1 + m = 0
phương trình
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x = 0
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vng

góc với

1
2

đường thẳng y = - x + 3
1
3

Bài tập 4 : Tìm m để hàm số y = x3 + ( m + 3) x 2 + 4 ( m + 3) x + m 2 − m đạt cực trị tại
10


x1 , x2 thỏa mãn hệ thức : −1 < x1 < x2

Tương tự VD2
7
2

ĐS : − < m < −3
E. Một số đề kiểm tra

1
4

3
2

Đề 1: Cho hàm số y = x3 − x 2 + 5 (Đề thi TN THPT năm 2010)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm các giá trị của m để phương trình x 3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực
phân biệt
Đề 2: Cho hàm số y = x3 – 3x – 1 (Đề TN THPT 2013)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến đó
bằng 9.
Đề 3: Cho hàm số y = x3 – 3x -2 (Đề ĐH khối D 2014)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc
bằng 9.
Đề 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3mx – 1 (1) (Đề ĐH khối A,A1 2013)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
Chủ đề 2: Khảo sát hàm số y = ax4 + bx2 + c và các bài toán liên quan
(6%)
A. Kiến thức cần nhớ
Khảo sát hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)
* TXĐ: D = R
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: Tính y’= 4.a.x3 + 2.b.x = 2.x(2.ax 2 + b)
Xét dấu y’ ⇒ Chiều biến thiên.
- Cực trị
lim y = (Dấu của a) ∞
- Giới hạn:
x→±∞
11


- Bảng biến thiên.
* Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm ( x0 ; y0 )

Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
Bảng tóm tắt dạng đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)
a>0

a<0

y’= 0 có 1
nghiệm
(a.b>0)

y’=0 có 3
nghiệm
(a.b<0)

B. Ví dụ ơn tập lý thuyết
4
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x − 8 x + 10

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực đại của đồ thị (C)
c) Dựa vào đồ thị (C) hãy biên luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:
x 4 − 8 x 2 + 10 − m = 0 (*)
Giải
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
2
- Chiều biến thiên: y’ = 4x3 -16x = 4 x( x − 4)

 x=0

y’ = 0 ⇔  x = −2
 x=2

y’ > 0 với mọi x ∈ (−2;0) ∪ (2; +∞) , suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (
-2 ; 0) và ( 2 ; +∞)
12


y’ < 0 với mọi x ∈ ( −∞; −2) ∪ (0;2) , suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( -∞; -2) và ( 0 ; 2).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 ,yCĐ = 10
Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x = ±2 ; yCT = -6
- Giới hạn: xlim y = +¥ ; xlim y = + ¥ . Hàm s khụng cú tim cn
đ- Ơ
đ+Ơ
- Bng bin thiờn:
x

-

y

-2
-

0

0
+

+
y

0

2
-

0

10
-6

+
+
+

-6

* thị (C ) :
Đồ thị (C) cắt trục Oy tại điểm (0; 10), cắt trục Ox tại 4 điểm (± 4 − 6 ;0) )
và (± 4 + 6 ;0)

Đồ thị (C) nhận trục Oy là trục đối xứng
b) Theo kết quả của ý a thì điểm cực đại (0;10)
Ta có f ' (0) = 0 .suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực đại là:
y=10

c) Ta có (*) ⇔ x 4 − 8 x 2 + 10 = m
Do đo, số nghiệm của phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng y = m. Nên dựa vào đồ thị (C), ta có:
+) Nếu m < -6 thì phương trình (*) vơ nghiệm.
13


+) Nêu m =-6 thì phương trình (*) có hai nghiệm kép.
+) Nếu -6 < m < 10 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biết
+) Nếu m = 10 thì phương trình (*) có 3 nghiệm (1 kép và 2 đơn)
+) Nếu m > 10 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 2: Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 3 (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Tìm m để phương trình x4 - 2x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ x = 2.
Giải
a) Khảo sát
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y’ = - 4x3 +4x = -4x(x2 -1)
 x=0

y’ = 0 ⇔  x = −1
 x =1

y’ > 0 với mọi x ∈ (−∞; −1) ∪ (0;1) , suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (∞ ; -1) và ( 0 ; 1)
y’ < 0 với mọi x ∈ ( −1;0) ∪ (1; +∞) , suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( - 1 ; 0) và ( 1 ; +∞)
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm x = - 1 và x =1; yCĐ = 4

Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x = 0 ; yCT = 3
- Giới hạn:
lim y = - Ơ ; lim y = - Ơ
xđ+Ơ

xđ- Ơ

- Bng biến thiên:
14


x

-∞

y’
y

-1
+

-∞

0

0
-

1
0

+

0

4

+∞
-

4
3

-∞

* Đồ thị (C ) :
Cắt Oy tại điểm (0; 3), cắt Ox tại 2 điểm ( - 3 ; 0) và (
y
Nhận Oy là trục đối xứng

3 ; 0)

x

O

b) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
x4 - 2x2 + m = 0⇔ - x4 + 2x2 + 3 = m + 3 . Do đó, số nghiệm của phương trình
đã cho bằng số điểm chung của đồ thị (C) với đường thẳng y = m +3
Căn cứ vào đồ thị để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì

3 < m + 3 < 4 vậy 0 < m < 1
c) Tại x = 2 => y = -5; Ta có f ' (2) = −24
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là y + 5 = -24(x – 2) hay y = -24x + 43.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x4 – 8mx2 – 3m.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b) Tìm các giá trị m để hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ )
Giải
a) Học sinh tự làm
b) y ' = 4 x3 − 16mx = 4 x( x 2 − 4m) .
Để hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) thì y’ ≥ 0 ∀x > 2
⇔ x 2 − 4m ≥ 0, ∀x > 2 ⇔ x 2 ≥ 4m, ∀x > 2

15


Xét hàm số f(x) = x2; x ∈ [ 2; +∞ ) có f ' ( x ) = 2 x, f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0
x

−∞

f’(x)
f(x)

0
-

0

+∞

2
+

+

+∞

+∞

4

Dựa vào bảng biến thiên suy ra
f ( x ) ≥ 4m ∀x > 2 ⇔ min f ( x ) ≥ 4m ⇔ f ( 2 ) ≥ 4m ⇔ 4 ≥ 4m ⇔ m ≤ 1
[ 2;+∞ )

Vậy với m ≤ 1 thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ )
C. Bài tập tương tự tại lớp
Bài 1: Cho hàm số: y = f(x) = x4 – 2x2 (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 + m = 0.
c) Viết PTTT của (C). Biết TT vng góc với đường thẳng (d): y = −

1
x+2
24

Giải:
a) TXĐ: D = R
x = 0

y’ = 4x3 - 4x, y’ = 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔  x = ±1

Trên (-1;0) và (1;+∞), y’ > 0 => HS ĐB.
Trên (-∞;-1) và (0;1), y’ < 0 => HS NB.
Hàm số đạt CĐ tại x = 0, yCĐ = 0. Hàm số đạt CT tại x = ± 1, yCT = -1.
Giới hạn: xlim y = +∞, xlim y = +∞
→+∞
→−∞
Bảng biến thiên
x -∞
-1
0
1
+∞
y’
0
+
0
0
+
+∞
0
+∞
y
-1
-y
1
Đồ thị : Cho y= 0 ⇒ x= 0, x= ± 2

.

− 2 -1 0

.

-1

.

1

2

x

16


a) PT ⇔ x4 – 2x2 = -m
Với – m > 0 ⇔ m < 0 thì PT có 2 nghiệm.
Với – m = 0 ⇔ m = 0 thì PT có 3 nghiệm.
Với -1<– m < 0 ⇔ 0 < m < 1 thì PT có 4 nghiệm.
Với – m = -1 ⇔ m = 1 thì PT có 2 nghiệm.
Với – m < -1 ⇔ m > 1 thì PT vơ nghiệm.
b) Ta có tt vng góc với đường thẳng d : y = −

1
x+2
24

 1 
2
÷ = −1 ⇔ f '( x0 ) = 24 ⇔ 4 x0 − 4 x0 = 24 ⇔ x0 = 2 ⇒ y0 = 8
24 


Nên f’(x0).  −

Vậy PTtt: y = 24x – 40
Bài 2: Cho hàm số: y = x4 + (m + 1)x2 - 2m - 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm trên (C ) có hồnh độ bằng - 3
.
c) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị.
Giải:
a) Với m = 1 ta có hàm số: y = x4 + 2x2 - 3
 Tập xác định: D = ¡
 Đạo hàm: y¢= 4x3 + 4x
 Cho y¢= 0 Û 4x3 + 4x = 0 x = 0
lim
Gii hn: xđ- Ơ y = - Ơ
Bng bin thiờn
x
yÂ

+Ơ

;

lim y = +Ơ

xđ+Ơ

+Ơ

0
0



+

+Ơ

y
3
Hm số ĐB trên các khoảng (0; +¥ ) , NB trên khoảng (- ¥ ;0)
Hàm số đạt cực tiểu yCT = –3 tại xCT = 0 .
 Giao điểm với trục hoành:
é2 =1
x
ê
Û x2 = 1 Û x = ±1
Cho y = 0 Û x + 3x - 3 = 0 Û ê 2
x =- 3
ê
ë
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = - 3
4

 Bảng giá trị:

2

x
y

–1
0

0
–3

1
0
17


 Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên đây
b) x0 = - 2 ị y0 = 5

f Âx0) = f ¢(
(

2) = 4.(-

2)3 + 4.(-

2) = - 12 2

Vậy, pttt cần tìm là: y - 5 = - 12 2(x + 2) Û y = - 12 2x - 19 .
c) y = x4 + (m + 1)x2 - 2m - 1 (1)
 Tập xác định D = ¡
 y¢= 4x3 + 2(m + 1)x (đây là một đa thức bậc ba)
é

x=0
3
2
 y¢= 0 Û 4x + 2(m + 1)x = 0 Û 2x(2x + m + 1) = 0 Û ê 2
ê

2
êx = - m - 1 (*)
ë

 Hàm số (1) có 3 điểm cực trị Û (*) có 2 nghiệm pbiệt khác 0
Û - m - 1> 0 Û m < - 1

 Vậy, với m < - 1 thì hàm số (1) có 3 điểm cực trị.
Bài 3: Cho hàm số y = x4 + 2mx2 – m.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1)
Hướng dẫn :
a) Học sinh tự làm
b) Đáp số: m ≥ 1 .
D. Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà:
Bài 1: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 3m − 2
a) Khảo sát hàm số khi m = 1 và vẽ đồ thị (C)
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt?

GV hướng dẫn:
a) Khi m = 1 ta có HS: y = x 4 − 2 x 2 + 1
2
3

b) Với m > 2; < m < 1 thì đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt.
Bài 2: Cho hàm số y = – x4 + 2mx2 – 2m + 1 có đồ thị là (Cm).
a/ Khảo sát hàm số khi m = 5 và vẽ đồ thị (C)
b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 0.
GV hướng dẫn :
18


a) Khi m = 5 ta có HS : y = − x 4 + 10 x 2 − 9
b)Giải PT − x 4 + 10 x 2 − 9 = 0 <=> x = ±1 hoặc x = ±3 => Có 4 T Tuyến
Bài 3: Cho hàm số y = mx4+(m2-9)x2+10 (Cm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1.
b)Viết PT tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với đường thẳng y =19.
GV hướng dẫn :
a) khi m = 1 ta có HS y = x 4 − 8 x 2 + 10
b)PT hoành độ giao điểm : x 4 − 8 x 2 + 10 = 19 <=> x 4 − 8 x 2 − 9 = 0 <=> x = ±3
=> Có hai tiếp tuyến.
E. Một số đề kiểm tra.
Đề 1.

Cho hàm số

y = a + bx 2 −

x4

4

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi a = 1 và b = 2.
2) Tìm tất cả các giá trị của a, b để hàm số (1) đạt cực trị bằng 5 khi x = 2.
Đề 2: Cho hàm số

y=

1 4
x − 2x 2
4

(Đề thi TN THPT năm 2012)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x0, biết f ''( x0 ) = −1
Đề 3: Cho hàm số y = -x4 – x2 + 6 (Đề thi ĐH khối D 2010)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vng góc với
1
đường thẳng y = 6 x − 1 .
Đề 4: Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m2 (Đề ĐH khối A,A1 năm 2012)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0
b) Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác
vuông.
Đề 5: Cho hàm số y = 2x4 - 4x2 (1) (Đề ĐH khối B 2009)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2

2
b) Với giá trị nào của m, phương trình x x − 2 = m có đúng 6 nghiệm thực phân
biệt.

19


Chủ đề 3: Hàm số phân thức y =

ax + b
cx + d

(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) (6%)

A. Kiến thức cần nhớ:
1) Đạo hàm
ad − bc

'
a)Nếu dạy học sinh tính y’ theo cơng thức : y = (cx + d )2

Giáo viên hướng dẫn học sinh xác định hệ số a,b,c,d
VD : 1) y =

x −3
2x + 1

2) y =

1.1 − (−3).2

7

'
'
a= 1, b =-3, c = 2 , d = 1=> y = (2 x + 1) 2 = y = (2 x + 1) 2

1 − 2x
x+2

(−2).2 − 1.1

−5

'
'
a= -2, b =1, c = 1 , d = 2=> y = ( x + 2)2 = y = ( x + 2) 2

Học sinh tự làm xác định hệ số a,b,c,d
1) y =

3 − 2x
1− x

2) y =

4x + 2
x+3
u
v

b) Nếu dạy học sinh tính y’ theo công thức : y ' = ( )' thì giáo viên yêu cầu
u
u ' v − v 'u
y ' = ( )' =
học sinh ôn lại công thức
v
v2

VD :
1) y =

x −3
=>
2x + 1

y '= (
=

2) y =

x − 3 ' ( x − 3)' (2 x + 1) − (2 x + 1) ' ( x − 3)
) =
2x +1
(2 x + 1) 2

1(2 x + 1) − 2( x − 3) 2 x + 1 − 2 x + 6
7
=
=

2
2
(2 x + 1)
(2 x + 1)
(2 x + 1) 2

1 − 2x
1 − 2 x ' (1 − 2 x)' ( x + 2) − ( x + 2) ' (1 − 2 x)
y' = (
) =
=>
x+2
( x + 2) 2
x+2
=

−2( x + 2) − 1(1 − 2 x) −2 x − 4 − 1 + 2 x
−5
=
=
2
2
( x + 2)
( x + 2)
( x + 2) 2

2. Tiệm cận
Hàm phân thức y =

ax + b

....(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
cx + d
20


 d
+) Tập xác định: D = R \ − 
 c

'
+) Đạo hàm : y =

ad − bc
(cx + d ) 2

(Lưu ý : dấu y’ phụ thuộc vào dấu của ad - bc)
+) Hàm số khơng có cực trị
+) Giới hạn, tiệm cận:
lim y = x→+∞ y =
lim
x →−∞

a
; suy ra y = a/c là tiệm cận ngang
c

lim y = −∞; lim y = +∞
d
Nếu y’ >0 trên D: x→( − d )
; suy ra x = -d/c là tiệm cận đứng

x →( − )
+

−

c

c

lim y = +∞; lim y = −∞
d
Nếu y’ <0 trên D: x→( − d )
; suy ra x = -d/c là tiệm cận đứng
x →( − )
+

−

c

c

+) Bảng biến thiên:
TH1: y’ > 0 trên D
x

−∞

y’

−

d
c

+∞

+

+
+∞

y

a/c

−∞

a/c
TH2: y’ < 0 trên D
x

−∞

y’
y

−

d

c

+∞

-

+∞

a/c

−∞

a/c

- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục ox:
b
Cho y = 0 ⇔ ax + b = 0 ⇔ x = −
a
- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục oy:
21


b
d
- Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận:
I(-d/c ; a/c)
ax + b
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
3. Dạng đồ thị của hàm số y =
cx + d

Cho x = 0 ⇔ y =

B, Ví dụ ơn lại lý thuyết
Ví dụ 1 : Cho hàm số y =

2x + 1
, đồ thị (C)
x +1

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
Giải 1.Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}
2. Sự biến thiên:

2( x + 1) − (2 x + 1)
1
=
> 0, x ∈ D
2
( x + 1)
( x + 1) 2
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞)
b. Cực trị: Hàm số khơng có cực trị.
c. Giới hạn:
lim y = lim y = 2 , suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang
xđ- Ơ
xđ+Ơ
lim+ y = -Ơ ; lim- y = +Ơ , suy ra đường thẳng x = -1 là tcận đứng.
a. Chiều biến thiên: y’ =

x®- 1

x®- 1

d. Bảng biến thiên:
−∞
x
y’

+∞

−1
+

+
+∞

2

y
2

−∞

Đồ thị:
22


Cho x = 0 thì y = 1, suy ra đồ thị (C) cắt trục Oy tại điểm (0;1)
Cho y = 0 thì x = -1/2, suy ra đồ thị (C) cắt trục Ox tại điểm (-1/2;0)

Ví dụ 2: Cho hàm số y =

3x + 1
x −1

(C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
-4.
e) Tìm m để đường thẳng ∆: y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho độ dài AB ngắn nhất.
Giải
a)
* TXĐ: D = R \ { 1}
* Sự biến thiên
−4

- Chiều biến thiên: y’ = x − 1 2 < 0 , ∀x ≠ 1
(
)
Hàm số NB trên khoảng (-∞ ; 1) và (1 ; +∞)
- Hàm số khơng có cực trị.
- Giới hạn và tiệm cận:
lim y = 3 , lim y = 3 , Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 3
x →+∞
x →−∞
lim y = +∞, lim y = −∞ , Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1

x →1−

x →1+

- BBT:

x -∞
y'
3

y

1

+∞

-

+∞
-∞

* Đồ thị: đồ thị đi qua điểm (0;1) và (-1; 1)

3

.
-1

1
0 1

-1

.

x
23


b) Ta có x0 = 2 ⇒ y0 = 7 và y'(x0) = y'(2) = - 4
Vậy phương trình tiếp tuyến: y = - 4x + 15
c) Ta có y0 = 1, x0 = -1, y'(x0) = -1.
Phương trình tiếp tuyến: y = - x
d) Gọi M(x0; y0) là hoành độ tiếp điểm
−4

Theo đầu bài ra ta có y'(x0) = - 4 ⇔ x − 1 2 = −4 , với x0 ≠ 1
( 0 )
x = 0

0
⇔ (x0 – 1)2 = 1 ⇔  x = 2
 0
Với x 0 = 0 ⇒ y0 = -1 và y'(x0) = y'(2) = - 4
Vậy phương trình tiếp tuyến: y = - 4x – 1
Với x0 = 2 ⇒ y0 = 7 và y'(x0) = y'(2) = - 4
Vậy phương trình tiếp tuyến: y = - 4x + 15
e) Phương trình hoành độ giao điểm

3x + 1
= x + m ⇔ x2 + (m – 4)x – (m + 1) = 0, ∀ x ≠ 1 (*)

x −1

Để đường thẳng ∆ cắt đồ thi (C) tại 2 điểm A, B thì PT (*) phải có 2 nghiệm
( m − 4 ) 2 + 4 ( 1 + m ) > 0

phân biệt khác 1. Tức là 
⇔ (m – 2)2 + 16 > 0, luôn đúng ∀
1 + m − 4 − m −1 ≠ 0



m.
 x A + xB = 4 − m
 x A . xB = − m − 1

Do xA và xB là nghiệm của PT (*). Theo định lý vi ét có 
Do A, B ∈ ∆ ⇒ A(xA; xA+m) , B(xB; xB+m)
Ta có AB = 2 ( xB − x A ) = 2 ( x A + xB ) − 4 xA .xB 


2

2

= 2 ( m − 2 ) + 16 ≥ 4 2
Vậy minAB = 4 2 Khi m = 2
− 2x − 4
Ví dụ 3: Cho hàm số: y =
(C)
x +1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng y = 2x + 2014.
2

24


c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vng góc với
đường thẳng y = - 2x + 15.
d) Tìm m để đường thẳng ∆: y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Giải
a) * Tập xác định: D = R \ { − 1}
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y ' =

2
> 0 ∀x ≠ − 1
( x +1) 2

⇒ Hàm số đồng biến trên D

- Hàm số khơng có cực trị.
- Giới hạn và tiệm cận:
lim y = −2 và lim y = −2 ⇒ đường thẳng y = -2 là đường tiệm cận ngang
x → +∞
x → −∞
của đồ thị HS.
lim y = +∞ vaø limy = −∞ ⇒ đường thẳng x = -1 là đường tiệm cận đứng

x → ( −1)−
x → ( -1)+
của đồ thị HS.
- BBT:
x
y’

-∞

+∞

−1

+

+

+∞

-2

y
-∞

-2
* Đồ thị:
( Hướng dẫn học sinh vẽ đồ thị.

- Vẽ tiệm cận đứng: x = -1 và tiệm cận ngang: y = -2
- Giao với trục tung:

Cho x=0 ⇒ y=-4
- Giao với trục hồnh:
Cho y = 0 giải phương
trình:
− 2x − 4
=0 ⇒ x=-2
x +1
- bảng giá trị:
x 1
2
y -3
-8/3
Vẽ nhánh bên phải đường
tiệm cận đứng. nhánh còn
lại lấy đối xứng qua tâm
I(1;-2)

y
2

1

x
-4

.
-3

-2

-1

O

11

22

3

-1

-2

I

-8/3
-3

.

-4

-5

25

4