Chuyên đề Hệ tọa độ Oxy – Trần Đình Sỹ (có lời giải)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (319.55 KB, 27 trang )
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
PHÂN LOẠI BÀI TOÁN : ĐƯỜNG -ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đối tượng đã ngiên cứu là : Điểm - tam giác , hình bình hành - hình
vuông , hình chữ nhật , hình thoi , hình thang và hình tròn .
Với đề thi đại học gần đây , Bộ ra đề tương đối tổng hợp . Các em cần phải nắm vững những kiến
thức về các hình nói trên thì mới giải ngắn gọn được .
Trong bài giảng này , tôi hệ thống theo các dạng : Tam giác - Hình vuông - Hình thoi - Hình chữ
nhật . Mỗi một dạng tôi trình bày một số bài để các em tham khảo , một số bài hướng dẫn trên lớp
và một số bài tập tương tự để các em tự luyện .
I. VỀ TAM GIÁC
A. VỀ KIẾN THỨC
1. Về véc tơ :
- Cần phải biết được khái niệm hai véc tơ bằng nhau : Tọa độ tương ứng bằng nhau
- Cách viết tọa độ của một véc tơ : Tọa độ ngọn trừ cho tạo độ gốc
- Hai véc tơ song song nhau : tỷ số hai tọa độ bằng nhau
2. Về diện tích :
Chủ yếu sử dụng hai công thức chính :
1 1 1
2 2 2
1 1 1
.sin .sin .sin
2 2 2
a b c
S ah bh ch
S ab C bc A ca B
= = =
= = =
3. Tính chất trọng tâm :
Trọng tâm của tam giác chia các đường trung tuyến thành ba phần , cách đỉnh hai phần và cách đáy
1 phần .
4. Các khái niệm .
Trực tâm - là giao ba đường cao . Trọng tâm - Giao ba đường trung tuyến . Tâm đường tròn ngoại
tiếp - giao ba đường trung trực . Tâm đường tròn nội tiếp - Giao ba đường phan giác
5. Tính chất đường phân giác :
Chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy
6. Thuộc công thức tính khoảng cách từ một điểm
( )
0 0
;M x y
tới đường thẳng d:
ax+by+c=0 .
[ ]
0 0
2 2
ax
;
by c
d M d
a b
+ +
⇒ =
+
7. Công thức tính cos của góc giữa hai đường thẳng có :
( ) ( )
( )
1 2
1 2 1 2
1 1 1 2 2 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
.
; ; ; os n ;
n n
a a b b
n a b n a b c n
n n
a b a b
+
= = ⇒ = =
+ +
ur uur
ur uur uur uur
ur uur
B.MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1.(KB-2011-KPB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
: 4 0x y− − =V
và d: 2x-y-2=0 . Tìm tọa độ điểm
N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng
∆
tại M thỏa mãn : OM.ON=8
Gợi ý
+/ Nhận xét : hai đường thẳng này cắt nhau tại A(-2;-6) Gọi I là tâm đường tròn đi qua M,N có bán
kính R . H là trung điểm MN
+/ Nếu N thuộc d suy ra :
( )
; 4N a a= −
. Do đó M thuộc
( )
;2 2N b b∆ ⇒ = −
+/ Đường thẳng (ON) cắt
∆
tại M thì O,M,N thẳng hàng :
( )
0OM kON k= ≠
uuuur uuur
( ) ( )
2 4
2 4
4 2 2 4 2 2
a k
a kb a kb
k
a k b kb k b
b
k
= −
= =
⇔ ⇔ ⇔
−
− = − − = −
=
. Hay :
4
2 2
a a
k
b b
−
= =
−
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 1
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
4 4
2 2 4
2 2 2
a a b
ab a ab b a
b b b
−
⇔ = ⇔ − = − ⇔ =
− −
(1)
+/ Theo giả thiết :
2 2
. 8 64OM ON OM ON= ⇔ =
( ) ( )
2 2
2 2
4 2 2 64a a b b
⇔ + − + − =
( )
2 2
2
2
4 8 8
2 2 64
2 2
b b
b b
b b
−
⇔ + + − =
÷ ÷
− −
( )
( )
2
2
2
5 8 4 4 2b b b⇔ − + = −
( ) ( )
2 2
0
5 6 5 10 8 0
6
5
b
b b b b
b
=
⇔ − − + = ⇒
=
Vậy có hai điểm N :
( )
1
; 2N = −
và
2
6 2
;
5 5
N
=
÷
.
Bài 2.(KB-2011-PB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh
1
( ;1)
2
B
. Đường tròn nội tiếp tam giác
ABC tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại các diểm D,E,F . Cho D(3;1) và đường thẳng
EF có phương trình y-3=0 . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương
Gợi ý .
+/ Nhận xét : B và D có tung độ bằng 1 suy ra (BC) nằm
trên đường thẳng y=1 suy ra BD=
5
2
. Do E và F thuộc
đường thẳng y=a suy ra tọa độ chúng có dạng : E(a;3) và
F(b;3) . Theo tính chất tiếp tuyến từ một điểm nằm ngoài
đường tròn kẻ đến đường tròn ta có :
BD=BE
2 2
2 2
1 5
2 2 0
2 2
a a a
⇔ − + = ⇔ − − =
÷ ÷
( )
( )
1
2
1 1;3
2 2;3
a E
a E
= − → = −
⇒
= → =
. Ta có đường thẳng d qua D(3;1) và A vuông góc với (BC) nên có dạng :
x=3 H là trung điểm EF có tạo độ H(3;3) suy ra :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
2
2 2 2 2
3 1 3
1;3 // ;2 // 3; 4 : 4 3 5 0
2 3 4
3 2 3
2;3 // ;2 // 3;4 : 4 3 1 0
2 3 4
x y
E BE BE u BE x y
x y
E BE BE u BE x y
+ −
= − → = − = − ⇒ = ⇔ + − =
÷
−
⇒
− −
= → = = ⇒ = ⇔ − + =
÷
uuur r
uuuur r
.
Ta lại có Đường thẳng qua A và vuông góc với BC tại D (3;1) : x = 3
Do đó ta tọa độ A :
1
2
7
7
4 3 5 0
3;
3
3
3 3
4 3 1 0 13
13
3;
3
3
3
3
y
x y
A
x x
x y
y
A
x
x
=
+ − =
⇒ = −
÷
= =
⇔ ⇔
− + =
=
⇒ =
=
÷
=
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 2
y
O d:x-y-4=0
: 2 2 0x y
∆ − − =
N
M x
-4
4
1
-2
A
B()
C
D(3;1)
E F
y=1
y=3
H
d
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Bài 3 (KD-2011-KPB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1) , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng
chứa đường phân giác trong góc A có phương trình x-y-1=0 . Tìm tọa độ đỉnh A và C
Gợi ý
Gọi M là trung điểm của AC và E là điểm đối xứng với B qua phân
giác (AD). Với G là trọng tâm
2BG GM⇒ =
uuur uuuur
(1)
+/ Ta có : M(x;y)
( ) ( )
1; 1 . 5;0GM x y BG⇒ = − − =
uuuur uuur
suy ra (1) ta có
hệ :
( )
( )
7
5 2 1
7
;1
2
2
0 2 1
1
x
x
M
y
y
= −
=
⇔ ⇔ ⇒
÷
= −
=
+/ Gọi E(x;y)
( )
4 1
; ; 4; 1
2 2
x y
I BE x y
− +
⇒ = = + −
÷
uuur
( I là trung
điểm của BE ). Với
( )
1;1u =
r
. Nếu E đối xứng với B qua (AD): x-y-1=0 thì :
( ) ( )
( )
4 1 1 1 0
3 0 2
0
2; 5
4 1
7 0 5
1 0
2 2
x y
x y x
BEu
E
x y
x y y
I d
+ + − =
+ + = =
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −
− +
− − = = −
∈
− − =
uuurr
+/ (AC) qua E(2;-5) có véc tơ chỉ phương
( ) ( ) ( )
2
3
; 6 // ' 1;4 :
5 4
2
x t
ME u AC t R
y t
= +
= − − = ⇒ ∈
÷
= − +
uuur ur
+/ (AC) cắt d tại A :
( )
2 2
5 4 5 4 4;3
1 0 2
x t x t
y t y t A
x y t
= + = +
⇔ = − + ⇔ = − + ⇔ =
− − = =
+/ C đối xứng với A qua M cho nên C :
( )
7
2. 4 3
3; 1
2
2.1 3 1
C
C
x
C
y
= − =
⇔ = −
= − = −
Bài 4.(KA-2010)
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng
1
: 3 0d x y+ =
và
2
: 3 0d x y− =
. Gọi (T) là đường
tròn tiếp xúc với
1
d
tại A và cắt
2
d
tại B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B . Viết phương
trình của (T) , biết tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương
Gợi ý
Ta thấy
( ) ( )
( )
( )
1 1 2 2 1 2 1 2
3 3 1
1
3;1 ; 3; 1 os d ; os n ;
2.2 2
d n d n c d c n
−
⊥ = ⊥ = − ⇒ = = =
ur uur uuruur
. Do đó ta
thấy
¼
0
60BOA =
. (T) tiếp xúc với
1
d
tại A và tam giác ABC vuông tại B suy ra AC là đường kính ,
do vậy AC
1
d⊥
tại A .
Từ kết quả trên suy ra
¼
0
60BAC =
. Xét tam giác vuông OAB :
0
3
.sin 60
2
OA
AB OA= =
và tam
giác vuông OAC :
0
.tan 60 . 3AC OA OA= =
.
Từ giả thiết :
0
1 3 1 3 3
. sin 60 3
2 2 2 2 2
ABC
S AB AC OA OA= ⇔ =
Hay :
2
4 2
3
3
OA OA= ⇔ =
(1)
Do A thuộc
( )
2 2 2 2
1
; 3 3 4d A t t OA t t t⇒ − ⇒ = + =
. Từ (1):
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 3
A
B(-4;1)
D
C
x-y-1=0
M
E
G(1;1)
y
x
A
B
C
O
0
60
0
30
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
2
4 1
4
3
3
t t= ⇒ = ±
. Vì A có hoành độ dương suy ra
1
3
t =
Và
1
; 1
3
A
= −
÷
. Đường thẳng qua A vuông góc với
1
d ⇒
(AC):
( )
1
3
3
1
x t
t R
y t
= +
⇔ ∈
= − +
(AC) cắt
2
d
tại C :
1 1 2
3 3
3 3 3
2
1 2 ; 2
3
1
3 0
x t x
y t y C
t
x y
= + = − = −
⇔ = − + ⇔ = − ⇒ = − −
÷
= −
− =
Tọa độ tâm I của (T) có tạo độ :
1 3
;
2
2 3
− −
÷
và bán kính IA=
1 1
.2 1
2 2
AC = =
Do đó (T) có
phương trình là :
2
2
1 3
1
2
2 3
x y
+ + + =
÷
÷
Bài 5 . (KA-2010PB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6) ; đường thẳng đi qua
trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình : x+y-4=0 . Tìm tọa độ đỉnh B và C biết điểm E
nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho .
Gợi ý
+/ Đường thẳng (AD) qua A(6;6) và vuông góc với d suy ra H là
giao của (AD) với d :
( ) ( )
6 6
6 6 2;2 2; 2
4 0 4
x t x t
y t y t H D
x y t
= + = +
⇔ = + ⇔ = + ⇔ = ⇒ = − −
+ − = = −
( Vì H là trung điểm của AD).
Đường thẳng (BC) qua D(-2;-2) và song song với d :
( ) ( ) ( )
: 2 2 0 4 0BC x y x y⇒ + + + = ⇔ + + =
. Điểm B thuộc (BC) suy ra
( )
; 4C t t= − −
và điểm
C(-4-t;t). Ta có :
( ) ( )
5 ; 3 ; 6; 10CE t t AB t t= + − − = − +
uuur uuur
.
Vì E nằm trên đường cao kẻ từ C cho nên
0CE AB =
uuuruuur
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
0 0; 4 ; 4;0
5 6 3 10 0 2 12 0
6 6;2 ; 2; 6
t B C
t t t t t t
t B C
= ⇒ = − = −
⇔ + − + + + = ⇔ + = ⇒
= − ⇒ = − = −
.
Bài 6.(KD-2010-KPB)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7) ; trực tâm H(3;-1) và tâm đường tròn
ngoại tiếp là I(-2;0) . Xác định tạo độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương
Gợi ý
* Cách 1.
Từ tọa độ A(3;-7) và H(3;-1) suy ra A,H nằm trên đường thẳng :
x=3 và
( )
3
:
1
x
AH
y t
=
= − +
. Đường thẳng (BC) vuông góc với
(AH) nên (BC): y=3 , do đó nếu gọi M là trung điểm của BC thì
thì IM//AH suy ra M nằm trên đường thẳng x=-2 . Vậy M(-
2;3) . Gọi C=( m;3 ) do C có hoành độ dương cho nên : m>0 .
B đối xứng với C qua M cho nên B=( -4-m;3). Ta có :
( ) ( )
7 ; 4 , 3;10BH m AC m= + − = −
uuur uuur
(BH) là đường cao
( ) ( )
0 7 3 40 0BH AC BH AC m m⇒ ⊥ ⇔ = ⇔ + − − =
uuuruuur
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 4
A(6;6)
d:x+y-4=0
B C
E(1;-3)
D
H
A(3;-7)
H(3;-1) I(-2;0)
B CM
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
( )
( )
2
2 65;3
2 65 0
4 61 0 65 2
2 65 0
2 65;3
C
m
m m m
m
B
= − +
= − − <
⇔ + − = ⇔ ⇒ = − ⇔
= − + >
= − −
* Cách 2.
+/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA :
Với
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
3 2 7 0 74 : 2 74IA C x y= + + − − = ⇒ + + =
+/ Phương trình (AH) : x=3 và
BC AH⊥
suy ra (BC) có dạng y=a (
7a
≠ −
) ví (BC) không qua A . Do đó B,C thỏa mãn phương trình :
( )
2
2 2 2
2 74 4 74 0x a x x a+ + = ⇔ + + − =
(1).
Do vậu (1) có hai nghiệm khi
70a <
Do C có hoành độ dương cho nên (1) :
(
)
(
)
2 2
2 74 ; 2 74B a C a= − − − = + −
+/ Do
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
0 74 5 74 5 7 1 0AC AH AC AH a a a a⊥ ⇔ = ⇔ − − − + + + − − =
uuuruuur
2
7 70
4 21 0
3 70
a
a a
a
= − < −
⇔ + − = ⇔
= <
. Do đó a=3 . Vậy
( )
2 65;3C = − +
Bài 7 (KD-2010-PB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(0;2) và d là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên d . Viết phương trình đường thẳng d , biết khoảng cách từ H đền trục hoành
bằng AH
Gọi ý
+/Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d thì H(a;b) hoctoancapba.com
+/ Ta có :
( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2AH AE EH b a b a= + = − + = − +
(1)
+ Nhứng H nằm trên đường tròn (C) có đường kính OA , có tâm I (0;1) là trung điểm của OA và
bán kính bằng
2
OA
=1. cho nên (C) có phương trình :
( )
2
2
1 1x y+ − =
từ đó suy ra :
( )
2
2
1 1a b+ − =
(2). Với HK=
b
và từ (1) và (2) ta có hệ :
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2 2
2 4 0
2 2 1 1
1 1
1 1 1 1
b b
a b b b b b
a b
a b a b
+ − =
+ − = − − − = −
⇔ ⇒ ⇔
+ − =
+ − = + − =
(
)
(
)
2 5 2; 5 1 ; 2 5 2; 5 1H H⇔ = − − ∨ = − − −
. Vậy có hai
đường thẳng d:
( )
5 1 2 5 2 0x y− − − =
hoặc :
( )
5 1 2 5 2 0x y− + − =
Chú ý : Ta còn có cách giải khác
+/ Xét tam giác vuông OAH ta có :
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2OA OH AH a b b a b⇔ = + ⇔ = + + = +
(1)
( do AH=HK )
+/ Xét tam giác vuông AEH :
( )
2
2 2 2 2 2
2AH AE EH b b a= + ⇔ = − +
(2)
+/ Từ (1) và (2)
( )
( )
2 2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 4
2 4 0
2 4 2
2 4
2
2 4
a b
b b
b b b
a b
b b a
a b
+ =
+ − =
= − + −
⇔ ⇔ ⇔
+ =
= − +
+ =
Từ
2
2 4 0 1 5 1 5b b b b+ − = ⇒ = − + ∨ = − −
* Với :
5 1b = −
thay vào
( ) ( )
2
2 2
4 2 4 2 5 1 4 12 4 5 4 5 2a b= − = − − = − + = −
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 5
A
B
C
H
I
y
x
O
H
K
d
A(0;2)
E
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Suy ra :
(
)
(
)
1 2
2 5 2 2 5 2; 5 1 ; 2 5 2; 5 1a H H= ± − ⇔ − − − − −
* Với :
1 5b = − −
thay vào
( ) ( )
2
2 2
4 2 4 2 5 1 4 12 4 5 4 5 2a b= − = − + = − − = − −
(vô
nghiệm )
+/ Ta cũng có kết quả trên
Bài 8. (KB=2010)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh C(-4;1) , phân giác trong góc A có
phương trình x+y-5=0 . Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24
và đỉnh A có hoành độ dương
Gợi ý
+/ Gọi C' là điểm đối xớng của C qua phân giác d thì C'
phải nằm trên AB và tam giác AC'C vuông cân tại A .
.Gọi d' là đường thẳng qua C(-4;1) và vuông góc với d :
d'
4
5 0
1
x t
x y
y t
= − +
⇔ − + =
= +
.
D' cắt d tại H thì tọa độ H là nghiệm của hệ :
( )
4 4
1 1 0;5
5 0 4
x t x t
y t y t H
x y t
= − + = − +
⇔ = + ⇔ = + ⇒
+ − = =
C' đói xứng với C qua H suy ra C'=(4;9). Vì A nằm trên d suy ra A(t;5-t ). Do hoành đọ A dương
cho nên t>0. . Ta có :
( ) ( )
2 2
2 2 2
4 4 32; 4 4 2 16CH AC t t t= + = = + + − = +
Xét tam giác vuông cân AHC :
2 2 2
2 2 16 2 32 16 32 16 4AC HC t t t t= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇒ =
( vì t>0)
Với t=4 suy ra A(4;1). .
Đường thẳng (BC') qua A(4;1) có
( ) ( ) ( )
4
' 0;8 // 0;1 ' :
1
x
AC u AC
y t
=
= = ⇒
= +
uuuur r
.
B thuộc (AC') suy ra B(4;1+t)
2 2
0AB t t⇒ = + =
. Và
2 2
8 0 8AC = + =
+/ Từ giả thiết :
( )
6 (4; 5)
1
24 . 48 8 6
6 4;7
2
ABC
t B
S AB AC t t
t B
= − → −
= = ⇔ = ⇒ = ⇒
= →
Do
,AB AC
uuur uuur
cùng hướng suy ra : với B(4;-5) thì
( ) ( )
0; 6 , ' 0;5AB AC= − =
uuur uuuur
. Hai véc tơ ngược
hướng cho nên B(4;-5) loại . Vậy B(4;7) và phương trình (BC) qua B(4;7) có véc tơ chỉ phương
( ) ( ) ( )
4 7
8; 6 // 4;3 : 3 4 16 0
4 3
x y
BC u BC x y
− −
= − − = ⇒ = ⇔ − + =
uuur r
Chú ý . Bài này còn có cách giải khác
+/ Tìm C' đối xứng với C qua d x+y-5=0 suy ra C'(x;y) thỏa mãn :
( ) ( )
( )
4 1 0
' 4;9
4 1
5 0
2 2
x y
C
x y
+ − − =
⇒
− +
+ − =
\
. A thuộc đường tròn đường kính CC' nên tọa độ A(x;y) thỏa
mãn :
( )
2
2
5 0
5 32
x y
x y
+ − =
+ − =
. Với x>0 suy ra A(4;1)
+/ B thuộc đường thẳng (AC') : x=4 suy ra tọa độ B(4;m) thỏa mãn :
( )
2
1 36m − =
( ) ( )
5 7 4; 5 ; 4;7m m B B⇒ = − ∨ = ⇔ − ∨
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 6
A
B
C(-4;1)d:x+y-5=0C'
0
45
0
45
H
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Như phần trên kiểm tra chọn B(4;7) . Việc lập (BC) như trên .
Bài 9 (KB-2009-PB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC tại A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B,C thuộc
đường thẳng d: x-y-4=0 . Xác định tọa độ các đỉnh B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Gợi ý
+/ Gọi d' là đường thẳng qua A(-1;4) và vuông góc với d thì d' có
phương trình :
1
4
x t
y t
= − +
= −
. Đường thẳng d' cắt d tại H ( là trung
điểm của BC- do tam giác ABC cân ) thì tọa độ của nó là nghiệm
1 1
7 1
4 4 ;
2 2
4 0 9
2
x t x t
y t y t H
x y
t
= − + = − +
= − ⇔ = − ⇒ = −
÷
− − =
=
+/ Khoảng cách từ A đến BC d(A;BC)=d(A;d)=
1 4 4
9
2 2
AH
− − −
= =
+/ B,C thuộc d suy ra : B=(t;t-4 ) và C(7-t;3-t) .
2 2
7 7 7
2
2 2 2
BH t t t
⇒ = − + − = −
÷ ÷
(1)
Theo giả thiết thì :
1 9
.2 . 18 . 2 2
2
2
S BH AH BH BH⇒ = ⇔ = ⇒ =
(2)
Từ (1) và (2) :
7 7 3 11
2 2 2 2
2 2 2 2
t t t t− = ⇔ − = ⇔ = ∨ =
+/ Với
3 3 5 11 3
; ; ;
2 2 2 2 2
t B C
= ⇒ = − =
÷ ÷
+/ Với
11 11 3 3 5
; ; ;
2 2 2 2 2
t B C
= ⇒ = = −
÷ ÷
Bài 10 (KD-2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB . Đường
trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là : 7x-2y-3=0 và 6x-y-4=0 . Viết
phương trình đường thẳng AC
Gợi ý
+/ Tọa đọ A thỏa mãn :
( )
7 2 3 0
1;2
6 4 0
x y
A
x y
− − =
⇔ =
− − =
+/ Vì M là trung điểm AB suy ra B=(3;-2)
+/ Đường thẳng BC qua B(3;-2) vuông góc với đường cao
AH :
( ) ( )
3 6 2 0 6 9 0x y x y− + + = ⇔ − + =
+/ (BC) cắt đường trung tuyến (AN) tại N thỏa mãn hệ :
6 9 0
3
0;
7 2 3 0
2
x y
N
x y
+ + =
⇔ ⇒ = −
÷
− − =
. Vì C đối xứng với B qua N suy ra C=(-3;-1)
Vậy (AC) qua A(1;2) có
( ) ( ) ( )
1 2
4; 3 // 4;3 : 3 4 5 0
4 3
x y
AC u AC x y
− −
= − − = ⇒ = ⇔ − + =
uuur r
HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 7
A(-1;4)
B CH
x-y-4=0
A
B CH N
M(2;0)
7x-2y-3=06x-y-4=0
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình là
3 2 0x y− − =
và hai
điểm phân biệt
( )
1; 3A
và B không thuộc đường thẳng d . Lập phương trình đường thẳng AB .
Biết rằng khoảng cách từ điểm B đến giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng d bằng hai
lần khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d
Bài 12.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết trực tâm
H(1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0;-2) và trung điểm cạnh AB là M(3;1)
Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 . Đường thẳng AB có
phương trình x-y=0 . Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn
thẳng AC
Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABCvuông cân tại A . Biết cạnh huyền nằm trên
đường thẳng d: x+7y-31=0 , điểm
5
1;
2
N
÷
thuộc đường thẳng AC , điểm M(2;-3) thuộc đường
thẳng AB . Xác định tọa dộ các đỉnh tam giác
Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH , đường trung tuyến CM
và đường phân giác trong BD . Biết H(-4;1), M
17
;12
5
÷
và (BD) : x+y-5=0 . Tìm tọa độ đỉnh A
Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A , đỉnh B thuộc đường thẳng d:
x-4y-2=0 . Cạnh AC song song với đường thẳng d . Đường cao kẻ từ A có phương trình :
x+y+3=0 . Điểm M(1;1) nằm trên cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16 . đỉnh A và B
thuộc đường thẳng d có phương trình
2 2 2 2 0x y− − =
. B và C thuộc Ox . Xác định tọa độ trọng
tâm tam giác ABC
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 . Đường thẳng AB có
phương trình x-y=0 . Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn
thẳng AC
Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-3) và đường thẳng (BC) có
phương trình : x-2y-2=0 . Tìm tọa độ B,C biết tam giác ABC vuông cân tại B
Bài 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(5;-3), trọng tâm G(3;1) .Đỉnh B
thuộc đường thẳng d có phương trình : 2x+y-4=0 . Tìm tọa độ các dỉnh B,C biết BC bằng
2 2
và
B có tọa độ nguyên
Bài 21*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 2x+y-1=0 ,
phương trình AC: 3x+4y+6=0 và điểm M(1;-3) nằm trên đường thẳng BC thỏa mãn 3MB=2MC .
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 22*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
¼
0
135BAC =
, đường cao BH:
3x+y+10=0 , trung điểm cạnh BC là
1 3
;
2 2
M
−
÷
và trực tâm tam giác H(0;-10) . Biết tạo độ điểm
B âm . Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 23 * . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình cạnh BC :
x-y+4=0 , trung điểm cạnh AC là M(0;3) , đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
tại điểm N(7;-1). Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác HBC
Bài 24* . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(4;3). Các đường tròn nội tiếp và
ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm lần lượt là I(1;2) và
3
2;
2
K
÷
a/ Lập phương trình đường thẳng BC hoctoancapba.com
b/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
.
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 8
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;4) ;B(1;2), đỉnh C thuộc
đường thẳng d có phương trình : x+2y+1=0 , có trọng tâm G . Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 ,
tìm tọa độ đỉnh C
Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-2), đường cao CH , phân
giác trong BK lần lượt có phương trình x-y+1=0; và 2x+y+5=0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường
thẳng BC sao cho tam giác AMB cân tại M
Bài 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua M(0;-1) . Biết
AB=2AM , đường phân giác trong AD có phương trình : x-y=0 và đường cao CH có phương trình
là 2x+y+3=0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 24*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
1 2
: 2 0; : 2 2 0d x y d x y− − = + − =
Giả sử
1 2
d d∩
tại I . Viết phương trình đường thẳng đi qua M(-1;1) cắt
1 2
;d d
tại A và B sao cho
AB=3IA
Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
5AB =
; C(-1;-1) . Cạnh AB có
phương trình là : x-2y-3=0 , trọng tâm G thuộc đường thẳng d : x+y-2=0 . Tìm tọa độ các đỉnh A,B
của tam giác ABC.
Bài 26. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;5),B(5;1) . Viết phương trình đường thẳng d qua A sao
cho khoảng cách từ B đến d bằng 3.
Bài 27 Trong (Oxy) cho A(2;5) và đường thẳng d : 2x+3y+4=0. Viết phương trình tổng quát của
đường thẳng d' qua A và tạo với d một góc bằng
0
45
.
Bài 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d: x-2y+3=0 . Tìm trên
đường thẳng d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC=3BC .
II. VỀ HÌNH CHỮ NHẬT
A. KIẾN THỨC
1. Trong hình chữ nhật : Hai cạnh liên tiếp vuông góc nhau
2. Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường
3. Hai cạch đối diện nhau bằng nhau
3. Theo tính chất hai đường thẳng // bị cắt bởi một cát tuyến :
- Các góc so le bằng nhau
- Các góc cùng phía bằng nhau
B. CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1. (KD-2012 )
Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD . Các đường thẳng AC và AD có phương trình
x+3y=0 và x-y+4=0 ., đường thẳng BD đi qua diểm
1
;1
3
M
−
÷
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ
nhật
Gợi ý
+/ AC cắt AD tại A có tọa độ :
( )
3 0 1
3;1
4 0 3
x y y
A
x y x
+ = =
⇔ ⇔ ⇒ = −
− + = = −
+/ Đường thẳng d' qua M song song với AD : x-y+m=0 ;
1 4 4
1 0 ': 0
3 3 3
m m d x y− − + = ⇒ = ⇔ − + =
+/ d' cắt AC tại N
3 0 1
1
1;
3
4
3
0
1
3
x y
y
N
x y
x
+ =
= −
⇔ ⇔ ⇔ = −
÷
− + =
=
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 9
A B
CD
I
A B
CD
I
M
N
EK
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
+/ Gọi E là trung điểm MN
2 2
;
3 3
E
⇒ = −
÷
. Đường thẳng qua E vuông góc với AD cắt AC tại I là
tâm hình chữ nhật . Do đó
2 2
: 0 0
3 3
x y x y
∆ + + − = ⇔ + =
÷ ÷
. Suy ra tọa độ I ;K là nghiệm của
hệ :
( )
0 2
2;2
4 0 2
x y x
K
x y y
+ = = −
⇔ ⇔ ⇔ = −
− + = =
. Và
( )
0 0
0;0
3 0 0
x y x
I
x y y
+ = =
⇔ ⇔ ⇔ =
+ = =
Do tính chất đối xứng ta có tọa độ các đỉnh :
( ) ( ) ( )
3; 1 ; 1;3 ; 1; 3C D B= − = − = −
.
Bài 2 .(KA-2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) là giao điểm của của hai
đường chéo AC và BD . Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc
đường thẳng
∆
có phương trình x+y-5=0 . Viết phương trình đường thẳng AB
Gợi ý
+/ E thuộc d suy ra E(t;5-t) . Gọi F là điểm đối xứng với E qua I thì F
thuộc AB và F(12-t;t-1 ).
Khi đó :
( ) ( )
11 ; 6 ; 6 ; 3MF t t IE t t= − − = − −
uuur uur
Theo tính chất hình chữ nhật :
( ) ( ) ( ) ( )
0 11 6 6 3 0MF IE MF IE t t t t⇒ ⊥ ⇔ = ⇔ − − + − − =
uuuruur
( ) ( )
( ) ( )
2
7 5;6 4;1
13 42 0
6 6;5 5;0
t F MF
t t
t F MF
= → = ⇔ =
⇔ − + = ⇔
= → = ⇔ =
uuur
uuur
Vậy (AB) qua M(1;5) có
MF
uuur
là chỉ phương :
( )
( )
1 5
: 4 19 0
4 1
1 5
: 5
5 0
x y
AB x y
x y
AB y
− −
= ⇔ − + =
⇔
− −
= ⇔ =
Bài 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x
– 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm
toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Giải
- Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên
tọa dộ B là nghiệm của hệ :
2 1 0
21 13
;
7 14 0
5 5
x y
B
x y
− + =
⇒
÷
− + =
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với
(AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:
( ) ( ) ( )
21
5
1; 2 2;1 :
13
2
5
BC
x t
u n BC
y t
= +
= − ⇔ = ⇒
= −
r uuur
.
+/ Mặt khác :
( ) ( )
2 2
2 7 2
1
os BD;BC os AC;BC
5.5 2 10
5
a b
c c
a b
− +
= = = =
+
( )
2
2 2 2 2
2 2
2
1
2 2 7 8 0
7
10
5
a b
a b
a b a b a ab b
b a
a b
= −
+
⇔ = ⇔ + = + ⇔ + + = ⇔
= −
+
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 10
A B
CD
M(1;5)
E
F
d:y+y-5=0
I(6;2)
A
B
C
D M(2;1)
x-7y+14=0
x-2y+1=0
I
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
+/ Do đó : :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; // ' 1;1 : 2 1 0 1 0
; 7 // ' 1; 7 : 2 7 1 0 7 5 0
AC
AC
n b b n AC x y x y
n a a n AC x y x y
= − = − ⇒ − − + − = ⇔ − + + =
⇔
= − = − ⇒ − − − = ⇔ − + =
uuur ur
uuur ur
+/ (AC) cắt (BC) tại C
( )
21
5
13 1
2 4;3
5 5
1 0
x t
y t t C
x y
= +
⇒ = − ⇔ = − ⇒
− + + =
+/ Hoặc : (AC) cắt (BC) tại C
21
5
13 3 24 6
2 ;
5 5 5 5
7 5 0
x t
y t t C
x y
= +
⇒ = − ⇔ = ⇒
÷
− + =
- (AC) cắt (AB) tại A :
( )
1 0 1
1;0
2 1 0 0
x y x
A
x y y
− + + = =
⇔ ⇔ ⇔
− + = =
+/ Hoặc :
11
7 5 0
11 9
2
;
2 1 0 9
2 4
4
x
x y
A
x y
y
= −
+ + =
⇔ ⇔ ⇔ − −
÷
− + =
= −
+/ Tìm tọa độ của I : AC cắt BD , sau đó tìm D đối xứng với B qua I
* Chú ý : Ta còn cách giải khác
+/ Theo tính chất hình chữ nhật :
¼
¼
ACD BDC=
suy ra : gọi véc tơ pháp tuyến của (AC) là :
( )
;n a b=
r
; véc tơ pháp tuyến của AB là
( )
1
1; 2n = −
ur
và véc tơ pháp tuyến của (BD) là
( )
2
1; 7n −
uur
thì
ta có :
( ) ( )
2 1 2
2 2
2 1 14
cos n; os n ;
5 50
5
a b
n c n
a b
− +
= ⇔ =
+
r uur uuruur
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2
2
15 3
2 2 9 7 8 0
7
55 2 5 2
5
a b
a b
a b a b a ab b
b a
a b
= −
−
⇔ = = ⇔ − = + ⇔ + + = ⇔
= −
+
+/ Từ đó ta lập được AC qua M(2;1) và có :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; // ' 1;1 : 2 1 0 1 0
; 7 // ' 1; 7 : 2 7 1 0 7 5 0
n b b n AC x y x y
n a a n AC x y x y
= − = − ⇒ − − + − = ⇔ − + + =
⇔
= − = − ⇒ − − − = ⇔ − + =
r ur
r ur
+/ Các bước giải lại như phần sau của cách giải trên .
HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP
Bài 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình hai đường Chéo
(AC): 7x +y -4 = 0, phương trình đường thẳng (BD): x – y + 2 = 0, Viết phương trình đường thẳng
chứa cạnh hình chữ nhật , biết đường thẳng đó đi qua điểm M(-3;5).
Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm
I là giao điểm của đường thẳng
03:
1
=−− yxd
và
06:
2
=−+ yxd
. Trung điểm của một cạnh
là giao điểm của d
1
với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình chữ nhật ABCD ,cạnh (AB) có phương trình : x-
y+1=0 , tọa độ tâm I(1;1) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật , biết AB=3BC và A có hoành độ
âm
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 11
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 , giao điểm hai
đường chéo là I(
9 3
;
2 2
), trung điểm cạnh BC là M(3;0) và hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm
C. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
Bài 8. Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB ,BC,CD và DA lần lượt
đi qua các điểm M(4;5) ,N(6;5);P(5;2) và Q(2;1) với diện tích hình chữ nhật bằng 16 .
Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;1). Các đường thẳng chứa
các cạnh AB , AD lần lượt đi qua các điểm M(-2;2) và N(2;3) . Xác định tọa độ các điểm A,B,C,D ,
biết 3AB=2AD và điểm A có hoành độ âm
III. VỀ HÌNH VUÔNG
A. KIẾN THỨC
1. Các cạnh đôi một vuông góc nhau và bằng nhau
2. Hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau
3. Bốn tam giác vuông cân : AIB,BIC,CID và AID bằng nhau
4. Nếu cạnh hình vuông bằng a thì hai đường chéo có đọ dài là
2a
5. Hình vuông nội tiếp trong đường tròn có tâm I bán kính R=
2
2
a
A. CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1. (KA-2012). Trong mặt phẳng tạo độ Oxy cho hình vuông ABCD .Gọi M là trung điểm cạnh
CD, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN=2ND .Giả sử
11 1
;
2 2
M
÷
và đường thẳng AN có phương
trình 2x-y-3=0 . Tìm tọa độ đỉnh A
Gợi ý
Gọi giao của AN với BD là P .Kẻ qua P đường thẳng song song
với AB cắt AD tại E cà cắt BC tại K . Đặt EP=x ta thấy tam giác
EPD là tam giác vuông cân tại E :
vì
¼ ¼
0 0
90 ; 45DEP EDP ED EP x= = ⇒ = =
suy ra AE=PK=3x .
Mặt khác ta lại có KC=x cho nên MQ=x , cho nên tam giác
AEP=PKM suy ra AP
⊥
PM (1).và AP=PM . Vậy :
( )
3 10
2 2. ;
2
AM PM d M d= = =
.
Vì A thuộc (AN) suy ra A(t;2t-3).
2 2
3 10 11 7 45
2
2 2 2 2
MA t t
= ⇔ − + − =
÷ ÷
( )
( )
2
1 1; 1
5 4 0
4 4;5
t A
t t
t A
= → −
⇔ − + = ⇒
= →
Chú ý :
Phần chứng minh AP
⊥
PM còn có cách khác .
+/ Gọi cạnh hình vuông là x . Hai tam giác PDN đồng dạng với PAB suy ra
3
3 3 ; 3
PB PA AB DN
PB PD PA PN
PD PN DN DN
= = = = ⇒ = =
+/ Xét tam giác vuông ADN
( )
2
2 2 2
2
2 2 2 2 2
1 10 10 5
4
3 9 9.16 72
x x x
AN AD DN PN x x PN
= + ⇔ = + = ⇒ = =
÷
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 12
A B
CD
I
A B
M
CD N
PE K
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Nhưng :
2 2
2 2
5 5
3 9 9
72 8
x x
AP PN AP PN= ⇒ = = =
(1)
+/ Xét tam giác PBM với
¼
0
45PBM =
, ta áp dụng hệ thức hàm số cos :
2 2 2 0
2 . . os45PM PB BM PB PM c= + −
(*)
Với
1
3 3
4
AE AP
AE ED ED x
AD AN
= = ⇒ = ⇔ = ⇒
PB=3PD=3.ED
3
2 2
4
x=
2
2 2
2
3 3 2 5
2 2 2
4 4 4 2 2 8
x x x
PM x x
⇒ = + − =
÷ ÷
(2)
+/ Xét tam giác CMN :
2
2 2
2 2 2
2 25
4 3 36
x x
MN CM CN x
= + = + =
÷
(3)
Từ (1) ,(2),(3) ta có AP=PM và
2 2 2
2 2 2
5 5 25
72 8 36
x x x
AP PM MN+ = + = =
. Tam giác PMN vuông tại
P hay
PM AP⊥
.
Như phần trên
( )
;PM d M d⇒ =
Bài 2 . Một hình vuông có đỉnh A(– 4;5) và một đường chéo có phương trình 7x – y + 8 = 0.Hãy
lập phương trình đường chéo còn lại và các cạnh của hình vuông ấy
Gợi ý
+/ Nhận xét : PA/d=-28-5+8=31 . Chứng tỏ d không qua A , do đó d là đường chéo BD
+/ Giả sử AB qua A(-4;5) :
( ) ( )
4 5 0 ax+by+4a-5b=0a x b y+ + − = ⇔
+/ Theo tính chất hình vuông :
( ) ( ) ( )
( )
2
0 2 2
2 2
7
1
cos ; os AB;AC os45 7 25
2
50
a b
AB BD c c a b a b
a b
−
= = ⇔ = ⇔ − = +
+
( )
( )
2 2 2 2
3 3
;1 // ' 1;4
4 4
24 14 24 0 12 7 12 0
4 4
;1 // ' 1;3
3 3
a b n n
a ab b a ab b
a b n n
= ⇒ = =
÷
⇔ − − = ⇔ − − = ⇔
= ⇒ = =
÷
r ur
r ur
+/ Vậy
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
' 1;4 :1 4 4 5 0 4 16 0
' 1;3 :1 4 3 5 0 3 11 0
n AB x y x y
n AB x y x y
= ⇒ + + − = ⇔ + − =
⇔
= ⇒ + + − = ⇔ + − =
ur
ur
+/ AB cắt BD tại B thỏa mãn :
( )
4 16 0
7 8 0
x y
B
x y
+ − =
⇔ =
− − =
+/ D thuộc BD suy ra D(a;7a-8) . Từ
. 0AB AD
AB AD
=
=
uuur uuur
, suy ra tọa độ D
+/ Đường thẳng AC qua A(-4;5) và vuông góc với BD suy ra AC: x+7y-31=0
+/ AC cắt BD tại I thỏa mãn :
7 8 0
87 209
;
7 31 0
50 50
x y
I
x y
− − =
⇒ =
÷
+ − =
. Từ đó suy ra tọa độ C
HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP
Bài 3 Viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết AB,CD,lần lượt đi qua các điểm P(2;1)
và Q(3;5), còn BC và AD qua các điểm R(0;1) và S(-3;-1)
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn
( ) ( )
2
2
5
: 1 2
4
C x y
− + − =
÷
. Xác định tọa độ
các đỉnh của hình vuông ABCD biết các đỉnh B,C thuộc đường tròn (C), hai đỉnh A,D thuộc trục
Ox và đỉnh B có tung độ dương
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 13
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I
3 1
;
2 2
÷
. Các đường thẳng AB
và CD lần lượt đi qua các điểm M(-4;-1);N(-2;-4). Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông đó , biết B có
hoành độ âm .
Bài 6. Trong mawtjphawngr toa độ Oxy cho hai điểm A(2;1),B(-1;-3) và hai đường thẳng
1 2
: 3 0, : 5 16 0d x y d x y+ + = − − =
. Tìm tọa độ các điểm C,D lần lượt thuộc
1 2
,d d
sao cho tứ giác
ABCD là hình bình hành .
IV. VỀ HÌNH THOI
A. KIẾN THỨC
1. Có hai cặp cạnh tương ứng song song và bằng nhau
2. Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường và chúng
vuông góc với nhau
3. Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi
4. Các tam giác cân bằng nhau : ABD=CBD và ABC=ADC .
5. Diện tích hình thoi bằng tích hai đường chéo : S=AC.BD
B. CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có tâm I(1;1) , điểm M(2;3) thuộc đường
thẳng chứa cạnh AB và N(4;-1) thuộc cạnh CD . Biết độ dài AC=2BD . Tìm tọa độ các đỉnh của
hình thoi
Gợi ý
+/ Gọi E đối xứng với N qua I thì E thuộc AB và E(-2;3) ,do đó
AB có véc tơ
( ) ( )
4;0 // 1;0ME u= − =
uuur r
. Tương tự F đối xứng với
M qua I thì F thuộc CD và F(0;-1) , CD song song với véc tơ
( ) ( )
4;0 // 1;0NF u= − =
uuur r
+/ Từ AC=2BD suy ra IA=2IB . Xét tam giác vuông AIB có :
2 2 2
2 2 2 2
2
5 4
4 4 5
IA IA IA
AB IA IB IA
AB
= + = + = ⇔ =
Hay :
( )
2
os AB;AC
5
IA
c
AB
= =
(*). Từ
( ) ( )
1;0 0; 1
AB
ME n= ⇒ = −
uuur uuur
, gọi AC có
( )
;
AC
n a b=
r
thì do
(*)
( )
( )
2 2 2 2 2
2 2
2
0.
2
os AB;AC 4 5 4
2
5
b a
a b
c a b b b a
b a
a b
= −
−
= = ⇔ + = ⇔ = ⇔
=
+
+/ Nếu b=-2a thì véc tơ chỉ phương của BD là
( ) ( ) ( )
1
; ; 2 // 1; 2
BD
u a b a a u= = − = −
uuur ur
( )
1
:
1 2
x t
BD
y t
= +
⇔
= −
và đường thẳng (AC): 1(x-1)-2(y-1)=0 hay : x-2y+1=0.
+/ Đường thẳng (AB) qua M(2;3) có
( ) ( )
2
1;0 :
3
x t
u AB
y
= +
= ⇒
=
r
và đường thẳng (CD) qua N(4;-1)
có
( ) ( )
4
1;0 :
1
x t
u CD
y
= +
= ⇒
= −
r
+/ Đường thẳng (BD) cắt (AB) tại B thỏa mãn : 1-2t=3 suy ra t=-1 và B=(0;3 ). Đồng thời cắt (AC)
tại A thỏa mãn : 2+t-2(3)+1=0 suy ra t=3 và A(5;3 )
+/ Đường thẳng (CD) cắt (BD) tại D thỏa mãn 1-2t=-1 suy ra t=1 và D(2;-1) . Đồng thời (CD) cắt
(AC) tại C thỏa mãn : 4+t-2(-1)+1=0 suy ra t=-7 và C(-3;-1)
+/ Vậy hình thoi ABCD có : A(5;3),B(0;3),C(-3;-1) và D(2;-1)
Bài 2*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD với AC có phương trình là :
x+7y-31=0 , hai đỉnh B,C lần lượt thuộc đường thẳng
1 2
: 8 0; : 2 3 0d x y d x y+ − = − + =
. Tìm tọa
độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm .
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 14
A
B
C
D
I
A
B
C
D
M(2;3)
N(4;-1)
I(1;1)
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Gợi ý
Cách 1.
+/ B thuộc
( )
1 1 1
;8d B t t⇒ −
và D thuộc
( ) ( )
2 2 2 2 1 2 1
2 3; 2 3; 8d D t t BD t t t t⇒ − ⇒ = − − + −
uuur
+/ Do BD vuông góc AC suy ra:
( )
2 1 2 1
2 1
2 3 3
// 1;7 13 8 13
1 7
t t t t
BD n t t
− − + −
= ⇒ = ⇔ − =
uuur r
(1)
+/ Khi đó trung điểm I của BD :
1 2 1 2
2 3 8
;
2 2
t t t t
I
+ − − +
÷
+/ I thuộc d :
1 2 1 2
2 3 8
7 31 0
2 2
t t t t+ − − +
⇔ + − =
÷
2 1 2 1
9 6 9 3 2 3t t t t⇔ − = ⇔ − =
+/ Vậy ta có hệ :
( )
( )
1
2 1
2 1
2
0 0;8
13 8 13
3 2 3
1 1;1
t B
t t
t t
t D
= ⇒
− =
⇔
− =
= ⇒ = −
+/ Từ đó suy ra :
( ) ( )
8
5 2; 1;7 : 7 8 0
1 7
x y
BD BD BD x y
−
= = ⇒ = ⇔ − + =
uuur
+/ Gọi C thuộc AC
( )
[ ]
( )
7 31 7 8
5
31 7 ; ; 9 2
5 2 2
t t
C t t d C BD t
− − +
⇒ = − ⇔ = = −
+/ Từ giả thiết :
[ ]
1 5
2 2 . C;BD 5 2. 9 2 75 9 2 3
2
2
ABCD BCD
S S BD d t t= = = − = ⇔ − =
( )
( )
6 11;6
9 2 3
9 2 3
3 10;3
t C
t
t
t C
= → = −
− = −
⇔ ⇔
− =
= ⇒ =
. Mặt khác A dối xứng với B qua I cho nên ta tìm được tọa
độ A . Với C(-11;6 ) và
( )
1
;3 10;0
2
I A
= − ⇒ =
÷
( loại vì A có hoành độ âm ).
Với C(10;3 ) thì
( )
11;3A = −
( chọn )
+/ Vậy các đỉnh hình thoi thỏa mãn là A(-11;3),B(0;8),C(10;3) và D(-1;1)
* Chú ý : Ta còn cách giải khác
+/ Đường thẳng BD vuông góc với AC có dạng :
7x-y+m=0 ( với m là tham số )
+/ BD cắt
1
d
tại B thỏa mãn :
8 0
7 0
x y
x y m
+ − =
− + =
, suy ra tọa độ B
1 ;7
8 8
m m
= − +
÷
. Tương tự BD cắt
2
d
tại D thỏa mãn :
2 3 0
3 2 21
;
7 0
13 13
x y
m m
D
x y m
− + =
− −
⇒ =
÷
− + =
+/ Trung điểm I :
( )
( )
I
I
x f m
y g m
=
=
; sau đó thay tọa độ I vào phương trình của AC ta được phương trình
có chứa ẩn m . Giải phương trình này ta tìm đựơc m=8
+/ Từ đó ta tìm được B,D . Các bước tiếp theo như phần sau của cách trên .
BÀI TẬP HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP
Bài 3 . Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng
1
: 4 9 0,d x y
+ − =
2
: 2 6 0,d x y
− + =
3
: 2 0d x y
− + =
Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết hình
thoi ABCD có diện tích bằng 15, các đỉnh A,C thuộc
3
d
, B thuộc
1
d
và D thuộc
2
d
.
Bài 4.(KB-2012PB). hoctoancapba.com
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 15
A
B
C
D
x+7y-31=0
x+y-8=0
x-2y+3=0
I
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Trong mặt phẳng Oxy cho hình thoi ABCD có AC=2BD và đường tròn tiếp xúc với các
cạnh hình thoi có phương trình
2 2
4x y+ =
. Viết phương trình chính tắc (E) đi qua các đỉnh
A,B,C,D của hình thoi . Biết A thuộc Ox
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có A(1;-2),B(-3;3) và giao điểm hai
đường chéo nằm trên đường thẳng d: x-y+2=0 . Tìm tọa độ C và D
V. VỀ ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC
1.Đường tròn có tâm I(a;b) có bán kính R có phương trình :
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
2. Phương trình :
2 2
2 2 0x y ax by d+ + + + =
là phương trình của đường tròn tâm I(-a;-b) và bán
kính là
2 2 2 2
0R a b d a b d= + − ⇔ + − >
3. Với một điểm
( )
0 0
;M x y
so với đường tròn (C) khi :
+/ Nếu :
( ) ( )
2 2
2
/( ) 0 0
0
M C
P x a y b R= − + − − >
, thì M nằm ngoài đường tròn (C)
+/ Nếu :
( ) ( )
2 2
2
/( ) 0 0
0
M C
P x a y b R= − + − − =
, thì M nằm trên đường tròn (C)
+ Nếu :
( ) ( )
2 2
2
/( ) 0 0
0
M C
P x a y b R= − + − − <
, thì M nằm bên trong đường tròn (C)
4. Với đường thẳng d : Ax+By+C=0 , so với (C) có tâm I(a;b)
+/ Nếu :
[ ]
2 2
aA+bB+C
;( )
A
d I C R
B
= >
+
, thì d không cắt (C)
+/ Nếu :
[ ]
2 2
aA+bB+C
;( )
A
d I C R
B
= =
+
, thì d tiếp xúc với (C) , khi đó d gọi là tiếp tuyến của đường
tròn (C)
+/ Nếu :
[ ]
2 2
aA+bB+C
;( )
A
d I C R
B
= <
+
, thì d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N
5. Đối với hai đường tròn :
( ) ( ) ( )
2 2
2
1 1 1 1
:C x a y b R− + − =
và
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2 2 2
:C x a y b R− + − =
+/ Hai đường tròn không có điểm chung :
( )
1 2 1 2 1
R R I I C⇔ + < ⇒
ngoài
( )
2
C
Ngược lại :
( )
2 1 1 2 2
R R I I C− < ⇒
đựng
( )
1
C
+/ Hai đường tròn có một điểm chung :
- Nếu :
( )
1 2 1 2 1
R R I I C⇔ + = ⇒
tiếp xúc ngoài với
( )
2
C
- Nếu :
( )
2 2 1 2 1
R R I I C⇔ − = ⇒
tiếp xúc trong với
( )
2
C
+/ Hai đường tròn có hai điểm chung :
( )
1 2 1 2 1
R R I I C⇔ + > ⇒
cắt
( )
2
C
tại hai điểm phân biệt
M,N và đường thẳng đi qua hai điểm M,N gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn
Tính chất của trục đẳng phương là : Mọi điểm nằm trên nó có phương tích đối với hai đường tròn
bằng nhau
6. Từ một điểm M bất kỳ , kẻ qua M đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì gọi d là
khoảng cách từ M đến I ta có :
2 2
MAMB d R= −
uuuruuur
là hằng số ( Không phụ thuộc vào vị trí của điểm
M ) Đặc biệt nếu MT là một tiếp tuyến của (C) thì
2
MAMB MT=
uuuruuur
7. Đường thẳng qua tâm đường tròn và điểm giữa của một dây cung thì đường thẳng đó vuông góc
với dây cung . Ngược lại một đường thẳng qua tâm đường tròn và vuông góc với một dây cung thì
đường thẳng đó đi qua điểm giữa của dây cung đó .
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 16
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
8. Từ một điểm M kẻ hai tiếp tuyến tới (C) . Gọi I là tâm đường tròn và hai tiếp điểm của hai tiếp
tuyến thì ta có một số kết quả sau
- MA=MB và
;IA MA IB MB⊥ ⊥
- Tứ giác : MAIB nội tiếp trong một đường tròn có đường kính là MI
- MI là phân giác của hai góc :
¼
MAB
và
¼
AIB
9. Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm
( )
0 0 0
;M x y
( Theo phương ơhaps tách đôi ) có phương
trình là :
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
x a x a y b y b R− − + − − =
10. Đường thẳng d : Ax+By+C=0 là tiếp tuyến của (C) khi :
( )
( )
[ ]
2
2 2 2
aA+bB ;( )R A B d I C R= + ⇔ =
11. Trong một đường tròn , nếu cung AB>cung CD thì
¼
¼
AIB CID>
( Có nghĩa là : dây cung càng
gần tâm thì góc ở tâm chắn cung đó càng lớn .
12. Cách xác định tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài
Nếu tiếp tuyến chung ngoài cắt đường thẳng nối hai tâm tại một điểm M thì
- Nếu điểm M nằm ngoài đoạn
1 2
I I
thì M là tâm vị tự ngoài
- Nếu điểm M nằm trong đoạn
1 2
I I
thì M là tâm vị tự trong
13. Nếu ta có :
OM kON=
uuuur uuur
thì ta có phép vị tự tâm O tỷ số vị tự là k đã biến điểm N thành điểm M
. Vì vậy nếu N chạy trên một đường (G) thì M chạy trên đường (G') là ảnh của đường (G) qua phép
vị tự tâm O có tỷ số vị tự là k .
Trên đây là một số kiến thức về đường tròn cơ bản mà các em cần phải nắm chắc để giải toán
B. MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1. ( KA-2012-PB)
Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C):
2 2
8x y+ =
. Viết phương trình chính tắc E
líp , biết E líp có độ dài trục lớn bằng 8. và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một
hình vuông .
Gợi ý
Gọi (E) :
( )
2 2
2 2
1 0
x y
a b
a b
+ = > >
. Theo giả thiết : 2a=8 suy ra a=4 (1)
Giả sử bốn điểm mà (E) cắt (C) là ABCD thì nó chính là giao của hai đường phân giác y=x và y=-x
cắt (C)
2 2 2
8 4
( 2;2 (2;2); (2; 2); ( 2; 2)
x y x
A B C D
y x y x
+ = =
⇔ ⇔ ⇒ − − − −
= ± = ±
Do các điểm này thuộc (E) suy ra :
2 2
2
2
4 4 16
1 ( ) : 1
16
16 3 16
3
x y
b E
b
+ = ⇒ = ⇔ = =
Bài 2. ( KB-2012-KPB)
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn
( ) ( )
2 2 2 2
1 2
: 4; : 12 18 0C x y C x y x+ = + − + =
và đường
thẳng d: x-y-4=0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc
( )
2
C
, tiếp xúc với d và cắt
( )
1
C
tại
hai điểm phân biệt AB sao cho AB vuông góc với d
Gợi ý
Vì
( ) ( )
1 2 1 2
OO'=6<R 2 3 2R C C+ = + ⇒ ∩
Gọi I là tâm của đường tròn cần lập (C'). Nếu (C') tiếp xúc với d thì
IM d⊥
( với M là tiếp điểm )
và IM=R (1). Từ giả thiết AB
//d AB IM
⊥ ⇒
(2)
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 17
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Mặt khác gọi K là trung điểm AB thì IK
//AB IK d⊥ ⇒
. Gọi H là giao của d với AB thì tứ giác
IKHM là hình chữ nhật . Nhưng A,B thuộc
( )
1
C
cho nên OK
AB⊥
tại K do vậy I phải nằm trên
đường thẳng qua O và song song với d và I lại nằm trên
( ) ( )
2 2
'C I d C⇒ = ∩
có bán kín là d(I;d) .
+/ Đường thẳng d'//d qua O có dạng : x-y=0
x t
y t
=
⇔
=
.
+/ d' cắt
( )
2
C
:
( )
2
2 2
2 12 18 0 6 9 0 3 0 3 (3;3)t t t t t t I⇒ − + = ⇔ − + = ⇔ − = ↔ = ⇒
+/ Tính R=
( )
3 3 4
4
; 2 2
2 2
d I d
− −
= = =
+/ Vậy
( ) ( ) ( )
2 2
' : 3 3 8C x y− + − =
.
Bài 3.(KA-2011-KPB)
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : x+y+2=0 và đường tròn:
(C):
2 2
4 2 0x y x y+ − − =
. Gọi I là tâm đường tròn (C) , M là điểm thuộc đường thẳng d . Qua M
kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) ( A,B là các tiếp điểm ). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác
MAIB có diện tích bằng 10 .
Gợi ý
+/ (C):
( ) ( )
2 2
2 1 5x y− + − =
có tâm I(2;1) và bán kính R=1 .
+/ Nếu A,B là hai tiếp điểm thì IA
;MA IB MB⊥ ⊥
và từ giác
MAIB nội tiếp một đường tròn . Theo giả thiết IA=1=IB . Xét tam
giác vuông IAM
1
.
2
IAM
S MA IA⇒ =
1 10
10 2. . . 5 2 5
2
5
MA R MA MA⇔ = = ⇒ = =
và theo định lý Pi
ta go ta có
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 5 5 25IM MA IA= + = + =
(1)
+/ M thuộc d suy ra
( ) ( )
; 2 2 ;3M t t MI t t= − − ⇔ = − +
uuur
+/ Từ (1)
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2 2; 4
25 2 3 2 2 12 0
3 3;1
t M
t t t t
t M
= → = −
= − + + ⇔ + − = ⇔
= − → = −
Bài 4.(KA-2010)
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng
1
: 3 0d x y+ =
và
2
: 3 0d x y− =
. Gọi (T) là đường
tròn tiếp xúc với
1
d
tại A và cắt
2
d
tại B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B . Viết phương
trình của (T) , biết tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương
Gợi ý
Ta thấy
( ) ( )
( )
( )
1 1 2 2 1 2 1 2
3 3 1
1
3;1 ; 3; 1 os d ; os n ;
2.2 2
d n d n c d c n
−
⊥ = ⊥ = − ⇒ = = =
ur uur uuruur
. Do đó ta
thấy
¼
0
60BOA =
. (T) tiếp xúc với
1
d
tại A và tam giác ABC vuông tại B suy ra AC là đường kính ,
do vậy AC
1
d⊥
tại A .
Từ kết quả trên suy ra
¼
0
60BAC =
. Xét tam giác vuông OAB :
0
3
.sin 60
2
OA
AB OA= =
và tam
giác vuông OAC :
0
.tan 60 . 3AC OA OA= =
.
Từ giả thiết :
0
1 3 1 3 3
. sin 60 3
2 2 2 2 2
ABC
S AB AC OA OA= ⇔ =
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 18
d
M
I
A
B
1
R=1
y
x
A
B
C
O
0
60
0
30
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Hay :
2
4 2
3
3
OA OA= ⇔ =
(1)
Do A thuộc
( )
2 2 2 2
1
; 3 3 4d A t t OA t t t⇒ − ⇒ = + =
. Từ (1):
2
4 1
4
3
3
t t= ⇒ = ±
. Vì A có hoành độ dương suy ra
1
3
t =
Và
1
; 1
3
A
= −
÷
. Đường thẳng qua A vuông góc với
1
d ⇒
(AC):
( )
1
3
3
1
x t
t R
y t
= +
⇔ ∈
= − +
(AC) cắt
2
d
tại C :
1 1 2
3 3
3 3 3
2
1 2 ; 2
3
1
3 0
x t x
y t y C
t
x y
= + = − = −
⇔ = − + ⇔ = − ⇒ = − −
÷
= −
− =
Tọa độ tâm I của (T) có tạo độ :
1 3
;
2
2 3
− −
÷
và bán kính IA=
1 1
.2 1
2 2
AC = =
Do đó (T) có
phương trình là :
2
2
1 3
1
2
2 3
x y
+ + + =
÷
÷
Bài 5.(KA2009-PB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C):
2 2
4 4 6 0x y x y+ + + + =
và đường thẳng
∆
có
phương trình x+my-2m+3=0 (với m là tham số thực ). Gọi I là tâm đường tròn (C). Tìm m để
∆
cắt
(C) tại hai điểm A,B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất
Gọi ý
+/ (C):
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2; 2 ; 2x y I R+ + + = ⇒ − =
+/ d(I;d)=
2
1 4
1
m
IH
m
−
=
+
. Để
∆
cắt (C) thì :
2
1 4
2
1
m
m
−
<
+
( )
( )
2
2
4 52 4 52
1 4 4 1
12 12
m m m
− +
⇔ − < + ⇔ < <
(*)
Vậy diện tích tam giác :
¼ ¼ ¼
2
1 1
. sin sin sin 1
2 2
IAB
S IA IB AIB R AIB AIB= = = =
Do dó S đạt GTLN : maxS=1 khi
¼ ¼
0
sin 1 90AIB AIB IA IB= ⇔ = ⇔ ⊥
. Vậy tam giác IAB vuông
cân tại I và
2
2 2 2 1 1IB IH IH IH IH= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
( )
2
2 2
2
0
1 4
1 1 4 1 15 8 0
8
1
15
m
m
m m m m
m
m
=
−
⇔ = ⇔ − = + ⇔ − = ⇔
=
+
Bài 6.(KB-2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C):
( )
2
2
4
2
5
x y− + =
và hai đường thảng
d:x-y=0 ;d': x-7y=0 . Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính đường tròn (C') , biết đường tròn (C')
tiếp xúc với d và d' và tâm K thuộc (C)
Gợi ý
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 19
I(-2;-2)
A B
d
H
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
+/ Gọi K(a;b) , do K thuộc (C) :
( )
2
2
4
2
5
a b− + =
(1). Nếu (C') tiếp xúc với hai đường thẳng d và d'
thì : d(K;d)=d(K;d')
5 5 7
7
5 7
5 5 7
2 5 2
a b a b
a b a b
a b a b
a b b a
− = −
− −
⇔ = ⇔ − = − ⇔
− = −
4 2 2
6 12 2
a b a b
a b a b
= =
⇔ ⇔
= =
. Thay vào (1)
+/ Với b=2a (1)
( )
2
2 2
4 16
2 4 5 4 0
5 25
a a a a⇔ − + = ⇔ − + =
. Phương trình vô nghiệm
+/ Với a=2b thì (1)
( )
2
2 2
4 16 4 4 8
2 2 5 8 0 2 0
5 5 5 5 5
b b b b b b a
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − = ⇒ = → =
÷
Do đó tâm K
8 4
;
5 5
÷
và bán kính R=
8 4
4 2 2
5 5
5
2 2 5 2
a b
−
−
= = =
Bài 7 (KD-2009-PB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) :
( )
2
2
1 1x y− + =
. Gọi I là tâm của (C) .Xác định
tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho
¼
0
30IMO =
Gợi ý
+/ Vì (C) có tâm I(1;0) nằm trên trục Ox với bán kính R=1 thì nó tiếp xúc với Oy tại O suy ra tam
giác IMO cân đỉnh I . Khi đó góc ở đỉnh
¼
0
120MIO =
. Áp dụng hệ thức hàm số cô sin cho tam giác
MIO:
2 2 2 0
2 . . os120OM IM IO IM IO c= + − =
2 2 2 2
1
2 . . 3 3
2
OM R R R R R
⇔ = + − − = =
÷
+/ Gọi M(a;b) ,vì M thuộc (C) :
( )
2
2
1 1a b− + =
và
2
3OM =
2 2
3a b⇔ + =
. Do đó tọa đọ M thỏa mãn :
( )
2
2
2 2
1 1
3
a b
a b
− + =
+ =
( )
2
2
2 2
2
3
1 3 1
2
3
3
4
a
a a
a b
b
=
− + − =
⇔ ⇔
+ =
=
Vậy có hai điểm M
1
3 3
;
2 2
M
−
÷
÷
và
2
3 3
;
2 2
M
÷
÷
( Hai điểm này
đối xứng nhau qua Ox )
Bài 8 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp trong đường tròn
(C) :
( ) ( )
2 2
1 2 5x y− + + =
và điểm A(2;0) . Biết diện tích tam giác ABC bằng 4 . Tìm tọa độ đỉnh
C ,B
Gợi ý
+/ Do tam giác vuông ABC tại B và nội tiếp trong đường tròn (C)
cho nên AC là đường kính , I (1;-2) là tâm của (C) và AC=
2 2
.
+/ Đường thẳng (AC) qua A(0;-2) // véc tơ
( )
1;2IA =
uur
cho nên
(AC):
2
2 4 0
1 2
x y
x y
−
= ⇔ − − =
.
+/ (AC) cắt (C) tại C
( ) ( )
2 2
1 2 5
2 4 0
x y
x y
− + + =
⇔
− − =
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 20
x
y
O I(1;0)
M
0
30
B
A(2;0)
I(1;-2
C
H
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
( ) ( )
0; 4 2;0C C⇒ = − ∨ =
. Chọn C là (0;-4 ) ví C(2;0) trùng A
+/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC thì H=( t;2t-4) và BH=d(B;AC)
+/ Ta có :
2
1 2.4 4
.
2
2 5 5
ABC
ABC
S
S AC BH BH
AC
= ⇒ = = =
. Gọi B(a;b) thì
2 4
( ; )
5
a b
d B AC
− −
=
Do đó :
2 8
2 4
4
2 4 4
2
5 5
b a
a b
a b
b a
= −
− −
= ⇔ − − = ⇔
=
(1)
+/ B nằm trên (C) suy ra :
( ) ( )
2 2
1 2 5a b− + + =
(2)
+/ Nếu b=2a-8 thay vào (2)
( ) ( )
2 2
2
1
7
1 2 6 5 2 15 28 0
2
7 6
a b
a a a a
a b
= → = −
⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔
= → =
+/ Nếu b=2a :
( ) ( )
2 2
2
0 0
1 2 2 5 5 7 0
7 14
5 5
a b
a a a a
a b
= → =
⇔ − + + = ⇔ + = ⇔
= − → = −
* Chú ý : Tìm tọa độ B còn có cách khác
Gọi B(a;b) , do tam giác ABC vuông tại B cho nên
0AB CB ABCB⊥ ⇔ =
uuuruuur
( ) ( )
2 2
2 4 0 2 4 0a a b b a a b b⇔ − + + = ⇔ − + + =
. (1)Kết hợp với diện tích tam giác ABC bằng 4
( ) ( )
2 2
2 2
1
4 . 8 . 2 4 8
2
S AB BC AB BC a b a b= = ⇔ = ⇔ − + + + =
( ) ( )
2 2
2 2
2 4 64a b a b
⇔ − + + + =
(2). Từ (1) và (2) ta cũng suy ra a và b
Bài 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C):
2 2
2 4 20 0x y x y+ − + − =
, và
đường thẳng d có phương trình : 3x+4y-20=0 . Chứng minh d tiếp xúc với (C) , Tam giác ABC có
đỉnh A thuộc (C), các đỉnh B và C thuộc d , trung điểm cạnh AB thuộc (C) . Tìm tọa độ các đỉnh
A,B,C , biết trực tâm của tam giác ABC trùng với tâm của đường tròn (C) và điểm B có hoành độ
dương
Gợi ý
+/ (C):
( ) ( ) ( )
2 2
1 2 25 1; 2 ; 5x y O R− + + = ⇒ − =
Nhận xét : d(O;d)=
3 8 20
25
5
5 5
R
− −
= = =
. Chứng tỏ d tiếp xúc với
(C) . Gọi I là tiếp điểm của d với (C) , vì trực tâm tam giác trùng với
tâm O cho nên AI vuông góc với d suy ra (AI) qua O(1;-2) có
phương trình :
1 3
2 4
x t
y t
= +
= − +
+/ AI cắt (C) tại A thỏa mãn :
( ) ( )
2 2
1 3 1 2 4 2 25t t+ − + − + + =
( )
( )
2
1 2; 6
25 25
1 4;2
t A
t
t A I
= − ⇒ = − −
= ⇔
= ⇒ = ≡
Đồng thời AI cắt d tại I : 3(1+3t)+4(-2+4t)-20=0 ; t=1.
Do đó I(4;2) . Chú ý d chuyển sang tham số thì d:
8 4
1 3
x t
y t
= −
= − +
(*)
+/ Nếu K là trung điểm của AB thì OK là đường trung bình tam giác AIB suy ra IB=2OK.
Hay : IB=2R=10.(1) Vì B thuộc d suy ra B=(8-4t;-1+3t) , với I(4;2)
( )
4 4;3 3BI t t⇒ = − −
uur
+/ Từ (1) :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
8 4 3 3 100 16 1 9 1 100 25 1 100t t t t t− + − = ⇔ − + − = ⇔ − =
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 21
A BK
C
I
O
2x+4y-20=0
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
( )
( )
( )
2
1 12; 4
1 2
1 4
1 2
3 4;3
t B
t
t
t
t B
= − → = −
− = −
⇔ − = ⇒ ⇔
− =
= → = −
. Chọn B(12;-4) do giả thiết cho B có hoành
độ dương .
+/ Đường thẳng (CO) vuông góc với véc tơ
( ) ( ) ( )
2;14 // 1; 7 : 7 15 0AB n CO x y= − = − ⇒ − − =
uuur r
+/ (CO) cắt d tại C thỏa mãn :
( )
8 4 8 4
1 3 1 3 8; 1
7 15 0 0
x t x t
y t y t C
x y t
= − = −
= − + ⇔ = − + ⇒ = −
− − = =
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai dường tròn
( )
2 2
1
: 13C x y+ =
và đường tròn :
( ) ( )
2
2
2
: 6 25C x y− + =
. Gọi giao điểm của hai đường tròn có có tung độ dương là A . Viết
phương trình đường thẳng qua A và cắt hai đường tròn theo hai dây cung có độ dài bằng nhau .
Gợi ý
* Cách 1.
+/ Ta có :
( ) ( )
2 2 1
6;0 , 5; 13C I R R→ = =
.
+/ Hai đường tròn cắt nhau có tạo độ giao điểm thỏa mãn :
( ) ( )
2 2
2
2 2
2
13
2;3 ; 2; 3
9
12 11
x
x y
A A
y
x y x
=
+ =
⇔ ⇔ −
=
+ − =
.
Vì A có tung độ dương cho nên chọn A(2;3).
+ Xét hai tam giác vuông : OAH và IAK :
[ ]
( )
[ ]
( )
2 2
2 2 2
1
2 2 2 2 2
2
; 1
; 2
d O AH R AH
OH OA AH
KI IA AK d I AK R AH
= −
= −
⇔
= − = −
( do AH=AK)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 1 2 1
25 13 12d R d R AH d d R R⇒ − = − = ⇔ − = − = − =
(3)
+/ Đường thẳng d qua A(2;3) có dạng : a(x-2)+b(y-3)=0 hay : ax+by -2a-3b=0 .
Suy ra (3)
( ) ( )
2 2
2
2 2 2 2
0
4 3 2 3
12 3 0
3
b
a b a b
b ab
b a
a b a b
=
− +
⇔ − = ⇔ + = ⇔
= −
+ +
+/ Nếu b=0 .Chọn a=1 suy ra d có phương trình : x-2=0 .
+/ Nếu b=-3a thì chọn a=1;b=-3 khi đó d có phương trình x-3y+7=0 .
* Cách 2. ( sử dụng phương pháp vị tự )
+/ Nếu hai dây cung bằng nhau thì AC=AD
1
:
A
AC AD V D C
−
⇔ = − ⇒ →
uuur uuur
. Như vậy phép vị tự tâm
A biến D thành C cho nên C nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn tâm I qua phép vị tự tâm A tỷ
số vị tự k=-1 . Mặt khác C lại nằm trên đường tròn tâm O suy ra C là giao của đường tròn ảnh với
đường tròn tâm O . Cho nên ta có cách giải sau :
- Đường tròn (C') là anhr của
( )
2
C
có tâm J các đinh bởi :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 4
2
AJ 2;6 ' : 2 6 25
3 3
6
x
x
AI J C x y
y
y
− = −
= −
= − ⇔ ⇔ ⇔ − ⇔ + + − =
− = − −
=
uur uur
Hay
( )
2 2
' : 4 12 15 0C x y x y+ + − + =
. (C') cắt
( )
2
C
tại C thỏa mãn :
2 2
2 2
2
2 2
3 2
3 7
13
13
6 17
3 7 5 21 18 0
4 12 15 0
5 5
y x
x y
x y
x y
y x
x y y y
x y x y
= → =
= −
+ =
+ =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= → = −
= − − + =
+ + − + =
+/ Như vậy : với C
( )
17 6 27 9
; ; // 3;1
5 5 5 5
AC u
− ⇒ = − − =
÷ ÷
uuur r
thì d là (AC) qua A(2;3) //
( ) ( ) ( )
2 3
4; 6 // 3;1 : 3 7 0
3 1
x y
AC u AC x y
− −
= − − = ⇔ = ⇔ − + =
uuur r
.
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 22
A
O I(6;0)
C DH K
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
BÀI TẬP HƯỚNG DẪN TẠI LỚP
Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn :
2 2
( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y+ + =
2 2
( ') : 4 – 5 0C x y x+ + =
cùng đi qua M(1; 0). Viết phương
trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn
( ), ( ')C C
lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.
Bài 12. . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
- 2x - 2my + m
2
- 24 =
0 có tâm I và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai
điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
Bài 13. . Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0.
Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho
3AB =
.
Bài 14. Trong (Oxy) cho điểm M(2;-1) và đường tròn (C):
2 2
9x y+ =
. Viết phương trình đường
tròn (C') có bán kính bằng 4 và cắt (C) theo dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất .
Bài 15. (KD-06). Cho đường tròn (C):
2 2
2 2 1 0x y x y+ − − + =
và đường thẳng d: x-y+3=0. Tìm
điểm M trên d sao cho đường tròn có tâm là M có bán kính gấp đôi bán kính của đường tròn (C) và
tiếp xúc ngoài với (C).
Bài 16. ( KTQD-99). Lập phương trình đường thẳng d qua O cắt đường tròn (C):
( ) ( )
2 2
1 3 25x y− + + =
theo một dây cung có độ dài bằng 8.
Bài 17. Cho đường thẳng
1 2
: 2 4 0, : 1 0d x y d x y+ − = + + =
và hai điểm
( )
( )
1; 5 , 1;3A B −
a/ Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1;1) và tiếp xúc với
1
d
b/ Viết phương trình đường tròn (C') qua A,B và có tâm thuộc
2
d
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn :
( )
2 2
: 2 4 20 0C x y x y+ − + − =
và hai đường
thẳng
1 2
: 2 3 0; : 2 0d x y d x y+ − = + =
. Hãy lập phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại A
đồng thời cắt
1 2
;d d
tại B,C sao cho B là trung điểm của AC .
Bài 19.Cho đường tròn
( )
2 2
: 6 2 6 0C x y x y+ − + + =
và đường thẳng d : 2x-y+1=0 . Tìm điểm M
thuộc d sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) với các tiếp điểm là A và B , biết đường thẳng
AB qua điểm N(2;-1)
Bài 20. Cho đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 3 1 4C x y− + − =
. Và đường thẳng d: x+y+5=0 . Tìm điểm M
thuộc d sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) với các tiếp điểm là A và B sao cho dộ dài
đoạn AB lớn nhất .
Bài 21. Cho
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 2 9C x y+ + − =
và điểm M(2;3) . Viết phương trình đường thẳng d' qua M
cắt (C) tại A và B sao cho
2 2
18MA MB+ =
Bài 22. Cho hai đường thẳng
1 2
: 4 3 14 0; :3 4 13 0d x y d x y− + = + + =
và điểm M(-2;2). Viết
phương trình đường tròn (C) đi qua M tiếp xúc với
1
d
cắt
2
d
theo dây cung AB=8.
Bài 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x-y-1=0 và hai đường tròn :
( ) ( )
2 2 2 2
1 2
: 6 8 23 0; : 12 10 53 0C x y x y C x y x y+ − + + = + + − + =
. Viết phương trình đường tròn
(C) có tâm nằm trên đường thẳng d , tiếp xúc trong với
( )
1
C
và tiếp xúc ngoài với
( )
2
C
Bài 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2;6) và hai đường thẳng d : 2x-y-1=0 và d': 3x-
4y -19 =0 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng d , đi qua A và tiếp xúc
với d' .
Bài 25*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x-2y+5=0 và đường tròn (C) :
2 2
2 4 5 0x y x y+ − + − =
, có tâm là I . Qua M thuộc d , kẻ tiếp tuyến MA đến (C) ( A là tiếp điểm ).
Sao cho
10AM =
. Tìm tọa độ M và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MAI. .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 23
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Bài 23. Cho đường tròn
( )
2 2
: 4 4 4 0C x y x y+ − − + =
và đường thẳng d : x+y-2=0 cắt đường tròn
(C) tại hai điểm A và B . Tìm điểm M thuộc (C) sao cho chu vi tam giác MAB lớn nhất
Bài 24.Cho tam giác ABC vuông tại A, đỉnh B(1;1) . Đường tròn đường kính AB có phương trình :
( )
2 2
: 4 2 4 0C x y x y+ − − + =
cắt cạnh BC tại H sao cho BC=4BH .Tìm tọa độ đỉnh C
Bài 25. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong của góc ABC và đường trung tuyến kẻ từ B
lần lượt có phương trình là
1 2
: 2 0 , : 4 5 9 0d x y d x y+ − = + − =
, biết
1
2;
2
M
÷
thuộc cạnh
AB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
15
6
R =
. Tìm tọa độ các đỉnh B,C .
Bài 26. Cho đường tròn
( )
2 2
: 2 4 4 0C x y x y+ − − − =
. Đường thẳng d : x+y+5=0 cắt (C) tại hai
điểm A,B . Viết phương trình đường thẳng d' tiếp xúc với (C) tại M và cắt đường thẳng d tại N sao
cho MN=AB .
Bài 27. Cho đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 2 3 10C x y− + − =
nội tiếp trong hình vuông ABCD . Tìm tọa độ
các đỉnh hình vuông biết cạnh AB đi qua điểm M(-3;-2) và điểm A có hoành độ dương
Bài 28.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 2 5C x y− + + =
,
¼
0
90ABC =
, điểm
A(2;0) và diện tích tam giác ABC bằng 4 . Tìm tọa độ đỉnh B
Bài 29. Cho đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có đỉnh A(0;5),B(3;-4) . Trọng tâm G nằm
trên đường thẳng d : x-y-1=0 .Trực tâm H có hoành độ bằng 3 .Tìm tọa độ đỉnh C , biết C có hoành
độ dương . Viết phương trình đường tròn (C)
Bài 30. Cho đường tròn
( ) ( )
2
2
: 1 2C x y+ + =
và đường thẳng d: x-2y-4=0 . Tìm tọa độ điểm M
thuộc d sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA.MB đến (C) sao cho diện tích tam giác MAB bằng
1
Bài 31. Cho đường tròn .
( )
2 2
: 2 5 0C x y x y+ − − − =
, và đường thẳng d : 3x+4y-5=0 .Chứng minh
rằng d cắt (C) tại hai điểm B và C . Tìm trên đường tròn (C) điểm A ( có hoành độ âm ) sao cho
tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1 .
Bài 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn
( )
2 2
: 6 5 0.C x y x+ − + =
Tìm điểm M trên
trục tung sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng
0
60
.
Bài 34. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C):
2 2
2 4 20 0x y x y+ + − − =
và điểm A(5;-6) . Từ
A vẽ hai tiếp tuyến AB,AC tới (C) với B,C là hai tiếp điểm . Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC .
Bài 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) :
2 2
6 5 0x y x+ − + =
. Tìm điểm M thuộc
trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng
0
60
.
VI. VỀ E-LÍP
A.KIẾN THỨC
1. Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho
1 2
2MF MF a+ =
( với
1 2
,F F
là hai điểm cố định)
Nếu :
1 2
2F F c=
thì :
1 2
;F F
là hai tiêu điểm của (E) và 2c là tiêu cự của (E) và khi đó phương trình
chính tắc của (E) là :
( )
( )
2 2
2 2 2
2 2
1
x y
a b b a c
a b
+ = > = −
2. (E) nội tiếp trong một hình cữ nhật cơ sở có kích thước là 2avà 2b
3. Tiêu điểm của (E) bao giờ cũng nằm trên trục lớn
- Nếu 2a>2b : thì tiêu điểm nằm trên trục hoành
- Nếu 2a<2b thì tiêu điểm nằm trên trục tung
4. Phương trình chính tắc của (E) là chẵn đối với x và y cho nên (E) có đồ thị nhận hai trục tọa độ
làm trục đối xứng và gốc tọa độ là tâm đối xứng
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 24
Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
5. Tỷ số :
c
a
=e gọi là tâm sai của (E) ( e<1). Đường thẳng x=
a
e
và x=-
a
e
gọi là hai đường chuẩn
của (E) cho nên với một điểm M bất kỳ trên (E) thì ta luôn có :
MH MF=
( Trong đó : H là hình chiếu của M trên đường chuẩn tương ứng , còn F là tiêu điểm ứng với đường
chuẩn tương ứng )
6. Với M bất kỳ ta có :
1
c
MF a x
a
= +
và
2
c
MF a x
a
= −
( gọi là bán kính qua tiêu )
7. Với M bất kỳ ta nên nhớ :
¼
0
1 2
90F MF =
( M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông )
Trên đây tôi chỉ hệ thống một số kiến thức cơ bản để giải toán , yêu cầu các em cần phải xem kỹ lại
về phần ký thuyết của (E) học ở lớp 10
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO
Bài 1.(KB-2012PB).
Trong mặt phẳng Oxy cho hình thoi ABCD có AC=2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh hình
thoi có phương trình
2 2
4x y+ =
. Viết phương trình chính tắc (E) đi qua các đỉnh A,B,C,D của
hình thoi . Biết A thuộc Ox
Gọi ý
Giả sử A(-a;0) từ giả thiết suy ra : AC=2BD
tương đương với OA=2OB và điểm B(
0; )
2
a
.
Gọi H là một tiếp điểm suy ra :
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4
20
4
a
OH OA OB a a
= + ⇔ = + ⇒ =
Giả sử (E) :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
. Với A thuộc (E) :
( )
2
2 2 2
2
2
20
2
1 5 : 1
4 4 20 5
a
a x y
b E
b
÷
= ⇒ = = = ⇒ + =
Bài 2.(KA-2011-PB)
Trong mặt phẳng Oxy cho elips (E):
2 2
1
4 1
x y
+ =
. Tìm tọa độ các điểm A,B thuộc (E) có hoành độ
dương sao cho tam giác OAB cân và có diện tích lớn nhất
Gợi ý
+/ Do A,B có hoành độ dương sỷ ra A,B nằm bên phải Oy .
Tam giác OAB cân , do tính chất đối xứng qua Ox của hàm
số chẵn suy ra A,B đối xứng nhau qua Ox . Nếu gọi A(a;b)
thì B(a;-b) . (Với 0<a<2 ;-1<b<1 ) Khi đó AB=2
b
.
Theo đầu bài :
1 1
. .2 .
2 2
OAB
S AB OH b a a b= = =
(1)
+/ Mặt khác A,B thuộc (E) :
2 2
1
4 1
a b
+ =
. Cho nên ta có :
2 2 2 2
1
1 2 2 . ax 1
4 1 4 2
OAB OAB
a b a b
a b S m S⇔ = + ≥ = = ⇒ =
. Đạt được khi :
2 2
4 1
a b
=
Ôn thi cấp tốc -2013
Trang 25
y
xOA
B
C
D
H
x
y
O
A
B
H
