Tóm tắt ngắn gọn phần QHVG (HHKG)

Nguyễn Quốc Hoàn 0913 661 886 (094 888 111 7)

H 1

CHệễNG III. VECTễ TRONG KHONG GIAN. QUAN HE VUONG GOC TRONG KHONG GIAN

I. Chứng minh hai đ-ờng thẳng vuông góc: d
1
d
2

Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong hình học phẳng (nếu hai đ-ờng thẳng đó đồng phẳng)
Cách 2.
1 2 1 2
u .u 0; u ; u
là các vectơ chỉ ph-ơng của các đ-ờng thẳng
Cách 3.
1
12
2
d ( )
dd
( ) d






Cách 4.
1

12
2
d / / ( )
dd
d ( )









Cách 5. Sử dụng định lý ba đ-ờng vuông góc:



II. Chứng minh đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng: d ()
Cách 1:
1
2
12
12
d
d
d ( )
{M}
, ( )

Cách 2:
d / /
d ( )
()






Cách 3:
d ( )
d ( )
( ) / /( )

Cách 4:
( ) ( )
( ) ( )
d ( )
d ( )
d












Cách 5:
( ) ( ) d
( ) (P) d (P)
( ) (P)

Cách 6: (Trục đ-ờng tròn là đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đ-ờng tròn tại tâm của nó)
B-ớc 1. Tìm một điểm S ở đỉnh cách đều các đỉnh của đa giác đáy. Tìm một điểm H ở đáy cách đều các
đỉnh của đa giác đáy (tâm của đa giác đáy)
B-ớc 2. Đ-ờng thẳng qua hai điểm S và H, đó là trục của đ-ờng tròn. Trục của đ-ờng tròn vuông góc
mặt phẳng chứa đ-ờng tròn tại tâm của nó.

III. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: () ()
Cách 1: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90
0
Cách 2:
d ( )
( ) ( )
d ( )






.

IV. Chứng minh quan hệ song song:
1. a // b
Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong ch-ơng quan hệ song song
Cách 2. Hai VTCP cùng ph-ơng và điểm trên đ-ờng này không thuộc đ-ờng kia
Cách 3.

ab
ab
a (P), b (P)




2. d // ()
Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong ch-ơng quan hệ song song
Cách 2. Gọi
u
là VTCP của d, lấy trong () hai vectơ
a
và
b
không cùng ph-ơng. Ta chứng minh: ba vectơ
u
,
a
,
b
đồng phẳng và điểm bất kỳ trên d không thuộc ()
Cách 3.
d ( )
d d / / ( )
()

3. (P) // (Q)
Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong ch-ơng quan hệ song song Cách 2.




(P) (Q)
(P) Q)
(P) a,(Q) a
.
d
1
()
d
2
()
d
2
()
2
d
'
là hình chiếu của d
2
trên ()

d
1
d
2
d
1

2
d
'
.
Ngun Qc Hoµn 0913 661 886 (094 888 111 7)

H 2

V. Gãc: C¸c gãc cÇn tÝnh ®Ịu tõ 0
0
®Õn 90
0


1. TÝnh gãc gi÷a hai ®-êng th¼ng: a vµ b

C¸ch 1:
   
1
12
2
a / /
a ; b ;

b / /


   





C¸ch 2: Gãc gi÷a hai ®-êng th¼ng b»ng hc bï víi gãc gi÷a hai VTCP

2. TÝnh gãc gi÷a ®-êng th¼ng vµ mỈt ph¼ng: d vµ ()
B-íc 1. T×m h×nh chiÕu d’ cđa d trªn ()

B-íc 2.
   
d ; d' d;( )


Chó ý: Cã thĨ gãc gi÷a d vµ () ®-ỵc quy vỊ gãc gi÷a  vµ () víi  // d, hc gãc gi÷a d vµ () víi () // ()

3. TÝnh gãc gi÷a hai mỈt ph¼ng: () vµ ()

C¸ch 1:
   
a ( )
( );( ) a ; b
b ( )



   





C¸ch 2: cos =
S'
S
(Víi  lµ gãc gi÷a hai mỈt ph¼ng () vµ (), S lµ diƯn tÝch ®a gi¸c H trªn (),
S’ lµ diƯn tÝch ®a gi¸c H’ lµ h×nh chiÕu cđa H trªn ())

C¸ch 3:
   
( ) ( )
K
( );( ) a ;b
a ( ), K a, a
b ( ), K b, b
    




   

    


    




Chó ý 1: §Ĩ t×m ®iĨm K ta th-êng thùc hiƯn nh- sau
 T×m ®-êng th¼ng bÊt kú d  
 d  () = {A} ; d  () = {B}. KỴ AK   t¹i K    (K ; d)    BK

 VËy
   
( );( ) AK;BK  


Chó ý 2: NÕu hai mỈt ph¼ng chøa hai tam gi¸c c©n mµ giao tun chøa c¹nh ®¸y chung cđa hai tam
gi¸c c©n th× chän K lµm trung ®iĨm cđa c¹nh ®¸y ®ã.

VI. Tìm thiết diện:

1. Tìm thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng
Phương pháp:
Tìm 2 đường thẳng cắt nhau hc chÐo nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã cho,
khi đó mặt phẳng cắt sẽ song song (hoặc chứa) 2 đường thẳng ấy.

2. Tìm thiết diện qua một đường thẳng và vng góc với mặt phẳng
Cho mặt phẳng () và đường thẳng d khơng vng góc (). Mặt phẳng () chứa d và vng góc ().
Phương pháp 1: Chuyển từ bài tốn tìm thiết diện vng góc với mặt phẳng
 

thành bài tốn tìm
thiết diện song song với một đường thẳng, mà đường thẳng đó vng góc sẵn với mặt phẳng
 


đã cho trong
giả thiết tìm thiết diện; sau đó áp dụng định lý giao tuyến song song và phương pháp tìm thiết diện suy ra u
cầu bài tốn.
Phương pháp 2: Từ một điểm trên d, tìm đường thẳng  vng góc với (); thì () là mặt phẳng xác
định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và .

VII. H×nh l¨ng trơ, h×nh hép, h×nh chãp cơt. H×nh l¨ng trơ ®øng, h×nh l¨ng trơ ®Ịu, h×nh hép ®øng,
h×nh hép ch÷ nhËt, h×nh lËp ph-¬ng, h×nh chãp ®Ịu, h×nh chãp cơt ®Ịu.

Ngun Qc Hoµn 0913 661 886 (094 888 111 7)

H 3

VIII. Vect¬ trong kh«ng gian:

1. Đònh nghóa và các phép toán
 Đònh nghóa, tính chất vµ các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự
như trong mặt phẳng.
 Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
AB BC AC

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
AB AD AC

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có:
  AB AD AA' AC'

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, K tuỳ ý. Ta có:

IA IB 0
;
KA KB 2KI

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, K tuỳ ý. Ta có:

     GA GB GC 0; KA KB KC 3KG

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, K tuỳ ý. Ta có:

       GA GB GC GD 0; KA KB KC KD 4KG

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:
    a và b cùng phương (a 0) !k : b kaR
.
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), H tuỳ ý. Ta có:



HA kHB
MA kMB; HM
1k
.

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
a,b,c
, trong đó
a và b

không cùng phương. Khi
đó:
a,b,c
đồng phẳng  ! m, n  R:
c ma nb

 Cho ba vectơ
,,
a b c
không đồng phẳng,
x
tuỳ ý. Khi đó: ! m, n, p  R:
  x ma nb pc
.

3. Tích vô hướng của hai vectơ
 Góc giữa hai vectơ trong không gian:
     
00
AB u, AC v (u,v) BAC (0 BAC 180 )

 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho
u,v 0
. Khi đó:
u.v u . v .cos(u,v)

+
u v u.v 0  

+ Với
u 0 hoặc v 0
. Qui ước:
u.v 0
.

4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Để chứng minh ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng ta có thể làm như sau: ta chứng minh hai vectơ
AB, AC

cùng phương, nghĩa là
AB kAC
, hoặc mọi điểm M ta chứng minh
MC mMA nMB
với
m n 1
.

5. Chứng minh bốn điểm thuộc một mặt phẳng
Để chứng minh bốn điểm thuộc một mặt phẳng ta có thể làm như sau:
 Chứng minh:
AB,AC,AD
đồng phẳng tức là
AB mAC nAD
hoặc
pAB mAC nAD 0  
với
2 2 2
p m n 0  
.

 Hoặc chọn một điểm M nào đó rồi chứng minh
MD xMA yMB zMC  
với
x y z 1  
.

Ngun Qc Hoµn 0913 661 886 (094 888 111 7)

H 4

IX. Khoảng cách:
1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: d
(M , ())

Phương pháp:
Bước 1: Xác định đoạn vng góc MH với
 

, bằng cách tìm một mặt phẳng
 

qua M và
   
  
theo giao tuyến
d, hạ
 
 
M,
MH d d MH


  
Bước 2:

MH được tính bằng các định lý của hình học sơ cấp
Lưu ý:
 Khoảng cách d
(M ())
còn được gọi là độ dài đoạn vng góc trong định lý ba đường vng góc
 Sau này ta cũng có thể tìm MH bằng cơng thức tính diện tích hay thể tích của vật thể
Hoặc ta cũng có thể làm theo cách sau:
Bước 1: Tìm đường thẳng
 
a 

Bước 2: Tìm đường thẳng b qua M và song song với đường thẳng a và gọi H là giao điểm của đường thẳng b và mặt
phẳng
 

. Khi đó đoạn thẳng MH là đoạn thẳng cần tìm.

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song:
 
//
,

   
//

Phương pháp: d

( , ())
, d
(() , ())

Bước 1: Lấy một điểm M tùy ý trên  hay trên () Bước 2: Hạ
 
MH   
MH là khoảng cách cần tìm.
Lưu ý: Ta cũng có thể tính MH bằng cơng thức tính thể tích.
3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d
(M , ())

Phương pháp:
C¸ch 1. Bước 1: Từ điểm M, hạ đường vng góc MH tới đường thẳng


Bước 2: Độ dài
 
MH d M,
là khoảng cách cần tìm
C¸ch 2. Tìm mặt phẳng
 

qua M và vng góc với đường thẳng

tại H. Suy ra:
 
MH d M,

C¸ch 3. Sử dụng định lý ba đường vng góc

C¸ch 4. Đơi lúc để tính khoảng cách
 
d M,
ta còn dùng cơng thức tính diện tích hình phẳng.
4. Khoảng cách hai đường thẳng song song: d
(d , ())
, d // 
5. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: a và b chéo nhau
Đường thẳng  cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b
Nếu  cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b
Phương pháp:
C¸ch 1. Sử dụng định nghĩa:

Chọn
A a,B b
sao cho
AB a;AB b


Tính độ dài đoạn AB. Suy ra
 
d a,b AB

C¸ch 2. Sử dụng mặt phẳng song song
 Tìm mặt phẳng (P) chứa b và song song với a  Chọn M  a, vẽ MH  (P) tại H
 Từ H vẽ đường thẳng a // a, cắt b tại B  Từ B vẽ đường thẳng song song MH, cắt a tại A
 AB là đoạn vuông góc chung của a và b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = d(a,(P))
C¸ch 3. Sử dụng mặt phẳng vuông góc
 Tìm mặt phẳng (P)  a tại O  Tìm hình chiếu b của b trên (P)
 Kẻ OH  b tại H  Từ H, kẻ đường thẳng song song với a, cắt b tại B

 Từ B, kẻ đường thẳng song song với OH, cắt a tại A  AB là đoạn vuông góc chung của a và b
Chú ý:
d(a,b) = AB = OH

C¸ch 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa
hai đường thẳng đó.
C¸ch 5. Trường hợp
ab

Bước 1: Tìm mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A.
Bước 2: Vẽ AB  b tại B
Bước 3: AB là đoạn vuông góc chung của a và b

Lưu ý: Hình chiếu trong định lý 3 đường vng góc là đường vng góc chung.

Chó ý: Cã nh÷ng bµi to¸n ta chØ cÇn tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®-êng th¼ng chÐo nhau mµ kh«ng cÇn x¸c ®Þnh ®o¹n
vu«ng gãc chung. §«i khi ta cã thĨ sư dơng ph-¬ng ph¸p thĨ tÝch ®Ĩ tÝnh kho¶ng c¸ch.