TÀI LIỆU ÔN THI TN 2021 TINH NINH THUẬN

TÀI LIỆU ÔN TẬP KIẾN THỨC VÀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CƠ BẢN
CHO HỌC SINH THI TỐT NGHIỆP THPT VÀ BỔ TÚC THPT
MÔN: TOÁN
Nhằm tạo điều kiện và định hướng cho học sinh ôn tập thi tốt nghiệp THPT và bổ túc THPT
đạt hiệu quả, Sở Giáo dục và Đào tạo phát hành tài liệu lưu hành nội bộ về “Ôn tập và rèn luyện kỹ
năng cơ bản cho học sinh thi tốt nghiệp THPT và bổ túc THPT” các môn Ngữ văn, Toán và Tiếng
Anh. Tài liệu có tính chất tạo điều kiện để học sinh ôn tập kiến thức và rèn luyện kỹ năng theo
chuẩn kiến thức, kỹ năng của chương trình Giáo dục phổ thông và là tài liệu tham khảo để giáo viên
ôn tập cho học sinh (Tài liệu không phải là Đề cương ôn thi tốt nghiệp THPT). Ban biên tập rất
mong được sự góp ý của cán bộ, giáo viên và các em học sinh để tài liệu ngày càng hoàn chỉnh hơn.
Phần thứ nhất:
TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba
3 2
, 0y ax bx cx d a= + + + ≠
.
(1) Tập xác định: D = R.
(2) Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên:
- Đạo hàm y' = 3ax
2
+ 2bx + c.
- Xét dấu y' từ đó suy ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
* Cực trị:
- Nếu qua x
0
mà y' đổi dấu từ (+) sang (-) thì hàm số đạt cực đại tại x
0
; y

CĐ
= y(x
0
).
- Nếu qua x
0
mà y' đổi dấu từ (-) sang (+) thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
;y
CT
= y(x
0
).
* Giới hạn:
-
3 2
, 0
lim ( )
, 0
x
a
ax bx cx d
a
→+∞
+∞ >

+ + + =

−∞ <


-
3 2
, 0
lim ( )
, 0
x
a
ax bx cx d
a
→−∞
−∞ >

+ + + =

+∞ <

* Bảng biến thiên:
(3) Vẽ đồ thị:
- Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ.
- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ
trục toạ độ.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương
24
, 0y ax bx c a= + + ≠
.
(1) Tập xác định: D = R.
(2) Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên:
- Đạo hàm y' = 4ax

3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b).
- Xét dấu y' từ đó suy ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
* Cực trị:
- Nếu qua x
0
mà y' đổi dấu từ (+) sang (-) thì hàm số đạt cực đại tại x
0
; y
CĐ
= y(x
0
).
- Nếu qua x
0
mà y' đổi dấu từ (-) sang (+) thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
;y
CT
= y(x
0
).
* Giới hạn:
-
4 2
, 0
lim ( )
, 0

x
a
ax bx c
a
→±∞
+∞ >

+ + =

−∞ <

.
* Bảng biến thiên:
(3) Vẽ đồ thị:
- Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ.
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
1
- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ
trục toạ độ.
3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức :
( 0)
ax b
y ac
cx d
+
= ≠
+
.
(1) Tập xác định: D =

\
d
R
c
 
−
 
 
.
(2) Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên:
- Đạo hàm
2
( )
ad cb
y
cx d
−
′
=
+
.
- Nếu y' > 0 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (
;
d
c
−∞ −
) ,(
;
d

c
− + ∞
).
- Nếu y' < 0 thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (
;
d
c
−∞ −
),(
;
d
c
− + ∞
).
* Cực trị: Hàm số không có cực trị.
* Giới hạn và tiệm cận:
- Tìm các giới hạn khi
, ( )
d
x x
c
±
→ ±∞ → −
.
- Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x =
d
c
−
làm tiệm cận đứng và đường thẳng
y =

a
c
làm tiệm cận ngang.
* Bảng biến thiên:
(3) Vẽ đồ thị:
- Vẽ các đường tiệm cận lên hệ trục toạ độ.
- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ
trục tọa độ.
B. Bài tập luyện tập.
1. Cho hàm số
3 2
( ) 3 4y f x x x= = + −
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Biện luận số nghiệm phương trình
3 2
3 0x x m+ + =
tuỳ theo giá trị của tham số m.
(ĐS: m<-4 hoặc m>0 :1 nghiệm; m=-4 hoặc m=0: 2 nghiệm; -4<m<0: 3 nghiệm.)
2. Cho hàm số
3
( ) 3y f x x x= = − +
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. (ĐS:
9
2
S =
.)
3. Cho hàm số

3
( ) 1y f x x= = −
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox. (ĐS:
3 3y x= −
)
4. Cho hàm số
3
( ) 2 3y f x x= = − +
(C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A nằm trên (C) có hoành độ bằng -1 .
(ĐS:
6 1y x= − −
)
5. Cho hàm số
4 2
( ) 2y f x x x= = −
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm
(1; 1)M −
.
ĐS:
32
1,
22 7
5
7

y y x= − = − +
.
6. Cho hàm số
4 2
3( ) 2y f x x x+= − +=
.
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Tính khoảng cách giữa 2 điểm cực đại của đồ thị hàm số. (ĐS: d=2)
7. Cho hàm số
4 2
1 3
( )
2 2
y f x x x= −= +
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Biện luận số nghiệm phương trình
24
2 0x x m+ + =
tuỳ theo giá trị của tham số m.
(ĐS: m>0: vô nghiệm; m=0: 1nghiệm; m<0: 2 nghiệm)
8. Cho hàm số
4 2
1 1
( )
4 2
1y f x x x= − − +=

(C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Biện luận theo m, số giao điểm của (C) và (d):y=m .
(ĐS: m>1: không có giao điểm; m=1: 1giao điểm; m<1: 2 giao điểm)
9. Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Tìm các giá trị m để đường thẳng
2y mx= +
cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân
biệt. (ĐS: m < -12 hoặc m > 0)
10. Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+

(H).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) M là điểm bất kỳ thuộc (H). I là giao điểm hai tiệm cận . Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm
cận tại A và B.
i. Chứng minh M là trung điểm AB.
ii. Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi.
iii. Tìm M để IA+IB nhỏ nhất. (ĐS: M(0;1) hoặc M(-2;3).)
11. Cho hàm số
2
1
y
x
=
−
; gọi đồ thị hàm số là (H)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
2 5 0x y+ − =
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
4 6
os siny c x x= +
.
12. Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − +
; gọi đồ thị hàm số là (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Trên (C) lấy điểm A có hoành độ
2

A
x =
. Viết phương trình đường thẳng
d
qua A và
d

tiếp xúc với (C).
c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2cosy x x= +
trên
0;
2
π
 
 
 
.
13 : Cho hàm số
3
3 1y x x= − −
; gọi đồ thị hàm số là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3
3 1 0x x m− − − =
.
c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
cos 2 sin .cos 4y x x x= − +

.
14. Cho hàm số
4
4
y
x
=
−
; gọi đồ thị hàm số là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ là 3.
c)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
4y x x= + −
.
15. Cho hàm số
3
2
y
x
=
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm k để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ, có hệ số góc k, cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
3
c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 4

sin cosy x x= +

16. Cho hàm số
2 3
1
x
y
x
+
=
− +
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm các điểm trên đồ thị
( )
C
của hàm số có tọa độ là những số nguyên.
c)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
(3 ) 1y x x= − +
trên đoạn [0;2].
17. Cho hàm số y = –x
4
+ 2x
2
+ 3 có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị của m để phương trình x
4
– 2x

2
+ m = 0
có 4 nghiệm phân biệt.
c) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
2
4
1
x x
y
x
+ +
=
+
trên [0;3].
18. Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − +
; gọi đồ thị hàm số là (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số đã cho.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
3 2
3 2 5 1f x x x x= − − +
trên
[ ]
0;3

.
19. Cho hàm số
4 2
1
4 6
2
y x x= − +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
4 2
1
4 0
2
x x m− + + =
có 4 nghiệm phân biệt.
c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
4
1
f x x
x
= +
+
trên đoạn
[ ]
0;2
.
20. Cho hàm số y = x
4
- 2mx

2
+ 2m + m
4
; (l)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m =1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (l) có 3 điểm cực trị.
c) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:
2
1
1
x
y
x x
+
=
− +
II. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
( )y f x=
trên D
A. Hai cách thường dùng.
Cách 1: - Lập bảng biến thiên của hàm số
( )f x
trên D.
- Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN .
Cách 2: Nếu
( )f x
liên tục trên D = [a;b]
- Tìm các điểm
1 2

, , ,
n
x x x…
trên khoảng (a;b) mà tại đó
,
( )f x
bằng 0 hoặc
,
( )f x
không tồn tại.
- Tính
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b…
.
- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
- Ta có
[ ; ] [ ; ]
min ( ) ,max ( )
a b a b
f x m f x M= =
.
B. Bài tập.
1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
( ) 9f x x x x= + +
trên đoạn [-3;5].
(ĐS:
[ 3;5] [ 3;5]

min ( ) ( 3) 45,max ( ) (5) 195f x f f x f
− −
= − = − = =
)
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4
( )
2
f x x
x
= +
−
trên đoạn [3;5].
(ĐS:
[3;5] [3;5]
min ( ) (4) 6,max ( ) (3) 7f x f f x f= = = =
)
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
( ) 2 1
2
2
f x x
x
= − +
+
trên khoảng
5
( ; )
2
−∞ −

.
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
4
(ĐS:
5
( ; )
2
max ( ) ( 3) 9f x f
−∞ −
= − = −
,
( )f x
không có GTNN )
4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
( ) 8f x x x= + −
.
(ĐS:
max ( ) (2) 4,min ( ) ( 8) 8f x f f x f= = = − = −
)
5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
( ) 9 3f x x= −
trên đoạn [-2;2].
(ĐS:
[ 2;2] [ 2;2]
min ( ) (2) 3,max ( ) ( 2) 15f x f f x f
− −
= = = − =
)

6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
1
( ) sin cos
2
f x x x= − +
.
(ĐS:
2
3
6
min ( )
7
4
2
6
x k
f x
x k
π
π
π
π

= − +

= − ⇔


= +



,
2
3
max ( ) 2
2
f x x k
π
π
= ⇔ = +
)
7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
( ) cos cos 1f x x x= + −
trên đoạn
3
[0; ]
2
π
.
(ĐS:
min ( ) 1
3
2
2
x
f x x
x
π

π
π


=


= − ⇔ =



=

,
max ( ) 1 0f x x= ⇔ =
)
8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 4
( ) cos sinf x x x= +
.
(ĐS:
1
min ( )
2 4 2
f x x k
π π
= ⇔ = +
,
max ( ) 1
2

f x x k
π
= ⇔ =
)
9. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
( )
x
x
e
f x
e e
=
+
trên đoạn
[ln 2 ; ln 4]
.
(ĐS:
[ln2;ln 4] [ln2;ln4]
2
min ( ) (ln 2) ,max ( ) (ln 4)
2 4
4
f x f f x f
e e
= = = =
+ +
)
10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
( ) ln( 5 )f x x x= + +

trên đoạn [-2;2].
(ĐS:
[ 2;2] [ 2;2]
min ( ) ( 2) 0,max ( ) (2) ln5f x f f x f
− −
= − = = =
)
III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
1.
( )F x
là một nguyên hàm của
( ) tan .sin 2f x x x=

a) Tính
( )
6
''F
π

b) Biết đồ thị hàm số y =
( )F x
cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 5. Hãy xác định
( )F
x
.
2.
3
( ) ( .sin .cos )
x
F x a x b xe

−
+=
là một nguyên hàm của

3
( ) (3.sin 4.cos )
x
f x x xe
−
−=
. Hãy xác định các giá trị của a và b.
3.
( )F x
,
( )G x
lần lượt là các nguyên hàm của

2
2
1
( )
sin . os
f x
x c x
=
và
3
1
( )
x

x
e
g x
e
+
=
. Biết
1
( ) ( ln 2 )
4 2
F G
π
= =
.
Hãy tính :
3
( )
4
F
π
và
( )0G
.
4. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
1
: ( )
1 2
x
f f x

x
−
=
−
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
5
5. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
1 1 1
: ( ) sin osf f x c
x x x
=
6. Tìm nguyên hàm của hàm số
1
: ( )
2
x
x
e
f f x
e
+
=
+
7. Tìm nguyên hàm của hàm số
3
: ( ) 3 log
x
f f x x= +

8. Tìm họ nguyên hàm : I =
3 3
4
2011( ) . .
x x
e e dx+
∫
; J =
2011
(1 ) .dxx x−
∫
9. Tìm họ nguyên hàm : I =
1
( .ln ).
.ln
x x dx
x x
−
∫
10. Tính tích phân : I =
1
4
0
(1 2 ) .x dx−
∫
; J =
2
3
1
2

0
.
( 1)
x dx
x +
∫
11. Chứng tỏ :
2 2
1
0
(1 ) .x x dx−
∫
=
3 3
ln2 ln15
log log 26
e
+
−
12. Tính tích phân : J =
( )
4
2
0
cos3 .sinx tan 3x x dx
π
− +
∫
13. Tính tích phân : I =
1

2 2
1
2
x x
e e d x
−
−
+ −
∫
; J =
2
4 2
2
2 1x x d x
−
− +
∫

14. Tính tích phân : I =
2
0
os( )
3 3 3
x x
c dx
π
π
× −
∫
; J =

2
1
( 1)ln
e
x x x dx+ +
∫
15. Tính tích phân : I =
ln2
0
3
x
x
dx
e
−
×
∫
; I =
2
0
cos
x
e x dx
π
∫
16. Tính tích phân : I =
1
ln
ln3
x

x
dxe
+
∫
; J =
2
1
0
.
.
2
x
x
dx
e
∫
17. Tính tích phân : I =
4
2
0
.tanx x dx
π
∫
; I =
2
2
0
.cos .x x dx
π
∫

; J =
2 3
2
0
sin . osx c x d x
π
∫
18. Tính tích phân : I =
2
3
0
cos
.
(2 sin )
x
dx
x
π
+
∫
; J =
6
0
os ( ).cos2 .
6
c x x dx
π
π
−
∫

19. Tính tích phân : I =
2
0
sin 5 2cos .x x dx
π
−
∫
; J =
2
1
3
ln
.
(1 )
x
dx
x+
∫
20. Tính tích phân : I =
2
1
2
2
4
. ln( 1) .x dx
x
x
 
+ +
 

 
∫
; I =
0
cos
( ).sin .
x
x dxxe
π
+
∫
21. Tính tích phân : I =
6
2
0
tan
sin 2
.
os
x
x
dx
c x
e
π
+
∫
22. Tính tích phân : I =
1
3

0
. 1 . dxx x+
∫
; J =
3
1
2
0
. 1 .x dxx +
∫
22. Tính tích phân : I =
0
4
2 1
.
1 2 1
x
dx
x
+
+ +
∫
; I =
3
2
0
3 x dx−
∫

Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp

THPT”
6
23. Tính tích phân : K =
2
3
2
0
8 1
4 3
x
d x
x
+
+
∫
;
2
0
1
9
6 5
x
I d x
x x
−
−
=
− +
∫

24. Tính tích phân :
2
1
0
10 3
6 9
x
I d x
x x
−
=
− +
∫
;
2
4
3
4 11
6 10
x
I d x
x x
−
=
− +
∫

25. Tính tích phân : I =
2
0

1 sin cos
dx
x x
π
+ +
∫

26. a) Cho hàm số y = f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn
[ ]
;a a−
.
Chứng minh rằng :
( ) 0
a
a
f x dx
−
=
∫
.
b) Vận dụng kết quả trên, hãy tính tích phân: G =
3
4
2
4
3 sin 6
os
x x x
dx
c x

π
π
−
− + −
∫
27. a) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
.
Chứng minh rằng :
( ) ( )
b b
a a
f x dx f a b x dx= + −
∫ ∫
.
b) Vận dụng kết quả trên, hãy tính tích phân : K =
4
0
(1 tan )ln x dx
π
+
∫
28. a) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi (C):
2
1
x
y
x
−

=
+
và hai trục tọa độ.
b) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.
29. Tính diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường sau :

4 2
1 ; 3 ; 0 ; 2 3x x y y x x= − = = = + +
30. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox :
a)
sin , 0 , 0 ,
2 4
x
y y x x
π
= = = =
; b)
ln , 0 ,y x y x e= = =
.
IV. LÔGARÍT
1. a) Rút gọn biểu thức sau: E =
3 4 5 6 8
log 2.log 3.log 4.log 5.log 7
b) Cho biết lg2 = a, lg3 = b. Tính lg
24
25
theo a và b
2. Tìm tập xác định của hàm số: y =
1
3

1 log ( 2)x− −
.
3. Cho hàm số y =
2
ln( 1)x +
.
a) Tính y’.
b) Giải phương trình .
1 0y
′
+ =
.
4. Giải phương trình log
3
(x + 1) - log
1
3
(x + 3) = 1.
5. Giải phương trình:
2 4
log log ( 3) 2x x− − =
6. Giải phương trình:
2
6log 1 log 2
x
x = +
7. Giải phương trình
( ) ( )
2
2

2 1
2
log 1 log 1 5 0x x+ − + − =
8. Giải bất phương trình
1
3
3 1
log 1
2
x
x
−
>
+

Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
7
9. Giải bất phương trình
1 1
1
1 log logx x
+ >
−
10. Giải bất phương trình
2
0,2 0,2
log 5log 6x x− ≤ −
V. HÀM SỐ MŨ
1. Giải phương trình:

2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
HD giải : Đặt
2
2 0
x x
t t
−
= ⇒ >
.
Khi đó phương trình trở thành:
2
4
3 3 4 0 ( 1)( 4) 0 4t t t t t t
t
− = ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔ =
(vì
0t >
).
2
2
2 4 2 1 2
x x
x x x hay x
−
= ⇔ − = ⇔ = − =
. Do đó phương trình có 2 nghiệm là:

1 ; 2x x= − =
.
2. Giải hệ phương trình:
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −


+
=

 +
HD giải: hệ phương trình đã cho
3 2 3 2
2 5 4 5 4 0
2 2 0
x
x x
y y y y y
y y

 
= − − + =
⇔ ⇔
 
= = >
 

0 1 4 1 4
2 0 0 2
x
y hay y hay y y y
hay
y x x
= = = = =
  
⇔ ⇔
  
= > = =
  
3. Tìm
a
để bất phương trình
( )
2
.9 1 .3 1 0
x x
a a a
+
+ − + − >
được nghiệm đúng với mọi

x
.
HD giải : Đặt
3 0
x
t = >
. BPT
2 2
9( 1) 1 0 ( 9 1) 9 1at a t a a t t t⇔ + − + − > ⇔ + + > +

( )
2
9 1
1
9 1
t
a
t t
+
⇔ >
+ +
. Bất phương trình đã cho sẽ được nghiệm đúng
( )
1x∀ ⇔
đúng
0t∀ >
.
Xét hàm số
( )
2

9 1
9 1
t
f t
t t
+
=
+ +
. Ta có :
( )
( )
2
2
2
9 2
' 0, 0
9 1
t t
f t t
t t
− −
= < ∀ >
+ +

Do đó xét bảng biến thiên ta được
( )
1
đúng
( )
0 max 1t a f t a∀ > ⇔ ≥ ⇔ ≥

.
4. Giải phương trình:
3 1
125 50 2
x x x+
+ =
HD giải :
125 50 125 25
2 2 0
8 8 8 4
x x x x
PT
       
⇔ + = ⇔ + − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Đặt
5
0
2
x
t
 
= >
 ÷
 
. PT thành
3 2
2 0t t+ − =
. Giải phương trình trên ta được

1t =
suy ra
0x
=
.
5. Tìm
m
để bất phương trình
2 2 2
2 2 2
.9 (2 1)6 .4 0
x x x x x x
m m m
− − −
− + + ≤
nghiệm đúng với mọi
x

thỏa mãn điều kiện
1
2
x ≥

HD giải : BPT
( )
( )
2 2
2 2 2
3 3
. (2 1) 10

2 2
x x x x
m m m
− −
   
⇔ − + + ≤
 ÷  ÷
   
Đặt
2
2
3
2
x x
t
−
 
=
 ÷
 
do điều kiện
1
2
x ≥

( )
2
2
3 3
' 4 1 .ln

2 2
x x
t x
−
 
⇒ = −
 ÷
 
luôn cùng dấu với
4 1x
−
.

t⇒
lấy các giá trị trong
[1; )+∞
.
( ) ( )
2 2
1 2(2 1) 0 ( 2 1) 1mt m t m m t t⇔ − + + ≤ ⇔ − + ≤
( )
1
đúng
( )
1
2
2
x∀ ≥ ⇔
đúng
[1; )t∀ ∈ +∞

( )
2
1
, 1 0
1
m t m
t
⇔ ≤ ∀ > ⇔ ≤
−
6. Giải phương trình:
3 5 6 2
x x
x+ = +
HD giải : Đặt
( )
3 5 6 2
x x
f x x= −+ −
. Phương trình tương đương với:
( )
0f x =

Dễ thấy phương trình có
0; 1x x= =
là nghiệm
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
8
Ta có
( )

' .ln3 .3 6ln55
x x
f x += −
và
( )
2 2
" .ln 3 .3 n 5 05 l
x x
f x += >
với
x∀ ∈¡

( ) ( )
min ' ; min ' 6
x x
f x f x
→+∞ →−∞
= +∞ = −
Suy ra
( )
'f x
là hàm liên tục, đồng biến và nhận cả giá trị âm, cả giá trị dương trên
¡
nên
phương trình
( )
' 0f x =
có nghiệm duy nhất
o
x

.
Từ bảng biến thiên của hàm
( )
f x
( )
0f x⇒ =
có không quá hai nghiệm.
Vậy phương trình có đúng hai nghiệm :
0; 1x x= =
Chú ý : Có thể chứng minh phương trình
( )
' 0f x =
có nghiệm như sau :
Ta có :
( )
' 0 ln 3 ln5 5 0f = + − <
và
( )
' 1 3ln 3 5ln 5 6 0f = + − >
Suy ra phương trình
( )
' 0f x =
có nghiệm duy nhất
( )
0;1
o
x ∈
.
7. Giải phương trình:
1

5 .8 500
x
x
x
−
=
HD giải :
( )
1
3( 1) 3
3
3 2 3 3
5 .2 5 .2 5 2 5 2
x
x x
x
x x x
x x
PT
−
− −
−
− −
⇔ = ⇔ = ⇔ =

( )
1
1
1
3

3
3
5
3 0
3
1
5 5.2 1
log 2
2
5.2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
− =
 =

 
⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔

 ÷


= −
=
 


8. Giải phương trình:
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x− − − − −
− + =
HD giải : Đặt
2
2
5
2
3
2 5 1
2 ( 0)
9
4
5 2
4
x x
x
t x x
t t
t
x
x x

− −
=


= − − =



= > ⇒ ⇒ ⇔


=
=


− − =


9. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
− + + =
HD giải : Đặt
(
)
2 3

x
−
=t (t>0). phương trình trở thành :
2 3 2
1
4
2
2 3
t x
t
x
t
t

= − =

+ = ⇔ ⇒


= −
= +



10. Giải phương trình:
( ) ( )
7 5 2 ( 2 5) 3 2 2 3(1 2) 1 2 0
x x
x
+ + − + + + + − =

.
HD giải : Đặt
(1 2) ; 0
x
t t= + >

3 2 2
( 2 5) 3 1 2 0 ( 1)( ( 2 4) 2 1) 0PT t t t t t t⇔ + − + + − = ⇔ − + − + − =
1
0
3 2 2 2
1
1 2
t
x
t x
x
t
=

=



⇔ = − ⇒ = −




=

= +


11. Giải phương trình:
( )
3 2 ( 3 2) ( 5)
x
x x
− + + =
HD giải: PT
3 2 3 2
1
5 5
x x
   
− +
⇔ + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
. Đặt
3 2 3 2
, 0 1; , 1
5 5
u u v v
− +
= < < = >
+ Nếu
0 : 0; 1 1
x x

x u v VT≥ > ≥ ⇒ >
+ Nếu
0 : 1; 0 1
x x
x u v VT< ≥ > ⇒ >
. Vậy PT vô nghiệm.
12. Giải phương trình:
2 2
3.16 (3 10)4 3
x x
x x
− −
+ − + −
HD giải : Đặt
2
4 , ( 0).
x
t t
−
= >
PT trở thành :
2
3 (3 10) 3 0t x t x+ − + − =

2
4
2
1
1
4

2 log 3
3
3
2
3
4 3
x
x
x
t
x
t x
x
−
−


=
= −
=



⇔ ⇒ ⇔



=

= −

= −



13. Tìm m để phương trình
.2 2 5 0
x x
m
−
+ − =
có nghiệm duy nhất.
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
9
HD giải: Đặt
2 , .
x
t t o= >
Pt trở thành :
( )
2
1
5 0 ( ) 5 1 0 *mt f t mt t
t
+ − = ⇔ = − + =
+ Nếu
1
0 :
5
m t= =

(t.m) ;
+ Nếu
0 :m ≠
PT đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình
( )
*
có duy nhất
1 nghiệm dương.
Xét 3 trường hợp :
1 2
1 2
1 2
0
0
0
0 không có
25
0 và 0
0
4
t t
m
m
t t m
m
m
t t
< <
<



<




= < ⇔ ⇔



=


≠ ∆ =
< =



14. Tìm a để phương trình
( ) ( )
5 1 5 1 2
x x
x
a+ + − =
có nghiệm duy nhất.
HD giải : PT
5 1 5 1
1
2 2
x x

   
+ −
⇔ + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Đặt t =
5 1
2
x
 
+
 ÷
 ÷
 
(t>0) phương trình trở thành :
2
1 0
a
t t t a
t
+ = ⇔ − + =
Đáp số :
1
0
4
a hay a≤ =
.
15. Tìm m để phương trình
.16 2.81 5.36

x x x
m + =
có nghiệm duy nhất.
HD giải: Đặt
9
; 0
4
x
t t
 
= >
 ÷
 
. Phương trình trở thành
2
2 5 0 (*)t t m− + =

2
2 5m t t⇔ = − +
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình
(*)
có đúng một
nghiệm dương. Khảo sát hàm số
2
2 5y t t= − +
trên (0 : +∞) ta được
25
; 0
8
m m= ≤

.
VI. SỐ PHỨC
1. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O
trong mặt phẳng phức biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
2. Chứng minh: a) Số phức Z là số thực khi và chỉ khi
Z Z=
.
b) Số phức Z là số ảo khi và chỉ khi
Z Z= −
.
3. Chứng minh rằng mọi số phức Z
1
, Z
2
ta có:
1 2 1 2
Z Z Z Z+ = +
;
1 2 1 2
.Z Z Z Z=
4. Tìm số phức Z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a)
2Z =
và Z là số ảo.
b)
5Z =
và phần thực bằng hai lần phần ảo.
5. Chứng minh:
3
(1 ) 3 2 5i i i+ + = − +

.
6. Chứng minh:
7
7
1 1
1
2
i
i
i
 
 ÷
 
− = −
.
7. Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn bất đẳng thức:
1 1Z i− − <
.
8. Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn bất đẳng thức
1 2z< ≤
.
9. Tìm mô đun số phức:
3
4 3 (1 )Z i i= − + −
.
10. Cho số phức Z thỏa
2 8Z Z i+ = +
. Hãy tìm
2
Z

.
11. Tìm 2 số thực x, y thỏa mãn
3
(3 5 ) (1 2 ) 9 14x i y i i+ + − = +
.
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
10
12. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: (3 + 4i)z + (1 – 3i) = 2 + 5i
13. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z
2
– 4z + 6 = 0.
14. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z
2
– 8(1 – i)z + 63 – 16i = 0
15. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z
3
– 8 = 0.
16. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z
4
+ 4z
2
– 5 = 0.
17. Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm của phương trình: z
2
+ 2z + 10 = 0. Tính

2
1 2
A z z= +
.
18. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết rằng z là acqumen
3
π
.
19. Chứng minh rằng số phức
2 3z i= + +
có 1 acqumen là
.2
12
k
π
π
+
.
20. Tính giá trị
0 2 4 2008 2010
2010 2010 2010 2010 2010
A C C C C C= − + − + −
.
VII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Cho hình chóp SABC có SA
⊥
(ABC) SA=
3a
,
ABC∆

đều cạnh bằng a. M, N lần lượt là
hình chiếu của A trên SB, SC
a) CMR MN song song mp(ABC)
b) Tính thể tích khối chóp ABCNM
2. Cho hình chóp SABC có đường cao SA = a;
ABC
∆
vuông cân, AB = BC = a, gọi
B
′
là
trung điểm cạnh SB , C
’
là chân đường cao hạ từ A của
SAC∆
.
a) CMR SC
⊥
(AB’C’).
b) Tính thể tích khối chóp S. AB’C’.
3. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân, AB = AC ;
·
BAC
=
2
α
; hai mặt bên SAB, SAC
cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SB= b tạo với đáy góc
β
. Tính thể tích khối chóp SABC.

4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên tạo với đáy 1 góc
α
.
a) Vẽ thiết diện qua AC vuông góc SD
b) Tính tỉ số thể tích 2 phần của hình chóp bị chia cắt bởi thiết diện trên.
5. Tính thể tích khối hộp ABCD.A
’
B
’
C
’
D
’
biết AA
’
B
’
D
’
là khối tứ diện đều cạnh a.
6. Cho hình chóp tam giác đểu có cạnh đáy bằng a’ mặt bên tạo với đáy 1 góc
0
60
.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón ngoại tiếp khối chóp.
7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA
⊥
(ABCD), SC hợp với mặt phẳng
đáy 1 góc

0
60
. Gọi H, I , K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC, SD.
a) Chứng minh 7 điểm A, B, C, D, H, I, K thuộc một mặt cầu. Tính thể tích khối cầu đó.
b) Tính thể tích khối chóp SABCD
8. Cho tứ diện ABCD có AD=AC = a , AB = 2a, AD
⊥
(ABC) ,
ABC
∆
vuông ở C.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
9. Cho hình chóp SABC có SA = SB= SC = a ,
·
ASB
=
·
BSC
=
0
60
,
·
ASC
=
0
90

a) CMR

ABC∆
vuông . Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC
10. Cho hình chóp SABC có hình chiếu của đỉnh S trên (ABC) là trung điểm của cạnh AC,
SA = SB = SC = a , SB tạo với đáy 1 góc
0
60
và
·
ABC
=
0
30
.
a) CMR
ABC
∆
vuông . Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC
11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, các cạnh bên đều bằng a, góc giữa cạnh
bên và mặt đáy bằng
0
30
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
12. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
’
B
’
C
’

có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA
’
= 2a, đường
thẳng AA
’
tạo với mặt phẳng (ABC) một góc
0
60
. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
11
13. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy
một góc
0
60
. Tính thể tích khối chóp trên.
14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
·
0
60ACB =
, cạnh
BC = a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30
0
. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A′B′C′ .
15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh BC=2a, SA= a, SA⊥
mp(ABCD), SB hợp với mặt đáy một góc 45
0
. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABCD.
16. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh AB = a, BC = 2a; SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA =
2a
.Gọi A′ và B′ lần lượt trung điểm của SA và SB.
Mặt phẳng (CA′B′) chia hình chóp thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
17. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60
0
.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy
hình chóp đã cho.
18. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là
60
o
.
Tính thể tích khối chóp theo a.
19. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh a. Tính diện tích xung quanh,
diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ.
20. Một hình nón có đỉnh S, khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a,
·
30SAO =
o
,
·
60SAB =
o
. Tính độ dài đường sinh theo a .
VIII. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Chủ đề 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.

(1;2;5); (3;4;1); (1;2; 5)a b c= = = −
r r r
a) Tìm tọa độ
2 3 4d a b c= − +
ur r r r
.Tính độ dài của
d
ur
b) Tính
( 2 )a b c+
r r r
Hướng dẫn giải:
a)
( 3;0; 13) ; 178d d= − − =
ur ur
; b)
( 2 ) 2 16 2( 20) 24a b c ab ac+ = + = + − = −
r r r rr rr
2. Cho A(1;2;3) ; B(-1;3;4) ; C(0;4;1)
a) Chứng minh rằng : A; B; C không thẳng hàng
b) Tìm tọa độ trọng G của tam giác ABC
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
d) Tính góc A của tam giác ABC.
Giải: a)
( 2;1;1) ; ( 1;2; 2)AB AC= − = − −
uuur uuur
Hai vec tơ này không cùng phương nên 3 điểm A ; B ; C không thẳng hàng.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.Ta có :
1
( ).

3
OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
O là gốc tọa độ.
Từ đó ta có
8
(0;3; )
3
G
c) Chu vi tam giác ABC :
6 3 11AB AC BC+ + = + +
Diện tích tam giác ABC :
( )
2
2 2
1 5 2
. .
2 2
S AB AC AB AC= − =
uuur uuur
d)
. 2
cos cos( ; )
.
3 6
AB AC
A AB AC
AB AC
= = =
uuur uuur

uuuruuur
3. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ( S ) có phương trình :
a)
2 2 2
4 2 2 1 0x y z x y z+ + − + − + =
b)
2 2 2
2 2 2 6 8 4 8 0x y z x y z+ + − + + − =
Giải: a) Phương trình mặt cầu đă cho tương đương phương trình:
2 2 2
( 2) ( 1) ( 1) 5x y z− + + + − =
Vậy mặt cầu đã cho có tâm I(2;-1;1); bán kính R =
5
.
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
12
b) Phương trình mặt cầu đã cho tương đương PT:
2
2 2
3 45
( 2) ( 1)
2 4
x y z
 
− + + + + =
 ÷
 
Vậy mặt cầu đã cho có tâm
3

; 2; 1
2
I
 
− −
 ÷
 
, bán kính R =
3 5
2
.
4. Viết phương trình mặt cầu (S ) trong mỗi trường hợp sau :
a) Đường kính AB với A(1;2;-3) ; B(5;4;1)
b) Mặt cầu (S) có tâm M(2;1;4) và tiếp xúc mặt phẳng ( P ) : : 3x + 4y+ z – 5 = 0
c) Mặt cầu ( S ) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1;-2;-1); B(4;3;3); C(5;6;-1); D(-3;3;-4).
Giải: a) Mặt cầu ( S) có đường kính AB nên tâm I của mặt cầu (S) là trung điểm I của AB.
Do đó I ( 3;3;-1) ; R =
2
AB
= 3. Phương trình mặt cầu ( S ) :
2 2 2
( 3) ( 3) ( 1) 9x y z− + − + + =
.
b) Mặt cầu (S) tâm M, tiếp xúc mặt phẳng (P) nên bán kính: R=d(M;(P))=
6 4 4 5
9
9 16 1 26
+ + −
=
+ +

Phương trình mặt cầu (S) :
2 2 2
81
( 2) ( 1) ( 4)
26
x y z− + − + − =
c) Phương trình mặt cầu ( S) có dạng :
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
Mặt cầu ( S) đi qua 4 điểm A ; B ;C ; D nên ta có :
6 2 4 2 0
34 8 6 6 0
62 10 12 2 0
34 6 6 8 0
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
+ − − + =


+ + + + =


+ + − + =


− + − + +


Giải hệ phương trình trên ta được : a = -1; b= -3; c = 1; d= -14.
Vậy phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
2 2 2
2 6 2 14 0x y z x y z+ + − − + − =
.
5. Viết phương trình mặt cầu ( S ) trong mỗi trường hợp sau :
a) Mặt cầu ( S ) có tâm B(-1;4;5) và đi qua A(1;2;3)
b) Mặt cầu ( S) có tâm A(1;2;5) và tiếp xúc đường thẳng ( d) :
1 3
2
3 2
x t
y t
z t
= +


= −


= +

c) Mặt cầu ( S) có tâm A(1;4;3), cắt mặt phẳng Oxz theo một đường tròn đường kính bằng 8.
Giải: a) Mặt cầu tâm B, đi qua A nên có bán kính R = BA =
4 4 4 2 3+ + =
.Phương trình
mặt cầu ( S ) :
2 2 2
( 1) ( 4) ( 5) 12x y z+ + − + − =
b) Gọi H là hình chiếu của I trên d. H thuộc (d) nên tọa độ điểm H (1+ 3t; 2- t; 3 + 2t).

VTCP của ( d) :
(3; 1;2)u = −
r
;
(3 ; ;2 2)AH t t t= − −
uuur
.

. 0 9 4 4 0AH u AH u t t t⊥ ⇔ = ⇔ + − + =
uuur r uuur r
2
7
t⇔ =
.
Bán kính R = AH =
36 4 100 140
49 49 49 49
+ + =
.
Phương trình mặt cầu ( S) :
2 2 2
140
( 1) ( 2) ( 5)
49
x y z− + − + − =
(Học sinh ban tự nhiên có thể áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến 1 đường
thẳng để tính bán kính).
c) Gọi H là hính chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng oxz, ta có AH = 4 .Gọi R là bán
kính mặt cầu ( S), ta có
2 2

16 16 16 32R AH= + = + =
.
Phương trình mặt cầu (S) :
2 2 2
( 1) ( 4) ( 3) 32x y z− + − + − =
Chủ đề 2: ĐƯỜNG THẲNG
A. Kiến thức cơ bản:
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
Ax + By +Cz + D = 0 với
0
222
>++ CBA
, VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
13
2. Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và có VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
A(x –x

0
) + B(y-y
0
) +C(z-z
0
) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
3. Mặt phẳng (P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
,
với a, b, c khác 0
B. Các dạng toán:
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua 1 điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và song song với 1 mặt
phẳng
( )
: 0Q Ax By Cz D+ + + =
cho trước.

* Phương pháp giải:
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
1. VTPT của
( )
β
là
( )
; ;n A B C
β
=
uur
2.
( )
P
//
( )
Q
nên VTPT của mặt phẳng
( )
P
là
( )
; ;
P Q
n n A B C= =
uur uur
3. Phương trình mặt phẳng
( )
P
: A(x –x

0
) + B(y-y
0
) +C(z-z
0
) = 0,
Cách 2:
1. Mặt phẳng
( )
P
//
( )
Q
nên phương trình
( )
P
có dạng: Ax + By + Cz + D’ = 0 (*), với D’
≠
D.
2. Vì
( )
P
qua 1 điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0

) nên thay tọa độ M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) vào(*) tìm được D’.
* Bài tập áp dụng :
1. Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
a) qua A( 1; 3; -2) và song song mặt phẳng
( )
Q
: 2x + 5y – 3z – 1 = 0
b) qua B(-1; 4; 0) và song song mặt phẳng
( )
Q
( )
β
: 2x + 3y – 4z + 4 = 0
2. Cho 4 điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; -2), C(2; 1; 0), D(0; -1; 2).
a) CMR A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song mặt phẳng (ABC)
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng

* Phương pháp giải:
* Tìm tọa độ các vectơ:
;
uuur uuur
AB AC
* Vectơ pháp tuyến của
( )
α
là :
,
 
 
r uuur uuur
n= AB AC
=( m; n; p)
* Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C).
* Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT
r
n
=( m; n; p)
* Bài tập áp dụng :
3. Viết phương trình mp đi qua 3 điểm A,B,C trong các trường hợp sau
1. A(3,-2,1) B(1,-1,2) C(1,3,4)
2. A(1,-1,4) B(2,5,-3) C(1,-3,7)
4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có B(-1; 0; 3), D(1; 2; 1), A’(2; -1; 1), C’(-2; 5; -3).
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
b) Viết phương trình mặt phẳng (A’BD) và (CB’D’), chứng minh 2 mặt phẳng này song
song.
c) Viết phương trình 2 mặt phẳng (AA’C’C) và (BB’D’D).
5. Cho 4 điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2). Viết phương trình mặt phẳng

(ABC) và suy ra 4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ diện.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng
∆
* Phương pháp giải:
1. Tìm VTCP của
∆
là
u
∆
r
2. Vì
( )
α
⊥ ∆
nên
( )
α
có VTPT
n u
∆
=
r uur
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
* Bài tập áp dụng :
6. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng
∆
trong các trường hợp

sau:
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
14
a) M(3; -2; 1) và
∆
1 2
3
3 2
x t
y t
z t
= +


= −


= +

b) M(0; 2; 3) và
∆
2 2 1
3 1 1
x y z− + −
= =
−
7. Cho đường thẳng d:
1 2
2

3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

và mặt phẳng (P): 2x + y + z = 0
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và
( )
α
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với d.
8. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(-1; 2; 1) và vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng
(P): 3x + 2y – 2z + 8 = 0 và (Q): 2x – y + 3z + 7 = 0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng
∆
, vuông góc với mặt phẳng
( )
β
* Phương pháp giải
1. Tìm VTPT của
( )

β
là
n
β
uur
2. Tìm VTCP của
∆
là
u
∆
uur
3. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
;
∆
 
=
 
uur uur uur
n n u
α β
4. Lấy một điểm M trên
∆
5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đi ểm và có 1 VTPT
* Bài tập áp dụng :
9. Viết phương trình mp chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P) trong các trường
hợp sau :
a)

1 3
3 9
5
x t
y t
z t
= +


= −


=

(P) : x + 7y – 2z + 12 = 0
b) d :
1 2 3
3 1 2
x y z− + +
= =
− −
(P) : 2x + y + 3z – 1 = 0
c) d là giao tuyến của hai mặt phẳng (R): 2x – y + 3z + 1 = 0 và (Q): x + y – z + 5 = 0; ( P):
3x – y + 1 = 0
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng
( )
β

* Bài tập áp dụng :
10. Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
:
a) Đi qua A(1; 2; 10) , B(2; 1; 3) và vuông góc với (P): x – 3y + 2z - 6 = 0
b) Đi qua C(2; -1; 4) , D(3; 2; -1 ) và vuông góc với (Q): x + y + 2z + 1 = 0
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng
∆
và song song với
∆
’ (
∆
,
∆
’
chéo nhau).
* Phương pháp giải:
1. Tìm VTCP của
∆
và
∆
’ là
u
∆
uur
và

'
u
∆
uur
2. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
'
n u u
α
∆ ∆
= ∧
uur uur uur
3. Lấy một điểm M trên
∆
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
* Bài tập áp dụng :
11. Cho hai đường thẳng
1 2
1
1
: ;
2 1 1
x t
x y z
d d y t
z t
= −


−

= = =

−

= −

a. Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
15
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song d
2
;
c. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d
2
và song song d
1
12. Cho 4 điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2). Viết phương trình mặt phẳng chứa
AD và song song với BC.
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α

chứa đường thẳng
∆
và 1 điểm M
* Phương pháp giải:
1. Tìm VTCP của
∆
là
u
∆
uur
, lấy 1 điểm N trên
∆
. Tính tọa độ
MN
uuuur
2. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
;
∆
 
=
 
uur uur uuuur
n u MN
α
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
* Bài tập áp dụng :
13. Viết phương trình mặt phẳng đi qua Avà chứa đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) A(1; 2; 1) và d:
1
3
3 4
x y
z
−
= = +
b) A(2; 3; 1) và chứa đường thẳng d:
5 3
2
= − +


= −


=

x t
y t
z t
c) A(2; 1; -1) và d là giao tuyến của 2 mp (P): x – y + z – 4 = 0, (Q): 3x – y + z – 1 = 0
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa 2 đường thẳng cắt nhau
∆
và
∆

’
* Phương pháp giải:
1. Tìm VTCP của
∆
và
∆
’ là
u
∆
uur
và
'
u
∆
uur
2. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
'
;
∆ ∆
 
=
 
uur uur uur
n u u
α
3. Lấy một điểm M trên
∆

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
* Bài tập áp dụng :
14. Cho 2 đường thẳng
1
d
và
2
d
. Chứng minh d
1
, d
2
cắt nhau, viết phương trình mặt phẳng chứa
hai đường thẳng đó trong các trường hợp sau:
a)
1 2
1 4
: 1 2 ; :
1 2 5
3
x t
x y z
d y t d
z t
=

− −

= − − = =



= −

b)
1 2
1 6 5 2 6
: ; :
1 2 5 4 1 7
x y z x y z
d d
− + − − −
= = = =
− −
c) d
1
:
2
1 3 '
1 2 ; : 1 '
3 2 3 2 '
x t x t
y t d y t
z t z t
= − + =
 
 
= + = +
 
 
= − = − +

 
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa 2 song song
∆
và
∆
’
* Phương pháp giải:
1. Tìm VTCP của
∆
và
∆
’ là
u
∆
uur
và
'
u
∆
uur
, lấy
, 'M N∈∆ ∈∆
2. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
;

∆
 
=
 
uur uur uuuur
n u MN
α
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
* Bài tập áp dụng :
15. Cho 2 đường thẳng
1
d
và
2
d
. Chứng minh d
1
song song d
2
cắt nhau, viết phương trình mặt
phẳng chứa hai đường thẳng đó trong các trường hợp sau:
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
16
a)
5 2 3 2 '
: 1 , ': 3 '
5 1 '
x t x t
d y t d y t

z t z t
= + = +
 
 
= − = − −
 
 
= − = −
 
.
b)
1 2
1 2 1 4 2
: ; :
3 2 1 3 2 1
− + + − −
= = = =
− − −
x y z x y z
d d
c)
1 2
1 4 3
: 8 4 ; :
1 4 3
3 3
x t
x y z
d y t d
z t

=

− + +

= − − = =

− −

= − −

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S).
* Phương pháp giải:
1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)
2. Nếu mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M
∈
(S) thì mặt phẳng
( )
α
đi qua
điểm M và có VTPT là
MI
uuur
3. Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm
được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 (D

chưa biết).
Sử dụng điều kiện tiếp xúc:
( )
( )
,d I R
α
=
để tìm D.
* Bài tập áp dụng :
16. Viết phương trình mp tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M trong các trường hợp sau:
a) (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại M(4; 3; 0)
b) (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+2x – y - 6z + 1 = 0 tại M(-1; 0; 0)
17. Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)
a) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)
b) Viết phương trình mặt cầu (S)
c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) tại A.
18. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2

+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 6z – 2 = 0 và
song song mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + 1 = 0
19. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x – y - 6z + 1 = 0 và
song song mặt phẳng (P): 2x + 2y +z – 1 = 0
20. Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 2y + 4z - 3 = 0 và 2 đường thẳng
( ) ( )
1 2
2
1
: 1 ; :
1 1 1
x t
x y z
y t

z t
=

−

∆ = − ∆ = =

− −

=

a) Chứng minh
( ) ( )
1 2
;∆ ∆
chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S), biết rằng (P) song song với 2
đường thẳng
( ) ( )
1 2
;∆ ∆
Chủ đề 3: MẶT THẲNG
A. Kiến thức cơ bản:
1. Đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z

0
), nhận
( )
; ;u a b c=
r
làm VTCP có phương trình
tham số là:
0
0
0
;
x x at
y y bt t
z z ct
= +


= + ∈


= +

¡
Khi a, b, c khác 0 thì ta có phương trình chính tắc của d là:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
2. Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P) và (P’) lần lượt có phương trình :

Ax + By +Cz + D = 0 A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
17
Thì đường thẳng d có VTCP:
'
; ; ;
' ' ' ' ' '
 
 
= =
 ÷
 
 
r uur uur
P P
B C C A A B
u n n
B C C A A B
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x
0
(thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
B. Các dạng toán:
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M
0
(x
0
; y
0
; z

0
) và có VTCP
* Phương pháp giải:
1. Tìm VTCP
( )
; ;u a b c=
r
2. Viết phương trình đường thẳng d ở dạng tham số hoặc chính tắc
Chú ý: Cách tìm VTCP
- Nếu đường thẳng d qua A, B thì VTCP
u AB=
r uuur
- Nếu đường thẳng
( )
d P⊥
thì d có VTCP
P
u n=
r uur
(
P
n
uur
là VTPT của (P))
- Nếu
//d
∆
thì d và
∆
có cùng VTCP

- Nếu
;d a d b⊥ ⊥
thì d có VTCP
;
 
=
 
r uur r
u u u
a
b
- Nếu
; //( )d d P⊥ ∆
thì d có VTCP
P
u u n
∆
= ∧
r uur r
* Bài tập áp dụng :
1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc( nếu có) của đường thẳng d đi qua 2 điểm
A và B trong các trường hợp sau:
a) A(1,3,7), B(2,1,2)
b) A(5,1,3), B(2,5,1)
2. Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với đường thẳng d:
a) A(1,5,2) , d:
3 2 3
2 1 1
− + −
= =

x y z
b) A(-2,4,1) , d là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) 3 0+ + =P x y z
và
( )2 5 3 0+ − + =Q x y z
c) A(7,3,-5), d:
6
5 8
5
x t
y t
z t
=


= −


= +

3. Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng
( )
α
trong các trường hợp
sau:
a) A(3, 5, -2),
( )
α
: x + 5y – 3z + 1 = 0
b) A(1, 7, 3),

( )
α
:x +z = 0
c) A(0, 6, 1),
( )
α
: y + z – 3 = 0
4. Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với 2 đường thẳng d
1
và d
2
trong các
trường hợp sau:
a) A(1,2,-3), d
1
:
1 2
3 4
1 5
x t
y t
z t
= +


= −


= +


, d
2
:
3 1 5
2 3 1
x y z− + +
= =
− −
b) A(1; 2; 3), d
1:

23 10
8 4 1
x y z+ +
= =
−
, d
2
:
1 1
1 1 2
x y z+ −
= =
5. Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc đường thẳng
∆
và song song với mặt
phẳng (P) trong các trường hợp sau
a) A(1; -2; 3) , đường thẳng
1 3
: 3 2

2
x t
y t
z t
= − +


∆ = − +


= −

; mặt phẳng (P): 2x + y + 3z – 5 = 0
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
18
d
d'
B
A
Q
d
P
M
B
A
d
A
B
b) A(1; 1; -2) , đường thẳng

1 1 2
:
2 1 3
x y z+ − −
∆ = =
; mặt phẳng (P): x – y – z – 1 = 0
6. Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau
a) (d) đi qua điểm M(1; 4; -2) và song song với 2 mặt phẳng có các phương trình:
(P): 6x + 2y + 2z + 3 = 0, (Q): 3x – 5y – 2z – 1 = 0
b) (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác, biết
A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(-1; 1; 3)
7. Cho điểm A(2; 3; 5) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0
a) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc mặt phẳng (P)
b) Tìm giao điểm của d với trục Oz.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
* Phương pháp giải:
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d
2. Tìm giao điểm B của d và mặt phẳng (P)
3. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua A, B
* Bài tập áp dụng :
8. Viết phương trình đường thẳng
∆

a) Qua điểm A(3; 2; 1), cắt và vuông góc với đường thẳng
3
:
2 4 1
x y z

d
+
= =
b) Qua điểm A(0; 1; -1), cắt và vuông góc với đường thẳng
: 1 3
1 2
x t
d y t
z t
=


= − −


= − −

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d, cắt
đường thẳng d’
* Phương pháp giải:
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d
2. Tìm giao điểm B của d’ và mặt phẳng (P)
3. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua A, B.
* Bài tập áp dụng :
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông
góc với đường thẳng
d
và cắt đường thẳng

'd
trong các trường hợp sau:
a) M(0; 1; 1);
1
:
1
x t
d y t
z
= −


=


= −

;
1 1
':
2 7 9
x y z
d
− −
= =
−
b) M(0; 1; 1),
1 2
:
3 1 1

x y z
d
− +
= =
,
1
': 2
3
x
d y t
z t
= −


= +


= +

c) M(-4; -5; 3),
2
: 4 3
6 5
=


= − +


= −


x t
d y t
z t
,
1 3 '
': 3 2 '
2 '
= −


= − +


= −

x t
d y t
z t
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt 2 đường thẳng a, b
* Phương pháp giải:
- Lý luận: Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, M và (Q) là mặt phẳng chứa b, M
Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q)
1. Tìm VTCP của a, b là
;
a b
u u
uur uur
. Lấy
;A a B b∈ ∈

, tính
;AM BM
uuuur uuuur
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
19
P
d
Q
a
b
2. Tính VTPT của (P) và (Q):
; ; ;
   
= =
   
uur uuuur uur uur uuuur uur
P a Q b
n AM u n BM u
3. Viết phương trình đường thẳng (d) có VTCP là
;
 
=
 
uur uur uur
d P Q
u n n

và qua điểm M.
- Cách giải khác:

1. Chuyển phương trình của hai đường thẳng về dạng phương trình tham số t và u
2. Gọi
( ) ( )
1
M d d= ∩
và
( ) ( )
2
N d d= ∩
3. Từ PTTS của
( )
1
d
và
( )
2
d
ta suy ra toạ độ hai điểm M và N theo hai tham số t và u
4. (d) qua A
⇒
M , N , A thẳng hàng

⇒

,AM AN
uuuur uuur
cùng phương

⇒
t, t’ từ đó suy ra toạ độ M, N.

5. (d) qua A nhận
MN
uuuur
làm VTCP
⇒
kết quả.
* Bài tập áp dụng :
10. Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt 2 đường thẳng a, b trong các trường hợp sau:
a) M(1; -1; 1) và
1 2
:
3
x t
a y t
z t
= +


=


= −


2 3
:
1 2 1
x y z
b
+ −

= =
−
b) M(2; 3; 1) và
1
: 1
4
x t
a y t
z
= − +


= −


= −

và
1 3 '
: '
2 '
x t
b y t
z t
= +


= −



= +

c) M(-4; 5; 3) và
1 3 2
:
3 2 1
x y z
d
+ + −
= =
− −
và
2 1 1
':
2 3 5
x y z
d
− + −
= =
−
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (
α
) và cắt 2 đường thẳng a,
b cho trước.
* Phương pháp giải:
Lý luận: Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, vuông góc với(
α
),
(Q) là mặt phẳng chứa b, vuông góc với(
α

)
Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q)
1. Tìm VTCP của a, b là
;
a b
u u
uur uur
. Lấy
;A a B b∈ ∈
.
Tìm VTPT của
( )
α
:
n
α
uur
2. Mặt phẳng (P) có VTPT
;
 
=
 
r uur uur
P
a
n u n
α
và qua A.
Viết phương trình mặt phẳng (P).
3. Mặt phẳng (Q) có VTPT

;
 
=
 
r uur uur
Q
b
n u n
α
và qua B.
Viết phương trình mặt phẳng (Q)
4. Lấy M thuộc giao tuyến của (P) và (Q)
5. Viết phương trình đường thẳng d có VTCP là
n
α
uur
và qua M.
* Bài tập áp dụng :
11. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau
a) Vuông góc với mặt phẳng (Oxz) và cắt 2 đường thẳng
: 4
3
x t
a y t
z t
=


= − +



= −

và

2 3 4
:
2 1 5
x y z
b
− + −
= =
− −
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
20
P
d
Q
d'
P
d
A
b) Vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z +2 = 0 và cắt hai đường thẳng
2 1 2 '
: 1 ; 3
2 1 '
x t x t
a y t b y
z t z t

= + = −
 
 
= − =
 
 
= = +
 
c) Vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và cắt hai đường thẳng
1 1 2 7
: ; : ; ;
2 1 1 3 3
x y z
a b x t y z t
− +
= = = − + = − = −
−
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng
∆
, cắt 2 đường thẳng.
12. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau
a) Song song với
3
: 1
5
x t
y t
z t
=



∆ = −


= +

và cắt hai đường thẳng
1
1 2 2
:
1 4 3
x y z
d
− + −
= =
,
2
1 2 1
:
5 9 1
x y z
d
− − −
= =
b) Song song với
1 3 2
:
3 2 1
x y z+ + −
∆ = =

− −
và cắt hai đường thẳng
1
2 2 1
:
3 4 1
x y z
d
− + −
= =
,
2
7 3 9
:
1 2 1
x y z
d
− − −
= =
−
Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A
∈
(P),
nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d.
* Phương pháp giải:
1. Tìm VTCP của d :
d
u

uur
và VTPT của (P):
P
n
uur
2. Đường thẳng
∆
có VTCP là
;
∆
 
=
 
uur uur uur
d P
u u n
3. Viết phương trình đường thẳng
∆
qua A và
có VTCP vừa tìm được ở trên.
* Bài tập áp dụng :
13. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 0), nằm trong mặt phẳng
(P): 3x – 2y – 1 = 0 và vuông góc với đường thẳng
11 16
:
1 2 1
x y z
d
+ −
= =

−
14. Cho mặt phẳng (P): 2x + 5y + z + 17 = 0 và đường thẳng
1
11
5
2
: 27
5
7 15
x t
y t
z t

= − −



∆ = +


= +



a) Tìm giao điểm A của (P) và
∆
.
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với
∆
và nằm trong mặt phẳng (P)

15. Cho mặt phẳng (P): x + y + z -1= 0 và đường thẳng
6 12 3
:
3 5 1
x y z
d
+ + +
= =
−
a) Tìm giao điểm A của (P) và d.
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng (P)
16. Cho mặt phẳng (P):2x + y -2z + 9 = 0 và đường thẳng
1 3 3
:
1 2 1
x y z
d
− + −
= =
−
a) Tìm giao điểm A của (P) và d.
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng (P)
Dạng 8: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên 1 mặt phẳng (P).
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
21
* Phương pháp giải:
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d
và vuông góc (P) ( đã có cách giải).
2. Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P) thì d’ là

giao tuyến của (P) và (Q) (đã có cách giải).
* Phương pháp giải:
17. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
2 1 3
3 1 2
x y z− − +
= =
−

lên mặt phẳng (P): x + 5y + 7z + 1 = 0
18. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
2
3
1 3
x t
y t
z t
=


= +


= −


lên mặt phẳng (P): 2x + 3y – z + 1 =0
19. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
2 2
1 2 1

x y z+ −
= =
−

a) lên mặt phẳng Oxy. b) lên mặt phẳng (Oxz) c) lên mặt phẳng (Oyz)
20. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
2 2 1
3 4 1
x y z− + −
= =

lên mặt phẳng (P): x + 2y +3 z + 4 = 0.
Chủ đề 3: MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(5;1;3); B(5;0;4); C(4;0;6).
Giải:
(0; 1;1); ( 1; 1;3).AB AC= − = − −
uuur uuur
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) :
, ( 2; 1; 1)n AB AC
 
= = − − −
 
r uuur uuur
Phương trình mặt phẳng (P) : -2(x - 5) - (y – 1) –( z – 3)= 0
2 14 0x y z⇔ + + − =
2. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua 3 điểm A ; B ; C lần lượt là hình chiếu vuông góc
của M(2; 3; 5) trên 3 trục tọa độ.
Giải: A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên trục ox, oy, oz nên A(2;0;0), B(0;3;0); C(0;0;5)
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) :
1 15 10 6 30 0

2 3 5
x y z
x y z+ + = ⇔ + + − =
.
3. Cho 2 điểm M ( 1;3;4);N(4;2;1) và mặt phẳng ( Q ) : 2x+ 3y+ 4z - 1 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn MN.
b) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua 2 điểm M ,N và vuông góc mặt phẳng (Q).
c) Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua M và song song mặt phẳng (Q).
Giải: a) Gọi (
α
) là mặt phẳng trung trực đoạn MN.
Ta có (
α
) đi qua trung điểm I của đoạn MN và vuông góc với MN.
5 5 5
; ;
2 2 2
I
 
 ÷
 
,
(3; 1; 3)MN = − −
uuuur
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (
α
):

5 5 5
3 3 0

2 2 2
x y z
     
− − − − − =
 ÷  ÷  ÷
     

6 2 6 5 0x y z⇔ − − + =
.
b) Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến
1
(2;3;4)n =
ur
mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm M và N
và vuông góc mặt phẳng (Q)
1
, (5; 18;11)
P
n MN n
 
⇒ = = −
 
uur uuuur ur
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Phương trình mặt phẳng ( P ) : 5(x -1 ) – 18(y – 3) + 11(z – 4 ) = 0
5 18 11 5 0x y z⇔ − + + =
.
c) Mặt phẳng ( R ) song song mặt phẳng (Q)
⇒
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q):

(2;3;4)
Q
n =
uur
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R). Mặt phẳng (R) đi qua M nên phương trình mặt
phẳng ( R) là: 2(x – 1)+ 3(y – 3) + 4(z – 4) = 0
⇔
2x + 3y+ 4z - 27 = 0.
4. Cho hai mặt phẳng : (P): 2x + my + 3z – 5 = 0 và (Q): nx – 8y - 6z + 2 = 0.
a) Tìm m và n để hai mặt phẳng trên song song với nhau
b) Với m và n tìm được ở câu a).Hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
22
Giải: a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
1
(2; ;3)n m=
ur
.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
2
( ; 8; 6)n n= − −
uur
, ta có :
2 1
2 1
4
( ) / /( )
4
m

n kn
P Q
n
D kD

=
= 

⇔ ⇔
 
= −
≠



uur ur
b) Ta có
5
0; 0; ( )
3
A P
 
∈
 ÷
 
. d( (P); (Q)) = d(A;(Q)) =
5
0 0 6( ) 2
8
3

16 64 36 116
− − +
=
+ +
.
5. Cho A(3;-2;-2) ; B(3;2;0);C(0;2;1);D(-1;1;2)
a) Viết phương trình mặt phẳng ( BCD).Từ đó suy ra ABCD là tứ diện.
b) Tính đường cao AH của tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa AB và song song CD.
d) Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm A, tiếp xúc mặt phẳng (BCD). Tìm tiếp điểm.
Giải: a)
( 3;0;1) ; ( 4; 1;2)BC BD= − = − −
uuur uuur
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD):
, (1;2;3)n BC BD
 
= =
 
r uuur uuur
Phương trình mặt phẳng ( BCD): 1(x – 3) + 2(y – 2) + 3(z- 0) = 0
⇔
x+ 2y + 3z – 7 = 0.
Tọa độ điểm A không thoả mãn PT mặt phẳng (BCD)
( )A BCD⇒ ∉

ABCD⇒
là tứ diện.
b)
3 4 6 7
14

( ;( )) 14
1 4 9 14
AH d A BCD
− − −
= = = =
+ +
c)
(0;4;2); ( 1; 1;1)AB CD= = − −
uuur uuur
. Mặt phẳng ( P ) chứa AB và song song CD nên ( P)
có vectơ pháp tuyến
, (6; 2;4)
p
n AB CD
 
= = −
 
uur uuur uuur
⇒
Phương trình mặt phẳng (P):
6(x – 3) – 2( y + 2) + 4(z + 2) = 0
3 2 7 0x y z⇔ − + − =
d) Mặt cầu (S) tâm A, tiếp xúc mp (BCD) nên có bán kính R = d(A,(BCD)) =
14

⇒
Phương trình mặt cầu ( S ) :
2 2 2
( 3) ( 2) ( 2) 14x y z− + + + + =
.

* Tiếp điểm của mặt cầu ( S) và mặt phẳng ( BCD) là điểm H. AH vuông góc mặt phẳng
(BCD) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là véctơ chỉ phương của đường thẳng AH, suy
ra phương trình tham số của AH là :
3
2 2
2 3
x t
y t
z t
= +


= − +


= − +

;
(3 ; 2 2 ; 2 3 )H AH H t t t∈ ⇔ + − + − +
;
( ) 3 2( 2 2 ) 3( 2 3 ) 7 0H BCD t t t∈ ⇔ + + − + + − + − =

14 14 0 1 (4;0;1)t t H⇔ − = ⇔ = ⇒
Vậy tiếp điểm của mặt cầu ( S) và mặt phẳng (BCD) là H ( 4;0;1).
6. Cho mặt cầu ( S) :
2 2 2
( 3) ( 2) ( 1) 100x y z− + + + − =
và mặt phẳng ( P ) : 2x-2y-z + 9 = 0
a) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S)
b) Chứng minh rằng ( P ) cắt ( S) theo một đường tròn ( C )

c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ( C ).
Giải: a) Tâm mặt cầu ( S) : I(3 ; -2 ; 1). Bán kính mặt cầu ( S) : R = 10.
b) d =
6 4 1 9
18
( ;( )) 6
3
4 4 1
d I P R
+ − +
= = = <
+ +
. Suy ra mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)
theo 1 đường tròn (C).
c) * Bán kính đường tròn ( C ) là :
2 2
100 36 8r R d= − = − =
* Gọi H là tâm đường tròn ( C )
⇒
H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng
(P).
( )IH P⊥ ⇒
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) :
(2; 2; 1)n = − −
r
là vectơ chỉ phương của IH
⇒
phương trình tham số của IH là
3 2
2 2

1
x t
y t
z t
= +


= − −


= −

;
(3 2 ; 2 2 ;1 )H IH H t t t∈ ⇔ + − − −
;
( ) 2(3 2 ) 2( 2 2 ) (1 ) 9 0H P t t t∈ ⇔ + − − − − − + =
9 18 0 2 ( 1;2;3)t t H⇔ + = ⇔ = − ⇒ −
Vậy tâm đường tròn ( C ) là : H(-1;2;3).
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
23
7. Cho hai mặt phẳng (P) : x- 2y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x - 2y + 3z + 5 = 0. Viết phương trình
mặt phẳng (R) song song và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Giải : - Ta có (P) // ( Q). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
(1; 2;3)n = −
r

- ( R) // ( P) // ( Q )
⇒

n
r
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R)
⇒
phương trình của
mặt phẳng ( R) có dạng : x – 2y + 3z + d = 0
( 1; 5)d d≠ ≠
. Ta có :
( ;0;0) ( )M d R− ∈
.
Theo giả thiết ta có : d(M ; ( P)) = d(M ; (Q))
1 5
1 4 9 1 4 9
d d− + − +
⇔ =
+ + + +
1 5 1 5 3d d d d d⇔ − + = − + ⇔ − + = − ⇔ =
Vậy phương trình mặt phẳng ( R ) là : x – 2y + 3z + 3 = 0
8. Cho mặt phẳng ( P) : x+ 2y + 3z + 4 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( Q) song song mặt
phẳng (P) và cách (P) một khoảng bằng 3.
Giải: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) là
(1;2;3)n =
r
; ( P) // ( Q )
⇒

n
r
là vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng (Q). Suy ra phương trình mặt phẳng ( Q ) có dạng : x + 2y + 3z + d = 0.

- Vì M(0;-2; 0)
( )P∈
, nên d(M; (Q)) =
4 2 14
4
2 4 2 14
1 4 9
4 2 14
d
d
d
d

= +
− +
= ⇔ − = ⇔

+ +
= −


Vậy có hai mặt phẳng (Q) thoả yêu cầu bài toán có phương trình là:
2 3 4 2 14 0 ; 2 3 4 2 14 0x y z x y z+ + + + = + + + − =
9. Cho hai mặt phẳng (P) : 3x – 2y + 2z + 1 = 0 và (Q) : 5x – 4y + 3z – 1 = 0. Viết phương
trình mặt phẳng (R) đi qua M ( 1 ; 2 ; 3) và vuông góc hai mặt phẳng (P) và (Q).
Giải: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là :
(3; 2;2)
p
n = −
uur

.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là :
(5; 4;3)
Q
n = −
uur
.
Mặt phẳng ( R) vuông góc với mặt phẳng (P) và (Q) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(R) là :
, (2;1; 2)
P Q
n n n
 
= = −
 
r uur uur
.
Phương trình mặt phẳng ( R ) : 2(x - 1) + 1(y – 2) – 2(z – 3) = 0
⇔
2x + y – 2z + 2 = 0.

Phần thứ hai:
BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN
ĐỀ 1
Câu 1. Cho hàm số
3 2
( ) 3 4y f x x x= = + −
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Biện luận số nghiệm phương trình

3 2
3 0x x m+ + =
tuỳ theo giá trị của tham số m.
Câu 2. a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
2
1
1
x
y
x x
+
=
− +
.
b) Tính tích phân: J =
( )
2
4
0
cos3 .sinx tan 3x x dx
π
− +
∫
.
c) Giải phương trình
3 1
3
log ( 1) log ( 3) 1x x+ − + =
.
Câu 3. Cho hình chóp SABC có SA

⊥
(ABC), SA=
3a
,
ABC
∆
đều cạnh bằng a. M, N lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC .
a) CMR MN song song mp(ABC).
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp
THPT”
24
b) Tính thể tích khối chóp ABCNM.
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) :
2 3
1 2 2
y
x z+ +
= =
−
và mặt
phẳng (P) :
2 5 0x y z
+ − − =
.
a) Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A .
b) Viết phương trình đường thẳng (
∆
) đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d).
Câu 5. Tính giá trị

0 2 4 2008 2010
2010 2010 2010 2010 2010
A C C C C C= − + − + −
.
ĐỀ 2
Câu 1. Cho hàm số
3
( ) 3y f x x x= = − +
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Câu 2. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4
( )
2
f x x
x
= +
−
trên đoạn [3;5].
b) Tính tích phân: J =
2
4 2
2
2 1x x d x
−
− +
∫
.
c) Giải phương trình:

3 1
125 50 2
x x x+
+ =
.
Câu 3. Cho hình chóp SABC có đường cao SA = a .
ABC
∆
vuông cân, AB = BC = a. Gọi
B
′
là
trung điểm cạnh SB, C
’
là chân đường cao hạ từ A của
SAC∆
.
a) CMR SC
⊥
(AB’C’).
b) Tính thể tích khối chóp S. AB’C’.
Câu 4. Cho A(3;-2;-2) ; B(3;2;0);C(0;2;1);D(-1;1;2)
a) Viết phương trình mặt phẳng ( BCD).Từ đó suy ra ABCD là tứ diện.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A, tiếp xúc mặt phẳng (BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Câu 5. Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm của phương trình: z
2

+ 2z + 10 = 0, tính
2
1 2
A z z
= +
.
ĐỀ 3
Câu 1. Cho hàm số
4 2
3( ) 2y f x x x+= − +=
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Tính khoảng cách giữa 2 điểm cực đại của đồ thị hàm số .
Câu 2. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 4
( ) cos sinf x x x= +
.
b) Tính tích phân: I =
2
0
os( )
3 3 3
x x
c dx
π
π
× −
∫
.
c) Giải phương trình

( ) ( )
2
2
2 1
2
log 1 log 1 5 0x x+ − + − =
.
Câu 3. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân, AB=AC;
BAC
∧
=
2
α
; hai mặt bên SAB, SAC
cùng vuông góc với đáy , cạnh bên SB= b tạo với đáy góc
β
. Tính thể tích khối chóp SABC.
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 0; 5), mặt phẳng (P) :

− + + =
2 3 1 0x y z
và mặt phẳng (Q) :
+ − + =5 0x y z
.
a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) .
b) Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông
góc với mặt phẳng (T) :
3x y 1 0− + =
.
Câu 5. Chứng minh:

7
7
1 1
1
2
i
i
i
 
 ÷
 
− = −
.
ĐỀ 4
Câu 1. Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Tìm các giá trị m để đường thẳng
2y mx= +
cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt.
Tài liệu lưu hành nội bộ “Ôn tập và rèn luyện kỹ năng môn Toán cho học sinh lớp 2 ôn thi tốt nghiệp

THPT”
25