GA DAY THEM L9 HAY

Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
Phần I :đại số
I- bài toán về biểu thức
Bài 1:Cho biểu thức




x x x
A
x
x x x

+ +
=
ữ
ữ

+ +

với x > 0 , x 1
1) rút gọn A 2,Tìm x

Z để A

Z
Bài 2:Cho biểu thức


x x x
A

x x x


=
ữ
ữ


với x > 0 , x 1
1) Rút gọn A 2) Tìm x để A > 0 3) Tính giá trị của A khi
x = +
Bài 3:Cho biểu thức



a a
A
a a a a

+ +

=
ữ
ữ
ữ



với a > 0 , a 1 , a 4
1)Rút gọn A 2) Tìm a để A > 0 3)Tìm a

Z để

A

Z
Bài 4:Cho biểu thức




a a a
P
a
a a a

+ +

= +
ữ
ữ
ữ

+ +


với a > 0 , a 1
1)Rút gọn P 2) Tìm a để P <-1
Bài 5:Cho biểu thức

x x x
A
x
x x x x


=
ữ ữ
ữ ữ

+

với x > 0 , x 4
1)Rút gọn A 2) Tìm x để A = -1
Bài 6:Cho biểu thức




x x
P
x x
x


=
ữ

+

với a > 0 , x 1 , x 4
1)Rút gọn P 2) Tìm a để P =


Bài 7:Cho biểu thức




x x x
A
x
x x x x

+ +
=
ữ ữ
ữ ữ

+

với x > 0 , x 9 ,
1)Rút gọn A 2) Tìm x để A <-1
Bài 8: Cho biểu thức

x x
A
x
x x x x

+

= +
ữ
ữ
ữ

+ +


với x 0 , x 1
1)Rút gọn A 2) Tìm x để A =


3)Tìm x

Z để A

Z
Bài 9: Cho biểu thức



a a a

P
a
a a
+ +
= +

+
với a 0 , a 4
1)Rút gọn P 2) Tìm a để P =2
Bài 10:Cho biểu thức



x
A
x x x x
+

= +
ữ


với x > 0 , x 1
1)rút gọn A 2)Tìm x để A < -1
Bài 11:Cho biểu thức




x x x x

A
x x
x x

+ +

= +
ữ
ữ
ữ

+


với x 0 , x 1
1)Rút gọn A 2)Tìm x

Z để A

Z
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
1
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
Bài 12:Cho biểu thức




x x x
A

x x
x x x



= +
ữ
ữ
ữ

+


với x , x 1
1)Rút gọn A 2)Tính P khi



x =

Bài 13:Cho biểu thức




x
A
x
x x x

=
ữ
ữ
ữ

+


với x , x 9
1)Rút gọn A 2)Tìm x để P >


Bài 14:Cho biểu thức



A
x x x x

= +
ữ
+ + +

với x > 0
1)rút gọn A 2)Tìm x để A = 1 3 so sáng A với


Bài 15:Cho biểu thức

x
A
x
x x

= +
ữ
ữ



với x > 0
1)rút gọn A 2)Tìm x để A =



Bài 16:Cho biểu thức



a a a
P
a
a a
+
= + +

+
với a 0 , a 9
1 rút gọn A 2)Tìm a

Z để P

Z
Bài 17:Cho biểu thức


a a a
P
a a a a
+ +
= +
+
với a 0 , a 4 a 9
1 rút gọn A 2)Tìm a

Z để P

Z
Bài 18:Cho biểu thức



x x
A
x x x x

= +
ữ
ữ
+ +

với x > 0
1)rút gọn A 2)Tính P khi


x =
+
Bài 19:Cho biểu thức



x x
A
x x x x x x

+
= +
ữ
ữ
+ +

với x > 0 , x 1
1)rút gọn A 2)Tính P khi x = 4
Bài 20:Cho biểu thức

x x
A
x
x x

= +

+
với x > 0 , x 1
1)rút gọn A 2)Tìm x

Z để A

Z
Bài 21:Cho biểu thức



x
A
x
x x
= + +

+
với x > 0 , x 4
1)rút gọn A 2)Tìm x

Z để A

Z
Bài 22:Cho biểu thức




x x
A
x
x x
+

= +
ữ

+

với x , x 9
1)Rút gọn A 2)Tìm x

Z để A

Z 3)Tìm x để P >


GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
2
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
Bài 23:Cho biểu thức

( )



x
A x x
x x x

+
= +
ữ
ữ


với x > 0
1)rút gọn A 2)Tìm x

Z để A

Z
Bài 24:Cho biểu thức




x x x x
A
x
x x x

+ + +
=
ữ
ữ



với x > 0 , x 1
1)rút gọn A 2)Tìm x

Z để

A

Z
Bài 25:Cho biểu thức




x x x x
A
x
x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ

+

với x > 0 , x 9
1)rút gọn A
2)Tìm x

Z để A

Z
Bài 26:Cho biểu thức



x x x
A
x x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ


với x > 0 , x 4
1)rút gọn A 2)Tìm x để A > 1
Bài 27:Cho biểu thức



x x x

A
x
x x
+ +
= +

+
với x > 0 , x 1
1)rút gọn A 2)Tìm x

Z để A

Z
Bài 28:Cho biểu thức



x x
A
x x x x x

+
= +
ữ
ữ
+ +

với x > 0 , x 1
1)rút gọn A 2)Tìm x

Z để A

Z
Bài 29:Cho biểu thức




x x x
A
x
x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

với x , x 1
1)Rút gọn A 2)Tìm x

Z để A

Z
Bài 30:Cho biểu thức


x x x

A
x x x x
+
= +
+ +
với x > 0 , x 1
1)rút gọn A 2)Tìm x

Z để A

Z
Bài 31:Cho biểu thức


x x x
A
x x x x
+
= +
+ +
với x > 0 , x 1
1)rút gọn A 2)Tìm x

Z để A

Z
Bài 32:Cho biểu thức

x x x
A x
x x
+ +
= +
+
(với

)
1)Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm các giá trị nguyên của x để


nhận giá trị nguyên.
Bài 33:a)Rút gọn:

+
+
+
=


x
xx
x
xx
A
Với
xx
b)1) Rút gọn biểu thức sau : A =
( )
x x 1 x 1
x x
x 1
x 1

+

ữ
ữ

+

với x

0, x

1.
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
3
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
c)Rút gọn:


x x x x
A x x
x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ
+

Với
xx
Bài 34:Cho biểu thức P= (
a
-
a

):(

aa
a
a
a
+

+


a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi a =


+
Bi 35 Cho biểu thứcM=(1+

+
a
a
) : (




+


aaaa
a
a

)
a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm a để M<1
Bài 36:Cho biểu thức





x x x
A
x
x x

+

=
ữ
ữ
ữ

+ +


với x > 0 , x 1
1) rút gọn A 2) Tìm x để A 0
*********************************************************
II Một số dạng toán lập hệ
54) Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể sau 16 giờ thì đầy .Nếu để vòi thứ nhất chảy trong 3
giờ ,vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đợc

bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu
thì đầy bể.
55) Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể sau 3 giờ thì đầy .Nếu để hai vòi cùng chảy trong 2
giờ rồi vòi thứ nhất nghỉ và vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy
một mình sau bao lâu thì đầy bể.
56) Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể sau 7giờ 12phút thì đầy .Nếu để vòi thứ nhất chảy
trong 5 giờ ,vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đợc


bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình sau
bao lâu thì đầy bể.
57) Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể sau 12 giờ thì đầy .Nếu để hai vòi cùng chảy trong
4 giờ rồi vòi thứ nhất nghỉ và vòi thứ hai chảy trong 10 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi
chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể.
58) Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể sau 15 giờ thì đầy .Nếu để vòi thứ nhất chảy trong 3
giờ ,vòi thứ hai chảy trong 5 giờ thì đợc


bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu
thì đầy bể.
59) Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể sau 6 giờ thì đầy .Nếu để vòi thứ nhất chảy trong 2
giờ ,vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì đợc


bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu
thì đầy bể.
60) Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể sau 6 giờ thì đầy .Nếu để vòi thứ nhất chảy trong 5
giờ ,vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì đợc

bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu
thì đầy bể.
61) Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể sau 12 giờ thì đầy .Nếu để hai vòi cùng chảy trong
8 giờ rồi vòi thứ nhất nghỉ và vòi thứ hai chảy trong 3,5 giờ với công suất gấp đôi thì đầy
bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình với công suất ban đầu sau bao lâu thì đầy bể.
62) Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể sau 6 giờ thì đầy .Nếu để vòi thứ nhất chảy một
mình đầy bể thì hết ít hơn vòi thứ hai là 5 giờ. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu
thì đầy bể.
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
4
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
63) Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể sau 4 giờ thì đầy .Nếu để vòi thứ nhất chảy một
mình đầy bể thì hết ít hơn vòi thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu
thì đầy bể.
64) Hai bạn Sơn và Hùng cùng làm một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu Sơn làm 5 giờ
và Hùng làm 6 giờ thì cả hai bạn chỉ hoàn thành đợc 9/10 công việc. Hỏi nếu làm riêng thì
mỗi bạn hoàn thành công việc trong bao lâu.
65) An và Bình khởi hành cùng một lúc từ hai điểm A và B cách nhau 150km đi ngợc chiều
nhau và gặp nhau sau 2 giờ.Tìm vận tốc mỗi ngời biết rằng nếu An tăng thêm 5km/h và
Bình giảm 5km/h thì vận tốc An gấp đôi vận tốc Bình.
66) An và Bình khởi hành cùng một lúc từ hai điểm A và B cách nhau 210km đi ngợc chiều
nhau và gặp nhau sau 3 giờ.Tìm vận tốc mỗi ngời biết rằng nếu An tăng thêm 10km/h và
Bình giảm 5km/h thì vận tốc An gấp đôi vận tốc Bình.
67) An và Bình khởi hành cùng một lúc từ hai điểm A và B cách nhau 140km đi ngợc chiều
nhau và gặp nhau sau 2 giờ.Tìm vận tốc mỗi ngời biết rằng nếu An tăng thêm 5km/h và
Bình tăng 15km/h thì vận tốc An hơn vận tốc Bình là10km/h
68) An và Bình khởi hành cùng một lúc từ hai điểm A và B cách nhau 160km đi ngợc chiều
nhau và gặp nhau sau 2 giờ.Tìm vận tốc mỗi ngời biết rằng nếu An tăng thêm 10km/h thì
vận tốc An gấp đôi vận tốc Bình.

69) Một mảnh đất hình chữ nhật ,Nếu giảm mỗi cạnh đi 2 m thì diện tích mảnh đất giảm đi
84 m
2
.Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích lúc đó tăng
114 m
2
. Tìm kích thớc của mảnh đất.
70) Một mảnh đất hình chữ nhật , Nếu giảm chiều dài đi 3m và giảm chiều rộng đi 2m thì
diện tích mảnh đất giảm đi 54 m
2
.Nếu tăng mỗi cạnh thêm 2 m thì diện tích lúc đó tăng 54
m
2
. Tìm kích thớc của mảnh đất.
71) Một mảnh đất hình chữ nhật ,Nếu tăng chiều dài 3m và tăng chiều rộng 1m thì diện tích
mảnh đất tăng 30m
2
.Nếu giảm chiều dài 3m và giảm chiều rộng 2m thì diện tích lúc đó
giảm 30m
2
. Tìm kích thớc của mảnh đất
72) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,biết rằng hai lần chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng
đơn vị là 3. nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta đợc số mới có hai chữ số lớn hơn số ban đầu
là 9 .
73)Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng
đơn vị là 1. nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta đợc số mới có hai chữ số nhỏ hơn số ban
đầu là 27 .
74) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,biết rằng 2 lần chữ số hàng chục lớn hơn 3 lần chữ số
hàng đơn vị là 8. nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta đợc số mới có hai chữ số nhỏ hơn số
ban đầu là 35 .

75)Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,biết rằng 2 lần chữ số hàng chục lớn hơn 5 lần chữ số
hàng đơn vị là 1. và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị có thơng là 2 và d 2.
76) Tìm số tự nhiên có hai chữ số. nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta đợc số mới có hai
chữ số lớn hơn số ban đầu là 63 và tổng của số mới và số ban đầu bằng 99
77) Tìm hai số tự nhiên ,biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và số lớn chia cho số nhỏ có
thơng là 2 và d 124.
78) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,biết rằng tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị
bằng 6. nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta đợc số mới có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu là
18
79) .Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,biết rằng tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị
bằng 4. tổng các bình phơng của hai chữ số bằng 80.
80) Hai lớp 9A và 9B có 80 học sinh .Trong đợt góp sách ủng hộ mỗi em lớp 9A góp 2
quyển và lớp 9B góp 3 quyển nên cả hai lớp góp đợc 198 quyển sách.Tìm số học sinh mỗi
lớp.
81) Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 300 sản phẩm trong một thời gian quy
định. Đến khi làm việc mỗi ngày tổ sản xuất đợc nhiều hơn 6 sản phẩm so với kế hoạch, do
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
5
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
đó hoàn thành trớc 5 ngày so với thời hạn . Hỏi mỗi ngày theo kế hoạch tổ phải làm bao
nhiêu sản phẩm? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là nh nhau.
***********************************************************
iii-Một số dạng giải bài toán bằng cách
lập phơng trình
Dạng 1: Chuyển động . (không nghỉ )
1) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 240 km , mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy
nhanh hơn ô tô thứ hai là 12 km , nên đến B trớc ô tô thứ hai là 100 phút , Tìm vận tốc mỗi
ô tô.
2) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 200 km , mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy
nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km , nên đến B trớc ô tô thứ hai là 1giờ , Tìm vận tốc mỗi ô tô.

3)Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 80 km , mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh
hơn ô tô thứ hai là 10 km , nên đến B trớc ô tô thứ hai là 24 phút , Tìm vận tốc mỗi ô tô.
4)Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 100 km , mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy
nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km , nên đến B trớc ô tô thứ hai là 30 phút , Tìm vận tốc mỗi ô
tô.
5)Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 240 km , mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy
nhanh hơn ô tô thứ hai là 12 km , nên đến B trớc ô tô thứ hai là 1 giờ , Tìm vận tốc mỗi ô
tô.
6) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 160 km , mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy
nhanh hơn ô tô thứ hai là 8 km , nên đến B trớc ô tô thứ hai là 1 giờ , Tìm vận tốc mỗi ô tô.
7) Một xe máy đi từ A đến B dài 180km ,sau đó 1 giờ một ôtô cũng đi từ A đến B với vận
tốc lớn hơn xe máy là 15km/h và đến B cùng một lúc với xe máy.Tìm vận tốc mỗi xe.
8) Một xe máy đi từ A đến B dài 60km ,sau đó 1 giờ một ôtô cũng đi từ A đến B với vận tốc
gấp 3 lần vận tốc xe máy và đến B sớm hơn xe máy là 1h 40phút.Tìm vận tốc mỗi xe.
9) Một xe máy đi từ A đến B dài 78 km ,sau đó 1 giờ một ôtô cũng đi từ B đến A với vận tốc
lớn hơn xe máy là 4km/h và gặp xe máy tại điểm C cách B là 36km.
Tìm vận tốc mỗi xe.
10) Một xe máy đi từ A đến B dài 900 km ,sau đó 1 giờ một ôtô cũng đi từ B đến A với vận
tốc lớn hơn xe máy là 5km/h và gặp xe máy tại chính giữa quãng đờng. Tìm vận tốc mỗi xe.
11) Một ngời đi xe máy từ A đến B dài 100 km sau đó 15 phút một ô tô đi từ B đến A và gặp
xe máy tại điểm C là chính giữa quãng đờng AB. Tìm vận tốc mỗi xe biết rằng mỗi giờ ô tô
đi nhanh hơn xe máy là 10 km.
12) Một ô tô đi từ A đến B dài 100 km .Khi trở về A xe đi đờng khác dài hơn đờng cũ là
20km và đi với vận tốc lớn hơn lúc đi là 20km/h,vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 30
phút. Tìm vận tốc lúc đi.
13) Một ngời dự định đi xe đạp từ Bắc Giang đến Bắc Ninh đờng dài 20 km với vận tốc
đều. Do công việc gấp nên ngời ấy đi nhanh hơn dự định 3 km/h và đến sớm hơn dự định
20 phút. Tính vận tốc ngời ấy dự định đi.
Dạng 2: Chuyển động. (có nghỉ )
14) Một xe máy đi từ A đến B dài 120 km với vận tốc dự định . nhng khi đi đợc

quãng
đờng thì dừng xe nghỉ 12 phút ,để đến B đúng hẹn ngời đó đã tăng vận tốc thêm 10 km/h
trên quãng đờng còn lại .tìm vận tốc dự định
15) Một xe máy đi từ A đến B dài 150 km với vận tốc dự định .nhng khi đi đợc


quãng đ-
ờng thì dừng xe nghỉ 15 phút ,để đến B đúng hẹn ngời đó đã tăng vận tốc thêm 10 km/h
trên quãng đờng còn lại .tìm vận tốc dự định
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
6
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
16) Một xe máy đi từ A đến B dài 90 km với vận tốc dự định .nhng khi đi đợc


quãng đ-
ờng thì dừng xe nghỉ 20 phút ,để đến B đúng hẹn ngời đó đã tăng vận tốc thêm 6 km/h trên
quãng đờng còn lại .tìm vận tốc dự định
17) Một xe máy đi từ A đến B dài 165 km với vận tốc dự định .khi đi đợc 1 giờ thì dừng
xe nghỉ 10 phút ,để đến B đúng hẹn ngời đó đã tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đờng
còn lại .tìm vận tốc dự định
18) Một xe máy đi từ A đến B dài 120 km với vận tốc dự định .sau khi đi đợc một giờ thì
dừng xe nghỉ 10 phút ,để đến B đúng hẹn ngời đó đã tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng
đờng còn lại .tìm vận tốc dự định
19) Một xe máy đi từ A đến B dài 120 km với vận tốc dự định .khi đi đợc nửa quãng đờng
thì dừng xe nghỉ 3 phút ,để đến B đúng hẹn ngời đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng
đờng còn lại .tìm vận tốc dự định
Dạng 3: Chuyển động(có vận tốc nớc )

20) Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km cả đi và về hết 8 giờ 20 phút .Tính
vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc của dòng nớc là 4 km/h.
21) Một tàu thuỷ xuôi trên một khúc sông dài 72 km rồi quay trở lại 54 km tất cả hết 6
giờ .Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc của dòng nớc là 3 km/h.
22) Một tàu thuỷ xuôi trên một khúc sông dài 42 km rồi quay trở lại 20 km tất cả hết 5
giờ .Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc của dòng nớc là 2 km/h.
23) Một tàu thuỷ xuôi trên một khúc sông từ A đến B dài 24 km cùng lúc đó một bè nứa
trôi với vận tốc dòng nớc là 4 km/h khi đến B và tàu quay lại A và gặp bè nứa ở điểm C
cách A là 3km.Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng.
24) Một tàu thuỷ xuôi trên một khúc sông từ A đến B dài 30 km .Đến B tàu nghỉ lại ở đó
40phút rồi quay trở lại A.Thời gian từ lúc đi dến lúc về là 6 giờ.Tính vận tốc của tàu thuỷ
khi nớc yên lặng biết vận tốc của dòng nớc là 3 km/h.
25) Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 120 km cả đi và về hết 6 giờ 45 phút .Tính
vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc của dòng nớc là 4 km/h.
26) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 50 km. Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến
B, rồi ngợc trở lại về bến A. Thời gian cả đi lẫn về là 4h 10. Tìm vận tốc của ca nô trong n-
ớc yên lặng, biết rằng vận tốc của nớc chảy là 5 km.
27) Một canô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng 20km hết tổng cộng 5 giờ. Biết vận tốc của
dòng chảy là 2km/h.Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng.
Dạng 4:Tìm Đội xe hoặc số học sinh
28) Một đội xe dự định chở 200 tấn thóc chia đều cho mỗi xe .Nếu tăng 5 xe và giảm số
thóc phải chở đi 20 tấn thì mỗi xe lúc đó chở nhẹ hơn dự định là 1 tấn. Tính số xe của đội
lúc đầu
29) Lớp 9A dự định trồng 105 cây xanh chia đều cho mỗi học sinh .Khi thực hiện có 2 em
vắng nên mỗi em lúc đó trồng thêm 6 cây so với dự định . Tính số học sinh của lớp lúc
đầu.
30 =Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do
phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự
định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của
mỗi công nhân là nh nhau.

31) Một đội xe dự định chở 420 tấn thóc chia đều cho mỗi xe .Nếu giảm 5 xe thì mỗi xe
lúc đó chở thêm so với dự định là 2 tấn. Tính số xe của đội lúc đầu.
32)Một đội xe dự định chở 180 tấn thóc chia đều cho mỗi xe .Nếu tăng 15 xe thì mỗi xe lúc
đó chở nhẹ đi so với dự định là 1 tấn. Tính số xe của đội lúc đầu.
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
7
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
33)Một đội xe dự định chở 180 tấn thóc chia đều cho mỗi xe .Nếu giảm 15 xe thì mỗi xe
lúc đó chở thêm so với dự định là 2 tấn. Tính số xe của đội lúc đầu.
34) Một đội xe dự định chở 168 tấn thóc chia đều cho mỗi xe .Nếu tăng 6 xe và chở thêm
12 tấn thì mỗi xe lúc đó chở nhẹ hơn dự định là 1 tấn. Tính số xe của đội lúc đầu
35)Một đội xe dự định chở 1000 tấn thóc chia đều cho mỗi xe .Nếu tăng 10 xe và chở thêm
80 tấn thì mỗi xe lúc đó chở nhẹ hơn dự định là 1 tấn. Tính số xe của đội lúc đầu
36) Một đội xe dự định chở 60 tấn thóc chia đều cho mỗi xe .Nếu tăng 5 xe thì mỗi xe lúc
đó chở nhẹ hơn dự định là 1 tấn. Tính số xe của đội lúc đầu
37) Một đội xe dự định chở 28 tấn thóc chia đều cho mỗi xe .Do thiếu 2 xe nên mỗi xe lúc
đó chở nặng hơn dự định là 0,7 tấn. Tính số xe của đội lúc đầu
*Dạng 5: Hình chữ nhật. ( có: S = dài. rộng ; Nửa
chu vi = dài + rộng )
38) Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 70 m
2
. nếu tăng chiều rộng 2 m và chiều dài
giảm đi 4 m thì diện tích lúc đó vẫn không đổi . tìm kích thớc của mảnh đất.
39) Một hình chữ nhật có diện tích 300m
2
. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm
5m thì ta đợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính
chu vi của hình chữ nhật ban đầu.
40) Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m
2

. nếu tăng chiều rộng thêm 3m và
chiều dài giảm đi 4 m thì diện tích lúc đó vẫn không đổi . tìm kích thớc của mảnh đất.
41) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 40m nếu tăng chiều rộng 2m và chiều dài
giảm đi 2m thì diện tích lúc đó tăng thêm 4m
2
. tìm kích thớc của mảnh đất.
42) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 32m nếu chiều rộng giảm 3m và chiều dài
tăng 2m thì diện tích lúc đó giảm đi 24m
2
. tìm kích thớc của mảnh đất.
43) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 38m nếu chiều rộng tăng 5m và chiều dài
giảm 3m thì diện tích lúc đó tăng thêm 48m
2
. tìm kích thớc của mảnh đất.
44)Một thửa ruộng hình chữ nhật có tổng của chiều dài và chiều rộng là 28m. Nếu tăng
chiều dài lên gấp đôi và chiều rộng lên gấp 3 thì diện tích mới của thửa ruộng là 1152m
2
.
Tìm diện tích của thửa ruộng đã cho ban đầu.
45)Một thửa ruộng hình chữ nhật có tổng của chiều dài và chiều rộng là 28m. Nếu tăng
chiều dài lên gấp đôi và chiều rộng lên gấp 3 thì diện tích mới của thửa ruộng là 1152m
2
.
Tìm diện tích của thửa ruộng đã cho ban đầu.
Dạng 6: năng xuất (vợt mức %)
46) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 600 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vợt mức 18%
và tổ hai vợt mức 21% nên sản xuất đợc 720 chi tiết máy .Tính số chi tiết máy của mỗi tổ
làm đợc trong tháng I
47) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 300 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vợt mức 15%
và tổ hai vợt mức 20% nên sản xuất đợc 352 chi tiết máy .Tính số chi tiết máy của mỗi tổ

làm đợc trong tháng I
48) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vợt mức 15%
và tổ hai vợt mức 20% nên sản xuất đợc 945 chi tiết máy .Tính số chi tiết máy của mỗi tổ
làm đợc trong tháng I
49) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vợt mức 15%
và tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy .Tính số chi tiết máy của mỗi tổ
làm đợc trong tháng I
50) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 500 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vợt mức 12%
và tổ hai vợt mức 25% nên sản xuất đợc 599 chi tiết máy .Tính số chi tiết máy của mỗi tổ
làm đợc trong tháng I
51) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vợt mức 20%
và tổ hai vợt mức 14% nên sản xuất đợc 1050 chi tiết máy .Tính số chi tiết máy của mỗi tổ
làm đợc trong tháng I
52) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 700 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vợt mức 15%
và tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 796 chi tiết máy .Tính số chi tiết máy của mỗi tổ
làm đợc trong tháng I
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
8
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
53) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 700 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vợt mức 15%
và tổ hai vợt mức 20% nên sản xuất đợc 820 chi tiết máy .Tính số chi tiết máy của mỗi tổ
làm đợc trong tháng I
vi Một số dạng toán Pt Bậc hai chứa
tham số
Bài

!"##$"%&"'()
"*+,+ +"$
/0 '"12 34"++5'6/+5

7"'8
2 2
1 2 1 2
x + x - 3x x =34
Bài Cho phơng trình : x
2
+ ( 2m - 1)x + m = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 3x
1
- 4x
2
= 5 .
b) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m .
Bài . Cho phơng trình:
x
2
2mx + 2m 5 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1

và x
2
, tìm các giá trị của m để:
x
1
2
(1 x
2
2
) + x
2
2
(1 x
1
2
) = -8.
Bài .
( )

x m x m
+ =

"*+,+ 9:'$
/;'+ %<=34+5' +'>+m.
30 ''12 34?"++5'/@0 '+5'14
Bài Cho pt ẩn x: x
2

- 2mx + m
2

- m +3 = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
b) Tìm m để A=(2x
2
-1)x
1
+(2x
1
-1)x
2
đạt

giá trị nhỏ nhất
c) Giải phơng trình với m=2
Bài Cho pt: x
2
(m + 3)x + m +2 = 0
a) giải pt với m = 2 b) Tìm m để


x x+ =
Bài ACho pt: x
2
+ (m 1)x + m - 3 = 0
a)Tìm m để PT có một nghiệm bằng 2,và tìm nghiệm còn lại
b)Tìm GTNN của A =


x x+
Bài Cho pt: x

2
(m - 1)x + m +5 = 0
a)Tìm m để PT một nghiệm bằng 3 b)Tìm GTNN của


A x x x x= +
Bài Cho pt: x
2
2(m + 3)x + m +5 = 0
a)Tìm m để PT có nghiệm kép. b)Tìm m để


x x+ =
Bài Cho pt: x
2
+2 (m -2)x + m
2
-3m - 2 = 0
a)Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt. b)Tìm m để


x x+ =
Bài Cho pt: x
2
2(m +1)x + m +3 = 0
a)Tìm m để PT một nghiệm kép b)Tìm m để


x x x x+ =
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557

9
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
Bài1 Cho pt: x
2
2(m + 3)x + m + 3 = 0
a) Tìm m để PT có nghiệm kép b) Tìm m để



x x
+ =
Bài Cho pt: x
2
2(m - 1)x + m +5 = 0
a)Tìm m để PT một nghiệm kép b)Tìm m để


x x x x+ =
Bài Cho pt: x
2
(m + 1)x + m - 3 = 0
a)Chứng minh rằng pt luôn có hai nghiệm phân biệt. b)Tìm m để


x x+ =
Bài Cho pt: x
2
2(m 1)x + m +3 = 0
a)Tìm m để PT có nghiệm bằng 2. tìm nghiệm còn lại. b) Tìm m để

x x+ =
Bài Cho pt: x
2
2(m 1)x + m
2
4m +3 = 0
a)Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt b)Tìm m để


x x+ =
Bài Acho pt: x
2
+ 2(m-1) +m
2
+ m - 2 = 0.
a)Tìm m để phơng trình có nghiệm .
b)Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn


x x+ =

Bài Cho phơng trình : x
2
- ( m + 5)x - m +6 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x

1
, x
2
thoả mãn 2x
1
+3x
2
= 13
Bài Cho phơng trình : x
2
+ 3x + m -1 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 2x
1
- 3x
2
= 1
Bài Cho phơng trình : x
2
- 2( m + 1)x + m +2 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
+2x

2
= 5
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn

x x =

Bài Cho phơng trình : x
2
- 2( m - 1)x + m -3 = 0
a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 2x
1
- x
2
= -1
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn

x x =

Bài Cho pt: x
2
2(m-1)x - 2 m + 5 = 0
a) Tìm m để PT có nghiệm kép
b) Tìm m để



x x
x x
+ =
Bài2 Cho pt: x
2
2mx + 2m - 1 = 0
a) chứng minh rằng pt luôn có nghiệm
b) Tìm m để Pt có nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.
Bài Cho pt: x
2
2(m +1)x + m
2
+m -1 = 0
a)Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt
b)Tìm m để


x x+ =
Bài Cho phơng trình : x
2
- 6x + m = 0
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557

10
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
a)Tìm m để PT có hai nghiệm kép
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
- x
2
= 4
Bài 25: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của pt: x
2
- 5x +2 =0 Tính
( ) ( )

xxxxxxA ++++=
Phần II :HìNH HọC
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. TTứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng
tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.

Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng
tròn.
3. Chứng minh ED =


BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn
(O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M
thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng

AD và BC cắt nhau tại N.
1,Chứng minh AC + BD = CD .2,Chứng minh COD = 90
0
.
3.Chứng minh AC. BD =


AB
.
4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD.
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
11
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
6.Chứng minh MN AB.
7.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc
A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24
Cm.

Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm
M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm).
Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một
đờng tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R

2
; OI. IM = IA
2
.
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng
thẳng d
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là
đờng kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E.
1. Chứng minh tam giác BEC cân.
2.Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH).
4. Chứng minh BE = BH + DE.
Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P
sao
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng
tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đờng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N.
Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo
dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
12
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên
nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc
IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.

1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI
2
= IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.
.
Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng
tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E).
1. Chứng minh AC. AE không đổi.
2. Chứng minh ABD = DFB.
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn sao cho
AM < MB. Gọi M là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, MA. Gọi P
là chân đờng
vuông góc từ S đến AB.
1.Gọi S là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng B PSM cân.
2.Chứng minh PM là tiếp tuyến của đờng tròn .
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) tại các điểm
D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :
1. Tam giác DEF có ba góc nhọn.
2. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4.
CF
BM
CB
BD
=

Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng

AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến
tại N của đờng tròn ở P. Chứng minh :
1. Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào.
Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A ,
Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F.
1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật.
2. BEFC là tứ giác nội tiếp.
3. AE. AB = AF. AC.
4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn .
.
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các
nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K.
Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB
với các nửa đờng tròn (I), (K).
1.Chứng minh EC = MN.
2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn (I), (K).
3.Tính MN.
4.Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC.
đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) tại D. đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S.
1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Gọi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng thẳng BA, EM,
CD đồng quy.
4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
5. Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng kính BD cắt

BC tại E. Các đờng thng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại F, G.
Chứng minh :
1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
13
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
3. AC // FG.
4. Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy.
Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B.
C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC.
1.Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH.
3.Chứng minh OH PQ.
Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ;
trên đờng thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đờng tròn ; MA và MB thứ tự cắt đờng
tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh các đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I.
3. Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp .
Bài 19. Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là
trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD.
1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .
2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
3. Chứng minh BI // AD.
4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng.
5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O).
Bài 20. Cho đờng tròn (O; R) và (O; R) có R > R tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai
đờng kính đi qua điểm C của (O) và (O). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm
M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O) là F, BD cắt (O) tại G. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác MDGC nội tiếp .
2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đờng tròn
3. Tứ giác ADBE là hình thoi.
4. B, E, F thẳng hàng
5. DF, EG, AB đồng quy.
6. MF = 1/2 DE.
7. MF là tiếp tuyến của (O).
Bài 21. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đờng tron tâm I đi qua A,
trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q.
1. Chứng minh rằng các đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A.
2. Chứng minh IP // OQ.
3. Chứng minh rằng AP = PQ.
4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.
Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng
thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp .
2. Tính góc CHK.
3. Chứng minh KC. KD = KH.KB
4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào?
Bài 23. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE.
1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng.
2. Đờng thẳng HD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác
vuông cân.
3. Cho biết ABC > 45
0
; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm b, k, e, m,
c cùng nằm trên một đờng tròn.
4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 45
0

. Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này
cắt BA và BC tại D và E.
1. Chứng minh AE = EB.
2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đờng trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I
của BH.
3.Chứng minh OD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp B BDE.
Bài 25. Cho đờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại B và
C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vuông góc MI, MH, MK
xuống các cạnh tơng ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.
1. Chứng minh tam giác ABC cân. 2. Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp .
3. Chứng minh MI
2
= MH.MK. 4. Chứng minh PQ MI.
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
14
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
Bài 26. Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa
của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng minh :
1.
AB
AC
KB
KC
=
2. AM là tia phân giác của CMD. 3. Tứ giác OHCI nội tiếp
4. Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đờng tròn tại M.
Bài 27 Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở ngoài đờng tròn . Các tiếp tuyến với đờng tròn (O) kẻ từ A
tiếp xúc với đờng tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH
BC, MK CA, MI AB. Chứng minh :
1. Tứ giác ABOC nội tiếp. 2. BAO = BCO. 3. MIH MHK. 4. MI.MK = MH

2
.
Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của
H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.
1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành.
2. E, F nằm trên đờng tròn (O).
3. Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân.
4. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 29 BC là một dây cung của đờng tròn (O; R) (BC

2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao
cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H.
1.Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
2.Gọi A là trung điểm của BC, Chứng minh AH = 2OA.
3. Gọi A
1
là trung điểm của EF, Chứng minh R.AA
1
= AA. OA.
4. Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2S
ABC
suy ra vị trí của A để
tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất.
Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Vẽ đờng cao AH và
bán kính OA.
1. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.
2. Giả sử B > C. Chứng minh OAH = B - C.
3. Cho BAC = 60
0
và OAH = 20

0
. Tính:
a) B và C của tam giác ABC.
b) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC theo R
Bài 31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết BAC = 60
0
.
1. Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R.
2.Vẽ đờng kính CD của (O; R); gọi H là giao điểm của ba đờng cao của tam giác ABC Chứng minh BD //
AH và AD // BH.
3. Tính AH theo R.
Bài 32 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB.
1. Chứng minh khi MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đờng tròn cố định.
2. Từ A kẻ Ax MN, tia BI cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành.
3. Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN.
4. Khi MN quay quanh H thì C di động trên đờng nào.
5. Cho AM. AN = 3R
2
, AN = R

. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác AMN.
Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đờng tròn tại M.
1. Chứng minh OM BC.
2. Chứng minh MC
2
= MI.MA.
3. Kẻ đờng kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đờng thẳng AN tại P và Q. Chứng
minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đờng tròn .
Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiều cao AH = 4 Cm, nội tiếp đờng tròn (O) đ-
ờng kính AA.

1. Tính bán kính của đờng tròn (O).
2. Kẻ đờng kính CC, tứ giác CACA là hình gì? Tại sao?
3. Kẻ AK CC tứ giác AKHC là hình gì? Tại sao?
4. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác ABC.
Bài 35 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ
dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với
M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
15
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
3. Chứng minh AM
2
= AE.AC.
4. Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI
2
.
5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ
nhất.
Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đờng cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi
M, N, P, Q lần lợt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh :
1. Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật.
2. Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp .
3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng.
4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
Bài 37 Cho hai đờng tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O),
C (O) . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.
1. Chứng minh các tứ giác OBIA, AICO nội tiếp .
2. Chứng minh BAC = 90

0
.
3. Tính số đo góc OIO.
4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, OA = 4cm.
Bài 38 Cho hai đờng tròn (O) ; (O) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B(O), C (O).
Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiếp tuyến chung ngoài BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là
giao điểm của OM và AC. Chứng minh :
1. Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO nội tiếp .
2. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
3. ME.MO = MF.MO.
4. OO là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC.
5. BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO.
Bài 39 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân
các đờng vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp tam giác
HBE, HCF.
1. Hãy xác định vị trí tơng đối của các đờng tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K).
2. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?.
3. Chứng minh AE. AB = AF. AC.
4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K).
5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất.
Bài 40 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lấy điểm
M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N.
1.Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB.
2. Chứng minh AM. BN = R
2
.
3.Tính tỉ số
APB
MON
S

S
khi AM =

R
.
4.Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh ra.
Bài 41 Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lợt lấy các điểm
D, E sao cho DOE = 60
0
.
1)Chứng minh tích BD. CE không đổi.
2)Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc
BDE
3)Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đờng tròn này luôn tiếp xúc với DE.
Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đờng tròn (O). Tiếp
tuyến tại B và C lần lợt cắt AC, AB ở D và E. Chứng minh :
1. BD
2
= AD.CD.
2. Tứ giác BCDE nội tiếp .
3. BC song song với DE.
Bài 43 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M,
BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
16
Tuyển CHọN CHUYÊN Đề TOáN lớp 9
1.Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp .
2.Chứng minh NE AB.
3.Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O).
4.Chứng minh FN là tiếp tuyến của đờng tròn (B; BA).

Bài 44 AB và AC là hai tiếp tuyến của đờng tròn tâm O bán kính R ( B, C là tiếp điểm ). Vẽ
CH vuông góc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D.
1. Chứng minh CO = CD.
2. Chứng minh tứ giác OBCD là hình thoi.
3. Gọi M là trung điểm của CE, Bm cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của OH.
4. Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng.
Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là trung điểm của
AC; tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F.
1.Chứng minh BC // AE.
2.Chứng minh ABCE là hình bình hành.
3.Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của BC và OI.
So sánh BAC và BGO.
Bi 46:19CD-&'E1+2'FG&+19CHI"++J<KJFFLL%&
+J1+2'0M-N+"(( +FL3ODP+

QPF3O19CP+1+2';
"+R0+"R3OFLP+S
";'+BSLTBSLR
/;'+S%&<<KJ3U"BFL
Bi 47:BL-<=GVWKX3P'E1+2'RRYS-<=43LR
";'+BLRTBSR
/;'+;+Z3LS%&;+Z3E++J
3;'+[R-<=43L14[%&+"1+2'3U"L-&S
\
ã
L
$

L$"R$"0]193"^3U"BL-&/Z_]19
CP++J;+Z3RS[

Bi 48:BL-<=
ã
L
$

LLE++J19C1C_]HI
\6K3<LR-<=43^%&+"1+2'-&LR0X^%WK1+2'S("3S1)+;
+`<"^Q9C19_]S3OLP+aa


";'+
a S
L
=
/;'+RSab&
3;'+^a%&'E+J<KJ3U"19C19_]S
Bi 49:19CDc-&'E19b\3)1d_=3ODc^PD^

\
^

\e%&'E1+2'"K1?+X\e

^0Me_I+J<KJeF-&efFf%&+J
1+2' +DcR6K3<Ff3OD^Ga3ODeGH
";'+1+2'Df^eF3g@'X19C
/;'+a^aD$afaF
3*+,(h
ã
Fef

$

0]i()\+5]3"'+Z3BeFf-&BDFf
Bi 50:h"19CD19_]L$c0X+"1)+3U"+"L%WK1+2'SS

0MSL_I3Z3+J<KJ +h"19C0+J<KJ_IMS3O"++J<KJ_I
M-&Lj;YP+-&R
"*>+e%&+J1+2'3U"+J<KJ_IMS.+h"19C;'+;+Z3
eDE++J1:3'E19C
/;'+BSTBSLRM14(<K"
Re e
RS S
=

3*>+k%&+"1+2'3U"R-&L;'+ekllLR
\;'+S

$SSe#SD

GV BIÊN SOạN Nguyễn văn mạnh PHONE: 0984583557
17