Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng I:
2 2 2 2
0 ( )( ) 0A B A B A B A B A B⇔ ⇔ − ⇔ − +d d d d
(Dấu
d
có thể thay bằng dấu “
, , ,> < ≥ ≤
” )
( Biểu thức
B
có thể là một số nguyên dương)
Dạng II:
( )ax b p x+ d
(Trong đó
ax b+
là nhị thức bậc nhất (
0a
≠
),Dấu
d
có thể thay bằng dấu “
, , ,> < ≥ ≤
”,
( )p x
là một biểu thức chứa x)
Phương pháp giải:
0
( )
0
( ) ( )
ax b
ax b p x
bpt
ax b
ax b p x
+ ≥
+
⇔
+ <
− +
d
d
Dạng III: 1/
( )p x ax b+d
(Trong đó
ax b
+
là nhị thức bậc nhất (
0a
≠
),Dấu
d
có thể thay bằng dấu “
, , ,> < ≥ ≤
”,
( )p x
là một biểu thức chứa x bậc lớn hơn bậc 1)
Phương pháp giải:
1/
( )p x ax b> +
2 2
0
0
( ) ( )
ax b
ax b
p x ax b
+ <
⇔
+ ≥
> +
2/
( )p x ax b≥ +
2 2
0
0
( ) ( )
ax b
ax b
p x ax b
+ ≤
⇔
+ >
≥ +
3/
( )p x ax b≤ +
2 2
0
( ) ( )
ax b
p x ax b
+ ≥
⇔
≥ +
4/
( )p x ax b< +
2 2
0
( ) ( )
ax b
p x ax b
+ >
⇔
< +
Bất phương trình chứa căn bậc 2: (quy bất phương trình về hệ bất phương trình)
1/
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
q x
p x
p x q x
q x
p x
p x q x
<
≥
> ⇔
≥
≥
>
2/
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
q x
p x
p x q x
q x
p x
p x q x
≤
≥
≥ ⇔
≥
≥
≥
3/
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
q x
p x q x p x
p x q x
>
< ⇔ ≥
<
4/
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
q x
p x q x p x
p x q x
≥
≤ ⇔ ≥
≤
5/
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
q x
p x q x p x
p x q x
≥
⇔ ≥
d
d
Phương trình bậc hai chứa tham số
Cho phương trình
2
ax bx c 0(2)+ + =
. Đặt
1 2 1 2
b c
S x x ;P x .x
a a
= + = − = =
trong đó
1 2
x ;x
là 2 nghiệm của
phương trình (2). Định giá trị của tham số để phương trình (2) có:
1/ Pt(2) vô nghiệm
a 0
b 0
c 0
a 0
0
=
=
≠
⇔
≠
∆ <
2/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm
a 0
b 0
a 0
0
=
≠
⇔
≠
∆ =
1
3/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt
2
a 0
b 4ac 0
≠
⇔
∆ = − >
4/Pt(2) có VSN
a 0
b 0
c 0
=
⇔ =
=
5/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu
1 2
x .x 0 P 0⇔ < ⇔ <
6/ Pt(2) có 2 nghiệm dương
1 2
0
0 x x P 0
S 0
∆ ≥
⇔ < ≤ ⇔ >
>
7/ Pt(2) có 2 nghiệm âm
1 2
0
x x 0 P 0
S 0
∆ ≥
⇔ ≤ < ⇔ >
<
8/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương
1 2
1 2
1 2
a 0
a 0; x>0
a 0
0
x 0 x
c
S 0
x 0
x x 0
b
P 0
P 0
x 0 x 0
S 0
≠
=
=
∆ =
< <
>
⇔ ⇔ ∨
= − >
= >
=
<
= ∧ >
>
9/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm
1 2
1 2
1 2
a 0
a 0; x<0
a 0
0
x 0 x
c
S 0
x 0
x x 0
b
P 0
P 0
x 0 x 0
S 0
≠
=
=
∆ =
< <
<
⇔ ⇔ ∨
= − <
= <
=
<
= ∧ <
<
10/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương
1 2
1 2
a 0
a 0
a 0; x>0
c
x 0
0
x 0 x
b
S 0
P 0
x x 0
P 0
S 0
=
≠
=
= − >
∆ ≥
⇔ ≤ < ⇔ ∨
>
≤
≥ >
>
>
11/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm
1 2
1 2
a 0
a 0
a 0; x>0
c
x 0
0
x 0 x
b
S 0
P 0
x x 0
P 0
S 0
=
≠
=
= − >
∆ ≥
⇔ ≤ < ⇔ ∨
>
≤
≥ >
>
>
12/ Pt(2) có nghiệm
=
≠
⇔
≠
∆ ≥
a 0
b 0
a 0
0
13/Pt(2) có nghiệm kép
a 0
b
x
2a
0
≠
⇔ ∧ = −
∆ =
2