Sáng kiến kinh nghiệm GIÚP HỌC SINH GIỎI LỚP 5 GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC

Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

a. đặt vấn đề
Trong các môn học, không có môn nào lại giúp rèn luyện năng lực
suy nghĩ và phát triển trí tuệ cho học sinh nh môn Toán. Nhng trong bản
thân môn Toán lại không có phân môn nào giúp phát triển t duy lôgic, trí
thông minh, óc sáng tạo nh phân môn hình học. Do tính thiết thực và khả
năng phát triển trí tuệ nh vậy nên nội dung và phơng pháp dạy học các
yếu tố hình học cho học sinh tiểu học đặc biệt là học sinh giỏi luôn đợc
coi trọng.
Lên lớp 5, học sinh đợc làm quen với rất nhiều hình hình học nh : hình
tam giác, hình thang, hình tròn, hình hộp chữ nhật, hình lập phơng, hình
trụ và các bài tập về hình tam giác gây cho các em nhiều hứng thú.
Chúng ta cần biết, sách giáo khoa Toán 5, giới thiệu về hình tam giác
ở tiết 3 :
Tiết 1 : Hình tam giác
Tiết 2 : Diện tích hình tam giác
Tiết 3 : Luyện tập
Với những kiến thức mà sách giáo khoacung cấp thì áp dụng trực tiếp
công thức để tính diện tích học sinh tiếp thu nhanh. Song ®èi víi häc sinh
kha, giái cã mét sè bài toán ơ trình độ nâng cao thì không đơn giản với
các em.
Làm thế nào để chỉ với những kiến thức ít ở đó mà học sinh có thể giải
các bài toán ở trình độ nâng cao ?
Là một giáo viên nhiều năm làm công tác bồi dỡng học sinh giỏi, tôi
rất băn khoan về điều đó. Bằng cả tân huyết nghề nghiệp, tôi đà tìm tòi và
xây dựng một hệ thống bài tập để giúp học sinh có thể học tập tốt phần
này và nó đợc thể hiện qua kinh nghiƯm : " Gióp häc sinh giái líp 5 giải
các bài toán có liên quan đến diện tích hình tam gi¸c ".

1


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

B. giải quyết vấn đề
I. Một số kết luận và ví dụ minh hoạ
Trong chơng trình Toán lớp 5 , các em đà đợc học công thức tính
diện tích hình tam giác :
Gọi S là diện tích hình tam giác
a là só đo một cạnh đáy
h là số đo chiều cao ứng với cạnh đáy đó
Ta có :


S=aìh:2
a=Sì2:h
h=Sì2:a

Từ công thức cơ bản này, tôi nhấn mạnh cho học sinh tất cả các bài
toán có liên quan đến diện tích hình tam giác điều xoay quanh mối quan
hệ diện tích, cạnh đáy và chiều cao ứng với cạnh đạy đó.
Tuy vậy, đối với các bài toán ở trình độ nâng cao, học sinh còn lúng
túng không biết xuất phát từ đâu, cách giải nh thế nào? Chính vì thế tôi đÃ
đa ra một số ví dụ đóng vai trò quan trọng giúp học sinh vận dụng công
thức tính diện tích hình tam giác một cách sáng tạo và linh hoạt hơn. Cụ
thể :
1. Trờng hợp 1 : Hai tam giác có đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) và có
chiều cao bằng nhau (hoặc chung chiều cao) thì diện tích của 2 tam giác

đó bằng nhau.
Ví dụ : Cho tam giác ABC . Trên cạnh BC ta lấy một điểm chính giữa D.
HÃy so sánh diện tích 2 tam giác ABD và ADC.
Nhận xét : Hai tam giác ABD

A

và ADC có chung chiều cao
hạ từ ®Ønh A. Mn so sanh
diƯn tÝch cđa chóng th× ta phải
so sánh hai cạnh đáy .

B

2

H D

C


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

Giải
Hai tam giác ABD và ADC có đáy BD = DC (vì bài Toán cho D là
điểm chính giữa của BC ) và chiỊu cao AH chung.
VËy : SABD = SADC.
2. Trêng hỵp 2 : Hai tam giác có đáy bằng nhau (hoặc chung đáy), tam
giác nào có chiều cao gấp 2, 3, 4, . . . lần thì diện tích cũng gấp 2, 3,

4, . . . lÇn.
VÝ dơ : Cho tam giác ABC . Trên chiều cao AH ta lấy một ®iĨm E sao cho
AH = EH × 3. H·y so sánh diện tích tam giác ABC và EBC.
A

Nhận xét : Hai tam giác ABC và EBC
có chung đáy BCnên để so sanh diện
tích ta phải so sánh chiều cao hạ từ

E

đỉnh E và A xuống đáy BC.
Giải

B

Nối E với B, E với C.

C

H

Hai tam giác ABC và EBC có chung đáy BC và có chiều cao
AH = EH ì 3
Vậy SABC = SEBC ì 3s
3. Trờng hợp 3 : Hai tam giác có chiều cao bằng nhau (hoặc chung chiều
cao), tam giác nào có đáy gấp 2, 3, 4, . . . lần thì diện tích cũng gấp 2, 3,
4, . . . lần.
Ví dụ : Cho tam giác ABC. Kéo dài BC thêm một đoạn CD = BC ì 2.
Nèi A víi D . So s¸nh diƯn tÝch 2 tam giác ABD và ABC.

A

Nhận xét : Hai tam giác ADB
và ABC có chung chiều cao
hạ từ đỉnh A nên để so sánh
diện tích của 2 tam giác ta cần
so sánh 2 đáy BC và BD.
B

H
3

C

D


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

Giải
Hai tam giác ABD và ABC có chung chiều cao AH và đáy
BD = 3 × BC (v× CD = 2 × BC )
Vậy SABD = 3 ì SABC
4. Trờng hợp 4 : Hai tam giác có diện tích bằng nhau, đáy (hoặc chiều
cao) bằng nhau thì chiều cao (hoặc đáy ) cũng b»ng nhau .
VÝ dơ 1 : Hai tam gi¸c ABC và DBC có diện tích bằng nhau. HÃy so sánh
chiều cao AH và DK hạ từ đỉnh A và D xuống đáy BC .
A
A

D

B
B

H

K

K
H

C

D
Nhận xét : Hai tam giác ABC và DBC có diện tích bằng nhau nên để so
sánh chiều cao AH và DK ta phải tìm mối liên hệ giữa hai đáy ứng với
chiều cao AH và DK .
Giải
Theo bài ra ta có : SABC = SDBC
Mặt khác 2 tam giác có diện tích bằng nhau này lại có chung đáy BC nên
suy ra chiều cao AH và DK hạ từ đỉnh A và D xuống đáy BC ph¶i b»ng
nhau.
VËy AH = DK .
VÝ dơ 2 : Cho tam giác ABC. Trên AC lấy 1 điểm D sao cho khi nối B với
D thì BD chia tam giác ABC thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau là
ABD và BDC. So sánh chiều cao AH và CK hạ từ đỉnh A và C xuống đáy
BD.
4

C


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

A

Nhận xét : Muốn giải bài toán này
trớc hết phải tìm vị trí điểm D trên

D

cạnh AC tức là ta phải so sánh AD

K

H

và DC.
B

C
Để so sánh chiều cao AH và CK thì ta phải tìm mối quan hệ giữa diện
tích 2 tam giác ABD và BDC, quan hệ giữa 2 cạnh đáy ứng với chiều cao
AH và CK.
Giải
Hai tam giác ABD và BDC cã diƯn tÝch b»ng nhau vµ cã chung chiỊu
cao hạ từ đỉnh B nên đáy AD = DC hay D là điểm chính giữa AC .

Mặt khác 2 tam giác ABD và BDC lại có chung đáy BD nên chiỊu
cao AH = CK .
A

VÝ dơ 3 : Hai tam giác ABC và

D

ACD có diện tích bằng nhau và
chiều cao
AH = CK . So sánh BC và AD.
Giải

B

H

Theo bài ra : SABC = SACD
Mặt khác 2 tam giác này lại có chiều cao AH = CK nên suy ra đáy
của chúng phải bằng nhau.
Vậy Bc = AD.
5. Trờng hợp 5 : Hai tam giác có đáy (hoặc chiều cao ) bằng nhau, tam
giác nào co diện tích gấp 2, 3, 4, . . . lần chiều cao (hoặc đáy) cũng gÊp
2, 3, 4, . . lÇn.
VÝ dơ 1 : Cho tam giác ABC. Trên BC lấy một điểm D sao cho khi nối A
với D ta đợc tam giác ABd gÊp 2 diƯn tÝch tam gi¸c ADC. H·y so s¸nh
chiỊu cao BH và CK hạ từ đỉnh B và C xuống AD.
Nhận xét : - Tìm vị trí điểm D trên cạch BC.

5

Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

- So sánh chiều cao

A

BH và CK thì phải tìm mối
H

quan hệ giữa diện tíchtam
giác ABD và ADC, mối quan
hệ giữa 2 cạnh đáy ứng với

B

chiều cao BH và CK.

C

D

Giải

K
Theo bài ra : SABD = 2 ì SADC mà hai tam giác này lại có chugn chiều

cao hạ từ đỉnh A nên đáy BD = 2 ì DC .

Mặt khác 2 tam giác ABD và ADC lại có chung đáy AD nên chiều
cao BH = 2 × CK .
VÝ dơ 2 : Cho tam giác ABC. Trên BC kéo dài về phía C lấy 1 điểm D sao
cho diện tích tam giácABD gấp 2 lần diện tích tam giác ABC. So ssánh
BD và BC .
Nhận xét : Muốn so sánh BD và BC ta

A

phải tìm mối quan hệ về diện tích của 2
tam giác ABD và ABC, tìm mối quan hệ
giữa giữa 2 chiều cao hạ từ đỉnh A xuống
đáy BC và BD .

B

Giải

H

C

Theo bài ra ta có SABD = SABC ì 2
Mặt khác 2 tam giác này lại có chung chiều cao AH suy ra đáy BD
của tam giác ABD phải gấp 2 đáy BC của tam giác ABC .
Vậy BD = BC ì 2
6. Trờng hợp 6 : Hai tam giác cã diƯn tÝch b»ng nhau, nÕu chóng cã mét
phÇn diƯn tích chung thì các phần diện tích còn lại của 2 tam giác đó
cũng bằng nhau .
Ví dụ : Cho tam giác ABC và DBC có diện tích bằng nhau. AC và DB cắt

nhau ở I . HÃy so sánh diện tích 2 tam giác AIB và DIC .

6

D


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

D

A
I

B
Theo bài ra ta có :

SABC = SDBC

Mặt khác 2 tam giác có diện tích bằng nhau này lại có chung hình
IBC nên phần diện tích còn lại của chúng phải bằng nhau .
Vậy SAIB = SDIC
II. Một số bài tập nâng cao :
Sau khi học sinh biết cách giải các bài Toán trung gian đà nêu ở trên
và đặc biệt là nắm chắc các kết luận, tôi giới thiệu tiếp một số bài Toán
nâng cao mà khi giải các bài Toán này yêu cầu các em phải vận dụng linh
hoạt, sáng tạo và tổng hợp các kiến thức đà đợc học .
Bài to¸n 1 : Cho tam gi¸c ABC cã gãc A là góc vuông, AB = 30cm,
AC = 45cm. M là một điểm trên cạch AB sao cho AM = 20 cm . Từ M kẻ

đờng thẳng song song với cạch BC, cắt AC tại điểm N. Tính diện tích tam
giác AMN.
Nhận xét : Muốn tính diện tích tam giác
vuông AMN khi biết AM = 20 cm ta cần
tính AN. Mà AC = 45 cm nên chỉ cần

B
M

tính NC.
Tam giác BNC có chiều cao là Ab
= 30 cm nên để tính đáy NC ta cần biết

A

N

SBNC .
Diện tích tam giác BNC đợc tính thông qua diện tích của tam giác
BMC.

7

C


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

Giải

Nối M với C , B víi N .
DiƯn tÝch tam gi¸c BMC là :
45 ì (30 - 20) : 2 = 225 (cm2)
Vì MN // BC nên tứ giác BMNC là hình thang
SBMC = SBNC
(Vì chung đáy BC, chiều cao hạ từ đỉnh M và N xuống đáy BC là chiều
cao của hình thang BMNC)
Đoạn NC dài là :
225 ì 2 : 30 = 15 (cm)
Diện tích tam giác AMN là :
20 ì (45 - 15) : 2 = 300 (cm2)
Đáp số : 300 cm2

A

Bài toán 2 : Cho tam giác ABC có

H

K

diện tích là 12 cm2. Cạnh AB = 8 cm
và AC = 5 cm. Kéo dài thêm AB đến
M và AC ®Õn N sao cho BM = CN =

C

B

N

2cm . Hỏi diện tích tam giác AMN là
bao nhiêu ?
Cách 1 : NhËn xÐt : Tam gi¸c AMN cã AM = 8 + 2 = 10 cm .
Để tính đợc diện tích của nó cần tính chiều cao hạ từ đỉnh N xuống
đáy AM ( hoặc có AN = 5 + 2 = 7 cm ) .
Để tính đợc diện tích của tam giác ta cần tính chiều cao hạ từ đỉnh M
xuống đáy AN)
Mặt khác chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy AM lại là chiều cao của
tam giác ABN nên chỉ cần tìm diện tích của tam giác ABN nên ta chỉ cần
tìm diện tích của tam giác ABN thì bài toán sẽ giải đợc .
Giải
Nối B với N ta cã :
ChiỊu cao BH lµ :
8

M


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

12 ì 2 : 5 = 4,8 (cm)
Diện tích tam giác ANB là :
(5 + 2) × 4,8 : 2 = 16,8 (cm2)
ChiỊu cao NK là :
16,8 ì 2 : 8 = 4,2 (cm)
Diện tích tam giác AMN là :
(8 + 2) ì 4,2 : 2 = 21 (cm2)
Đáp số : 21 cm2

Cách 2 :
Nhận xét : SAMN so sánh đợc với SANB
SANB so sánh đợc với SABC
=>

SAMN so sánh đợc với SABC

Mà SABC = 12cm2 nên ta tính đợc SAMN
Giải
SANB =

7
SABC
5

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AN =

5+2
AC)
5

Diện tích tam giác ANB là :
12 ì

7
= 16,8 (cm2)
5

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy AM =

8+2
AB)
8

Diện tích tam giác AMN là :
16,8 ì

4
= 21 (cm2)
5
Đáp số : 21 cm2

Bài toán 3 : Cho tam giác ABC với M là điểm chính giữa cạnh AB, N là
điểm chính giữa đoạn MB, P là điểm chính giữa cạnh AC, Q là điểm
9


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

chính giữa đoạn PC. TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c MNQP biÕt diƯn tÝch tam giác
ABC băng 16 cm2 .
Nhận xét :

A

SMNQP = SABQ - SAMP - SNBQ
Nh vËy ta cÇn tÝnh :
SABQ = ? cm2
SAMP = ? cm

SNBQ = ? cm

M

P

2

Q

N

2

B

Gi¶i

C

Nèi B víi Q . B víi P ta cã :
SABQ =

3
SABC
4

(v× chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AQ =

3

AC)
4

Diện tích tam giác ABQ là :
16 ì

3
= 12 (cm2)
4

SNBQ =

1
SABQ
4

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh Q, đáy NB =

1
AB)
4

Diện tích tam giác NBQ là :
12 ì

1
= 3 (cm2)
4

SAMP =

1
SABP
2

(1)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy AM =

10

1
AB)
2


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

1
SABC
2

SABP =

(2)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AP =
Từ (1) và (2) ta có : SAMP =

1
AC)
2

1
SABC
4

Diện tích tam giác AMP là :
16 ì

1
= 4 (cm2)
4

Diện tích tứ giác MNQP là :
12 - 4 - 3 = 5 (cm2)
Đáp số : 5 cm2
Bài toán 4 : Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác, đờng
thẳng AD cắt cạnh BC tại M. Đờng thẳng BD cắt CA tại N. Cho biết diện
tích AOB là 3 cm2 , diện tích BOM và AON đều bằng 1 cm 2. TÝnh diƯn
tÝch tam gi¸c ABC .
A

NhËn xÐt :
SABC = SAOB + SAOC + SBOC

Q

Mà SAOB = 3 cm2 nên để tính SABC ta cần so

P

sánh :

N

SAOC với SABC
SBOC với SABC

B

=> SABC so sánh với SAOB . Sau đó
tính đợc SABC
Giải
Nối O víi C ta cã :
SABM = SABN = 3 + 1 = 4 (cm2)
Ta thÊy : OK =

1
AH
4

11

H

K

M

C


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

(vì SBOM =

1
SABM, chung đáy BM)
4
1
SABC
4

SBOC =

1
AH )
4

(vì chung đáy BC, chiều cao OK =
OP =
(vì SAON =

1
BQ
4

1
SABN, chung đáy AN)
4

SAOC =

1
SABC
4

(Vì chung đáy AC , chiều cao OP =

1
BQ )
4

Mặt khác : SAOB = SABC - (SAOC + SBOC)

1
4

Hay SAOB = SABC - ( SABC +
SAOB =

1
SABC)
4

1
SABC

2

Diện tích tam giác ABC là :
3:

1
= 6 (cm2)
2
Đáp số : 6 cm2

Bài toán 5 : Cho tam gi¸c ABC cã diƯn tÝch 420 cm2 . N là điểm chính
giữa cạnh AC . P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AP = 3PB . Các đoạn
thẳng BN và CP cắt nhau tại K . H·y tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c BKC ?

12


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

Nhận xét : Tính diện tích tam giác BKC mà chữa biết số đo cạnh đáy và
chiều cao nên ta phải tìm mối quan hệ giữa diện tích tam giác BKC với
diện tích tam giác khác .

A

Giải
SABN = SNCK

N

(1)

P

(Vì chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AN = NC)
SAKN = SNKC

K
B

(2)

(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy AN = NC)
Từ (1) và (2) ta có SABK = SBKC
SPBC =

1
SAPC
3

(3)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy PB =
SPKB =

1
AP)
3

1

SAPK (4)
3

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy PB =
Từ (3) vµ (4) ta cã SBKC =

1
AP)
3

1
SAKC
3

NÕu gäi SBKC lµ 1 phần thì SABK là 1 phần và SAKC là 3 phÇn
VËy SABC = 1 + 1 + 3 = 5 (phần)
Diện tích tam giác BKC là :
420 : 5 = 84 (cm2)
Đáp số : 84 cm2
Bài toán 6 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy các ®iĨm D, E sao cho
AD = DE = EB, trªn cạnh AC lấy điểm M, N sao cho AM = MN = NC=.
TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c DEMN b»ng 6 cm2.
NhËn xÐt :
SDENM = SDEM + SMEN
13

C


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích

hình tam giác

Để tính SABC ta cần so sánh SDEM và SMEN

A

với diện tích các tam giác có liên quan đến
tam giác ABC.
D
Giải

E

1
SAEM
2

B

SDEM =

1
AE)
2

(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy DE =
SMEN =

1
SMEC

2

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy MN =
SDEM + SMEN =
Hay SDENM =

1
SAEC
2

Mặt khác SAEC =

1
MC)
2

1
ì (SAEM + SMEN)
2
(1)

2
SABC (2)
3
2
3

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy AE = AB )
Tõ (1) vµ (2) ta cã :

SDENM =

1
SABC
2

Diện tích tam giác ABC là :
6:

1
= 18 (cm2)
3
Đáp số : 18 cm2

14

M
N
C


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

Bài toán 7 : Cho tam giác ABC. M là điểm trên cạnh CA sao cho CN =
3NA. AM cắt BN tại D. H·y tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC nÕu biÕt diƯn
tÝch ADB b»ng 20 cm2.
NhËn xÐt : SABC = SADB + SADC + SBDC
Để tính SABC cần tính diện tích tam giác ADC và diện tích tam giác BDC.
Giải

SABN =

1
SBNC
3

A
(1)

N
O

1
(vì chung chiều cao hạ từ B, đáy AN = NC)
3
SAND =

1
SNDC
3

B

(2)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy AN =
Từ (1) và (2) ta có SADB =

1
NC)

3

1
SBDC
3

Diện tích tam giác BDC là :
20 :

1
= 60 (cm2)
3

SAMC =

1
SBDM
2

(3)

(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy MC =
SMDC =

1
SNDM
2

1
BM)

2

(4)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy MC =
Từ (3) và (4) ta cã : SADC =

1
SADB
2

DiƯn tÝch tam gi¸c ADC lµ :
15

1
BM )
2

M

C


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

20 ì

1
= 10 (cm2)

2

Vậy diện tích tam giác ABC là :
20 + 10 + 60 = 90 (cm2)
Đáp số : 90 cm2
Bài toán 8 : Cho tam giác ABC có cạnh AB bằng 9cm và có diện tích là
36 cm2 . Trên BC lÊy ®iĨm M sao cho BM = 3MC . Qua M ngời ta vẽ một
đờng thẳng cắt BA kéo dài tại điểm K sao cho diện tích tam giác KBM
cũng bằng 36 cm2.
a. Tính đoạn AK.
b. AC và MK cắt nhau tại điểm o . So sánh diện tích 2 tam giác OAK và
OCM.
Nhận xét : Muốn tính đoạn AK ta phải tính đợc
BK .
Theo bài ra SABC = SKBM = 36 cm2 nên để tính đợc
BK ta cần so sánh S KBM với SABM dựa vào mối
quan hệ giữa SABM và SABC

A
K

Giải
a. Nối M với A ta có :
SABM =

3
SABC
4

B

K
3
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy BM = BC)

K
K
O
K
M
K

4

Mà SABC = SKBM = 36 cm2 nên SABM =

3
SKBM
4

Hai tam giác KBM và ABM có chung chiều cao hạ từ đỉnh M nên đáy
AB =

3
BK
4

Đoạn BK dài là :

16

C
K


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

9:

3
= 12 (cm)
4

Đạon AK dµi lµ :
12 - 9 = 3 (cm)
b. Theo bài ra : SABC = SKBM
Hai tam giác này có chung hình tứ giác ABMO nên phần diện tích còn lại
của chúng cũng bằng nhau.
Vậy SOAK = SOCM
Đáp số :

a. 3 cm
b. SOAK = SOCM

Bài toán 9 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho
BM =

1
1
MC và trên cạnh CA lấy điểm NC = NA. Đờng thẳng MN cắt

3
2

cạnh AB kéo dài tại điểm K .
a. Đờng thẳng MN cắt tam giác ABC thành 2 phần . Tính diện tích các
phần đó nếu biết diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 36 cm2
b. So s¸nh đoạn KA và KB .

C

Nhận xét : Đờng thẳng MN chia tam

N

giác ABC thành 2 phần đó là tam giác
MNC và tứ giác ABMN . Để tính diện
tích 2 phần đó trớc hết ta cần tìm diện

A

M
B

tích tam giác MNC.
Tam giác MNC cha biết số đo cạnh đáy và chiều cao nên muốn tính
diện tích của nó ta phải tìm mèi quan hƯ cđa tam gi¸c MNC víi tam gi¸c
cã liên quan.
Cụ thể : - So sánh SMNC với SAMC
- So sánh SAMC với SABC
Từ đó rút ra kết luận.

Giải
a. Nèi A víi M ta cã :
17

K


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

2
SABC
3

SACM =

(1)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy CM =

1
SACM
4

SMNC =

2
CB)
3

(2)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy CN =

1
CA)
4

Từ (1) vµ (2) ta cã :

1
S ABC
6

SMNC =

DiƯn tÝch tam giác MNC là :
36 ì

1
= 6 (cm2)
6

Diện tích tứ giác ABMN là :
36 - 6 = 30 (cm2)
b.

SKNC =

1

SKNA
3

(3)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy NC =
SMNC =

1
SMNA
3

(4)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy NC =
Từ (3) và (4) ta có :
SKMC =

1
NA)
3

1
SKMA
3

Mặt khác : SKMC = 2 × SKMB

(5)
(6)

18

1
NA)
3


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy MB =

1
MC)
2

Từ (5) và (6) ta cã :

1
SKMA = 2 × SKMB
3
Hay

SKMB =

1
SKMA
6

Hai tam giác KMB và KMA lại chung chiều cao hạ từ đỉnh M nên đáy
KB =

1
KA.
6
Đáp số :

a. 6 cm2 và 30 cm2
b.

KB =

1
KA.
6

Bài toán 10 : Cho tam giác ABC có AB = 1,5 cm . Trên cạnh BC lấy điểm
M sao cho BM = 3MC . Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 2NC . Đờng thẳng MN và đờng thẳng AB cắt nhau tại P.

P

a. Tính đoạn thẳng AP.
b. So sánh độ dài đoạn thẳng MP và MN.
Nhận xét : Muốn tính AP ta phải so s¸nh S ANP
víi SABN .

A

Mn so s¸nh diƯn tÝch 2 tam giác trên

ta cần so sánh chúng với các tam giác trung

N
B

gian.
Vậy những tam giác nào đóng vai trò là tam giác trung gian?
Giải
a.

sPBM = 3 ì SPMC

(1)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy BM = 3 MC)
SNBM = 3 ì SNMC

(2)

(vì chung chiều cao hạ từ ®Ønh N, ®¸y BM = 3 MC)

19

M

C


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

Từ (1) và (2) ta có :

sPBM = 3 ì SPNC

Mặt khác

SPAN = 2 ì SPNC

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy AN = 2 NC)
Vậy nếu gọi SPNC là 1 phần thì SPAN là 2 phần và SPBN là 3 phần
Diện tích tam giác ABN là :
3 - 2 = 1 (phần)
Hay SPAN = 2 ì SABN
Hai tam giác PAN và ABN lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh N nên đáy
AP = 2 ì AB
1,5 ì 2 = 3 (cm)

ĐOạn AP dài là :
b.

SPAN = 2 ì SABC

(3)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy PA = 2 AB)
SPAN = 2 ì SABN

(4)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy PA = 2 AB)
Từ (3) và (4) ta có :
Mặt khác :

SPNC = 2 ì SBNC

SBNC = 4 ì SMNC

(5)
(6)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy BC = 4 MC)
Từ (5) và (6) ta có :

SPNC = 8 ì SMNC

(5)

Hai tam giác PNC và MNC có chung chiều cao hạ từ đỉnh c nên đáy
PN = 8 ì MN hay MP = 9 ì MN.
Đáp số :

a.

3 cm

b.

MP = 9 ì MN

Bài toán 11 : Cho tam giác ABC có D, E lần lợt là điểm chính giữa các
cạnh AB, AC.
a. HÃy so sánh diƯn tÝch tam gi¸c AEC víi diƯn tÝch tam gi¸c ABC.
b. M là 2 điểm bất kỳ trên BC . Đoạn AM cắt đoạn thẳng DE tậi I . HÃy
so sánh AI và IM.

20


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác
A
Nhận xét : - So sánh diện tích 2 tam

giácADE và ABC ta cần so sánh qua 1 tam
D

giác trung gian là tam giác ABE .

H

I

K

E

- So sánh AI và IM thì ta xem AI và
IM là đáy của 2 tam giác nào đó. Sau đó dựa

B

vào các giả thiết để so sánh 2 tam giác đó .
Giải
a.

Nối B với E ta có :
SADE =

1
SABE
2

(1)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy AD =
SABE =

1
SABC
2

(2)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AE =
Từ (1) và (2) ta có :
b.

SADE =

1
AB)
2

1
AB)
2

1
SABC
4

Nối B víi I , C víi I
SADM =

1
SABM
2

(v× chung chiỊu cao hạ từ đỉnh M, đáy AD =
SAEM =

1
AB)
2

1
SACM
2

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AE =

21

1
AC)
2

M

C


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

SADM + SAEM =
Hay

SADME =

Theo câu a) thì

1
(SABM + SACM)
2

1
SABC
2

1
SABC
4

SADE =

Nên

SDME =

1
SABC
4

Hay

SADE =

1
SDME
4

Hai tam giác ADE và DME có chung đáy DE nên chiều cao AH = MK
SADI = SDIM
(vì chung đáy DI, chiều cao AH = MK)
Hai tam giác ADI và DIM có chung chiều cao hạ từ đỉnh D nên đáy AI =
IM.
Đáp số : a.
b.

SADE =

1
SABC
4

AI = IM

Bài toán 12 : Cho tam giác ABC, D là điểm nằm trên cạnh AB sao cho
AD =

1
1
AB. E là một điểm nằm trên cạnh AC sao cho AE = AC . Một
3
3

đờng thẳng đi qua A cắt đoạn thẳng DE tại I và cắt cạnh BC tại M .
a. So sánh diện tích các tam giác ADE và ABC.

A

b. SO sánh các đoạn thẳng AI và AM.
Nhận xét : Tơng tự bài 11

D

Gi¶i
a.

SADE =

1
SABE
3

(1)

B

22

K

I H

M

E

C


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy AD =

1
SABC

3

SABE =

(2)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AE=
Từ (1) và (2) ta cã :
b.

SADM =

1
SABM
3

(3)

1
SAMC
3

SADM + SAEM =

Hay

1
AB)
3

(4)

(v× chung chiỊu cao hạ từ đỉnh M, đáy AE=
Từ (3) và (4) ta có :

1
AC)
3

1
SABC
9

SADE =

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AD=
SAEM =

1
AB)
3

SADME =

1
AC)
3

1
(SABM + SAMC)

3

1
SABC
3

1
SABC
9

Theo câu a) thì

SADE =

Nên

SADE =

1
SADME
3

Hay

SADE =

1
SDME
2

Hai tam giác ADE và DME có chung đáy DE nên chiều cao AK =

23

1
MH
2


Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

Ta lại có : SADI =

1
SDIM
2

(vì chung đáy DI, chiều cao AK =

1
MH)
2

Hai tam giác ADI và DIM có chung chiều cao hạ từ đỉnh D nên đáy
AI =

1
1
IM hay AI = AM.

2
3
Đáp số :

a. SADE =
b. AI =

1
SABC
9

1
AM.
3

Bài toán 13 : Cho hình thang ACBD có đáy là AB và CD. AC và BD cắt
nhau tại O. M là điểm chính giữa cạnh đáy AB. Đờng thẳng OM cắt cạnh
đáy CD tại N. So sánh đoạn CN với ND.
Nhận xét : CN và ND là cạnh đáy của 2 tam giác ODN và ONC.
Hai tam giác này có chung chiều
A

cao hạ từ đỉnh O nên để so sánh CN bà
ND thì ta phải so sánh diện tích của 2

M

B

0

tam giác đó.

H

Mặt khác 2 tam giác này lại có
chung đáy ON nên để so sánh diện tích

D

N
K

ta cần so sánh chiều cao DH vµ CK .
Hai chiỊu cao DH vµ CK ta so sánh đợc
dựa vào các tam giác có liên quan.
Giải
SBMD = SAMC

(1)

(vì đáy AM = BM, chiều cao hạ từ đỉnh D và C là chiều cao của hình
thang ABCD)
SAOM = SBOM

(2)
24

C

Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán có liên quan đến diện tích
hình tam giác

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh O, đáy AM = BM)
Từ (1) và (2) ta có :

SDOM =SCOM

Hai tam giác DOM và COM có chung đáy OM nên chiều cao DH = CK
Ta lại có :

SODN =SONC

(vì chung đáy ON, chiều cao DH = CK)
Hai tam giác ODN và ONC lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh O nên đáy
CN = ND
Bài toán 14 : Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp 3 lần đáy AB. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O.
a. So sánh các đoạn thẳng OB và OD, OA và OC
b. Tính diện tích các tam giác OAD và DCO, nếu biết diện tích hình
thang ABCD bằng 32 cm2

H

Giải
a.

A

SADC = 3 ì SABC

B
0
K

(vì DC = 3 ì AB, chiều cao hạ từ
đỉnh A và C là chiều cao hình

D

thang ABCD)
Hai tam giác ADC và ABC có chung đáy AC nên chiều cao DH = 3 ì BK
SAOD = 3 ì SAOB
(vì chung đáy OA, chiều cao DH = 3 ì BK)
Hai tam giác AOD và AOB có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên đáy
OD = 3 ì OB
Hoàn toàn tơng tự ta có OC = 3 ì OA
b.

SACD = SBCD

(vì chung đáy CD, chiều cao hạ từ đỉnh A và B là chiều cao của hình
thang ABCD)
Hai tam giác ACD và BCD có chung hình OCD nên ta có
SAOD = SBOC
Nếu coi SAOB là một phần thì SAOD và SBOC đều là 3 phÇn.
25

C