skkn giúp học sinh giỏi lớp 5 giải tốt dạng toán công việc chung

A – ĐẶT VẤN ĐỀ
Giải toán là một mạch kiến thức rất quan trọng trong ch¬ng tr×nh to¸n
tiÓu häc. Thông qua giải toán sẽ giúp học sinh luyện tập củng cố, vận dụng
tổng hợp các kiến thức và thao tác thực hành đã học. Qua giải toán học sinh
tích cực, sáng tạo hơn, suy luận logic hơn và nhạy bén hơn trong mọi vấn đề.
Các bài toán giải với muôn vàn các tình huống giúp cho học sinh tiếp cận, vận
dụng được kiến thức học tập môn toán vào phục vụ trong cuộc sống.
Bên cạnh những dạng toán điển hình được đưa vào dạy trong chương
trình sách giáo khoa Toán 4, 5 như: tìm hai số khi biết tổng và hiệu; tìm số
trung bình cộng; tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số, chuyển động đều,
Còn có nhiều dạng toán khác như: Bài toán về tính tuổi, Toán giải ngược từ
cuối, Toán giả thiết tạm, Toán về công việc chung … chủ yếu nhằm giúp học
sinh mở rộng và nâng cao.
Dạng toán về “Công việc chung” là dạng toán giải có lời văn rất thiết
thực với học sinh. Đây là dạng toán mà học sinh dễ nhầm lẫn với dạng toán
chuyển động, tìm số trung bình cộng… Nếu không nắm vững bản chất và
cách làm, học sinh sẽ rất vất vả khi giải, đặc biệt là những bài toán có nhiều
đối tượng cùng tham gia vào làm chung công việc nhưng không liên tục; dạng
toán công việc chung nhưng ẩn dưới tình huống về chuyển động, giải toán
công việc chung phối hợp với nhiều dạng toán khác.
Là giáo viên yêu thích môn toán, được phân công bồi dưỡng sinh giỏi
toán lớp 5, phụ trách Câu lạc bộ “Giải toán giải toán trên mạng VIOLIMPIC”
của trường, tôi nhận thấy những bài toán giải liên quan đến công việc chung
rất lí thú, có sức lôi cuốn. Nhưng cả giáo viên và học sinh đều còn nhiều
vướng mắc khi dạy và học dạng toán này. Vấn đề này đã làm tôi suy nghĩ và
trăn trở. Đó là động lực giúp tôi tìm tòi, nghiên cứu, phân loại, rút ra cách giải
chung về dạng toán. Tôi đem áp dụng trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi
và đạt được kết quả tương đối cao. Tôi đã làm thế nào? Tôi xin được chia sẻ
với các bạn đồng nghiệp qua đề tài: “Giúp học sinh giỏi lớp 5 giải tốt dạng
toán công việc chung”. Với đề tài này, tôi chỉ tập trung nghiên cứu và áp
dụng giảng dạy phần toán giải về công việc chung. Mong nhận được sự góp ý

của các cấp quản lí và các bạn đồng nghiệp, để đề tài hoàn chỉnh hơn và được
áp dụng rộng rãi trong giảng dạy.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.CƠ SỞ LÍ LUẬN.
Khi học dạng toán giải về công việc chung trước hết cần giúp học sinh
làm quen với những khái niệm, thuật ngữ sử dụng trong dạng toán này.
Thực ra, cách gọi tên dạng toán là “Toán về công việc chung” chỉ là
một quy ước giữa các giáo viên dạy với học sinh để các em dễ phân biệt
với các dạng toán khác. Trong các tài liệu tham khảo nâng cao, các dạng
toán khác được biên soạn hẳn thành chương mục: Toán về quan hệ tỉ lệ;
Toán trung bình cộng.v.v. Nhưng dạng toán về công việc chung không
được đề cập đến như một dạng toán giải điển hình mà chỉ được sắp ghép
vào các dạng toán khác.
1
Công việc chung là một công việc mà một hay nhiều đối tượng cùng
hoàn thành. Trong đó, một đối tượng hoàn thành công việc gọi là làm
riêng; cả nhóm đối tượng đồng thời hoàn thành công việc gọi là làm
chung.
Công việc ở đây có thể là: đi hết một quãng đường, sửa hết một đoạn
đường, quét hết một sân trường, ăn hết một bó cỏ, chảy đầy một bể nước,
làm xong một sản phẩm… Mà trong bài toán, công viêc không thay đổi
và được coi là một đơn vị trọn vẹn hoặc chia thành nhiều phần bằng
nhau, mà 1 giờ (1 ngày, 1 phút ) đối tượng làm được số phần công việc
nhất định.
II.CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Trong đội tuyển lớp 5, các em rất ham học toán, có khả năng tiếp thu
bài tốt. Nhưng trong quá trình bồi dưỡng tôi nhận thấy học sinh ngại đụng
chạm đến những bài toán có đến 3, 4 đối tượng tham gia trong một công việc
hoặc lại hăm hở làm nhưng … nhầm dạng. Vì thiếu lí thuyết, yếu kĩ năng nên
học sinh thường lúng túng khi gặp các bài toán về giải toán công việc chung.

Trong đề thi có dạng toán liên quan đến công việc chung, đa số học
sinh đều mất điểm phần này. Có hai bài toán:
Bài 1 : Toán bắt đầu làm một công việc, được 30 ngày thì Toán nghỉ, sau đó
Thơ tiếp tục làm công việc đó một mình trong 5 ngày và cuối cùng hai bạn
cùng làm chung 10 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Nếu cùng làm từ đầu
Toán và Thơ có thế hoàn thành công việc trong 20 ngày. Biết rằng Toán và
Thơ làm năng suất không đổi. Hỏi Toán mất bao lâu để hoàn thành công việc
một mình?
Bài 2: Một người đi từ A đến B với vận tốc 50 km/ giờ. Lúc đi từ B về A vì
ngược gió nên vận tốc người đó chỉ đạt 40 km/ giờ. Tính vận tốc trung bình
cả đi lẫn về của người đó.
Kết quả khảo sát đội tuyển năm học 2010 – 2011gồm 18 em như sau:
Số H/S làm đúng Số H/S làm sai Số H/S không làm
Bài số 1 2em 6em 10em
Bài số 2 0em 18em 0em
Từ kết quả trên, tôi nhận thấy khả năng giải toán công việc chung của
học sinh còn rất nhiều hạn chế. Đa số học sinh nhầm lẫn về dạng toán trung
bình cộng (Bài 2). Bên cạnh đó, học sinh còn vướng mắc rất nhiều trong tìm
số phần công việc trong các giai đoạn làm việc cụ thể của các đối tượng tham
gia làm việc. Năm học mới, để tăng cường kĩ năng giải toán này, tôi tiến hành
nghiên cứu và cung cấp, rèn luyện dạng toán này khi học sinh đã được hoàn
thiện kiến thức về chuyển động. Vì thực tế cho thấy rất nhiều bài toán về công
việc chung bị nhầm với dạng toán chuyển động. Với cách dạy này, học sinh
của tôi đã làm tốt dạng toán “công việc chung” hơn. Tôi đã làm thế nào? Sau
đây tôi xin trình bày các giải pháp mà tôi đã thực hiện.
III. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.
Từ thực trạng trên, để có được kết quả như mong muốn tôi đã đưa ra
các giải pháp sau:
1. Tự học hỏi, nâng cao nghiệp vụ.
2

2. Nghiên cứu về nội dung chương trình, tâm lí lứa tuổi, điều kiện dạy học.
3. Xây dựng chương trình các dạng toán điển hình của dạng toán về công
việc chung.
4. Lên kế hoạch bồi dưỡng dạng toán riêng theo mạch riêng và kết hợp với
các mạch kiến thức khác.
5. Cung cấp hệ thống lí thuyết nâng cao, bài tập khai thác và chốt kiến thức
theo từng dạng và ra bài tập thực hành.
6. Ra đề thi tổng hợp để củng cố cho học sinh.
IV. CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
1. TRAU DỒI KIẾN THỨC, NÂNG CAO NGHIỆP VỤ.
Kết quả học sinh giỏi liên quan đến nhiều yếu tố trong đó quan trọng
nhất và có vai trò quyết định là giáo viên. Ý thức được điều đó, tôi luôn có ý
thức tự học hỏi nâng cao trình độ, nghiệp vụ chuyên môn. Tôi thường xuyên
tham khảo các chuyên đề giải toán, các bộ đề thi của các cấp trên trang web
Violet.vn, chương trình “Thi giải toán trên mạng VIOLIMPIC”; tham gia đầy
đủ các chuyên đề về phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi của nhà trường tổ
chức; thường xuyên xin ý kiến chỉ bảo của đồng nghiệp giàu kinh nghiệm,
của ban giám hiệu. Qua đó, tôi hệ thống được nội dung kiến thức cần cung
cấp, tiếp thu phương pháp tối ưu nhất.
Bằng niềm đam mê với toán công việc chung tôi đã lập hệ thống những
bài tập theo từng dạng với những kiến thức và cách giải đặc trưng. Đó là kết
quả nghiên cứu tìm tòi, học hỏi thực sự mà tôi tâm đắc. Tôi đã đem kết quả đó
vào chương trình bồi dưỡng cho học sinh đội tuyển trong năm học này.
2. CUNG CẤP KIẾN THỨC SƠ GIẢN VÀ NÂNG CAO VỀ DẠNG TOÁN.
Để tiếp cận được với dạng toán này, tôi cung cấp đầy đủ các thuật ngữ
công việc chung, làm chung, làm riêng, số phần công việc để học sinh hiểu
về bản chất của bài toán.
- Coi toàn bộ công việc là một đơn vị và biểu thị bằng 1, nếu thực hiện xong
một công việc hết
x

ngày ( x giờ, x phút ) thì trong 1 ngày (1 giờ, 1 phút )
làm được
x
1
công việc
- Công việc làm được = số phần công việc làm trong một giờ
×
thời gian làm
- Số phần công việc làm chung trong một ngày (giờ, phút )= tổng các số phần
làm riêng của các đối tượng trong một ngày (giờ, phút )
- Thiết lập nên mối quan hệ: Nếu thời gian làm càng nhiều thì số phần công
việc làm trong 1 ngày (1 giờ, 1 phút ) càng ít và ngược lại.
3. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO DẠNG, RÚT RA CÁCH LÀM.
3.1. Dạng 1: Công việc làm chung liên tục.
3.1.1. Dạng biết thời gian làm riêng từng người, tính thời gian làm chung.
3.1.1.a. Bài toán cơ bản hướng dẫn khai thác kiến thức.
Bài 1: Anh Bình làm xong sản phẩm trong 6 giờ, anh An làm xong sản phẩm
đó trong 9 giờ. Nếu hai anh làm chung thì bao lâu sẽ làm xong sản phẩm đó?
Phân tích đề:
Vì sản phẩm cần làm không đổi, coi sản phẩm đó là một đơn vị trọn vẹn.
? Để tìm được thời gian làm chung, cần biết những gì? (biết số phần công
việc làm chung được trong một giờ)
3
? Để tìm được trong một giờ làm chung được bao nhiêu phần công việc cần
biết gì? (biết số phần sản phẩm An làm được trong một giờ; phần sản phẩm
Bình làm được trong một giờ)
? Để biết mỗi anh làm mấy phần sản phẩm trong một giờ cần biết gì? (biết
thời gian mỗi người hoàn thành sản phẩm – bài toán đã cho biết)
Cách 1:
Định hướng giải toán:

Bước 1: - Xác định sản phẩm không đổi, coi sản phẩm là một đơn vị trọn vẹn.
Bước 2: - Tìm số phần sản phẩm của riêng từng người làm trong 1 giờ.
Bước 3: - Tìm số phần sản phẩm của chung hai người làm trong 1 giờ.
Bước 4: - Tìm thời gian hai người làm chung.
Hướng dẫn trình bày bài giải Giải:
Coi sản phẩm hai anh cần làm là một đơn vị trọn vẹn thì:
Số phần sản phẩm của anh Bình làm trong 1 giờ là:
1
6
(sản phẩm).
Số phần sản phẩm của anh An làm trong 1 giờ là:
1
9
(sản phẩm).
Số phần sản phẩm Bình, An làm chung trong 1 giờ là :
1
6
+
1
9
=
5
18
( sản
phẩm)
Thời gian Bình, An làm xong sản phẩm là: 1 :
5
18
=
18

5
(giờ)
Đổi:
18
5
giờ = 3 giờ 36 phút.
Đáp số: 3 giờ 36 phút.
Cách 2:
Định hướng giải toán: Số phần sản phẩm làm trong một giờ bằng số phần
công việc chung chia cho số giờ hoàn thành sản phẩm. Do đó số phần công
việc chung phải là số chia hết cho số giờ là 6 giờ và 9giờ.
Bước 1: - Chia toàn bộ sản phẩm thành 18 phần bằng nhau.
Bước 2: - Tìm số phần sản phẩm từng người làm được trong 1 giờ.
Bước 3: - Tìm số phần sản phẩm hai người làm được trong 1 giờ.
Bước 4: - Tìm thời gian hai người hoàn thành sản phẩm.
Hướng dẫn trình bày bài giải Giải:
Vì 18 chia hết cho 6 và 9 nên coi sản phẩm là 18 phần bằng nhau thì:
Số phần sản phẩm người thứ nhất làm trong 1 giờ là: 18:6 = 3 (phần).
Số phần sản phẩm người thứ hai làm trong 1 giờ là: 18: 9 = 2 (phần).
Số phần sản phẩm cả hai người làm trong 1 giờ là: 3 + 2 = 5 (phần).
Thời gian hai người cùng làm xong sản phẩm là :18 : 5 = 3,6 (giờ)
Đổi: 3,6 giờ = 3 giờ 36’.
Đáp số: 3 giờ 36 phút.
3.1.1.b. Rút ra cách giải của dạng toán.
Sau quá trình phân tích đề bài, định hướng, hướng dẫn học sinh giải bài
toán trên, tôi giúp các em rút ra cách làm chung cho những bài toán dạng này
theo 2 cách như sau: Cách 1:
Bước 1: Xác định công việc chung cần làm và coi như một đơn vị trọn vẹn.
4
Bước 2: Tìm lượng công việc từng đối tượng làm riêng trong 1 đơn vị thời

gian. (= 1 : thời gian của từng đối tượng hoàn thành công việc một mình)
Bước 3: Tìm lượng công việc cả nhóm đối tượng làm chung trong 1 đơn vị
thời gian (= tổng công việc các đối tượng làm riêng trong 1 đơn vị thời gian)
Bước 4: Tìm thời gian cả nhóm người cùng hoàn thành công việc đó.
(=1: lượng công việc cả nhóm đối tượng làm chung trong 1 đơn vị thời gian)
Cách 2:
Bước 1: Xác định công việc chung cần làm và chia công việc chung ra
thành những phần bằng nhau. (số phần là số chia hết cho thời gian hoàn
thành công việc của từng đối tượng)
Bước 2: Tìm số phần công việc của từng đối tượng làm riêng trong một
giờ.
Bước 3: Tìm tổng số phần công việc mà cả nhóm làm chung trong một giờ.
Bước 4: Tìm thời gian cả nhóm người hoàn thành công việc
(= Tổng số phần công việc : Số phần công việc của cả nhóm làm trong 1
giờ)
Ở hai cách làm ta thấy sự khác biệt giữa coi công việc là 1 đơn vị
trọn vẹn và chia công việc thành nhiều phần bằng nhau. Học sinh chọn
cách làm nào để giải toán thì dựa vào sở trường tính toán của các em.
Sau khi học sinh đã hiểu bản chất và cách giải, tôi cung cấp một số
bài toán nâng cao để các em phát huy tích cực tư duy giải toán.
3.1.1.c. Áp dụng kiến thức làm các bài toán nâng cao cùng dạng.
Bài 1: Người thứ nhất đi từ A đến B hết 7 giờ. Người thứ hai đi từ B về A thì
hết 5 giờ. Hỏi nếu cùng một lúc, người thứ nhất đi từ A và người thứ hai đi từ
B thì sau bao lâu họ gặp nhau?
Phân tích đề bài:
? So sánh quãng đường người thứ nhất đi trong 7 giờ và người thứ hai đi
trong 5 giờ. (đều là quãng đường AB)
? So sánh tổng quãng đường hai người đi cùng một lúc đến khi gặp nhau với
quãng đường AB. ( bằng quãng đường AB)
Tôi khẳng định với học sinh quãng đường AB cần đi không thay đổi. Đây

chính là công việc hai người cần hoàn thành.
? Bài toán thuộc dạng toán gì? ( bài toán thuộc dạng bài về công việc chung
chứ không phải là toán chuyển động)
Định hướng giải: Cách 1:
- Bước 1: Xác định quãng đường AB là công việc cần làm và là một đơn vị.
- Bước 2: Tìm phần quãng đường từng người đi trong 1 giờ.
- Bước 3: Tìm phần quãng đường hai người cùng đi được trong 1 giờ.
- Bước 4: Tìm thời gian hai người cùng đi đến khi gặp nhau.
Giải:
Coi quãng đường AB là một đơn vị trọn vẹn ta có:
Trong 1 giờ: Người thứ nhất đi được là: 1: 7 =
7
1
(quãng đường AB)
Người thứ hai đi được là: 1: 5 =
5
1
(quãng đường AB)
5
Hai người cùng đi được là:
7
1
+
5
1
=
35
12
(quãng đường AB)
Vậy thời gian hai người đi đến khi gặp nhau là: 1:

35
12
=
12
35
(giờ)
Đổi:
12
35
giờ = 2 giờ 55 phút
Đáp số: 2 giờ 55 phút
Định hướng giải: Cách 2:
- Bước 1: Xác định quãng đường AB là công việc cần làm và chia quãng
đường AB thành 35 phần ( vì 35 là số nhỏ nhất chia hết cho 7 và 5)
- Bước 2: Tìm số phần quãng đường từng người đi trong 1 giờ.
- Bước 3: Tìm số phần quãng đường hai người cùng đi được trong 1 giờ.
- Bước 4: Tìm thời gian hai người cùng đi đến khi gặp nhau.
Giải
Vì 35 chia hết cho 7 và 5 nên coi quãng đường AB gồm 35 phần bằng nhau.
Vậy trong một giờ:
Người thứ nhất đi được số phần quãng đường là: 35 : 7 = 5 (phần)
Người thứ hai đi được số phần quãng đường là: 35 : 5 = 7 (phần)
Hai người đi hết số phần quãng đường là: 5 + 7 = 12 (phần)
Vậy thời gian hai người đi đến khi gặp nhau là: 35 : 12 =
12
11
2
(giờ)
Đổi:
12

11
2
giờ=2 giờ 55 phút
Đáp số: 2 giờ 55 phút
Trước đây, giáo viên thường đưa bài này vào dạy trong quá trình dạy
toán chuyển động. Nhưng đây chính là bài toán giải về công việc chung được
ẩn dưới ngôn từ, yêu cầu của dạng toán về chuyển động nên tôi đưa những
bài toán dạng này vào phần giải toán về công việc chung.
Bài 2: Một bể nước có 4 vòi. Nếu mở vòi 1 và vòi 2 và vòi 3 cùng chảy thì
sau 12 phút sẽ đầy. Nếu chỉ có vòi 2, vòi 3 và vòi 4 cùng làm việc thì sau 15
phút sẽ đầy. Nếu chỉ có vòi 1 và vòi 4 cùng chảy thì sau 20 phút sẽ đầy bể.
Hỏi nếu tất cả cùng chảy thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Phân tích: Ở đây, lượng công việc cần làm là chảy đầy một bể nước.
? Để tìm được thời gian 4 vòi cùng chảy đến khi đầy bể thì cần tìm gì? (Số
phần bể cả 4 vòi cùng chảy trong 1 phút)
? Để tìm được số phần bể cả 4 vòi cùng chảy trong 1 giờ cần biết gì? (Số
phần bể bốn vòi cùng chảy với nhau trong 1 phút = 1:thời gian bốn vòi cùng
chảy).
Tôi khẳng định với học sinh: Trong 1 phút, số phần bể chảy được trong ba lần
chảy kết hợp gấp đôi tổng số phần bể mà bốn vòi cùng chảy. ( vì mỗi vòi
được bật hai lần với vòi khác)
? Muốn tìm số phần bể của mỗi lần kết hợp bật vòi ta cần biết gì? (thời gian
các vòi chảy kết hợp với nhau đầy bể - đến với dữ liệu bài toán đã cho)
Định hướng cách giải:
- Bước 1: Công việc cần làm trong bài là gì và coi công việc đó là một đơn vị.
- Bước 2: ? Mỗi phút vòi 1, vòi 2, vòi 3 chảy bao nhiêu bể?
6
? Mỗi phút vòi 2, vòi 3, vòi 4 chảy bao nhiêu bể?
? Mỗi phút vòi 1, vòi 4 chảy bao nhiêu bể?
- Bước 3: ? Mỗi phút ba vòi chảy bao nhiêu bể?

- Bước 4: ? Thời gian 4 vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?
Cách 1: Giải
Coi việc chảy đầy bể nước là một đơn vị trọn vẹn ta có:
Trong 1 phút: Vòi 1, vòi 2, vòi 3 chảy được là:
12
1
(bể)
Vòi 2, vòi 3, vòi 4 chảy được là:
15
1
(bể)
Vòi 1, vòi 4 chảy được là:
20
1
(bể)
Cả bốn vòi chảy được là: (
12
1
+
15
1
+
20
1
) : 2 =
10
1
(bể)
Vậy thời gian cả 4 vòi chảy đầy bể là: 1:
10

1
= 10 (phút)
Đáp số: 10 phút.
Cách 2:
Vì 60 chia hết cho 15, 20, 12 nên coi bể nước là 60 phần bằng nhau. Vậy
trong một phút: Vòi 1, vòi 2, vòi 3 chảy số phần bể là:60:15=4(phần)
Vòi 2, vòi 3, vòi 4 chảy số phần bể là:60:20=3(phần)
Vòi 1, vòi 4 chảy được số phần bể là: 60:12=5(phần)
Cả 4 vòi cùng chảy số phần bể là:(4+3+5):2=6(phần)
Vậy thời gian 4 vòi chảy đến khi đầy bể là: 60 : 6 = 10 (giờ)
Đáp số: 10 giờ
Bài 3 : Ba người cùng làm một công việc. Người thứ nhất hoàn thành công
việc trong 3 ngày. Người thứ hai hoàn thành một công việc nhiều gấp 3 lần
công việc đó trong 8 ngày. Người thứ ba hoàn thành một công việc nhiều gấp
5 lần công việc đó trong 12 ngày. Hỏi cả ba người cùng làm công việc ban
đầu thì sẽ hoàn thành trong bao nhiêu ngày ?
Phân tích đề bài:
?Muốn tính thời gian cả ba người cùng làm công việc ban đầu cần phải biết
gì? (biết số phần công việc cả ba người làm trong một ngày)
? Muốn tìm được số phần công việc cả ba người làm trong một ngày thì phải
biết gì? (biết số phần công việc mỗi người làm trong một ngày)
? Muốn tìm được số phần công việc mỗi người làm trong một ngày thì cần
tìm gì? (được thời gian người đó hoàn thành một công việc trọn vẹn)
? Muốn tìm thời gian hoàn thành 1 công việc trọn vẹn thì cần biết gì? (biết
tổng số công việc làm trong tổng số thời gian – dữ liệu của bài toán)
Định hướng giải toán:
Bước 1: ? Xác định công việc cần làm
? Thời gian hoàn thành 1 công việc của người thứ nhất là bao nhiêu?
? Một ngày người thứ nhất làm được bao nhiêu phần công việc?
? Thời gian hoàn thành 1 công việc của người thứ hai là bao nhiêu?

? Một ngày người thứ hai làm được bao nhiêu phần công việc?
7
Bước 2:
? Thời gian hoàn thành 1 công việc của người thứ ba là bao nhiêu?
? Một ngày người thứ ba làm được bao nhiêu phần công việc?
Bước 3: ? Một ngày ba người làm chung được bao nhiêu phần công
việc?
? Ba người hoàn thành chung công việc đó trong mấy ngày?
? Ba người hoàn thành chung công việc đó trong mấy giờ?
Cách 1: Giải
Coi công việc (cv) cần làm là một đơn vị trọn vẹn ta có:
Một ngày người thứ nhất làm được số phần công việc là:
3
1
3:1 =
(cv)
Thời gian người thứ hai hoàn thành công việc đó là:
3
8
3:8
=
(ngày)
Một ngày người thứ hai làm được số phần công việc là:
8
3
3
8
:1
=
(cv)

Thời gian người thứ ba hoàn thành công việc đó là:
5
12
5:12 =
(ngày)
Một ngày người thứ ba làm được số phần công việc là:
12
5
5
12
:1
=
(cv)
Một ngày ba người cùng làm được số phần công việc là:
8
9
12
5
8
3
3
1
=++
(cv)
Thời gian ba người hoàn thành công việc đó là:
9
8
8
9
:1

=
(ngày)
Đáp số:
9
8
ngày
Cách 2: Giải:
Coi một công việc được giao là 24 phần bằng nhau thì trong một ngày ta có:
Số phần công việc của người thứ nhất làm là: 24 : 3 = 8 (phần).
Số phần công việc người thứ hai làm là: 24 : 8
×
3 = 9 (phần).
Số phần công việc người thứ ba làm là: 24 : 12
×
5 = 10 (phần).
Số phần công việc cả ba người làm là: 8 + 9 + 10 = 27 (phần).
Thời gian ba người cùng làm xong công việc ban đầu là :24:27 =
9
8
( ngày)
Đáp số:
9
8
ngày
Bài 4: Hoàn học rất chăm và rất thích đá bóng. Nhà nghèo, mỗi ngày Hoàn
chẻ rau muống trong 2 giờ thì được 1 kg rau để mẹ đem đi bán. Một hôm có
trận bóng đá rất hay. Hai bạn Hùng và Dũng đến giúp Hoàn chẻ rau để chóng
xong còn xem bóng đá. Các bạn làm vui vẻ nên năng suất tăng gấp 2 lần
(năng suất của 3 bạn như nhau). Hỏi sau bao lâu ba bạn chẻ hết 1kg rau đó?
(Trích “ Bài 15 - trang 81 – Sách Toán nâng cao lớp 4 Tập 1”)

Định hướng giải toán:
Tôi giúp học sinh hiểu năng suất: là lượng rau chẻ được trong 1 giờ. Năng
suất gấp 2 lần nghĩa là lượng rau chẻ trong một giờ gấp đôi so với trước.
? Xác định công việc cần hoàn thành (1 kg rau chẻ).
Khẳng định: Trong bài tập công việc cần làm đã cụ thể về lượng
? Muốn tìm thời gian ba bạn hoàn thành 1 kg rau chẻ cần tìm gì? (số rau ba
bạn chẻ được trong 1 giờ hay năng suất của ba bạn)
8
Bước 4:
? Muốn tìm số rau mỗi bạn chẻ trong 1 giờ cần biết gì? (số rau mỗi bạn chẻ
trong 1 giờ = năng suất của bạn Hoàn vì năng suất của ba bạn như nhau)
Giải:
1 giờ Hoàn chẻ được số kg rau là: 1 : 2=
2
1
(kg rau)
Năng suất tăng lên nên 1 giờ mỗi bạn chẻ được số rau là:
2
1
x 2= 1 (kg rau)
Cả ba bạn trong 1 giờ chẻ được số kg rau là: 1 x 3 = 3 (kg)
Thời gian để 3 bạn hoàn thành 1 kg rau là: 1: 3 =
3
1
(giờ)
Đổi:
3
1
giờ = 20 phút.
Đáp số: 20 phút

Qua bài tập, tôi giúp cho học sinh hiểu lượng công việc làm trong 1
đơn vị thời gian (1 phút, 1 giờ, 1 ngày…) là năng suất làm việc của đối tượng.
Trong quá trình giải, bước 2 chính là tìm năng suất riêng, bước 3 là tìm năng
suất chung của nhóm đối tượng (chỉ khác tên gọi, cách tính không thay đổi).
Bài 5. Để quét xong một sân trường, cả lớp 5A phải mất 30 phút, cả lớp 5B
phải mất 24 phút, cả lớp 5C phải mất 40 phút, cả lớp 5D phải mất 36 phút.
Hỏi nếu
3
4
học sinh lớp 5A,
4
5
học sinh lớp 5B,
2
3
học sinh lớp 5C,
3
10
học
sinh lớp 5D cùng quét thì sau bao lâu sẽ xong sân trường?
Phân tích: Công việc cần hoàn thành ở bài tập này là quét một sân trường.
? Muốn tìm thời gian hoàn thành việc quét sân trường của
3
4
học sinh lớp 5A,
4
5
học sinh lớp 5B,
2
3

học sinh lớp 5C,
3
10
học sinh lớp 5D cần biết gì? (năng
suất chung của số học sinh này.)
? Muốn tìm năng suất của
3
4
học sinh lớp 5A,
4
5
học sinh lớp 5B,
2
3
học sinh
lớp 5C,
3
10
học sinh lớp 5D cần biết gì? (năng suất của cả lớp 5A, 5B, 5C, 5D)
Giải:
Nếu coi việc quét sân trường là 1 đơn vị trọn vẹn thì trong một phút:
Lớp 5A làm được là: 1 : 30 =
30
1
(sân trường)
4
3
số HS lớp 5A làm được là:
×
30

1
4
3
=
40
1
(sân trường)
Lớp 5B làm được là: 1: 24 =
24
1
(sân trường)
5
4
số HS lớp 5B làm được là:
30
1
5
4
24
1
=×
(sân trường)
Lớp 5C làm được là: 1: 40 =
40
1
(sân trường)
3
2
số HS lớp 5C làm đượclà:
60

1
3
2
40
1
=×
(sân trường)
Lớp 5D làm được là: 1: 36 =
36
1
(sân trường)
9
10
3
số HS lớp 5D làm được là:
120
1
10
3
36
1
=×
(sân trường)
3
4
học sinh lớp 5A,
4
5
học sinh lớp 5B,
2

3
học sinh lớp 5C,
3
10
học sinh lớp 5D
làm được là:
12
1
120
1
60
1
30
1
40
1
=+++
(sân trường)
Thời gian để
3
4
học sinh lớp 5A,
4
5
học sinh lớp 5B,
2
3
học sinh lớp 5C,
3
10

học sinh lớp 5D hoàn thành xong quét sân trường là:
12
12
1
:1 =
(phút)
Đáp số: 12 phút
Cách 2 Giải:
Vì 360 chia hết cho 30, 24, 40,36 nên coi toàn bộ công việc quét sân trường
thành 360 phần bằng nhau thì trong một phút ta có:
Lớp 5A làm được là: 360 : 30 = 12 (phần)
Lớp 5B làm được là : 360 : 24 = 15 ( phần)
Lớp 5C làm được là : 360 : 40 = 9 (phần)
Lớp 5D làm được là : 360 : 36 = 10 (phần)
4
3
số HS lớp 5A làm được là: 12
×
4
3
= 9 (phần)

5
4
số HS lớp 5B làm được là: 15
×

5
4
= 12 (phần)

3
2
số HS lớp 5C làm đượclà: 9
×
3
2
= 6 (phần)
10
3
số HS lớp 5D làm được là: 10
×
10
3
= 3 (phần)
3
4
học sinh lớp 5A,
4
5
học sinh lớp 5B,
2
3
học sinh lớp 5C,
3
10
học sinh lớp 5D
làm được là: 9 + 12 + 6 + 3 = 30 (phần)
Thời gian để
3
4

học sinh lớp 5A,
4
5
học sinh lớp 5B,
2
3
học sinh lớp 5C,
3
10
học sinh lớp 5D quét xong sân trường là : 360 : 30 = 12 (phút)
Đáp số : 12 phút
Qua hệ thống bài tập này tôi giúp học sinh nắm được rõ hơn bản chất
của làm chung, làm riêng. Học sinh phải suy luận logic để tìm ra đáp số vì
trong các bước giải cần khai thác triệt để dữ liệu bài toán:
Ở bài 1: Cần lưu ý ở bước 1: xác định công việc chung cần hoàn
thành là quãng đường AB.
Ở bài 2: Cần lưu ý ở bước 3: tìm tổng phần bể của bốn vòi trong 1 giờ
liên quan đến số lần kết hợp với các vòi khác trong các lần chảy.
Ở bài 3: Cần lưu ý ở bước 2: tìm thời gian hoàn thành 1 công việc trọn
vẹn của nười thứ hai và người thứ ba bị ẩn trong dữ liệu bài toán.
Ở bài 4: Cần lưu ý ở bước 3: tổng năng suất ba bạn gấp 3 lần năng suất
của Hoàn hôm đó; bước 2: tìm năng suất ngày thường, năng suất hôm đó;
bước 1: Công việc đã được cụ thể hóa về lượng.
10
Ở bài 5: xuất hiện nhiều phân số “gây nhiễu”học sinh. Cần lưu ý bước
3: xác định nhóm đối tượng tham gia vào làm chung công việc: bước 2: xử lí
các phân số trong bài để tìm lượng công việc làm được trong 1 phút.
3.1.1.d. Hệ thống bài tập củng cố, rèn luyện kĩ năng.
Bài 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể. Trong một giờ vòi thứ nhất chảy
được 24% bể, vòi thứ hai chảy được 2/5 bể. Hỏi cả hai vòi cùng chảy một lúc

thì bao lâu sẽ đầy bể.
Bài 2. Cùng một lúc hai người đi xe đạp ngược chiều nhau từ A về B. Người
đi từ A về B hết 8 giờ, người đi từ B về A hết 6 giờ. Hỏi sau một giờ hai
người đi được bao nhiêu phần quãng đường AB? (Trích “Đề thi HSG tỉnh
Bạc Liêu năm 2010 – 2011”)
Bài 3. Một hồ có 3 vòi nước: hai vòi cùng chảy nước vào và một vòi tháo
nước ra. Biết rằng vòi thứ nhất chảy một mình mất 8 giờ thì đầy hồ, vòi thứ
hai chảy một mình mất 6 giờ thì đầy hồ, vòi thứ ba tháo ra một mình mất
4giờ thì hồ cạn. Hồ đang cạn, nếu mở cả 3 vòi cùng lúc thì mất bao hồ đầy?
Bài 4. Tốp thợ thứ nhất làm xong một công việc trong 30 ngày. Tốp thợ thứ
hai làm xong công việc đó trong 40 ngày. Nếu ta thuê 1/4 tốp thợ thứ nhất và
1/5 tốp thợ thứ hai để làm công việc ấy thì sẽ xong bao nhiêu ngày ?
Sau khi giao bài, tôi truy bài thấy đa số các em làm được bài, nắm tốt
kiến thức. Tôi cung cấp các dạng tiếp theo của dạng toán về công việc chung.
3.1.2. Dạng biết thời gian làm chung, tính thời gian làm riêng từng người.
3.1.2.a. Các bài toán hướng dẫn khai thác kiến thức.
Bài 1: Hai người thợ cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ xong. Nếu
làm một mình thì người thứ nhất làm công việc ấy mất 9 giờ mới xong. Hỏi
Nếu người thứ hai làm một mình công việc ấy mất mấy giờ mới xong? (Trích
“Bài 47 - T 25 – Sách Toán nâng cao lớp 5- T1”)
Phân tích đề: Công việc cần làm là lượng không đổi.
? Để tìm được thời gian người thứ hai làm xong công việc một mình cần biết
gì? (số phần công việc làm trong 1 giờ).
? Để biết số phần công việc người thứ hai làm trong 1 giờ làm thế nào (=số
phần công việc làm chung – số phần công việc làm riêng của người thứ nhất)
Cách 1 Giải.
Coi công việc cần hoàn thành là một đơn vị trọn vẹn.
Số công việc của hai người thợ làm chung trong 1 giờ là:
1
6

(công việc).
Số công việc của người thợ thứ nhất làm trong 1 giờ là :
1
9
(công việc)
Số công việc của người thợ thứ hai làm trong 1 giờ là :
18
1
9
1
6
1
=−
(công việc).
Thời gian người thợ thứ hai làm một mình xong công việc là:
18
18
1
:1 =
(giờ)
Đáp số: 18 giờ.
Cách 2: Giải:
Vì 18 chia hết cho 6 và 9 nên coi công việc là 18 phần thì trong 1 giờ ta có:
Cả hai người cùng làm được là: 18 : 6 = 3 (phần)
Người thợ thứ nhất làm được là: 18 : 9 = 2 (phần)
Vậy, người thợ thứ nhất làm được là: 3 – 2 = 1 (phần)
11
Thời gian người thứ hai xong công việc một mình là: 18 : 1 = 18 (giờ)
Đáp số: 18 giờ.
3.1.2.b. Rút ra cách giải dạng toán.

Thông qua bài tập tôi hướng dẫn học sinh rút ra 2 cách giải dạng
toán này:
Cách 1
Bước 1: Xác định công việc chung và coi như một đơn vị trọn vẹn.
Bước 2: Tìm lượng công việc làm chung, làm riêng đã biết trong 1 đơn vị
thời gian. ( = 1: Thời gian hoàn thành chung công việc)
Bước 3: Tìm lượng công việc riêng cần tìm trong 1 đơn vị thời gian.
(= công việc cả nhóm– công việc riêng đã biết trong cùng đơn vị thời
gian)
Bước 4: Tìm thời gian làm riêng của đối tượng cần tìm.
(= 1 : công việc làm riêng cần tìm trong 1 đơn vị thời gian)
Cách 2.
Bước 1: Chia công việc thành những phần bằng nhau. (số phần là số chia hết
cho thời gian hoàn thành công việc làm chung, làm riêng đã biết)
Bước 2: Tìm số phần công việc làm chung, làm riêng đã biết trong một
đơn vị thời gian.
Bước 3: Tìm số phần công việc còn lại trong đơn vị thời gian đó.
Bước 4: Tìm thời gian hoàn thành công việc của đối tượng làm riêng cần
tìm.
Sau quá trình thực hiện hai dạng toán của công việc chung, tôi rút ra
cho học sinh phân biệt được hai dạng bài:
Biết thời gian làm riêng- tính thời
gian làm chung
Biết thời gian làm chung – tính thời
gian làm riêng
-B2: Tìm phần việc làm riêng trong 1
đơn vị thời gian
-B4: Tìm phần việc làm chung = tổng
các phần việc làm riêng
- Tìm thời gian làm chung.

-B2: Tìm phần việc làm chung, riêng
đã biết trong 1 đơn vị thời gian
-B4: Tìm phần việc làm riêng = hiệu
phần việc chung và riêng đã biết.
- Tìm thời gian làm riêng.
3.1.2.c. Các bài toán mở rộng và nâng cao.
Bài 1: Ba vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước. Nếu vòi I và vòi
II cùng chảy thì đầy bể trong 6 giờ. Nếu vòi II và vòi III cùng chảy thì đầy bể
trong 8 giờ. Nếu vòi I và vòi III cùng chảy thì đầy bể trong 12 giờ. Hỏi chỉ
một mình vòi III chảy thì đầy bể sau bao lâu?
Cách 1: Phân tích đề: Công việc chung là chảy đầy một bể nước. Để biết vòi
III chảy riêng đầy bể trong bao lâu, cần biết 1 giờ vòi III chảy được mấy phần
bể nước. Số phần bể nước vòi III chảy được chính là số phần bể nước còn lại.
Giải:
Coi toàn bộ bể nước là đơn vị tròn vẹn thì ta có, trong 1 giờ:
Vòi I và vòi II chảy được là: 1: 6 =
6
1
(bể nước)
Vòi II và vòi III chảy được là: 1: 8 =
8
1
(bể nước)
12
Vòi I và vòi III chảy được là: 1: 12 =
12
1
(bể nước)
Cả ba vòi chảy được là:
16

3
2:)
12
1
8
1
6
1
( =++
(bể nước)
Vòi III chảy được là:
48
1
6
1
16
3
=−
(bể nước)
Thời gian vòi III chảy đầy bể là:
48
48
1
:1
=
(giờ)
Đáp số: 48 giờ
Cách 2: Giải:
Vì 24 chia hết cho 6, 8, 12 nên coi bể nước là 24 phần bằng nhau.
Vậy trong một giờ: Vòi I và vòi II chảy được là: 24 : 6 = 4 (phần)

Vòi II và vòi III chảy được là:24 : 8 = 3 (phần)
Vòi I và vòi III chảy được là: 24 : 12= 2 (phần)
Cả ba vòi chảy được là: ( 4+3+2): 2 =
2
9
(phần)
Vòi III chảy được là:
2
1
4
2
9
=−
(phần)
Thời gian vòi III chảy riêng đầy bể là:
48
2
1
:24
=
(giờ)
Đáp số: 48 giờ.
Khi giải, lưu ý ở bước 3: tìm chính xác lượng bể ba vòi làm chung
trong 1 giờ liên quan đến số lần mỗi vòi tham gia chảy cùng các vòi khác.
3.1.2.d. Bài tập củng cố, rèn luyện kĩ năng.
Bài 1. Ba vòi cùng chảy vào bể nước thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể. Nếu
riêng vòi thứ nhất thì sau 6 giờ sẽ đầy bể, riêng vòi thứ hai chảy thì sau 4 giờ
sẽ đầy bể. Hỏi riêng vòi thứ ba chảy thì sau mấy giờ đầy bể ?
Bài 2. Ba người cùng làm một công việc. Nếu chỉ có người thứ nhất và
người thứ hai cùng làm thì phải mất 15 giờ mới xong công việc. Nếu chỉ

có người thứ hai và người thứ ba cùng làm thì phải mất 20 giờ mới xong
công việc. Nếu chỉ có người thứ nhất và người thứ ba cùng làm thì phải
mất 12 giờ mới xong công việc.
a .Hỏi cả 3 người cùng làm việc thì sau mấy giờ sẽ hoàn thành công việc?
b. Nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu mới làm xong công việc?
Bài 3. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể thì 48 phút sẽ đầy. Nếu một
mình vòi thứ nhất chảy thì 3 giờ sẽ đầy. Hỏi bể đó có thể chứa được bao nhiêu
lít nước? Biết rằng mỗi phút vòi thứ nhất chảy nhiều hơn vòi thứ hai là 70 lít.
3.2. Dạng công việc làm chung được thực hiện không liên tục
Trong dạng toán này tôi cung cấp thêm 1 số thuật ngữ, kiến thức:
Công việc đã làm: Số phần công việc đã được thực hiện bởi một hay nhiều
đối tượng. (Công việc đã làm = năng suất làm việc
×
thời gian làm việc)
Công việc còn lại: là số phần công việc chưa được thực hiện làm.
(Công việc còn lại = Công việc cần làm – số phần công việc đã làm)
3.2.1. Biết quá trình làm việc, tính thời gian hoàn thành toàn bộ công việc.
3.2.1.a. Bài tập khai thác kiến thức.
13
Bài 1: Hai người thợ Thành và Long cùng làm chung một công việc theo dự
định 6 ngày thì xong. Làm chung được 4 ngày thì Thành bị bệnh phải nghỉ,
Long phải làm một mình trong 5 ngày nữa thì mới xong. Hỏi nếu làm một
mình cả công việc thì mỗi người mất bao nhiêu ngày?
Phân tích đề và định hướng giải : Công việc cần làm không thay đổi
? Công việc chia thành mấy giai đoạn? (hai giai đoạn: 4 ngày đầu: Thành,
Long làm; 5 ngày sau: mình Long làm)
Nhận xét: Tổng số phần công việc Thành, Long làm đúng bằng một công việc.
? Muốn tìm thời gian Long làm một mình xong công việc cần biết gì? (lượng
công việc Long làm trong 1 giờ)
? Muốn tìm lượng công việc Long làm trong 1 giờ cần biết gì? (lượng công

việc còn lại Long làm)
? Muốn tìm số công việc còn lại Long làm cần biết gì? (Số công việc chung
làm trong 1 ngày và số công việc đã làm chung trong 4 ngày)
? Muốn tìm thời gian Thành làm một mình xong công việc cần biết gì?
(lượng công việc Long làm và công việc làm chung làm trong 1 giờ)
Giải.
Coi công việc hai người làm là 1 đơn vị trọn vẹn thì ta có:
Trong 1 ngày hai người làm số công việc là: 1: 6 =
6
1
(công việc)
Trong 4 ngày hai người làm số công việc là:
6
1
x 4 =
3
2
(công việc)
Số công việc còn lại Long làm một mình là :1 –
3
2
=
3
1
(công việc)
3
1
công việc này Long hoàn thành trong 5 ngày. Vậy:
Trong 1 ngày Long làm số công việc là:
3

1
: 5 =
15
1
(công việc)
Thời gian Long làm một mình xong công việc :1 :
15
1
= 15 (ngày)
Trong 1 ngày Thành làm số công việc là:
6
1
–
15
1
=
10
1
(công việc)
Thời gian Thành làm một mình xong công việc :1 :
10
1
= 10 (ngày)
Đáp số : Thành : 10 ngày ; Long : 15ngày.
Cách 2: Phân tích. Chia công việc ra thành 6 phần bằng nhau (dựa vào 6
ngày hoàn thành cả công việc) Giải:
Vì 6 ngày làm xong công việc nên chia công việc thành 6 phần bằng nhau.
Trong 1 ngày hai người làm được số phần công việc là: 6 : 6 = 1 (phần)
Trong 4 ngày hai người làm được số phần công việc là: 1
×

4 = 4 (phần)
Số phần công việc còn lại Long làm trong 5 ngày là: 6 – 4 = 2 (phần)
Trong mỗi ngày Long làm số phần công việc là: 2 : 5 =
5
2
(phần)
Thời gian Long hoàn thành công việc một mình là: 6 :
5
2
= 15 (ngày)
Trong mỗi ngày Thành làm số phần công việc là: 1 –
5
2
=
5
3
(phần)
14
Thời gian Thành hoàn thành công việc một mình là: 6 :
5
3
= 10 (ngày)
Đáp số : Thành : 10 ngày ; Long : 15ngày.
3.2.1.b. Rút ra cách giải chung cho dạng toán.
Sau bài tập, tôi hướng dẫn học sinh tìm cách giải dạng bài tập này
theo hai hướng cơ bản. Cách 1:
Bước 1: Xác định công việc cần làm và các giai đoạn làm việc.
Bước 2: Tìm lượng công việc làm chung, làm riêng đã biết trong 1 đơn vị
thời gian (dựa vào thời gian hoàn thành).
Bước 3: Tìm số phần công việc đã làm theo giai đoạn. (= lượng công việc

làm trong 1 đơn vị thời gian
×
thời gian làm việc tương ứng)
Bước 4: Tìm số phần công việc còn lại.( = 1 – công việc đã làm)
Bước 5: Tìm lượng công việc làm trong 1 đơn vị thời gian dựa vào công việc
còn lại ( = công việc còn lại : thời gian hoàn thành công việc còn lại)
Bước 6: Tìm thời gian hoàn thành toàn bộ công việc của đối tượng cần tìm.
(= 1: lượng công việc làm trong 1 đơn vị thời gian)
Cách 2:
Bước 1: Chia công việc thành những phần bằng nhau. (số phần công việc
là số chia hết cho số thời gian hoàn thành công việc)
Bước 2: Tìm lượng công việc làm chung, làm riêng đã biết trong 1 đơn vị
thời gian ( dựa vào thời gian hoàn thành công việc)
Bước 3: Tìm số phần công việc đã làm. (=lượng công việc làm trong 1 đơn vị
thời gian
×
thời gian đã làm)
Bước 4: Tìm số phần công việc còn lại. (tổng số phần công việc – số công
việc đã làm)
Bước 5: Tìm lượng công việc làm trong 1 đơn vị thời gian dựa vào công việc
còn lại. (= số phần việc còn lại : thời gian hoàn thành công việc còn lại)
Bước 6: Tìm thời gian hoàn thành toàn bộ công việc.
*Lưu ý bước 2, bước 5: tìm lượng công việc trong 1 đơn vị thời gian
nhưng bước 2 dựa vào thời gian hoàn thành của những đối tượng đã biết;
bước 5 dựa vào công việc còn lại. (của đối tượng chưa biết thời gian làm
xong công việc)
3.2.1.c. Bài tập nâng cao, mở rộng kiến thức.
Bài 1. Toán bắt đầu làm một công việc, được 30 ngày thì Toán nghỉ, sau đó
Thơ tiếp tục làm công việc đó một mình trong 5 ngày và cuối cùng hai bạn
cùng làm chung 10 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Nếu cùng làm từ đầu

Toán và Thơ có thế hoàn thành công việc trong 20 ngày. Biết rằng Toán và
Thơ làm năng suất không đổi. Hỏi Toán mất bao lâu để hoàn thành công việc
một mình? Trích “Toán Tuổi Thơ”
Phân tích: Công việc Toán và Thơ cùng làm là không thay đổi.
? Công việc chia thành mấy giai đoạn? (ba giai đoạn: 30 ngày đầu: Toán làm;
5 ngày sau: Thơ làm; 10 ngày sau cùng: 2 bạn làm.)
? Để tìm thời gian Toán hoàn thành công việc 1 mình thì cần tìm gì? (số phần
công việc Toán làm trong 1 ngày.)
Vì Thơ làm việc chỉ trong 5 ngày mà Toán làm công việc trong 30
ngày. Ta chia phần việc của Toán làm hai giai đoạn: làm trong 25 ngày và
15
làm trong 5 ngày. Có thể coi Toán và Thơ cùng làm việc trong 5 ngày và phần
công việc còn lại Toán đã hoàn thành trong 25 ngày.
Cách 1: Giải:
Coi công việc cần làm là 1 đơn vị trọn vẹn thì ta có:
Trong 1 ngày làm chung hai bạn làm được là:
20
1
(công việc)
Trong 10 ngày làm chung hai bạn làm được là:
2
1
10
20
1
=×
(công việc)
Trong 5 ngày cả hai bạn làm được là:
4
1

5
20
1
=×
(công việc)
Phần công việc còn lại Toán làm trong số ngày là: 30 – 5 = 25 (ngày)
Phần công việc còn lại Toán làm trong 25 ngày là:
4
1
4
1
2
1
1 =−−
(công việc)
Phần công việc còn lại Toán làm trong1 ngày là:
100
1
25:
4
1
=
(công việc)
Thời gian Toán làm toàn bộ công việc là:
100
100
1
:1 =
(ngày)
Đáp số: 100 ngày.

Cách 2: Giải:
Coi toàn bộ công việc là 20 phần. Ta có:
Trong 1 ngày 2 bạn làm số phần công việc là: 20 : 20 = 1 (phần)
Trong 10 ngày 2 bạn làm số phần công việc là: 1
×
10 = 10 (phần)
Trong 5 ngày 2 bạn làm số phần công việc là: 1
×
5 = 5 (phần)
Nếu phần công việc làm 5 ngày của Toán ghép với phần công việc 5 ngày
của Thơ thì công việc còn lại Toán làm trong thời gian là: 30 – 5 = 25 (ngày)
Trong 25 ngày Toán làm số phần công việc là: 20 – 10 –5 = 5 (phần)
Trong 1 ngày Toán làm số phần công việc là: 5 : 25 =
5
1
(phần)
Thời gian Toán hoàn thành toàn bộ công việc là: 20 :
5
1
= 100 (ngày)
Đáp số: 100 ngày
Đối với bài này, cần xác định tốt các giai đoạn làm việc; xác định được
lượng công việc làm riêng cùng một lượng thời gian của hai người. Từ đó tìm
được số công việc còn lại làm trong thời gian còn lại của một người.
Bài 2: Hai người làm chung một công việc dự định trong 12 giờ thì xong. Họ
làm với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, người thứ hai tiếp tục làm.
Do tăng năng suất gấp đôi nên người thứ hai đã làm xong công việc trong 3
giờ 20 phút. Hỏi nếu người thứ hai làm một mình với năng suất dự định thì
phải mất bao lâu mới xong công việc?
Phân tích: Công việc cần làm không đổi. Công việc làm chia thành hai giai

đoạn: 8 giờ đầu: cùng làm; 3 giờ 20 phút sau: người thứ hai làm.
? Muốn tìm năng suất dự định cần biết gì? (năng suất thực)
?Muốn tìm năng suất thực của đội II cần biết gì? (thời gian làm thực: 3 giờ20’)
Giải:
3 giờ 20 phút = 200 phút; Coi toàn bộ công việc cần làm là 1 đơn vị thì ta có:
16
Trong 1 giờ cả hai người cùng làm được số công việc là:
12
1
(công việc)
Trong 8 giờ hai người cùng làm được số công việc là:
3
2
8
12
1
=×
(công việc)
Phần công việc người thứ hai cần làm là:
3
1
3
2
1 =−
(công việc)
Thực tế một phút người thứ hai làm được là:
600
1
200:
3

1
=
(công việc)
Theo dự định một giờ người thứ hai làm được là:
20
1
602:
600
1
=×
(công việc)
Thời gian dự định người thứ hai hoàn thành công việc là:
20
20
1
:1 =
(giờ)
Đáp số: Người thứ hai: 20 giờ
Qua khai thác bài tập, tôi lưu ý học sinh phân biệt các giai đoạn công
việc phải rõ ràng theo thời gian, theo năng suất. Nếu làm riêng trong cùng
khoảng thời gian như nhau thì công việc làm được tính như ghép về công việc
làm chung trong cùng lượng thời gian đó.
3.2.1.d. Hệ thống bài tập rèn luyện kĩ năng.
Bài 1. Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì
xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì
cả hai người chỉ làm được
4
3
công việc. Hỏi một người làm công việc đó trong
mấy giờ thì xong?

Bài 2: Một con trâu ăn hết bó cỏ trong 16 phút. Nhưng trâu ăn trong 4 phút
thì có một con bê đến ăn cùng. Cả hai con ăn trong 10 phút thì hết cỏ. Nếu
con bê ăn một mình thì sau bao lâu sẽ hết cỏ? Trích “Toán tuổi thơ – số 135”
Bài 3. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 3 giờ sẽ
đầy bể. Nếu cho hai vòi cùng chảy vào bể không chứa nước trong 2 giờ, sau
đó tắt vòi thứ nhất thì vòi thứ hai chảy thêm 3 giờ nữa sẽ đầy bể. Hỏi nếu
chảy riêng vào bể không chứa nước thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?
3.2.2. Biết quá trình làm việc, tính thời gian làm phần việc còn lại.
3.2.2.a. Những bài tập đưa ra để khai thác kiến thức.
Bài 1: Để làm xong một công việc, tổ Một phải làm trong 9 giờ, tổ Hai phải
làm trong 15 giờ. Khi tổ Một làm được 6 giờ thì phải chuyển đi làm việc khác
để cho tổ Hai làm tiếp cho đến khi xong. Hỏi tổ Hai phải làm xong công việc
đó trong bao lâu?
Phân tích: Công việc cần làm không thay đổi.
? Công việc chia thành mấy giai đoạn? ( hai giai đoạn. 6 giờ đầu: tổ Một làm,
giai đoạn sau: tổ Hai làm)
? Để tìm thời gian làm công việc còn lại cần biết gì? (cần phải biết số phần
công việc còn lại)
? Để tìm được công việc còn lại cần biết gì? (cần tìm được công việc đã làm)
Cách 1: Giải
Coi toàn bộ công việc cần làm là một phần trọn vẹn thì ta có:
Tổ Một làm trong 1 giờ được công việc là:
9
1
(công việc)
17
Tổ Hai làm trong 1 giờ được công việc là:
15
1
(công việc)

Trong 6 giờ tổ Một làm được số phần công việc là: 6
×
9
1
=
3
2
(công việc)
Số phần công việc còn lại là:
2 1
1 (
3 3
− =
công việc)
Thời gian tổ Hai làm công việc còn lại là:
3
1
:
15
1
= 5 ( giờ)
Đáp số: 5 giờ
Cách 2:
Vì 45 chia hết cho 9 và 15 nên coi toàn bộ công việc là 45 phần bằng nhau.
Trong 1 giờ tổ Một làm được số phần công việc là: 45 : 9 = 5 (phần)
Trong 6 giờ tổ Một làm được số phần công việc là: 5 x 6 = 30 (phần)
Số phần công việc còn lại là: 45 – 30 = 15 (phần)
Trong 1 giờ tổ Hai làm được số phần công việc là: 45 : 15 = 3 ( phần)
Công việc còn lại tổ Hai hoàn thành trong thời gian là: 15 : 3 = 5 (giờ)
Đáp số: 5 giờ

3.2.2.b. Rút ra cách giải chung cho dạng toán.
Sau các bài tập cơ bản, tôi đã hướng dẫn học sinh tìm cách giải
dạng bài tập này theo hai hướng cơ bản của hai dạng toán đã cung cấp ở
trên.
Cách 1:
Bước 1: Xác định công việc cần làm và các giai đoạn làm việc.
Bước 2: Tìm lượng công việc làm chung, làm riêng đã biết trong 1 đơn vị
thời gian (dựa vào thời gian hoàn thành).
Bước 3: Tìm số phần công việc đã làm theo giai đoạn. (= lượng công việc
làm trong 1 đơn vị thời gian
×
thời gian làm việc tương ứng)
Bước 4: Tìm số phần công việc còn lại.( = 1 – công việc đã làm)
Bước 5: Tìm thời gian hoàn thành công việc còn lại của đối tượng cần
tìm.
(= số phần công việc còn lại: năng suất làm riêng)
Cách 2:
Bước 1: Chia công việc thành những phần bằng nhau. (số phần công việc là
số chia hết cho số thời gian hoàn thành công việc)
Bước 2: Tìm lượng công việc làm chung, làm riêng đã biết trong 1 đơn vị
thời gian ( dựa vào thời gian hoàn thành công việc)
Bước 3: Tìm số phần công việc đã làm. (=lượng công việc làm trong 1 đơn vị
thời gian
×
thời gian đã làm)
Bước 4: Tìm số phần công việc còn lại. (tổng số phần công việc – số công
việc đã làm)
Bước 5: Tìm lượng công việc làm trong 1 đơn vị thời gian dựa vào công việc
còn lại. (= Tổng số phần công việc : số phần việc còn lại)
Bước 6: Tìm thời gian hoàn thành công việc còn lại của đối tượng cần tìm.

(=số phần công việc còn lại : số phần công việc làm trong 1 đơn vị thời
gian)
18
Lưu ý phân biệt giữa 2 dạng toán:
Biết quá trình làm việc, tính thời gian
hoàn thành toàn bộ công việc.
Biết quá trình làm việc, tính thời gian làm
phần việc còn lại.
Bước 5: Tìm công việc làm trong 1
đơn vị thời gian dựa vào công việc
còn lại. (= số phần việc còn lại : thời
gian hoàn thành công việc còn lại)
Bước 6: Tìm thời gian hoàn thành
toàn bộ công việc của đối tượng cần
tìm. (= 1: lượng công việc làm trong
1 đơn vị thời gian)
Bước 5: Tìm lượng công việc làm
trong 1 đơn vị thời gian dựa vào công
việc còn lại. (= Tổng số phần công
việc : số phần việc còn lại)
Bước 6: Tìm thời gian hoàn thành
công việc còn lại của đối tượng cần
tìm. (= số phần công việc còn lại:
năng suất làm riêng)
3.2.2.c. Một số bài tập nâng cao, mở rộng kiến thức.
Bài 1: Ba vòi cùng chảy vào bể không có nước trong 2 giờ, sau đó tắt vòi thứ
nhất để hai vòi còn lại chảy trong 1 giờ rồi tắt vòi thứ hai. Hỏi vòi thứ ba phải
chảy thêm bao nhiêu giờ nữa thì đầy bể? Biết rằng: nếu chảy riêng từng vòi
vào bể không có nước thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 9 giờ, vòi thứ hai
chảy đầy bể trong 12 giờ, vòi thứ ba chảy đầy bể trong 18 giờ.

Phân tích:
? Công việc chia thành mấy giai đoạn? (3 giai đoạn: lần 1: 3 vòi cùng chảy;
lần 2: 2 vòi chảy; lần 3: chỉ còn 1 vòi chảy)
? Để biết thời gian vòi thứ ba chảy thêm thì cần biết gì? (số phần bể còn lại)
Cách 1: Giải:
Nếu coi toàn bộ công việc là một đơn vị trọn vẹn thì trong 1 giờ ta có:
Vòi thứ nhất chảy được là:
9
1
(bể); Vòi thứ hai chảy được là:
12
1
(bể)
Vòi thứ ba chảy được là:
18
1
(bể); Ba vòi chảy được là:
4
1
18
1
12
1
9
1
=++
(bể)
Trong 2 giờ ba vòi chảy được là:
2
1

2
4
1
=×
(bể)
Còn lại số phần bể chưa có nước là:
2
1
2
1
1 =−
(bể)
Trong 1 giờ vòi thứ hai và thứ ba chảy được số phần bể là:
36
5
18
1
12
1
=+
(bể)
Đến khi tắt tiếp vòi thứ hai thì bể chưa có nước chiếm là:
36
13
36
5
2
1
=−
(bể)

Thời gian để vòi thứ ba chảy tiếp cho tới khi đầy bể là:
2
13
18
1
:
36
13
=
(giờ) = 2, 5 (giờ)
Đổi: 2, 5 giờ = 2 giờ 30 phút.
Đáp số: 2 giờ 30 phút
Cách 2: Vì 36 chia hết cho 9, 12, 18 nên coi bể nước là 36 phần bằng nhau.
Trong một giờ ta có: Vòi thứ nhất chảy được là: 36 : 9 = 4 (phần)
Vòi thứ hai chảy được là: 36 : 12 = 3 (phần)
Vòi thứ ba chảy được là: 36 : 18 = 2 (phần)
19
Vòi thứ hai và vòi thứ ba chảy được là: 3 + 2 = 5 (phần)
Cả ba vòi chảy được là: 4 + 3 + 2 = 9 (phần)
Trong 2 giờ cả ba vòi chảy được là: 9
×
2 = 18 (phần)
Số phần bể chưa có nước đến khi tắt vòi thứ hai là: 36 – 18 – 5 = 13 (phần)
Thời gian vòi thứ ba chảy phần bể còn lại là: 13 : 2 = 2,5 (giờ)
Đổi: 2,5 giờ= 2 giờ 30 phút
Đáp số: 2 giờ 30 phút
3.2.2.d. Hệ thống bài tập rèn luyện kĩ năng.
Bài 1: Ba máy cày cùng cày trên một cánh đồng. Nếu chỉ một mình thì: máy
thứ nhất cày xong cả cánh đồng trong 4 giờ, máy thứ hai cày xong cánh đồng
trong 5 giờ, máy thứ ba cày xong cánh đồng trong 8 giờ. Song thực tế trong 2

giờ đầu chỉ có máy thứ nhất và máy thứ hai làm việc, sau đó hai máy này nghỉ
và máy thứ ba làm đến hết. Hãy tính xem máy thứ ba phải cày thêm bao nhiêu
lâu nữa mới xong cánh đồng?
Bài 2: Một bể nước có 2 vòi nước chảy vào bể. Nếu chỉ mở vòi A thì sau 5
giờ 12 phút thì đầy bể. Nếu chỉ mở vòi B thì sau 4 giờ 20 phút thì đầy bể. Khi
vòi A mở được 1 giờ, người ta mở tiếp vòi B thì sau 1 giờ cả hai vòi cùng
mở, chỉ còn 10,4 lít nước nữa thì đầy bể. Tính sức chứa của bể nước.
3.3. Dạng toán công việc chung phối hợp với các dạng toán khác
Bên cạnh những bài toán thuần về công việc chung còn có rất nhiều bài
toán có sự kết hợp giữa giải toán công việc chung với các dạng toán khác.
Qua thời gian nghiên cứu tôi thấy có nhiều bài toán lí thú sử dụng phương
pháp giải của công việc chung. Sự kết hợp này giúp cho các em linh hoạt hơn
trong lựa chọn phương pháp giải toán. Ví dự như:
Bài 1. Một người đi bộ từ A đến B, rồi lại trở về A mất 4 giờ 40 phút. Đường
từ A đến B lúc đầu là xuống dốc tiếp đó là đường bằng rồi lại lên dốc. Khi
xuống dốc người đó đi với vận tốc 5km/giờ, trên đường bằng với vận tốc
4km/giờ và khi lên dốc với vận tốc 3km/giờ. Hỏi quãng đường bằng dài bao
nhiêu biết quãng đường AB dài 9km.
Phân tích: Tương tự bài trên. Sau đó kết hợp cả dạng toán chuyển động và
dạng toán giải theo phương pháp thiết tạm để giải bài toán
Giải: Đổi 1giờ = 60 phút.
Cứ đi 1km đường xuống dốc hết:
5
1
5:1 =
(giờ)
Cứ đi 1km đường lên dốc hết:
3
1
3:1 =

(giờ)
Cứ đi 1km đường bằng hết:
4
1
4:1 =
(giờ)
Đổi:
5
1
giờ = 12 phút;
3
1
giờ = 20 phút ;
4
1
giờ = 15 phút
Cứ 1km đường dốc cả đi lẫn về hết: 12 + 20 = 32 (phút)
Cứ 1km đường bằng cả đi lẫn về hết: 15 x 2 = 30 (phút)
Nếu 9km đều là đường dốc thì hết: 9 x 32 = 288 (phút)
Thời gian thực đi là: 4giờ 40phút = 280 (phút)
Thời gian chênh lệch nhau là: 288 – 280 = 8 (phút)
Thời gian đi 1km đường dốc hơn đường bằng: 32 - 30 = 2 (phút)
20
Theo giải toán
công việc chung
Theo toán giả
thiết tạm
Đoạn đường bằng dài là: 8 : 2 = 4 (km)
Đáp số: 4km.
Đây là bài toán phối hợp giữa toán công việc chung, chuyển động và

giả thiết tạm. Lưu ý khi áp dụng giải toán công việc chung ta có thể sử dụng
thuật ngữ năng suất hoặc quãng đường đi trong một giờ (phút ) hay vận tốc
đều có ý nghĩa tương đương.
Bài 2: Tuổi và Thơ góp bánh ăn chung. Tuổi góp 3 chiếc. Thơ góp 5 chiếc,
vừa lúc đó Toán đi tới. Tuổi và Thơ mời Toán ăn cùng. Ăn xong Toán trả cho
2 bạn 8000 đồng. Hỏi Tuổi và Thơ nhận được mỗi người bao nhiêu tiền?
Phân tích và định hướng giải toán: Mỗi bạn ăn
3
1
số bánh góp lại. Tổng số
phần bánh phải là số chia hết cho số bạn và số bánh hiện có. Tỉ số phần bánh
mà Toán ăn của Thơ và của Tuổi là tỉ số số tiền Toán cần trả cho hai bạn.
Giải:
Tổng số bánh là: 3+5 = 8 (cái)
Vì 24 chia hết cho 8, 3 nên chia 8 cái bánh thành 24 phần bằng nhau.
Mỗi bạn ăn số phần bánh là: 24 : 3 = 8 (phần)
Số phần bánh Toán ăn của Tuổi là: 3 x 3 – 8 = 1 (phần)
Số phần bánh Toán ăn của Thơ là: 5 x 3 – 8 = 7 (phần)
Vì số bánh Toán ăn của Thơ gấp 7 lần số bánh Toán ăn của Tuổi nên
số tiền Toán trả cho Thơ gấp 7 lần Toán trả cho Tuổi.
Ta có sơ đồ:
Số tiền Toán trả cho Thơ là: 8000 : (7 + 1) x 7 = 7000 đồng
Số tiền Toán trả cho Tuổi là: 8000 – 7000 = 1000 đồng.
Đáp số: Tuổi nhận 1000 đồng; Thơ nhận 7000 đồng.
Bài toán giải phối hợp giữa công việc chung và toán tổng –tỉ số.
3.3.2. Một số bài tập tự luyện.
Bài 1: Hai bạn Toán và Văn xuất cùng một lúc từ A đến B. Trong nửa thời
gian đầu bạn Toán đi chơi với vận tốc 16km/giờ và trong nửa thời gian sau đi
với vận tốc 12 km/giờ. Còn bạn Văn trong nủa đầu quãng đường đầu đi với
vận tốc 12 km/giờ và trong nửa quãng đường sau đi với vận tốc 16 km/giờ.

Hỏi bạn nào đến trước? Trích “Đề thi HSG lớp 5 tỉnh Nam Định, năm 2003”
( Bài kết hợp giữa giải toán công việc chung, trung bình cộng và chuyển động)
Bài 2: Đồng hồ đang chỉ 6 giờ. Hỏi ít nhất bao lâu nữa kim giờ và kim phút
lại trùng nhau? ( Bài kết hợp giữa giải toán công việc chung và chuyển động)
Bài 3: Để chuyển thóc vào kho người ta cần 30 xe bò làm việc trong 8 giờ và
9 xe Bông Sen làm việc trong 6 giờ thì xong công việc. Nếu dùng 30 xe bò
làm việc trong 6 giờ và 9 xe Bông Sen làm việc trong 8 giờ thì chuyển được
13
15
số thóc về kho. Hỏi nếu chỉ dùng 30 xe bò thì phải chở trong bao lâu mới
xong số thóc về kho? (Trích Đề thi HSG toán lớp 5 huyện Thanh Trì Hà Nội
năm 2002–2003) ( Bài kết hợp giữa giải toán công việc chung và dạng tổng – tỉ)
Số tiền trả cho Thơ:
Số tiền trả cho Toán:
21
Theo giải
toán công
việc chung
Giải toán
tìm hai số
khi biết
tổng và tỉ
số
8000 đồng
Ngoi nhng bi tp trờn tụi tỡm thờm cho cỏc em nhiu bi toỏn lý thỳ
khỏc v cụng vic chung cỏc em t luyn gii, rốn k nng quan sỏt, phỏt
hin, vn dng thnh tho cỏc kin thc mỡnh ó hc, giỳp cỏc em t tin khi
gp cỏc bi toỏn phc tp cng nh d cỏc kỡ thi hc sinh gii cỏc cp.
4. RA THI TNG HP CNG C, TNG HP KIN THC.
Sau mi phn dy, c bit gn n thi gian hc sinh i thi, ban giỏm

hiu liờn tc ra cỏc thi tng hp kin thc trong ú cú dng toỏn v cụng
vic chung cng c thờm kin thc cho hc sinh v dng ny. Sau mi bi
thi, tụi chm cha bi k lng, hc sinh c tip xỳc nhiu vi dng toỏn.
T ú, cỏc em thờm vng kin thc v gii toỏn cụng vic chung.
5. KT QU
Vi cỏch dy hc nh trờn, tụi thy hc sinh cú nhiu tin b. Cỏc em
thớch hc dng toỏn hn. Tuy nhiờn khụng phi tt c cỏc em trong i tuyn
u lm tt cỏc bi tp tt c cỏc bi tp cú liờn quan n cụng vic chung.
Kt qu ca hc sinh gii bi toỏn liờn quan n cụng vic chung nh sau:
Bi 1: Một ngời đi quãng đờng AB với vận tốc 40 km/giờ trên nửa quãng đ-
ờng đầu và với vận tốc 30 km/giờ trên nửa quãng đờng sau. Hỏi trung bình
trên cả quãng đờng ngời đó đi với vận tốc bao nhiêu?
Bi 2: lm mt cụng vic, nu ngi th nht lm riờng mt mỡnh thỡ phi
mt 5 gi mi xong. Nu ngi th hai lm riờng mt mỡnh thỡ phi mt 7 gi
mi xong. Hi nu c hai ngi cựng lm cụng vic ú thỡ sau bao lõu s
xong? ( thi giao lu hc sinh gii cp huyn (Th Xuõn) nm 2011-2012)
HS lm ỳng HS lm sai HS khụng lm
Bi 1 13/16 2/16 1
Bi 2 15/16 1 0
Trong i tuyn i thi ca trng, ch cú Em Nht lm sai bi 2, em nhm
kt qu khi i t phn s ra hn s
35
11
2
. Cũn bi 1, vn cũn 1 em nhm vi
tớnh sang dng toỏn trung bỡnh cng, 1 em chia ra kt qu cú d, 1 em khụng
ghi ỏp ỏn vỡ thy kt qu l s khụng chia ht.
C. PHN KT LUN
Dng toỏn v cụng vic chung tng i phc tp. Vỡ vy, giỳp cỏc
em cú c k nng gii mt cỏch thun thc cn phi qua quỏ trỡnh rốn luyn

ca c hc sinh kt hp vi s quan tõm, nhc nh, hng dn ca giỏo viờn.
Qua thc t dy hc, tụi thy dy hc dng toỏn cụng vic chung cú
hiu qu thỡ giỏo viờn cn m bo mt s iu kin sau:
- Giỏo viờn phi nm vng dng toỏn.
- Nghiờn cu, lp k hoch dy hc dng toỏn ny t lý thuyt n bi tp.
- Dy hc thụng qua h thng bi tp khai thỏc kin thc.
- Khi dy cn cung cp ỳng, , va sc i vi cỏc em, trỏnh dựng nhng
thut ng khú hiu cho hc sinh. Cỏc bi tp i t d n khú, t n gin
n phc tp. nhng bi toỏn u dng toỏn cn khai thỏc v cng c chc
chn v mi quan h gia thi gian hon thnh ton b, cụng vic lm trong
n v thi gian. nhng bi toỏn sau cn cht li kin thc ú nhiu ln.
- ng viờn hc sinh suy ngh tớch cc bỏm sỏt d liu bi toỏn ó cho.
- Kốm cp cht ch, hng dn sỏt sao tng hc sinh.
22
- Thường xuyên ra các đề kiểm tra để nhận được thông tin phản hồi từ học
sinh để điều chỉnh cách dạy cho phù hợp.
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi, rất mong nhận được sự chia
sẻ, ủng hộ, đóng góp của các đồng chí chỉ đạo chuyên môn và đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
23