SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM hướng dẫn học sinh khai thác bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng

a. phần mở đầu
i. Lý do chọn đề tài:
Bài toán, theo nghĩa hẹp, là một vấn đề nào đó của khoa học hay cuộc sống cần đợc
giải quyết bằng phơng pháp của toán học. Vì vậy, toỏn hc giỳp con ngi gii quyt
cỏc vấn đề của cuộc sống thông qua các bi toỏn thc t. Cỏc bi toỏn thc t c
din t bng li vn t ú cú tờn gi bi toỏn cú li vn.
Trong chơng trình môn Toán ở lớp 4 và lớp 5, các bài toán có lời văn đợc giới thiệu
nhiều dạng khác nhau. Trong đó các bài thuộc dạng toán liên quan đến tỉ số có số lợng
lớn và rất phong phú về nội dung thực tiễn, có khả năng gây hứng thú đến khả năng giải
toán ở học sinh, đặc biệt đối với các em học sinh giỏi.
Tuy nhiên, do đăc điểm nhận thức của học sinh tiểu học và do có nhiều bài toán
thuộc dạng không điển hình nên việc giải các bài toán liên quan đến tỉ số của các em
còn gặp khó khăn. Xuất phát từ nhận thức trên, tôi xin mạnh dạn đa ra một số kinh
nghiệm nhỏ trong việc h ớng dẫn học sinh khai thác bài toán tìm hai số khi biết
tổng (hiệu) và tỉ số của chúng
iI. Phơng pháp và tài liệu nghiên cứu:
1, Phơng pháp nghiên cứu:
- Tìm hiểu SGV, SGK, các tài liệu tham khảo
- Dự giờ, học hỏi kinh nghiệm từ các đồng nghiệp.
- Nêu các phơng án dạy thử và đo kết quả dạy thử.
2, Tài liệu tham khảo:
- SGK, SGV.
- Các phơng pháp giải toán. (Nhà xuất bản GD)
- Toán nâng cao lớp 5(Tập 1, 2), Để học giỏi toán 5 (Nhà xuất bản
GD) Và các tài liệu khác .
b. phần nội dung
I. Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Đối với các em HS giỏi, ngoài việc giải đợc các bài toán ở SGK, giáo viên cần
giúp các em giải đợc các bài toán nâng cao theo chơng trình, biết cách trình bày bài làm
khoa học. Tuy nhiên, trong quá trình dạy học tôi nhận thấy:
+ Những bài toán nâng cao liên quan đến tỉ số thờng phát triển từ bài toán mẫu,

mỗi bài thờng có những yêu cầu khai thác các điều kiện khác nhau (khai thác tổng,
hiệu, tỉ số và có bài yêu cầu khai thác cả điều kiện về tổng, hiệu lẫn tỉ số). Do vậy HS
gặp rất nhiều khó khăn trong việc khai thác các bài toán để giải bài toán đó.
+ Ngoài ra, có nhiều em mới chỉ biết áp dụng giải bài toán theo bài mẫu chứ các
em cha chủ động, sáng tạo trong việc tìm ra phơng pháp giải theo suy nghĩ của mình.
+ Việc trình bày bài giải của các em cũng cha đạt yêu cầu. Các em thờng trình
bày theo suy nghĩ của mình, cha biết chắt lọc, tìm những thuật ngữ, kí hiệu toán học để
bài làm ngắn gọn và chặt chẽ.
II. Các biện pháp cụ thể:
ở chơng trình lớp 4, các em đã biết phơng pháp giải bài toán tìm hai số khi biết tổng
và tỉ số của hai số đó. Tuy nhiên, trong chơng trình nâng cao có rất nhiều bài tập khác
liên quan đến tỉ số. Để giúp các em nắm đợc phơng pháp giải các bài toán này, giáo
viên cần phải hệ thống các bài tập đó theo từng nhóm. Mỗi nhóm bài, GV cần đa ra
những bài tập mẫu cho HS làm quen. Sau đó, các em so sánh với các dạng bài khác đã
học, rút ra kết luận về phơng pháp giải cho từng dạng bài.
Các bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng tôi đã sắp xếp và
phân theo các nhóm nh sau:
1, Các bài toán áp dụng trực tiếp bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số
của chúng .
2, Các bài toán khai thác điều kiện về tổng (hiệu) trong bài toán tìm hai số khi
biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng .
3, Các bài toán khai thác điều kiện về tỉ số trong bài toán tìm hai số khi biết tổng
(hiệu) và tỉ số của chúng .
4, Các bài toán khai thác cả điều kiện về tổng, hiệu và tỉ số trong bài toán tìm
hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng .
5, Các bài toán khác về tỉ số .
Trên cơ sở phân nhóm nh vậy, GV sẽ dễ dàng hớng dẫn các em nắm chắc các dạng
bài, cách khai thác các điều kiện của đề bài để giải bài tập đúng. Sau đây, là các dẫn
chứng cụ thể cho từng nhốm bài:
1, Các bài toán áp dụng trực tiếp bài toán tìm hai số khi biết tổng

(hiệu) và tỉ số của chúng :
Ví dụ1: Lớp 5A có 40 học sinh. Biết rằng số HS nữ bằng
2
3
số HS nam. Tính số HS
nữ, HS nam.
Phân tích: ở dạng toán này, các em cần xác định đợc: Tổng số là 40 HS; Tỉ số của
HS nữ so với HS nam là 3 : 2. Tức là nếu coi số HS nữ gồm 3 phần bằng nhau thì số HS
nam gồm 2 phần nh thế. Tổng số HS cả lớp sẽ gồm 5 phần. Từ đó, các em giải đợc bài
toán.
Ví dụ 2: Tìm hai số khi biết hiệu và thơng của hai số là 0,75.
Phân tích: HS cần xác định đợc: Hiệu là 0,75; Tỉ số 0,75 tức là
100
75
hay
4
3
Từ đó, áp dụng bài mẫu các em sẽ tính đợc:
Bài giải:
Ta có sơ đồ:
Số thứ nhất: 0,75
Số thứ hai:
Theo sơ đồ, ta thấy giá trị một phần bằng nhau là 0,75.
Vậy số thứ nhất là:
0,75 x 3 = 2,25
Số thứ hai là:
0,75 x 4 = 3
Đáp số: 2,25 và 3.
Nhận xét: Nhóm bài tập này khá đơn giản với các em. Song việc nắm chắc phơng pháp
giải bài tập trong nhóm này thì các em dễ dàng tiếp thu các bài tập thuộc nhóm sau. Bởi

vậy, trong khi làm toán, tôi luôn yêu cầu HS tự tìm thêm nhiều cách giải khác để nắm
chắc kiến thức hơn.
2, Các bài toán khai thác điều kiện về tổng (hiệu) trong bài toán tìm
hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng .
Ví dụ3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên
trái số đó ta đựơc một số lớn gấp 13 lần số cần tìm.
Phân tích:Trong bài toán này, HS phải xác định đợc số tự nhiên đó thay đổi nh
thế nào nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó. Từ đó, các em xác định đợc hiệu số
của số mới và số cần tìm.
Bài giải:
Khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số có hai chữ số thì số đó tăng thêm 900 đơn vị.
Theo bài ra, ta có sơ đồ:
Số đã cho: 900
Số mới:
Nhìn lên sơ đồ ta thấy số cần tìm là :
900 : (13 1) = 75
ĐS: 75
Ví dụ 4 : Bạn Bình có 22 viên bi gồm bi đỏ và bi xanh. Bình cho em 3 viên bi đỏ và 2
viên bi xanh. Bạn An lại cho Bình thêm 7 viên bi đỏ nữa, lúc này Bình có số bi đỏ gấp
đôi số bi xanh. Hỏi lúc đầu Bình có bao nhiêu viên bi đỏ, bao nhiêu viên bi xanh?
Phân tích: HS xác định đợc: Tỉ số đề bài đã cho vào thời điểm số bi của bạn Bình
đã thêm vào và bớt đi một lợng là: Bi đỏ gấp đôi số bi xanh. Vậy chúng ta cần xác định
tổng số bi của bạn Bình trong thời điểm đó có bao nhiêu viên?
Bài giải:
Tổng số bi của bạn Bình sau khi cho em và nhận thêm của bạn An là:
22 (3 + 2) + 7 = 24 (viên)
Ta có sơ đồ:
Bi xanh:
Bi đỏ: 24 viên
Số bi xanh lúc sau là:

24 : (2 + 1) = 8 (viên)
Số bi xanh lúc đầu là:
8 + 2 = 10 (viên)
Số bi đỏ lúc đầu là:
22 10 = 12 (viên)
Nhận xét: ở nhóm bài tập này, đề bài thờng cho tỉ số ở một thời điểm cố định, các
điều kiện khác nh tổng hoặc hiệu không cùng thời điểm với tỉ số. Vậy, cần xác định
tổng (hiệu) của các đại lợng tơng ứng với thời điểm đa ra tỉ số của đề bài.
3, Các bài toán khai thác điều kiện về tỉ số trong bài toán tìm hai số
khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng .
Ví dụ 5: Một cửa hàng gạo, có tổng số gạo nếp và gạo tẻ là 1950kg. Sau khi đã bán
6
2

số gạo nếp và
7
3
số gạo tẻ thì số gạo còn lại của 2 loại giống nhau. Hỏi lúc đầu cửa
hàng có bao nhiêu kg gạo nếp? Bao nhiêu kg gạo tẻ?
Phân tích: Bài toán cho biết tổng số còn tỉ số của hai số thì HS phải tìm bằng cách
thực hiện các phép tính nh sau:
Phân số chỉ số gạo nếp còn lại là:
6
4
6
2
1
=
(số gạo nếp)
Phân số chỉ số gạo tẻ còn lại là:

7
4
7
3
1
=
(số gạo tẻ)
Theo bài ra, ta có
6
4
số gạo nếp bằng
7
4
số gạo tẻ hay
6
1
số gạo nếp bằng
7
1
số
gạo tẻ. Khi đó, HS vẽ đợc sơ đồ nh sau và đa bài toán về dạng điển hình để giải:
Gạo nếp:
Gạo tẻ: 1950kg
Ví dụ 6: Cuối học kì I, lớp 5A có số HS giỏi bằng
7
3
số HS còn lại của lớp.
Cuối học kì II có thêm 4 HS giỏi nữa nên tổng số HS giỏi bằng
3
2

số HS còn lại của lớp.
Hỏi lớp 5A có bao nhiêu HS giỏi cuối kì II ?
Phân tích: Vì số HS còn lại của lớp ở 2 học kì khác nhau và số HS của cả lớp
không thay đổi nên ta đa tỉ số HS giỏi ở cả 2 kì so với số HS cả lớp rồi tính. Cụ thể là:
Cuối học kì I, lớp 5A có số HS giỏi bằng
7
3
số HS còn lại của lớp hay bằng
10
3
số
HS của lớp, học kì II có thêm 4 HS giỏi nữa nên tổng số HS giỏi bằng
3
2
số HS còn lại
của lớp hay bằng
5
2
số HS của lớp.
HSG kì 1
4hs
HSG kì 2
Từ sơ đồ trên, HS dễ dàng nhận ra đợc 4 em HS chính là
10
1
số HS cả lớp.
Ví dụ 7: Anh tôi năm nay 20 tuổi. Khi tuổi anh tôi bằng tuổi tôi hiện nay thì tuổi tôi
bằng
3
2

tuổi anh tôi lúc đó. Tính tuổi tôi hiện nay?
Phân tích: ở bài tập này, HS phải biểu thị mối quan hệ giữa tuổi anh và tuổi em ở
hai thời điểm khác nhau qua sơ đồ nh sau:
Lúc trớc:
Tuổi tôi:
Tuổi anh tôi:
Hiện nay:
Tuổi tôi:
Tuổi anh tôi:
20 tuổi
Vì hiệu giữa tuổi anh và em không thay đổi nên ta thấy tuổi em hiện nay là:
20 : 4 x 3 = 15 (tuổi)
Nhận xét: Nhóm bài tập này, đề bài thờng có tỉ số ẩn, chỉ cho biết tổng (hiệu) hoặc tỉ
số khác. Để giải đợc bài toán, đòi hỏi ngời giải toán phải xác định đợc tỉ số trong mối
quan hệ khác với cái đã cho của đề bài. Sau đó có thể đa bài toán về dạng toán điển
hình rồi giải.
4, Các bài toán khai thác cả điều kiện về tổng, hiệu và tỉ số trong bài
toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng .
Ví dụ 8: Tìm 1 phân số sao cho khi cộng 1 vào tử số và giữ nguyên mẫu số thì bằng 1.
Nếu cộng vào mẫu số 4013 và giữ nguyên tử số thì đợc
3
1
.
Phân tích: HS phải xác định đợc hiệu số giữa tử số và mẫu số ban đầu, xác định
đợc hiệu số giữa tử số và mẫu số nếu nh thêm một lợng vào mẫu số và giữ nguyên tử
số. Khi đó thì tỉ số giữa tử số và mẫu số là bao nhiêu
Bài giải
Nếu cộng 1 vào tử số và giữ nguyên mẫu số thì bằng 1 hay tử số bằng mẫu
số. Vậy phân số đã cho có tử số bé hơn mẫu số 1 đơn vị.
Theo bài ra ta có sơ đồ:

Tử số 4013
Mẫu số
1
Nhìn lên sơ đồ ta thấy tử số của phân số đã cho là:
(4013 + 1) : 2 = 2007
Mẫu số của phân số đó là:
2007 + 1 = 2008
ĐS:
2008
2007
Ví dụ 9: Tổng số tuổi của 2 chị em bé hơn 2 lần tuổi chị là 3 tuổi. Hiệu giữa tuổi chị và
tuổi em bé hơn tuổi em là 5 tuổi. Tính tuổi chị và tuổi em?
Phân tích: HS phải vẽ đợc sơ đồ biểu thị hai lần tuổi chị hơn tổng tuổi chị và tuổi
em là 3 tuổi. Từ đó suy ra đợc hiệu của tuổi chị và em. Sau đó lại vẽ tiếp sơ đồ biểu thị
tuổi em lớn hơn hiệu giữa tuổi em và tuổi chị là 5 tuổi .
Bài giải:
Theo bài ra ta có sơ đồ: tuổi chị tuổi em
Tổng tuổi chị và tuổi em: 3 tuổi
Hai lần tuổi chị:
tuổi chị tuổi chị
Nhìn lên sơ đồ ta thấy hiệu giữa tuổi chị và tuổi em là 3.
Vậy ta có sơ đồ:
Tuổi em:
Hiệu tuổi chị và em: 5tuổi
3tuổi
Vậy tuổi em là:
3 + 5 = 8 (tuổi)
Tuổi chị là:
8 + 3 = 11 (tuổi)
ĐS: Chị: 11 tuổi

Em: 8 tuổi
Nhận xét: Nhóm bài tập này yêu cầu học sinh suy luận trên từ cái đã cho ở trong bài
hoặc có thể biểu thị bằng sơ đồ để tìm ra để tìm ra tổng (hiệu) và tỉ số. Nhóm bài tập
này khó đối với các em, do đó, GV cần kiên trì hớng dẫn các em khai thác các điều kiện
của bài toán, giúp các em từng bớc nắm chắc dạng toán này.
III. Kết quả đạt đợc:
Sau khi áp dụng các biện pháp trên đây vào giảng dạy, tôi thấy lớp tôi phụ trách
đạt một số kết quả nh sau:
Các em đã phân nhóm đợc các bài toán liên quan đến tỉ số, biết cách khai thác
các điều kiện trong bài toán, nắm đợc phơng pháp giải cho mỗi nhóm. Từ đó, các em
dần dần chủ động và sáng tạo trong khi giải toán.
Các em đã biết vận dụng nhiều phơng pháp giải để làm các bài tập một cách
linh hoạt; biết cách trình bày một bài giải ngắn gọn, lôgic và chặt chẽ .
C. phần kết luận
Để học sinh giải đợc các bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số nói riêng
và các bài toán có lời văn nói chung, giáo viên cần giúp các em biết khai thác các điều
kiện trong bài toán. Đây là bớc giúp các em xác định đợc hớng đúng để giải bài tập. Cụ
thể là:
- GV phải hớng dẫn học sinh hệ thống và phân nhóm từng bài toán theo một
số nhóm điển hình nh trên.
- GV giúp học sinh biết cách khai thác từng dạng bài cụ thể. Trên cơ sở đó,
các em tự rút ra nhận xét phơng pháp giải cho từng dạng bài và ghi nhớ nó.
Ngoài ra, muốn giải đợc một bài toán nào đó, ngời học phải nắm vững quy trình
giải bài toán: tìm hiểu bài toán, lập kế hoạch giải toán, thực hhiện kế hoạch giải toán và
nhìn lại bài toán.
Trên đây là một số kinh nghiệm mà tôi đã áp dụng trong việc bồi dỡng học sinh
giỏi môn Toán trong những năm qua và bớc đầu cũng có đợc những kết quả tốt. Tuy
nhiên do kiến thức của phân môn rất rộng mà kiến thức của tôi còn hạn chế nên đề tài
cha thực sự đạt nh mong muốn của bản thân tôi. Kính mong các đồng chí góp ý thêm để
đề tài trên hoàn thiện và tôi có thể áp dụng tốt hơn trong công việc giảng dạy của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Gio Linh, ngày 2 tháng 4 năm 2007
Ngời viết
Ngô Thị Tuyển