SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG dẫn học SINH GIẢI các bài TOÁN tìm cực TRỊ TRONG đại số THCS GIÁP bát

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HOÀNG MAI
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ GIÁP BÁT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC
BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ
Giáo viên : Nguyễn Thị Hồng Hải
Bộ môn : Toán
NĂM HỌC 2013 – 2014
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho cá môn khoa học khác, có
ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Toán học giữ vai trò quan
trọng trong mọi bậc học. Làm thế nào để học được toán, học giỏi toán đó là
vấn đề đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết được một cách dễ dàng.
Trong toán học, việc lựa chọn cách giải giữ vị trí quan trọng để có thể đạt
hiệu quả tốt. Đó là ta nhanh chóng định hướng được cách giải và tìm được
cách giải nhanh nhất. Muốn vậy, phải rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh.
Với cương vị là một giáo viên toán, sau nhiều năm giảng dạy môn Toán
ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy mảng giải toán cực trị được đưa ra ở sách
giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lược, mang tính chất giới
thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi. Tuy nhiên, nội dung
bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Các bài toán cực trị
trong đại số là một nội dung thường gặp trong các kỳ thi ở bậc THCS, THPT
và đặc biệt là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi.
Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự
trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với phương trình bậc cao. Cùng
với sự tích lũy kinh nghiệm có được của bản thân qua nhiều năm giảng dạy
tôi xin đề xuất một số phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số và các
bài tập min họa trong chương trình toán THCS.
Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề

này, tự phân loại được một số dạng toán tìm cực trị trong đại số, nêu lên một
số phương pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ
dàng hơn trong việc giải bài toán tìm cực trị trong đại số. Việc rèn luyện kỹ
năng giải bài toán loại này sẽ giúp cho học sinh phát triển tư duy, trí tuệ, tạo
điều kiện đạt kết quả cao trong kỳ thi học sinh giỏi, trang bị những kiến thức
cần thiết để các em có thể vững vàng; tự tin trong việc tiếp cận những kiến
thức toán học ở cấp học cao hơn.
Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số cách giải bài toán tìm cực trị về
dạng quen thuộc mà các em đã biết cách giải. Đề tài này có thể áp dụng cho
giáo viên toán và những học sinh yêu thích môn toán tham khảo cách giải và
cách trình bày. Tuy vậy, nội dung của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bản
thân. Vì vậy, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô
giáo để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các em học sinh trường THCS
Giáp Bát đã tạo điều kiện giúp đỡ và hướng dẫn tôi hoàn thành đề tài này.
II. MỤC ĐÍCH – NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
- Phương pháp giải các dạng bài tập tìm cực trị
- Các ví dụ minh họa
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải bài toán tìm cực trị trong đại số
- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Học sinh lớp 8, 9 trường THCS
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu
- Phân tích, tổng kết kinh nghiệm
- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lượng HS, nghiên cứu hồ sơ
giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học.
PHẦN II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. KHẢO SÁT THỰC TẾ
Tôi thành lập 2 nhóm học sinh khá giỏi của khối 8 và khối 9. Mỗi lớp 10

em, có học lực môn toán phần cực trị đại số thấp thông qua bài kiểm tra khảo
sát chất lượng:
Điểm
Lớp
Sĩ số Giỏi Khá t. bình Yếu kém
HS 8 10 4 = 40% 6 = 60% 0 0 0
HS 9 10 5 = 50% 5 = 50% 0 0 0
Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ năng giải
các loại bài toán này. Khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này phải dựa trên
nhiều quy tắc: Yêu cầu về giải bài toán, quy tắc giải bài toán cực trị đại số,
phân loại và đưa ra các phương pháp giải.
Bằng những kinh nghiệm rut ra sau nhiều năm giảng dạy, tôi mạnh dạn
viết Sáng kiến kinh nghiệm: “Giải các dạng bài toán cực trị trong đại số”
II. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P( x,y….z) Với x,y,….,z thuộc miền S nào
đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x
0,
y
0,
…z
0
)
∈
S mà ta có P (x
0,
y
0,
…z
0

) ≥ P( x,y….z) hoặc P (x
0,
y
0,
…z
0
) ≤ P( x,y….z) thì ta nói P( x,y….z) lớn
nhất hoặc nhỏ nhất tại (x
0,
y
0,
…z
0
) trên miền S
P( x,y….z) đạt giá trị lớn nhất tại (x
0
, y
0
, …z
0
)
∈
S còn gọi là P đạt cực
đại tại (x
0
, y
0
, …z
0
) hoặc P

max
tại (x
0
, y
0
, …z
0
). Tương tự ta có: P đạt giá trị
nhỏ nhất tại (x
0
, y
0
, …z
0
)
∈
S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x
0
, y
0
, …z
0
) hoặc
P
min
tại (x
0
, y
0
, …z

0
).
2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức
Tìm cực trị của mọi biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề
rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
( )
P x,y,z
trên miền xác
định S, ta cần chứng minh hai bước
- Chứng tỏ rằng P ≥ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các biến
trên miền xác định S
- Chỉ ra các trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
b) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức
( )
P x,y, z
trên miền xác
định S ta cần chứng minh hai bước:
- chứng tỏ rằng P ≤ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các biến trên
miền xác định S
- Chỉ ra các trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên
Ví dụ: Cho biểu thức A = x
2
+ (x - 2)
2
Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:
Ta có: x
2
≥ 0 ; (x - 2)

2
≥ 0 nên A ≥ 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0
Lời giải trên có đúng không ?
Giải: Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ
A ≥ 0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng
thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời:
x
2
= 0 và (x - 2)
2
= 0
Lời giải đúng là
A = x
2
+ ( x- 2)
2
= x
2
+ x
2
- 4x + 4 = 2x
2
- 4x + 4
= 2( x
2
- 2x + 1) + 2 = 2(x - 1)
2
+ 2
Ta có (x - 1)

2
≥ 0 ,
x∀
Dấu “=” xảy ra khi x = 1
=>
( )
2
2 x 1 2 x− + ∀
=>
A 2 x≥ ∀
Do đó
A 2 x 1= ⇔ =
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 với x = 1
3. Kiến thức cần nhớ
Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức.
b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
* a
2
≥ 0, tổng quát: a
2k
≥ 0 ( k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức ⇒ a = 0
*
2
a 0− ≤
tổng quát:
2k
a 0− ≤
(k nguyên dương)

Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0
*
a 0≥
(Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0)
*
a a a− ≤ ≤
(Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0)
*
a b a b+ ≥ +
(Xảy ra dấu đẳng thức 
ab 0≥
)
*
a b a b− ≥ −
(Xảy ra dấu đẳng thức
a b 0⇔ ≥ ≥
hoặc
a b 0≤ ≤
*
1
a 2, a 0
a
+ ≥ ∀ >
và
1
a 2, a 0
a
+ ≤ − ∀ <
*
2

2 2
a b a b
ab a,b
2 2
+ +
 
≥ ≥ ∀
 ÷
 
(Xảy ra dấu đẳng thức  a = b = 1)
*
1 1
a b, ab 0
a b
≥ > ⇒ ≤

(Xảy ra dấu đẳng thức  a = b = 1)
* Bất đẳng thức Côsi: Cho a
1
, a
2
, …, a
n
là các số không âm. Khi đó ta
có:
1 2 n
n
1 2 n
a a a
a a a

n
+ + +
≥
Dấu bằng xảy ra
1 2 n
a a a⇔ = = =
* Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai dãy số a
1
, a
2
, … và b
1
, b
2
, …, b
n
khi đó ta có:
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a b a b a b (a a a ) b b b+ + + ≤ + + + + +
Dấu bằng xảy ra
1 2 n
1 2 n
a a a

b b b
⇔ = =

với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử
bằng 0.
4. Các dạng bài toán cực trị trong đại số
Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa, tôi tiến hành phân loại
thành một số dạng cơ bản nhất về bài toán cực trị trong đại số ở THCS rồi
hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải từng dạng
toán đó. Sau đây là một số dạng cơ bản thường gặp:
Dạng 1: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI
Ví dụ 1: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A (x) = x
2
- 4x + 1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ.
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A (x) ta cần phải biến đổi về
dạng A (x) ≥ k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến và chỉ ra trường hợp
xảy ra đảng thức.
Lời giải: A (x) = x
2
- 4x + 1
= x
2
- 2.2x + 1
= ( x
2
- 2.2x + 4 ) - 3
= ( x - 2)
2
- 3

Với mọi giá trị của x: ( x - 2)
2
≥ 0
Dấu “ = “ chỉ xảy ra khi x = 2
Nên ta có A(x) = ( x - 2)
2
- 3 ≥ - 3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 3 khi x = 2
Đáp số: A(x)
nhỏ

nhất
= - 3 với x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = -5x
2
- 4x + 1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
Hướng dẫn giải
Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa
B(x) về dạng B(x) ≤ k ( k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn
nhất của B(x) = k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức.
Lời giải
B(x) = -5x
2
-4x + 1
2
4
5 x x 1
5

 
= − + +
 ÷
 
2 2
2
2 2 2
5 x 2. x 1
5 5 5
 
   
= − + + − +
 
 ÷  ÷
   
 
2
2 4
5 x 1
5 25
 
 
= − + − +
 
 ÷
 
 
2
2 4
5 x 1

5 5
 
 
= − + + +
 
 ÷
 
 
2
2 9
5. x
5 5
 
= − + +
 ÷
 
Với mọi giá trị của x:
2
2
x 0
5
 
+ ≥
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi
2
x
5
= −

Nên
2
2
5. x 0
5
 
− + ≤
 ÷
 
Suy ra:
( )
2
2 9 9
B x 5. x
5 5 5
 
= − + + ≤
 ÷
 
Vậy B(x) đạt giá trị lớn nhất khi
( )
9
B x
5
=
, khi
2
x
5
= −

Đáp số: B(x)
lớn nhất
=
9
5
với
2
x
5
= −
Ví dụ 3: (Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+ bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) cua P ta cần phải biến đổi sao
cho
P = a. A
2
(x) + k. Sau đó xét với từng trường hợp a> 0 hoặc a < 0 để tìm
giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất
Lời giải
P = a. A
2
(x) + k
2
b
a x x c

a
 
+ +
 ÷
 
2 2
2
2 2
b b b
a x 2.x. c
2a 4a 4a
 
= + + + −
 ÷
 
2
b
a x k
2a
 
= + +
 ÷
 
với
2
2
b
k
4a
= −

Do
2
b
x 0
2a
 
+ ≥
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi
b
x
2a
= −
Nên:
+ Nếu a> 0 thì
2
b
a x 0
2a
 
+ ≥
 ÷
 
do đó
P k
≥
+ Nếu a < 0 thì
2
b

a x 0
2a
 
+ ≤
 ÷
 
do đó
P k≤
Vậy khi
b
x
2a
= −
thì P có giá trị nhỏ nhất bằng K (nếu a >0)
Hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a < 0)
Bài tập tương tự:
Bài 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
x
= 2x
2
- 8x + 1 với x là số thực bất kỳ
Bài 2:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M
x
= -5x
2
- 4x + 1 với x là số thực bất kỳ

Bài tập nâng cao (Chứa nhiều đại lượng)
Bài 1:
Tìm giá trị của m, p sao cho
A = m
2
- 4mp +5p
2
+ 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ
nhất đó.
Hướng dẫn: Ta có: A = m
2
- 4mp +5p
2
+ 10m - 22p + 28
= ( m - 2p)
2
+ (p - 1)
2
+ 27 + 10(m - 2p)
Đặt X = m - 2p ta có:
A = X
2
+ 10X + (p - 1)
2
+ 27
= (X + 5)
2
+ (p - 1)
2
+ 2

Ta thấy (X + 5)
2
≥ 0; (p - 1)
2
≥ 0 với mọi m. p do đó A đạt
GTNN khi X + 5 = 0 và p -1 = 0
Giải hệ điều kiện trên ta được : P = 1 . m = -3.
Vậy GTNN của A = 2 với P = 1, m = 3
Bài 2:
Tìm giá trị của x, y sao cho
F = x
2
+ 26 y
2
- 10xy + 14x - 76y + 59 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị
nhỏ nhất đó.
Hướng dẫn:
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
F x 26y 10xy 14x 76y 59 x 5y y 3 14 x 5y 50= + − + − + = − + − + − +
Đặt ẩn phụ: Z = x – 5y ta có
( ) ( )
2 2
F Z 7 y 3 1 1= + + − + ≥
Dấu = xẩy ra khi Z + 7 = 0 và y – 3 = 0 giải hệ điều kiện trên ta có được
x = 8, y = 3. Vậy GTNN của F = 1 với x = 8, y = 3.
Bài 3 (hs tự làm)
Tìm giá trị của x, y, z sao cho

P = 19x
2
+ 54y
2
+ 16z
2
- 16 yz + 36 xy + 5 . Đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá
trị nhỏ nhất đó.
Dạng 2: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO
Ví dụ 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ( x
2
+ x + 1)
2
Hướng dẫn giải:
(?) Ta nhận thấy A = ( x
2
+ x + 1)
2
≥ 0, nhưng giá trị nhỏ nhất của A có
phải bằng 0 hay không? Vì sao?
Trả lời: Mặc dù A ≥ 0 nhưng giá trị nhỏ nhất của a không phải bằng 0 vì
( x
2
+ x + 1)
2
≠ 0
Do đó A
min <

⇒

( x
2
+ x + 1)
min


(?) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x
2
+ x + 1 và tìm giá tri nhỏ nhất của A?
Trả lời
Ta có
2
2 2
1 1 1 1 3 3
x x 1 x 2x. 1 x
2 4 4 2 4 4
 
+ + = + + − + = + + ≥
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi
1
x
2
= −
Vậy giá trị nhỏ nhất của x
2
+ x + 1 bằng

3
4
với
1
x
2
= −
Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng
2
3 9
4 16
 
=
 ÷
 
với
1
x
2
= −
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
4
- 6x
3
+ 10x
2
- 6x + 9
Hướng dẫn giải
Gợi ý
- Hãy viết biểu thức dưới dạng A

2
(x) + B
2
(x) ≥ 0
- Xét xem xảy ra dấu bất đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức bằng bao nhiêu?
Lời giải:
x
4
- 6x
3
+ 10x
2
- 6x + 9
= x
4
- 2.x
2
.3x + (3x)
2
+ x
2
- 2x.3 + 3
2
= (x
2
- 3x)
2
+ (x - 3)
2

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi
( )
2
x 0
x x 3 0
x 3x 0
x 3
x 3 0
x 3
x 3
=


− =

− =



⇔ ⇔
=
  

− =
=



=


Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Bài tập tương tự
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a)
A(x) = x
6
- 2x
3
= x
2
- 2x + 2
b)
B(x) = (x + 8)
2
+ (x + 6)
4
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a) A = (3x - x
2
).(x
2
+ 5x + 4)
b) B = x
3
.(16 - x
3
)
Dạng 3: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT CỦA ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Ví dụ 6: tìm giá trị lớn nhất của A = │x - 2│+ │x - 5│
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối, do đó chúng ta phải nghĩ
tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức.
A khi A 0
A
A khi A 0
≥

=

− <

Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các
khoảng nghiệm. So sánh các giá trị của A trong các khoảng nghiệm đó để tìm
ra giá trị nhỏ nhất của A
Lời giải
* Trong khoảng x < 2 thì│x - 2│= - (x - 2) = 2 - x
│x - 5 │= - (x - 5) = 5 - x
⇒A = 2 - x = 5 - x = 7 = 2x
Do x < 2 nên -2x > -4 do đó A = 7 - 2x > 3
* Trong khoảng 2 ≤ x ≤5 thì │x - 2│= x - 2
│x - 5 │= - (x - 5) = 5 - x
⇒A = 2 - x + 5 - x = 3
* Trong khoảng x > 5 thì│x - 2│= x - 2
│x - 5 │= - (x - 5)
⇒A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
Do x >5 nên 2x > 10 do đó A = 2x - 7 > 3
So sánh giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của
A bằng 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5

Đáp số: A
min
= 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5
Cách 2: Ta có thể sử dụng tính chất: Giá trị tuyệt đối của một tổng nhỏ
hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối. từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức A.
Lời giải:
A = │x - 2│ + │x - 5│ = │ x - 2│ +│ 5 - x│
Ta có: │x - 2│ + │5 –x │ = │ x - 2 + 5 - x│= 3
A = 3 ⇒ │x - 2│ ≥ 0
(x - 2)(5 - x) ≥ │5 - x│ ≥ 0 ⇒ 2≤ x ≤ 5
( Hoặc lập bảng xét dấu)
Bài tập tương tự:
Tìm giá trị của biểu thức:
a) H = │2x - 3│ + │2x - 1│
b) K = │x
2
+ x + 3│+││x
2
+ x - 6│
Dạng 4: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT CỦA PHÂN THỨC CÓ TỬ LÀ HẰNG SÔ, MẪU LÀ TAM
THỨC BẬC HAI
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của
2
3
M
4x 4x 5
=
− +

Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Sử dụng tính chất
1 1
a b,ab 0
a b
≥ > => ≤
hoặc theo quy tắc so ánh
hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương.
Lời giải: Xét
( ) ( )
2 2
2
3 3 3
M
4x 4x 5
2x 4x 1 4 2x 1 4
= = =
− +
− + + − +
Ta thấy
( )
2
2x 1 0− ≥
Dấu “=” xảy ra khi
1
x
2
=
Nên
( )

2
2x 1 4 4− + ≥
Do đó:
( )
2
3 3
4
2x 1 4
≤
− +
Trả lời: Vậy M lớn nhất bằng
3
4
khi
1
2x 1 0 x
2
− = => =
Đáp số: M
lớn nhất
=
3
4
với
1
x
2
=
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của
2

1
B
2x x 4
=
− −
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
2 2
1 1 1
B
2x x 4 x 2x 4
x 1 3
= = − = −
− − − +
− +
Vì
( )
2
x 1 0− ≥
Dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 => x = 1
=>
( )
2
x 1 3 3+ + ≥
=>
( ) ( )
2 2
1 1 1 1

3 3
x 1 3 x 1 3
≤ => − ≥ −
− + − +
Vậy B nhỏ nhất bằng
1
3
−
khi x =1
Đáp số: M
nhỏ nhất
=
1
3
−
khi x =1
Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thường xuyên lập luận rằng M
(hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏ nhất) khi mẫu nhỏ
nhất (lớn nhất).
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức
2
1
x 3−
Mẫu thức x
2
– 3 có giá trị nhỏ nhất là -3 khi x = 0
Nhưng với x = 0 thì
2
1 1
x 3 3

= −
−
không phải là giá trị lớn nhất của phân
thức.
Chẳng hạn với x = 2 thì
2
1 1
1
x 3 3
= > −
−
Như vậy từ -3 < 1 không thể suy ra
1 1
3 1
− >
Vậy từ a < b chỉ suy ra được
1 1
a b
>
khi a và b cùng dấu.
Bài tập tương tự
Bài 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2011
A
x 2x 2011
=
− +
Dạng 5: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA

PHÂN THỨC CÓ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC
Ví dụ 9: Tìm gái trị nhỏ nhất của
( )
2
2
x x 1
A
x 1
+ +
=
+
Cách 1: Gợi ý: Hãy viết tử thức dưới dạng lũy thừa của x + 1, rồi đổi
biến bằng cách viết A dưới dạng tổng các biểu thức là lũy thừa của
1
x 1+
. Từ
đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải: Ta có
( )
( )
2 2
x x 1 x 2x 1 x 1 1+ + = + + − + +
( ) ( )
2
x 1 x 1 1= + − + +
Do đó:
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
(x 1) (x 1) 1 1 1

A 1
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
+ +
= − + = − +
+
+ + + +
Đặt y =
1
x 1+
khi đó biểu thức A trở thành:
2
A 1 y y= − +
Ta có:
2
2 2
1 1 3
A 1 y y y 2.y.
2 2 4
 
= − + = − + +
 ÷
 
2
1 3 3
y
2 4 4
 
= − + ≥
 ÷

 
Dấu “=” xảy ra khi
1 1
y 0 y
2 2
− = => =
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
3
4
khi và chỉ khi:
1 1 1
y
2 x 1 2
= ⇔ =
+
x 1 2
x 1
⇔ + =
⇔ =
Đáp số: A
nhỏ nhất

3
4
=
khi x =1
Cách 2:
Gợi ý: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu thức
không âm. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải:

( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
x x 1 4x 4x 1 3x 6x 3 x 2x 1
A
x 1 4 x 1 4 x 1
+ + + + + + + − +
= = =
+ + +
( ) ( )
( )
2 2
2
3 x 1 x 1
A
4 x 1
+ + −
=
+
( )
( )
2
2
x 1
3
A
4
4 x 1
−
= +

+
( )
2
3 x 1
A
4 2 x 1
 
−
= +
 
+
 
( )
2
3 x 1 3
A
4 2 x 1 4
 
−
= + ≥
 
+
 
Dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 hay x = 1
Vậy gái trị nhỏ nhất của A bằng
3
4
khi x = 1
Đáp số: A
nhỏ nhất

=
3
4
khi x = 1
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2x 1
M
x
+
=
Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
x
N
x 2x 1
=
+ +
Dạng 6: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA
MỘT BIỂU THỰC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ DẠN
( )
2
A x
0
k
≥
hoặc
( )
2

A x
0
k
≤
Ví dụ 10:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
2
x
2
3x 6x 10
M
x 2x 3
+ +
=
+ +
(Với x thuộc tập hợp số thực)
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Từ
( )
2
x
2
3x 6x 10
M
x 2x 3
+ +
=
+ +
ta có:

( )
2
2
x
2 2
3 x 2x 3 1
3x 6x 9 1
M
x 2x 3 x 2x 3
+ + +
+ + +
= =
+ + + +
(?) Ta có thể chưa cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho
2
x 2x 3+ +
được không? Vì sao?
Trả lời: Vì
( )
2
2 2
x 2x 3 x 2x 1 2 x 1 2 0+ + = + + + = + + >
với mọi giá trị
của x.
Nên sau khi chia cả tử và mẫu cho
2
x 2x 3+ +
ta được
( )
2

(x)
1
M 3
x 1 2
= +
+ +
(?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?
Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
2
1
x 2 2+ +
(?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của
( )
2
1
x 2 2+ +
từ đó suy ra giá trị lớn nhất
của M(x).
Trả lời: Vì
( )
2
x 1 0+ ≥
Dấu “=” xảy ra khi x = -1
Với mọi x Nên
( )
2
x 1 2 2+ + ≥
với mọi x
Do đó

( )
2
1 1
2
x 1 2
≤
+ +
Từ đó ta có:
( )
( )
2
x
1 1 1
M 3 3 3
2 2
x 1 2
= + ≤ + =
+ +
Vậy giá trị lớn nhất của
( )
x
1
M 3
2
=
khi và chỉ khi x = -1
Đáp số: M
(x)lớn nhất
=
1

3
2
với x = -1
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho biểu thức:
2
3
Q
4x 4x 5
=
− +
. Tìm GTLN của Q
Bài 2: Cho biểu thức:
2
2
x 6x 14
B
x 6x 12
− +
=
− +
. Tìm GTLN của B.
Dạng 7: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA
MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG
THỨC ĐÃ BIẾT
1. Bất đẳng thức Côsi
Với các số dương a, b, c ta có
a b 2 ab+ ≥
đặt được dấu “=” khi a = b.
3

a b 2 abc+ ≥
đặt được dấu “=” khi a = b = c
đặt được dấu “=” khi a = b.
Ví dụ 11:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
x
8x 2
A
x
+
=
với x >0
Lời giải: Ta có
2
x
8x 2 2
A 8x
x x
+
= = +
. Ta thấy 8x và
2
x
là hai đại lượng
lấy giá trị dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và
2
x
ta
có:

2 2
8x 2 8x. 2 16 8
x x
+ ≥ = =
dấu = xẩy ra khi
2 1
8x x
x 2
= => =

Vậy GTNN
x
A 8=
với
1
x
2
=
Ví dụ 12:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 6
x
B 16x x= −
với x thuộc tập hợp các số thỏa mãn
( )
3
0 x 16 *< <
Lời giải: Trước hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng bất đẳng thức
Côsi cho hai số dương x
3

và
( )
3
x 16 x 64
3
− ≤
dấu “=” xẩy ra khi
3 3
x 16 x x 2= − => =
(thỏa mãn *)
GTLN của B
x
= 64, với x = 2
2. Bất đẳng thức Buanhiacôpski
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a b a b a b a a a b b b+ + ≤ + + + +
Dấu bằng xẩy ra khi
1 2 n
1 2 n
a a a

b b b
= = =
Ví dụ 13: Tìm các giá trị của x, y, z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
2 2 2
P x y z= + +
Biết:

x y z 2010+ + =
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số: 1, 1, 1 và x, y, z ta
có:
2 2 2 2
(x.1 y.1 z.1) (1 1 1)(x y z )+ + ≤ + + + +
Dấu “=” xảy ra khi x = y =z
Hay:
( )
( )
2
2 2 2
x y z 3. x y z+ + ≤ + +
. Từ đó ta có:
( )
2
2
2 2 2
x y z
2010
P x y z
3 3
+ +
= + + ≥ =
(Vì theo giả thiết x+ y+z=2010).
Vậy GTNN của
2
2010
P
3

=
dấu “=” xẩy ra khi x = y = z kết hợp với giả
thiết x+ y+z=2010. Ta có x = y = z = 670.
Ví dụ 14:
Cho biểu thức
Q 2x 4y 5.z= + +
. Trong đó x, y, z là các đại lượng
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
x y z 169+ + =
. Tìm GTLN của Q.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số: 2, 4,
5
và x, y, z ta
có:
( ) ( )
{ }
( )
2 2
2 2 2 2 2
2x 4y 5x 2 4 5 x y z+ + ≤ + + + +
Dấu “=” xẩy ra khi
x y z
2 4
5
+ =
Hay
( )
{ }

( )
2
2 2 2 2 2 2
Q 2 4 5 . x y z≤ + + + +
vì
2 2 2
x y z 169+ + =
nên
2
Q 25.169≤
Vậy GTLN của Q = 65, dấu “=” xẩy ra khi
x y z
2 4
5
= =
và
2 2 2
x y z 169+ + =
từ đó tìm được
26 26
x ;
5 5
= −
;
52 52
y ;
5 5
= −
;
13 5 13 5

z ;
5 5
= −
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho biểu thức:
2
x x 1
A
x 2x 1
2
+ +
=
+ +
. Với
x 1,x 0≠ − >
. Hãy tìm
GTNN của A.
Bài 2: Cho biểu thức:
2
4
x
A
1 x
=
+
. Hãy tìm GTLN của A.
Bài 3: Cho biểu thức:
( ) ( )
x 2 x 8
Y

x
+ +
=
. Với x > 0. Hãy tìm GTNN
của Y.
III. KẾT QUẢ
Sau khi thực nghiệm đề tài tại trường THCS Dũng Tiến tôi thấy học sinh
có ý thức đơn, cẩn thận hơn, trình bày lời giải bài toán khoa học chặt chẽ hơn.
Hiểu và giải nhanh được các dạng toán phức tạp cũng như nắm rõ và vận
dụng thành thạo các dạng bài toán cực trị trong đại số được thể hiện qua kết
quả:
Điểm
Lớp
Sĩ số Giỏi Khá t. bình Yếu kém
HS 8 10 6 = 60% 3 = 30% 1 = 10% 0 0
HS 9 10 7 = 70% 3 = 30% 0 0 0
Kết luận: Sau khi có kết quả điều tra về chất lượng học tập bộ môn toán
của học sinh và tìm hiểu được nguyên nhân dẫn đến kết quả đó tôi đã đưa ra
một vài biện pháp và áp dụng các biện pháp đó vào trong quá trình giảng dậy
thấy rằng học sinh có những tiến độ, học sinh tiếp cận kiến thức một cách nhẹ
nhàng hơn kết quả học tập của các em có phần khả thi hơn. Đặc biệt dạng
toán cực trị trong đại số thì học sinh đã giải bài một cách rất nhẹ nhàng chính
xác chặt chẽ hơn rất nhiều, các em trong lớp bồi dưỡng đội tuyển học sinh
giỏi đã giải tốt, thành thạo các đề thi của phòng của TP trước đây mà đề bài
có liên quan tới toán cự trị.
C. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Trên đây là những suy nghĩ và việc làm mà tôi đã thực hiện ở 2 lớp đội
tuyển học sinh giỏi Toán 8 và Toán 9 đã có những kết quả đáng kể đối với
học sinh.

Cuối năm học đa số các em đã quen với loại toán “Cực trị trong đại số”,
đã nắm được các dạng toán và phương pháp giải từng dạng, các em biết trình
bày đầy đủ, khoa học, lời giải chặt chẽ, rò ràng, các em bình tĩnh, tự tin và
cảm thấy thích thú khi giải loại toán này.
Do điều kiện và năng lực của bản thân tôi còn hạn chế, các tài liệu tham
khảo chưa đầy đủ nên chắc chắn còn những điều chưa chuẩn, những lời giải
chưa phải là hay và ngắn gọn nhất. Nhưng tôi mong rằng SKKN này ít nhiều
cũng giúp học sinh hiểu kỹ hơn và vận dụng giải tốt các loại toán cực trị trong
đại số.
Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổ
thông, nhất là những bài học rút ra sau nhiều năm dự giờ thăm lớp của các
đồng chí cùng trường cũng như dự giờ các đồng chí trường bạn. Cùng với sự
giúp đỡ tận tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn trường
THCS Dũng Tiến. Tôi đã hoàn thành SKKN “Bồi dưỡng học sinh giỏi lớn 8,
9 hệ thống các dạng bài toán cực trị trong đại số” cho các em học sinh đội
tuyển học sinh giỏi Toán 8 và Toán 9.
Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng chí trong ban giám hiệu nhà trường,
cảm ơn các đồng chí trong tổ chuyên môn trường THCS Dũng Tiến đã giúp
tôi hoàn thành SKKN này. Tôi rất mong được sự chỉ bảo của các đồng chí
chuyên môn Phòng Giáo dục và Đào tạo, ý kiến đóng góp của các đồng
nghiệp để vốn kinh nghiệm giảng dạy của tôi được phong phú hơn.
2 Khuyến nghị
- Đề nghị các cấp chính quyền địa phương quan tâm hơn nữa tới phong
trào giáo dục tại địa phương, đặc biệt là phong trào mũi nhọn như các lớp bồi
dưỡng thi học sinh giỏi cấp huyện, Thành phố.
- Đề nghị Phòng Giáo dục và Đào tạo mở các chuyên đề để chúng tôi có
điều kiện trao đổi và học hỏi thêm.
- Nên nghiên cứu và tạo ra một diễn đàn về giáo dục trên mạng internet
của huyện Thường Tín đặc biệt là diễn đàn trao đổi về viết các SKKN.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Dũng Tiến, ngày … tháng … năm 2011
Người viết đề tài
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9.
2. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8.
3. Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS.
4. Một số vấn đề phát triển Đại số 8.
5. Một số vấn đề phát triển đại số 9.
6. Tuyển tập đề thi môn Toán THCS.
7. Các bài toán đại số hay và khó – NXB Giáo dục
8. Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đại số 8.
9. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 Đại số - NXB Giáo dục
10. Phương pháp dạy học môn toán – NXB Giáo dục
11. Tìm hiểu thông tin tài liệu qua mạng Internet.